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函数对称性与周期性几个重要结论

一、几个重要的结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。

2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。

3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图象关于直线

22)()(b

a x

b x a x +=

-++=

对称。

4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期的周期函数。

5、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。

6、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。

3、曲线 )(x f y =与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。

4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。

5、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=++c y x 对称曲线为 0),(=----c x c y f 。

6、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=+-c y x 对称曲线为 0),(=+-c x c y f 。

7、曲线 0),(=y x f 关于点 ),(b a P 对称曲线为 0)2,2(=--y b x a f 。

二、试试看，练练笔

1、定义在实数集上的奇函数 )(x f 恒满足 )1()1(x f x f -=+，且 )0,1(-∈x 时,

51

2)(+

=x x f ,则 =)20(log 2f ________。

2、已知函数 )(x f y =满足 0)2()(=-+x f x f ，则 )(x f y =图象关于__________对

称。

3、函数 )1(-=x f y 与函数 )1(x f y -=的图象关于关于__________对称。

4、设函数 )(x f y =的定义域为R ，且满足 )1()1(x f x f -=-，则 )(x f y =的图象关于__________对称。

5、设函数 )(x f y =的定义域为R ，且满足 )1()1(x f x f -=+，则 )1(+=x f y 的图象关于__________对称。 )(x f y =图象关于__________对称。

6、设 )(x f y =的定义域为R ，且对任意 R x ∈，有 )2()21(x f x f =-，则 )2(x f y =图象关于__________对称， )(x f y =关于__________对称。

7、已知函数 )(x f y =对一切实数x 满足 )4()2(x f x f +=-，且方程 0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ）

A 、5

B 、10

C 、15

D 、18

8、设函数 )(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若 )(x f y =是偶函数，则

)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若 )2(+=x f y 是偶函数，则 )(x f y =图象关于直

线 2=x 对称；③若 )2()2(x f x f -=-，则函数 )(x f y =图象关于直线 2=x 对称；④ )2(-=x f y 与 )2(x f y -=图象关于直线 2=x 对称，其中正确命题序号为_______。 9、函数 )(x f y =定义域为R ，且恒满足 )2()2(x f x f -=+和 )6()6(x f x f -=+，当

62≤≤x 时，

x

x f 21

2)(-

=，求 )(x f 解析式。

10、已知偶函数 )(x f y =定义域为R ，且恒满足 )2()2(x f x f -=+，若方程 0)(=x f 在 []4,0上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间 (]10,8-中的根． 附参考答案：

1T ： 1- 2T ： )0,1(3T ： 1=x 4T ：y 轴即 0=x 5T ：①y 轴② 1=x

6T ：①

41=

x ② 21

=x 7T ：C 8T ：②④

9T ：

1

(8)(8282,)2

()1(8)2(8286,)

2x k k x k k Z f x x k k x k k Z ⎧--≤≤+∈⎪⎪=⎨

⎪--++≤≤+∈⎪⎩ 10T ：方程的根为

6,4,2,0,2,4,6,8,10---共9个根．