2016年深圳市高三年级一模数学(理科)试题

深圳市 2016 年高三年级第一次调研考试数学（理科）试题
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（22）（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图，在直角 ABC 中， AB BC ， D 为 BC 边上异于 B 、 C 的一点，以 AB 为 直径作⊙ O ，并分别交 AC ， AD 于点 E ， F ． （Ⅰ）证明： C ， E ， F ， D 四点共圆； （Ⅱ）若 D 为 BC 的中点，且 AF 3 ， FD 1 ，求 AE 的长．
2
π 的直线与抛物线交于 A , B 两 4
点，若弦 AB 的垂直平分线经过点 (0,2) ，则 p 等于_________．
2 , an 1 n 2 , n （16）数列 {an } 满足 an (n ³ 2) ，若 {an }为等比数列，则 a1 的取值 2 2an 1 , an 1 n .
将河流水位在以上 6 段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响． （Ⅰ）求未来三年，至多 有 1 年河流水位 X [27,31) 的概率（结果用分数表示） ； ．． （Ⅱ）该河流对沿河 A 企业影响如下：当 X [23, 27) 时，不会造成影响；当 X [27,31) 时，损失 10000 元；当 X [31,35] 时，损失 60000 元. 为减少损失，现有 3 种应对方案： 方案 1 ：防御 35 米的最高水位，需要工程费用 3800 元； 方案 2 ：防御不超过 31 米的水位，需要工程费用 2000 元； 方案 3 ：不采取措施． 试比较哪种方案较好,并请说明理由． （19） （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形， ABC 60 ， PA PB ， PC 2 ． （Ⅰ）求证：平面 PAB 平面 ABCD ； P （Ⅱ）若 PA PB ，求二面角 A PC D 的余弦值．
（8）如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出 的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长 的棱的长度是 （A） 4 2 （C） 6 （B） 2 5 （D） 4 3
（9）4 名同学参加 3 项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项 活动至少有一名同学参加的概率为 （A）
4 9
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（11）过点 (0, 2b) 的直线 l 与双曲线 C :
x2 y 2 1(a, b 0) 的一条斜率为正值的渐近线 a 2 b2
平行，若双曲线 C 的右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b ，则双曲线 C 的离心率的 取值范围是 （A） (1,2] （B） (2, +¥) （C） (1,2) （D） (1, 2)
A
B
D
C
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（18） （本小题满分 12 分） 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位 X （单位：米）的频率分布直方 图如下:
频率 组距
0.220
0.150
0.075 0.050 0.0025
水位（米）
23 25 27 29 31 33 35
第 Ⅰ卷
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
（1）已知集合 A {x | y (1 x)( x 3) } ， B {x | log 2 x 1} ，则 A B （A） {x | 3 x 1} （C） {x | 3 x 2} （B） {x | 0 x 1} （D） {x | x 2}
A
B
Ｄ
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C
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（20） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 E ：
x2 y 2 2 ，直线 x y 3 0 与椭圆 2 1 (a b 0) 的离心率为 2 a b 2
E 仅有一个公共点． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
范围是_________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） （本小题满分 12 分）
C =60 ，D 是 BC 上一点，AB 31，BD 20 ，AD 21 ． 如图， 在 ABC 中，
（Ⅰ）求 cos B 的值； （Ⅱ）求 sin BAC 的值和 BC 边的长．
sin15 0.2588 ， sin 7.5 0.1305 ）
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开始
n6
1 360 S n sin 2 n
n 2 n
S 3.10
是 输出i n k 结束
否
（15）过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点 F ，且倾斜角为
绝密★启用前
试卷类型：A
2016 年深圳市高三年级第一次调研考试
数 学（理科）
本试卷共 7 页，24 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项：
2016.2
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名 和考生号， 并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区， 请保持条形码整洁、 不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
（B）
4 27
（C）
9 64
（D）
3 64 1 ， 2
（10）点 S 、 A 、 B 、 C 在半径为 2 的同一球面上，点 S 到平面 ABC 的距离为
AB BC CA 3 ，则点 S 与 DABC 中心的距离为
（A） 3 （B） 2 （C） 1 （D）
1 2
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（2）设 i 为虚数单位，复数 z 满足 z i 3 4i ，则 z 在复平面内对应的点在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）已知平面向量
a ， b 满 足 | a | 2 ， | b | 1 ， a 与 b 的 夹 角 为 120 ， 且
的值为 (a b) ( 2 a b，则实数 )
（6）若函数 f ( x) 2sin(2x ) (| | 轴方程是 （A） x
π π ) 的图象过点 ( ， 1) ，则该函数图象的一条对称 2 6
（C） x
π 12 1 x
（B） x
5π 12
π 6
（D） x
π 3
（7） ( x 2 2)( x )6 的展开式中常数项为 （A） 40 （B） 25 （C） 25 （D） 55
（13）已知 f ( x) ， g ( x) 分别是定义域为 R 的奇函数和偶函数，且 f ( x) g Байду номын сангаас x) 3 ，则
x
f (1) 的值为______．
（14）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边 形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆 周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽 的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为 .（参考数据：
程为 r =
p （ p > 0） ． 1 - cosq （Ⅰ）写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 l 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，求
1 1 的值． | OA | | OB |
（24） （本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f ( x) | x a | | x 3| ( a R )． （Ⅰ）当 a 1 时，求不等式 f ( x) x 8 的解集； （Ⅱ）若函数 f ( x) 的最小值为 5 ，求 a 的值．
（Ⅱ）直线 l 被圆 O ： x 求 ABO 面积的最大值． （21） （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ( x 1) e 和函数 g ( x) (e a)( x 1)
x x 2
2
y 2 3 截得的弦长为 3 ，且与椭圆 E 交于 A 、 B 两点，
( a 0)（ e 为自然对数的
A
O
E
F
B D
C
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（23） （本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
x t cos , （ t 为参数， y t sin .
0 π ） ．以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方
底数） ． （Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）判断函数 g ( x) 的极值点的个数，并说明理由； （Ⅲ）若函数 g ( x) 存在极值为 2a 2 ，求 a 的值．
请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题 目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选 题号后的方框涂黑。
（12）函数 f ( x) ln x a x 2 x 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 （A） (0,1) （B） ( ,1) （C） ( ,
1 e ) e2
（D） ( 0,
1 e ) e2
第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题〜第(21)题为必考题，每个试题考生都 必须做答。第(22)题〜第(24)题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
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（A） 7
（B） 3
（C） 2
（D） 3
2 x y 2 0, （4）若 x, y 满足约束条件 3 x y 3 0, 则 z x y 的最小值为 x 0.
（A） 3 （B） 1 （C） 2 （D） 2 （5）公差为 1 的等差数列 {an } 中， a1 ， a3 ， a6 成等比数列，则 {an } 的前 10 项和为 （A） 65 （B） 80 （C） 85 （D） 170