《数值计算方法》复习资料

《数值计算方法》复习资料

第一章数值计算方法与误差分析

第二章非线性方程的数值解法

第三章线性方程组的数值解法

第四章插值与曲线拟合

第五章数值积分与数值微分

第六章常微分方程的数值解法

自测题

课程的性质与任务

数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。

第一章数值计算方法与误差分析

一考核知识点

误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

二复习要求

1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及

它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

三例题

例1设x*= π=3.1415926…

近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有

即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.

又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有

即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.

而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有

即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.

这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；

例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：

2.000 4 －0.002 009 0009 000.00

解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限

x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有

效数字. a1=2，相对误差限εr==0.002 5

x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数字，

a=9，相对误差限εr＝＝0.000 056

x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9 000.00有6位有效数字，相

对误差限为εr＝＝0.000 000 56

由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.

例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？

解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。故ln2≈0.693。

第二章非线性方程的数值解法

一考核知识点

二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。

二复习要求

1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间(a,b)有根的充分条件。

2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法二分次数公式，掌握迭代法，知道其收敛性。

3. 熟练掌握牛顿法。掌握初始值的选择条件。

4. 掌握弦截法。

三例题

例1证明方程1－x－sin x＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过

0.5×10－4的根要迭代多少次？

证明令f(x)＝1－x－sin x，

∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0

∴f(x)=1－x－sin x=0在[0，1]有根.又

f'(x)=1－c os x>0(x∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.

给定误差限ε＝0.5×10－4，有

只要取n＝14.

例2用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根.计算过程保留4位小数.

[分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间.若建立迭代格式

，此时迭代发散.

建立迭代格式，此时迭代收敛.

解建立迭代格式

取 1.5185

例3 用弦截法求方程x3－x2－1＝0，在x=1.5附近的根.计算中保留5位小数点. [分析] 先确定有根区间.再代公式.

解f(x)= x3－x2－1，f(1)=－1，f(2)=3，有根区间取[1,2].

取x1=1, 迭代公式为

(n=1,2,…)

取 1.46553，f(1.46553)≈－0.000145

例4选择填空题

1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根.

答案：f(a)f(b)<0

解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.

2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=ϕ(x),则f(x)=0的根是( )

(A)y=x与y=ϕ(x)的交点(B) y=x与y=ϕ(x)交点的横坐标

(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=ϕ(x)与x轴交点的横坐标

答案：(B)

解答：把f(x)=0表成x=ϕ(x), 满足x=ϕ(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=ϕ(x)的交点的横坐标.

3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建

立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )　

(A)

(B)

(C)