标量衍射理论2013
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k : 传播矢量 球面波: k//r
k = | k |=2p /l , 为波数。表
示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
(P(x,y,z)) y (r
k
则P点处的复振幅：
U (P) a0 e jkr r
a0: 单位距离 处的光振幅
源点S
z
0 x k: 传播矢量
• 光的衍射
几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。
信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引 起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级 时，衍射现象最显著。
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关时，必须采用矢量衍射理
波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式； • 瑞利-索末菲公式的提出与完善。
概述
本章主要研究内容和特点
• 主要研究内容：
从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发， 讨论衍射问题。
• 特点：
–光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释； –将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学
系统的脉冲响应和传递函数。
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程
2u
1 c2
2 t 2
u
0
可导出复振幅满足的方程为：
(2 k 2 )U 0 即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
k 2p l
——不含时间变量的波动方程 称为波数或传播常数， 表示单位长度上产生的相位变化。
示，以利于简化运算
u(P,t) = a(P){cos[2pnt - j(P)]}
= e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于
= e{a(P) e . jj(P) e -j2pnt } 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2pnt： n ~1014Hz
n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
会聚球面波
会聚球面波 U (P) a0 e jkr r
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S
z
0
x
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波的空间分布
P点处的复振幅:U (P) a0 e jkr r
距离 r 的表达
取决于k与r是平行 还是反向平行
若球面波中心在原点:
r x2 y2 z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波在给定平面的分布
以系统的光轴为z轴，光沿 z 轴正方向传播。所 考察的平面垂直于z 轴。
场——电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的
传播形成电磁波。
• 波动方程：
拉普拉斯算子
2
uv E
2
uv B
1 c2
1 c2
uv 2 E tu2v 2 B t 2
0(电场) 0(磁场)
传播速度
波动方程是线性的，也就是说满足该方程的基本解的线性组 合都是方程的解。可以证明，球面波和平面波都是波动方程 的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组 合表示，也都是波动方程的解。
故引入复振幅U(P): U(P) = a(P) e jj(P)
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关；
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
j(P) = k . r
第三章 标量衍射理论
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为:
u P,t aPcos 2πnt j P
振幅
频率 初位相
光场随时间的变化关系：由频率n表征。 可见光： n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n。 严格单色光：n为常数
概述
• 信息光学为什么要研究光的传播？
信息光学主要是研究光波作为载波，实现信息的 传递、变换、记录、和再现问题。这些研究问题 都涉及对光的传播规律的描述，所以要研究光的 传播规律。
• 光的传播规律应该用什么理论进行描述？
在课程范畴内，认为光属于电磁波，它的传播规 律是用电磁波理论来描述的。
概述
什么是标量衍射理论？
光场随空间的变化关系体现在： (1) 空间各点的振幅可能不同
(2) 空间各点的初位相可能不
光场变化的空间周期为l。
同，由传播引起。
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j (P)必须满足的关系，将光场用复数表
令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处。考察与 其距离为z的x - y平面上的光分布
论。
概述
标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象； • 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加
可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波； • 1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算，满足叠加原理
• 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动：
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布：I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
• 电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的
k = | k |=2p /l , 为波数。表
示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
(P(x,y,z)) y (r
k
则P点处的复振幅：
U (P) a0 e jkr r
a0: 单位距离 处的光振幅
源点S
z
0 x k: 传播矢量
• 光的衍射
几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。
信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引 起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级 时，衍射现象最显著。
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关时，必须采用矢量衍射理
波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式； • 瑞利-索末菲公式的提出与完善。
概述
本章主要研究内容和特点
• 主要研究内容：
从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发， 讨论衍射问题。
• 特点：
–光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释； –将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学
系统的脉冲响应和传递函数。
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程
2u
1 c2
2 t 2
u
0
可导出复振幅满足的方程为：
(2 k 2 )U 0 即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
k 2p l
——不含时间变量的波动方程 称为波数或传播常数， 表示单位长度上产生的相位变化。
示，以利于简化运算
u(P,t) = a(P){cos[2pnt - j(P)]}
= e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于
= e{a(P) e . jj(P) e -j2pnt } 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2pnt： n ~1014Hz
n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
会聚球面波
会聚球面波 U (P) a0 e jkr r
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S
z
0
x
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波的空间分布
P点处的复振幅:U (P) a0 e jkr r
距离 r 的表达
取决于k与r是平行 还是反向平行
若球面波中心在原点:
r x2 y2 z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波在给定平面的分布
以系统的光轴为z轴，光沿 z 轴正方向传播。所 考察的平面垂直于z 轴。
场——电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的
传播形成电磁波。
• 波动方程：
拉普拉斯算子
2
uv E
2
uv B
1 c2
1 c2
uv 2 E tu2v 2 B t 2
0(电场) 0(磁场)
传播速度
波动方程是线性的，也就是说满足该方程的基本解的线性组 合都是方程的解。可以证明，球面波和平面波都是波动方程 的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组 合表示，也都是波动方程的解。
故引入复振幅U(P): U(P) = a(P) e jj(P)
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关；
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
j(P) = k . r
第三章 标量衍射理论
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为:
u P,t aPcos 2πnt j P
振幅
频率 初位相
光场随时间的变化关系：由频率n表征。 可见光： n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n。 严格单色光：n为常数
概述
• 信息光学为什么要研究光的传播？
信息光学主要是研究光波作为载波，实现信息的 传递、变换、记录、和再现问题。这些研究问题 都涉及对光的传播规律的描述，所以要研究光的 传播规律。
• 光的传播规律应该用什么理论进行描述？
在课程范畴内，认为光属于电磁波，它的传播规 律是用电磁波理论来描述的。
概述
什么是标量衍射理论？
光场随空间的变化关系体现在： (1) 空间各点的振幅可能不同
(2) 空间各点的初位相可能不
光场变化的空间周期为l。
同，由传播引起。
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j (P)必须满足的关系，将光场用复数表
令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处。考察与 其距离为z的x - y平面上的光分布
论。
概述
标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象； • 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加
可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波； • 1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算，满足叠加原理
• 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动：
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布：I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
• 电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的