标量衍射理论2013
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第三章 标量衍射理论
U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2
c
U ( p) k U ( p) 0
K
2
亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n
P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j
3.1光波的标量衍射理论-邓冬梅
2
2
z12
= z1
( x x1 ) + ( y y1 ) +
2
2
2 z1
[( x x1 ) + ( y y1 ) ]2 + .... 3 8 z1
2 2
r ≈ z1
(x x1 )2 + ( y y1 )2 +
2 z1
C
y1 x1 Q z1 K r
y P x
近似条件: [( x x1 ) + ( y y1 ) ] z >> 4λ
一,光的衍射现象
'光线'拐弯了! 光线'拐弯了! 光线
S
?
衍射现象:光波偏离直线传播而出 衍射现象: 现光强不均匀分布的现象
E
E
S
S
圆孔衍射
Diffraction pattern of an icosahedral quasicrystal
12
光孔尺寸与衍射
衍射效应很弱,光线几乎直线传播 直线传播. 一,ρ>1000λ时,衍射效应很弱,光线几乎直线传播. λ 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 二,1000λ >ρ> λ时,衍射现象显著,出现了与光孔 衍射现象显著 现象显著, λ ρ 形状对应的衍射图样. 形状对应的衍射图样. 衍射效应过于强烈,只看到干涉 干涉. 三,ρ ~ λ 衍射效应过于强烈,只看到干涉. 过渡. 四,ρ<λ 向散射过渡. λ 散射过渡 其中:光孔线度ρ,波长λ
π
( n,l ) ( n,r ) ∑
θ
l
r P
K一般在0-1之间,特别地, 光线正入射时:
R
2
z12
= z1
( x x1 ) + ( y y1 ) +
2
2
2 z1
[( x x1 ) + ( y y1 ) ]2 + .... 3 8 z1
2 2
r ≈ z1
(x x1 )2 + ( y y1 )2 +
2 z1
C
y1 x1 Q z1 K r
y P x
近似条件: [( x x1 ) + ( y y1 ) ] z >> 4λ
一,光的衍射现象
'光线'拐弯了! 光线'拐弯了! 光线
S
?
衍射现象:光波偏离直线传播而出 衍射现象: 现光强不均匀分布的现象
E
E
S
S
圆孔衍射
Diffraction pattern of an icosahedral quasicrystal
12
光孔尺寸与衍射
衍射效应很弱,光线几乎直线传播 直线传播. 一,ρ>1000λ时,衍射效应很弱,光线几乎直线传播. λ 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 二,1000λ >ρ> λ时,衍射现象显著,出现了与光孔 衍射现象显著 现象显著, λ ρ 形状对应的衍射图样. 形状对应的衍射图样. 衍射效应过于强烈,只看到干涉 干涉. 三,ρ ~ λ 衍射效应过于强烈,只看到干涉. 过渡. 四,ρ<λ 向散射过渡. λ 散射过渡 其中:光孔线度ρ,波长λ
π
( n,l ) ( n,r ) ∑
θ
l
r P
K一般在0-1之间,特别地, 光线正入射时:
R
第二章 光的标量衍射理论
（2-1-15）
（2-1-15）式称为菲涅尔衍射积分公式 式称为菲涅尔衍射积分公式 满足菲涅耳近似条件的衍射称为菲涅耳衍射 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏， 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏，屏上显示的图 形即物体的菲涅耳衍射图形。 形即物体的菲涅耳衍射图形。 辐照度L(x,y) 为： 辐照度
• 2.1.1 惠更斯 菲涅耳原理 惠更斯-菲涅耳原理 • 假设：波前上的每一个面元都可以看做是一个次级扰 假设： 动中心，它们能产生球面子波． 动中心，它们能产生球面子波．后一时刻的波前位置 是所有这些子波波前的包络面。 是所有这些子波波前的包络面。 波前”即是某一时刻光波的波面(等相面 等相面)， “波前”即是某一时刻光波的波面 等相面 ， 次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。 “次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。
该近似称为夫琅和费近似 该近似下 基尔霍夫衍射积分公式化简为： 在该近似下，基尔霍夫衍射积分公式化简为：
x2 + y2 E ( x, y ) = exp j k d + jλ d 2d 1 ∞ k ∫ ∫ A(ξ ,η ) exp − j ( xξ + yη ) d ξ d η d −∞ （2-1-19） ）
（2-1-16） ）
L(x,y)等于菲涅耳衍射复振幅分布 等于菲涅耳衍射复振幅分布E(x,y)的模的平方 等于菲涅耳衍射复振幅分布 的模的平方
二、夫琅和费近似和天琅和费衍射
进一步增大观察平面∏到衍射孔径 的距离 进一步增大观察平面 到衍射孔径∑的距离 ，则衍射 到衍射孔径 的距离d， 图形将随之放大。 图形将随之放大。
第2章 标量衍射理论
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
标量衍射理论
x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
可以进一步简化得出：
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条 件下，脉冲响应可进一步简化为：
h(x0 ,
y0 ;
x,
y)
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
y
y0 2
z
1
x x0 z
2
y y0 z
2 2
当
cos(n, r) 1时
x
z
x0
2
和
y
y0
2
都是小量
z
r
z
1
x
x0
2
2z
2
y
y0 2
x x0 2 y
8z4
y0 2
2
r
z2
x x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
§2.2 从矢量理论到标量理论 光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
t
符号： E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
cos(n,
r
)
- cos(n, 2
r0
光波的标量衍射理论
～
E
P＝
A i
e
xpik
l
l
e
xpik
r
r
cosn,
r
2
cosn,
l
d
子波的复振幅与
K() cosn, r cosn,l
2 成正比，与波长成反比。
i 1 exp[i p]
i
2
表示子波的振动位相超前于入射波90。
6
当光线接近于正入射时 exp(ikl) exp(ikR)
l
R
cos(n, l) 1,
1 x x1 2 y y1 2
z12
z1
x
x1 2 y
2z1
y1 2
[x
x1 2 y
8z13
y1 2 ]2 ....
级数展开
r
z1
x
x1
2 y
2z1
y1 2
近似条件：
[x x1 2 y y1 2 ]2 p
z13
4
y1
Q C
K
x1 r
z1
y x
P
P0 E
11
r
z1
x
x1 2 y
2
光源S在波面ZZ '上
波阵面外任一点光振动应该是波面
上所有子波相干叠加的结果。
任意Q点产生的复振幅：
E~Q
A
exp ikR
R
Z
Q
R
Q点处d 大小的面元
r P
对P点的贡献为： S
dE~P
CK
E~Q
expik
r
r
d
Z'
子波向P点的球面波公式 子波法线方向的振幅 子波振幅随角的变化
第3章标量衍射理论
2z
光学信息技术原理与应用 光电科学分院 2013
5/64
3.1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
U ( P) = a0 e jkr
r
r ≈ z + ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2
2z
jk
z
+
(
x
−
x0
)2
+(
y
−
y0
)2
U ( P) = a e = a e e 0
{ } ( ) ( ) u x, y, z, t = Re a x, y, z e− j2πνt−ϕ(x,y,z)
{ } ( ) = Re a x, y, z e e jϕ(x,y,z) − j2πνt
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用
复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
U( x, y, z) = aexp( jkzcosγ )exp jk( xcosα + ycosβ)
=aexp jkz
1−cos2
α
−
cos2
β
exp
jk
(
x
cosα
+
y
cos
β
)
= Aexp jk( xcosα + ycosβ)
其中， exp jk ( x cosα + y cos β )
称为平面波的位相因子。
其中， （1）a 是常量振幅； （2）cos α、cosβ、cosγ 为传播方向的方
向余弦，而且有
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
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5/64
3.1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
U ( P) = a0 e jkr
r
r ≈ z + ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2
2z
jk
z
+
(
x
−
x0
)2
+(
y
−
y0
)2
U ( P) = a e = a e e 0
{ } ( ) ( ) u x, y, z, t = Re a x, y, z e− j2πνt−ϕ(x,y,z)
{ } ( ) = Re a x, y, z e e jϕ(x,y,z) − j2πνt
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用
复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
U( x, y, z) = aexp( jkzcosγ )exp jk( xcosα + ycosβ)
=aexp jkz
1−cos2
α
−
cos2
β
exp
jk
(
x
cosα
+
y
cos
β
)
= Aexp jk( xcosα + ycosβ)
其中， exp jk ( x cosα + y cos β )
称为平面波的位相因子。
其中， （1）a 是常量振幅； （2）cos α、cosβ、cosγ 为传播方向的方
向余弦，而且有
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
2 标量衍射理论
把衍射过程看做线性不变系统，讨论其 脉冲响应和传递函数。
2.1 基尔霍夫衍射理论 2.2 衍射的角谱理论 2.3菲涅尔衍射和夫琅和费衍射 2.4 透镜的傅里叶变换性质
重点掌握光的传播就是光的衍射过程这一物理思想，理解 角谱概念，在傅里叶光学的角度重新理解透镜这一基本光 学元件的成像机理。
2.1
基尔霍夫衍射理论
第二章 标量衍射理论 （Scalar diffraction theory）
衍射
l Sommerfeld定义
标量衍射理论（ scalar diffraction theory）的适用范围
电场的偏振性可以忽略，（ 傍轴近似paraxial aproximation）.
以Kirchhoff衍射公式讨论衍射问题，并 利用线性系统理论赋予新的解释。
在几个波长的距离内几乎衰减为零，对应于这些传播方向波动分量称为 倏逝波．
3：
cos2 cos2 = 1
该波动分量的传播方向垂直于z轴，它在z轴方向的净能量流为零．
A(
cos cos cos cos , , z ) = A0 ( , ,0) exp jkz 1 - cos2 - cos2
三、H-F原理与叠加积分
1 e jkr h P, Q = K q j r
令
U Q = U 0 P hP, Q ds
与线性系统公式比较:
1. 叠加积分: 衍射系统与线性系统
2. h(P,Q)的物理意义
四、相干光场在自由空间传播的平移不变性 ' 1 e jkr cosn, r - cosn, r h P, Q = K q K q = j r 2 近轴条件下： K (q ) 1
第二章 光的标量衍射理论
4.若/a趋于零衍射现象消失—几何光学是/a趋于零 的极限情况
2.1.1.2.衍射屏和衍射系统 障碍物—衍射屏
照明 空间
x0 , y0
衍射 空间
x, y
U 0 U0
U0是衍射屏前表面的复振幅
是衍射屏后表面的复振幅 U0
照明 空间
U0 U0
衍射屏
t
U x, y
(2.2.1)
．
y
．
0
复振幅分布U(x,y可分解为频率不同的复指数分 量的线性组合，各频率分量的权重因子为A(fx,fy)
z
A( f x , f y )
exp[ j 2 ( f x x f y y)] 代表一个沿 cos f x ,cos f y 所确定方向传播的单色振幅平面波。
复振幅透射函数—屏函数 图2.1.1 衍射系统及其三个重要的分析平面 ( x0 , y0 ) U0 t ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 ) --瞳函数 振幅型—只改变振幅 位相型—只改变位相 ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) 或 U0
exp( jkr ) dU ( P) CU ( P0 )dSK ( ) r
dS
U ( P0 )
n
P0
r
Σ
图2.1.2
U (P)
波面Σ 在P点的复振幅 (2.1.3)
P
Σ 上所有子波源在P点产生的总振动为
U ( P) C U ( P0 ) K ( )
exp( jkr ) dS r
y
3D
k与x轴夹角为 , 与y轴夹角为，与z轴夹角为
x
2.1.1.2.衍射屏和衍射系统 障碍物—衍射屏
照明 空间
x0 , y0
衍射 空间
x, y
U 0 U0
U0是衍射屏前表面的复振幅
是衍射屏后表面的复振幅 U0
照明 空间
U0 U0
衍射屏
t
U x, y
(2.2.1)
．
y
．
0
复振幅分布U(x,y可分解为频率不同的复指数分 量的线性组合，各频率分量的权重因子为A(fx,fy)
z
A( f x , f y )
exp[ j 2 ( f x x f y y)] 代表一个沿 cos f x ,cos f y 所确定方向传播的单色振幅平面波。
复振幅透射函数—屏函数 图2.1.1 衍射系统及其三个重要的分析平面 ( x0 , y0 ) U0 t ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 ) --瞳函数 振幅型—只改变振幅 位相型—只改变位相 ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) 或 U0
exp( jkr ) dU ( P) CU ( P0 )dSK ( ) r
dS
U ( P0 )
n
P0
r
Σ
图2.1.2
U (P)
波面Σ 在P点的复振幅 (2.1.3)
P
Σ 上所有子波源在P点产生的总振动为
U ( P) C U ( P0 ) K ( )
exp( jkr ) dS r
y
3D
k与x轴夹角为 , 与y轴夹角为，与z轴夹角为
x
标量衍射理论
其中 r xi yj zk 为空间点的位矢
上式可改写为：
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
平面波的等相位线方程为： x cos y cos C 平面波的等相位线为一族平行线。它们 正是波面与x-y平面的交线。
7.空间频率
y T
0
t
时间周期信号，周期为T，则其频率为f=1/T。 其含义是单位时间内信号重复的次数 。
类比于时间频率，我们引入空间频率的概念 空间周期:相邻两条纹之 间的距离 d 空间频率：单位长度的 1 条纹数 f
§1. 光波的数字描述
一单色光场可表示为位置的复函数U(P)。 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振 幅都必须满足亥姆霍兹方程：
( k )U ( P) 0
2 2
球面波和平面波都是波动方程的基本解 任何复杂的波都可以用球面波和平面波的 线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
一、球面波
从点光源发出的光波，在各向同性介质中 传播时形成球形的波面，称为球面波。 球面波复振幅传播特点是： 1、振幅衰减；2、相位变化。 单色发散球面波的复振幅可以写做
a exp[ jk ( x cos y cos z cos )
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
第2章 光的标量衍射理论
a0 ±jkr U(P) = e 球面波的复振幅表示（三维空间）： 球面波的复振幅表示（三维空间）： r
光强分布: 光强分布
I = UU*
[
]
对给定平面是常 量
z
源点S 源点 z 随x, y变化的二次位相因子 变化的二次位相因子 0 球面波特征位相 x
（续）
U ( x, y, z ) = a exp( jk ⋅ r ) = a exp[ jk ( x cos α + y cos β + z cos γ )]
20
2、菲涅耳—基尔霍夫积分公式 、菲涅耳 基尔霍夫积分公式
通过小孔衍射问题
→ 导出菲涅耳—基尔霍夫积分公式
I） 设点光源S 发出的球面单色波，照射到一个开有小孔A 的 光屏上，求光屏右边某点P 的光场，为了应用亥一基积分公式， 围绕P点作一闭合曲面 Σ ，由图可知 Σ 由三部分组成：
A、开孔A B、不透明部分B C、大球面C A
4
2. 1 基尔霍夫衍射理论
2.1. 1 衍射的概念 2.1. 1.1 衍射概念认识的深化
5
惠更斯-菲涅耳定义：光波在传播过程中波面产 惠更斯-菲涅耳定义： 生破缺的现象，称为衍射 现在一般认为： 现在一般认为：光波在传播的过程中，不论任何原因 导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布） 的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为 衍射。
而（已设辅助函数G由 P点向外发散的光照明）
G (Q ) = 1 jkr e r r r e jkr r r ∂G(Q) e jkr 1 jk cos (n ⋅ r ) = jk − cos(n ⋅ r ′) ≈ r r ∂n r
24
将上述关系代入 U ( p ) 式得：
标量衍射理论
面不一定是照明 光波的波阵面， 故称为广义波面。
— 隔开波源与场点的曲面
K ( ) — 倾斜因子，体现子波在
不同的方向上有不同的作用
e jkr —子波源发出的球面波 r
C
2013-12-28
—比例系数
这是几经修正和推广后的惠更 斯-菲涅尔原理的数学描述。 10
衍射基本论要解决的问题是：分析由光源 S 发出的光波，
2013-12-28
11
由电磁场理论可知，电磁波在无源点上应满足如下波动方程
2 E E 2 E 0 2 t t
进一步，无损耗介质中
2 E 2 E 0 2 t 2Ex 2 E x 0 2 t 2Ey 2 E y 0 2 t 2 Ez 2 E z 0 2 t
2013-12-28
U G (G n U n )dS 0 S
得
22
(G
S
U G U G U G U ) dS (G U ) dS (G U ) dS 0 n n n n n n S S
对式 G( P1 )
e
jkr01
2013-12-28 21
格林函数的选择
选格林函数为由P0 点向外发散的球面波， 于是曲面S上任一点P1处的格林函数为
G ( P1 )
S
S P0
P1
r01
e jkr01 r01
n
V
这样选取格林函数，P0点就成了有源点，此时，G在P0点处出现 不连续的情况，而格林定理是要求G在体积V内必须是连续的。 因此，为了排除在P0点函数的不连续性，我们以P0为球心，作一 半径为 的小球面 S ，格林定理中的积分体积为介于S和 S 之间的空间,而积分面则是复合曲面 S+ S S ' 由
— 隔开波源与场点的曲面
K ( ) — 倾斜因子，体现子波在
不同的方向上有不同的作用
e jkr —子波源发出的球面波 r
C
2013-12-28
—比例系数
这是几经修正和推广后的惠更 斯-菲涅尔原理的数学描述。 10
衍射基本论要解决的问题是：分析由光源 S 发出的光波，
2013-12-28
11
由电磁场理论可知，电磁波在无源点上应满足如下波动方程
2 E E 2 E 0 2 t t
进一步，无损耗介质中
2 E 2 E 0 2 t 2Ex 2 E x 0 2 t 2Ey 2 E y 0 2 t 2 Ez 2 E z 0 2 t
2013-12-28
U G (G n U n )dS 0 S
得
22
(G
S
U G U G U G U ) dS (G U ) dS (G U ) dS 0 n n n n n n S S
对式 G( P1 )
e
jkr01
2013-12-28 21
格林函数的选择
选格林函数为由P0 点向外发散的球面波， 于是曲面S上任一点P1处的格林函数为
G ( P1 )
S
S P0
P1
r01
e jkr01 r01
n
V
这样选取格林函数，P0点就成了有源点，此时，G在P0点处出现 不连续的情况，而格林定理是要求G在体积V内必须是连续的。 因此，为了排除在P0点函数的不连续性，我们以P0为球心，作一 半径为 的小球面 S ，格林定理中的积分体积为介于S和 S 之间的空间,而积分面则是复合曲面 S+ S S ' 由
标量衍射理论课件
02
该理论可以用于求解波在障碍物 后的衍射问题，通过求解每个傅 里叶分量的传播和衍射问题，可 以得到衍射的强度和方向。
03
标量衍射理论的计算方法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散 化为有限个小的、相互连接的单元， 并对每个单元分别进行求解的方法。
有限元法的优点在于能够处理复杂的 几何形状和边界条件，且易于实现并 行计算。
标量衍射理论通过求解波动方程，得到波前在空间中的分布，以及波动传播过程中 的能量分布。
标量衍射理论的应用领域
光学设计
用于设计透镜、反射镜 等光学元件，优化光学
系统的性能。
波导结构
用于分析光波在波导结 构中的传播特性，设计 光子晶体、光纤等光波
导器件。
散射问题
用于研究散射现象，如 光散射、雷达散射等， 应用于气象预报、环境
在标量衍射理论中，有限元法可用于 求解电磁波在复杂结构中的传播和衍 射问题。
然而，有限元法需要大量的内存和计 算时间，且在处理大规模问题时可能 会遇到稳定性和收敛性问题。
有限差分法
01
02
03
04
有限差分法是一种将偏微分方 程离散化为差分方程的方法。
在标量衍射理论中，有限差分 法可用于求解电磁波在均匀或 周期性介质中的传播问题。
标量衍射理论课件
• 标量衍射理论简介 • 标量衍射理论的基本原理 • 标量衍射理论的计算方法 • 标量衍射理论的应用实例 • 标量衍射理论的展望与挑战
01
标量衍射理论简介
标量衍射理论的基本概念
标量衍射理论是基于波动传播的数学模型，用于描述光波、电磁波等波动在空间中 的传播和散射现象。
该理论假设波前为标量，即不考虑波前的矢量性质，只考虑其幅度和相位的变化。
该理论可以用于求解波在障碍物 后的衍射问题，通过求解每个傅 里叶分量的传播和衍射问题，可 以得到衍射的强度和方向。
03
标量衍射理论的计算方法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散 化为有限个小的、相互连接的单元， 并对每个单元分别进行求解的方法。
有限元法的优点在于能够处理复杂的 几何形状和边界条件，且易于实现并 行计算。
标量衍射理论通过求解波动方程，得到波前在空间中的分布，以及波动传播过程中 的能量分布。
标量衍射理论的应用领域
光学设计
用于设计透镜、反射镜 等光学元件，优化光学
系统的性能。
波导结构
用于分析光波在波导结 构中的传播特性，设计 光子晶体、光纤等光波
导器件。
散射问题
用于研究散射现象，如 光散射、雷达散射等， 应用于气象预报、环境
在标量衍射理论中，有限元法可用于 求解电磁波在复杂结构中的传播和衍 射问题。
然而，有限元法需要大量的内存和计 算时间，且在处理大规模问题时可能 会遇到稳定性和收敛性问题。
有限差分法
01
02
03
04
有限差分法是一种将偏微分方 程离散化为差分方程的方法。
在标量衍射理论中，有限差分 法可用于求解电磁波在均匀或 周期性介质中的传播问题。
标量衍射理论课件
• 标量衍射理论简介 • 标量衍射理论的基本原理 • 标量衍射理论的计算方法 • 标量衍射理论的应用实例 • 标量衍射理论的展望与挑战
01
标量衍射理论简介
标量衍射理论的基本概念
标量衍射理论是基于波动传播的数学模型，用于描述光波、电磁波等波动在空间中 的传播和散射现象。
该理论假设波前为标量，即不考虑波前的矢量性质，只考虑其幅度和相位的变化。
3.1 标量衍射理论
1 cos Y l
fy 0
fx
1 cos X l
1
平面波的空间频率
fy
1 cos Y l 1 cos fz Z l
f x f y fz
2 2 2
l2Hale Waihona Puke 平面波的波矢 k 2
l
k x k y kz
2 2
2
这里的 k x k cos
第三章
标量衍射理论
傅立叶光学主要研究内容：光波作为载波，实现 信息的传递、变换、记录和再现问题。 标量衍射理论是研究上述问题的物理基础，我们 用它来研究光波传播规律。 光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍射理 论得到的结果与实际情况十分相符。 条件： 1）衍射孔径比波长大得多； 2）观察屏离衍射孔径相当远。
fx
cos
l
, fy
cos
l
通过上面几个图像，可以看出：
高空间频率信息决定图像的细节
时间频率与空间频率的比较：
时间 周期 频率 圆频率
T (s )
1 1 (s ) T
2 2 T
1
空间 单色光波
l (cm)
l
(cm 1 ) / f x cos
• 传播矢量 k 位于 x ,z 平面的平面波在 x, y 平面上的空间频率 。
（3）平面波的空间频率
平面波前相位图
两相邻等相位线在x方向的间距为 X
l
cos
x方向的空间频率用
y方向的空间频率用
1 cos f x 表示，f x X l
单位是周/mm。
标量衍射理论
x0
基尔霍夫衍射公式
n
光源 P0
θ
θ
1
2
P r0 r z
Q(x,y)
1 a0 exp( jkr0 ) cos(n, r ) cos(n, r0 ) exp( jkr) U (Q) [ ] ds j r0 2 2 r 1 exp( jkr) U 0 P K r ds U 0 PhP, Qds j
平面x y的任一光波可分解成向空间各方向传播的平面波 每一平面波成份与一组空间频率值（ξ, η）对应： 传播方向为cosα =λ ξ, cosβ =λ η ，振幅为G(ξ, η)
G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy
亦可写成：
cos cos cos cos G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
传播方向余弦为（ cosα ,cosβ ）的一般情形
u u0 exp[ jk ( x cos y cos )]
(x,y)平面等相位线
x cos y cos 常数
空间周期 d x cos cos 空间频率
dy cos
cos
Cl xl y sin c(lx ) sin c(l y )
ly y lx x sin( ) sin( ) z z Cl l sin cl , l Cl xl y x y x x lx x ly y z z
x z
y z
光强
I I 0 sin c (lx , l y)
y y0 2 1 x x0 2 z{1 [( ) ( ) ]} 2 z z
标量衍射理论
∫∫ e jkr
U(Q) = C
U0 (P)k(θ) ∑
dS r
nP
∫∫ U(Q)
1
e j kr
cos(n, r ) +1
jλ
U0 ∑
(P)
r
dS 2
r
Q
比较两式可得常数和倾斜因子分别为
C 1
j
1+ cos(n, r) 1+ cosθ
K(θ) =
=
2
2
由基尔霍夫边界条件的两个假设可知，屏外的光场U0（P）
该原理指出：光场中任一给定的隔开波源与场点的曲面上 的各面元可以看做是子波源，如果这些子波是相干的，则在波 传播的空间上的任一点处的光振动，都可以看做是这些子波源 各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
其复振幅的数学表达式为
P0
∫∫ e jkr
U(Q) = C
U0 (P)k(θ) ∑
r
dS
U0(P) 波面上任一点的复振幅
cosα cosβ
cosα cosβ
A( λ , λ ) = A0 ( λ , λ ) exp(jkz 1
cos2 α
cos2 β )
讨论：（1）当方向余弦满足下面关系式时 cos2 α + cos2 β < 1
各平面波传播一定距离z仅是引入一定的相移，而振幅不变。由 于不同方向上传播的平面波分量在到达观察平面时走过的距离 各不相同，因而产生的相移与传播方向有关。
者说空间频率大于 1/ λ 的信息，在单色光波照明下不能沿z
方向传递。
H(ξ, η) =
exp(jkz 1 (λξ)2 (λη)2 0
ξ2
3标量衍射理论
n
r P’ r’ ∑ p
z
说明： k ( ) 1 ⑴若p, p’距离孔径∑足够远，则有 ⑵ 有值 内
U( p )
0
0
外
1
⑶积分限∑ （-∞，+∞） 透过率函数 t ( x, y )
0
内 外
基于以上假设： Huggens——Fresnel原理公式可变为：
1 e U ( x, y) u t ( x 0, y ) ds 0 i r
cos cos A( , )
A0 z
2 对该频率的光波，透过孔径后，波沿垂直Z向传播，而 不沿Z传播
2、当(cos cos )＝1时，u cos 0,
2 2
3、当(cos 2 cos 2 ) 1时 E合理存在 于是有： H ( fx , f y ) exp(ikz 1 cos 2 cos 2 ) exp(ikz 1 cos cos )
球面波场中等位相线
二、单色平面波光场中任意平面上 的振幅分布 1、平面波函数
E A cos(kr t ) A exp(ikr )exp(it )
复振幅： U ( x, y, z) A exp[ik ( x cos y cos z cos )]
二、孔径对角谱的影响
1、当(cos 2 cos 2 ) 1时，u i cos 2 cos 2 1 cos cos cos cos A( , ) A0 ( , ) exp(ikz cos 2 cos 2 1)
故该情况下为一倏逝波
2 2
当f x f y
第二章 标量衍射理论
仅由惠更斯—菲涅耳原理无法解释子波 源这一特殊性质。
倾斜因子K()的具体函数形式也难以确定。
基尔霍夫利用格林函数，通过求解波动方 程，导出了严格的衍射积分公式，解决了上 述问题， 从而把惠更斯—菲涅耳原理置于更 为可靠的波动理论基础上。
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
单色光场中任意一点Q的光振动M应满足 标量波动方程
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
一般地说，不论以什么方式改变光波波面， 或是以一定形式限制波面范围 或使振幅以一定分布衰减， 或是以一定的空间分布使相位延迟， 或是兼而有之， 都会引起衍射．所以障碍物的概念除去不
透明屏上有开孔这种情况以外，还包含具有 一定复振幅的透明片．
论其脉冲响应和传递函数．
2.1 基尔霍夫衍射理论
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理与基尔霍夫衍射 公式
惠更斯—菲涅耳原理是在惠更斯子波假设 与杨氏干涉原理的基础上提出的，它是描述 光传播过程的基本原理．
该原理指出：光场中任一给定曲面上的 诸面元可以看做是子波源，如果这些子波源 是相干的，则在波继续传播的空间上任一点 处的光振动，都可看做是这些子波源各自发 出的子波在该点相干叠加的结果．
因为总可以把任意复杂的光波分解成简 单的球面波的线性组合．波动方程的线性性 质允许对每一单个球面波分别应用上述原理， 再把它们在Q点的贡献更加起来．
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条 件，孔径外的阴影区内U0(P)=0, 基尔霍夫衍 射公式的积分限可以扩展到无穷，从而有
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
当然，这里所说的光场中任一给定曲面 无须是等位相面，即不是原始惠更斯—菲涅 耳原理中所说的波面．
倾斜因子K()的具体函数形式也难以确定。
基尔霍夫利用格林函数，通过求解波动方 程，导出了严格的衍射积分公式，解决了上 述问题， 从而把惠更斯—菲涅耳原理置于更 为可靠的波动理论基础上。
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
单色光场中任意一点Q的光振动M应满足 标量波动方程
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
一般地说，不论以什么方式改变光波波面， 或是以一定形式限制波面范围 或使振幅以一定分布衰减， 或是以一定的空间分布使相位延迟， 或是兼而有之， 都会引起衍射．所以障碍物的概念除去不
透明屏上有开孔这种情况以外，还包含具有 一定复振幅的透明片．
论其脉冲响应和传递函数．
2.1 基尔霍夫衍射理论
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理与基尔霍夫衍射 公式
惠更斯—菲涅耳原理是在惠更斯子波假设 与杨氏干涉原理的基础上提出的，它是描述 光传播过程的基本原理．
该原理指出：光场中任一给定曲面上的 诸面元可以看做是子波源，如果这些子波源 是相干的，则在波继续传播的空间上任一点 处的光振动，都可看做是这些子波源各自发 出的子波在该点相干叠加的结果．
因为总可以把任意复杂的光波分解成简 单的球面波的线性组合．波动方程的线性性 质允许对每一单个球面波分别应用上述原理， 再把它们在Q点的贡献更加起来．
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条 件，孔径外的阴影区内U0(P)=0, 基尔霍夫衍 射公式的积分限可以扩展到无穷，从而有
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
当然，这里所说的光场中任一给定曲面 无须是等位相面，即不是原始惠更斯—菲涅 耳原理中所说的波面．
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k : 传播矢量 球面波: k//r
k = | k |=2p /l , 为波数。表
示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
(P(x,y,z)) y (r
k
则P点处的复振幅：
U (P) a0 e jkr r
a0: 单位距离 处的光振幅
源点S
z
0 x k: 传播矢量源自第三章 标量衍射理论§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为:
u P,t aPcos 2πnt j P
振幅
频率 初位相
光场随时间的变化关系：由频率n表征。 可见光： n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n。 严格单色光：n为常数
波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式； • 瑞利-索末菲公式的提出与完善。
概述
本章主要研究内容和特点
• 主要研究内容：
从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发， 讨论衍射问题。
• 特点：
–光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释； –将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学
系统的脉冲响应和传递函数。
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程
2u
1 c2
2 t 2
u
0
可导出复振幅满足的方程为：
(2 k 2 )U 0 即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
k 2p l
——不含时间变量的波动方程 称为波数或传播常数， 表示单位长度上产生的相位变化。
光场随空间的变化关系体现在： (1) 空间各点的振幅可能不同
(2) 空间各点的初位相可能不
光场变化的空间周期为l。
同，由传播引起。
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j (P)必须满足的关系，将光场用复数表
故引入复振幅U(P): U(P) = a(P) e jj(P)
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关；
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
会聚球面波
会聚球面波 U (P) a0 e jkr r
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S
z
0
x
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波的空间分布
P点处的复振幅:U (P) a0 e jkr r
距离 r 的表达
取决于k与r是平行 还是反向平行
若球面波中心在原点:
r x2 y2 z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波在给定平面的分布
以系统的光轴为z轴，光沿 z 轴正方向传播。所 考察的平面垂直于z 轴。
场——电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的
传播形成电磁波。
• 波动方程：
拉普拉斯算子
2
uv E
2
uv B
1 c2
1 c2
uv 2 E tu2v 2 B t 2
0(电场) 0(磁场)
传播速度
波动方程是线性的，也就是说满足该方程的基本解的线性组 合都是方程的解。可以证明，球面波和平面波都是波动方程 的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组 合表示，也都是波动方程的解。
• 光的衍射
几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。
信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引 起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级 时，衍射现象最显著。
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，必须采用矢量衍射理
示，以利于简化运算
u(P,t) = a(P){cos[2pnt - j(P)]}
= e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于
= e{a(P) e . jj(P) e -j2pnt } 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2pnt： n ~1014Hz
n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。
令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处。考察与 其距离为z的x - y平面上的光分布
概述
• 信息光学为什么要研究光的传播？
信息光学主要是研究光波作为载波，实现信息的 传递、变换、记录、和再现问题。这些研究问题 都涉及对光的传播规律的描述，所以要研究光的 传播规律。
• 光的传播规律应该用什么理论进行描述？
在课程范畴内，认为光属于电磁波，它的传播规 律是用电磁波理论来描述的。
概述
什么是标量衍射理论？
论。
概述
标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象； • 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加
可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波； • 1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算，满足叠加原理
• 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动：
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布：I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
• 电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
j(P) = k . r
k = | k |=2p /l , 为波数。表
示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
(P(x,y,z)) y (r
k
则P点处的复振幅：
U (P) a0 e jkr r
a0: 单位距离 处的光振幅
源点S
z
0 x k: 传播矢量源自第三章 标量衍射理论§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为:
u P,t aPcos 2πnt j P
振幅
频率 初位相
光场随时间的变化关系：由频率n表征。 可见光： n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n。 严格单色光：n为常数
波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式； • 瑞利-索末菲公式的提出与完善。
概述
本章主要研究内容和特点
• 主要研究内容：
从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发， 讨论衍射问题。
• 特点：
–光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释； –将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学
系统的脉冲响应和传递函数。
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程
2u
1 c2
2 t 2
u
0
可导出复振幅满足的方程为：
(2 k 2 )U 0 即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
k 2p l
——不含时间变量的波动方程 称为波数或传播常数， 表示单位长度上产生的相位变化。
光场随空间的变化关系体现在： (1) 空间各点的振幅可能不同
(2) 空间各点的初位相可能不
光场变化的空间周期为l。
同，由传播引起。
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j (P)必须满足的关系，将光场用复数表
故引入复振幅U(P): U(P) = a(P) e jj(P)
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关；
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
会聚球面波
会聚球面波 U (P) a0 e jkr r
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S
z
0
x
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波的空间分布
P点处的复振幅:U (P) a0 e jkr r
距离 r 的表达
取决于k与r是平行 还是反向平行
若球面波中心在原点:
r x2 y2 z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波在给定平面的分布
以系统的光轴为z轴，光沿 z 轴正方向传播。所 考察的平面垂直于z 轴。
场——电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的
传播形成电磁波。
• 波动方程：
拉普拉斯算子
2
uv E
2
uv B
1 c2
1 c2
uv 2 E tu2v 2 B t 2
0(电场) 0(磁场)
传播速度
波动方程是线性的，也就是说满足该方程的基本解的线性组 合都是方程的解。可以证明，球面波和平面波都是波动方程 的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组 合表示，也都是波动方程的解。
• 光的衍射
几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。
信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引 起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级 时，衍射现象最显著。
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，必须采用矢量衍射理
示，以利于简化运算
u(P,t) = a(P){cos[2pnt - j(P)]}
= e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于
= e{a(P) e . jj(P) e -j2pnt } 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2pnt： n ~1014Hz
n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。
令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处。考察与 其距离为z的x - y平面上的光分布
概述
• 信息光学为什么要研究光的传播？
信息光学主要是研究光波作为载波，实现信息的 传递、变换、记录、和再现问题。这些研究问题 都涉及对光的传播规律的描述，所以要研究光的 传播规律。
• 光的传播规律应该用什么理论进行描述？
在课程范畴内，认为光属于电磁波，它的传播规 律是用电磁波理论来描述的。
概述
什么是标量衍射理论？
论。
概述
标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象； • 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加
可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波； • 1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算，满足叠加原理
• 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动：
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布：I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
• 电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
j(P) = k . r