勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是用来求解函数在某一区间上的定积分，但是它们的定义和性质有着很大的区别。
黎曼积分是一种传统的积分方法，它把定积分的计算问题转化
为一个求和问题，即将区间分成若干小段，然后对每一小段的函数
值乘以对应小段的长度求和来逼近定积分的值。
黎曼积分只适用于
满足黎曼可积条件的函数，也就是说，被积函数必须满足有界且在
有限区间上几乎处处连续。
勒贝格积分则是一种广义积分方法，它是将区间上的函数分解
成上下两个函数，然后利用这两个函数的极限逼近来计算定积分的值。
因为勒贝格积分的定义更加宽松，所以相比较于黎曼积分，它
能够处理诸如反常积分这样的更加复杂的积分问题。
此外，黎曼积分和勒贝格积分的性质也有所不同。
例如，黎曼
积分在加积分区间时是可交换的，而勒贝格积分则不具有这种性质。
此外，勒贝格积分对于不满足黎曼可积条件的函数，也有一定的处
理能力，而黎曼积分则无法计算这些函数的积分。
综上所述，黎曼积分和勒贝格积分都是求解定积分问题的方法，但是它们的定义和性质有很大的不同。
黎曼积分只适用于黎曼可积
的函数，而勒贝格积分则更加广泛适用于各种类型的函数。
(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<==Λ10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：,0>∀δ,作M y y y m n =<<=Λ10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i Λ,2,1=若i ni i mE y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f=+，()(){}0,m in x f x f-=-,则有()()()x f x fx f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.4、 简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i Λ2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()ini iEmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x fx f -+-=,则()()()dm x f dm x f dm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件1、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<==Λ10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i Λ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i ini i m M w xw -=<∆∑=ξ1.3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件1、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑iii mEw .2、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注()()()()dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab ab a⎰⎰⎰≠.2、（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.3、（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.4、（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注 其逆命题不成立.5、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.6、若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.7、若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,m ax = ,()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ,上也黎曼可积.8、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.勒贝格积分的性质1、（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E Y 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()d x x f dx x f dx x f d x f nEEEE⎰⎰⎰⎰+++=Λ21x . 2、对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dx x f d x f EE⎰⎰≤x . 3、(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()d x x g d x f EE⎰⎰≤x . 4、()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.5、()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0x =⎰d x f E.6、(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dx x f E.7、()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0x ≥⎰d x f E.8、设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.9、()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.10、设()x f 在E 上可测,则()0x =⎰d x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.11、设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,m ax =,()(){}x g x f m ,m in =也 在E 上勒贝格可积.12、若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()d x x g dx x f EE⎰⎰=. 13、设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数14、设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 导函数在E 上几乎处处等于()x f .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dxdx f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim . ⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤Λ.⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()()Λ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11.。
黎曼积分与勒贝格积分的区别
黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分学中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
在实际应用中，常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分方式。
本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。
1. 定义黎曼积分是由德国数学家黎曼提出的，是微积分中最基本的积分形式。
对于一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上的黎曼积分定义为：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，Σ f(xi)Δxi表示对区间[a, b]进行分割，取各子区间上任意一点xi，然后求和得到的黎曼和，当分割数n趋于无穷大时，这个黎曼和的极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的黎曼积分。
而勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格提出的，是对黎曼积分的一种推广。
勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更广泛的函数类。
勒贝格积分的定义涉及到测度论的概念，需要引入测度空间的概念，因此比黎曼积分更加抽象和复杂。
2. 性质黎曼积分和勒贝格积分在性质上也有一些区别。
黎曼积分对函数的要求相对较高，需要函数在有限闭区间上有界且可积。
而勒贝格积分对函数的要求较低，只需要函数是可测的即可进行勒贝格积分。
此外，黎曼积分是通过分割区间并取极限的方式定义的，因此对分割的精细程度有一定要求，而勒贝格积分则是通过测度的概念来定义的，更加灵活和一般化。
3. 应用在实际应用中，黎曼积分和勒贝格积分各有其优势和适用范围。
黎曼积分在初等数学和物理等领域有着广泛的应用，例如计算曲线下面积、求定积分等。
而勒贝格积分则在测度论和概率论等领域有着重要的应用，能够处理更加复杂的函数和集合。
总的来说，黎曼积分是微积分中最基本的积分形式，适用于一般函数的积分计算；而勒贝格积分是对黎曼积分的推广，更加抽象和一般化，适用范围更广，能够处理更加复杂的函数和集合。
综上所述，黎曼积分和勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在一定的区别，各有其特点和适用范围。
黎曼积分与勒贝格积分
黎曼积分与勒贝格积分积分是微积分中重要的概念之一。
在实际问题中，我们常常需要求解一个区间内函数的面积或者体积。
这个过程就称为积分。
积分有很多种，今天我想和大家聊一聊黎曼积分和勒贝格积分。
一、黎曼积分黎曼积分最早是由德国的数学家黎曼提出的。
它是积分的一种基本形式，从历史上来看，黎曼积分是最早被人们所接受的一种积分形式。
黎曼积分的定义非常简单，假设有一个区间[a，b]，f(x)是[a，b]上的一个函数，我们将区间[a，b]进行分割，得到n个小区间[a1，b1]，[a2，b2]，……，[an-1，bn-1]，然后在每个小区间内分别取一点xi（ai≤xi≤bi），然后求出每个小区间上函数f(x)的取值和小区间长度之积的和，即∑f(xi)Δxi（i=1，2，……，n），当分割越来越细，n越来越大时，和式∑f(xi)Δxi的极限值就是函数f(x)在区间[a，b]上的黎曼积分。
黎曼积分的优点是在实际计算中比较简单，但它也有一些局限性，比如说不是所有的函数都可以积分，例如在非连续点处黎曼积分是没有定义的。
二、勒贝格积分勒贝格积分是20世纪初期法国的数学家勒贝格提出来的。
它是通过使用类似度量论的概念，对几乎处处连续的函数进行积分，从而将积分的适用范围扩展到了更广泛的函数上。
具体来说，假设有函数f（x），它在[a，b]上几乎处处连续，记E为f（x）在[a，b]上所有不连续点的集合。
我们可以在每个不连续点处定义一个容许误差，使得在这个误差以内f（x）可以任意变化，而在误差以外随着分割越来越细，误差的贡献趋近于0。
于是我们就得到了函数在[a，b]上的勒贝格积分。
勒贝格积分相对于黎曼积分而言，可以积分更多的函数，也避免了因非连续点而产生的积分误差。
但是它在实际计算上会稍稍麻烦一些。
三、总结黎曼积分和勒贝格积分是积分的两种基本形式。
黎曼积分在实际计算中比较简单，但不是所有函数都能够使用黎曼积分。
勒贝格积分是一种更加通用的积分形式，它可以积分更多的函数，但相对于黎曼积分而言，计算会有一些复杂。
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：,0>∀δ,作M y y y m n =<<= 10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i ,2,1=若i ni i mE y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f=+，()(){}0,m in x f x f-=-,则有()()()x f x fx f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.4、 简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i 2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()ini iEmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x fx f -+-=,则()()()dm x f dm x f dm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件1、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<== 10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i ini i m M w xw -=<∆∑=ξ1.3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件1、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑iii mEw .2、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注()()()()dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab ab a⎰⎰⎰≠.2、（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.3、（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.4、（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注 其逆命题不成立.5、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.6、若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.7、若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,m ax = ,()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ,上也黎曼可积.8、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.勒贝格积分的性质1、（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()d x x f dx x f dx x f d x f nEEEE⎰⎰⎰⎰+++=21x . 2、对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dx x f d x f EE⎰⎰≤x . 3、(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()d x x g d x f EE⎰⎰≤x . 4、()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.5、()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0x =⎰d x f E.6、(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dx x f E.7、()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0x ≥⎰d x f E.8、设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.9、()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.10、设()x f 在E 上可测,则()0x =⎰d x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.11、设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,m ax =,()(){}x g x f m ,m in =也 在E 上勒贝格可积.12、若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()d x x g dx x f EE⎰⎰=. 13、设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数14、设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 导函数在E 上几乎处处等于()x f .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dxdx f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim . ⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤ .⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()() ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ 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黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系之欧阳体创编
分0172.2偽201201064444原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：年月曰论文指导教师签名：黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系摘要：介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念，通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析，结合具体实例，说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系.关键词：黎曼积分;勒贝格积分;可测函数;可积函数.The Differences and Relations Between the Riemann Integral andLevesquelntegralAbstract: In this paper, the definitions of the Riemann integral and Levesque integral are introduced, Compared with the existences of conditions, the elementary properties, the classes of the integral function and the associated conclusions of the two integrals, The differences and relations between the Riemann integral and Levesqueintegral are given・Meanwhile, the example corresponding to each conclusion is also resented・Keywords：Riemann integral; Levesque integral; measurable function; integral function1引言11.1微积分的发展史11.2黎曼积分与勒贝格积分的引入22黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系52.1黎曼积分和勒贝格积分定义的比较52.2黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较82. 3黎曼积分与勒贝格积分的性质比较102. 4黎曼可积函数类与勒贝格可积函数类132.5黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较143黎曼积分与勒贝格积分的主要联系164文章总结和展望174. 1文章总结174.2文章展望17参考文献18致谢19黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系1引言1.1微积分的发展史积分学的历史很早，它起源于求积问题，真正成为积分学萌芽的X属阿基米德的工作，他在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积，其方法是逐次做出与该弓形同底等高的三角形，然后将这些三角形的面积加起来，之后的很多年虽然微积分的奠基工作一直在紧锣密鼓的进行着，但其中还是存在不少的缺陷，直到17世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨创立了微积分学，关于积分中怎样理解无穷小的困扰直至柯西,海涅等人的实数理论及一致连续性的提出，才完成了微积分严密化的任务.牛顿将微分的思想用到积分上，得出积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算，也发展了不定积分的思想，莱布尼茨从积分思想看出积分运算是微分运算的逆,得到了牛顿一莱布尼茨公式，即设F⑴是/(x)的不定积分，则有成立jf(x)dx = F(b)-F(a).此公式使得积分的计算大为简便，是积分运算系统的处理方法.微积分成了真正可以应用的理论了.1.2黎曼积分与勒贝格积分的引入数学史上提出用分割区间，做和式的极限来明确的定义积分的是A. Cauchy, 他考察的积分对象是在肚切上的连续函数•并用连续函数的中值性质推导积分的存在性,A. Cauchy所做的积分存在性的证明只适用于函数至多有有限个不连续点的情形,于是对无穷多个不连续点的函数的存在性问题引起很多专家学者的兴趣,对积分发展起推动作用的是J.Fourier关于三角级数的工作，它指出定义在上的函数/(x)可表示为/(x) ="% + £(a… cosnx + 乞sin nx).n-1其中,这一结果虽然缺乏严格的论证,但当时在物理学上的成功应用引起了数学界的极大重视，后来Ddrboux 乂得出如下结论.设f(x)是定义在[«,/?]±的有界函数，做划分△: a = x()< < < x n = /?, =sup{/(x),x._l <x< 兀}, 叫=inf {f(x\兀」<x<x^ i = 1,2,…r-ln b b _S = Zm i(x i -兀_J 下积分打(x)dx = inf S，上积分J f(x)dx = sups，若有则在［“上］上是黎曼可积的.黎曼积分的重要性是显然的，它对处理诸如逐段连续的函数以及一致收敛的函数是足够的，并至今仍突然是微积分课程的主要内容，然而，随着理论工作的深入，人们越来越多的接触到具有各种“奇特”现象的函数，这对在研究函数的可积性及积分理论出现了很多困难.比如(1)可积函数的连续性我们知道,函数的可积性等价于limf叫心,=0,它涉及分割子区间的长度及函数在其上的振幅两个因素，若上是成立即就是在分割加细时，其振幅不能缩小的那些相应项的子区间的长度之和可以很小，山以前知识，函数振幅的大小与其连续性有关，即函数的不连续点可用长度很小的区间包围，所以黎曼积分的理论基础是以“基本”连续的函数为对象的.⑵极限与积分交换次序问题在处理极限与积分交换次序问题中黎曼积分的数学期望不是很高.例1.1加<知1,2…)-<x<\lim f n(A) = 0,显然J liin f n(x)dx = 0,而lim j f n(x)dx= lini —.当a n = n，时lim —.""2n 2此时，积分与极限不能交换次序，只有当件TO时，即—致收敛极限与积分才交换.引理1.1(，］(有界收敛定理)设/;I(A)H =1,2,…是定义在上肚列的可积函数.〈i〉I fn (x) I < A/(/? = l,2, :< ii〉/(x)是定义在上的可积函数且有lim£(x) = /(x).n—这里极限与积分交换次序不仅受到兀(HSM("T2…炸肚血的限制，而且还必须假定极限函数的可积性.这说明黎曼积分的定义太窄了.以上例子可以看出黎曼积分虽然比较简单，但如果考虑可能在一个零测度集上不连续黎曼可积函数本来就自然的结果很难证明，其至不成立，尤其是积分号下求极限黎曼可积函数类缺乏完备性.随着微积分学的发展，人们越来越感觉到它有很大的局限性，尤其是随着集合论的一系列工作的创始，出现一些病态函数，在研究它们的可积性时，黎曼积分迎来新的挑战.例1・2狄里克雷函数D(x),由定义可证D⑴不是黎曼可积的,因此必须扩大积分范圉.⑶关于微积分基本定理在微积分学基本定理(广⑴心=中广⑴必须是可积得，但我们知道存在可微且导数有界的函数，其导数不是黎曼可积的，因此限制了微积分基本定理的应用范围.随着数学的发展，人们发现很多问题在黎曼积分中都得不到圆满的解决，科学的不断前进,积分论再进一步革新，勒贝格在Borel测度思想的指导下，也吸收了Jordan和Peano 的思想，建立了测度论，在可测集上定义了可测函数,并证明了在区间上的连续函数都是可测函数，利用黎曼积分对定义域的分割方法,考虑到间断点造成的困难，勒贝格大胆的改变了黎曼积分对定义域的分割方法，而采用对值域的分割，从而缩小振幅,消除了间断点的困难，在二十世纪提出了勒贝格积分,它为现代分析学打开了大门，勒贝格积分的提出是许多问题迎刃而解了.我们知道勒贝格积分是引入测度来推广长度，与黎曼积分比较，勒贝格积分虽然有很多优点,但任何一种理论都不是十全十美的，它也有缺点，比如在应用时测度比长度就要麻烦，反常积分是不存在的等等.2黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系2. 1黎曼积分和勒贝格积分定义的比较定义2.1.1 (黎曼积分和勒贝格积分的定义)黎曼积分的定义是从求曲线下方图形的面积入手的,其定义为:设/(x)在上有界，对做分割T = {a = x i)<x l<--<x n= b},将区间分成n部分，在每个小区间［兀,兀+i ］上任取一点£, i = 1,2,…作和s = 畑- %,).r-1称它为属于分割的黎曼和，令T = max|x/+1 -x；|, Ax, = |x f+1 -x,|,当||7'|| = max(Ax f} f1 一 (二丿？0时,若该式趋于有限极限，则称/(x)在［匕闰上可积记作b/ = “(恥•a其精确的数学定义为凶:设/⑴在肚切上的函数,J是一确定的数，若对任意的纟总存在3>0,使得k，b］上的任意分割T以及任意选取的您}，只要卩|| <5时漏于T的积分和$ =乞f(§ X心-兀)都满足卜-丿| <歹，则称/⑴在［恥］上可积，称J/-I为则称/(0在上在上的定积分记作黎曼积分的思想是“分割，求和，近似代替，取极限”，这里的分割是对定义域的分割，对黎曼积分还有另一种定义.定义2.1. 2设f(x)在［a,切上有界，对［恥］做分割,T = {a = x0<x i<--<x lt= b}9 其中令=sup{/(_4xwg},“ = inf {/(A),X e },Av, =|和一引"=£加血-殆)S =》Mj(兀-兀_J,若有则称/(0在肚切上黎曼可积.定义2丄3山我们已知，测度是长度的推广，启发我们若要将黎曼积分推广可以考虑将区间推广到测度空间，对于被积函数按照黎曼积分的思想,必须使的在分割区间以后在尽可能多的区间上函数振幅足够小，这使得具有较大震荡的函数被排除在外,勒贝格大胆的采用逆向思维的方法，从值域入手，提出勒贝格积分，即V5>0,作in = >*0V,)、v…儿=M，其中|>; 一治| jn分别为/(x)在E上的上界和下界，令& = < /(x) < )： },(, = 1,2,…〃)若lim 为y i_}mE l存在，则/(x)f U /.］勒贝格可积.一般的可测函数的积分定义为：设在可测集E上可测，若记/ + (x)=max{/(x),0} , /~(x)=nin{-/(x),0},则有f(x)=f+(x)-f-(x),若j /+(%X V j 不同时为8，则/(X)在E上的积分确定且J J f~(x)dx.E E E山简单函数可以逼近可测函数，可先给出简单函数的勒贝格积分定义,再写出其它类型函数的勒贝格积分定义.定义2・1.4也(简单函数的勒贝格积分定义)设/(Q是可测集E上的非负简单函数，于是有对E的划分EJ = 1,2-n, f(x)在上的取值为c：,则/心)=f c必；，定1-1义f(x)的勒贝格积分为j* f Cj”迟•，若f f(x\hn < s侧称/(x)在E■上E f-l E勒贝格可积.定义2.1.5^ (非负可测函数的勒贝格积分定义)取E上的非负简单函数列/… (“对任意的xe£,/…(A)都收敛于/(x)，则/(A)在E上勒贝格可积其积分为怛“3加=]7("加•E E对一般的函数由于f(x)=厂⑴一厂⑴,则\f + (Q加 - J 厂(J加=JE E E若左端的两个积分值都有限时，称/(x)在E上勒贝格可积.勒贝格积分是建立在测度论的基础上,可以处理有界或无界的悄形，而且函数可以定义在更一般的点集上•山以上两大积的分定义,他们主要的不同是源于他们的划分区域不同，山于勒贝格积分是对黎曼积分的推广，所以凡是黎曼可积的函数一定勒贝格可积，但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.例2.1.1 D(x)不是黎曼可积的,但它是勒贝格可积的，且积分为0.可用下面直观的例子说明黎曼积分与勒贝格积分在定义方面的差异.例2.1.2用硬币兑换纸币.假设有5000枚硬币需要兑换成纸币,每一枚硕币的面值分别为0.01元,0.02元,0.05元,0.1元,0.2元,0.5元,1元中的一个，要兑换需计算总币值，计算总币值有两种方法，第一种是一个个硬币的币值逐个相加,第二种是把所有的硬币按币值分为7类，讣算每一类币值再相加.明显的方法一中体现的是黎曼积分的思想，方法二则体现的是勒贝格积分的思想.黎曼积分是将给定的函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是通过划分函数的值域而产生的，前者的优点是Av f. =|x,.+I-x,.|的度量容易给出，但当分割的细度加细时，函数在的振幅仍可能较大，后者的优点是函数在上的振幅较小，从而扩展了可积函数类，使许多问题迎刃而解，但一般不再是区间，而是可测集，其度量一般不容易给出，对定义域和值域的划分是这两大积分最本质的区别.2. 2黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较2. 2.1黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在上的/⑴黎曼可积的必要条件是/（X）在k，b］上有界.注任何黎曼可积的函数必有界，但有界函数不一定黎曼可积.㈡黎曼可积的充分必要条件1•设/（Q是定义在k，b］上的有界函数，则/（X）黎曼可积的充分必要条件为/（0在［d,b］上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设/U）在［d,b］上有界,T = {a = X。
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。
它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。
首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下：
$$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf
\left(x_i\right)\Delta x_i$$
其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。
而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下：
其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。
从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。
此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。
但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。
黎曼积分与勒贝格积分的区别
黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、计算函数的平均值等。
在实际应用中，常常会遇到需要对不同类型的函数进行积分的情况。
而黎曼积分和勒贝格积分是两种常见的积分方法，它们在定义和适用范围上存在一些区别。
本文将详细介绍黎曼积分和勒贝格积分的区别。
一、黎曼积分黎曼积分是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，是最早被广泛应用的积分方法之一。
黎曼积分的定义是通过将区间[a, b]分成若干小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，计算函数在这些样本点处的取值与小区间长度的乘积，再将这些乘积相加得到的极限值。
黎曼积分的计算公式如下：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，n是将区间[a, b]分成的小区间的个数，xi是每个小区间上的样本点，Δxi是每个小区间的长度。
黎曼积分的优点是定义简单，易于理解和计算。
但是，黎曼积分的适用范围有限，只能对一些特定类型的函数进行积分。
对于某些函数，黎曼积分可能不存在或者无法计算。
二、勒贝格积分勒贝格积分是由法国数学家勒贝格在20世纪初提出的，是对黎曼积分的一种推广。
勒贝格积分的定义是通过将函数的定义域分成若干个可测集，然后在每个可测集上计算函数的上积分和下积分，如果上积分和下积分相等，则称该函数是勒贝格可积的，其积分值即为上下积分的公共值。
勒贝格积分的计算公式如下：∫f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ+ -∫[a, b] f(x) dμ-其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，dμ是勒贝格测度，∫[a, b] f(x) dμ+和∫[a, b] f(x) dμ-分别是函数f(x)在积分区间上的上积分和下积分。
勒贝格积分的优点是适用范围广泛，可以对几乎所有的函数进行积分。
勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更复杂的函数和测度空间。
勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别
勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。
首先介绍一下在有界函数范围内，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。
⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。
⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。
⑷缺乏单调收敛。
鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。
1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。
那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。
在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。
首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。
其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。
下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。
关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。
设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。
黎曼积分与勒贝格定理
黎曼积分与勒贝格定理积分是高中数学中常见的概念。
但是，高中所学习的积分仅限于定积分和不定积分。
定积分是将函数沿一个区间上的曲线围成的面积作为函数在该区间上的积分值；不定积分是给定函数，求出一个新的函数，它的导数就是原函数。
然而，这两种积分方式都是基于实数集上的，无法处理某些函数在所有实数点处都没有定义的情况。
因此，需要引入黎曼积分和勒贝格定理。
一、黎曼积分黎曼积分的定义是：对于一个有界函数f(x)和定义域[a, b]的区间，将该区间分成n个小区间[a0, b0], [a1, b1], ..., [an-1, bn-1]，其中a=a0<b0<a1<b1<...<bn-1<b=n，将每个小区间分别乘以函数值的平均数，然后将所有小区间的积加起来，以这个和逼近该区间上的积分值。
当小区间数量趋近于无穷时，黎曼积分的定义域就变为实数集，可以处理实数集上的所有有界函数，且黎曼积分是线性的、可加的、对称的。
二、勒贝格定理然而，黎曼积分并不能处理某些非常规函数，如Dirichlet的函数。
为了解决这个问题，勒贝格定理被提出。
勒贝格定理的基本思想是在分割区间上进行划分，使得区间长度越来越小，同时令每个小区间上的函数差异越来越小。
这个过程被称为分割区间的细分。
在勒贝格定理中，将函数的可积性定义为上积分和下积分的差值不超过ε，ε为一个任意小的正数。
上积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最大的点相乘，下积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最小的点相乘。
勒贝格定理的唯一缺点是不能计算所有函数的积分值，但它可以保证对于所有可积函数，积分的解是唯一的。
三、黎曼积分和勒贝格定理的联系尽管黎曼积分和勒贝格定理的定义方式不同，但它们有很多相似之处。
首先，它们都可以处理有界函数；其次，都是线性、可加、对称的定理。
黎曼积分和勒贝格定理的区别在于它们如何处理不可数函数。
黎曼积分可以处理初等函数，但无法处理瑕积分。
Riemann积分 Lebesgue积分
从Riemann 积分到Lebesgue 积摘 要 积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。
本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键词 黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系一、Lebesgue 积分的引入1、R 积分的定义 设()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取区间的一个划分T012n a x x x x b =<<<<=将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和11(ζ)()ni i i i S f x x -==-∑令11max()i i i nr x x -≤≤=-，如果对任意的分发与ζi 的任意取法，当0r →时，S 趋于有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为()baI R f x dx=⎰如果设=sup{f(x):};=inf{f(x):}则有f （x ）在[a,b]上Riemann 可积1()lim n bi i ar i f x dx M x →=⇔=∆∑⎰=01lim ()nbi i ar i m x f x dx →=∆=∑⎰⇔对任意的ε,η>0,总存在一个划分T ，使得对任意的划分，只要比T 更精细，则有所有振幅≥ε的小区间的长度之和小于ε。
注：振幅为区间内任意两点距离的上确界。
2、Riemann 积分的局限性a 、从Riemann 可积的充分必要条件可看出, 可积性涉及到分割小区间（1,i i x x -⎡⎤⎣⎦）的长度以及函数在其上的振幅（）。
若要函数可积, 则在r 趋于0的过程中（）不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小。
也就是说, Riemann 函数的不连续点可用长度为任意小的区间簇覆盖, 粗略地说, Riemann 可积函数必须是“ 基本上是连续的”b 、积分运算不完全是微分运算的逆运算（微积分基本定理的条件太严） 微积分基本定理在微积分理论中起的重要作用是不言而喻的。
从定义出发看黎曼积分和勒贝格积分
从微分、积分的角度谈谈R 积分与L 积分的关系一、从黎曼积分到勒贝格积分勒贝格积分是20世纪初（1902年）法国数学家勒贝格提出来的，它的发展比数学分析中所讲的黎曼积分（1854年）要迟半个世纪.我们知道，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要的作用，但是这些都限于古典范围.近代物理与概率论的发展，要求更为精密的数学工具.而且可以说，黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数，这对量子力学中的物理量与一般随机量的数学期望值来说显然是不够用的.就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样方便.用勒贝格积分处理这一类问题是相当灵活深刻与自然的.在数学史上，正是由于这一类问题的提出，才促使勒贝格积分的产生.事实上，如果不用勒贝格测度概念，数学分析中的一些道理很难讲清楚，所以我们的前辈们在黎曼积分的基础上发展出了勒贝格积分.二、从定义出发看黎曼积分和勒贝格积分1、ℜ积分的定义设在f []b a ,上有界，对[]b a ,作分割}...{10b a T x x x n <<<<==即[]b a ,=nk kE1=.其中令}),(sup{E Mk kx x f ∈=，}),(inf{E m kkx x f ∈=，x x x k k k 1--=∆，],[101x x E =，],[1x x E k k k -=，n k ...3,2=x M k nk k T f s ∆=∑-1),( x m k nk k T f s ∆=∑-1),(}inf{)()(），（T f s dx x f R ba=⎰，),(sup{)(T f s dx x f R ba=⎰）（分别称为)(R 上积分和)(R 下积分，如果)(R 上、下积分存在且相等，则称)(x f 在[]b a ,上R 可积.将R 上、下积分的公共值记为)(x f 在[]b a ,上R 的积分，记为⎰ba dx x f R )()(.我们说黎曼积分的定义是从求曲边梯形的面积引入的，我们回忆一下其最原始的概念。
勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别
勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。
在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。
勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。
它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。
它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。
关键词：勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分1、定义1.1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210Λ将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-Λ1x ∆ 2x ∆ Λ n x ∆2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，若()i ni i T x f ∆∑=→10lim ξ存在()()∑⎰=→∆=ni iiT baxf dx x 10lim ξ1.2勒贝格积分定义设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E Λ21为E 的n 个互相不相交的可测子集且Y ni i E 1E ==称{}n E E E D Λ21=为E 的一个L-分划2）设{}n E E E D Λ21=，{}''2'1'D n E E E Λ=均为E 的一个L-分划，若对''D E ∈∀存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细（D D 是'的加细）3）设{}n E E E D Λ21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i ni i mE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==n i i i mE B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和2黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别黎曼积分和勒贝格积分是微积分中的重要概念，它们的联系与许多定理有着密不可分的关系，这篇文章首先将简要介绍它们的概念，然后讨论它们之间的联系和区别。
黎曼积分指定义在定义域上函数及其导数组成的可积函数，它的定义源于数学家黎曼的研究，主要包括类连续型函数及其衍生物的积分，这样的积分的计算可以方便的由柯西积分和分部积分来实现。
勒贝格积分（Leibniz Integral）又称作定积分，是微积分中极为重要的概念，它可以用来对被积函数与定义域范围内的某一点（通常作为积分上限）上的值作出定义，从而计算出函数在定义域内满足某种约束条件时的定量结果。
它是科学家勒贝格早期研究的体现，这类积分具有可积性、同参数性等特征。
黎曼积分和勒贝格积分之间的联系非常密切，它们最主要的区别在于它们的定义方式。
首先，它们各自的定义条件是不同的，前者要求函数及其导数连续，而后者则要求函数及其定义域范围内某一点上的值作出定义。
其次，在实际计算上，勒贝格积分更加困难一些，因为在函数的定义域范围内的某一点上的值的定义需要更多的计算才能得出，而黎曼积分则只要求函数及其导数的连续性，因此，计算上较为简单。
它们之间的联系也非常密切，首先，黎曼积分也可以用于计算勒贝格积分，它们都可以把复杂的积分分解为一系列更简单的积分
从而求得最终结果；其次，黎曼积分和勒贝格积分之间也存在多种比较关系，比如黎曼积分是微分方程的特殊形式，勒贝格积分也可用于定义解决特殊的积分问题。
总的来看，黎曼积分和勒贝格积分都是微积分中非常重要的概念，它们之间存在着一定的联系，而且在计算上也相互交互。
正是因为它们之间的联系，使得它们在实际计算中经常运用到一起，这样就可以更好地求解复杂的积分问题。
(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
4 iiiiniimMwxw1. 3、设xf是定义在ba,上的有界函数,则xf黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某一分割T,使得 TsTS成立. 4、定义在ba,上的函数xf黎曼可积的充分必要条件为xf在ba,上的一切间断点构成一个零测度集. 注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件 1、设xf是定义在可测集E上的有界函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为0,总存在E的某一分割D,使得 iiimEw. 2、设xf是定义在可测集E上的有界函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为xf在E上勒贝格可测. 3、设xf在ba,上的黎曼反常积分存在,则xf在ba,上勒贝格可积的充要条件为xf在ba,上的黎曼反常积分存在,且有 babadxxfdmxf,. 4、设xfn为E上的可测函数列,xfn在E上的极限函数几乎处处存在,且MdxxfEn,则xf在E上勒贝格可积. 5、设xf是是定义在可测集E上的连续函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为xf在E上勒贝格可测. 黎曼积分与勒贝格积分的性质比较 黎曼积分的性质
勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别
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浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别
浅谈Lebesgue积分与Riemann 积分的联系与区别浅谈Lebesgue 积分与Riemann 积分的联系与区别有人说，Lebesgue 积分是Riemann 积分的推广。
然而对广义Riemann积分来说，Riemann 积分的可积性并不意味着Lebesgue 积分的可积性。
那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回顾一下两种积分的定义。
一、积分定义Riemann 积分定义 假设)(x f y =是区间[]b a ,上的函数，若存在某个常数A ，使得对区间[]b a ,的任意分割：b x x x a n =<<<= 10及任意[],1,,1,0,,1-=∈+n i x x i i i ξ只要{},0max 110→-+-≤≤i i n i x x 就有A x xf i i n i i→-+-=∑)()(11ξ则称f 在[]b a ,上Riemann 可积。
Lebesgue 积分定义 设n R E ⊂是测度有限的可测集，f 是定义在E 上的有界可测函数，即存在R ∈βα,,使{}).,()()(βα⊂∈=E x x f E f 若βα=<<<=n l l l D 10:是[]βα,得任一分点组，则记{}{}k k k k k l x f l x E E l l D ≤<=-=--)(,max )(11δ，对任意k k k k l l ≤≤-ξξ1,，作和式 ε<-A D S )(， 则称f 在E 上是Lebesegue 可积的。
若)(x f 是E 上的可测函数，且∞<mE ，如果-+f f ,在E 上的积分至少有一个不为∞+，则称)(x f 在E 上有积分，并记.)()()(dx x f dx x f dx x f EEE⎰⎰⎰-+-=若⎰Edx x f )(为有限数，则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积。
二、L 积分与R 积分的联系由于在通常意义下的R 可积性意味着L 可积性，所以我们有定理 如果有界函数)(x f 在闭区间[]b a ,是R 可积的，则)(x f 在[]b a ,也是L 可积的，且[]⎰⎰=bab a dx x f dx x f )()(,，此处[]⎰ba dx x f ,)(表示f 在[]b a ,上的L 积分，⎰badx x f )(表示f 在[]b a ,上的R 积分。
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
浅谈R积分和L积分的联系与区别数学学院数学与应用数学（师范）专业 2009级某某指导老师某某摘要：积分在整个分析数学中有着重要的地位，现有的积分有两种形式：一种是作为研究数学分析中心内容的黎曼积分（简称R积分），一种是作为研究实变函数核心内容的勒贝格积分（简称L积分），这两类积分既有密切的联系，又有本质的区别。
本文主要是从黎曼积分和勒贝格积分的定义出发，进行分析和比较，利用实例来归纳总结出它们的联系与区别。
关键词：黎曼积分；勒贝格积分；联系；区别Abstract: Integral plays a critical role in the whole of Analytic Mathematics. And the current integration has two forms: one is the Riemann integral (R integral) which is regarded as the central content of the study of the mathematical analysis. The other one is the Lebesgue integral (L integral) which is regarded as the core content of the study of the real variable function. The two kinds of integral not only have the close relations but also have the essential differences. According to the definition of the Riemann integral and the Lebesgue integral ,this paper analyses and makes a comparison with the definitions, which uses some examples to summarize their relations and differences.Key words:Riemann integral; Lebesgue integral; relation; difference1 引言积分学的历史很早，它起源于求积问题。
最新勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别
勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。
首先介绍一下在有界函数范围内，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。
⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。
⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。
⑷缺乏单调收敛。
鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。
1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。
那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。
在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。
首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。
其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。
下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。
关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。
设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。
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勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。
首先介绍一下在有界函数围，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。
⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。
⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间对函数进行积分。
⑷缺乏单调收敛。
鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。
1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。
那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。
在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。
首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。
其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。
下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。
关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。
设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。
定义2：设E 是一个勒贝格可测集，()m E <∞，()f x 是定义在E 上的勒贝格可测函数，又设()f x 是有界的，就是说是否存在l 及μ，使得()(,μ)f E l ⊂，在[],μl 中任取一分点组D10μn l l l l =<<<=,记11()max()k k k nD l l -≤≤δ=- 1(())k k kE E l f x l -=≤<,并任取ζi k E ∈（我们约定，当k E =Φ时，(ζ)()0i k f m E =），作和1()(ζ)()ni k k S D f m E ==∑如果对任意的分法与ζi 的任意取法，当()0D δ→时，()S D 趋于有限的极限，则称它为()f x 在E 上关于勒贝格测度的积分，记作()EJ f x dx =⎰. 定义3：设)(x f 是n R E ⊂ ()∞<mE 上的有界可测函数。
作E 的任意分割E D := ni i E 1=,其中i E 为互不相交的非空可测子集。
设)(inf ),(sup x f A x f B ii E x i E x i ∈∈==,则D 的大和及小和为∑∑====ni i i D n i i i D mE A s mE B S 11,设)(x f 在E 上的上下积分为D DE D D E S dx x f s dx x f inf )(,sup )(==⎰⎰--若⎰⎰=-EE dx x f dx x f )()(则称)(x f 在E 上是可积的,且称该共同值为)(x f 在E 上的Lebesgue 积分,记为⎰Edx x f )(。
为了便于与R 积分的定义比较我罗列了L 积分的三种定义，这三种定义是等价的。
由定义1定义L 积分的方法可称为逼近法，所谓逼近法就是从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法. 由定义2、3定义L 积分的方法可称为划分法，所谓划分法就是类似于R 积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上给出L 积分。
对于定义1的逼近法比较繁琐但是这种定义易于与R 积分的定义比较，下面是R 积分的定义。
1．2 黎曼积分的定义不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。
这就是黎曼积分定义的大概描述。
严格定义如下：定义1：S 是函数f 在闭区间[],a b 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的0ε>，都存在0δ>，使得对于任意的取样分割01011,,,;,,,n n x x x t t t -只要它的子区间长度最大值λδ≤ ，就有： 110()()n ii i i f t x x s ε-+=--<∑也就是说，对于一个函数f ，如果在闭区间[],a b 上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f 的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f 在闭区间[],a b 上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f 为黎曼可积的。
这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。
定义2设()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取一分点组T012n a x x x x b =<<<<=将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和11(ζ)()ni i i i S f x x -==-∑令11max()i i i nr x x -≤≤=-，如果对任意的分发与ζi 的任意取法，当0r →时，s 趋于有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为()ba I R f x dx =⎰ 定义3：s 是函数f 在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的0ε>，都存在一个取样分割01011,,,;,,,n n x x x t t t -，使得对于任何比其“精细”的分割01,,,n y y y 和 01,,,n s s s ，都有： 110()()m ii i i f s y y s ε-+=--<∑如果有一个s 满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。
首先，如果有一个s 满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值λδ≤的分割中任取一个。
对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δ，于是满足：110()()m ii i i f s y y s ε-+=--<∑上面对黎曼积分的三种定义都是等价的。
首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的（具体见达布积分定义）其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。
任选一个分割01,,,n x x x 使得它的上达布和与下达布和都与s 相差不超过2ε 。
令r 等于01max ()i i i n M m ≤≤--，其中i M 和i m 是f 在[]1,i i x x +上的上确界和下确界。
再令δ是2m ε和01min ()i i i n M m ≤≤--中的较小者。
可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于δ时， f 关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差2ε，所以和s 至多相差ε。
由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。
从定义上看，它们的主要区别是：R 积分是“竖”着分割区间[],a b ，而L 积分是“横”着分割值域[],L M .前者的优点是1,i i i x x -⎡⎤∆=⎣⎦的度量容易给出，但当分法的细度T 充分小时，函数()f x 在i ∆上的振幅sup ()inf ()ii i x x f x x →∆∈∆δ=-仍可能较大；后者的优点是函数()f x 在k E 上的振幅sup ()inf ()()kk k x E x E f x f x D δδ∈∈=-≤较小，但k E 一般不再是区间，而是可测集.其度量()k m E 的值一般不易给出.对定义域与对值域的分割是R 积分与L 积分的本质区别，对值域进行分割求积分的方法使E 中的点分成几大类，更简单明了.另外，L 积分理论是在测度理论的基础上建立的,测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅限于[],a b 上.然而就是这一点点的差别，使这两种积分产生了本质的区别,使勒贝格积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质.这在下面的讨论中可以很清楚的看到.2．关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的计算比较前面介绍的L 积分定义显然过于理论化，很难看出有固定的计算稳定。
L 积分是否只有理论上的意义呢？当然不该如此，下面的容我们讨论黎曼可积与勒贝格可积之间的联系，再利用这种关系给出一些简单情况下的积分计算方法。
先约定一些符号，设f 是[]b a ,上的有界函数，V 是非退化区间，记[]{}[]{} b a V x x f V m b a V x x f V M f f ,|)(inf )(,,|)(sup )( ∈=∈=)()(V m V M f -=ω{}V x V V x f ∈=是开区间，且|)(inf )(ωω称)(V f ω是f 在[]b a V , 上的振幅，)(x f ω是f 在点x 处的振幅。
当函数f 确定时，)(V f ω与)(x f ω简记为)(V ω与)(x ω。
我们有这样几个定理[1]：定理1： 设f 是定义在[]b a ,上的函数，0>δ，则(1)对任意[]b a x ,∈，f 在点x 连续当且仅当0)(=x ω(2)集合[]{}δω≥∈)(|,x b a x 是闭集。
定理2：区间[]b a ,上的有界函数f 黎曼可积的充要条件是集合[]{}0)(|,≥∈x b a x ω的测度为0.定理3: 若有界函数f 在[]b a ,上黎曼可积，则f 在[]b a ,上也是勒贝格可积，且积分值相等，即[]⎰⎰=b a b a dx x f dx x f R ,)()()(定理2说明L 积分是R 积分的推广，定理3说明对于非负函数而言L 积分也是R 反常积分的推广，但是一般情况下L 积分并不是R 反常积分的推广，这主要因为L 积分是绝对收敛的积分而收敛的R 反常积分并不一定绝对收敛。
所以不能以为L 积分包括了R 积分就得出L 积分比R 积分优越的结论。
然而L 积分对于R 积分来讲确实有本质上的进步。