勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别

勒贝格积分的若干简介

我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。

首先介绍一下在有界函数围，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：

⑴R 积分与极限可交换的条件太严。

⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。

⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间对函数进行积分。 ⑷缺乏单调收敛。

鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。

在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。

下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。

关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较

1.1勒贝格积分的定义[3]:

定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞

的Lebesgue 积分()()()sup ():()x E

h x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函

数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰E

dx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。 设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-E

dx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=E

E E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。

定义2：设E 是一个勒贝格可测集，()m E <∞，()f x 是定义在E 上的勒贝格可测函数，又设()f x 是有界的，就是说是否存在l 及μ，使得()(,μ)f E l ⊂，在[],μl 中任取一分点组D

10μn l l l l =<<<=,

记

11()max()k k k n

D l l -≤≤δ=- 1(())k k k

E E l f x l -=≤<,

并任取ζi k E ∈（我们约定，当k E =Φ时，(ζ)()0i k f m E =），作和

1()(ζ)()n

i k k S D f m E ==∑

如果对任意的分法与ζi 的任意取法，当()0D δ→时，()S D 趋于有限的极限，则称它为()f x 在E 上关于勒贝格测度的积分，记作

()E

J f x dx =⎰. 定义3：设)(x f 是n R E ⊂ ()∞

i i E 1=,其中i E 为互不相交的非空可测子集。设

)(inf ),(sup x f A x f B i

i E x i E x i ∈∈==,

则D 的大和及小和为∑∑====n

i i i D n i i i D mE A s mE B S 11,设)(x f 在E 上的上下积分为

D D

E D D E S dx x f s dx x f inf )(,sup )(==⎰⎰--

若⎰⎰=-E

E dx x f dx x f )()(则称)(x f 在E 上是可积的,且称该共同值为)(x f 在E 上的Lebesgue 积分,记为⎰E

dx x f )(。 为了便于与R 积分的定义比较我罗列了L 积分的三种定义，这三种定义是等价的。由定义1定义L 积分的方法可称为逼近法，所谓逼近法就是从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法. 由定义2、3定义L 积分的方法可称为划分法，所谓划分法就是类似于R 积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上给出L 积分。对于定义1的逼近法比较繁琐但是这种定义易于与R 积分的定义比较，下面是R 积分的定义。

1．2 黎曼积分的定义

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。这就是黎曼积分定义的大概描述。严格定义如下：

定义1：S 是函数f 在闭区间[],a b 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的0ε>，都存在0δ>，使得对于任意的取样分割01011,,

,;,,,n n x x x t t t -只要它的子区间长度最大值λδ≤ ，就有： 110()()n i

i i i f t x x s ε-+=--<∑

也就是说，对于一个函数f ，如果在闭区间[],a b 上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f 的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f 在闭区间[],a b 上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f 为黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。

定义2设()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取一分点组T

012n a x x x x b =<<<<=

将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和

11(ζ)()n

i i i i S f x x -==-∑

令11max()i i i n

r x x -≤≤=-，如果对任意的分发与ζi 的任意取法，当0r →时，s 趋于有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为

()b

a I R f x dx =⎰ 定义3：s 是函数f 在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的0ε>，都存在一个取样分割01011,,

,;,,,n n x x x t t t -，使得对于任何比其“精细”的分割01,,,n y y y 和 01,,,n s s s ，都有： 110()()m i

i i i f s y y s ε-+=--<∑