等差数列与等比数列复习小结
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的项数关系
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的项数关系等差数列和等比数列是高中数学中重要的概念，它们在各种数学问题和实际应用中具有广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的项数关系进行总结。
一、等差数列的项数关系等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
常用的表示方法为an = a1 + (n - 1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的前n项求和公式等差数列的前n项求和公式是非常重要的，它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项之和。
前n项求和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
2. 等差数列的项数关系对于等差数列，我们常常需要根据已知条件求出项数n。
项数n的计算方法如下：n = (an - a1) / d + 1其中，an为第n项，a1为首项，d为公差。
根据等差数列的性质，我们可以通过已知的首项、公差和某一项的值，求解出项数n。
二、等比数列的项数关系等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
常用的表示方法为an = a1 * r^(n - 1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的前n项求和公式等比数列的前n项求和公式也是非常重要的，它可以帮助我们快速计算等比数列的前n项之和。
前n项求和公式为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
2. 等比数列的项数关系对于等比数列，我们需要根据已知条件求出项数n。
项数n的计算方法如下：n = log(an / a1) / log(r) + 1其中，an为第n项，a1为首项，r为公比。
根据等比数列的性质，我们可以通过已知的首项、公比和某一项的值，求解出项数n。
三、应用举例例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，我们需要求出第10项的值。
根据等差数列的项数关系公式，我们可以得知：n = (an - a1) / d + 1n = (a1 + (n - 1)d - a1) / d + 1n = (3 + (10 - 1)2 - 3) / 2 + 1n = 10因此，等差数列的第10项的值为 3 + (10 - 1)2 = 21。
数列的等差与等比性质知识点总结
数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。
在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。
本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。
一、等差数列1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。
b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。
c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。
d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。
二、等比数列1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。
2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。
b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。
d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。
三、等差与等比的联系与区别1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。
2. 区别：a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。
b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。
c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
等差数列与等比数列复习小结
山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一）等差数列与等比数列编写人：朱强基考纲要求1理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
重点、难点归纳1数列的有关概念数列：按照一定的次序排列的一列数。
通项公式：数列的第n项a n与n之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。
2数列的表示法列举法：如a1，a2，a3，…，a n，…图象法：用孤立的点(n，a n)来表示解析法：即用通项公式来表示递推法：一个数列的各项可由它的前m项的值以及与它相邻的m项之间的关系来表示3数列的分类有穷数列与无穷数列有界数列与无界数列常数列、递增数列、递减数列、摆动数列4a n与S n的关系S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n；a n＝S1(n＝1时)，a n＝S n－S n－1(n≥2时)。
等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差．等于同一个常数，则这个数列就叫做等差数列，其中的常数叫做等差数列的公差，用字母d表示。
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比．等于同一个常数，则这个数列就叫做等比数列，其中的常数叫做等比数列的公比，用字母q表示。
通项等差数列：a n＝a1＋(n－1)d。
等比数列：a n＝a1q n－1。
a n＝a m＋(n－m)d a n＝a m q n－m。
中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，并且2baA+=。
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，并且abG±=。
前n项和公式等差数列{a n}前n项的和为2111()(1)()2222nna a n n n d dS na d n a n+-==+=+-。
Ⅰ.设数列{}na是等差数列，其奇数项之和为奇S、偶数项之和为偶S，那么，当项数为偶数2n时，1,+=nnaaSSndSS＝－偶奇奇偶；当项数为奇数2n＋1时，11,nS nS S aS n++-==奇奇偶偶Ⅱ.在等差数列｛na｝中,有关S n的最值问题：(1)当1a>0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+1mmaa的项数m使得ms取最大值. (2)当1a<0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+1mmaa的项数m使得ms取最小值。
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
等差与等比数列知识与方法总结
等差与等比数列知识与方法总结一、知识结构与要点N2cab+=定义:nn n n n n a a a a q a a 1121+++-=→= N n ∈通项 →⋅=-1n q a a 等比中项：a b c 成等比数列ac b =⇒2基本概念推广m n m n q a a -⋅= 前n 项和=n S )1(11)1()1(111≠--=--=q qq a a qq a q n a n n等比数列与首末两端等距离的两项之积相等1121......+--⋅===i n i n n a a a a a a q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅⇒+=+}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差则nk n a a a ,...,21成等比基本性质 当101>>q a 或1001<<<q a 时 {}n a 为递增数列当101><q a 或1001<<>q a 时 {}n a 为递减数列当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括 （一）．一般数列数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列{a n }的通项公式a n ；数列的前n 项和公式S n ；一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n n（二）等差数列 1．等差数列的概念[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
即：成等比数列}{)0,0,2(1n n n n a q a n d a a ⇔≠≠≥=--2．等差数列的判定方法（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。
4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。
5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。
等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。
3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。
4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。
5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。
以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。
在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。
等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。
（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。
3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
等差数列与等比数列性质总结
a1 q
qn
cqn
{an}为常数数列⇔q＝1； {an}为摆动数列⇔q<0．
{an}递增⇔
a1>0或 q>1
a1<0 {an}递减⇔ 0<q<1
a0<1>q0<点1击进或入aq相1><应10模块
知识梳理
（3）.等比数列前n项和公式
Sn a1 a2 a3 a4 ....... an2 an1 an ① 错位相 qSn a1q a2q a3q a4q ....... an2q an1q anq qSn a2 a3 a4 a5 ....... an1 an anq ② 减法 ①-② (1- q)Sn a1 anq
则Sm , S2m Sm , S3m S2m ,...... 成等差数列。
(3)中项比性质:等差数列anbn 中，Sn Tn 是其前n项和，
an S 2n1
bn
T2 n 1
点击进入相应模块
知识梳理
3.等差数列的性质
(4)奇数项和与偶数项和性质:等差数列an 中，奇数项有n+1项，
点击进入相应模块
上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
知识梳理
（2）.等差数列通项公式常用结论
结论1.等差数列{an}中,首项为a1，公差d an=am+(n-m)d (其中，m，n N*,n m)
结论2：等差数列通项公式 an － a1= (n－1)d函数性：
直线的一般形式： y kx b
a3 － a2=d， a4 …－…a3=d， an－1－an－2=d, an －an－1=d. 这（n－1）个式子迭加
等差数列与等比数列知识点复习总结
等差数列与等比数列知识点复习总结
仍构成等差数列，公差为2
1(1n n na -+, m a +，2m a +，3m a +
也成等差数列， 公差为
②若两个等差数列{的前n 项和分别是则
22n n n n a A b B =。
数列的求和方法
1、分组求和法
例1、若数列{}n a 的通项式为n
n n a 32+=，求数列{}n a
的前n 项n S
练习1、(1)已知数列{}n a 的通项式为
n
n n a 42)1(⨯++=，求数列{}n a 的前n 项n S
(2)有穷数列1，1+2，1+2+4，…，1
2421-++++n
所有项的和为____________
2、错位相减法
例2、若数列{}n a 的通项式为n
n n a 32•=，求数列{}n a 的前n 项n S
练习2、已知数列{}n a 的通项式为n
n n a )2
1(•=，求数列{}n a 的
前n 项n S
3、并项法
例3、若数列{}n a 的通项式为n a n
n •-=)1(，求2012S
练习3 (1)若数列{}n a 的通项式为)23()1(-•-=n a n
n ，求10S (2)若数列{}n a 的通项式为)34()1(1
-•-=-n a n n ，求100S
4、裂项相消法
例4、若数列{}n a 的通项式为)
1(1
+=
n n a n ，求数列{}n a 的前
n 项n S
练习4、已知数列{}n a 的通项式为1
1-+=
n n a n ，求数列
{}n a 的前n 项n S。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结在数学的广袤领域中，数列是一个重要的概念，而等差数列和等比数列则是其中最为基础且关键的两种类型。
理解和掌握它们的知识点，对于解决各种数学问题以及培养逻辑思维能力都具有至关重要的意义。
一、等差数列（一）定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，常用字母\（d\）表示。
例如：数列\（2, 4, 6, 8, 10\cdots\）就是一个公差为\（2\）的等差数列。
（二）通项公式等差数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_n\）表示第\（n\）项的值，＼（a_1\）表示首项，＼（n\）表示项数，＼（d\）表示公差。
比如，在等差数列\（3, 5, 7, 9, 11\cdots\）中，首项\（a_1 ＝ 3\），公差\（d ＝ 2\），那么第\（5\）项\（a_5 ＝ 3 ＋（5 1)×2 ＝ 11\）。
（三）等差中项若\（a\），＼（b\），＼（c\）成等差数列，则\（b\）为\（a\），＼（c\）的等差中项，且\（b ＝＼frac{a ＋ c}｛2}＼）。
例如：＼（4\）是\（2\）和\（6\）的等差中项，因为\（＼frac{2 ＋6}｛2} ＝ 4\）。
（四）前\（n\）项和公式等差数列的前\（n\）项和公式有两个：＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）＼（S_n ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）假如有一个等差数列\（1, 3, 5, 7, 9\cdots\），要求前\（5\）项的和。
首项\（a_1 ＝ 1\），第\（5\）项\（a_5 ＝ 9\），项数\（n ＝ 5\），那么\（S_5 ＝＼frac{5×（1 ＋ 9)｝｛2} ＝ 25\）或者，利用另一个公式，公差\（d ＝ 2\），＼（S_5 ＝ 5×1 ＋＼frac{5×（5 1)×2}｛2} ＝ 25\）（五）性质1、若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q\）。
等差数列与等比数列知识点复习总结
等差数列与等比数列知识点复习总结的公比计算方法：①后一项除以前一项：q = an+1an②前两项之比：q = a2a1③前一项与后一项的平方根之比：q = √(an+1an3、等比数列an的通项式：①ana1q^(n-1)②anamq^(n-m)③anb*q^n （b为常数）4、等比数列an的性质：①两项性质：若m+n=p+q，则 a manapaq②等比中项性质：若x,A,y成等比数列，则 2A = x+y③下标成等比数列的项仍成等比数列。
若数列an是等比数列，公比为q，则数列akak+mak+2mak+3m仍构成等比数列，公比为q^m。
5、等比数列an的前n项和：Sna1q^n-1)/(q-1)等比数列前n项和性质：①首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)②首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)③特别地，首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=(1-q^n)/(1-q)6、等比数列前n项和性质：①首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)②首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)③特别地，首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=(1-q^n)/(1-q)等差数列前n项和性质：①片段和性质：等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n。
即a1+a2+。
+am，am+1+am+2+。
+a2m，a2m+1+a2m+2+。
+a3m也成等差数列，公差为md。
②若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别是An,Bn，则a1+b1,a2+b2.an+bn也成等差数列，公差为d1+d2.其它性质：（任何数列都适用）①Sn与Sn-1之间的关系：an=Sn-Sn-1(n=1),a1=S1②S2n-1与S2n之间的关系：an=1/2(S2n-S2n-1)(n≥2)③通项公式：an=S(n)-S(n-1)④题型：已知Sn与n的关系，求数列的通项公式an；已知Sn与an的关系，求数列的通项公式an。
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地 若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解 思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注 求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析 因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析 设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和 思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析 由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析 若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的数列类型。
它们在数学应用、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将针对等差数列与等比数列的定义、特点、常见性质和应用进行总结。
一、等差数列1. 定义等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
设数列的通项公式为an，公差为d，则等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点（1）相邻两项之差保持恒定，即公差d是常数。
（2）首项和公差可以确定一个等差数列。
（3）等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 常见性质（1）首项和末项之和等于中间各项之和的和。
（2）等差数列的和可以用以下公式计算：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn为前n项和。
（3）若相邻两项互换，则公差不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性组合。
等差数列常被用于描述随时间变化的一些规律，比如每年增长固定数量的人口、一段时间内的温度变化等等。
在计算机科学中，等差数列的性质也被广泛应用于算法设计与分析。
二、等比数列1. 定义等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
设数列的通项公式为an，公比为q，则等比数列可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点（1）相邻两项之比保持恒定，即公比q是常数。
（2）首项和公比可以确定一个等比数列。
（3）等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 常见性质（1）首项和末项之比等于中间各项之比的积。
（2）等比数列的和（若存在）可以用以下公式计算：Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，需满足|q|<1。
（3）若相邻两项互换，则公比不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公比的幂的乘积。
等比数列常被用于描述随时间变化的指数增长或指数衰减，比如复利计算、物种繁殖等。
等差数列和等比数列公式总结
等差数列和等比数列公式总结在咱们的数学世界里，有两位“大咖”总是默默无闻却又不可或缺，那就是等差数列和等比数列。
今天就让我们轻松聊聊这两位“数列明星”，说不定还能学到些实用的公式呢！1. 等差数列1.1 什么是等差数列？首先，等差数列就像是一条直线，咱们每走一步，步幅都是一样的。
想象一下，你在马路上散步，走一步是1米，接着再走一步，还是1米，依次类推。
这种情况就是等差数列的典型特征！如果首项是a，公差是d，那么等差数列可以表示为：a, a+d, a+2d, a+3d……如此类推。
1.2 等差数列的求和公式要是你有一大堆等差数列的数字，想知道它们加起来是多少，那就得用到求和公式啦！这个公式可简单了。
假设你有n个数，求和公式是：S_n = n/2 × (a + l)，其中l是最后一项。
你还可以把这个公式变形为：S_n = n/2 × (2a + (n1)d)。
简直就是大显身手的好工具呀！例如，1到10的和，数一数，没错就是55，这背后可是有等差数列的功劳呢。
2. 等比数列2.1 什么是等比数列？说到等比数列，它就像是一个蓬勃发展的植物，每一步都在乘以一个固定的数。
比如，你的第一年收入是1000元，第二年你要是涨了个30%，那第二年的收入就是1000× 1.3 = 1300元，接下来再以此类推。
简单来说，如果首项是a，公比是r，那么等比数列就可以表示为：a, ar, ar², ar³……就这样一层层往上叠加。
2.2 等比数列的求和公式等比数列的求和有点儿小复杂，但只要掌握了也没啥好怕的。
求和公式是：S_n =a × (1 r^n) / (1 r)，这里n是项数。
假设你要算从1开始的等比数列，公比是2，想知道前5项的和，那你就可以直接代进去，最后得出结果，噼里啪啦就搞定了，太爽了！3. 生活中的应用3.1 等差数列的应用等差数列不仅仅存在于书本中，它们其实在生活中随处可见。
等差与等比数列知识与方法总结
等差与等比数列知识与方法总结一、知识结构与要点N2cab+ =定义:nn n n n n a aa a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →⋅=-11n n q a a 等比中项：abc 成等比数列ac b =⇒2基本概念推广m n m n q a a -⋅=前n 项和=n S )1(11)1()1(111≠--=--=q qqa a qq a q n a n n 等比数列与首末两端等距离的两项之积相等 1121......+--⋅===i n i n n a a a a a a q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅⇒+=+}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差则nk n a a a ,...,21成等比基本性质 当101>>q a 或1001<<<q a 时 {}n a 为递增数列当101><q a 或1001<<>q a 时 {}n a 为递减数列当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括 （一）．一般数列数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列{a n }的通项公式a n ；数列的前n 项和公式S n ；一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn（二）等差数列1．等差数列的概念[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
即：成等比数列}{)0,0,2(1n n n n a q a n d a a ⇔≠≠≥=--2．等差数列的判定方法（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
等差数列与等比数列知识点复习总结知识讲解
等差数列
等比数列
1、数列 为等差数列的判定方法
定义法： （后一项减前一项等于常数）
等差中项法： （两倍的中项等于前后项之和）
通项式法： （ 是关于 的一次函数）
前 项和公式法（公差不为零时）： （求和公式是关于 的二次函数且常数项为零，且公差 首项 ）
1、数列 为等比数列的判定方法
题型: 已知 与 的关系，求数列的通项公式 ； 已知 与 的关系，求数列的通项公式 。
数列的求和方法
1、分组求和法
例1、若数列 的通项式为 ，求数列 的前 项
练习1、(1)已知数列 的通项式为
，求数列 的前 项
(2)有穷数列1，1+2，1+2+4，…， 所有项的和为____________
2、错位相减法
6、等差数列前 项和性质
片段和性质：
等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，则
即 ， ，
也成等差数列，公差为 。
若两个等差数列 的前 项和分别是 ,则 。
6、等比数列前 项和性质
7、其它性质：（任何数列都适用）
与 之间的关系： ，步骤： ________________ ________________ _____________________ _____________
两项性质：若 ，则________________
等比中项性质：若 成等比数列 ______________
5、等差数列 的前 项和
5、等比数列 的前 项和
__________________ _________________ ________________
特别地，__________________________
(完整版)等差数列与等比数列知识总结
等差数列
等比数列
定义
( 为常数, )
或：
或：
通项公式
（ ）
中项
若a,A,b成等差数列，则
若a,G,b成等比数列，则
即
前 项和
重要性质
②
证明方法
证明一个数列为等差数列的方法：
定义法
证明一个数列为等比数列的方法：
定义法
设元巧
三数等差：
三数等比：
已知数列前n项和 ，求 的方法：
（1）当 时，由 求得；
6、等差数列{ }中，已知d=3,且 求前100项和.
7、已知等比数列{ }的前3项和是 ，前6项和是 ，求它的前10项和.
（2）当 时，由 求得，并验证 是否满足 .
等差数列与等比数列知识梳理
复习训练题
1、求等差数列-1,2,5，…的通项公式，并写出第50项.
2、求等比数列10,1， ，…的通项公式，并写出第12项.
3、在等差数列{ }中， =4， =20，求 .
4、在等比数列{ }中， ，求 .
5、在数列{ }的前n项和为 求数列的通项公式 .
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
下面将从定义、性质、求和公式和应用等几个方面对等差数列和等比数列进行全面总结。
**一、等差数列的基本概念**等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
一般来说，等差数列的通项公式为：a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，d表示公差。
**二、等差数列的性质**1. 等差数列的通项公式：a_n=a_1+(n-1)d2. 等差数列的前n项和公式：S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)3. 等差数列的性质：任意三项成等差数列，等差中项相等。
4. 等差数列的性质：首项与末项的关系。
**三、等差数列的应用**等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融领域中的等额还款、在物理学中的匀速运动等等。
**四、等比数列的基本概念**等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。
一般来说，等比数列的通项公式为：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，q表示公比。
**五、等比数列的性质**1. 等比数列的通项公式：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}2. 等比数列的前n项和公式：S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，当|q|<1时成立3. 等比数列的性质：首项、末项、项数的关系。
4. 等比数列的性质：任意三项成等比数列，等比中项与等比积。
**六、等比数列的应用**等比数列同样在实际中有着广泛的应用，比如在利息计算中的等比增长、在生物学中的细胞分裂等等。
**结语**等差数列与等比数列是数学中基础而重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
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山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一）等差数列与等比数列编写人：朱强基考纲要求1理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n 项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
重点、难点归纳1数列的有关概念数列：按照一定的次序排列的一列数。
通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。
2数列的表示法列举法：如a 1，a 2，a 3，…，a n ，… 图象法：用孤立的点(n ，a n )来表示 解析法：即用通项公式来表示递推法：一个数列的各项可由它的前m 项的值以及与它相邻的m 项之间的关系来表示 3数列的分类 有穷数列与无穷数列 有界数列与无界数列常数列、递增数列、递减数列、摆动数列 4a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；a n ＝S 1(n ＝1时)，a n ＝S n －S n －1(n ≥2时)。
前n 项和公式等差数列{a n }前n 项的和为2111()(1)()2222n n a a n n n d dS na d n a n +-==+=+-。
Ⅰ.设数列{}n a 是等差数列，其奇数项之和为奇S 、偶数项之和为偶S ，那么，当项数为偶数2n 时，1,+=n na a S S nd S S ＝－偶奇奇偶；当项数为奇数2n ＋1时，11,n S n S S a S n++-==奇奇偶偶Ⅱ.在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
Ⅲ.121(21),{}2n n n s a ds n a n n -=-是以为首项,为公差的等差数列.等比数列{a n }前n 项的和为S n ＝na 1，(q ＝1时)；S n ＝qqa a q q a n n --=--11)1(11，(q ≠1时)。
（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即｛｝为等比数列且（i=1,2……,n,……）｛ ｝( 且 )为等差数列；若定义 ＝ ，则｛ ｝亦为等差数列.（2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a>0且a≠1，则｛ ｝为等差数列 ｛｝为等比数列.（3）｛｝既是等差数列，又是等比数列｛｝是非零常数列.学法探秘1对数列的理解 用函数的观点理解数列数列是定义在自然数集或其有限子集上的函数。
数列问题本质上就是函数问题，所以要学会用函数观点看数列问题。
a.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.b.对于等比数列：a n =a 1q n －1.可用指数函数的性质来理解.当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列； 当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列. 当q =1时，是一个常数列.当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. 注意数列与集合的区别与联系数列与集合都是具有某种属性的数的全体，只不过数列中的数有次序而且可以重复出现。
数列的通项公式数列的通项公式可以代表数列中的任何一项，但并不是每一个数列均有通项公式。
反之，当一个数列有通项公式时，其通项公式并不唯一。
2等差数列与等比数列的判定方法{}a n 为等差数列⇔a n ＋1－a n ＝d(d 为常数)⇔2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N)⇔a n ＝kn ＋b(k 、b 为常数)⇔S n ＝An 2＋Bn(A 、B 为常数){a}为等比数列⇔nn a a 1+＝q(q 为非零常数)⇔a n ＋12＝a n a n ＋2(n ∈N)⇔a n ＝pq n (p 、q 为非零常数)⇔S n ＝mq n －m(m 、q 为非零常数)3灵活运用定义、注意对称设元、尽量设而不求、并记住一些有用的结论，这样有助于提高解题速度。
如等差数列中有a n ＝a m ＋(n －m)d ，等比数列中有a n ＝a m q n －m ；又如已知三数成等差数列时，可设这三个数为a －d 、a 、a ＋d ，若已知四个数成等比数列时，可设这四个数为3qa 、qa、aq 、aq 3；（四个数同号）。
再比如在等差数列中，若a p ＝q ，a q ＝p ，则a p ＋q ＝0；若S m ＝n ，S n ＝m ，则S m ＋n ＝－(m ＋n)等等。
4重点掌握方程思想在求解“知三求二”的问题时，要恰当选用公式、积极减少运算量，在解题时要有目标意识：需要什么，就求什么，以便达到快速准确的求解目的。
在分析和解决有关数列的综合题时要注意运用数学思想方法，对等比数列的求和应注意对公比是否等于1进行分类讨论。
典型例析例1完成下列各题(1)已知四个数－9、a 1、a 2、－1成等差数列；五个数－9、b 1、b 2、b 3、－1成等比数列。
则b 2(a 2－a 1)等于 A.－8 B.8 C.－89 D.89(2)在等比数列{a n }中，已知对于任意的自然数n ，都有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2等于 A.4n －1 B.31(4n －1) C.31(2n －1)2 D.(2n －1)2分析：(1)要求b 2(a 2－a 1)的值，由于a 2－a 1与b 2没有必然的联系，因此应在两个数列中分别求a 2－a 1和b 2。
显然，a 2－a 1是等差数列的公差，b 2是等比数列的中项，从而本题为等差、等比数列的基本问题。
(2)我们知道，若数列{a n }是公比为q 的等比数列，那么数列{a n 2}是公比为q 2的等比数列。
因此，要求等比数列{a n 2}的前n 项和，关键是求首项和公比。
因为对于任意自然数n ，都有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，所以可取n ＝1、2，求出a 1和a 2，从而可求出公比q ＝12a a 。
也可以利用a n ＝S n －S n －1先求出a n ，便可观察出首项和公比。
解：(1)由－1＝－9＋3(a 2－a 1)得a 2－a 1＝38。
再由b 22＝b 1b 3＝(－9)(－1)得b 2＝±3。
因为等比数列的奇数项同号，所以b 2＝－3。
故b 2(a 2－a 1)＝－8，从而选A 。
(2)方法一：在a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1中分别取n ＝1、2，得a 1＝1,a 1＋a 2＝3，所以a 1＝1,a 2＝2， 于是等比数列{a n }的公比为q ＝2。
又{a n 2}是首项为a 12＝1，公比为q 2＝4的等比数列。
所以a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝41412--＝31(4n－1)，故选B 。
方法二：因为a ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n )－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1)＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1。
所以a 1＝1，q ＝2。
以下同方法一，略。
例2已知{a n }为等差数列，公差d ≠0，{a n }中的部分项所组成的数列1k a ，2k a ，3k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17。
(1)求k n ；(2)求证：k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝3n －n －1。
分析：(1)易知n k a 是等比数列中的第n 项，于是有n k a ＝a 1q n －1；另一方面，n k a 是等差数列中的第k n 项，又有n k a ＝a 1＋(k n －1)d 。
从而得a 1q n －1＝a 1＋(k n －1)d 。
在上式中除了k n 为所求外，a 1、d 和q 均为待定系数。
虽然a 1、d 和q 不必都求出来，但从式子的结构看，需求出a 1与d 的关系和q 的值。
从何入手呢？注意到k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，我们可以利用等比数列的子数列1k a ，2k a ，3k a ，即a 1，a 5，a 17也成等比数列，据此可以求出d 与a 1的关系和q 的值。
(2)要证明k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝3n －n －1，实质上是求数列{k n }的前n 项的和，而这可以由通项k n 来确定。
解：(1)由题设知1k a ，2k a ，3k a 即a 1，a 5，a 17成等比数列， 所以a 52＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)。
因d ≠0，所以a 1＝2d 于是公比q ＝15a a ＝3 所以n k a ＝1k a q n －1＝a 1⋅3n－1又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝a 1＋(k n －1) ⋅21a 所以a 1＋(k n －1) ⋅21a ＝ a 1⋅3n －1 因而k n ＝2⋅3n －1－1(2)k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝(2⋅30－1)＋(2⋅3－1)＋…＋(2⋅3n －1－1)＝2(1＋31＋32＋…＋3n －1)－n ＝3n －n －1 说明：在求得d ＝21a 和公比q ＝3后，还有如下更为简捷的解法： 因为3112)1(2)1(1111111=++=⋅-+⋅-+=---n n n n k k k k a k a ak a a a n n 所以{k n ＋1}是首项为k 1＋1＝2，公比为3的等比数列 所以k n ＋1＝ 2⋅3n －1，即k n ＝2⋅3n －1－1。
下略。
例3已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，数列{b n }满足b 1＝20，b 7＝5，且(b n ＋1－b n ＋2)log m a 1＋(b n ＋2－b n )log m a 3＋(b n －b n ＋1)log m a 5＝0。