函数的性质综合应用
函数性质的综合应用-高考数学复习
目录
高中总复习·数学
解题技法
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧
(1)比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性,把不在同一单调区
间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再
利用函数的单调性比较大小;
(2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为 f ( x 1)> f ( x 2)的形
式,再结合单调性,脱去“ f ”变成常规不等式,转化为 x 1< x 2
偶函数,则(
)
A. f ( x )是偶函数
B. f ( x )是奇函数
C. f ( x +3)是偶函数
D. f ( x )= f ( x +4)
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高中总复习·数学
解析:
∵ f ( x +1)是偶函数,∴ f (- x +1)= f ( x +1),
从而 f (- x )= f ( x +2).∵ f ( x -1)是偶函数,∴ f (- x -1)
它可能为某种基本初等函数,变抽象为具体,变陌生为熟知,常可猜
测出抽象函数所蕴含的重要性质,并以此作为解题的突破口,必能为
我们的解题提供思路和方法.
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高中总复习·数学
常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下:
基本初等函数模型
一次函数 f ( x )= kx
+ b ( k ≠0)
抽象函数性质
f ( x ±y )= f ( x )±f ( y )∓ b
1)=2,则 f (2 025)=(
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
)
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高中总复习·数学
解析: 由函数 y = f ( x -1)的图象关于直线 x =1对称,可知函
数 f ( x )的图象关于 y 轴对称,故 f ( x )为偶函数.又由 f ( x +4)
函数的性质与应用综合练习题
函数的性质与应用综合练习题1. 利用函数的性质解决问题在数学中,函数的性质是我们解决问题的有力工具。
考虑以下综合练习题,通过运用函数性质,我们能更有效地解决问题。
问题一:某物体自由落体的高度h(米)与时间t(秒)之间的关系可以用函数h(t) = 5t^2表示。
求物体从自由落体开始下落3秒后的高度。
解答:根据给定的函数h(t) = 5t^2,我们可以计算出物体下落3秒后的高度。
将t = 3代入函数中,得到h(3) = 5(3^2) = 45。
因此,物体从自由落体开始下落3秒后的高度为45米。
问题二:某公司产品销售量与广告投入之间的关系可以用函数S(x) = 50x + 1000表示,其中x表示广告投入金额(万元),S(x)表示销售量(件)。
如果该公司希望销售量达到5000件,需要投入多少万元的广告费用?解答:根据给定的函数S(x) = 50x + 1000,我们可以计算出需要投入多少万元的广告费用才能使销售量达到5000件。
将S(x) = 5000代入函数中,得到5000 = 50x + 1000。
解这个方程,得到x = (5000 - 1000) / 50 = 80。
因此,该公司需要投入80万元的广告费用才能使销售量达到5000件。
2. 利用函数的应用解决实际问题函数的应用不仅存在于数学领域,还可以帮助我们解决实际问题。
考虑以下综合练习题,通过运用函数的应用,我们能更好地解决实际问题。
问题三:某商品的单价与销售量之间的关系可以用函数P(x) = 100 - 0.01x表示,其中x表示销售量(件),P(x)表示单价(元)。
某商家希望获得最大的销售利润,请问应该销售多少件商品?解答:根据给定的函数P(x) = 100 - 0.01x,我们可以找到使销售利润最大化的销售量。
销售利润可以通过销售量和单价之间的乘积来计算,记为L(x) = x * P(x)。
我们需要找到使L(x)取得最大值的x。
对函数L(x)进行求导,得到L'(x) = P(x) + x * P'(x)。
函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学
函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看,本节是高考的一个热点内容,函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容,重点关注单调性、奇偶性结合在一起,与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查,解题时要充分运用转化思想和数形结合思想,灵活求解.对于选择题和填空题部分,重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性,主要考察方向是:判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等,难度较小;对于解答题部分,一般与导数相结合,考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论:①若f(x)是增函数,则-f(x)为减函数;若f(x)是减函数,则-f(x)为增函数;②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数,则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数;③若f(x)>0且f(x)为增函数,则函数f(x)为增函数,1f(x)为减函数;④若f(x)>0且f(x)为减函数,则函数f(x)为减函数,1f(x)为增函数.3.求函数最值的三种基本方法:(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值:对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x).对于运算函数有如下结论:奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶;奇×(÷)奇=偶;奇×(÷)偶=奇;偶×(÷)偶=偶.(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则:内偶则偶,两奇为奇.(5)常见奇偶性函数模型奇函数:①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1.②函数f(x)=±(a x-a-x).③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x).2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x),则T=a;(2)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;(3)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(4)若f(x+a)=f(1x),则T=2a;(5)若f(x+a)=f(1x),则T=2a;(6)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数,且T=2(b-a);(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b),则函数y=f(x)是周期函数,且T=2(b-a);(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b),则函数y=f(x)是周期函数,且T=4(b-a).举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R,若对∀x∈R都有f3+x= f1-x,且f x 在2,+∞上单调递减,则f1 ,f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x,得到f1 =f3 ,利用单调性即可判断大小关系,即可求解.【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x,所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2,+∞上单调递减,且2<3<4,所以f4 <f3 <f2 ,即f4 <f1 <f2 .故选:A.【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ,且当x ≥1时,f (x )单调递增,则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x ),得f (x )的对称轴方程为x =1,故2-x -1 ≥x +1 -1 ,即(1-x )2≥x 2,解得x ≤12.故选:D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数,则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知,x >1,函数单调递减,则x ≤1也应为减函数,同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组,解出即可.【解答过程】显然当x >1时,f x =1x为单调减函数,f x <f 1 =1当x ≤1时,f x =-x 2+2ax +4,则对称轴为x =-2a2×-1=a ,f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数,则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ,故选:A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数,若存在x 使得f x ≤0成立,则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ,所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者,不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示:h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数,开口向上,对称轴为直线x=a,①当a<-1时,h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数,需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3,则存在x使得f x ≤0成立,故a≤-4 3;②当-1≤a≤1时,h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数,需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0,即a2-a-3≥0,解得a≥1+132或a≤1-132,又1+132>1,1-132<-1故-1≤a≤1时无解;③当a>1时,h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数,需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4,则存在x使得f x ≤0成立,故a≥4.综上所述,a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选:B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6,则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9,对称轴为x =3,开口向下,因为0<x <6,所以当x =3时,6x -x 2有最大值9,没有最小值,故选:D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3,则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时,可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立,通过分离变量,结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3,函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3,所以对∀x ∈-1,1 ,f x ≥-3恒成立,所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立,即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立,当x =1时,b ∈R ,当-1≤x <1时,可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时,不等式显然成立;当0<x <1时,b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x,因为x 2+x ∈0,2 ,所以1x 2+x ∈12,+∞ ,1+1x 2+x ∈32,+∞ ,-31+1x 2+x∈-∞,-92 ,所以b ≥-92;当-1<x <0时,b ≤-31+1x 2+x,因为x 2+x ∈-14,0 ,所以1x 2+x ∈-∞,-4 ,1+1x 2+x ∈-∞,-3 ,-31+1x 2+x∈9,+∞ ,所以b ≤9.综上可得,实数b 的取值范围是-92,9.故选:D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b,设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数,且x ∈[-3,3],则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义,先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值,然后利用条件函数f(x)最大值为4,确定t的取值即可.【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5,所以由4+2x-x2=4,解得x=2或x=0,所以x∈0,2时,y=4+2x-x2>4,所以要使函数f(x)最大值为4,则根据定义可知,当t≤1时,即x=2时,2-t=4,此时解得t=-2,符合题意;当t>1时,即x=0时,0-t=4,此时解得t=4,符合题意;故t=-2或4.故选:A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D,如果对D中的任意一个x,都有f x > 0,-x∈D,且f-xf x =1,则称函数f x 为“类奇函数”.若某函数g x 是“类奇函数”,则下列命题中,错误的是()A.若0在g x 定义域中,则g0 =1B.若g x max=g4 =4,则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增,则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R,且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”,则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A,根据“类奇函数”的定义,代入x=0求解即可;对B,根据题意可得g-x=1g x,再结合函数的单调性判断即可;对C,根据g-x=1g x,结合正负分数的单调性判断即可;对D,根据“类奇函数”的定义,推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A,由函数g x 是“类奇函数”,所以g x g-x=1,且g x >0,所以当x=0时,g0 g-0=1,即g0 =1,故A正确;对于B,由g x g-x=1,即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小,若g(x)max=g4 =4,则g(x)min=g-4=14成立,故B正确;对于C,由g x 在0,+∞上单调递增,所以g-x=1g x,在x∈0,+∞上单调递减,设t=-x∈-∞,0 ,∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增,即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增,故C 错误;对于D ,由g x g -x =1,h x h -x =1,所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1,所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”,所以D 正确;故选:C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=ax +1,若f (-2)=5,则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式,根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式,分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (-2)=-f (2)=5,则f (2)=-5,则2a +1=-5,所以a =-3,则当x >0时,f (x )=-3x +1,当x <0时,-x >0,则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1,则当x >0时,不等式f (x )>12为-3x +1>12,解得0<x <16,当x <0时,不等式f (x )>12为-3x -1>12,解得x <-12,故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16,故选:A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ,f (3x +1)为奇函数,g (x +2)为偶函数,f (x +1)+g (1-x )=2,f (0)=-12,则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意,根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称,进而可知g (x )是以4为周期的周期函数.求出g (1),g (2),g (3),g (4),结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数,所以f (x +1)为奇函数,所以f (x +1)=-f (-x +1),f (x )的图象关于点(1,0)中心对称,f (1)=0.因为g (x +2)为偶函数,所以g (x +2)=g (-x +2),g (x )的图象关于直线x =2对称.由f (x +1)+g (1-x )=2,得f (-x +1)+g (1+x )=2,则-f (x +1)+g (1+x )=2,所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4,所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称.因为g (x )的图象关于x =2轴对称,所以g (x )+g (2+x )=4,g (x +2)+g (x +4)=4,所以g (x +4)=g (x ),即g (x )是以4为周期的周期函数.因为f (1)=0,f (0)=-12,所以g (1)=2,g (2)=52,g (3)=g (1)=2,g (4)=g (0)=4-g (2)=32,所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092.故选:D .2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数,函数g x 是定义在R 上的奇函数,且f x ,g x 在0,+∞ 上单调递减,则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性,判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ,g x 在0,+∞ 上单调递减,f x 是偶函数,g x 是奇函数,所以g x 在R 上单调递减,f x 在-∞,0 上单调递增,对于A ,f 2 >f 3 ,但无法判断f 2 ,f 3 的正负,故A 不正确;对于B ,g 2 >g 3 ,但无法判断g 2 ,g 3 的正负,故B 不正确;对于C ,g 2 >g 3 ,g x 在R 上单调递减,所以g g 2 <g g 3 ,故C 不正确;对于D ,f 2 >f 3 ,g x 在R 上单调递减,g f 2 <g f 3 ,故D 正确.故选:D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足:对任意x 1,x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016,且x >0时,f (x )>2016,记f (x )在[-2017,2017]上的最大值和最小值为M ,N ,则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016,再构造函数g (x )=f (x )-2016,判断g (x )的奇偶性得出结论.【解答过程】解:令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016,∴f (0)=2016,令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016,∴f (-x 2)+f (x 2)=4032,令g(x)=f(x)-2016,则g max(x)=M-2016,g min(x)=N-2016,∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0,∴g(x)是奇函数,∴g max(x)+g min(x)=0,即M-2016+N-2016=0,∴M+N=4032.故选:C.【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称,又关于直线y=x对称,且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像,设x0,y0∈Γ,根据中心对称性与轴对称性,得到4+y0,-4+x0∈Γ,令4+y0=174,求出y0,即可求出x0,即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像,对任意的x0∈-1,0,令y0=x20,则x0,y0∈Γ,且y0∈0,1,又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称,且关于直线y=x对称,所以y0,x0∈Γ,则-2-y0,2-x0∈Γ,则2-x0,-y0-2∈Γ,则-4+x0,4+y0∈Γ,则4+y0,-4+x0∈Γ,令4+y0=174,即y0=14,此时x0=-12或x0=12(舍去),此时-4+x0=-4+-1 2=-92,即174,-92∈Γ,因此f174 =-92.故选:B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b,则说y=f x 的图象关于点a,b对称,则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域,由定义域的对称中心,猜想a=-1012,计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046,从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023},定义域的对称中心为(-1012,0),所以可猜a=-1012,则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x,f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x,故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023),故选:C.2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R,且y=f3+3x为偶函数,y=g x+3+2为奇函数,对∀x∈R,均有f x +g x =x2+1,则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x,g x =-4-g6-x,再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组,解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数,则f3+3x=f3-3x,即函数f x 关于直线x=3对称,故f x =f6-x;由函数g x+3+2为奇函数,则g x+3+2=-g-x+3-2,整理可得g x+3+g-x+3=-4,即函数g x 关于3,-2对称,故g x =-4-g6-x;由f x +g x =x2+1,可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1,所以f x -4-g x =(6-x)2+1,故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ,解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20,所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22,所以f7 g7 =28×22=616.故选:B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,f x-1的图象关于点(1,0)对称,f3 =0,且对任意的x1,x2∈-∞,0,x1≠x2,满足f x2-f x1x2-x1<0,则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,得出(x)是定义在R上的奇函数,由对任意的x1,x2∈(-∞,0),x1≠x2,满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0,得出f(x)在(-∞,0)上单调递减,然后根据奇函数的对称性和单调性的性质,求解即可.【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴f(x)的图象关于点(0,0)对称,∴f(x)是定义在R 上的奇函数,∵对任意的x1,x2∈(-∞,0),x1≠x2,满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减,又f3 =0所以f-3=0,且f0 =0,所以当x∈-∞,-3∪0,3时,f x >0;当x∈-3,0∪3,+∞时,f x <0,所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0,解得-4≤x≤-1或1≤x≤2,即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2.故选:C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称,且g2x+2为奇函数,g1 =1,f x =g3-x+1,则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5);②g(2024)=0;③f(2)+f(4)=-4;④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2,进而得到g x 的对称中心为,再根据对称轴求出周期,通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数,所以g-2x+2=-g2x+2,则g-x+2=-g x+2,所以g x 对称中心为2,0,又因为g x 的图像关于x=1对称,则g-x+2=g x ,所以-g x+2=g x ,则g x+4=-g x+2=g x ,所以g x 的周期T=4,①g-3=g-3+8=g5 ,所以①正确;②因为g1 =1,g-x+2=g x ,g x 对称中心为2,0,所以g0 =g2 =0,所以g(2024)=g0 =0,所以②正确;③因为f x =g3-x+1,所以f2 =g1 +1=2,因为-g x+2=g x ,所以g-1=-g1 ,则f4 =g-1+1=-g1 +1=0,所以f(2)+f(4)=2,所以③错误;④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4,所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ,则f x 的周期为T =4,因为f 1 =g 2 +1=1,f 2 =2,f 3 =g 0 +1=1,f 4 =0,所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4,所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024,所以④正确.故选:C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ,且f -x =-f x ,当x ∈-1,1 时,f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时,f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ,所以f x 的周期为4,根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称,画出f x 的图象,从而数形结合得到AB 错误;再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式;D 选项,根据y =f x 的最小正周期,得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ,所以f x =-f x -2 ,故f x +2 =f x -2 ,所以f x 的周期为4,又f -x =-f x ,所以f -x =f x -2 ,故f x 关于x =-1对称,又x ∈-1,1 时,f x =x 3,故画出f x 的图象如下:A 选项,函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称,故A 错误;B 选项,函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称,B 错误;C 选项,当x ∈2,3 时,x -2∈0,1 ,则f x =-f x -2 =-x -2 3,C 错误;D 选项,由图象可知y =f x 的最小正周期为4,又f x +2 =-f x =f x ,故y =f x 的最小正周期为2,D 正确.故选:D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0,且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ,则下列说法正确的命题是()①f 0 =1;②∀x ∈R ,f -x +f x =0;③f x 关于点1,0 对称;④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法,结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①,由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ,所以令x =y =0,则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ,即f 0 =f 20 ,因为f 0 ≠0,所以f 0 =1,所以①正确,对于②,令x =0,则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ,所以f y =f -y ,即f x =f -x ,所以∀x ∈R ,f -x -f x =0,所以②错误,对于③,令x =1,则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0,所以f 1+y =-f 1-y ,即f 1+x =-f 1-x ,所以f x 关于点1,0 对称,所以③正确,对于④,因为f 1+x =-f 1-x ,所以f 2+x =-f -x ,因为f x =f -x ,所以f 2+x =-f x ,所以f 4+x =-f 2+x ,所以f 4+x =f x ,所以f x 的周期为4,在f x +y +f x -y =2f x f y 中,令x =y =1,则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0,因为f 0 =1,所以f (2)=-1,f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0,所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1,所以④正确,故选:D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ,f (x +1)为偶函数,且f (3-x )+g (x )=1,f (x )-g (1-x )=1,则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称,结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4,继而得到g x 的周期也为4,接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数,所以f x +1 =f -x +1 ①,所以f x 的图象关于直线x =1轴对称,因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②,又f 3-x +g x =1③,②+③得f 1-x +f 3-x =2④,即f 1+x +f 3+x =2,即f 2+x =2-f x ,所以f 4+x =2-f 2+x =f x ,故f x 的周期为4,又g x =1-f 3-x ,所以g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得f 1+x +f 3-x =2,故f x 的图象关于点2,1 中心对称,且f 2 =1,故选项A 正确,由f 2+x =2-f x ,f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1,且f 1 +f 3 =2,故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4,故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1),因为f 1 与f 3 值不确定,故选项C 错误,因为f 3-x +g x =1,所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ,所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0,故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0,故2023i =0 g (i )=506×0=0,所以选项D 正确,故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ,且当x ∈0,1 时,f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时,f x ≤332,则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ,画出图象,计算f x =332,解得x =298,从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得,当x ∈1,2 时,故f x =12f x -1 =121-2x -3 ,当x ∈2,3 时,故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯,可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上,f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ,所以当n ≥4时,f x ≤332,作函数y =f x 的图象,如图所示,当x ∈72,4 时,由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298,则m ≥298,所以m 的最小值为298故选:B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1,当x∈0,2 时,f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时,t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立,则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1,求出x ∈(2,3),以及x ∈[3,4]的函数的解析式,分别求出(0,4]内的四段的最小值和最大值,注意运用二次函数的最值和函数的单调性,再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ,f x max ≤3-t ,解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1),则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1,即为f (x )=2x 2-10x +11,当x ∈[3,4],则x -2∈[1,2],则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14;当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12;当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32;当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值,且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立,则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ,当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1],即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ,即为1≤3-t ,解得t ≤2,综上,即有实数t 的取值范围是12,2.故选:C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x ),当x ∈[0,2]时,f (x )=x 2-2x ,若x ∈[-4,-2]时,f (x )≥1183t-t 恒成立,则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式,由x ∈[-4,-2],所以x +4∈[0,2],所以f (x +4)=x 2+6x +8,再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式,在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2],所以x +4∈[0,2],因为x ∈[0,2]时,f x =x 2-2x ,所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ,所以f x +4 =3f x +2 =9f x ,所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ,x ∈[-4,-2],又因为x ∈[-4,-2],f x ≥1183t-t 恒成立,故1183t -t ≤f x min =-19,解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ,满足f x =2f x -2 ,且当x∈0,2 时,f x =x 2-x .若对任意x ∈-∞,m ,都有f x ≤3,则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合,再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ,满足f x =2f x -2 ,且当x ∈0,2 时,f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ,当x ∈(2,4],时,x -2∈(0,2],则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ,当x ∈(4,6],时,x -4∈(0,2],则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ,当x ∈(-2,0],时,x +2∈(0,2],则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12,作出函数f x 的大致图象,对任意x ∈-∞,m ,都有f x ≤3,设m 的最大值为t ,则f t =3,所以-4t -5 2+4=3,解得t =92或t =112,结合图象知m 的最大值为92,即m 的取值范围是-∞,92.故选:C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ,g x 都是定义在R 上的函数,对任意x ,y 满足f x -y=f x g y -g x f y ,且f -2 =f 1 ≠0,则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1,则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ,取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ,对于D ,通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数,结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论,想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子,两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ,进一步得出f x 是周期函数,从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解:对于A ,令x =y =0,代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0,得f 0 =0,故A 错误;对于B ,取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ,满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0,因为g 3 =cos2π=1≠0,所以g x 的图象不关于点3,0 对称,所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称,故B 错误;对于C ,令y =0,x =1,代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ,可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0,结合f 1 ≠0得1-g 0 =0,g 0 =1,再令x =0,代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ,将f 0 =0,g 0 =1代入上式,得f -y =-f y ,所以函数f x 为奇函数.令x =1,y =-1,代入已知等式,得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ,因为f -1 =-f 1 ,所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ,又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ,所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ,因为f 1 ≠0,所以g 1 +g -1 =-1,故C 错误;对于D ,分别令y =-1和y =1,代入已知等式,得以下两个等式:f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ,f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ,两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ,所以有f x +2 +f x =-f x +1 ,即:f x =-f x +1 -f x +2 ,有:-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0,即:f x -1 =f x +2 ,所以f x 为周期函数,且周期为3,因为f 1 =1,所以f -2 =1,所以f 2 =-f -2 =-1,f 3 =f 0 =0,所以f 1 +f 2 +f 3 =0,所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1,故D 正确.故选:D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ,对任意的x ,y ∈R ,恒有f x +y +f x -y =2f x f y ,则下列说法正确的个数是()①f 0 =0;②fx 必为奇函数;③f x +f 0 ≥0;④若f (1)=12,则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①;利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②;赋值,令y =x ,得出f 2x+f0 ≥0,变量代换可判断③;利用赋值法求出f(n)部分函数值,推出其值具有周期性,由此可计算2023n=1f(n),判断④,即可得答案.【解答过程】令x=y=0,则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ,故f(0)=0或f0 =1,故①错误;当f(0)=0时,令y=0,则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0,则f(x)=0,故f (x)=0,函数f (x)既是奇函数又是偶函数;当f(0)=1时,令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),所以f-y=f y ,则-f (-y)=f (y),即f (-y)=-f (y),则f (x)为奇函数,综合以上可知f (x)必为奇函数,②正确;令y=x,则f2x+f0 =2f2x ,故f2x+f0 ≥0.由于x∈R,令t=2x,t∈R,即f t +f0 ≥0,即有f x +f0 ≥0,故③正确;对于D,若f1 =12,令x=1,y=0,则f1 +f1 =2f1 f0 ,则f(0)=1,令x=y=1,则f2 +f0 =2f21 ,即f2 +1=12,∴f2 =-12,令x=2,y=1,则f3 +f1 =2f2 f1 ,即f3 +12=-12,∴f(3)=-1,令x=3,y=1,则f4 +f2 =2f3 f1 ,即f4 -12=-1,∴f(4)=-12,令x=4,y=1,则f5 +f3 =2f4 f1 ,即f5 -1=-12,∴f(5)=12,令x=5,y=1,则f6 +f4 =2f5 f1 ,即f6 -12=12,∴f(6)=1,令x=6,y=1,则f7 +f5 =2f6 f1 ,即f7 +12=1,∴f(7)=12,令x=7,y=1,则f8 +f6 =2f7 f1 ,即f8 +1=12,∴f(8)=-12,⋯⋯,由此可得f(n),n∈N*的值有周期性,且6个为一周期,且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12,故④正确,即正确的是②③④,故选:C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立,且当x<0时,f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性,并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意,令x=0,y=0,即可求得f(0)=0;(2)令x=0,得到f(-y)=-f(y),所以f x 为奇函数,在结合题意和函数单调性的定义和判定方法,即可求解;(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a),结合函数f x 的单调性,把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a,结合一元二次不等式的解法,即可求解.【解答过程】(1)解:因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立,令x=0,y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0.(2)解:函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0,则f(-y)+f(y)=f(0)=0,所以f(-y)=-f(y),故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,因为当x<0时,f(x)>0,所以f x1-x2>0,所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0,即f x1>f x2,所以f x 是R上的减函数.(3)解:根据题意,可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a),由(2)知f x 在R上单调递减,所以x2-(a+2)x<-2a,即x2-(a+2)x+2a<0,可得(x-2)(x-a)<0,当a>2时,原不等式的解集为(2,a);当a=2时,原不等式的解集为∅;当a<2时,原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ,当x>0时,f x <0,且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性;(2)判断函数单调性,求f x 在区间-3,3上的最大值;(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立,求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0,求得f0 =0,再令y=-x,从而得f-x=-f x ,从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2,结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性,然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立,说明f x 的最大值2小于右边,因此先将右边看作a的函数,解不等式组,即可得出m的取值范围.【解答过程】(1)f x 为奇函数,证明如下:令x=y=0,则f0+0=2f0 ,所以f0 =0,令y=-x,则f x-x=f x +f-x=f0 =0,所以:f-x=-f x 对任意x∈R恒成立,所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数,证明如下:任取x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0,所以f x2<f x1,所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时,f x 单调递减,所以当x=-3时,f x 有最大值为f-3,因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6,所以f-3=-f3 =6,故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减,所以f x ≤f-1=-f1 =2,因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立,即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立,令g a =-2am+m2,则g-1>0g1 >0,即2m+m2>0-2m+m2>0,解得:m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x,g(x)=b⋅a-x+x,a>0且a≠1,若f(1)+g(1)=52,f(1)-g(1)=32,设h(x)=f(x)+g(x),x∈[-4,4].(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性;(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明),并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集.【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b,得到h(x),再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性;(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性,结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52,f(1)-g(1)=32,即有a+ba+1=52a-ba-1=32,解得a=2b=-1,即f(x)=2x,g(x)=-2-x+x,则h(x)=2x-2-x+x,其定义域为R,h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x ),故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ,由2x 在R 上单调递增,-2-x 在R 上单调递增,x 在R 上单调递增,故h (x )在R 上单调递增,由h (2x +1)+h (2x -1)≥0,且h (x )为奇函数,即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ,即有2x +1≥1-2x ,解得x ≥0,故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足:①f x 是偶函数;②f x 不是常值函数;③对于任何实数x 、y ,都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y .(1)求f 1 和f 0 的值;(2)证明:对于任何实数x ,都有f x +4 =f x ;(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0,求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值.【解题思路】(1)取x =1,y =0代入计算得到f 1 =0,取y =0得到f x =f x f 0 ,得到答案.(2)取y =1,结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ,变换得到f x +4 =f x ,得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0,取x =y =13和取x =13,y =-13得到f 13 =32,根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1,计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1,y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0,即f 1 =0;取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ,f x 不是常值函数,故f 0 =1;(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ,取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ,f x 是偶函数,故f x +1 =-f x -1 ,即f x +2 =-f x ,f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0,f x 为偶函数,取x =-13,则f 53 +f -13 =0,即f 53 +f 13 =0;取x =-23,则f 43 +f -23 =0,即f 43 +f 23=0;故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0,f 2 =-f 0 =-1,f 3 =f -1 =f 1 =0,f 4 =f 0 =1,故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0,取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223,取x =13,y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1,f 13 >0,f 23 >0,解得f 13 =32,f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ,(1)证明:f x 关于x =1对称;(2)若f x 的最小值为3(i )求a ;(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立,求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解,(2)利用单调性的定义证明函数的单调性,即可结合对称性求解a =2,分离参数,将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ,构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ,结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明:因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ,所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ,所以f (x )=f (2-x ),所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2,∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0,x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在1,+∞ 上单调递增,又f (x )关于x =1对称,则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3,所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立, 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立,即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ,则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1,令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ,则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n,因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4,n =5取等号,则g n ∈-52,1,所以g n ∈0,52,所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b .给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c .(1)求c 的值;(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明;(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称,且当x ∈0,1 时,g x =x 2-mx +m .若对任意x 1∈0,2 ,总存在x 2∈1,5 ,使得g x 1 =f x 2 ,求实数m 的取值范围.【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程,解出即可求出函数的对称中心;(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4],通过讨论m 的范围,得到关于m 的不等式组,解出即可.【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ,则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ,即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ,整理得-2=2c ,解得:c =-1,故f (x )的对称中心为(-1,-1);(2)函数f (x )在(0,+∞)递增;设0<x 1<x 2,则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1,由于0<x 1<x 2,所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0,所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ,故函数f (x )在(0,+∞)递增;。
函数性质的综合应用
函数性质的综合应用教学目标:1、熟练把握函数奇偶性、单调性和最值的概念与运用;2、会利用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的综合性问题。
教学重点:函数单调性、奇偶性,函数最值问题的综合讨论。
教学难点:综合问题的思路分析与运用,解题策略的确信。
教学进程:一、函数的奇偶性、单调性、最值概念回忆1、奇偶性一样地,若是关于函数()y f x =的概念域D 内的任意实数x ,都有()()f x f x -=,那么就把函数()y f x =叫做偶函数;一样地,若是关于函数()y f x =的概念域D 内的任意实数x ,都有()()f x f x -=-,那么就把函数()y f x =叫做奇函数。
【注】概念域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要条件。
2、单调性一样地,关于给定区间I 上的函数()y f x =:若是关于属于那个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()y f x =在那个区间上是单调增函数,简称增函数。
若是关于属于那个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()y f x =在那个区间上是单调减函数,简称减函数。
3、最值一样地,设函数()f x 在0x 处的函数值0()f x 。
若是关于概念域内的任意一个x ,不等式0()()f x f x ≥都成立,那么0()f x 叫做函数()f x 的最小值,记作min 0()y f x =;若是关于概念域内的任意一个x ,不等式0()()f x f x ≤都成立,那么0()f x 叫做函数()f x 的最大值,记作max 0()y f x =。
二、经典例题例1、(1)已知奇函数()y f x =的概念域为R ,当0x >时,()21f x x =+,求函数()y f x =在R 上的表达式。
江苏省响水中学高中数学 第二章《函数性质的综合应用》课件 苏教版必修1
4 f(x)是定义在(-∞,-5],[5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在
[5,+∞)上单调递减,试判断 f(x)在(-∞,-5]上的单调性, 并用定义给予证明.
【解析】f(x)在(-∞,-5]上单调递减,任取 x1<x2≤-5,则x1>-x2≥5,因 f(x)是奇函数且在[5,+∞)上单调递减,所以 f(x1)<f(-x2)⇒-f(x1)<-f(x2)⇒f(x1)>f(x2),即 f(x)在(-∞,-5]上 是单调减函数.
结论恒成立的是 ① . ①f(x)+ ������(������) 是偶函数; ②f(x)- ������(������) 是奇函数; ③ ������(������) +g(x)是偶函数; ④ ������(������) -g(x)是奇函数.
【解析】由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得 ������(������) 和 ������(������) 都是偶 函数,所以 f(x)+ ������(������) 与 f(x)- ������(������) 都是偶函数, ������(������) +g(x)与 ������(������) -g(x)的奇偶性不能确定.
问题1
函数单调性的证明或判断方法的归纳: 作差 → 变形 →定号; (1)用定义(点差法); (2)直接运用已知函数(如: 一次函数 、 二次函数 、反比例函数等)的单调性; (3)如果f(x)在区间D上是增(减)函数,那么f(x) 在D的任一非空子区间上也是增(减)函数; (4)图象法:根据图象的上升或下降的趋势判断函 数的单调性; (5)奇函数在对称的单调区间内有 相同 的单调 相反 的单调性. 性,偶函数在对称的单调区间内具有
高考数学一轮复习函数性质的综合应用-教学课件
时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于( )
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 (2)设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值
为
.
(3)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减
函数,若 f(a)≥f(2),3;1=2-x 得 x= 1 . 2
由图象可以看出,
当 x= 1 时,f(x)取到最小值 3 .
2
2
答案:(1) 1 +2 1 + 1 (2)1 (3) 3
a a2
2
反思归纳 (1)求函数值域与最值的常用方法:
①先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.
②图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低 点,求出最值. ③配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方 法求解. ④换元法:对较复杂的函数可通过换元法转化为熟悉的函数,再用 相应的方法求值域或最值. ⑤基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等” 的条件后,再用基本不等式求出最值. ⑥导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,
2
4
4
(D) 1 2
(2)(2013 年高考天津卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若
实数 a 满足 f(log2a)+f( log 1 a)≤2f(1),则 a 的
2
取值范围是( )
(A)[1,2] (B)(0, 1 ](C)[ 1 ,2](D)(0,2]
3.函数 f(x)= 1 的最大值是( D )
1 x 1 x
(A) 4 5
函数性质的综合应用(课件)-2024届《创新设计》高考数学一轮复习(湘教版)
B.b<c<a
C.c<a<b
D.b<a<c
解析 因为f(2-x)=f(x),f(-x)=f(x),
则函数f(x)关于直线x=1对称,且f(x)为偶函数,
又f(x+2)=f(-x)=f(x),
故f(x)的周期为2,
索引
因为 a=f2 0223=f12,c=f-41=f14. 1=log44>log43>log42=21, 因为 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(log43)>f12>f14, 即 b>a>c.
索引
(2)(2023·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)是偶函数,f(x-
1)是奇函数,则下列结论正确的个数是( D )
①f(x)=f(x-16);②f(11)=0;③f(2 024)=f(0);④f(2 023)=f(3).
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 因为f(2x+1)是偶函数,所以f(-2x+1)=f(1+2x),
A.f(1)+f(-1)<0
B.f(-2)+f(2)>0
C.f(1)-f(-2)<0
D.f(-1)+f(2)>0
解析 由题可知f(x)的定义域为(-3,3), f(-x)=2-x-21-x+lg-3+ x+x3=-2x-21x+lg x3+ -3x=-f(x),
所以 f(x)是奇函数,所以 f(x)+f(-x)=0,故 A,B 错误;
C.b<a<c
D.b<c<a
解析 易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,
∵奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0,
∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.
又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1), ∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b.
第01讲函数性质综合应用
第01讲函数性质综合应用函数是数学中一个重要的概念,亦在物理学、经济学以及工程学中广泛应用。
在数学中,函数性质的综合应用主要是指利用函数的性质解决具体问题,比如求函数的最值、最值点的坐标、方程的解等等。
本文将通过具体的例子来展示函数性质的综合应用。
首先,我们来看一个求函数最值的例子。
假设有一个函数f(x)=2x^2-3x+1,我们要求它的最小值。
首先,我们可以通过求导的方法来找到函数的驻点。
对函数进行求导得到f'(x)=4x-3、然后将f'(x)=0带入,解得驻点x=3/4、接下来,我们可以通过求二阶导数的方法来判断驻点的性质。
对函数f(x)进行二次求导得到f''(x)=4、因为f''(x)大于0,所以x=3/4是函数f(x)的最小值点。
除了求函数最值,函数性质的综合应用还包括求函数的单调区间。
假设有一个函数g(x)=x^3-3x^2-9x+5,我们要求它的单调区间。
首先,我们可以通过求导的方法来找到函数的关键点。
对函数进行求导得到g'(x)=3x^2-6x-9、然后将g'(x)=0带入,解得关键点x=-1和x=3、接下来,我们可以通过关键点将数轴划分为三个区间,即(-∞,-1),(-1,3),(3,+∞)。
然后我们可以在每个区间内任取一个数进行代入,并根据函数的正负情况来判断函数在该区间内的单调性。
通过计算可得,函数g(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)内是递增的,在区间(-1,3)内是递减的。
此外,函数的性质还可以应用于求解方程的解。
假设有一个方程h(x)=3x^2-2x-8=0,我们要求它的解。
首先,我们可以通过计算判别式D 来判断方程的解的情况。
对方程进行计算得到D=(-2)^2-4*3*(-8)=196、因为D大于0,所以方程有两个实数解。
接下来,我们可以通过求解方程h'(x)=0来找到函数h(x)在解的附近的驻点。
函数的性质综合应用
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数
③一个奇函数,一个偶函数和积函数是奇函数 4、若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
5、奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称
(三)奇偶性式子的变形 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 0 f ( x) 1( f ( x) 0) f ( x)
5、f ( x) a x a x (a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数 6、f ( x y ) f ( x) f ( y )(a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数
周期性
(1)定义 设函数y f ( x), x D如果存在非零常数T ,使得对任何x D都有f ( x T ) f ( x), 则称函数y f ( x)为周期函数 T 为的一个周期,所有周期中最小的正数,称为最小正周期,简称周期。
变式:设函数f ( x)对任意实数满足f (2 x) f (2 x),f (7 x) f (7-x)且f (0) 0, 判断函数f ( x)图象在区间上 -30, 30 与x轴至少有多少个交点.
解:由题设知函数f ( x)图象关于直线x 2和x 7对称,又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间 0, 10 内 f (0) 0, f (4) f (2 2) f (2 2) f (0) 0且f ( x)不能恒为零, 故图象与x轴至少有2个交点 而区间 30,30 上有6个周期,故在闭区间-30, 30 上f ( x)图象与x轴至少有13个交点.
C. f ( x) x cos x D . f ( x) x( x
例3.已知函数f ( x)
2
函数性质的综合应用
C. f (11)< f (21)< f (12)
D. f (21)< f (11)< f (12)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∵函数 f ( x )的图象关于点(-2,0)对称,
∴ f ( x -4)=- f (- x ).
又 f ( x )为定义在R上的奇函数,∴- f (- x )= f ( x ),
所以 f ( x +4)=- f ( x +2)= f ( x ),
因为 f (- x )+ f ( x )=0,所以 f (-(2+ x ))+ f (2+ x )=0,
即 f (2+ x )=- f (-2- x )=- f (2- x ),即 f (2+ x )+ f (2- x )=0,故函
D. f (2- x )= f ( x -1)
BC )
对于A选项,因为 f (- x )+ f ( x )=0,
且 f (1- x )= f (1+ x ),
所以 f (1-(1+ x ))= f (1+(1+ x )),
即 f ( x +2)=- f ( x ),A错;
对于B选项,因为 f ( x +2)=- f ( x ),
∵ f ( x )在(-∞,0)上单调递减,
∴ f ( x )在(0,+∞)上单调递增,则 f ( c )< f ( a )< f ( b ).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. 定义在R上的奇函数 f ( x ),其图象关于点(-2,0)对称,且 f ( x )在[0,2)
上单调递增,则(
函数的性质综合应用
函数的性质综合应用(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除一、选择题1.(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中,既是单调函数又是奇函数的是( )A.y=log3x B.y=3|x| C.y=x D.y=x3 2.(2016·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=3x-1,则f等于( )A.+1B.-1C.--1 D.-+1 3.(2016·西安模拟)设f(x)是定义在实数集上的函数,且f(2-x)=f(x),若当x≥1时,f(x)=ln x,则有( ) A.f<f(2)<f B.f<f(2)<f C.f<f<f(2) D.f(2)<f<f 4.已知函数f(x)=log(x2-ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2] B.[2,+∞)C. D. 5.(2016·威海模拟)函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)>0的解集为( )A.{x|x>2或x<-2} B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4} D.{x|0<x<4} 6.(2016·杭州高三联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且在(-∞,0)上单调递增,如果x1+x2<0且x1x2<0,则f(x1)+f(x2)的值( )A.可能为0 B.恒大于0C.恒小于0 D.可正可负7.(2016·浙江诸暨中学交流卷一)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数f(x)=被称为狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集,现有关于函数f(x)的如下四个命题:①f(f(x))=0;②函数f(x)是偶函数;③任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立;④存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.其中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3D.48.关于函数图象的对称性与周期性,有下列说法:①若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(3+x),则f(x)的一个周期T=2;②若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(3-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称;③函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于直线x=2对称;④若函数y=与函数f(x)的图象关于原点对称,则f(x)=.其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3D.4二、填空题9.(2016·孝感模拟)已知y=f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且当0≤x≤2时,f(x)=x2-2x,则当10≤x≤12时,f(x)=________________.10.对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是________.(把正确的序号都填上)①f(x)=|x+2|;②f(x)=x2;③f(x)=sin x;④f(x)=cos2x.11.(2016·北京大兴区高三4月统一练习)已知函数f(x)=若在其定义域内存在n(n≥2,n∈N*)个不同的数x1,x2,…,x n,使得==…=,则n的最大值是________;若n=2,则的最大值是________.12.(2016·武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f(x)=a log2|x|+1(a≠0),定义函数F(x)=给出下列命题:①F(x)=|f(x)|;②函数F(x)是奇函数;③当a>0时,若x1x2<0,x1+x2>0,则F(x1)+F(x2)>0成立;④当a<0时,函数y=F(x2-2x-3)存在最大值,不存在最小值.其中所有正确命题的序号是________.答案解析1.D 2.D3.C [由f(2-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于x=1对称,所以f=f,f=f,又当x≥1时,f(x)=ln x,单调递增,所以f<f<f(2),即f<f<f(2).]4.D [令t=g(x)=x2-ax+3a,易知f(t)=log t在其定义域上单调递减,要使f(x)=log(x2-ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,则t=g(x)=x2-ax+3a在[1,+∞)上单调递增,且t=g(x)=x2-ax+3a>0,即所以即-<a≤2.]5.C [由题意可知f(-x)=f(x),则(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),即(2a-b)x=0恒成立,故2a-b=0,即b=2a.则f(x)=a(x-2)(x+2).又函数在(0,+∞)上单调递增,所以a>0.f(2-x)>0,即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4.故选C.]6.C [由x1x2<0,不妨设x1<0,x2>0.∵x1+x2<0,∴x1<-x2<0.由f(x)+f(-x)=0,知f(x)为奇函数,又由f(x)在(-∞,0)上单调递增,得f(x1)<f(-x2)=-f(x2),∴f(x1)+f(x2)<0.故选C.]7.C [命题①,因为f(x)=0或f(x)=1,即f(x)∈Q,所以f(f(x))=1,故①错误;命题②,因为x和-x要么同为有理数,要么同为无理数,所以f(-x)=f(x),故②正确;命题③,因为T为有理数,所以x+T和x要么同为有理数,要么同为无理数,所以f(x+T)=f(x),故③正确;命题④,取B,C两点在x轴上,A点在直线y=1上,由两直线距离是1,可知BC边上的高为1,所以三角形的边长是,当A的横坐标为有理数x1时,B,C的横坐标分别为x1±,为无理数,所以④也成立.故选C.]8.C [在f(x+1)=f(3+x)中,以x-1代换x,得f(x)=f(2+x),所以①正确;设P(x1,y1),Q(x2,y2)是y=f(x)上的两点,且x1=x+1,x2=3-x,有=2,由f(x1)=f(x2),得y1=y2,即P,Q关于直线x=2对称,所以②正确;函数y=f(x+1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到,而y=f(3-x)的图象由y=f(x)的图象关于y轴对称得y=f(-x),再向右平移3个单位得到,即y=f[-(x-3)]=f(3-x),于是y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于直线x==1对称,所以③错误;设P(x,y)是函数f(x)图象上的任意一点,点P关于原点的对称点P′(-x,-y)必在y=的图象上,有-y=,即y=,于是f(x)=,所以④正确.]9.-x2+22x-120解析∵f(x)在R上是周期为4的奇函数,∴f(-x)=-f(x).由f(x+4)=f(x),可得f(x-12)=f(x).设-2≤x≤0,则0≤-x≤2,f(x)=-f(-x)=-x2-2x,当10≤x≤12时,-2≤x-12≤0,f(x)=f(x-12)=-(x-12)2-2(x-12)=-x2+22x-120.10.①③④解析因为f(x)=f(2a-x)(a≠0),所以函数f(x)的对称轴为x=a.所以准偶函数的定义等价于“若函数f(x)存在对称轴x=a(a≠0),则称f(x)为准偶函数”.因为函数f(x)=|x+2|的对称轴为x=-2,所以f(x)=|x+2|是准偶函数;因为f(x)=x2只有一条对称轴是x=0,不满足准偶函数的定义,所以f(x)=x2不是准偶函数;因为x=是函数f(x)=sin x 的一条对称轴,所以函数f(x)=sin x是准偶函数;因为x =π是函数f(x)=cos2x的一条对称轴,所以函数f(x)=cos2x是准偶函数.综上,应填①③④.11.3 4-2解析画出函数f(x)=的图象,如图,使得==…=的x1,x2,…,x n的个数就是直线y=kx与y=f(x)的图象的交点个数,由图知直线y=kx与y=f(x)的图象的交点个数最多有三个,所以n的最大值是3.当n=2时,的最大值就是直线y=kx与-x2+4x-3(1≤x≤3)的图象相切时k的值,由判别式可得k=4-2(k=4+2不合题意舍去),即的最大值是4-2.12.②③解析①因为|f(x)|=而F(x)=这两个函数的定义域不同,不是同一个函数,即F(x)=|f(x)|不成立,①错误.②当x>0时,F(x)=f(x)=a log2|x|+1,-x<0,F(-x)=-f(-x)=-(a log2|-x|+1)=-(a log2|x|+1)=-F(x);当x<0时,F(x)=-f(x)=-(a log2|x|+1),-x>0,F(-x)=f(-x)=a log2|-x|+1=a log2|x|+1=-F(x),所以函数F(x)是奇函数,②正确.③当a>0时,F(x)=f(x)=a log2|x|+1在(0,+∞)上是单调增函数.若x1x2<0,x1+x2>0,不妨设x1>0,则x2<0,x1>-x2>0,所以F(x1)>F(-x2)>0,又因为函数F(x)是奇函数,-F(x2)=F(-x2),所以F(x1)+F(x2)>0,③正确.④函数y=F(x2-2x-3)=当x>3或x<-1时,因为a<0,所以y=F(x2-2x-3)既没有最大值,也没有最小值.10。
第04课函数性质的综合应用(课件)
【反思】周期性与奇偶性结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变
量转化到已知解析式的定义域内求解.
一、【考点逐点突破】
【考点 5】函数的周期性与偶函数之性质判断 【典例】(多选)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),且在[-2,0]上单调递减,下面关于 f(x)的判断正确的 是( ) A.f(0)是函数的最小值 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.f(x)在[2,4]上单调递增 D.f(x)的图象关于直线 x=2 对称
【解析】因为函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 所以函数 y=f(x)的图象关于原点对称,即函数 f(x)是 R 上的奇函数, 所以 f(x+2)=-f(x),所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故 f(x)的周期为 4. 所以 f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=4,所以 f(2 020)+f(2 022)=f(2 020)+f(2 020+2) =f(2 020)+f(-2 020)=f(2 020)-f(2 020)=0,所以 f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=4. 【反思】由函数的奇偶性和对称性求函数的性质,一种思路是按奇偶性、对称性的定义,可推导出周期性,二是可 利用奇偶性、对称性画草图,利用图象判断周期性.
故 f(8)=0.故 f(2 024)=f(16×126+8)=f(8)=0.又在 f(x+8)+f(x)=0 中,令 x=-3,得 f(5)+f(-3)=0,得 f(5)=-
f(-3)=f(3)=5,则 f(2 019)=f(16×126+3)=f(3)=5,所以 f(2 019)+f(2 024)=5.故选 B.
一、【考点逐点突破】
函数性质的综合应用
核心素养提升
3.
(2008 天津理 9)已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间0,∞ 上是增函数.令
a
f
sin
2 7
,
b
f
cos
5 7
,
c
f
tan
5 7
,则(
)
√A. b a c B. c b a
sin 2 7
sin
2 7
sin
4 14
C. b c a
D. a b c
@《创新设计》
16
x 1
y
log52
log5 5
1 2
1
z e2
1
e
11 4 2
x z y
知识衍化体验
考点聚集突破
核心素养提升
@《创新设计》
17
a ln 2 ln
e
1 2
0
c
1
1
1 2
a c b
b 0
知识衍化体验
考点聚集突破
核心素养提升
18
√
a 0,b 0,c 0
10
(2019·青岛质检)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,圆 O 交 x 轴于点 F1,F2,
交 y 轴于点 B1,B2,以 B1,B2 为顶点,F1,F2 分别为左、右焦点的椭圆 E,恰 好经过点1, 22. (1)求椭圆 E 的标准方程;
(2)设经过点(-2,0)的直线 l 与椭圆 E 交于 M,N 两点,求△F2MN 的面积的最
b f(2) 221 2
c f(log2 12) 2log2 121 2log2 6 6
@《创新设计》
知识衍化体验
3.2函数性质的综合应用课件高三数学一轮复习
(2)(多选题)(2023·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)是偶函数,f(x-1)
是奇函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)=f(x-16)
B.f(19)=0
C.f(2 024)=f(0)
D.f(2 023)=f(1)
【解析】选ABC.因为f(2x+1)是偶函数,所以f(-2x+1)=f(1+2x), 即f(1-x)=f(1+x),即函数关于x=1对称,则f(x)=f(2-x). 因为f(x-1)是奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),则f(-x-2)=-f(x)=-f(2-x), 即f(x-2)=-f(2+x),则f(x)=-f(x+4),即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数的周期是8, 则f(x)=f(x-16)成立,故A正确; 令x=0,由f(-x-1)=-f(x-1),得f(-1)=-f(-1),得f(-1)=0,f(3)=0, 则f(19)=f(3)=0,故B正确; f(2 024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正确; f(2 023)=f(8×253-1)=f(-1),故D错误.
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2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0) 对称,f(1)=4,则f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)的值为 4 . 【解析】因为y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,即函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0. 因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4, 所以f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=4,f(2 020)=f(0)=0,f(2 022)=f(2)=-f(0)=0, 所以f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=4.
高考数学复习:函数性质的综合应用
A.f(2.7)<f(π)<f(e)
B.f(π)<f(e)<f(2.7)
C.f(2.7)<f(e)<f(π)
D.f(e)<f(2.7)<f(π)
解析 f(x)=2x-sin x,因为cos x∈[-1,1],故f'(x)=2-cos x>0,
所以f(x)在(0,+∞)内单调递增,因为2.7<e<π,所以f(2.7)<f(e)<f(π),故选C.
3.若f(3-x)=-f(x),则f(x)图象关于点(3,0)对称.( × )
4.若函数f(x)的周期为2,且图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数.( √ )
题组二 回源教材
5.(人教A版必修第一册复习参考题3第9题改编)已知奇函数f(x)在[a,b]上单
调递减,那么f(x)在[-b,-a]上单调__________;若偶函数f(x)在[a,b]上单调递
过平移与对称性联系起来;
(2)已知相关函数的奇偶性或对称性,可以推得函数的周期,反之,由函数的
周期性以及奇偶性,可以推得其对称性;
(3)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,
直到自变量的值在已知解析式的区间或与已知的函数值建立关系,必要时
可再次利用奇偶性、对称性将自变量的符号进行转化.
(4)若对于R上的任意x都有f(a+x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点(
,0)对
2
称.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.若f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,则有f(2)>f(-3).( √ )
4.函数的性质综合应用
2、组合函数的性质应用: 1 的图像大致 1函数f x ln x 1
lg x 的图像大致是 2 函数y x
3、单调、奇偶性、对称性的综合应用 例3、设f x 是R上的奇函数,当0 x 1时,f x x, 则f x _______ 2x , x0 练习 、设奇函数f x 1 , 则g 2 __ g x , x 0 1 1 2、设函数f x f x 并且f x 有三个零点,则 2 2 所有零点和=_______ 3、定义在R上的奇函数f x f x , 且x 0,2时,f x log 2 x 1 , 请研究函数在 8, 8的性质
4、函数性质的综合应用: 1 x 例已知2 256且 log 2 x , 求函数f x log 2 log 2 2 的最大和最小值
x 2
x 2
练习1、已知函数y=4x 32 x 3的值域为1, 7 ,试确 定x的范围
函数的基本性质
函数的性质的综合应用
1、函数性质的综合应用:单调性奇偶性的应用 例1、若函数f x k 1 a x a x a 0且a 1 在R上既 是奇函数,又是减函数,则g x log a x k 的图像是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4x 1 例2、函数f x x 的图像 2 A关于原点对称B关于直线y=x对称C关于x轴对称D关于y轴对称 2 练习2、函数f x lg 1的图像 x 1 A关于原点对称B关于直线y=x对称C关于x轴对称D关于y轴对称
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一、选择题1.(2016·广西中学高一期中上)下列函数中,既是单调函数又是奇函数的是( ) A .y =log 3x B .y =3|x | C .y =x 12D .y =x 32.(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=3x-1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152等于( ) A.3+1B.3-1 C .-3-1D .-3+13.(2016·模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数,且f (2-x )=f (x ),若当x ≥1时,f (x )=ln x ,则有( )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D .f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134.已知函数f (x )=log 13(x 2-ax +3a )在[1,+∞)上单调递减,则实数a 的取值围是( )A .(-∞,2]B .[2,+∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,2 5.(2016·威海模拟)函数f (x )=(x -2)(ax +b )为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f (2-x )>0的解集为( ) A .{x |x >2或x <-2} B .{x |-2<x <2} C .{x |x <0或x >4}D .{x |0<x <4}6.(2016·高三联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f (-x )=0,且在(-∞,0)上单调递增,如果x 1+x 2<0且x 1x 2<0,则f (x 1)+f (x 2)的值( ) A .可能为0B .恒大于0C .恒小于0D .可正可负7.(2016·诸暨中学交流卷一)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ∈Q ,0,x ∈∁R Q 被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,现有关于函数f (x )的如下四个命题:①f (f (x ))=0;②函数f (x )是偶函数;③任取一个不为零的有理数T ,f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R恒成立;④存在三个点A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2)),C (x 3,f (x 3)),使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是( ) A .1B .2C .3D .48.关于函数图象的对称性与周期性,有下列说法:①若函数y =f (x )满足f (x +1)=f (3+x ),则f (x )的一个周期T =2;②若函数y =f (x )满足f (x +1)=f (3-x ),则f (x )的图象关于直线x =2对称;③函数y =f (x +1)与函数y =f (3-x )的图象关于直线x =2对称;④若函数y =1x +1与函数f (x )的图象关于原点对称,则f (x )=1x -1.其中正确的个数是( ) A .1B .2C .3D .4二、填空题9.(2016·模拟)已知y =f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数,且当0≤x ≤2时,f (x )=x 2-2x ,则当10≤x ≤12时,f (x )=________________.10.对于函数f (x ),若存在常数a ≠0,使得x 取定义域的每一个值,都有f (x )=f (2a -x ),则称f (x )为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是________.(把正确的序号都填上) ①f (x )=|x +2|;②f (x )=x 2;③f (x )=sin x ; ④f (x )=cos2x .11.(2016·大兴区高三4月统一练习)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+4x -3,1≤x ≤3,x -3,x >3,若在其定义域存在n (n ≥2,n ∈N *)个不同的数x 1,x 2,…,x n ,使得f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=…=f (x n )x n,则n 的最大值是________;若n =2,则f (x n )x n的最大值是________.12.(2016·部分学校毕业生2月调研)已知函数f (x )=a log 2|x |+1(a ≠0),定义函数F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),x >0,-f (x ),x <0,给出下列命题: ①F (x )=|f (x )|; ②函数F (x )是奇函数;③当a >0时,若x 1x 2<0,x 1+x 2>0,则F (x 1)+F (x 2)>0成立; ④当a <0时,函数y =F (x 2-2x -3)存在最大值,不存在最小值. 其中所有正确命题的序号是________.答案解析1.D 2.D3.C [由f (2-x )=f (x )可知函数f (x )的图象关于x =1对称,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53,又当x ≥1时,f (x )=ln x ,单调递增,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f (2), 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2).]4.D [令t =g (x )=x 2-ax +3a ,易知f (t )=log 13t 在其定义域上单调递减,要使f (x )=log13(x 2-ax +3a )在[1,+∞)上单调递减,则t =g (x )=x 2-ax +3a 在[1,+∞)上单调递增,且t =g (x )=x 2-ax +3a >0,即⎩⎪⎨⎪⎧--a2≤1,g (1)>0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2,a >-12,即-12<a ≤2.]5.C [由题意可知f (-x )=f (x ),则(-x -2)(-ax +b )=(x -2)(ax +b ),即(2a -b )x =0恒成立,故2a -b =0,即b =2a .则f (x )=a (x -2)(x +2).又函数在(0,+∞)上单调递增, 所以a >0.f (2-x )>0,即ax (x -4)>0, 解得x <0或x >4.故选C.]6.C [由x 1x 2<0,不妨设x 1<0,x 2>0. ∵x 1+x 2<0,∴x 1<-x 2<0.由f (x )+f (-x )=0,知f (x )为奇函数, 又由f (x )在(-∞,0)上单调递增,得f (x 1)<f (-x 2)=-f (x 2),∴f (x 1)+f (x 2)<0.故选C.]7.C [命题①,因为f (x )=0或f (x )=1,即f (x )∈Q ,所以f (f (x ))=1,故①错误;命题②,因为x 和-x 要么同为有理数,要么同为无理数,所以f (-x )=f (x ),故②正确;命题③,因为T 为有理数,所以x +T 和x 要么同为有理数,要么同为无理数,所以f (x +T )=f (x ),故③正确;命题④,取B ,C 两点在x 轴上,A 点在直线y =1上,由两直线距离是1,可知BC 边上的高为1,所以三角形的边长是233,当A 的横坐标为有理数x 1时,B ,C 的横坐标分别为x 1±33,为无理数,所以④也成立.故选C.]8.C [在f (x +1)=f (3+x )中,以x -1代换x ,得f (x )=f (2+x ),所以①正确;设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)是y =f (x )上的两点,且x 1=x +1,x 2=3-x ,有x 1+x 22=2,由f (x 1)=f (x 2),得y 1=y 2,即P ,Q 关于直线x =2对称,所以②正确;函数y =f (x +1)的图象由y =f (x )的图象向左平移1个单位得到,而y =f (3-x )的图象由y =f (x )的图象关于y 轴对称得y =f (-x ),再向右平移3个单位得到,即y =f [-(x -3)]=f (3-x ),于是y =f (x +1)与函数y =f (3-x )的图象关于直线x =-1+32=1对称,所以③错误;设P (x ,y )是函数f (x )图象上的任意一点,点P 关于原点的对称点P ′(-x ,-y )必在y =1x +1的图象上,有-y =1-x +1,即y =1x -1,于是f (x )=1x -1,所以④正确.]9.-x 2+22x -120解析 ∵f (x )在R 上是周期为4的奇函数,∴f (-x )=-f (x ).由f (x +4)=f (x ),可得f (x -12)=f (x ).设-2≤x ≤0,则0≤-x ≤2,f (x )=-f (-x )=-x 2-2x ,当10≤x ≤12时,-2≤x -12≤0,f (x )=f (x -12)=-(x -12)2-2(x -12)=-x 2+22x -120. 10.①③④解析 因为f (x )=f (2a -x )(a ≠0),所以函数f (x )的对称轴为x =a .所以准偶函数的定义等价于“若函数f (x )存在对称轴x =a (a ≠0),则称f (x )为准偶函数”.因为函数f (x )=|x +2|的对称轴为x =-2,所以f (x )=|x +2|是准偶函数;因为f (x )=x 2只有一条对称轴是x =0,不满足准偶函数的定义,所以f (x )=x 2不是准偶函数;因为x =π2是函数f (x )=sin x 的一条对称轴,所以函数f (x )=sin x 是准偶函数;因为x =π是函数f (x )=cos2x 的一条对称轴,所以函数f (x )=cos2x 是准偶函数.综上,应填①③④. 11.3 4-23解析 画出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+4x -3,1≤x ≤3,x -3,x >3的图象,如图,使得f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=…=f (x n )x n的x 1,x 2,…,x n 的个数就是直线y =kx 与y =f (x )的图象的交点个数,由图知直线y =kx 与y =f (x )的图象的交点个数最多有三个,所以n 的最大值是3.当n =2时,f (x n )x n的最大值就是直线y =kx 与-x 2+4x -3(1≤x ≤3)的图象相切时k 的值,由判别式可得k =4-23(k =4+23不合题意舍去),即f (x n )x n的最大值是4-2 3.12.②③解析①因为|f (x )|=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),|x |≥2-1a,-f (x ),0<|x |<2-1a ,而F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),x >0,-f (x ),x <0,这两个函数的定义域不同,不是同一个函数,即F (x )=|f (x )|不成立,①错误.②当x >0时,F (x )=f (x )=a log 2|x |+1,-x <0,F (-x )=-f (-x )=-(a log 2|-x |+1)=-(a log 2|x |+1)=-F (x );当x <0时,F (x )=-f (x )=-(a log 2|x |+1),-x >0,F (-x )=f (-x )=a log 2|-x |+1=a log 2|x |+1=-F (x ),所以函数F (x )是奇函数,②正确.③当a >0时,F (x )=f (x )=a log 2|x |+1在(0,+∞)上是单调增函数.若x 1x 2<0,x 1+x 2>0,不妨设x 1>0,则x 2<0,x 1>-x 2>0,所以F (x 1)>F (-x 2)>0,又因为函数F (x )是奇函数,-F (x 2)=F (-x 2),所以F (x 1)+F (x 2)>0,③正确. ④函数y =F (x 2-2x -3)=⎩⎪⎨⎪⎧a log 2(x 2-2x -3)+1,x >3或x <-1,-a log 2(-x 2+2x +3)-1,-1<x <3,当x >3或x <-1时,因为a <0,所以y =F (x 2-2x -3)既没有最大值,也没有最小值.。