函数的性质综合应用

一、选择题

1．(2016·广西中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 12

D ．y ＝x 3

2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x

－1，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

20152等于( ) A.

3＋1

B.

3－1 C ．－3－1

D ．－

3＋1

3．(2016·模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )

A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13

B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

⎪⎫

13

D ．f (2)

⎪⎫13

4．已知函数f (x )＝log 1

3(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值围是( )

A ．(－∞，2]

B ．[2，＋∞)

C.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，2

D.⎝ ⎛⎦

⎥⎤－12，2 5．(2016·威海模拟)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－24}

D ．{x |0

6．(2016·高三联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．可能为0

B ．恒大于0

C ．恒小于0

D ．可正可负

7．(2016·诸暨中学交流卷一)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名

的函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q 被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，现有

关于函数f (x )的如下四个命题：

①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R

恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：

①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数y ＝1

x ＋1与函数f (x )的图象关于原点对称，则f (x )＝1

x －1.其中正确的个数是( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题

9．(2016·模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ，则当10≤x ≤12时，f (x )＝________________.

10．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是________．(把正确的序号都填上) ①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝x 2；③f (x )＝sin x ； ④f (x )＝cos2x .

11．(2016·大兴区高三4月统一练习)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 2＋4x －3，1≤x ≤3，

x －3，x >3，

若在其定

义域存在

n (n ≥2，n ∈N *)个不同的数

x 1，x 2，…，x n ，使得

f (x 1)x 1

＝

f (x 2)x 2

＝…＝

f (x n )x n

，则n 的

最大值是________；若n ＝2，则f (x n )x n

的最大值是________．

12．(2016·部分学校毕业生2月调研)已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝

⎩⎪⎨⎪⎧

f (x )，x >0，－f (x )，x <0，

给出下列命题： ①F (x )＝|f (x )|； ②函数F (x )是奇函数；

③当a >0时，若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，则F (x 1)＋F (x 2)>0成立； ④当a <0时，函数y ＝F (x 2－2x －3)存在最大值，不存在最小值． 其中所有正确命题的序号是________．

答案解析

1．D 2.D

3．C [由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，

所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13＝

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32

53

⎪⎫

13

4．D [令

t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知

f (t )＝lo

g 13t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log

1

3

(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且

t ＝g (x )＝x 2

－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨

⎪⎧

－－a

2≤1，

g (1)>0，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

a ≤2，

a >－1

2

，即－1

2