二项分布的数学期望和方差
二项分布数学期望与方差专题复习word有详解重点中学用
第十讲二项分布及应用随机变量均值与方差知识要点1.事件相互独立性(概率乘法公式)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．2. 互斥事件概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3.对立事件概率：假设事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)＝1－P(B)．4.条件概率加法公式：假设B、C是两个互斥事件，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)5.独立重复试验：在一样条件下重复做n次试验称为n次独立重复试验，即假设用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，那么P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点(1)在同样条件下重复，相互独立进展；(2)试验结果要么发生，要么不发生．6.二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生次数为X，在每次试验中事件A发生概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次概率为P(X＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1)是否为n次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生次数．7.离散型随机变量均值与方差及其性质定义：假设离散型随机变量X分布列为P(ξ＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n.(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X均值或数学期望．n(x i－E(X))2p i为随机变量X方差，其算术平方根(2)方差：D(X)＝∑i＝1D X为随机变量X标准差．(3)均值与方差性质：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)8.两点分布与二项分布均值、方差变量X服从两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；X～B(n，p)： E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)典例精析例1.【2021 高考四川，理17】某市A,B两所中学学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐学生一起参加集训，由于集训后队员水平相当，从参加集训男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队〔1〕求A中学至少有1名学生入选代表队概率.〔2〕某场比赛前，从代表队6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛男生人数，求X得分布列与数学期望.例2．如图，用K、A1、A2三类不同元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．K、A1、A2正常工作概率依次为0.9、0.8、0.8，那么系统正常工作概率为 ( )A．0.960 C．0.720例3.(2021·山东高考)甲、乙两支排球队进展比赛，约定先胜3局者获得比赛胜利，比赛随即完毕．除第五局甲队获胜概率是12外，其余每局比赛甲队获胜概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利概率．(2)假设比赛结果为3∶0或3∶1，那么胜利方得3分，对方得0分；假设比赛结果为3∶2，那么胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X分布列及数学期望．例4.为贯彻“激情工作，快乐生活〞理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛与决赛两局部，为了增加节目趣味性，初赛采用选手选一题答一题方式进展，每位选手最多有5次选答题时机，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者那么被淘汰，选手甲答题正确率为2 3 .(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛概率；(2)设选手甲在初赛中答题个数ξ，试写出ξ分布列，并求ξ数学期望．例5.(2021·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖方式对1 000位顾客进展奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值球袋中一次性随机摸出2个球，球上所标面值之与为该顾客所获奖励额．(1)假设袋中所装4个球中有1个所标面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获奖励额为60元概率；②顾客所获奖励额分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额预算是60 000元，为了使顾客得到奖励总额尽可能符合商场预算且每位顾客所获奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？例6．(13分)如下图，是某城市通过抽样得到居民某年月均用水量(单位：吨)频率分布直方图．(1)求直方图中x值；(2)假设将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回抽样)，求月均用水量在3至4吨居民数X分布列、数学期望与方差．例7．(12分)某网站用“10分制〞调查一社区人们幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们幸福度分数(以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶)：(1)指出这组数据众数与中位数；(2)假设幸福度不低于9，那么称该人幸福度为“极幸福〞．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福〞概率；(3)以这16人样本数据来估计整个社区总体数据，假设从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福〞人数，求ξ分布列及数学期望．例8.【2021 高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球甲箱与装有5个红球、5个白球乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出2个球中，假设都是红球，那么获一等奖；假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖.〔1〕求顾客抽奖1次能获奖概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖次数为X，求X分布列与数学期望.例9.〔2021 河北张家口市 三模21〕〔本小题总分值12分〕 设函数()21x f x e x ax ＝－－－． (Ⅰ)假设0a ＝，求()f x 单调区间；(Ⅱ)假设当0x ≥时，()0f x ≥，求a 取值范围． 参考答案例1.【2021 高考四川，理17】某市A,B 两所中学学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐学生一起参加集训，由于集训后队员水平相当，从参加集训男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 〔1〕求A 中学至少有1名学生入选代表队概率.〔2〕某场比赛前，从代表队6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛男生人数，求X 得分布列与数学期望.【答案】〔1〕A 中学至少1名学生入选概率为99100p =. 〔2〕X 分布列为：X 期望为()2E X =.【解析】〔1〕由题意，参加集训男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取〔等价于A 中没有学生入选代表队〕概率为333433661100C C C C =.因此，A 中学至少1名学生入选概率为1991100100-=. 〔2〕根据题意，X 可能取值为1，2，3. 所以X 分布列为：因此，X 期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.例2．如图10－8－1，用K 、A 1、A 2三类不同元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．K 、A 1、A 2正常工作概率依次为、、，那么系统正常工作概率为( B )A ．0.960B ．C ．0.720D ．【答案】 B 12A A 、 至少有一个正常工作概率为21(10.8)0.96P =--= ，那么系统正常工作概率为0.90.960.864K P P ⋅=⨯=例3.(2021·山东高考)甲、乙两支排球队进展比赛，约定先胜3局者获得比赛胜利，比赛随即完毕．除第五局甲队获胜概率是12外，其余每局比赛甲队获胜概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利概率．(2)假设比赛结果为3∶0或3∶1，那么胜利方得3分，对方得0分；假设比赛结果为3∶2，那么胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 分布列及数学期望．【尝试解答】 (1)记“甲队以3∶0胜利〞为事件A 1，“甲队以3∶1胜利〞为事件A 2，“甲队以3∶2胜利〞为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立， 故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－232×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利概率都为827，以3∶2胜利概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利〞为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝427.由题意，随机变量X 所有可能取值为0,1,2,3， 根据事件互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 分布列为所以EX ＝0×27＋1×27＋2×27＋3×27＝9.例4.为贯彻“激情工作，快乐生活〞理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛与决赛两局部，为了增加节目趣味性，初赛采用选手选一题答一题方式进展，每位选手最多有5次选答题时机，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者那么被淘汰，选手甲答题正确率为23.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛概率；(2)设选手甲在初赛 中答题个数ξ，试写出ξ分布列，并求ξ数学期望．【尝试解答】 (1)选手甲答3道题进入决赛概率为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827，选手甲答4道题进入决赛概率为C23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·13·23＝827，∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛概率P ＝827＋827＝1627；(2)依题意，ξ可取取值为3、4、5，那么有P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·13·23＋C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·23·13＝1027，P (ξ＝5)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·23＋C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·13＝827， 因此，有∴Eξ＝3×3＋4×27＋5×27＝27.规律方法2 求离散型随机变量均值与方差方法：(1)先求随机变量分布列，然后利用均值与方差定义求解．(2)假设随机变量X ～B (n ，p )，那么可直接使用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解．例5.(2021·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖方式对1 000位顾客进展奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值球袋中一次性随机摸出2个球，球上所标面值之与为该顾客所获奖励额． (1)假设袋中所装4个球中有1个所标面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获奖励额为60元概率；②顾客所获奖励额分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额预算是60 000元，为了使顾客得到奖励总额尽可能符合商场预算且每位顾客所获奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元． 如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？ 【解答】 (1)设顾客所获奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获奖励额为60元概率为12. ②依题意，得X 所有可能取值为20,60.P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，P (X ＝60)＝12， 即X 分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获奖励额数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)．(2)对于方案1：设每位顾客获得奖励额为X 1元，那么随机变量X 1分布列为X 1 20 60 100 P162316∴数学期望E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，方差D (X 1)＝20－6026＋23×(60－60)2＋100－6026＝1 6003.对于方案2：设顾客获得奖励额为X 2元，那么X 2分布列为X 2 40 60 80 P162316∴数学期望E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，方差D (X 2)＝40－6026＋23×(60－60)2＋80－6026＝4003.根据预算，每个顾客平均奖励额为60元，且E (X 1)＝E (X 2)＝60，D (X 1)>D (X 2)．因此，根据商场设想，应选择方案2.例6.如图10－9－4所示，是某城市通过抽样得到居民某年月均用水量(单位：吨)频率分布直方图．图10－9－4(1)求直方图中x 值；(2)假设将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回抽样)，求月均用水量在3至4吨居民数X 分布列、数学期望与方差． 【解】 (1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋＋x ＋＋＝1，解得x ＝0.12.(2)由题意知，X ～B (3,0.1)．因此P (X ＝0)＝C 03×3＝，P (X ＝1)＝C 13××2＝，P (X ＝2)＝C 23×2×＝， P (X ＝3)＝C 33×3＝0.001.故随机变量X 分布列为X 0123PXX 方差为D (X )＝3××(1－0.1)＝0.27.例7．某网站用“10分制〞调查一社区人们幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图10－9－3记录了他们幸福度分数(以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶)：图10－9－3(1)指出这组数据众数与中位数；(2)假设幸福度不低于9，那么称该人幸福度为“极幸福〞．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福〞概率；(3)以这16人样本数据来估计整个社区总体数据，假设从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福〞人数，求ξ分布列及数学期望．【解】 (1)众数：8,6；中位数：(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福〞人有4人．设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福〞，至多有1人是“极幸福〞记为事件A ，那么P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140(3)从16人样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福〞人概率为416＝14，故依题意可知，从该社区中任选1人，抽到“极幸福〞人概率P ＝14ξ可能取值为0,1,2,3P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫343＝2764；P (ξ＝1)＝C 1314⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342＝2764P (ξ＝2)＝C23⎝⎛⎭⎪⎪⎫14234＝964；P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫143＝164 所以ξ分布列为Eξ＝0×64＋1×64＋2×64＋3×64＝另解由题可知ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，14，所以Eξ＝3×14＝0.75.例8. 【2021 高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球甲箱与装有5个红球、5个白球乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出2个球中，假设都是红球，那么获一等奖；假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖.〔1〕求顾客抽奖1次能获奖概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖次数为X ，求X 分布列与数学期望.【答案】〔1〕107；〔2〕详见解析. 【解析】试题分析：〔1〕记事件1A =｛从甲箱中摸出1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，那么可知1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率加法公式即可求解；〔2〕分析题意可知1(3,)5XB ，分别求得00331464(0)()()55125P XC ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()55125P X C ===，即可知X概率分布及其期望.试题解析：〔1〕记事件1A =｛从甲箱中摸出1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，∵142()105P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； 〔2〕 顾【考点定位】1.概率加法公式；2.离散型随机变量概率分布与期望. 【名师点睛】此题主要考察了离散型随机变量概率分布与期望以及概率统计在生活中实际应用，这一直都是高考命题热点，试题背景由传统摸球，骰子问题向现实生活中热点问题转化，并且与统计联系越来越密切，与统计中抽样，频率分布直方图等根底知识综合试题逐渐增多，在复习时应予以 关注.例9.【2021 高考四川，理21】函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.〔1〕设()g x 是()f x 导函数，评论()g x 单调性；〔2〕证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.【答案】〔1〕当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.〔2〕详见解析.【解析】〔1〕由，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()()222ln 2(1)a g x f x x a x x '==---+，所以222112()2()2224()2x a a g x x x x-+-'=-+=. 当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减； 当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. 〔2〕由()222ln 2(1)0af x x a x x'=---+=，解得11ln 1x xa x ---=+.令2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2()ln 2()2()1111x x x x x x x x x x x x x x x x xϕ------------=-++--+++++. 那么211(2)2(1)10,())2()011e e e e e eϕϕ----=>=--<++，.故存在0(1,)x e ∈，使得0()0x ϕ=.令00011ln ,()1ln (1)1x x a u x x x x x ---==--≥+，. 由1()10u x x'=-≥知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增. 所以001110()(1)()20111111u x u u e e a x e e----=<=<=<++++. 即0(0,1)a ∈.【考点定位】此题考察导数运算、导数在研究函数中应用、函数零点等根底知识，考察推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考察函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【考点定位】此题考察导数运算、导数在研究函数中应用、函数零点等根底知识，考察推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考察函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【名师点睛】此题作为压轴题，难度系数应在以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其根底知识，在高考题中也必有表达.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第〔1〕题，所以对难度最大最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少分是志在必得.解决函数题需要一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜测. 在此题中，结合待证结论，可以想象出()f x 大致图象，要使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解，那么这个解0x 应为极小值点，且极小值为0，当0(1,)x x ∈时，()f x 图象递减；当0(,)x x ∈+∞时，()f x 图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.。
二项分布的方差推导
二项分布的方差推导二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了一次试验中成功次数的概率分布。
在实际应用中，二项分布经常用于描述重复进行的独立试验中成功的次数。
在二项分布中，每次试验只有两个可能的结果，即成功和失败。
成功的概率为p，失败的概率为1-p。
进行n次试验，成功的次数可以是0、1、2、...、n，每个次数的概率可以用二项分布公式计算。
二项分布的期望和方差是重要的统计量。
本文将重点讨论二项分布的方差推导。
1. 二项分布的方差定义二项分布的方差是指每次试验中成功次数与期望成功次数之差的平方的期望值。
即：$$Var(X)=E[(X-E(X))^2]$$其中，X表示二项分布随机变量，E(X)表示X的期望。
2. 二项分布的期望二项分布的期望可以用公式计算：$$E(X)=np$$其中，n表示试验次数，p表示成功的概率。
这个公式的推导较为简单，可以用期望的线性性质进行计算。
对于每次试验，成功的期望为p，失败的期望为1-p。
因此，n次试验中成功的期望为np，失败的期望为n(1-p)，总期望为np+n(1-p)=np。
3. 二项分布的方差推导二项分布的方差推导相对较为复杂，需要运用一些概率论的基本知识和数学技巧。
首先，我们需要计算X的平方的期望，即E(X^2)。
由于X只能取非负整数，因此X^2也只能取非负整数。
我们可以将X^2表示为：$$X^2=X(X-1)+X$$这个式子的意义是：X(X-1)表示在n次试验中先选择两次成功的情况数，X表示在n次试验中选择一次成功的情况数。
因此，X^2表示在n次试验中选择的成功次数的平方。
接下来，我们可以计算E(X(X-1))和E(X)。
对于E(X(X-1))，可以用以下公式进行计算：$$E(X(X-1))=sum_{k=0}^{n}k(k-1)binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$ 这个式子的含义是：在n次试验中，选择k次成功，然后再从这k次成功中选择两次的情况数，再乘以成功的概率p^k和失败的概率(1-p)^(n-k)，最后将所有情况的概率相加。
概率与统计中的二项分布
概率与统计中的二项分布概率与统计是数学中的重要分支，涉及到随机事件的概率计算和统计数据的分析。
在这个领域中，二项分布是一种常见且重要的概率分布。
一、二项分布的定义及特点二项分布是离散型概率分布的一种，用于描述在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
伯努利试验指的是只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的正反面或者某产品合格与否等。
二项分布的特点如下：1. 每次试验的结果只有两个可能，记为成功（S）和失败（F）。
2. 每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
3. 每次试验独立重复进行，试验次数记为n。
4. 求得成功次数k的概率。
二、二项分布的概率计算对于二项分布而言，可以通过以下公式来计算成功次数k的概率：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，即二项分布的概率质量函数；C(n, k)表示从n次试验中取出k次成功的组合数；p^k表示k次成功的概率；(1-p)^(n-k)表示n-k次失败的概率。
三、二项分布的应用举例1. 投掷硬币的例子假设我们有一枚均匀硬币，投掷10次，成功定义为出现正面，失败定义为出现反面。
设定成功概率p为0.5，那么可以利用二项分布计算出在10次投掷中出现k次正面的概率。
2. 测试产品合格率的例子假设某产品的合格率为0.8，现从中抽取20个样本进行测试，成功定义为抽取的产品合格，失败定义为抽取的产品不合格。
可以利用二项分布计算出在20个样本中有k个合格产品的概率。
四、二项分布的性质二项分布具有以下重要性质：1. 期望与方差：二项分布的概率分布的期望值和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
其中，E(X)表示成功次数的平均值，Var(X)表示成功次数的方差。
2. 定理：当试验次数n足够大，成功概率p足够小（或足够大），则二项分布可以近似为泊松分布或正态分布。
五、总结在概率与统计中，二项分布是一种常见的离散型概率分布，适用于描述在多次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
六个常用分布的数学期望和方差 ppt课件
E (X)μ,D (X)σ2
例1.已知 X~(3),Y求2X1, E(Y ) ,D(Y ) , E[3(X2 1)] 解：X~(3), E(X)3, D(X)3 则
E (Y)E (2X1)2E(X)1 5
D (Y)D (2X1) 4D(X) 12
E[3(X2 1)] 3E(X2)3 3 {D (X )[E (X )2 ]}3 33
由二项分布定义可知，X是n重贝努利试验中事件A发
生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p，设
1 X k 0
A 在k 次 第发,k 生 1 ,2 , ,n A 在k 次 第不 发 生
则Xk服从二点分布，其分布律为： X
0
1
E(Xk)p, D (Xk)p(1p) Pk 1-p p
X X 1 X 2 X n
e 22 dx（令
2
t
x ）
1
t2
(t)e2dt
2
2
t2
e 2 dt
D (X )E {X [E (X )2 ]} (x)2
1
(x)2
e 22 dxLeabharlann 22t2t2e2 dt （令 t x ）
2
2
2
t2
(t)d e2
2
t2
te2
2
t2
e 2dt
2
2
即
2 2
附： 几种重要随机变量的数学期望和方差
一.二点分布 二.二项分布 三.泊松分布
四.均匀分布 五.正态分布 六.指数分布
一.二点分布
若随机变量X服从二点分布，其分布律为：
X
0
1
Pk
1-p
二项分布的数学期望和方差公式
二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。
数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。
首先，我们来定义二项分布。
设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。
则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。
1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。
另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。
3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。
-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。
性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。
-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。
成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。
二项分布的期望和方差的计算方法综述
＝ ｐ （；一 ， ＝ｐ ｎ∑ｂ ｎ １ ） ｎ ｙ ｐ
ｔ ：０
基本 的数 学特 征。对于 统计学 的初 学者 ，掌 握二项 分 布 的
期望和方 差 的计 算方 法 ，是 必不 可少 的。在 计算 连续概 率
接下来计算变量 ｘ的 ２阶阶乘矩 ：
Ｅ（ ［ ）］＝ Ｅ Ｘ Ｘ 一１ ］ ［（ ）
ｘ ＝０，， ， ，那 么 １２ …
通过 阶乘矩 计算方 差 ，显 得 不是那 么 直截 了当 ，但 在 ｘ为非 负整 数 的 离 散变 量 时 ，计算 Ｅ［ Ｘ 一１ ］比计 算 Ｘ（ ）
Ｅ ）来得简 便。该法 运用 分布列 的概 率总 和等于 １的性 （
ｒ 阶阶乘矩为 ：
Ｅ（ ， ［ ）］＝Ｅ Ｘ Ｘ一１ （ 一 ） — ＋１ ］ ［（ ） ２ …（ ｒ ）
熹 ｇ … ～ｎ） （１耋 －ｐ ２
～（ ）荟 兰 一１ ｐ
一 ｇ …
口
将对 四种二项分布 的期望和方差 的计算方 法加 以介绍 ，
并综述各 自的优缺 点 ，希 望能帮 助读 者更深 刻地 理解二 项 分布 ，掌 握好 期望 和方 差 的性 质 ，夯 实概率 论和数 理统 计
分布的期望和方差时 ， 初学者能够运用到积分 （ ） ｆ 运算。 与此不同，计算离散概率分布的期望和方差时 ， 积分 （ ） Ｉ
运 算变成了 加总 （∑ ） 计算过程变得相对复杂了。 ， 一个
好 的计算 方法既要有 助 于人们 理解 期望 和方差 ，又要计 算 简便 以免打击学习 的积极性 。
学 的 理论 基 础 。
１ 阶乘 矩 法
＝ （ １ （；一 ， ＝ （ 一 ） ｎ 一 ） ∑ｂ ｎ ２ ） ｎｎ １ ｐ ｙ ｐ ｐ
六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
数学期望的几种求法
数学期望的几种求法
期望是统计学中的重要概念，又称均值数或期望值。
求数学期望有如下几种方法：
1、求期望的定义：
数学期望是指在定义域出现各可能结果的概率乘以其可能结果的积分的和的称之为期望，用符号Ε(X)表示为：
Ε(X)=Σx·P(x)
其中，Σx表示每一个可能出现的x的值的求和，P(x)表示可能出现的x的概率的和的称之。
2、求期望的性质：
（1）当数学期望中的x取任意值，则期望值保持不变：
Ε(aX+b)=aΕ(X)+b
（2）期望和越大，其中取值越多，则期望值越大：
Ε(X+Y)≥Ε(X)+Ε(Y)
3、求期望的常用公式：
（1）二项分布期望：
二项分布期望公式：Ε(X)=n·P
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（2）二项分布方差：
方差公式：V(X)=n·P·(1-P)
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（3）泊松分布期望：
泊松分布期望公式：Ε(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
（4）泊松分布方差：
方差公式：V(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
概率论中的二项分布与泊松分布
概率论中的二项分布与泊松分布概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的概率以及它们之间的关系。
在概率论中，二项分布和泊松分布是两个常见且重要的概率分布。
本文将分别介绍二项分布和泊松分布的定义、特点以及应用。
一、二项分布二项分布是指在一系列独立的、相同概率的伯努利试验中，成功事件发生的次数服从二项分布的概率分布。
其中，伯努利试验是指只有两个可能结果的试验，如抛硬币的结果只有正面和反面两种情况。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中，n代表试验次数，k代表成功事件发生的次数，p代表每次试验成功的概率，C(n,k)代表组合数。
二项分布的特点有以下几点：1. 二项分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...,n。
2. 二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
3. 当试验次数n趋向于无穷大时，二项分布逼近于泊松分布。
二项分布在实际应用中有广泛的应用，比如在质量控制中，可以使用二项分布来计算在一定数量的产品中出现不合格品的概率；在投资决策中，可以使用二项分布来计算在一系列投资项目中成功项目的数量等。
二、泊松分布泊松分布是指在一段时间或区域内，事件发生的次数服从泊松分布的概率分布。
泊松分布适用于事件发生的概率很小，但试验次数很大的情况。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!，其中，λ代表单位时间或单位区域内事件的平均发生率。
泊松分布的特点有以下几点：1. 泊松分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...。
2. 泊松分布的期望值和方差均为λ。
3. 当试验次数n趋向于无穷大，每次试验成功的概率p趋向于0，但np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。
泊松分布在实际应用中也有广泛的应用，比如在电话交换机的排队系统中，可以使用泊松分布来描述单位时间内到达电话的数量；在可靠性工程中，可以使用泊松分布来描述设备的故障率等。
概率论中的期望与方差计算技巧
概率论中的期望与方差计算技巧概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的规律性。
在概率论中，期望和方差是两个重要的概念，它们能够帮助我们描述和分析随机变量的特征和变异程度。
本文将介绍一些计算期望和方差的技巧，帮助读者更好地理解和应用概率论。
首先，我们来了解一下期望的概念。
在概率论中，期望是随机变量的平均值，它是对随机变量取值的加权平均。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，X表示随机变量，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。
这个公式的意义是，将每个取值乘以其对应的概率，然后将所有结果相加，即可得到期望。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)表示随机变量的概率密度函数。
这个公式的意义是，将每个取值乘以其对应的概率密度，然后对所有结果进行积分，即可得到期望。
接下来，我们来讨论一下方差的计算技巧。
方差是用来衡量随机变量的离散程度的指标，它表示随机变量与其期望之间的差异。
方差的计算公式为：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，E(X)表示随机变量的期望。
这个公式的意义是，将随机变量与其期望的差值平方，然后对所有结果进行加权平均，即可得到方差。
在实际计算中，计算期望和方差可能会遇到一些复杂的情况。
下面，我们将介绍一些常见的计算技巧，帮助读者更好地应用概率论。
首先，对于独立随机变量的期望和方差计算，可以利用期望和方差的性质进行简化。
如果X和Y是独立随机变量，那么它们的期望和方差的计算可以分别简化为：E(X+Y) = E(X) + E(Y)Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)这个性质在实际计算中非常有用，可以简化复杂问题的求解过程。
其次，对于二项分布和泊松分布的期望和方差计算，可以利用分布的特性进行简化。
对于二项分布，期望和方差的计算公式为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
常见概率分布期望方差以及分布图汇总
������������
������������ 2
指数分布（负指 数分布）
Γ(1, ������)
������ > 0
������
������ 2
注：指数分布是Γ分布的特殊情况 χ2 分布
������2 (������)
������ ≥ 1
负二项分布（帕
离 散 型
斯卡分布）
B0 (������, ������)
0<p<1 r≥1
K=r,r+1,… P{������ = ������} = (1 − ������)������−1 ������ K=1,2,…
������ ������ 1 ������ ������������ ������
������ 2 ∞ ������⁄ 2
0，n>1
������ , ������ > 2 ������ − 2
非中心 t 分布
������(������, ������)
������ ������ ≥ 1
������ − 1 ������Γ ( ) ������ 2 √ ������ 2 Γ( ) 2 (n>1)
常见的“概率分布表 + 分布图”汇总（内容源自书本，同时本人额外加了许多内容进去。此表可直接打印）整理人：算法君
说明，我们学过的各种概率分布公式较多且形式多样，各分布的数学期望及方差是常用的数据，为方便做题目，也方便记忆故作此表，并在此共享给大家希望给大家提供一定方便！
类
分布
单点分布（退化 分布） (0-1)分布（两点 分布或伯努利分 布） 二项分布
数学期望 a p np
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。
本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。
一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。
1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。
超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。
2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
二项分布、期望、方差综合方法提升
综合方法提升：二项分布、期望、方差探点一：二项分布问题和应用1、（二项分布和超几何分布区别）一批产品共300件，其中次品数占产品总数的3%，随机抽取4件样品进行检验，X 表示样品中抽到的次品数，在下列条件小求)1(=X P 。
（1）不放回抽样； （2）放回抽样。
2、（最值问题）已知电梯在每个电梯口停与不停的可能性相同，且在每一层是否停互相独立，则十层电梯从底层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？3、（逆向的二项分布问题）一批玉米种子，其发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种，问：每穴至少种几粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%？（3010.02lg =）4、（二项分布探究题）抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P 的横坐标，另一枚的点数为点P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P 在圆1622=+y x 内的次数X 的分布列。
探点二：期望与方差的计算和应用1、（计算期望和方差）（1）某毕业生参加人才招聘会，分布向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为32，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。
记X 为该毕业生得到面试的公司个数。
若121)0(==X P ，则随机变量X 的数学期望=)(X E 。
（2）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。
试题库中现共有m n +道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量。
（1）求2+=n X 的概率； （2）设n m =，求X 的分布列和数学期望。
（3）已知X 的分布列为 且设)(4X E X Y -=， 则=)(Y E ，=)(Y D 。
概率与统计中的二项分布
概率与统计中的二项分布概率与统计是数学中的一个分支，它研究随机事件的发生概率以及对这些概率进行推断和决策。
在概率与统计的研究中，二项分布起到了重要的作用。
本文将介绍二项分布的概念、特性和应用。
一、二项分布的概念二项分布是概率与统计中最基本的离散概率分布之一。
它描述了在一系列独立的重复试验中成功的次数。
一个二项分布的参数有两个，一个是重复试验的次数n，另一个是每次试验成功的概率p。
我们用X 表示在n次重复试验中成功的次数，则X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)。
这里，n满足n∈N*，p满足0≤p≤1。
二、二项分布的特性1. 期望值和方差：对于参数为n和p的二项分布X~B(n,p)，其期望值μ=np，方差σ^2=np(1-p)。
这个特性在实际问题中非常有用，可以通过期望和方差来判断和推断二项分布的分布情况。
2. 概率函数：二项分布的概率函数被称为概率质量函数（PMF），可以用来计算在给定参数n和p的情况下，随机变量X等于某个固定值k的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)表示从n个试验中选取k个成功的方式数。
通过概率质量函数，我们可以计算任意二项分布随机变量X的概率。
3. 单调性：在概率与统计中，二项分布的单调性是一个重要特性。
随着成功概率p的增加，成功次数k的概率P(X=k)会随之增加，即，随着成功概率的增加，成功的可能性也会随之增加。
三、二项分布的应用二项分布在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见应用场景：1. 投硬币问题：如果我们将一枚硬币抛掷n次，而每次正面朝上的概率为p，那么正面朝上的次数X就符合二项分布B(n,p)。
通过计算可以得出每次抛硬币正面朝上的概率，从而判断其是公平硬币还是有偏倚。
2. 质检问题：在质量控制过程中，我们需要判断在一次批次生产中，某个产品合格的概率是多少。
如果我们在批量生产中随机抽取n个产品进行检查，而每个产品合格的概率为p，那么合格产品的数量X就符合二项分布B(n,p)。
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望的方差的证明山西大学附属中学 韩永权离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2k n = p q -=1）称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．1 求证：服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=.证明如下：预备公式： 11k k n n kc nc --=100110220211(1)()11011111()(......)n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q c p q c p q c p q c p q ----------------+=++++++因为()(1),k k n k k k n kn np k c p p c p q ξ--==-= 所以 001112220012......n n n k k n k n nn n n n n E c p q c p q c p q k c p q nc p q ξ---=⨯+⨯++⨯++⨯++ =00110220211(1)()11011111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c p q c p q c p q c p q c pq ---------------++++++ =1()n np p q np -+= 所以E np ξ= 方法二：证明：若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。
若设⎩⎨⎧=次试验失败如第次试验成功如第i i X i 01 1,2,i n =则12...n X X X X =+++，因为 P X P i ==)1(，q P X P i =-==1)0( 所以p p q X E i =*+*=10)(，则=)(X E np X E X E ni i ni i ==∑∑==11)(][可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np 需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。
常见分布的数学期望和方差
分布
k!
数
k 0,1,2,
pq
npq
学 期
均匀 分布
f (x)
1 b
a
,
a
x
b
0 , else
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
ab 2 1
(b a)2 12 1
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ，
(
x) 2 2
2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
E( X i ) p , D( X i ) p(1 p) ,
而 X= X1+X2+…+Xn ， Xi 相互独立，
n
n
所以 E( X ) E( X i ) E( X i ) np .
i 1
i 1
n
n
D( X ) D( X i ) D( X i ) np(1 p) .
i 1
i 1
所以 D( X ) np(np p 1) (np)2 np(1 p) .
4
下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的
数学期望和方差.
设 X ~ B ( n, p )，X表示n重伯努利试验中的成功次数.
设
1 X i 0
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i=1,2,…,n
则
Xi
P
10
p 1 p
与 2X 的关系是则( ).
A.有相同的分布
B.数学期望相等
C.方差相等