工程中的数学方法

齐次变换矩阵法（Homogeneous Transformation Matrix Method）基 于TTRS模型，利用矩阵求解公差 范围。 用户定义法（User-Defined Tolerance Zones Using Parametric Curves)利用B样条曲线，进行公差 范围求解。
Summary of various approaches for the construction of tolerance zones
引言
当前的公差分析多采 用计算机辅助的形式，在 此基础上，有多种数学建 模方式被应用。
CATALOGUE
> 公差分析的应用与分析难点 > 计算机辅助公差设计 > 建立公差模型的数学方法研究
目录
> 漂移公差带模型 > 虚拟边界模型
> 矢量空间模型
> 齐次变换矩阵法
> 用户定义法
可互换性 理论几何 公差选择 生产制造 质量 检查 形状与尺 要求和规 CAPP 经济效益 寸 范
蒙特卡罗方法的精度正 比于样本量的平方根， 因此为保证计算的正确 如果装配函数中各分量 性，需要大量的统计样 的均值或方差发生改变， 本进行多次重复运算， 需要重新进行运算。 计算次 数一般 在 2 0 万 次以上，导致计算时间 过长。
线性规划
公 差 综 合
公 差 综 合 的 优 化 方 法
装配函数 具有明确 的表达式
设计变量由设计者确定，用以表示最 终装配体的多目标优化函数。
模型变量是控制零件各个公差的独立 变量。
这种理论适用于公差分析和合成的场 合，是公差自动化分析系统GEOT的基 础。但是对于不同零件的定义，就有 不同的模型变量类型和数目，因此不 可能存在通用的矢量空间。因此相对 较为麻烦。
建立公差模型的 数学方法研究
统计公差分析法
统计公差分析法是 指以统计分布的形 式来描述零件尺寸 的变化，并计算得 出零件的制造能力 和装配函数的统计 分布。一旦确定了 各零件尺寸的分布 参数， 就可以计算 出设计尺寸的公差 范围。
统计公差法在计算装配公差 时，假定各零件公差服从正 态分布，装配公差与零件公 差之间是线性关系，通过假 设使得实际情况得 到了简化。
极值法
公差分析方法简介
公差分析是公差设计中的 一个重要环节，常用的方 法主要包括极值法、统计 公差分析法和MonteCarlo模拟法
极值法是原理最简单、计算量 最小、应用范围最广泛的公差 分析方法。该方法无须考虑零 件尺寸在公差带内的分布，且 能保证装配成功率和零件互换 性为 100% 。
实际生产中不会出现加工出的零件尺寸同时处于极值状态的 现象，因而利用此法进行设计过于保守， 使加工成本增加
建立公差模型的 数学方法研究
漂移公差带模型
此方法是由Requicha提出的， 最早的一种用于建立公差带的 数学方法。它基于闵科夫斯基 和（Minkowski sum）的方法， 对实体进行漂移操作。对于表 面特征和相关公差信息则运用 偏差图（VGraph）来表示。 VGraph主要是作为一种分解 实体表面特征的手段，将实体 的边界部分定义为特征，公差 信息则封装在特征属性中。
闵科夫斯基和（Minkowski sum）是两个 欧几里得空间的点集的和，以德国数学 家闵可夫斯基命名。点集A与B的闵可夫 斯基和就是A+B={a+b|a∈A,b∈B}。例如， 平面上有两个三角形，其坐标分别为A = {(1, 0), (0, 1), (0, −1)}及B = {(0, 0), (1, 1), (1, −1)}，则其闵可夫斯基和为A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}。
MMC：Maximum Material Condition 最大材料条件 LMC：Least Material Condition 最小材料条件 Parratt提出最大实体(MMP)的概念，用以 定义在指定公差允许的条件下零件的最 大实体。 MMP：Maximum Material Parts LMP：Least Material Parts
计算机辅助公差设计
· 设计阶段 · 制造阶段 · 检测阶段 · 性能相关
公差分析 Tolerance Analysis
公差综合 Tolerance Synthesis
制造阶段——CAPP 包括选择机床和加工过程 检测阶段——测量偏差与规范一致性 性能相关——与偏差相关的性能
公差分析是指己知尺寸链中各组成环公差， 公差综合是指在保证产品装配技术要求下， 确定最终装配后所要保证的封闭环公差，是 规定各组成环尺寸的经济合理的公差,可以看 设计与制造高质量产品的关键一步。 成是从制造和检测的角度对公差设计进行优 化和补充。 公差分析的方法主要有两种:极值法和统计法 蒙特卡罗法（Monte Carlo simulation method）
⑤将步骤 ③、 ④ 重复 N 次 , 即可得到封闭环尺寸的 N 个子样 , 构成一个样本
⑥对求解的封闭环或组成环样本进行统计处理 , 从而确定封闭环 尺寸的平均值、 标准差和公差等
Monte Carlo 模拟法的计算机流程
Monte Carlo方法虽然能够处理 由装配关系或零件的弹性变形 所引起的非线性装配函数，但 该方法仍存在以下缺陷。
A Survey of Mathematical Methods for the Construction of Geometric Tolerance Zones
曹原菲 14721380 施 侃 14721381
机械装配过程中，在保证各组成零件适当功能的前提下， 各组成零件所定义的、允许的几何和位置上的误差称为公差。 公差的大小不仅关系到制造和装配过程，还极大影响着产品的 质量、功能、生产效率以及制造成本。 公差分析或称偏差分析，即通过已知零部件的尺寸分布和 公差，考虑偏差的累积和传播，以计算装配体的尺寸分布和装 配公差的过程。公差分析的目的在于判断零部件的公差分布是 否满足装配功能要求，进而评价整个装配的可行性。
首先，从装配件的各组成零件的功 能集合出发。抽取每对理想匹配特 征；再对每对特征定义一个合适的 虚拟表面；为了术语( 不是实体边， 包围 )简单化和为方便产生软件量规 (这种软件量规可用来直接验证零件 的功能)．定义一个虚拟半空间．使 得虚拟表面是虚拟半空间的边界。 为了进一步进行零件设计公差的 有效性验证 提供加工路线 进行 工序控制。使用统计公差技术， 又将有位置要求和实效体积要求 的装配件的VBRS描述的公差转 化为条件公差t并且给出了具体 的数学公式．这些公式可作为零 件检验的软件量规。
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公差分析的应用 与分析难点
Singularities
PROBLEM
计算机辅助公差设计(Computer Aided Tolerancing,简称CAT) 技术是指在机械产品的设计、加工、装配、检测等过程中,利用计 算机对产品及其零部件的尺寸和公差进行并行优化和监控,力图用 最低的成本设计并制造出满足用户精度要求的产品。
Hale Waihona Puke Baidu
非线性规划 Langrage 乘子法 遗传算法 模拟退火算法 Monte Carlo 仿真方法
非线性装 配函数
展望
考虑到零件公差的多样性及产品装配过程的 复杂性等因素的影响，今后需要在以下几个 方面进行深入研究。
（1）当前的公差 模型较多，而且各 有其应用层面上的 优势和不足，应尽 快建立一种适用于 所有刚性零件、能 够较为科学全面地 描述尺寸和形位公 差、面向装配公差 分析的公差模型。 （2）实际装配过 程大多都是非线性 的，Monte Carlo模 拟法可较好地处理 非线性装配函数， 但其计算量过大， 计算时间过长，因 此应考虑在公差分 析过程中运用更高 效的优化算法。 3）柔性件的公差 分析方法是目前研 究的难点和热点， 其不同于刚性零件 的装配过程和偏差 传播机理，所以应 研究适用于柔性件 的公差模型和分析 方法。
虚拟边界实际上是满足公差定义的零 件偏差的极值边界，所以虚拟边界模 型可用于极值公差分析，但不适用于 尺寸链复杂的装配体。
矢量空间模型首先需要定义公差变 量、设计变量和模型变量。 公差变量表示零件名义尺寸的偏差。
建立公差模型的 数学方法研究
矢量空间模型
在数学上，矢量的操作比代数 的操作要方便，而且随着计量 技术的进一步发展， 出现 CMM (三坐标测量机)。CMM 主要是进行点测量，因此，为 了适应CMM 测量技术，可将 实际零件看作空间上的点来处 理，提出了矢量公差法。 Hoffmann提出了矢量空间模 型，Turner扩展了这一模型。
MMC solid=（S t）
在CAD中，利用半空间、布尔运算， 可以得到综合公差结果。 漂移公差带模型很好地表达了 轮廓公差，轮廓公差包含了所有实 际制造过程中的偏差。该模型提供 了公差的通用理论且易于实现，但 是不能区分不同类型的形状公差。
建立公差模型的 数学方法研究
虚拟边界模型
Jayaraman和Srinivasan 以漂 移公差法作为基础，将装配件 的功能要求描述为虚拟表面的 功能要求刚性集台。 这种用虚拟表面或虚拟半空间 的边界的刚性集合来描述的功 能要求的方法称为虚拟表面法 或虚拟边界要求法(VBRS)。
齐次变换矩阵法 用户定义法
Desrocher等从研究建立独立于造型系统的 公差信息表示模型的角度出发,提出了基于 TTRS(Topologically and Technologically RelatedSurface, TTRS)的公差信息表示方法。 它首先从CAD系统中提取必需的信息,将零 件的各表面以二叉树的形式组织,形成零件 的TTRS二叉树结构;然后构造此TTRS的最小 几何基准元(MinimumGeometric DatumElement,MGDE)。
用 Monte Carlo 模拟法进行公差分析的具体步骤 :
Monte Carlo模拟法
①明确各组成环的分布规律 用蒙特卡洛模拟法 (Monte Carlo
Simulation) 进行公差分析 , 就是把 ②根据计算精度要求确定随机模拟次数 N, 当作 求封闭环尺寸及其公差的问题 求一个随机变量的统计问题来处理。 ③根据各组成环尺寸的分布规律和分布范围 ,分别对其进行随机 因此封闭环尺寸及公差的确定 , 完全( X 1 , 抽样 , 从而得到一组已知组成环和封闭环尺寸的随机抽样 X 2 , ...... , X n) 采用随机模拟和统计实验的方法 ,在 一定条件下 用这种方法得到的结果 ④将随机抽样 ( X1 , X 2 , , ...... , X n ) 代入公差函数 ,计算未知的封闭 环或组成环尺寸 , 得到该尺寸的一个子样 比较符合实际情况。
实际配合 与性能
公差分析的应用 与分析难点
Tolerance information utilization and transfer in a manufacturing enterprise
CAPP：Computer Aided Process Planning 计算机辅助工艺过程设计
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公差分析的应用 与分析难点