关于专升本高等数学测试题答案

关于专升本高等数学测试

题答案

This manuscript was revised on November 28, 2020

专升本高等数学测试题

1.函数x y sin 1+=是（ D ）．

（A ） 奇函数； （B ） 偶函数； （C ） 单调增加函数； （D ） 有界函数．

解析 因为1sin 1≤≤-x ，即2sin 10≤+≤x , 所以函数x y sin 1+=为有界函数． 2.若)(u f 可导，且)e (x f y =，则有（ B ）；

（A ）x f y x d )e ('d =； （B ）x f y x x d e )e ('d =； （C ）x f y x x d e )e (d =； （D ）x f y x x d e )]'e ([d =．

解析 )e (x f y =可以看作由)(u f y =和x u e =复合而成的复合函数 由复合函数求导法 ()x

x

u f u f y e

)(e )(⋅'=''='，

所以 x f x y y x x d e )e ('d d =⋅'=． 3.⎰

∞+-0

d e x x =( B );

(A)不收敛; (B)1; (C)－１; (D)0.

解析 ⎰

∞

+-0

d e x x

∞+--=0

e x

110=+=．

4.2(1)e x y y y x '''-+=+的特解形式可设为（ A ）；

(A)2()e x x ax b + ； (B) ()e x x ax b +；

(C) ()e x ax b +； (D) 2)(x b ax +．

解析 特征方程为0122=+-r r ，特征根为 1r =2r =1．λ=1是特征方程的特征重根，于是有2()e x p y x ax b =+．

5.=+⎰⎰y x y x D

d d 22( C )，其中D ：1≤22y x +≤4；

(A) 2π4

2

01

d d r r θ⎰⎰； (B) 2π4

01

d d r r θ⎰

⎰；

(C) 2π2

20

1

d d r r θ⎰

⎰； (D) 2π2

1

d d r r θ⎰

⎰．

解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式．

当⎩⎨⎧==θ

θsin cos r y r x 时，d d d d x y r r θ=，由于1≤22y x +≤4，D 表示为 21≤≤r ，02πθ≤≤，故=

+⎰⎰y x y x D

d d 2

2d d D

r r r θ⋅=⎰⎰2π2

20

1

d d r r θ⎰

⎰．

6.函数y =

)12arcsin(31

2

-+-x

x 的定义域

解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正

弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧<->-≠-,112

,03,

032x

x x 推得⎩⎨

⎧≤≤<<-,40,

33x x 即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[. 7. 求极限x

x x -+-→22

2lim

2 =

解：原式=)

22)(2()

22)(22(lim

2++-+++-→x x x x x

=2

21

lim

2++→x x

=

4

1

. （恒等变换之后“能代就代”） 8.求极限x

t

t x x πcos 1d πsin lim

1

1

+⎰→=

解：此极限是“00

”型未定型，由洛必达法则，得

x t

t x x πcos 1d πsin lim

1

1

+⎰

→=)πcos 1()d πsin (lim

1

1

'

+'

⎰→x t t x

x =π

1

)π1(lim πsin ππsin lim

11-=-=-→→x x x x

9.曲线⎩⎨⎧==,,

3

t y t x 在点（1，1）处切线的斜率 解：由题意知：

⎩

⎨⎧==,1,

13

t t 1=⇒t ,

∴ 33)()(d d 1

2

1

31

=='

'====t t t t t t x

y ,

∴曲线在点（1，1）处切线的斜率为3

10. 方程0'2''=+-y y y , 的通解为 解： 特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为x x C C y e )(21+=. 11. 交错级数)

1(1

)1(11

+-∑∞

=-n n n n 的敛散性为

（4） ∑∞

=-+-1

1

)1(1

)

1(n n n n =∑∞

=+1)

1(1n n n ,

而级数∑

∞

=+1)

1(1

n n n 收敛，故原级数绝对收敛.

12.x

x x

)11(lim 2-

∞→. （第二个重要极限） 解一 原式=10])1

1[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x x

x x x =1ee 1=-，

解二 原式=)1

()(2])1

1[(lim 2x x x x

--∞→-=1e 0=．

13.)]1ln(1

1[lim 20x x

x x +-→

解 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成

00或∞

∞

型. )]1ln(11[lim 20x x x x +-→x

x x

x x x x 211

1lim )1ln(lim 020+-

=+-=→→ 2

1

)1(21lim )1(211lim

00=+=+-+=→→x x x x x x .

14.设x

x x f e )(=，求)('x f .

解：令x

x y e =, 两边取对数得：x y x ln e ln =, 两边关于x 求导数得：

即 )e ln e ('e x

x x y x

x

x

+=.