第三章第三节FFT变换mm资料

数字信号处理
2.2 利用DFT进行连续信号的频谱分析
1、混叠 2、泄漏 3、栏栅效应 4、DFT的分辨率 5、周期信号的谱分析
数字信号处理
数字信号处理
3.3 快速傅里叶变换
有限长序列通过离散傅里叶变换 (DFT)将其频 域离散化成有限长序列。但其计算量太大(与N 的平方成正比），很难 实时地处理问题，因 此 引 出 了 快 速傅 里 叶 变 换(FFT) 。 FFT并 不是 一 种 新 的 变 换 形 式，它 只 是 DFT 的一 种 快 速 算 法， 并 且 根 据 对 序列分解与选取方法的不同而产生 了 FFT 的 多 种 算 法 。 FFT 在 离 散 傅 里 叶 反 变 换、线 性 卷 积 和 线 性 相 关 等 方 面 也 有 重 要 应 用。
数字信号处理
例子
设一序列x(n)的长度为L=9,应加零补长为 N=24=16 应补7个零值。
x(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n
数字信号处理
2.算法步骤
设序列点数 N = 2M，M为整数。若不满足， 则补零
x(n)DFT为：
所以所有X(k)就要4N2次实数乘法运算,2N2＋2N(N1)＝ N(4N-2)次实数加法运算.当N很大时,运算量 将是惊人的, 这样,难以做到实时处理。
数字信号处理例子
例1:当N=1024点时，直接计算DFT需要： N2=220=1048576次，即一百多万次的复乘运算 这对实时性很强的信号处理(如雷达信号处理)来 讲，它对计算速度有十分苛刻的要求-->迫切需 要改进DFT的计算方法，以减少总的运算次数。 例2：石油勘探，24通道记录，每通道波形记录长度
数字信号处理
直接计算DFT算法存在的问 题及改进途径
•问题提出： 设有限长序列x(n),非零值长度为N, 计算对x(n)进行一次DFT运算，共 需多大的运算工作量?
数字信号处理
1.比较DFT与IDFT的运算量
N 1
x(n) DFT X (k) x(n)WNkn n0
X (k)
IDFT x(n)
要进行: N次复数乘法 + (N-1)次复数加法 所以，要完成整个DFT运算，其计算量为：
N*N次复数相乘和N*(N-1)次复数加法
数字信号处理
3.一次复数乘法换算成实数运算量
一个复数乘法包括4个实数乘法和2个实数相 法。
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)
2次实数加法
4次实数乘法
数字信号处理
引言：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，更 便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十 年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离 散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换 长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换 算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的 强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处 理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊 人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许 多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离 散傅里叶变换及其快速算法。
3.其它方法： 线性调频Z变换(Chrip-z法)
数字信号处理
3.3.1 按时间抽取的DFT
1、WNnk的特性
WNnk
j 2 nk
e N
1)对称性：（WNnk）＝WN-nk＝WN(N n)k
2)周期性：WNnk＝W（NN n)k
W n(k N
N
)
3)可约性：WNnk＝WmmNnk ,WNnk
W nk / m N /m
N
4)特殊点：WN0＝1，WN2
1,WN(kN 2)
WNk
数字信号处理
例子
W49 W4(45) W45 W41
W825 W817 W89 W81
利用以上特性,得到改进DFT直接算法的方法.
数字信号处理
2、DFT的基本思想
快速傅里叶变换( FFT ) 就是在此特性基础上 发展起来的：
数字信号处理
例
如果计算机的速度为平均每次复数乘需要5×10-6 秒 ，每次复加需要1×10-6秒，用来计算
N=1024点DFT,
问1)直接计算需要多少时间？2）用FFT算法计算 需要多少时间？
1)直接计算所需时间为：
T 5106 N 2 106 N (N 1)
5106 10242 106 10241023 6.29s
5秒，若每秒抽样500点/秒， 每通道道总抽样点数=500*5=2500点 24通道总抽样点数=24*2500=6万点 DFT运算时间=N2=(60000)2=36*108次
数字信号处理
5、 FFT的计算工作量
FFT算法对于N点DFT,仅需(N/2)log2N 次复数乘法运算和Nlog2N 次复数加法。
1 N
N 1 k 0
X (k)WNkn
其中x(n)为复数，WNkn
j 2 kn
eN
也为复数
所以DFT与IDFT二者计算量相同。
数字信号处理
2.以DFT为例复数运算量
计算一个X(k)(一个频率成分)值，运算量为 例k=1则
X (1) x(0)WN0 x(1)WN1 x(2)WN2 x(N 1)WNN1
2)用FFT计算需要时间为多少？
T
5106
N 2
log
N 2
106
N
log
N 2
35.84ms
6. F数F字T信算号法处分理 类：ຫໍສະໝຸດ Baidu
1.按抽取方法分： 时间抽取法(DIT Decimation-In-Time); 频率抽取法(DIF Decimation-In-Frequency)
2.按“基数”分： 基-2FFT算法； 基-4FFT算法； 混合基FFT算法； 分裂基FFT算法
（1）利用DFT系数的对称性和周期性,合并DFT 运算中的某些项；
（2）将长序列分解为短序列,从而减少其运算 量。
因合并与分解方法的不同产生了多种DFT的快 速算法。
数字信号处理
3.3.1 时域抽取法基2FFT基本原理
Decimation-in-Time(DIT)
1、时域抽取算法原理 设输入序列长度为N=2M(M为正整数， 将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来 越短的子序列，称为基2按时间抽取的 FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。 其中基数2----N=2M，M为整数.若不满 足这个条件，可以人为地加上若干零值 （加零补长）使其达到 N=2M