第三章第三节FFT变换mm资料

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经典傅里叶变换讲解ppt课件

)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2

信息与通信第3章离散傅里叶变换PPT课件

n
~x(n)
1
(b)
0123456 7
n
~x(n)
x(n rN ) x(n%N) x((n))N
r
x(n) ~x (n)RN (n) x((n))N RN (n)
x(n)为周期序列的主值序列
第4页/共46页
| X~(k)|
(c)
01 2 3 4 5 6 7
k
| X(k)|
(d)
01 2 3 4 5 6 7
四、用MATLAB计算序列的DFT
• Xk = fft(xn,N) • xn = ifft(Xk,N)
第12页/共46页
【例3.1.2】
(a)16点 DFT的幅频特性图 4
3
(b)16点 DFT的相频特性图 2
相位
幅度
2
0
1
0
0
0.5
1
1.5
2
/
(c)32点 DFT的幅频特性图 4
W ( N 1)1 N
W 02 N
W 12 N
W ( N 1)2 N
W 0( N 1) N
W 1( N 1) N
x(0) x(1)
WN(
N
1)(
N
1)
x(N 1)
x(0) x(1)
1 N
W 00 N
W 10 N
x(N 1)
WN(N 1)0
W 01 N
W 11 N
1
n0
DFT的物理意义2：X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间[0, 2π] 上的N点等间隔采样。
第9页/共46页
三、DFT的隐含周期性
N 1

第三章傅里叶变换

2 T
t0 T t0
f
(t) sin(nw1t)dt
令 An
an2 bn2
，n
arctan
bn an
，则：
An ：称为n次谐波分量的振幅，是n的偶函数。
n ：称为n次谐波分量的相位，是n的奇函数。
一、三角形式
3.1 周期信号的傅里叶级数
f
(t)
a0 2
n1
An
cos(nw1t
n )
A0 2
1.5
1.5
1
1
1
1
1
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.4
0.2
0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
相位谱：
(a) n 45° n
45°
45° 45°
30°
30°
30°
20°
30°
20°
15° 10°
（2）时域非周期信号，造成频域连续的谱。
连续非周期
3.2 非周期信号的傅里叶变换
二、典型非周期信号的频谱函数
（1） g (t)
Sa( w )
2
解： F(w)
g
(t
)e
jwt
dt
2
1
e
jwt
dt
2
e jwt 2
2
jw
jw
jw
e 2 e 2
jw
2sin( w )
2
w
sin( w )
性质中所对应的原函数都是乘以 (-jt)。

《离散傅里叶变换-第三章》

( ∑ X ()W ( k ∑ XX kk ) = ∑ xxnnW ) ==∑ eex ( n= W )e
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16，则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)

[数学]数字信号处理3-离散傅里叶变换

• 所以
5 sin k 10 k Xp sin k 10
4 argX p k k 10
湛江师范学院
(2)设
5 n 14
14 nk 10 2p n 5 p
X k x nW
(e
j 2 k 10 10
0.9 sin k 4 k tg 1 1 0.9 cos k 4
湛江师范学院
湛江师范学院
x(n) R4 (n)
频谱抽样点N=8
抽样点N=16
湛江师范学院
3.3 离散傅里叶变换的性质
3.3.1 线性特性
yn ax1 n bx2 n
1 e
2 k 10
3.2 离散傅里叶变换(DFT)
周期序列虽然是无限长序列，但是它只含有 N个独立信息。因此，周期序列与有限长序列有着本质的联系，这正是由离散傅里叶级数向离散傅里叶变换过渡的关键所在。
x ( n)
0
N 1
n
x p (n)
…
N 0 N
…
湛江师范学院
有限长序列的长度为 N, 周期序列的周期为N,
N 1 k 0 p1 p2
nk N
N 1 1 N 1 N 1 mk rk nk x p1mW N x p 2 r W N W N r 0 N k 0 m 0
湛江师范学院
1 N 1 k n mr x p1m x p 2r W N m 0 r 0 k 0 N
p N N N
x p n m R N n W N
n 0
N 1
nk

傅立叶变换(FFT)离散余弦变换(DCT)

一个M×N大小的二维函数f(x,y)，其离散傅立叶变换对为
M1N1
f(x,y)F(u,v)expj[2π(ux/Mvy/N)]
u0v0
x0,1,M1,y0,1N1
F(u,v)
1
M1N1
f(x,y)exp[j2π(ux/Mvy/N)]
MNu0v0
u0,1,M1,v0,1,N1
在数字图像处理中，图像一般取样为方形矩阵，即 N×N，则其傅立叶变换及其逆变换为
f (x, y) g(x, y) φ
g(x,y) [f(x,y)]
线性系统
对于一般线性系统，往往是用时间作为参数来描述的，表示为一维(t)系统。在图像处理中是用空间作为参数来描述的，通常表示为二维(x,y)系统。输入函数f(x,y)表示原始图像，输出函数g(x,y)表示经处理后的图像，线性系统可看作是一种映射φ，它反映了各种线性的图像处理方法，其输入和输出的关系表示为：
（1）具有有限个间断点（2）具有有限个极值点（3）绝对可积
则有下列式成立：
F (u) f ( x)e j 2 π ux dx (1)
f ( x) F (u)e j 2 π ux du (2)
x为时域变量，u 为频域变量
如果令w＝2πu，则有
F (w) f (x)e jwx dx
f
0
0
N
在频域中，原点平移到(u0，v0)时，其对应的f(x,y) 要乘上一个正的指数项 ej2π(u0xv0y)
fx ,y e x j2p u 0x v 0y F u u,v v
N
0
0
也就是说，当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变
|F (u ,v )e j2 π (u0 x v0 )y| |F (u ,v )|

离散傅里叶变换(DFT)63244ppt课件

令k=m
n0
精选ppt
ak
1
N1
j2kn
x(n)e N
Nn0
7
第3章离散傅里叶变换(DFT)
ak
1
N1
j2kn
x(n)e N
Nn0
令X(k) Nak
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
X
(k
N
)
N
1
x(n)e
j
2 N
n(k
N
)
N 1
j 2 nk
x(n)e N
X (k)
n0
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓
(3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同周期序列）
精选ppt
10
第3章离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
FT
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱
精选ppt
3
第3章离散傅里叶变换(DFT)
(3)离散非周期信号
X (e j ) x(e j )e jnd
2
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
连续非周期() FT
离散非周期 () FS
连续周期（） DTFT
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
精选ppt
5
第3章离散傅里叶变换(DFT)

第三章第三节FFT变换mm

XXXX2222((((0123))))W WWWNNNN2130
-1 X(4) -1 X(5) -1 X(6)
X(7)
(2) N/2(4点)-->N/4(2点
由于)FNF=2TL ,所以 N/2仍为偶数,可以进一
步把每个N/2点的序列再按其奇偶部分分解为两个N/4的子序列。
X(0) N/4 X3(0) X(4) DFT X3(1)
计算一个X(k)(一个频率成分)值，运算量为例k=1则
要进行: N次复数乘法 + (N-1)次复数加法所以，要完成整个DFT运算，其计算量为：
N*N次复数相乘和N*(N-1)次复数加法
数字信号处理
3.一次复数乘法换算成实数运算量
一个复数乘法包括4个实数乘法和2个实数相法。
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)
第三章第三节FFT变换 mm
2020年4月23日星期四
数字信号处理
2.2 利用DFT进行连续信号的频谱分析
• 1、混叠 • 2、泄漏 • 3、栏栅效应 • 4、DFT的分辨率 • 5、周期信号的谱分析
数字信号处理
数字信号处理
3.3 快速傅里叶变换
• 有限长序列通过离散傅里叶变换 (DFT)将其频域离散化成有限长序列。但其计算量太大(与N 的平方成正比），很难实时地处理问题，因此引出了快速傅里叶变换(FFT) 。
例 8点FFT的算法
首先可以分解为两个N/2=4点的DFT.具体方法如下:
（1）N=8点分解成2个4点的
DFT的信号流图
x(0) x(2)
X1(0)
N/2点 X1(1)

数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件

2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2

FFT

第1章绪论1.1课题的背景及意义随着数字技术与计算机技术的发展，数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）技术已深入到各个学科领域，其应用又是多种多样，但数字信号处理基本上从两个方面来解决信号的处理问题：一个是时域方法，即数字滤波；另一个是频域方法，即频谱分析。

处理的任务大致分为三类:卷积——用于各种滤波器，对给定频率范围的原始信号进行加工（通过或滤出）来提高信噪比；相关——用于信号比较，分析随机信号的功率谱密度；变换——用于分析信号的频率组成，对信号进行识别。

其中，离散傅立叶变换（Discrete-time Fourier Transform，DFT）和卷积是信号处理中两个最基本也是最常用的运算，它们涉及到信号与系统的分析与综合这一广泛的信号处理领域。

由数字信号处理的基本理论可知，卷积可以转化为DFT来实现，实际上其他许多算法，如相关、谱分析等也都可以转化为DFT来实现；此外，各种系统的分析、设计和实现中都会用到DFT的计算问题。

所以，DFT在各种数字信号处理中起着核心作用，而DFT 的快速算法快速傅立叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)就成为了数字信号处理的最基本技术之一，对FFT算法及其实现方式的研究是很有意义的。

目前，FFT广泛应用在频谱分析、匹配滤波、数字通信、图像处理、语音识别、雷达处理、遥感遥测、地质勘探和无线保密通讯等众多领域。

在不同应用场合，需要不同性能要求的FFT处理器。

在很多应用领域都要求FFT处理器具有高速度、高精度、大容量和实时处理的性能。

因此，如何更快速、更灵活地实现FFT变得越来越重要。

此外，数字滤波在图像处理、语音识别和模式识别等数字信号处理中占有重要地位。

与模拟滤波器相比，数字滤波器可以满足滤波器幅度和相位特性的严格要求，可以克服模拟滤波器所无法克服的电压漂移、温度漂移和噪声等问题。

有限冲激响应（FIR）滤波器可以保证严格的线性相位。

数字信号处理第3章3.5-3.7 快速傅里叶变换(FFT)本

即
X 1 (k ) X 2 (k )
N 2
N /2 1

r 0
kr x1 (r )WN /2 DFT [ x1 ( r )]
(3.2.5)
N /2 1

r 0
kr x2 (r )WN /2 DFT [ x2 ( r )]
(3.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
用向量表示为
X =Wx
式中，X为N维列向量，称为变换列向量，为复数；W为 N N方阵，称为系数矩阵，为复数；x为N维列向量，表示离散时间信号，可以是复数。
即使x是实数，也可用复数表示，于是
Wx= Re W Re x - Im W Im x +jRe W Im x + Re x Im W
0 WN 0 N
W
1 N
1
1
0 WN 2 WN
W
2 N
1 1 1
X(5)
X(6)
1 W3 N 1
1
X(7)
图3.19 时间抽选的FFT流程图（N＝8）
17
3.5.3 DIT―FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
1.蝶形运算及运算量的比较每级由 N/2 个蝶形组成 , 每一级运算都需要 N/2 次复数乘和N次复数加 ( 每个蝶形需要两次复数加法 ) 。所以，M 级运算总共需要的.
复数乘次数为
复数加次数为例如，N=210=1024时
N N CM (2) M log 2 N 2 2 C A (2) N M N log 2 N
N2 1048576 204.8 ( N / 2)log2 N 5120

FFT讲义

lk lk X 6 ( k ) = ∑ x6 (l )WN / 4 = ∑ x2 (2l + 1)WN / 4
x5 (0) = x2 (0) = x(1) x5 (1) = x2 (2) = x(5)
X 5 (0)
X 2 (0)
X 5 (1)
X 2 (1)
x6 (0) = x2 (1) = x(3) x6 (1) = x2 (3) = x(7)
N = 2L
N／2仍是偶数
x1 (r ) 分解为奇偶两个序列
x3 (l ), x4 (l )
N , l = 0,1,L , 1 x1 (2l + 1) = x4 (l ) 4
x1 (2l ) = x3 (l )
(2 X 1 (k ) = ∑ x1 (2l )WN2lk2 + ∑ x1 (2l + 1)WN / l2+1) k / l =0 l =0
快速傅里叶变换
快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，而是离散博里叶变换(DFT)的一种快速算法。因此，为了很好地理解和掌握快速傅里叶变换，必须对离散傅里叶变换有充分的理解与掌握。由于DFT的计算量太大．即使采用计算机也很难对问题进行实时处理，所以并没有得到真正的运用。直到1965年库利(J. W. Coo1ey)和图基(J. W. Tukey)在《计算数学》上发表了著名的“机器计算傅里叶级数的一种算法”的文章．提出了DFT的一种快速算法．后来又有桑德(G. Sande)和图基的快速算法相继出现，情况才发生了根本的改变。经过人们对算法的改进，发展和完善了一套高速有效的运算方法，使DFT的计算大大简化，运算时间—般可缩短一、二个数量级，从而使DFT的运算在实际中真正得到了广泛的加用。

数字信号处理第三章-FFT

公式推导及参数选择
模拟信号进行频谱分析时，有几个重要的参数要选择，采样频率 Fs 频率分辨率F0 频谱分析范围采样点N
信号的最高截止频率能够分辨的两个频率分量最小的间隔
Fs 2
与对信号的观测时间有关
T 时域采样间隔 f s 时域采样频率 T0 信号记录长度 F0 （频率分辨率）频域采样间隔 N 采样点数 f h 信号最高频率 f s 2 f h f s 1/ T
2）缓慢截短
截断效应定义：对无限长的模拟信号进行截断而引起的误差现象称为截断效应。采样序列 x ( n ) ，对它用长为N的矩形窗进行截断： xN n x n RN n
矩形窗 RN n
的幅度谱
举例： x n cos w0n , w0 4 加矩形窗前、后的幅度谱
例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: DFT [ x1 (n)] X1 (k ) DFT [ x2 (n)] X 2 (k )
解：利用两序列构成一个复序列
w(n) x1 (n) jx2 (n)
则
W (k ) DFT [w(n)] DFT [ x1 (n) jx2 (n)] DFT [ x1 (n)] jDFT [ x2 (n)] X1 (k ) jX 2 (k )

3. 栅栏效应定义：N点DFT（FFT）得到的只是N个采样点上的频谱值，两点之间的频谱值是不知道的，就好像被栅栏遮住一样应对策略：增多DFT（FFT）的变换点数
在信号尾部加零的方法加大DFT（FFT）的变换点数。谱线更密。
频率分辨率
F0 1/ T0

第三章第三节快速傅里叶变换(FFT)

另一种形式的流程图是将节点排列成输入和输出两者都是正序排列，但这类流程图不能进行同址计算，因而需要两列长度为N的复数存储器。
例 8点FFT的算法
首先可以分解为两个N/2=4点的DFT.具体方法如下:
rk k rk X (k ) x(2r )WN /2 WN x(2r 1)WN /2 , r 0 r 0 3 3
x(1) x2 (0)、 x(5) x2 (2) 偶序列同理：x2 (r ) : x(3) x2 (1)、 x(7) x2 (3) 奇序列
X 1 (k )
N 1 4 l 0
x1 ( r )W4rk
r 0
N 4
N 1 2
在导出FFT算法之前，首先来估计一下直接计算DFT所需的计算量。 DFT的定义
其中
将DFT定义式展开成方程组
将方程组写成矩阵形式
用向量表示
用复数表示：
从矩阵形式表示可以看出，由于计算一个X(k)值需要N次复乘法和 (N-1)次复数加法，因而计算N个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N点的DFT共需要4N2次实数乘法和 (2N2+2N· (N-1))次实数加法。当N很大时，这是一个非常大的计算量。 FFT算法主要利用了WNk的两个性质： (1)对称性，即
第3章第三节快速傅里叶变换（FFT)
FFT算法分类：
1.按抽取方法分：时间抽取法(DIT Decimation-In-Time); 频率抽取法(DIF Decimation-In-Frequency) 2.按“基数”分：基-2FFT算法；基-4FFT算法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法 3.其它方法：线性调频Z变换(Chrip-z法)

fft变换

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。

有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。

这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。

另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。

现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。

一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。

采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。

采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。

N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。

为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。

那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。

每一个点就对应着一个频率点。

这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。

具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT 的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。

而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。

而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。

第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。

例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。

由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。

1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。

傅立叶变换ppt课件

信号处理
在信号处理中，傅立叶变换和逆变换是常用的工具，用于分析信号的频谱特性和时域特性。
逆变换的计算方法
直接计算法
对于一些简单的函数，可以通过直接计算得到其逆变换。这种方法需要手动计算，比较繁琐。
查表法
为了方便计算，可以制作一个傅立叶变换和逆变换的表格，通过查表得到函数的逆变换。这种方法比较快捷，但需要制作表格。
对于非周期信号，傅立叶变换的结果可能存在频谱泄露现象，需要进行窗函数处理或加权平均处理。
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总结词
线性组合的性质
详细描述
傅立叶变换具有线性组合的性质，即对于两个函数的和或差的傅立叶变换，等于各自傅立叶变换的线性组合。
移位性质
总结词
时间或频率的平移不变性
详细描述
傅立叶变换具有时间或频率的平移不变性，即函数在时间或频率轴上平移一定量，其傅立叶变换的结果也相应平移。
微分性质
总结词
频域的微分运算性质
更好地分析和处理信号。
信道容量分析
利用傅立叶变换可以分析信道的传输特性，从而确定信道的容量。
多载波传输
在多载波传输中，傅立叶变换被用于将高速数据流分解成多个低速数据流，以便于在多个载波上传输。
04
CATALOGUE
傅立叶变换的逆变换
逆变换的定义
逆变换
如果一个函数f(t)的傅立叶变换存在，那么可以找到一个函数F(ω) ，使得f(t) = F(-ω)。这个过程就是逆傅立叶变换。
MATLAB中傅立叶变换的示例
01
img = imread('image.jpg');
02
img_fft = fft2(double(img));

FFT快速傅里叶变换23页word文档

快速傅里叶变换[编辑]维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索傅里叶变换Z变换傅里叶级数傅里叶变换离散傅里叶级数离散时间傅里叶变换离散傅里叶变换快速傅里叶变换分数傅里叶变换短时距傅立叶变换小波变换离散小波变换连续小波变换快速傅里叶变换（英语：Fast Fourier Transform, FFT），是离散傅里叶变换的快速算法，也可用于计算离散傅里叶变换的逆变换。

快速傅里叶变换有广泛的应用，如数字信号处理、计算大整数乘法、求解偏微分方程等等。

本条目只描述各种快速算法。

对于复数序列，离散傅里叶变换公式为：直接变换的计算复杂度是（参见大O符号）。

快速傅里叶变换可以计算出与直接计算相同的结果，但只需要的计算复杂度。

通常，快速算法要求n能被因数分解，但不是所有的快速傅里叶变换都要求n是合数，对于所有的整数n，都存在复杂度为的快速算法。

除了指数的符号相反、并多了一个1/n的因子，离散傅里叶变换的正变换与逆变换具有相同的形式。

因此所有的离散傅里叶变换的快速算法同时适用于正逆变换。

目录[隐藏]• 1 一般的简化理论• 2 快速傅里叶变换乘法量的计算• 3 Cooley-Tukey算法o 3.1 设计思想• 4 其他算法• 5 实数或对称资料专用的算法• 6 复杂度以及运算量的极限•7 参考资料•8 参阅一般的简化理论[编辑]假设一个M*N Sub-rectangular matrix S可分解成列向量以及行向量相乘：若有个相异的non-trivialvalues( where )有个相异的non-trivial values则S共需要个乘法。

Step 1：Step 2：简化理论的变型：也是一个M*N的矩阵。

若有个值不等于0，则的乘法量上限为。

快速傅里叶变换乘法量的计算[编辑]假设，其中彼此互质点DFT的乘法量为，则点DFT的乘法量为：假设，P是一个质数。

若点的DFT需要的乘法量为且当中 ()有个值不为及的倍数，有个值为及的倍数，但不为的倍数，则N点DFT的乘法量为：Cooley-Tukey算法[编辑]主条目：Cooley-Tukey快速傅里叶变换算法Cooley-Tukey算法是最常见的FFT算法。