微分方程数值解习题(李立康)

常微分方程习题 《李立康》

习题

1.用Euler 方法求初值问题

⎩

⎨

⎧=-='0)0(21u tu

u 在1=t 时的近似解（取4

1=

h ）。 2.初值问题

1

3

00

u u u()⎧⎪'=⎨

⎪=⎩ 有解32

23/u(t )t ⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

。但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和H

T

h =

,都只能得到N t u t , (2)

1,0==，试解释此现象产生的原因。 3.用Euler 方法计算

⎩⎨

⎧=='1

)0(u u

u 在1=t 处的值，取16

1

和41=

h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。 4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(12

43

h O t u h -'''-

；

（2）当1

)1(22--

≤Lt n lT m e hL

R

e εε （3）方法具有二阶收敛速度且稳定。 5.导出用改进Euler 法求解

⎩⎨

⎧=='1

)0(u u

u 计算公式

m

m

h h u ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=22 取4

1

=

h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。 6.就初值问题

⎩⎨

⎧=+='0

)0(u b

at u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解

bt t a

u +=

22

相比较。

7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re(

⎩⎨

⎧=-='1

)0(2

u u u 用41=

h 的Euler 方法求解，求出实际计算值t u 与真解t

u +=11在)1(u 处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。 9.证明：Runge-Kutta 方法中);,(h u t ϕ关于u 或t 满足Lipschitz 条件的充分条件是),(u t f 关于t 或u 满足Lipschitz 条件。 10.证明定理2.6.

11.证明定理2.7的推论（推论2.1）：“N 级Runge-Kutta 方法相容的充分必要条件是∑==N

i i c 11”。

12.Runge-Kutta 方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径，如令

u t ff f u t f u t g +='=),(),(，则可将);,(h u t ϕ取为

)),(3

,3

(2

),();,(u t f h

u h

t g h

u t f h u t +

+

+

=ϕ，

证明这是一个二阶的单步方法。

[提示：利用Taylor 展开后比较相当项的系数的方法。] 13.证明三阶Runge-Kutta 方法

⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==+-+=+231213211

43,432,2),()432(9k h

u h t f k k h u h t f k u t f k k k k h u u m m 对于求解微分方程

t u u -='

与三阶Taylor 级数法的计算格式的形式完全相同。

14.对Heun 二阶方法（2.10）式作出如图2.3那样的几何解释。 15.用Taylor 级数法求方程

⎩⎨

⎧=='1

)0(u u

u 的)2,0(),1,0(u u 的近似值（取4=q ），并说明近似值精度情况。 16.求线性三步四阶显示方法的计算格式。（取0α为参数） 17.求具有最高阶的三步方法的计算格式。

18.设)(),(λσλρ无公因子，证明线性多步方法至少二阶相容的充分必要条件是)1(2)1(),1()1(,0)1(σρρσρρ'='+''='=

19.证明：与算子]);([h t u L 相应的线性多步方法q 阶相容的充分必要条件是

,,...,1,0,0];[q n h t L n ==

而.0];[1≠+h t L q 此时误差常数为

.)!

1(]

;[111

+--++q h h t cL c q q q 20.讨论最高阶的两步方法（Milne 方法（2.69）式）和最高阶的三步方法（习题17）的稳定性。 21.检验四步方法

44218483

m m m m m h

u u (f f f )++++=+-+

是否收敛。 22.证明：方法

m m m m m f h f f h

u u 6

)42(6

2

11+

++

=++

的阶为二

23.推到计算格式

⎩⎨

⎧+'''+'''+∂+∂='+'+∂+∂=+++++++221121122112112~,~m m m m m m m m

m m m u

h u h u h u u u u h u h u u u γββββ 的系数,,,,,2121γββαα使方法有尽可能高的阶数，并讨论它的稳定性。

24.讨论最高阶三步方法（习题17）的绝对稳定性。 25.讨论多步方法

))(3(2

)(12121-+-++-+=

--+m m m m m m f f a h

u u u a u

当a 取那些值时是稳定的；当a 取那些值时有绝对稳定区域非空。