变压器数学模型
电机学变压器的运行原理(空载、负载、数学模型)
第8章 变压器
28
2、T型等效电路 T型等效电路的形成过程，见下图。
I&1 R1
X 1
R2
I&0
Rm
U&1
E&2 E&1E&2 E&1
E&2
Xm
X 2 I&2
U&2
Z L
T型等效电路的形成过程
第8章 变压器
29
Γ型等效电路
对于电力变压器，一般 I1NZ1＜0.08U1N，且 I1NZ1 与 -E1是相量相加，因此可将励磁支路前移与电源并 联，得到Γ型等效电路。
1、空载电流的波形
电网电压为正弦波，铁 心中主磁通亦为正弦波。若 铁心不饱和（Bm < 1.3T）， 空载电流 i0 也是正弦波。
电力变压器，Bm= 1.4T ～1.73T，铁心都是饱和的 。其励磁电流呈尖顶波，除 基波外，还有较强的三次谐 波和其它高次谐波。
第8章 变压器
11
2、空载电流与主磁通的相量关系
问题：一般电力变压器 的变比 k 较大，一、二 次侧的电压、电流差别
很大，计算不便，画相
量图更加困难。因此，
下面介绍分析变压器的 一个重要方法——等效 电路、折算。
第8章 变压器
19
四、绕组归算(折算)及数学模型
所谓把二次侧折算到一次侧，就是用一个匝数为N1 的等效绕组，去替代变压器匝数为N2二次侧绕组，折 算后的变压器变比 N1/ N1=1 。
第8章 变压器
30
4、简化等效电路和相量图
对于电力变压器，由于 I0＜0.03I1N，故在分析变压器满载及负 载电流较大时，可以近似地认为 I0＝0，将励磁支路断开,等效电 路进一步简化成一个串联阻抗，如图所示。
电力变压器的参数与数学模型
.-电力变压器的参数与数学模型————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：电力变压器的参数与数学模型2.3.1理想变压器对于理想变压器，假定：绕组电阻为零；因此绕组损耗I2R为零。
铁心磁导率是无穷大，所以铁心磁阻为零。
不计漏磁通；即整个磁通为铁心和一次侧绕组、二次侧绕组相交链的磁通。
不计铁心损耗。
图2-20双绕组变压器内部结构图2-21 双绕组变压器示意图从安培和法拉第定律知:（2-46）磁场强度矢量Hc 为（2-47）其中，磁场强度、磁感应强度和磁通量的关系为由于理想变压器铁心磁导率为无限大，则磁阻R c近似为零。
（2-48）上式可写为：图2-21为双绕组变压器的示意图。
（2-49）或者图2-21中的标记点表示电压E1和E2，在标记点侧是＋极，为同相。
如果图2-21中的其中一个电压极性反向，那么E1与E2相位相差180o。
匝数比k定义如下：理想单相双绕组变压器的基本关系为（2-50）（2-51）由推导可得两个关于复功率和阻抗的关系如下。
图2-21中流进一次侧绕组的复功率为（2-52）代入（2-50）和（2-51）（2-53）可见，流进一次侧绕组的复功率S1与流出二次侧绕组的复功率S2相等。
即理想变压器没有有功和无功损耗。
如果阻抗Z2与图2-21中理想变压器的二次侧绕组相连，那么（2-54）这个阻抗，当折算到一次侧时，为（2-55）因此，与二次侧绕组相连的阻抗Z2折算到一次侧，需将Z2乘以匝数比的平方k2。
2.3.2实际双绕组变压器1.简化条件实际单相双绕组变压器，与理想变压器的区别如下：计及绕组电阻；铁心磁导率为有限值；磁通不完全由铁心构成；计及铁心有功和无功损耗。
图2-22实际单相双绕组变压器的等效电路图电阻串联于图中一次侧绕组，用于计及该绕组损耗I2R。
电抗为一次绕组的漏电抗，串联于一次绕组用于计及一次绕组的漏磁通。
电力系统各元件的数学模型
推导过程：从1-1’，2-2’之间等值，将导纳支路拿出去
ZT 1:k
I1 1 I2 k
U2
k
U1
I1
ZT
1 I1
U1
ZT
1:k I2
2 U2
I1
U1 ZT
U2
1’
ZT k
U1 (y10
y) 12
2’
U2
y 12
I2
U1 ZT k
U2 ZT k2
U1 y12
U2 (y20
y) 12
§2.5 电力系统的等值电路
一些常用概念
1. 实际变比 k
k=UI/UII UI、UII :分别为与变压器高、低压绕组实际 匝数相对应的电压。 2. 标准变比kN
• 有名制：归算参数时所取的变比 • 标幺制：归算参数时所取各基准电压之比
3. 非标准变比 k* k*= k /kN＝UIIN UI /UII UIN
U
U UB
I S Z
I IB S SB Z ZB
P jQ SB
R jX ZB
P SB R ZB
j
Q SB
P
jQ
j
X ZB
R
jX
§2.5 电力系统的等值电路
2、基准值的选取 1) 基准值的单位与对应有名值的单位相同 2) 各种量的基准值之间应符合电路的基本关系
SB 3 UB IB UB 3 IB ZB
§2.5 电力系统的等值电路
四、电力系统的等值电路制订
1、决定是用有名值，还是用标幺值
容量不相同时 2、变压器的归算问题
电压等级归算
采用Γ型和T型 采用π型—不归算
3、适当简化处理
第二章电力系统各元件的数学模型
试验时小绕组不过负荷，存在归算问题，归算到SN
2) 对于（100/50/100）
2
Pk (12)
P' k (12)
IN 0.5IN
P 4 ' k (12)
2
Pk ( 23)
P' k (23)
IN 0.5IN
P 4 ' k ( 23 )
3) 对于（100/100/50）
2
Pk (13)
P' k (13)
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
一次整循环换位：
A B
C
换位的目的：为了减 少三相参数的不平衡
§2.3 电力线路的参数和数学模型
Xd
§2.1 发电机的数学模型
受限条件
定子绕组： IN为限—S园弧
转子绕组： Eqn ife 励磁电流为限—F园弧 Xd
原动机出力：额定有功功率—BC直线
其它约束： 静稳、进相导致漏磁引起温升—T弧
进相运行时受定 子端部发热限制 受原动机出力限制
定子绕组不超 过额定电流
励磁绕组不超 过额定电流 留稳定储备
2、由短路电压百分比求XT（制造商已归算，直接用）
U U U U 1 k1(%) 2
k(12) (%) k(13) (%) (%) k(23)
XT1
Uk
1(%
)U2 N
100SN
U U U U 1 k2 (%) 2
k(12) (%) k(23) (%) (%) k(13)
2.3-电力变压器的参数与数学模型
2.3-电力变压器的参数与数学模型电力变压器的参数与数学模型2.3.1理想变压器对于理想变压器，假定：绕组电阻为零；因此绕组损耗I2R为零。
铁心磁导率是无穷大，所以铁心磁阻为零。
不计漏磁通；即整个磁通为铁心和一次侧绕组、二次侧绕组相交链的磁通。
不计铁心损耗。
图2-20双绕组变压器内部结构图2-21 双绕组变压器示意图从安培和法拉第定律知:（2-46）磁场强度矢量Hc 为（2-47）其中，磁场强度、磁感应强度和磁通量的关系为由于理想变压器铁心磁导率为无限大，则磁阻R c近似为零。
（2-48）上式可写为：图2-21为双绕组变压器的示意图。
（2-49）或者图2-21中的标记点表示电压E1和E2，在标记点侧是＋极，为同相。
如果图2-21中的其中一个电压极性反向，那么E1与E2相位相差180o。
匝数比k定义如下：理想单相双绕组变压器的基本关系为（2-50）（2-51）由推导可得两个关于复功率和阻抗的关系如下。
图2-21中流进一次侧绕组的复功率为（2-52）代入（2-50）和（2-51）（2-53）可见，流进一次侧绕组的复功率S1与流出二次侧绕组的复功率S2相等。
即理想变压器没有有功和无功损耗。
如果阻抗Z2与图2-21中理想变压器的二次侧绕组相连，那么（2-54）这个阻抗，当折算到一次侧时，为（2-55）因此，与二次侧绕组相连的阻抗Z2折算到一次侧，需将Z2乘以匝数比的平方k2。
2.3.2实际双绕组变压器1.简化条件实际单相双绕组变压器，与理想变压器的区别如下：计及绕组电阻；铁心磁导率为有限值；磁通不完全由铁心构成；计及铁心有功和无功损耗。
图2-22实际单相双绕组变压器的等效电路图电阻串联于图中一次侧绕组，用于计及该绕组损耗I2R。
电抗为一次绕组的漏电抗，串联于一次绕组用于计及一次绕组的漏磁通。
这个漏磁通是仅与一次绕组交链的磁通的组成部分，它引起电压降落，对应且超前。
漏电抗引起无功损耗。
类似的，二次绕组中串联了电阻和电抗。
电力系统的模型和参数_变压器的数学模型
电力系统的模型与参数
变压器的等值电路
带变比的等值电路
电力系统的模型与参数
变压器的等值电路
Π型等值
例题
例1.
有一台SFL20000/110型的降压变压器 向10kV电网供电，铭牌参数： ΔPS = 135kW，VS% = 10.5，ΔP0 = 22kW， I0% = 0.8 试计算归算到高压侧的变压器参数并画出忽 略励磁支路的Π型等值电路
三绕组变压器的参数计算
三绕组变压器的空载试验
与双绕组变压器相同
作业
一台220/121/10.5kV，120MVA，容量比
100/100/50的三相三绕组变压器，I0% = 0.9 ，P0 = 123.1kW，短路损耗和短路电压如下 表所示。试计算励磁支路的导纳，各绕组的 电阻和等值电抗。各参数归算到中压侧。
高压-中压 短路损耗（kW） 短路电压（%） 660 24.7 高压-低压 256 14.7 中压-低压 227 8.8 未归算到SN 已归算
变压器并列运行的条件
连接组别相同
接线组别不同在并列变压器的二次绕组中会出现电压差 ，在变压器的二次侧内部产生循环电流。 变比相同 变压器比不同，二次电压不等，在二次绕组中也会产生 环流，并占据变压器的容量，增加变压器的损耗。 短路电压值相同 变压器短路电压与变压器的负荷分配成反比。 容量相近 容量不同的变压器短路电压不同，负荷分配不平衡，运 行不经济。
例题
例题
例题
例2.
额定电压为110/11kV的三相变压器折算 到高压侧的电抗为100Ω，忽略励磁支路。给 定原边相电压为 110 / 3 kV，当I1 = 50A时， 利用Π型等值电路计算副边的电压和电流。
2.2变压器的数学模型
2.2 变压器的数学模型z变压器正负序参数与等值电路z变压器零序阻抗与等值电路变压器正序参数与等值电路一、变压器的用途与分类z变压器是一种静止电机，将电能从一种电压形式（等级）转换成另一种电压形式（等级）。
z根据用途不同，变压器可以分为：电力变压器与特种变压器。
9电力变压器：在电力系统中传输和分配电能。
9特种变压器：其他用途的变压器，包括电炉变压器、试验变压器（互感器），等。
变压器正序参数与等值电路z根据相数，分为：单相、三相、多相变压器等。
z根据绕组数目，分为：双绕组、自耦、三绕组、多绕组变压器等。
z根据铁心型式，分为：心式、壳式变压器等。
z根据冷却方式，分为：干式、油浸式变压器等。
心式、壳式变压器变压器正序参数与等值电路二、电力变压器的结构z变压器主要部件是绕组和铁心：绕组是变压器的电路，铁心是变压器的磁路，两者构成变压器的核心即电磁部分。
9铁心的型式包括心式(结构简单，工艺简单，应用广泛)和壳式(用在小容量变压器)两种，通常由0.35mm或0.5mm硅钢片叠成。
9绕组用绝缘铜线在绕线模上绕制而成，套装在变压器铁心柱上，为了提高绝缘性能，通常将低压绕组置于在内层，而高压绕组套装在低压绕组外层。
z除了电磁部分，还有油箱、冷却装置、绝缘套管、调压和保护装置等部件。
变压器正序参数与等值电路三、变压器的基本工作原理z 当一次绕组接交流电压后，励磁电流在铁心中产生交变的主磁通Φ。
z Ф在两个绕组中分别产生感应电势e 1和e 2 。
dtd Ne Φ−=11dtd Ne Φ−=22变压器正序参数与等值电路z不计绕组电阻和漏抗压降，则：U1/U2≈ (-e1)/(-e2)=N1/N2=k9k定义为变压器的变比9N2>N1，为升压变压器9N2<N1，为降压变压器四、变压器空载运行z 变压器的一次绕组接交流电源，二次绕组开路，负载电流为零，称为变压器的空载运行。
z 一次绕组电流i 0产生励磁磁势F 0= N 1i 09F 0产生的磁通分为两部分:大部分以铁心为磁路，同时与一次绕组N 1和二次绕组N 2匝链，在两个绕组中产生电势e 1和e 2，称为主磁通Ф；另一部分磁通仅与一次绕组匝链，通过油或空气形成闭路，称为一次绕组的漏磁通Ф1σ变压器正序参数与等值电路变压器正序参数与等值电路z一次绕组电流i 0分为两部分，i μ和i Fe ：i μ用于激励主磁通，称为磁化电流，与电势e 1之间的相位差是90°，是无功电流；i Fe 与铁心损耗相对应，与-e 1同相位，是有功电流9i 0即是励磁电流9X m 反映了变压器铁心的导磁性能，代表了主磁通Φ对电路的电磁效应，称为励磁电抗；R m 是用来代表铁耗的等效电阻，称为励磁电阻。
1 电力系统各元件数学模型
1 电力系统各元件数学模型1.1 发电机组参数及数学模型发电机组在稳态运行时的数学模型（图1所示）极为简单，通常由两个变量表示，即发出的有功功率P 和端电压U 的大小或发出的有功功率P 和无功功率Q 的大小。
以第一种方式表示时，往往还需伴随给出相应的无功功率限额，即允许发出的最大、最小无功功率max Q 、min Q 。
图 1 发电机数学模型1.2 变压器参数及数学模型1.2.1双绕组变压器Γ型等值电路模型TjX 图2 双绕组变压器Γ型等值电路模型双绕组变压器Γ型等值电路模型如图2所示，电路参数通过以下公式计算。
注意，公式中N U 取不同绕组的额定电压，表示将参数归算到相应绕组所在的电压等级（所得所得阻抗/导纳参数都是等值为Y/Y 接线的单相参数）;公式中各参数由变压器厂家提供，采用实用单位。
22020210001001000%100k N T Nk NT N T NN T N P U R S U U X S P G U I S B U ⎧∙=⎪⎪⎪%∙=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=∙⎪⎩（1-1） 其中，k P 为短路损耗，k U %为短路电压百分数，0P 为空载损耗，0%I 为空载电流百分数，N U 为归算侧的额定电压，N S 为额定容量 该电路模型一般用于手算潮流中。
1.2.2 双绕组变压器T 型等值电路模型1jX '图 3 双绕组变压器T 型等值电路模型其中，1R 和1X 为绕组1的电阻和漏抗，'2R ，'2X 为归算到1次侧的绕组2 的电阻和漏抗，m R 和m X 为励磁支路的电阻和电抗。
该电路模型一般用于电机学中加深对一二次侧和励磁支路电阻电抗的理解以及手算潮流计算中。
1.2.2 三绕组变压器Z 图4三绕组变压器的等值电路三绕组变压器的等值电路如图3所示，图中，变压器的励磁支路也以导纳表示。
该电路模型一般用于手算潮流计算中。
三绕组变压器的参数计算如下： 电阻：由短路损耗计算()()()1(12)(31)(23)2(23)(12)(31)3(31)(23)(12)121212k k k k k k k k k P P P P P P P P P P P P ---------⎧=+-⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=+-⎪⎩（1-2） 211222233100010001000k N T Nk N T Nk NT N P U R S P U R S P U R S ⎧∙=⎪⎪⎪∙⎪=⎨⎪⎪∙⎪=⎪⎩（1-3） 其中，k P 为短路损耗，N U 为归算侧的额定电压，N S 为额定容量对于容量比为100/100/50和100/50/100的变压器，厂家提供的短路损耗是小容量绕组达到自身额定电流()/2N I 时的试验数据，计算时应首先将短路损耗折算为对应于变压器额定电流()N I 的值例如，对于100/100/50型变压器，厂家提供的是未经折算的短路损耗'(23)k P -，'(31)k P -，'(12)k P -首先应进行容量归算'(23)(23)'(31)(31)44k k k k P P P P ----⎧=⎪⎨=⎪⎩（1-4） 按新标准，厂家仅提供最大短路损耗max k P ，按以下公式计算电阻：2max (100%)2(50%)(100%)20002k N T N T T P U R S RR ⎧=⎪⎨⎪=⎩（1-5） 其中max k P 为最大短路损耗，N U 为归算侧的额定电压，N S 为额定容量 电抗：由短路电压百分数计算()()()1(12)(31)(23)2(12)(23)(31)3(23)(31)(12)1%%%%21%%%%21%%%%2k k k k k k k k k k k k U U U U U U U U U U U U ---------⎧=+-⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=+-⎪⎩（1-6） 211222233100100100k N T Nk N T N k NT N U U X S U U X S U U X S ⎧%=⎪⎪⎪%⎪=⎨⎪⎪%⎪=⎪⎩（1-7） 其中，k U %为短路电压百分数，N U 为归算侧的额定电压，N S 为额定容量 注意，厂家提供的短路电压是经过额定电流折算后的数据。
变压器的数学模型及等效电路分析方法
y m y leak
1. 磁路与电感
变压器数学建模的方法
– （1）电压方程 – （2）磁链方程 – （3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
– （4）绕组折算（坐标变换） – （5）画等效电路图
比电机的数学模型少转矩方程
10
2. 单铁芯双绕组 变压器数学模型
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
– 3-phase 3-winding Y/Y/D transformer
31
中国科学院电工研究所大功率电力电子与直线驱动技术研究部
（1）电压方程（原副边）
u12 r12i12 e12 u34 r34i34 e34
（2）磁链方程（原副边）
y 12 L12i12 Lm i34 y 34 L34i34 Lm i12
L12为12绕组自感，L34为34绕组
自感，Lm为12和34绕组之间的互 感。这三个电感需要进一步表示。
1 2 i12 i34 3 4
18
3. 单铁芯多绕组 变压器数学模型
3. 单铁芯多绕组变压器数学模型
同样按照前面五个步骤 绕组折算公式也相同
– 折算到x绕组则y绕组的电压方程 两端乘以Nx/Ny
– 单相变压器，不需要坐标变换
1 2 i56 5 6 i12 i34 3 4
三个绕组之间连接关系如何？
i12
i34
3 4
（3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
dy 12 e12 dt e dy 34 34 dt
15
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
（3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
2 2 u r i p [( N l N 12 12 12 12 m 12 l12 l )i12 ( N12 N 34 lm )i34 ] 2 2 u r i p [( N l N 34 m 34 l34 l )i34 ( N12 N 34 lm )i12 ] 34 34 34
第2章 电力网元件的参数和数学模型
2
2. 电抗
1)单相导线电抗
r Deq 为三相导线间的互几何间距 x0 0.1445lg Deq 0.0157 r ( / km)
Deq 3 D1 D2 D3
r 为导线的计算半径 μr 为导线材料的相对导磁系数，有色金属的相对导磁 系数为1。 在近似计算中，可以取架空线路的电抗为 0.40 / km
2 Pk1U N RT 1 , 2 1000 S N 2 Pk 2U N , 2 1000 S N 2 Pk 3U N 2 1000 S N
RT 2
RT 3
16
•对于100/50/100或100/100/50 首先，将含有不同容量绕组的短路损耗数据归算为额 定电流下的值。
额定容量比为 100/50/100
2）分裂导线线路的电纳
b1 7.58 10 6 (S/km) D lg m req
9
二、电力线路的数学模型
电力线路的数学模型是以电阻、电抗、电纳和电导来表示 线路的等值电路。 1、短线路（<35kv,<100km的架空线路、短电缆线路） 不考虑线路的分布参数特性，只用将线路参数简单地集中 起来的电路表示。
g1 Pg U2 10 3 （S / km）
7
实际上，在设计线路时，已检验了所选导线 的半径是否能满足晴朗天气不发生电晕的要
求，一般情况下可设
g=0
8
4. 电纳 1）单相导线电纳
其电容值为：
C1 0.0241 10 6 D lg m r
最常用的电纳计算公式：
7.58 10 6 (S/km) D lg m r 架空线路的电纳变化不大，一般为 2.85 10 6 S / km b1
3
变压器数学模型
4)按调压方式分： ①普通变压器—不能带负荷调压，但高压侧有多个 分接头，如630kVA以下有UN ± 5%两个分接 头，大容量变压器UN ± 2×2.5%四个分接头， 还有其它的方案； ②有载调压器—高压绕组的分接头切换开关可以在 运行时切换，能够随时调压，适用于电压变化范 围较大的场合，一般有6或8个分接头，即 UN ± 3×2.5% 和 UN ± 4×2%。 ③移相变压器—不但能调节输出电压的大小，还能 调节电压的相位控制有功功率。
3
18
三绕组变压器额定容量的问题 Ⅰ、额定容量比：100/100/100（升压变压器） 高/中/低压绕组的额定容量均等于变压器容量。
SN = 3U1 N I1 N = 3U 2 N I 2 N = 3U 3 N I 3 N
Ⅱ、额定容量比：100/100/50（升或降压变压器） 低压绕组的额定容量等于变压器额定容量的50％， 低压绕组导线截面减小一半，额定电流减小一半。 Ⅲ、额定容量比：100/50/100（升或降压变压器） 中压绕组的额定容量等于变压器额定容量的50％。
2009-3-17 电力系统元件数学模型--变压器 8
三绕组变压器的高中低3个绕组的排列方式
升压变压器—高压绕组在外，低压绕组在中间，中 压绕组在最里边； 降压变压器—高压绕组在外，中压绕组在中间，低 压绕组在最里边。
升压变压器 中压绕组 低压绕组 降压变压器
2009-3-17
电力系统元件数学模型--变压器 高压绕组
2009-3-17
⎧ Pk 1 = 0.5 ( Pk 1− 2 + Pk 1− 3 − Pk 2− 3 ) ⎪ ⎨ Pk 2 = 0.5 ( Pk 1− 2 + Pk 2− 3 − Pk 1− 3 ) ⎪ ⎩ Pk 3 = 0.5 ( Pk 1− 3 + Pk 2− 3 − Pk 1− 2 )
电力系统各元件的特性和数学模型
E q
Ixd cos
P ，Q
Eq sin
Q
Ixd
Ixd cos
U
I
Ixd
sin
Eq
cos
U
I I
cos sin
Eq sin
xd
Eq cos
xd
U
P
UI
cos
由此，
Q UI sin
EqU sin
xd
EqU cos
xd
U 2
EqU cos
xd
U2
xd
(2-2)
(2-3)
按每相的绕组数目
双绕组：每相有两个绕组，联络两个电压等级
三绕组：每相有三个绕组，联络三个电压等级，三个绕 组的容量可能不同，以最大的一个绕组的容量为变压器 的额定容量。
类别 普通变 自耦变
高 100% 100% 100% 100%
中 100% 50% 100% 100%
低 100% 100% 50% 50%
1.3 凸极机的稳态相量图和数学模型
11
第一节 发电机组的运行特性和数学模型
12
第一节 发电机组的运行特性和数学模型
13
第一节 发电机组的运行特性和数学模型
稳态分析中的发电机模型
发电机简化为一个节点 节点的运行参数有：
U U G
节点电压：U U u 节点功率：S~ P jQ
S~ P jQ
19
第二节 变压器的参数和数学模型
2.1 变压器的分类：有多种分类方法
按用途：升压变、降压变 按电压类型：交流变、换流变 按三相的磁路系统：
单相变压器、三相变压器 按每相绕组的个数：双绕组，三绕组 按绕组的联结方式：
2.2 变压器的数学模型
=
1 2
(17.86 +12.00
—12.20 )
=
8.83
于是
U %U 2 3.17×2422
X = k1 N =
= 15.47( )
T1 100S
100×120
N
U %U 2 9.03×2422
X = k2
N=
= 44.07( )
T 2 100S
100×120
N
U %U 2 8.83×2422
双绕组变压器的等值电路
Rm
1 jX m
Rm jX m
Rm2
X
2 m
GT
jBT
• 由图可见
P
G T
=
0
1000 U
2
N
式中
GT — 变压器的电导（S）； P0 — 变压器的空载损耗（kW）； U N — 变压器的额定电压（kV）。
变压器空载电流中流经电纳的部分占很大比重，
它和空载电流在数值上接近，可以用空载电流代 替电纳电流求取变压器的电纳，即：
UK %
从而
3IN XT 100 UN
XT
U N U K % ＝U K %U N 2
3IN 100
100SN
XT ——变压器高低压绕组的总电抗（ ）
U k % ——变压器的短路电压百分值
2、导纳 变压器的励磁支路有两种表示方式：阻抗和导纳。 变压器励磁支路以导纳表示时，其导纳对应是变压 器的铁耗，因变压器的铁耗近似与空载损耗相等， 电导也可与空载损耗相对应。
U
I = NB
b
3T
I
I% =0 I
≈I
3变压器的数学模型
2
4PS(23)(实
测) 量
2
PS(31)(实测量 )
19
二、三绕组变压器的数学模型
（3）三绕组容量不同
PS (1 2)
P ' S (12) ( S N S2N
)2
PS ( 2 3)
P 'S (23) ( min{
SN S2N
,
S3N
)2 }
PS ( 31)
P 'S (31) ( S N S3N
S 2
S 3
电阻计算如下： RP S1 V N 2 40 .5 0 20 2 01.346
T1 10S2 00 100 10 2 2 0 N
R 0 .6 7 4 R 1 .1 0 7
T 2
T 3
24
例题2
（2）求各绕组电抗
V% 1(V % V % V %1 ).7 57
S1
2 S(12)
S(13)
三绕组变压器中已知最大短路损耗时，各绕组电阻的 计算。
2
本讲内容
双绕组变压器的数学模型 三绕组变压器的数学模型 自耦变压器的数学模型
3
一、双绕组变压器的数学模型
（一）等值电路 1.〝 Τ 〞型等值电路
R1
jX1
jX,2
,
R2
Rm jXm
2.〝一〞型等值电路（忽略励磁导纳）
jXT
RT
4
一、双绕组变压器的数学模型
)2
（4）仅提供最大短路损耗的情况
R(SN) P2S.SmN 2aVxN2 103
R(SN )
SN SN
R(SN )
20
二、三绕组变压器的数学模型
求X1、X2、X3
电力变压器的参数与数学模型
.-电力变压器的参数与数学模型————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：电力变压器的参数与数学模型2.3.1理想变压器对于理想变压器，假定：绕组电阻为零；因此绕组损耗I2R为零。
铁心磁导率是无穷大，所以铁心磁阻为零。
不计漏磁通；即整个磁通为铁心和一次侧绕组、二次侧绕组相交链的磁通。
不计铁心损耗。
图2-20双绕组变压器内部结构图2-21 双绕组变压器示意图从安培和法拉第定律知:（2-46）磁场强度矢量Hc 为（2-47）其中，磁场强度、磁感应强度和磁通量的关系为由于理想变压器铁心磁导率为无限大，则磁阻R c近似为零。
（2-48）上式可写为：图2-21为双绕组变压器的示意图。
（2-49）或者图2-21中的标记点表示电压E1和E2，在标记点侧是＋极，为同相。
如果图2-21中的其中一个电压极性反向，那么E1与E2相位相差180o。
匝数比k定义如下：理想单相双绕组变压器的基本关系为（2-50）（2-51）由推导可得两个关于复功率和阻抗的关系如下。
图2-21中流进一次侧绕组的复功率为（2-52）代入（2-50）和（2-51）（2-53）可见，流进一次侧绕组的复功率S1与流出二次侧绕组的复功率S2相等。
即理想变压器没有有功和无功损耗。
如果阻抗Z2与图2-21中理想变压器的二次侧绕组相连，那么（2-54）这个阻抗，当折算到一次侧时，为（2-55）因此，与二次侧绕组相连的阻抗Z2折算到一次侧，需将Z2乘以匝数比的平方k2。
2.3.2实际双绕组变压器1.简化条件实际单相双绕组变压器，与理想变压器的区别如下：计及绕组电阻；铁心磁导率为有限值；磁通不完全由铁心构成；计及铁心有功和无功损耗。
图2-22实际单相双绕组变压器的等效电路图电阻串联于图中一次侧绕组，用于计及该绕组损耗I2R。
电抗为一次绕组的漏电抗，串联于一次绕组用于计及一次绕组的漏磁通。
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三相变压器的分类
1)按磁路系统分： ①单相变压器组—磁路完全分开，通常组成特大型变 压器； ②三相心式变压器—磁路互相关联，不对称运行时， 三相磁势相量之和不等于零，漏磁通会发生变化。 2)按三相绕组的连接方式分： Y0/∆-11、 Y/∆-11、 Y0/Y0-12、 ∆ / Y0-11 Dyn11 或写为 YNd11 、 Yd11 、 YNyn0 、 3)按电磁耦合方式分： ①普通变压器—高低压绕组之间只有磁耦合关系； ②自耦变压器—高低压绕组之间不但有磁耦合，还 2009-3-17 电力系统元件数学模型--变压器 7 有电的直接联系。
3
18
三绕组变压器额定容量的问题 Ⅰ、额定容量比：100/100/100（升压变压器） 高/中/低压绕组的额定容量均等于变压器容量。
SN = 3U1 N I1 N = 3U 2 N I 2 N = 3U 3 N I 3 N
Ⅱ、额定容量比：100/100/50（升或降压变压器） 低压绕组的额定容量等于变压器额定容量的50％， 低压绕组导线截面减小一半，额定电流减小一半。 Ⅲ、额定容量比：100/50/100（升或降压变压器） 中压绕组的额定容量等于变压器额定容量的50％。
′ I2 ′ U2
Gm
− jBm
I m 很小，为额定电流的0.5％~2％
绕组电阻 变压器漏抗 励磁导纳
2009-3-17
′ R = R1 + R2 = R1 + k 2 R2 ′ X = X1 + X 2 = X1 + k 2 X 2
Ym = Gm − jBm
电力系统元件数学模型--变压器 11
变压器的铭牌数据（厂家给出） 1. 额定容量 SN （MVA） 2. 额定电压 U1N / U2N （kV） 3. 短路试验参数 短路损耗 (kW): Pk 阻抗电压 (％): U k % 4. 空载试验参数 空载损耗 (kW): P0 空载电流 (％): I 0 % 绕组电阻 R 线圈漏电抗 X 励磁电导 Gm 励磁电纳 Bm
SN 3 I1 N X × 100 = 2 X × 100 U1 N U1 N
U1N、SN 的单位分别为kV、MVA
14
空载试验——确定 Gm 和 Bm 参数
I10
R + jX
U1N Gm
− jBm
′ U2N
由于二次侧开路，全部的一 次电流都是励磁电流，励磁 电流比负荷电流小得多，因 此可忽略一次侧绕组的铜耗 I102R1 ，损耗主要额定电压 时的铁芯损耗。
单位
SN : MVA U1 N : kV Pk : kW
17
P0 I 0 % SN −3 × 2 (S) Gm = 2 × 10 (S), Bm = 100 U1 N U1 N
2009-3-17 电力系统元件数学模型--变压器
三绕组变压器
等值电路
1
I1 ′ I2
2
R1 + jX 1
R2 + jX 2 R3 + jX 3
Pk 1− 2 , U k 1− 2 % 2-3侧短路试验按0.5倍额定电流测得 Pk′2− 3 , U ′ 2− 3 % k
1-3侧短路试验按0.5倍额定电流测得 Pk′1− 3 , U ′1− 3 % k
⎧Uk1−2%= Uk1%+Uk2% ⎪ ⎨Uk1−3%= Uk1%+Uk3% ⎪U %= U %+U % k2 k3 ⎩ k2−3
⎧Uk1% = 0.5( Uk1−2%+ Uk1−3%− Uk2−3%) ⎪ ⎨Uk2% = 0.5( Uk1−2%+ Uk2−3%− Uk1−3%) ⎪ ⎩Uk3% = 0.5( Uk1−3%+ Uk2−3%− Uk1−2%)
4)按调压方式分： ①普通变压器—不能带负荷调压，但高压侧有多个 分接头，如630kVA以下有UN ± 5%两个分接 头，大容量变压器UN ± 2×2.5%四个分接头， 还有其它的方案； ②有载调压器—高压绕组的分接头切换开关可以在 运行时切换，能够随时调压，适用于电压变化范 围较大的场合，一般有6或8个分接头，即 UN ± 3×2.5% 和 UN ± 4×2%。 ③移相变压器—不但能调节输出电压的大小，还能 调节电压的相位控制有功功率。
电力变压器是电力系统中的升压和降压设备，约为
系统总发电量的6~8倍，有升压变、降压变、配电 变、联络变等多种。 容量为R10系列，即 10 10 = 1.259倍的关系。 630kVA以下为小型变，800~6300kVA为中型变， 8000~63000kVA为大型变，90000kVA以上为特大变。 分类方法： ①按相数分：单相、三相； ②按每相线圈数分：双绕组变压器、三绕组变压器； ③按线圈排列方式分：同心式、交叠式； ④按冷却方式分：油浸自冷、油浸风冷、油浸水冷、 强迫油循环风冷、强迫油循环水冷。
2009-3-17
⎧ Pk 1 = 0.5 ( Pk 1− 2 + Pk 1− 3 − Pk 2− 3 ) ⎪ ⎨ Pk 2 = 0.5 ( Pk 1− 2 + Pk 2− 3 − Pk 1− 3 ) ⎪ ⎩ Pk 3 = 0.5 ( Pk 1− 3 + Pk 2− 3 − Pk 1− 2 )
电力系统元件数学模型--变压器 21
I0% SN Bm = 100 U 12N
2009-3-17
(S)
16
电力系统元件数学模型--变压器
U1N、SN 的单位分别为kV、MVA
变压器参数总结
I1
R + jX
′ I2
等值电路→
U1 Gm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
− jBm
′ U2
四个参数↓
Pk U12N ( Ω ), R= 2 1000 SN U k % U12N (Ω ) × X= 100 SN
为kW、kV、MVA
I1 N
R + jX
′ I2N
短路电压百分比
U 1k
Gm
− jBm
U 1k Uk % = × 100 U1 N
∵ R << X
U1 k ∴U k % = × 100 ≈ U1 N
U k % U12N (Ω ) X= 100 SN
2009-3-17 电力系统元件数学模型--变压器
′ I2N
2
1
R3 + jX 3
Uk2% Uk3%
′ I3N 3
Pk 2− 3
1侧开路，2、3侧 短路试验
U k 2− 3 %
Pk 3
⎧Pk 2−3 = Pk 2 + Pk 3 ⎨ ⎩Uk 2−3% = Uk 2%+ Uk 3%
分别联立方程组，得
⎧ Pk 1− 2 = Pk 1 + Pk 2 ⎪ ⎨ Pk 1− 3 = Pk 1 + Pk 3 ⎪P ⎩ k 2− 3 = Pk 2 + Pk 3
变压器是一种静止的电能转换器，利用电磁感应
的原理，将一种电压等级的交流电能转换为另一 种电压等级的交流电能。
2009-3-17
电力系统元件数学模型--变压器
2
2009-3-17
电力系统元件数学模型--变压器
3
2009-3-17
电力系统元件数学模型--变压器
4
单相双绕组变压器原理示意图
2009-3-17 电力系统元件数学模型--变压器 5
2009-3-17 电力系统元件数学模型--变压器 8
三绕组变压器的高中低3个绕组的排列方式
升压变压器—高压绕组在外，低压绕组在中间，中 压绕组在最里边； 降压变压器—高压绕组在外，中压绕组在中间，低 压绕组在最里边。
升压变压器 中压绕组 低压绕组 降压变压器
2009-3-17
电力系统元件数学模型--变压器 高压绕组
′ U2 ′ I3 ′ U3
U1
Gm − jBm
3
三个短路试验求三 个绕组的电阻和等值 漏抗； 空载试验的空载损 耗和空载电流求励磁 支路的导纳。
′ I2
2
Im
很小
1
I1
R1 + jX 1
R2 + jX 2 R3 + jX 3
′ U2 ′ I3 ′ U3
U1
2009-3-17
Gm − jBm
电力系统元件数学模型--变压器
′ ′ R2 = k 2 R2 , X 2 = k 2 X 2
2 2 2 电力系统元件数学模型--变压器
I ′ = I k , U ′ = kU 2 = U1
10
双绕组变压器
R1 + jX1
′ ′ R2 + jX 2
R + jX
I1
Im
′ I2
U1
′ U2
Ym = Gm − jBm
Π→Γ
U1
I1
Im
9
双绕组变压器
R1 + jX 1 R2 + jX 2
k :1 R1 + jX 1
′ ′ R2 + jX 2
1:1
I1 U1
*
*
I2 U2
电压归算
I1 U1
*
′ * I2 ′ U 2 = U1
2侧绕组归算前的 耦合等值电路 其中变比 归算后的2侧参数
2009-3-17
2侧绕组归算后的 耦合等值电路
k = U1 N U 2 N
2侧开路，1、3侧 短路试验
Pk 1
R1 + jX 1
Pk 1− 3
Uk3% Pk 3 Uk1%
R3 + jX 3
′ I3N 3
U k 1− 3 %
2009-3-17