2012专题：因式定理与因式分解201208用
初二数学因式分解超级经典专题讲解
因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）1 基本方法1.1提公因式法☆☆☆各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式1.2 公式法☆☆☆如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
补充公式:立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)；完全立方公式：a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3=(a ±b) 3．公式：a 3+b 3+c 3+3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)例如：a 2 +4ab+4b 2 =(a+2b) 2。
八年级因式分解知识点总结
八年级因式分解知识点总结因式分解是数学中一个重要的知识点，不仅在初中阶段就开始学习，还贯穿了高中乃至大学的数学学习。
因此，掌握好八年级的因式分解知识点，对于后续数学学习的顺利进行具有重要的作用。
本文将就八年级因式分解的知识点进行总结，希望对于大家的学习有所帮助。
一、公因数与最大公因数公因数是指同时能够整除两个或多个数的因数，在因式分解中有着重要的作用。
求两个或多个数的最大公因数的方法，可以通过列举其公因数，然后筛选出最大的一个。
例如，求两个数72和96 的最大公因数。
首先列出它们的公因数，有1、2、3、4、6、8、12、24 八个数，在这个基础上，筛选能够整除72 和96 的最大整数，即24，因此，72 和96 的最大公因数为24。
二、公式在因式分解中，常用到一些公式，例如差平方公式、和平方公式等。
这些公式的掌握对于因式分解的顺利进行具有非常重要的作用。
1. 差平方公式$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$2. 和平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$三、因式分解在因式分解中，一个重要的概念是质因数分解。
质因数分解是指将一个正整数分解成若干个质数的积的形式。
例如，24=2×2×2×3，即24的质因数分解为$2^3\cdot3$。
在因式分解中，常用到一些方法，例如提公因式、分组、取因式等。
这些方法的运用可以简化计算过程，提高计算效率。
四、例题下面列举两个例题，帮助大家更好地理解因式分解的知识点。
1. $6x^2+5x-6$的因式分解式是解：先求出这个多项式的根，即$x_1=\frac{-5+\sqrt{5^2+4\cdot6\cdot6}}{2\cdot6}=-\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{5^2+4\cdot6\cdot6}}{2\cdot6}=1$。
因此，将原式分解成$(2x+3)(3x-2)$。
北城中学2012年中考数学专题研究：分解因式
2012年北城中学中考数学例谈分解因式的方法因式分解是初中数学教学的重点，亦是难点，正确选择分解因式的方法是学好因式分解的关键。
提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的四种基本方法。
因此，分解因式时，要对多项式的特点进行认真分析。
提公因式法的关键是确定多项式中各项的公因式；运用公式法要掌握每个公式的特点；十字相乘法适用于二次三项式或可化为二次三项式的多项式；分组分解法则适宜对四项式或四项以上的多项式。
例1 把12x3y2-16x2yz分解因式时，应提公因式为（）A 2x2yB 4x3y2C 4x2yzD 4 x2y分析：用提公因式法分解因式，准确地确定公因式是首要一环，公因式的系数是原多项式各项系数的最大公约数，所以应排除A；公因式里的字母是原多项式中每项都有的，所以应排除C；公因式里字母的次数应取原多项式中这个字母的最低次数，所以应排除B。
综上所述，本例应选D 例2 把6a2（x-y）2-3a（x-y）3因式分解分析：把（x-y）视为一个字母，再考虑系数和字母a。
解：6a2（x-y）2-3a（x-y）3=3a（x-y）2[2a-（x-y）]=3a（x-y）（2a-x+y）例3 把ab（a-b）（b-c）-bc（b-a）（c-b）因式分解分析：原式可看成两大项，每项各有四个因式，易知其中都有因式b，又知a-b= -（b-a），b-c=- （c-b），所以，它的公因式应为b（a-b）（b-c）或者b（b-a）（c-b）。
解：ab（a-b）（b-c）-bc（b-a）（c-b）= ab（a-b）（b-c）-bc[-（a-b）][-（b-c）]=ab（a-b）（b-c）-bc（a-b）（b-c）=b（a-b）（b-c）（a-c）例4 把x6-y6 因式分解解法一；x6-y6=（x3）2-（y3）2=（x3+y3）（x3-y3）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-y）（x2+xy+y2）=（x+y）（x-y）（x2-xy+y2）（x2+xy+y2）解法二x6-y6=（x2）3-（y2）3=（x2-y2）（x4+x2y2+y4）=（x2-y2）[（x2+y2）2-（xy）2]=（x+y）（x-y）（x2+xy+y2）（x2-xy+y2）说明：本例给的是六次六项式，根据其特点既可用平方差公式，亦可用立方差公式。
因式定理法因式分解
因式定理法因式分解1. 引言在数学中，因式分解是将一个多项式表达式表示为若干个乘积的形式的过程。
因式分解是代数学中的重要概念，它可以帮助我们简化复杂的多项式，解决方程和不等式，以及理解更高级的数学概念。
因式定理法是一种常用的因式分解方法之一。
它基于代数基本定理，即任何一个次数大于1的多项式都可以被分解成一系列次数为1的一次多项式。
本文将详细介绍因式定理法以及如何使用它进行因式分解。
2. 因式定理法的原理因式定理法基于以下两个重要原理：2.1 代数基本定理代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）表明任何一个非常数的次数大于1的多项式都可以在复数域内被完全分解为一次因子。
2.2 因子定理对于一个多项式f(x)，如果f(a)=0，则(x−a)是f(x)的一个因子。
这个原理称为因子定理（Factor Theorem）。
换句话说，如果我们找到了f(x)在某个点a处等于零，那么我们可以将f(x)除以(x−a)得到一个次数降低的多项式。
基于以上原理，因式定理法通过不断地使用因子定理和代数基本定理，将一个多项式逐步分解为一次因子的乘积。
3. 因式定理法的步骤下面是使用因式定理法进行因式分解的步骤：3.1 确定多项式的最高次数首先，我们需要确定给定多项式的最高次数。
最高次数决定了我们需要找到多少个一次因子来完全分解这个多项式。
3.2 寻找可能的一次因子接下来，我们需要寻找可能的一次因子。
一次因子是指形如(x−a)的表达式，其中a是一个实数。
常用的寻找一次因子的方法包括有理根定理、综合除法等。
有时候，我们也可以根据观察和猜测来找到可能的一次因子。
3.3 使用综合除法进行验证在找到可能的一次因子后，我们需要使用综合除法来验证这个表达式是否真正是多项式的一个因子。
如果余数为零，则说明找到了一个有效的一次因子。
3.4 迭代应用因子定理如果找到了一个有效的一次因子，我们可以使用因子定理将多项式除以这个因子，得到一个次数降低的多项式。
因式分解的基本原理与应用
因式分解的基本原理与应用因式分解是代数中的重要概念和技巧之一，它在数学的各个分支中都有广泛的应用。
本文将介绍因式分解的基本原理以及其在代数运算和方程求解中的应用。
一、因式分解的基本原理因式分解是将一个代数式表示为两个或多个因数相乘的形式。
它的基本原理是根据多项式的特定形式，找出它的因子，并将多项式写成因子相乘的形式。
以多项式的因式分解为例，多项式是由单项式相加或相减而成的。
我们可以通过提取公因子、配方法或者用特定的公式来进行因式分解。
其中，提取公因子是最基本也是最常用的方法，它的原理是找到多项式中的一个公共因子，并将其提取出来。
配方法是指将多项式表示为两个括号内各含一项的乘积。
通过寻找括号内两项的公共因子或者用特定的运算规则，可以将多项式转化为括号内的乘积形式。
公式法是通过将多项式表示为特定公式的形式，再根据公式的性质进行因式分解。
常见的公式包括二次差的平方公式、完全平方公式、差平方公式等。
二、因式分解的应用1. 简化表达式：因式分解可以将复杂的代数表达式简化为更简洁的形式。
这不仅有助于进一步的计算，还能提供更清晰的问题解决思路。
举例说明：将多项式3x^2 + 6x进行因式分解。
首先，我们可以发现3和6都能够被x整除，所以3x^2 + 6x可以写成3x(x + 2)的形式。
这样，原本复杂的表达式就变得简单了。
2. 方程求解：因式分解在方程求解中有着重要的应用。
通过对方程进行因式分解，可以将复杂的方程转化为更简单的形式，从而更容易找到方程的解。
举例说明：求解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
我们可以将方程进行因式分解得到(x + 2)(x + 3) = 0。
然后，根据“乘积为零则因数中至少有一个为零”的原理，可以得到x + 2 = 0或x + 3 = 0。
解方程可得x = -2或x = -3。
3. 分式的部分分解：在分式的运算中，我们常常需要将一个复杂的分式进行部分分解，以便于简化计算。
举例说明：对于分式(Ax + B)/(x^2 + Cx + D)，我们可以将其进行部分分解，得到(A1/(x + r1) + A2/(x + r2))的形式。
初二数学因式分解公式定理
初二数学因式分解公式定理
因式分解是初中数学知识点之一，为了帮助同学们更好的学习中考数学的内容，我们推荐下面的数学公式定理跟大家分享。
初中数学公式定理的内容较多，希望考生积极的把握。
因式分解是初中数学知识点之一，为了帮助同学们更好的学习中考数学的内容，我们推荐下面的数学公式定理跟大家分享。
初中数学公式定理的内容较多，希望考生积极的把握。
1 因式分解
11 因式
如果一个次数不低于一次的多项式因式，除这个多项式本身和非零常数外，再也没有其他的因式，那么这个因式（即该多项式）就叫做质因式
12 因式分解
把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解
1 提取公因式法
2 运用公式法
3 分组分解法
4 十字相乘法
5 配方法
6 求根公式法
13 用待定系数法分解因式
2 余式定理及其应用
21 余式定理
f（x）除以（x-a）的余式是常数f（a）
以上介绍的是初中数学公式定理的内容，希望对大家的因式分解的学习有所帮助。
数学公式定理的掌握，是为了在中考数学考试的时候很好的运用，所以希望大家很好的备考。
【中考必背】因式分解12种方法，全掌握计算题不再怕！
【中考必背】因式分解12种方法，全掌握计算题不再怕！初中数学学习的是很重要的基础知识。
如果说小学数学学习的内容是生活中会经常用到的数学运算和思维方法，那么初中数学就是在为以后的数学学习、含有数学方面的研究打基础。
学生日后数学基础好不好，关键要看初中。
因式分解是数学常用的解题方法，掌握好因式分解的窍门，能够帮助我们提高做题速度，增加学习效率。
因式分解不是一个小的知识点，在整个数学学科的学习过程中，因式分解都是极其重要的解题步骤之一。
今天，王老师就带大家来了解下，因式分解的12种方法，全掌握计算题不再怕。
因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：1提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1、分解因式x -2x -xx -2x -x=x(x -2x-1)2 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4ba +4ab+4b =（a+2b）3分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5mm +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4 十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-197x -19x-6=（7x+2）(x-3)5配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x -x -6x -x+22x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,......x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x ) (x)x )例9、因式分解x +2x -5x-6令y= x +2x -5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10 主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x +9x +23x+15令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)。
初中数学八年级《因式分解》教育教学课件
乘 法
(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;
(4)检验。
【例题】
(1) 把6x2 +13x + 6分解因式 解： 2x 3
3x 2 4x+9x=13x ∴ 原式=(2x+3)(3x+2)
常 规 方 法
(2) 例2：把3m3 -3m2 -60m分解因式
■
解： 3m3 -3m2 -60m
十
=3m(m2 -m -20m)
= (y+5)(y-2) = (x2+x+5)(x2+x-2) = (x2+x+5)(x+2)(x-1)．
特
殊
求根公式法
方
法
利用一元二次方程求根公式中两个解与未知数的关系进行分解因式的方法叫做求根公式法。
■
【基本步骤】
求
一般的如果对ax2+bx+c这样的一元二次三项式进行因式分解时，
根
可令：ax2+bx+c=0，构建出一个一元二次方程，
字
m
-5
相
乘
m
4
法
4m-5m = -m
∴ 原式=3m(m-5)(m+4)
常
规
分组分解法
方 法
通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，这种分解因式的方法
■
叫做分组分解法。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法， 三一分法。
分
组
【例题】
分
(1) 因式分解ax+ay+bx+by
解析：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘
2012年长沙市中考数学总复习专题一数与式之 因式分解课件
2、设n为整数，用因式分解说明(2n+1)2 - 25 能被4整除。 3、若a、b、c是三角形的三边长且满足
(a+b)2-(a+c)2=0，则此三角形是（
A、等腰三角形 C、直角三角形
）
B、等边三角形 D、不能确定
4.已知a,b,c是三角形ABC的三边长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,则此三角形是什么 三角形. 5.已知三角形三边a,b,c满足 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,求此三角形三边长 a,b,c的关系. 6.无论a、b为何值，代数式（a+b)² +2(a+b)+5的 值均为正值，你能说明其中的道理吗？
例1.因式分解：
(1) 9a2b-12ab2 +3ab (2) a(x-3)+2b(3-x)
(3) 5(x-y)3+10(y-x)2
(4) 计算：9992+999
因式分解的一般步骤:
可归纳为一“提”、二“套”、三“看”.
(1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式， 若有必须先提出来. (2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提 出公因式 )，第二步则看能不能用公式法或用 x2+(p+q)x+pq型分解. (3)三“看”：看能不能继续分解，如果还能继 续分解则要分解彻底。
多项式的因式分解的具体步骤是什么?
1.有公因式的要先提取公因式
2.如果是二项式,考虑用平方差公式,如果 是三项式考虑用完全平方公式. 3.最后结果要分解到不能分解为止(即分 解要彻底
提公因式法
1、公因式的确定方法：
(1)系数：取各系数的最大公约数 (2)字母：取各项相同的字母 (3)相同字母指数：取最低指数
2012年全国各地中考数学解析汇编 第十一章 因式分解(按章节考点整理)
（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第十一章 因式分解(分3个考点精选48题）11.1 提公因式法（2012，9，4）分解因式：269mn mn m ++=． 【解析】原式=m (n 2+6n +9)=m (n +3)2【答案】m (n +3)2【点评】本题考查了提公因式及完全平方的知识点。
（2012某某市，13， 3分）分解因式a 2－8a 。
【解析】提取公因式即可分解因式。
【答案】:a(a －8).【点评】本题考查了因式分解的方法。
比较简单。
（2012某某省某某市，5，4分）把24a a -多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. ()4a a - B. (2)(2)a a +- C. (2)(2)a a a +- D.2(2)4a --【解析】分解因式按“一提二套”原则:有公因式的先提取公因式,再套用平方差公式或完全平方公式，本题可直接提公因式． 【答案】A【点评】，此题较基础．（某某株洲市3,9）因式分解：22a a -=. 【解析】22(2)a a a a -=- 【答案】(2)a a -【点评】本题主要考查因式分解的常用方法及步骤：先提取公因式，再运用公式法进行分解．（2012某某某某，1l ，4分）分解因式：25x x -=________．解析：因式分解的基本方法是提取公因式法、公式法、分组分解法。
本题只有两项，所以，只能用提取公因式法和平方差公式法。
观察可知有公因式x ，提取公因式法分解为x(x-5)。
答案：x(x-5)。
点评：公因式的确定方法是：系数是各项系数的最大公约数，字母是各项都有的字母，指数取最小。
（2012某某随州，11,4分）分解因式：249x -=______________________。
解析：22249(2)3(23)(23)x x x x -=-=+-。
答案：(2x+3)(2x-3)点评：本题考查了因式分解。
对于多项式若其由两项组成，且为可化为平方差的形式，则可利用公式法直接进行因式分解。
2012专题：因式定理与因式分解
专题：因式定理与因式分解1、余数定理与因式定理通常：)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，)(a f 表示这个多项式在a x =时的值。
如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。
设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：r x g c x x f +-=)()()(即：被除式等于除式乘以商式再加余式在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(因此：我们有：)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。
这个结论我们称余数定理如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。
反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。
因此，我们有：如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。
反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。
这个结论通常称为因式定理及其逆定理。
需要掌握的基本技能：长除法计算：3(27)(2)x x x +-÷- 解：332232322226202722224676125x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+所以，3227(2)(26)5x x x x x +-=-+++注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。
例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。
知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。
当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。
这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。
即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x=)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。
华师版八年级数学上册第12章5 因式分解
特别解读
知5－讲
1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的两数和(差)的平
方公式的逆用.
2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项
的符号可以是“＋”，也可以是“－”，但两个平方项的符号
必须相同，否则就不是完全平方式，不能用完全平方公式进
原式＝(10x＋3y)(10x－3y)．
知4－练
知4－练
(3)a4－1； 解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)·(a－1)．
(4)49x2－(5x－2)2. 原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)＝ 4(6x－1)(x＋1)．
知识点 5 用完全平方公式分解因式
解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式.
知3－练
解：(1)6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz＝2xy2(3x2－4yz). (2)－4a3b2＋12a2b－4ab ＝－(4a3b2－12a2b＋4ab) ＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab) ＝－4ab(a2b－3a＋1).
知3－练
解法提醒：1. 当多项式的首项系数是负数时，一般应先 提出“－”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号. 2. 4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此时 容易漏掉“1”这一项而导致错误．
知3－练
5-1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
的积的条件后，结果写成平方差形式；而因式分解中的
平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分
解成两个数的和乘以这两个数的差.
《因式分解》ppt课件
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
2012年中考专题复习因式分解_讲义
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3 ) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4 ) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
2012年中考数学公式定理(超全)
新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网2012中考数学复习专用----- 肖信建制作第一章：实数 (2)一、实数的分类： (2)二、实数中的几个观点 (2)三、实数与数轴 (3)五、实数的运算 (3)六、有效数字和科学记数3法 .............................................................................................................................第二章：代数式 (3)一、代数式 (3)二、整式的相关观点及运算 (4)三、因式分解 (5)四、分式 (5)五、二次根式 (6)第三章：方程和方程组 (6)一、方程相关观点 (6)二、一元方程 (6)三、分式方程 (7)四、方程组 (7)第四章：列方程（组）解应用题 (8)一、列方程（组）解应用题的一般步骤 (8)二、列方程（组）解应用题常有种类题及其等量关系； (8)三、列方程解应用题的常用方法 (8)第五章：不等式及不等式组 (9)一、不等式与不等式的性质 (9)二、不等式（组）的解、解集、解不等式 (9)三、不等式（组）的种类及解法 (9)第六章：函数及其图像 (9)一、平面直角坐标系 (9)二、函数的观点 (10)三、几种特别的函数 (10)第七章：统计初步 (12)一、整体和样本： (12)二、反应数据集中趋向的特点数 (12)三、反应数据颠簸大小的特点数： (13)四、频次散布 (13)第八章：订交线与平行线 (13)第九章：三角形 (15)一、三角形 (15)（ 1）、知识框架 (15)二、全等三角形 (16)三、对称 (16)四、旋转 (17)五、勾股定理 (18)六、相像 (19)七、角三角函数 (20)第十章：四形 (21)第十一章： (23)第一章：实数一、数的分：正整数整数零有理数负整数有限小数或无穷循环小数实数正分数分数负分数正无理数无理数无穷不循环小数负无理数1、有理数：任何一个有理数能够写成p 的形式，此中p、q 是互的整数，是有理数q的重要特点。
因式分解知识点列举(初中八年级数学课件)
因式分解知识点列举(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)公因式：一个多项式每一项都含有的同样的因式叫做这个多项式的公因式．(3)确立公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大条约数；字母取各项的同样字母，并且各字母的指数取次数最低的．(4)提公因式法：一般地，假如多项式的各项有公因式能够把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这类分解因式的方法叫做提公因式法．(5)提出多项式的公因式此后，另一个因式确实定方法是：用本来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式．(6)假如多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“ - ”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“- ”号时，多项式的各项都要变号．(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式．(8)运用公式法：假如把乘法公式反过来，就能够用来把某些多项式分解因式，这类分解因式的方法叫做运用公式法．(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式： a2-b2=(a+ b)(a-b) (10)具备什么特色的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方， ( 指的系数是完整平方数 )②字母指数要成双， ( 指的指数是偶数 )③两项符号相反． ( 指的两项一正号一负号 )(11)用平方差公式分解因式的重点：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出 a，b 分别等于什么．(l2) 完整平方公式：两个数的平方和，加上 ( 或许减去 ) 这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和 ( 或许差 ) 的平方．字母表达式： a2±2ab+b2=(a±b)2(13)完整平方公式的特色：①它是一个三项式．②此中有两项是某两数的平方和．③第三项是这两数积的正二倍或负二倍．④具备以上三方面的特色此后，就等于这两数和( 或许差 ) 的平方．(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和 ( 或许差 ) 等于这两个数的和( 或许差 ) 乘以它们的平方和与它们积的差( 或许和 ) ．(15)利用立方和与立方差分解因式的重点：能把这两项写成某两数立方的形式．(16)具备什么条件的多项式能够用分组分解法来进行因式分解：假如一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能持续分解因式，那么这个多项式就能够用分组分解法来分解因式．(17)分组分解法的前提：娴熟地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提．(18)分组分解法的原则：分组后能够直接提出公因式，或许分组后能够直接运用公式．(19)在分组时要早先考虑到分组后可否持续进行因式分解，合理选择分组方法是重点．(20)关于一个一般形式的二次项系数为 1 的二次三项式 x2+px+q，假如将常数项 q 分解成两个因数 a，b，而 a+b 等于一次项系数 P，那么它就能够分解因式．即 x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)这里的重点：掌握 a，b 与原多项式的常数项，一次项系数之间的关系，这个关系主假如： ab=q， a+b=p(21)十字相乘法：借助画十字交错线分解系数，进而帮助我们把二次三项式分解因式的方法．(22)十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三项式的因式分解．(23)关于一个一般形式的二次项的系数不是 1 的二次三项式 ax2＋bx＋c，用十字相乘法分解因式的重点：找出四个因数，使a1a2=a，c1c2=c， a1c2＋a2c1=b．这四个因数的找出，要经过频频试试，为了减少试试的次数，使符号问题简单化，当二次项的系数为负数时，应先把负号提出，使二次项的系数为正数，将二次项系数分解因数时，只考虑分解为两个正数的积．即 ax2＋bx＋c=a1a2x2＋ (a1c2 ＋a2c1)x ＋c1c2＝(a1x ＋ c1)(a2x ＋ c2)(24)二次三项式 ax2＋bx＋c 在有理数范围内分解因式的充足必需条件是 b2-4ac 为一个有理数的平方．(25)因式分解的一般步骤：①假如多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②假如各项没有公因式，那么能够试试运用公式来分解；③假如用上述方法不可以分解，那么能够试试用分组分解法或其余方法分解．(26)从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式．新课标第一网①假如是两项，应试虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式．②假如是二次三项式，应试虑用提公因式法，完整平方公式，十字相乘法．[ 根源: 学+科+网Z+X+X+K]③假如是四项式或许大于四项式，应试虑提公因式法，分组分解法．(27)因式分解要注意的几个问题：①每个因式分解到不可以再分为止．②同样因式写成乘方的形式．③因式分解的结果不要中括号．④假如多项式的第一项系数是负数，一般要提出“ - ”号，使括号内的第一项系数为正数．⑤因式分解的结果，假如是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面．。
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专题：因式定理与因式分解1、余数定理与因式定理通常：)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ， )(a f 表示这个多项式在a x =时的值。
如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。
设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：r x g c x x f +-=)()()(即：被除式等于除式乘以商式再加余式 在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(因此：我们有：)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。
这个结论我们称余数定理如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。
反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。
因此，我们有： 如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。
反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。
这个结论通常称为因式定理及其逆定理。
需要掌握的基本技能：长除法计算：3(27)(2)x x x +-÷- 解：3232322226202722224676125x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+所以，3227(2)(26)5x x x x x +-=-+++注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。
例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。
知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。
当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。
这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。
即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x =)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。
避免分数运算，把23-x 乘以2得32-x ，32-x 仍然是)(x f 的一次因式。
现在可以用长除法，也可以用分组分解法，使得每组都有因式32-x ：3552)(23-+-=x x x x f =)1)(32(2+--x x x这里有人会问，例1、例2中如何就首先发现0)1(=-f ，)23(f =0了呢？ 下面讨论这个问题。
2、有理根的求法如果c x -是)(x f 的因式，则0)(=c f ，那么就是说c x =是0)(=x f 的根；反之，在c 是0)(=x f 的根时，c x -就是)(x f 的因式。
问题是如何求出0)(=x f 的根？ 我们假定)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式，又设有理数qp c =是)(x f =0的根，这里q p 是既约分数（即q p ,为互质整数）。
由于0)(=c f ，则有 ++--11)()(n n n n qp a q p a +0)(01=+a q p a 两边同乘n q 得：001111=++++---n n n n n n q a pq a q p a p a 上式p 能整除左边前n 项，q 能整除左边后n 项，又因q p ,互质，因此： p 能整除0a ，即p 是0a 的约数；q 能整除n a ，即q 是n a 的约数。
因此，可得：整系数多项式)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- =0的有理根qp x =的分子p 是常数项0a 的约数；q 是首项系数n a 的约数。
找到了0)(=x f 的有理根q p x =，那么就找到了)(x f 的一次因式q p x -. 例3 分解因式 2323-++x x x 解：0a =-2的因数有2,1±±，n a 的正因数有+1，+3（我们可以如此取）。
所以)(x f =0的有理根只可能是32,312,1±±±±. 经检验可得：0)32(==f 所以32-x 是)(x f 的因式，从而23-x 也是)(x f 的因式，可得： 2323-++x x x =)23()23()23(222-+-+-x x x x x =)1)(23(2++-x x x3、字母系数上述多项式都是常数系数。
若遇字母系数多项式呢？例4 分解因式abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23 解：常数项abc -的因数为.,,,,,,abc ca bc ab c b a ±±±±±±±把a x =代入，可得abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=0所以a x -是原式的因式，同理c x b x --,也是原式的因式，所以：abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=))()((c x b x a x ---小结：因式定理只是提供了一个寻找多项式的一次因式的方法。
达到了降次的目的。
如果一个整系数多项式没有有理根，那么它也就没有整系数的一次因式，这时我们可以用待定系数法来考察它有无其他因式。
4、二次因式（待定系数法）例5 分解因式：32234+-++x x x x 解：原式的有理根只可能是3,1±±，但这4个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而没有有理系数一次因式。
我们设想：原式可以分为两个整系数的二次因式的乘积，于是设：32234+-++x x x x =))((22d cx x b ax x ++++ （其中d c b a ,,,是整数）比较两边x x x ,,23的系数及常数项，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=++=+3121bd ad bc ac d b c a （一般来说，这样的方程不容易解！但别忘了d c b a ,,,是整数！）从3=bd 入手，可得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==3131d b d b 或，或⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==1313d b d b 或； 将3,1==d b 代入可解得：2,1=-=c a因此：32234+-++x x x x =)32)(1(22+++-x x x x根据因式分解的唯一性，其他几组不必再试了。
思考：136--x x 能否分解为两个整系数的三次因式的积？（可用待定系数法）下面看两个综合题例6 若3235x hx x k +-+恰好能被3x +整除，被1x +除余数为4，求,h k ，并将多项式3235x hx x k +-+进行因式分解。
解：记32()35f x x hx x k =+-+，则 (3)0(1)4f f -=⎧⎨-=⎩代入得9662h k h k +=⎧⎨+=⎩ 解得8,6h k ==-所以32()3856f x x x x =+--由于()f x 必有因式3x +，设其商式为2ax bx c ++则 23232()(3)()(3)(3)33856f x x ax bx c ax b a x c b x c x x x =+++=+++++=+--比较系数可以得到3383536a b a c b c =⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪=-⎩解得312a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩即2()(3)(32)(3)(1)(32)f x x x x x x x =+--=+-+例7 设c b a ,,是三个不同的实数，)(x P 是实系数多项式。
已知（1）)(x P 除以（a x -）得余数a ；（2）)(x P 除以（b x -）得余数b ；（3）)(x P 除以（c x -）得余数c ；求多项式)(x P 除以))()((c x b x a x ---所得的余式。
（意大利数奥题）解：根据余数定理，)(x P 被（a x -）除，余数为)(a P ，所以)(a P =a . 从而x x P -)(，在a x =时，值为0。
同理，在b x =、c 时，值也为0。
所以x x P c x b x a x ----)())()((，即)(x P 除以))()((c x b x a x ---，余式为x .5、因式定理在轮换式分解中的运用对称式 如果把多项式中任何两个字母互换，所得的式子与原多项式恒等，这样的多项式叫做关于这些字母的对称式。
如z y x ++，222z y x ++，zx yz xy ++，333z y x ++，y z x z x y z y z x y x 222222+++++，xyz ，┅┅轮换式 一个含有多个字母的多项式中，如果将所有字母顺次轮换后，所得到的多项式恒等，则称原多项式是关于这些字母的轮换式。
如：z y x ++，222z y x ++，zx yz xy ++，333z y x ++，x z z y y x 222++，222zx yz xy ++，xyz ，┅┅显然，关于z y x ,,的对称式一定是轮换式。
但是，关于z y x ,,的轮换式不一定是对称式。
如：x z z y y x 222++。
对于次数低于3的轮换式都是对称式。
两个轮换式（或对称式）的和、差、积、商（假定整除）仍然是轮换式（或对称式）。
关于x ，y 的齐次对称式的一般形式是：一次对称式：()y x l +； 二次对称式：()mxy y x l ++22； 三次对称式：()().33y x mxy y x l +++； 关于x ，y ，z 的齐次轮换式的一般形式是： 一次齐次轮换标准式：()z y x l ++； 二次齐次轮换标准式：()()zx yz xy m z y x l +++++222； 三次齐次轮换标准式：()()()()[]nxyz y x z x z y z y x m z y x l +++++++++222333；……（其中，l ，m ，n 均为常数）.例8 分解因式：()()()y x z x z y z y x -+-+-333.解：()()()y x z x z y z y x -+-+-333是关于z y x ,,的轮换式 如果把它看成x 为主元的多项式，当y x =时，原式()()()0333=-+-+-=y y z y z y z y y .则原式有因式y x -。
同样原式还有因式z y -，x z -.所以()()()x z z y y x ---是原式的因式。