2012专题：因式定理与因式分解201208用
专题：因式定理与因式分解
1、余数定理与因式定理
通常：
)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++--Λ， )(a f 表示这个多项式在a x =时的值。 如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：
r x g c x x f +-=)()()(
即：被除式等于除式乘以商式再加余式 在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(
因此：我们有：
)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。 这个结论我们称余数定理
如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。因此，我们有： 如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。 这个结论通常称为因式定理及其逆
定理。
需要掌握的基本技能：长除法
计算：
3(27)(2)x x x +-÷- 解：232322226
2027
2222467
612
5x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+
所以，32
27(2)(26)5x x x x x +-=-+++
注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。
例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。 知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。
当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。
即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x =)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x
例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f
因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。避免分数运算，把23-x 乘以2得32-x ，32-x 仍然是)(x f 的一次因式。
现在可以用长除法，也可以用分组分解法，使得每组都有因式32-x ：
3552)(23-+-=x x x x f =)1)(32(2+--x x x
这里有人会问，例1、例2中如何就首先发现0)1(=-f ，)2
3(f =0了呢？ 下面讨论这个问题。
2、有理根的求法
如果c x -是)(x f 的因式，则0)(=c f ，那么就是说c x =是0)(=x f 的根；反之，在c 是0)(=x f 的根时，c x -就是)(x f 的因式。问题是如何求出0)(=x f 的根？ 我们假定)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++--Λ是整系数多项式，又设有理数q
p c =是)(x f =0的根，这里q p 是既约分数（即q p ,为互质整数）。 由于0)(=c f ，则有 ΛΛ++--11)()(n n n n q
p a q p a +0)(01=+a q p a 两边同乘n q 得：
00
1111=++++---n n n n n n q a pq a q p a p a ΛΛ 上式p 能整除左边前n 项，q 能整除左边后n 项，又因q p ,互质，因此： p 能整除0a ，即p 是0a 的约数；q 能整除n a ，即q 是n a 的约数。 因此，可得：
整系数多项式)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++--Λ=0的有理根q
p x =
的分子p 是常数项0a 的约数；q 是首项系数n a 的约数。
找到了0)(=x f 的有理根q p x =，那么就找到了)(x f 的一次因式q p x -. 例3 分解因式 232
3-++x x x 解：0a =-2的因数有2,1±±，n a 的正因数有+1，+3（我们可以如此取）。
所以)(x f =0的有理根只可能是3
2,312,1±±±±. 经检验可得：0)3
2(==f 所以3
2-x 是)(x f 的因式，从而23-x 也是)(x f 的因式，可得： 2323-++x x x =)23()23()23(222-+-+-x x x x x =)1)(23(2++-x x x
3、字母系数
上述多项式都是常数系数。若遇字母系数多项式呢？
例4 分解因式
abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(2
3 解：常数项abc -的因数为
.,,,,,,abc ca bc ab c b a ±±±±±±±
把a x =代入，可得abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=0
所以a x -是原式的因式，同理c x b x --,也是原式的因式，所以：
abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=))()((c x b x a x ---
小结：因式定理只是提供了一个寻找多项式的一次因式的方法。达到了降次的目的。如果一个整系数多项式没有有理根，那么它也就没有整系数的一次因式，这时我们可以用待定系数法来考察它有无其他因式。
4、二次因式（待定系数法）
例5 分解因式：32234+-++x x x x 解：原式的有理根只可能是3,1±±，但这4个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而没有有理系数一次因式。
我们设想：原式可以分为两个整系数的二次因式的乘积，于是设：
32234+-++x x x x =))((22d cx x b ax x ++++ （其中d c b a ,,,是整数）
比较两边x x x ,,23的系数及常数项，得：
???????=-=+=++=+3
121bd ad bc ac d b c a （一般来说，这样的方程不容易解！但别忘了d c b a ,,,是整数！）
从3=bd 入手，可得???-=-=???==3131d b d b 或，或?
??-=-=???==1313d b d b 或； 将3,1==d b 代入可解得：2,1=-=c a
因此：32234+-++x x x x =)32)(1(22+++-x x x x
根据因式分解的唯一性，其他几组不必再试了。
思考：136--x x 能否分解为两个整系数的三次因式的积？（可用待定系数法）
下面看两个综合题
例6 若
3235x hx x k +-+恰好能被3x +整除，被1x +除余数为4，求,h k ，并将多项式3235x hx x k +-+进行因式
分解。
解：记32
()35f x x hx x k =+-+，则 (3)0(1)4f f -=??-=?
代入得9662h k h k +=??+=? 解得8,6h k ==-
所以32
()3856f x x x x =+--
由于()f x 必有因式3x +，设其商式为2ax bx c ++则 23232()(3)()
(3)(3)33856
f x x ax bx c ax b a x c b x c x x x =+++=+++++=+--
比较系数可以得到3383536
a b a c b c =??+=??+=-??=-?解得312a b c =??=-??=-?
即2
()(3)(32)(3)(1)(32)f x x x x x x x =+--=+-+
例7 设c b a ,,是三个不同的实数，)(x P 是实系数多项式。已知
（1）)(x P 除以（a x -）得余数a ；
（2）)(x P 除以（b x -）得余数b ；
（3）)(x P 除以（c x -）得余数c ；
求多项式)(x P 除以))()((c x b x a x ---所得的余式。（意大利数奥题）
解：根据余数定理，)(x P 被（a x -）除，余数为)(a P ，所以)(a P =a . 从而x x P -)(，在a x =时，值为0。同理，在b x =、c 时，值也为0。 所以x x P c x b x a x ----)())()((，即)(x P 除以))()((c x b x a x ---，余式为x .
5、因式定理在轮换式分解中的运用
对称式 如果把多项式中任何两个字母互换，所得的式子与原多项式恒等，这样的多项式叫做关于这些字母的对称式。如z y x ++，222z y x ++，zx yz xy ++，333z y x ++，y z x z x y z y z x y x 222222+++++，xyz ，┅┅
轮换式 一个含有多个字母的多项式中，如果将所有字母顺次轮换后，所得到的多项式恒等，则称原多项式是关于这些字母的轮换式。如：z y x ++，2
22z y x ++，zx yz xy ++，333z y x ++，x z z y y x 222++，222zx yz xy ++，xyz ，┅┅
显然，关于z y x ,,的对称式一定是轮换式。但是，关于z y x ,,的轮换式不一定是对称式。如：x z z y y x 2
22++。对于次数低于3的轮换式都是对称式。
两个轮换式（或对称式）的和、差、积、商（假定整除）仍然是轮换式（或对称式）。 关于x ，y 的齐次对称式的一般形式是：
一次对称式：()y x l +； 二次对称式：(
)mxy y x l ++2
2； 三次对称式：()().33y x mxy y x l +++； 关于x ，y ，z 的齐次轮换式的一般形式是： 一次齐次轮换标准式：()z y x l ++； 二次齐次轮换标准式：(
)()zx yz xy m z y x l +++++222； 三次齐次轮换标准式：()()()()[]nxyz y x z x z y z y x m z y x l +++++++++2
22333；
……
（其中，l ，m ，n 均为常数）.
例8 分解因式：
()()()y x z x z y z y x -+-+-333.
解：()()()y x z x z y z y x -+-+-3
33是关于z y x ,,的轮换式 如果把它看成x 为主元的多项式，
当y x =时，原式()()()03
33=-+-+-=y y z y z y z y y .则原式有因式y x -。 同样原式还有因式z y -，x z -.
所以()()()x z z y y x ---是原式的因式。但原式是关于z y x ,,的四次式，所以还应当有一个一次因式。因原式是四次齐次轮换式，所以这个一次因式也是关于z y x ,,的一次齐次轮换式。设为()z y x l ++，
从而有：()()()()()()()x z z y y x z y x l y x z x z y z y x ---++=-+-+-3
33.比较3x 的系数，得()z y l z y --=-.求得1-=l .
故()()()()()()()x z z y y x z y x y x z x z y z y x ---++-=-+-+-3
33.
例9 分解因式 555)
()()(y x x z z y -+-+- 解：用上面的方法易知原式有因式))()((x z z y y x ---. 因原式是五次齐次轮换式，所以还有一个因式是二次齐次轮换式。 我们设：
555)()()(y x x z z y -+-+-=))()((x z z y y x ---[]
)()(222zx yz xy m z y x l +++++ 比较两边系数可确定l 、m 。也可用特殊值法确定l 、m 。
取0,1,2===z y x ，得：)25(21321m l +-=+-，即1525=+m l
再取1,0,1-===z y x ，得：)2(21321m l --=+-，即152=-m l
可解得：5,5-==m l
于是可得： 555)()()(y x x z z y -+-+-=5))()((x z z y y x ---)(222zx yz xy z y x ---++.
思考题：因式分解abc c b a 3333-++
解：如果把它看成a 为主元的多项式， 当)(c b a +-=时，有abc c b a 33
33-++=0 所以c b a ++是abc c b a 3333-++的因式。
因为abc c b a 3333-++是关于c b a ,,的三次齐次轮换式，则还得有一个二次齐次轮换因式。我们设：
abc c b a 3333-++=)(c b a ++[]
)((222ca bc ab m c b a l +++++ 比较3
a 的系数得：1=l ，比较abc 的系数得：1-=m
所以：abc c b a 3333-++=)(c b a ++)(2
22ca bc ab c b a ---++
例10 n 是大于1的自然数，证明：
n n n n n n n z y x y x x z z y z y x 2222222)()()()(++++-+-+-++ （*）
能被4444444)()()()(z y x y x x z z y z y x ++++-+-+-++ （**）整除
证明：在0=x 时，（*）式的值为0，因此x 是（*）式的因式。
在)(z y x +-=时，（*）式的值为0，因此z y x ++是（*）式的因式。 由于（*）是轮换式，所以z y ,也是它的因式，即)(z y x xyz ++是它的因式。 特别当2=n 时，)(z y x xyz ++也是（**）的因式。而
4444444)()()()(z y x y x x z z y z y x ++++-+-+-++和)(z y x xyz ++都是四次式，因此它们至多相差一个常数。所以（*）式也能被（**）式整除。
例11 分解因式：
))(()())(()())(()(444d c b a d c b a d b a c d b a c d a c b d a c b ----++----++----+解：原式是a 、b 、c 的轮换式，易验证b a =时，原式为0，所以有因式b a -。 同理，有因式a c c b --,；因此它有因式：))()((a c c b b a ---。
另一方面，把原式看成d 的多项式，易知a d =时，它的值为0，因此有因式a d -。 同理，它也有因式c d b d --,，于是：
))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------ 是原多项式的因式。
因原多项式是6次式，两者最多相差一个倍数关系。我们设
原式=k ))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------
用特殊值法确定k 值。取2,1,0,1=-===d c b a ，得：k =16.
即：原式=16))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------.
思考题：分解因式：)2()()2()()2()(333c b a b a b a c a c a c b c b -+-+-+-+-+- 注：易验证b a a ==和0时，原式的值为0。因此)(b a a -是它的因式。由于轮换式，所以：))()((a c c b b a abc ---是原多项式的因式。
但))()((a c c b b a abc ---是6次式，而原式的次数≤4，因此原式必为0。
因式分解应当分解到“底”，就是应当将多项式分解为既约多项式的积。什么才算是既约多项式呢？这要看在什么数集内分解。有理数集？实数集？复数集？ 如：7322+-x x 在实数集内就是既约多项式，但在复数集内可得：
7322+-x x =)4
473)(4473(2i x i x --+- 为虚其中i (数单位） 代数基本定理：在复数集内，对于任意多项式
)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++--Λ,(n 为正整数)，一定有复数c 使
得)(c f =0（即c 是)(x f =0的一个根）。
根据代数基本定理和因式定理，每个x 的次数大于1的多项式)(x f 都有一次因式c x -。也就是说在复数集内只有一次多项式才是既约多项式。
如此，易知n 次多项式)(x f 必有：
)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++--Λ=)())((21n n x x x x x x a ---Λ
这就是)(x f 在复数集内的分解式。（不展开讲了！）
在有理数集内，如何判定一个多项式是否既约？下面只讨论一元的情形。
6、艾森斯坦判别法
又称艾氏判别法：
设)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++--Λ是整系数多项式.
如果存在一个质数p 满足以下条件：
（1）p 不整除n a ；
（2）p 整除其余的系数（1210,,,-n a a a a Λ）
（3）2p 不整除0a .
那么，)(x f 在有理数集内不可约。
证明：假设多项式)(x f 满足条件而且可约，设)(x f =)()(x V x U ?。由于p 整除其余的系数（1210,,,-n a a a a Λ），所以有)(x f ≡n n x a )(mod p ，则有)(x f ≡
)()(x V x U ?≡n n x a )(mod p 。于是设U 和V 取模p 后分别为k n k cx
bdx -和，满足c b a n ?=，也就是)()(x V x U ?除了最高项系数以外，其余系数都是p 的倍数。这表示U 和V 的常数项均可被p 整除，所以f 的常数项0a 可以被2p 整除，这与f 系数的设定矛盾。所以定理得到证明。
例12 证明：对于任意的自然数n ，2-n x 在有理数集内不可约。
证明：取2=p ，则p 整除1210,,,-n a a a a Λ，p 不整除n a ，2p 不整除0a .根据艾氏判别法，2-n x 是有理数集内的既约多项式。
例13 证明：1234++++x x x x 在有理数集内不可约。
证明：艾氏判别法不能直接使用。但可令 1+=y x ，
则：1234++++x x x x =1
15--x x =y y 1)1(5-+=55105234++++y y y y 取5=p ，根据艾氏判别法，55105234++++y y y y 在有理数集内不可约，从而1234++++x x x x 在有理数集内不可约。
思考：证明126++x x 在有理数集内不可约。
（注：令 1+=y x ，126++x x =39182115623456++++++y y y y y y ）
初中因式分解详解及提高篇
初中因式分解详解及提高篇 因式分解作为初中代数中一门重要的内容，在因式分解之前的整式运算是因式分解的反方向，而一元二次方程则是以因式分解作为基础，因式分解起到了承上启下的作用，而且因式分解学习的好坏不仅影响到对方程的了解，同时对今后高中学习内容也会有或多或少的影响，学好因式分解十分重要。 对于目前初中教材上老师所讲的因式分解内容只能处理一些基本的问题，对于有更深层次内容的东西则是比较难以处理，为了弥补这些缺陷，让大家更好地打牢初中的学习内容，在此我将所有的因式分解方法全部列举出来并进行详细叙述，从而让各位同学能够真正地了解因式分解。由于有些方法对于初中有一定的难度，对于不同的学生，我会对每一个方法进行说明。 1.提公因式法（所有学生必须掌握） 典型形式：()ma mb mc m a b c ++=++ 注意上面的m 是一个数也可以是一个整式，再比如 ()()()()()x y a x y b x y c x y a b c -+-+-=-++ 2.平方差（所有学生必须掌握） 典型形式：22()()a b a b a b -=-+ 同样上面的a b 、既可以是数也可以是一个整式 3.配方法（所有学生必须掌握） 对于因式分解的配方法主要是搭配平方差进行应用，比如下面的两个例子 22268(+69)1(3)1(2)(4)x x x x x x x ++=+-=+-=++ 祖冲之杯奥赛题：4271x x -+（这个问题在下面的试根法中叙述会更好，所以在这里不给出具体做法） 4.十字相乘法（所有学生必须掌握） 十字相乘法是初中数学中因式分解的难点和重点，在此首先说明2x 前系数为1的处理方法，我们先观察整式运算2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ 通过上面的式子可以看出x 的一次项是a b +，纯数的那一项是ab ，所以可以进行猜测试a b 、的值，一般是根据ab 项进行推测，要是用a b +推测会很麻烦。
因式分解 复习 专题 讲义 知识点 典型例题
因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：2 22)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成： ()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。
《因式分解专题训练》有答案
因式分解专题训练 一、整式有关概念：1.单项式（单个字母或数）（次数，系数）； 2.多项式（次数，项数） 3.同类项与合并同类项 二、幂的运算性质：1.n m n m a a a +=? 2.()mn n m a a = 3.()n n n b a ab = 4.n n n b a b a =??? ?? 5.n m n m a a a -=÷ 6.10=a 7.p p a a 1=-8.p p b a a b ??? ??=??? ??- 三、整式的运算：加、减、乘、除（乘方、开方） 1.m （a+b+c ）=ma+mb+mc 2.（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 3.（a+b ）（a-b ）＝22b a - 4.()2222a b ab a b +±=± 5.()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()()3322b a b ab a b a ±=+±μ 7.()()()ca bc ab c b a a c c b b a 222222222222+++++=+++++ 四、因式分解：1.把一个多项式化成几个整式的积的形式.2.方法（一提二套三分组） （套公式包括十字相乘法） 五、方法·规律·技巧：1.性质、公式的逆向使用；2.整体代入（配方、换元）3.非负数 的运用（配方） 六、实际运用 1.下列变形中，正确的是（） A.()123422+-=+-x x x B.()11 2+=+÷x x x x
C.()()22y x y x y x -=+--- D.x x x x -=-11 2.若n m n m b b a ++-224a 52与可以合并成一项，则n m 的值是（） A.2 B.0 C.－1 D.1 3.若22=+b a ，ab ＝2，则22b a +的值为（）A.6B.4C.23 D.32 4.把多项式x x x 1212323+-分解因式，结果正解的是（） A.()4432+-x x x B.()243-x x C.()()223-+x x x D.()223-x x 5.已知0322=--x x ，则x x 422-的值为（） A.－6 B.6 C.－2或6 D.－2或30 6.下列等式从左到右的的变形，属于因式分解的是（） A.a （x-y ）=ax-ay B.()12122++=++x x x x C.()()34312++=++x x x x D.()()11x 3-+=-x x x x 7.因式分解：()()21622---x x x ＝. 8.分解因式：（a-b ）（a-4b ）+ab ＝. 9.分解因式：()9332--+x x x ＝. 10.分解因式：22my mx -＝. 11.多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，请你写出符合条件的所有的单 项式：. 12.计算：()20172016201642125.0??-＝. 13.已知===-n m n m a a a 4323,16,64则. 14.已知=+-=+-634 x 964322x x x ，则. 15.若()()222222,121y x y x y x +=-++＝.
因式分解易错题和经典题型精选
因式分解易错题精选 班级 姓名 成绩 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042 =+x x ，的解是________。
1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4 422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 5、1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………（ ） （A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 6．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是……………………………（ ） （A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 7．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………………（ ） （A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 8．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选项是………………………（ ） （A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 9.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（ ） （A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解专题复习讲义
因式分解专题复习讲义 教学内容 【内容回顾】 1.计算 (1)(3－4a)(3＋4a)＋(3＋4a)2 (2)(x＋3)2＋(2＋x)(2－x)（3）204×196 （4）9982 （5）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值
3.指出下列各多项式的公因式： （1）8a3b2＋12ab3c （2）8m2n＋2mn （3）－6abc＋3ab2－9a2b 4.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab; （2）6ax－3ax2=3ax（2－x）; （3）a2－4=（a+2）（a－2）; （4）x2－3x+2=x（x－3）+2. 【知识精讲】 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。
（一）提公因式法 1、公因式 多项式ma ＋mb ＋mc 中，各项都有一个公共的因式m ，称为该多项式的公因式。一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 2、提公因式法 由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ，得到ma ＋mb ＋mc ＋=m(a ＋b ＋c),其中，一个因式是公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 （二）公式法 1.平方差公式 a 2－ b 2 =(a +b )(a －b ) 两数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 2.完全平方公式 a 2±2a b +b 2=（a ±b ）2 两数的平方和加上（或减去）这两数的积的 2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. （三）十字相乘法（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即将上式反过来，得到了因式分解的一种方法——十字相乘法， 用这种方法来分解因式的关键在于确定上x a x b x a b x ab 2x a b x ab x a x b 2
因式分解专项练习题(含答案)
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
因式分解练习题库100题(经典、精心整理)
因式分解练习题（100题） 1、323 812a b ab c + 2、2()3()a b c b c +-+ 3、2 82m n mn + 4、2 2 129xyz x y - 5、2a(y-z)-3b(z-y) 6、p(a 2 +b 2 )-q(a 2 +b 2 ) 7、4x 2-9 8、(x+p) 2 -(x+q) 2 9、44 x y - 10、3 a b ab - 11、a 2 2 125 b - 12、9a 2-4b 2 13、x 2 y-4y 14、4 16a -+ 15、16x 2+24x+9 16、-x 2 +4xy-4y 2
17、3ax2+6axy+3ay2 18、(a+b) 2-12(a+b)+36 19、x2+12x+36 20、-2xy-x2-y2 21、a2+2a+1 22、4x2-4x+1 23、ax2+2a2x+3a 24、-3x2+6xy-3y225、32 1510 a a 26、12abc-3bc2 27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a) 29、1-36b2 30、12x2-3y2 31、0.49p2-144 32、(2x+y) 2-(x+2y) 2 33、1+10t+25t2
34、m2-14m+49 35、y2+y+0.25 36、(m+n) 2-4m(m+n)+4m2 37、25a2-80a+64 38、a2+2a(b+c)+(b+c) 2 39、(a-b) 2+4ab 40、(p-4)(p+1)+3p 41、4xy2-4x2y-3y 42、3ax2-3ay243、x2-169 44、5x2-20 45、x2-3x+2 46、x2+7x+10 47、x2-2x-8 48、x2-7x+12 49、x2+7x-18 50、25x2-16y2
因式分解拔高题专项练习
因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五 个的方法” 在因式分解这一章中，教材总结了因式分解的四个步骤，可概括为四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”然而在初学因式分解时，许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，或者都学透了，但是试卷上给出的题目却还是不会分解，本文提出以下“八个注意”事项及“五大课本未总结的方法”，以供同学们学习时参考。 一、“八个注意”事项 （一）首项有负常提负 例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。 （二）各项有公先提公 例2因式分解8a4－2a2 解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1) 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误. （三）某项提出莫漏1
例3因式分解a3-2a2+a 解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2 这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a) 的错误。 （四）括号里面分到“底”。 例4因式分解x4－3x2－4 解：x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）＝（x2＋4）（x＋1）（x－1） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步分解的错误。 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。 （五）各式之间必须是连乘积的形式 例5 分解因式x2－9+8x= 解：x2－9+8x=x2+8x－9=(x－1)(x+9) 这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。 有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（x+3）(x－3)+8x。结果从形式上看右式不是乘积形式，显然是错误的。正解应是：原式= x2+8x－9=(x－1)(x+9)
《因式分解专题训练》有答案
《因式分解专题训练》有答案
因式分解专题训练 一、整式有关概念：1.单项式（单个字母或数）（次数，系数）；2.多项式（次数，项数） 3.同类项与合并同类项 二、幂的运算性质：1. n m n m a a a +=? 2. () mn n m a a = 3. ()n n n b a ab = 4. n n n b a b a =?? ? ?? 5. n m n m a a a -=÷ 6. 1 0=a 7.p p a a 1=- 8. p p b a a b ?? ? ??=?? ? ??- 三、整式的运算：加、减、乘、除（乘方、开方） 1. m （a+b+c ）=ma+mb+mc 2. （a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 3. （a+b ）（a-b ）＝2 2b a - 4. ()2 2 2 2a b ab a b +±=± 5. ()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()() 3 322 b a b ab a b a ±=+±μ 7. () ()()ca bc ab c b a a c c b b a 2222222222 2 2 +++++=+++++ 四、因式分解：1.把一个多项式化成几个整式的积的形式. 2.方法（一提二套三分组） （套公式包括十字相乘法） 五、方法·规律·技巧：1.性质、公式的逆向使用；2.整体代入（配方、换元）3.非负数
的运用（配方） 六、实际运用 1.下列变形中，正确的是（ ） A. () 1 2342 2 +-=+-x x x B. ()11 2 +=+÷x x x x C. ()()2 2 y x y x y x -=+--- D. x x x x -= -11 2.若n m n m b b a ++-224 a 52与可以合并成一项，则n m 的值是 （ ） A. 2 B. 0 C. －1 D. 1 3.若22=+b a ，ab ＝2，则2 2 b a +的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 23 D. 32 4.把多项式x x x 1212323 +-分解因式，结果正解的是 （ ） A. ()4 432 +-x x x B. ()2 43-x x C. ()() 223-+x x x D. ()2 23-x x 5.已知0 322 =--x x ，则x x 422 -的值为（ ） A. －6 B. 6 C. －2或 6 D. －2或30 6.下列等式从左到右的的变形，属于因式分解的是（ ） A. a （ x-y ）=ax-ay
因式分解练习题(超经典)
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
专题2因式分解
专题2：代数式和因式分解 江苏泰州锦元数学工作室编辑 一、选择题 1. （2013年江苏常州2分）下列计算中，正确的是【】 A．（a3b）2=a6b2 B．a?a4=a4 C．a6÷a2=a3 D．3a+2b=5ab 2. （2013年江苏常州2分）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为【】 A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b 3. （2013年江苏淮安3分）计算（2a）3的结果是【】 A．6a B．8a C．2a3 D．8a3
4. （2013年江苏南京2分）计算2 3 1a a ?? ? ??? 的结果是【 】 (A) a (B) a 5 (C) a 6 (D) a 9 5. （2013年江苏南通3分）下列计算，正确的是【 】 A ．43x x x -= B ．632x x x ÷= C ．34x x x ?= D ．() 2 3 6ax ax = 6. （2013年江苏南通3分）函数y = 中，自变量x 的取值范围是【 】 A ．x ＞1 B ．x ≥1 C ．x ＞－2 D ．x ≥―2 7. （2013年江苏苏州3分）计算222x 3x -+的结果为【 】
A ．－5x 2 B ．5x 2 C ．－x 2 D ．x 2 8. （2013年江苏苏州3分）在实数范围内有意义，则x 的取值范围是【 】 A ．x>1 B ．x<1 C ．x≥1 D ．x≤1 9. （2013年江苏苏州3分）已知x 31x -=，则214x 22 x 3 -+的值为【 】 A ．1 B ．32 C ．52 D ．72 10. （2013年江苏宿迁3分）下列运算的结果为a 6 的是【 】 A ．33a a + B ．() 3 3a C ．33a a ? D ．122a a ÷
因式分解分类练习题(经典全面)
因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学 任 璟(编) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
讲义一：《因式分解》专题辅导讲义
因式分解专题辅导讲义 一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。 提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考。请看下面几道例题。 例题精选1：把4224b a b a -因式分解。 解法1：)b a )(b a (b a )b a (b a b a b a 2222224224-+=-=- 解法2：)b a )(b a (b a )b a (ab )b a (ab )ab b a )(ab b a (b a b a 2222224224-+=-+=-+=- 评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法。虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单。通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化。 有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法。 例题精选2： 把c b b ab 2a c a 2222-+++因式分解。 解：222222222)b a ()b a )(b a (c )b ab 2a ()c b c a (c b b ab 2a c a ++-+=+++-=-+++ )b a bc ac )(b a ()]b a ()b a (c )[b a (++-+=++-+= 评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法。 例题精选3： 把44b 4a +因式分解。 解：222222422444)ab 2()b 2a (b a 4)b 4b a 4a (b 4a -+=-++=+ )b 2ab 2a )(b 2ab 2a (2222+-++=。 评注：多项式44b 4a +中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式。但由于这两项再加上22b a 4就是222)b 2a (+，所以先对44b 4a +加、减22b a 4，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解。上面的解法中，把44b 4a +变形为224224b a 4)b 4b a 4a (-++，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件。 因式分解要进行到什么程度，对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解，例如，把44b a -因式分解时，得到)b a )(b a (2222-+，并未完全达到
因式分解 典型例题及经典习题
14.3 因式分解 典型例题 【例1】 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )． A ．a (x ＋y )＝ax ＋ay B ．y 2－4y ＋4＝y (y －4)＋4 C ．10a 2－5a ＝5a (2a －1) D ．y 2－16＋y ＝(y ＋4)(y －4)＋y 【例2】 把多项式6a 3b 2－3a 2b 2－12a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是( )． A ．3a 2b B ．3ab 2 C ．3a 3b 3 D ．3a 2b 2 【例3】 用提公因式法分解因式： (1)12x 2y －18xy 2－24x 3y 3； (2)5x 2－15x ＋5； (3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )． 用平方差公式分解因式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 【例4】 把下列多项式分解因式： (1)4x 2－9； (2)16m 2－9n 2； (3)a 3b －ab ； (4)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 用完全平方公式分解因式 a 2＋2a b ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2. 【例5】 把下列多项式分解因式： (1)x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9； (3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy . 因式分解的一般步骤 一般步骤可概括为：一提、二套、三查． 【例6】 把下列各式分解因式： (1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2. 【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )． ①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24 ；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
(完整)初中因式分解的常用方法—特色专题详解
初中因式分解的常用方法—特色专题详解 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ) )((, )(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
对应练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 例4、分解因式：2222c b ab a -+-
对应练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--
（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式：652++x x