数学中的对称美

数学中的对称美古代哲学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美．”作为科学语言的数学，具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的美，即数学美．数学美是一种理性的美、抽象的美．数学美的主要特征有：简洁性、对称性、统一性、奇异性．它们各有其独特的魅力，给人带来不同的愉悦和享受．在初等数学和高等数学中，对称美表现得尤为突出．对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系．自然界的许多事物都呈现对称性，例如，人体是左右对称的，太阳是对称的，就连蜂巢、蛛网也成正多边形等等．从数学的观点看，对称有两方面的含义：第一，对称只不过是一类很特殊的变换，具有对称性的图形，是指在对称变换下仍变成它自己的图形．以此观之，在其他变换下不变的图形，也应该具有对称美．第二，在抽象意义上，对称意味着数量之间的平衡关系和在意义上的相反相成关系．数学中的对称美是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，以及各种数学概念和理论之间存在的“对等性”．因而，对称美是数学美的重要组成部分．在数学教育中，教师要有意识地揭示数学中的对称美，从而培养学生的美感和解决问题的能力．下面以数学中的实例来说明数学的对称美及其在数学研究和解题中的应用．1 数学图形中的对称美是数学美的主要体现]1[“为什么把车轮做成圆形？”这个有趣的问题就体现了数学的对称美．几何图形的对称美是对数学对称美最通俗直观的解释．在几何图形中，等腰三角形是轴对称的；平行四边形是中心对称的；圆关于圆心是对称的，关于直径也是对称的；球形则最为特殊，它既是中心对称的，又是轴对称的，也是面对称的图形．正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆．”又如《解析几何》中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面等这些图形都有鲜明的对称性，直观地给人以美的享受．正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案和精美的建筑，从而陶冶了人们的情操．2 数学中的对称美是数学美的重要内容对称是数学美的重要内容，它给人们一种圆满而匀称的美感和享受．下面从不同角度来看数学中的对称美．2.1 数和式中的对称美奇数和偶数，质数和合数，约数和倍数，整数和分数，正数和负数等都体现了数学中数的对称性，使人感到一种很强的对称美感．从式的角度看，在代数上形如21x x +，21x x ，321x x x ++，212323222221x x x x x x ++等均称为对称多项式（即一个多项式n x x x f Λ,,(21)中任何两个变元j i x x ,对调后，所得的多项式与原来的多项式相同）．几何上关于三角形面积S 的海伦公式便是以对称多项式的形式出现的S =))()((c p b p a p p --- ，这里p 为三角形周长的一半．三角学中的很多公式如：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+都体现着对称美．又如二项式的展开式：n n n n n n n n n n n b C ab C b a C a C b a ++++=+---11110)(ΛΛ中，0n C =ΛΛ11,-=n n n n n C C C ，也表现出一种对称美．在这个式子中，a 与b 的位置交换，结果是不变的．在中国古代数学遗产中，值得注意的一例是令中国人骄傲的杨辉三角（如下图），左、右两个斜行各数都是1，其余各数都等于它肩上两个数字的和．多么和谐、奇异而美妙的结构，这种对称的排列，内容深刻独到，便于理解和记忆．11 11 2 11 3 3 11 4 ６ 4 1……2.2 运算中的对称美加与减，乘与除，乘幂与开方，指数与对数，微分与积分，矩阵与逆矩阵这些互逆运算可以看作一种“对称”关系．此外，在集合运算中，以下公式很具有对称性：B A B A B A B A Y I I Y ==,．2.3 函数中的对称美函数与反函数也视为一种对称，更一般地，变换与反变换，映像与逆映像也属于对称．2.4 命题中的对称美与原命题并存，有逆命题、否命题、逆否命题．原命题与逆命题互逆，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题互否，逆命题与逆否命题互否．可是，原命题与逆否命题等效，逆命题与否命题也等效．射影几何中的对偶定理，布尔代数中的对偶原理，分析中的对偶算子、共轭空间，规划论中的对偶规划等均表现出命题关系中的对称性．2.5 数学思想和方法中的对称美数学中的“对称”体现了数学美，不仅具有美学上的价值，而且在数学理论中应用比较广泛，同时也给数学提供了一种独特的解题思想和方法——对称思想和对称方法．常用的对称方法有分析法与综合法，直接法与反证法，逻辑思维与逆向思维等均体现了对称美．3 数学中对称美的应用3.1 对称美在数学研究中的应用对称性本身就是一种美，它是自然美的一种最直接的展示，数学作为客观事物在量和形上的一种表达形式，必然会反映这种美．许多数学家往往出于对数学对称美的考虑而获得重要的数学结果．下面举两个例子．例]2[ 3.1.1 自然对数的产生为什么人们通常采用以e 为底的自然对数（e Λ71828.2≈）而不是以10为底的常用对数呢？对此有多种可能的解释，但其中之一的原因就是出于对对称美的考虑．从实际看，以10为对数的底的常用对数是很方便的，但是从美学角度看，常用对数却不是十分理想的．因为：第一，真数及其常用对数的增长表现出明显的不对称性．当真数由1增大到10000时，常用对数却只从0增大到4．第二，当真数均匀地增长时，其常用对数却是不均匀的．为了克服这种不对称性，就尝试采用较小的底数，经过试验并使用极限工具，从而产生了自然对数，这正是人们对对称美追求的结果．例3.1.2 射影几何理论的创立我们知道，在欧氏平面几何中，过两点可作一条直线，但直线不总有一个交点（当这两条直线平行时）．如果我们设想两平行线相交于无穷远点，那么就形成完全对称关系了．笛沙格正是在此设想下引进了“无穷远点”的概念，从而推动了几何的发展，建立了射影几何学．那么，为什么只是在直线上引进一个无穷远点，而不是两个呢？对于这个问题，唯一的解答就是对对称美的追求．通过引进一个无穷远点，我们就可以在平面上的直线与点之间建立对偶关系．反之，如果引进两个无穷远点，就会破坏这种对偶性．这样，在射影几何理论中，点与直线始终具有对称的重要特征，例如，两点确定一条直线，两直线确定一点；不共线三点确定一个三角形，不共点三直线也唯一地确定一个三角形等等．欧氏平面几何的定理与射影几何中的定理之间也就构成一种对称关系．3.2 对称美在数学解题中的应用数式结构的对称，必将蕴含着解法（证法）的对称．因而，具有相同结构特征的数式具有同等的地位，处理的手法必将相同．从数学中的对称美的角度出发，常能起到优化解题思路和简化解题过程的效果．因此，巧妙地利用数学问题的对称性，有助于找到简洁优美的解决法，也有利于思想水平的提高．下面列举一些运用对称方法解题的例子．例3.2.1 求函数xy z =)0,0(>>y x 在满足条件1=+y x 时的最大值．解 根据y x ,的对称性，令k y k x +=-=21,21，则241)21)(21(k k k xy z -=+-==，故当0=k 即21==y x 时，xy z =取得最大值：412121=⨯=z ． 此题有多种解法，而利用对称性求解更令人赏心悦目．例]3[ 3.2.2 已知:0=++c b a ，求证:333c b a ++abc 3=证明 根据对称关系给等式0=++c b a 赋予活的数学内容，那将出现一种新的局面．首先，它不再是一个静止的等式，而是方程0=++cz by ax 有非零解:1===z y x ．其次，它不再是一个孤立的等式，而是三个同样的等式:0=++c b a ;0=++b a c ;0=++a c b ．最后，将上述两个等式结合起来，得齐次线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000az cy bx bz ay cx cz by ax 有非零解而系数行列式等于零，即abc c b a ac bb ac c ba 30333-++== 所以333cb a ++abc 3=． 评注 在这里既没有用到乘方公式，也没有用到因式分解的技巧，而是对方程解的定义的理解，根据对称性，把0=++c b a 转化为齐次线性方程组，从而归结为行列式的简单展开．例3.2.3 设,0,0≠=++xyz z y x 求)11()11()11(yx z z x y z y x +++++的值． 分析 条件式具有对称性，为追求欲求式中三项的和谐统一和考虑出现0=++z y x ，审美直觉心理倾向于在每个括号里添一项，美化成关于zy x 111++的对称统一式． 解 原式可化为： zz y y x x z y x z z y x y z y x x 111)111()111()111(⋅-⋅-⋅-++++++++ =33)111)((-=-++++zy x z y x 评注 根据式子中的轮换对称，通过“添项”，实现了整体形式高度统一，从而获得题突破口，问题得解．这里的“添项”是数学对称美的具体体现．例3.2.4 如图，060=∠=∠ACD ABD ，BDC ADB ∠-=∠21900．求证：ABC ∆ 是等腰三角形．证明 以AD 为对称轴作ABD ∆的对称图形,AED ∆ ABD E AB AE ADB ADE ∠=∠=∠=∠,, 因为BDC ADB ∠-=∠21900 所以ADE ADC CDE ∠+∠=∠ADB BDC ADB ∠+∠+∠=)(BDC ADB ∠+∠=2BDC BDC ∠+∠-=)180(00180=所以CDE 是直线段．在ACE ∆中，因为E ABD ACD ∠=∠=∠所以AE AC =从而,AC AB =即ABC ∆是等腰三角形．例]4[ 3.2.5 设函数)(x f 满足条件3)()(bx x af x f =-+，其中b a ,是常数)0,1(2≠≠b a ，求)(x f ．分析 根据题目所给条件进行解题似乎无从下手，但通过认真观察所给的条件发现x 与x -是一对互为相反数，从对称关系出发，将两者互换又得到了一个方程，因此得到了解题的思路．解 将所给条件中的x 与x -互换得到方程3)()(bx x af x f -=+-，联立已知条件得到⎩⎨⎧-=+-=-+33)()()()(bxx af x f bx x af x f 解得0)()1()()1(=++-+x f a x f a 又,12≠a 整理得：,0)()(=+-x f x f 则函数)(x f 是奇函数．由此可知3)()()()(bx x af x f x af x f =-=-+，即得a bx x f -=1)(3． A B E DC评注 数学的对称美不单是“形”之美，也是一种非常重要的数学思想，正如此题，利用好数学的对称思想可以使一些问题解答变得十分简洁而优美，从而收到事半功倍之效．3.3 数学中的对称美在规划论中的应用在现代生活中，我们常常遇到这样的问题：（1）利用有限的资源（人力，物力，财力）去完成最大的任务．（2）利用最少的资源完成规定的任务．这两类题就是《规划论》中的对偶问题．我们把问题（1）视为原问题，问题(2)视为原问题的对偶问题．由于它们具有对称性，我们要求原问题的最大值，就是求对偶问题的最小值；要求对偶问题的最小值就是求原问题的最大值．当原问题的约束条件不等式的个数比决策变量的个数多时，用求解对偶问题代替原问题的求解，可使计算量大大减少．下面先通过一个实例，来说明对偶性规划的意义．例3.3.1 某农场种植某种作物，全部生产过程中至少需要氮肥32公斤、磷肥24公斤、钾肥42公斤．市场上有甲、乙、丙、丁四种综合肥料可供选用．已知这四种肥料每公斤的价格和每公斤所含氮、磷、钾成分的数量如下表．问应如何配合使用这些肥料，才能既满足作物对氮、磷、钾的需要，又能使施肥成本最低？设甲、乙、丙、丁四种肥料的用量分别为4321,,,x x x x 公斤，则问题的数学模型是如下的线性规划问题：,13.01.015.004.0m in 4321x x x x f +++=..t s ,3215.03.003.0421≥++x x x,241.02.005.0431≥++x x x,4207.014.041≥+x x0≥j x ).4,3,2,1(=j现在从另外一个方面提出如下问题：某肥料公司，针对上述类型的农场的需要，计划生产氮、磷、钾三种单成分的化肥．该公司要为这三种化肥确定单价，既要使获利最大，又要能与市场现有的甲、乙、丙、丁四种综合肥料相竞争，问应如何定价？设氮肥、磷肥、钾肥的单价分别定为321,,u u u 元．收益为g ．则这个问题的数学模型是如下的线性规划问题：,422432m ax 321u u u g ++=..t s ,04.014.005.003.0321≤++u u u,15.03.01≤u,1.02.02≤u,13.007.01.015.0321≤++u u u0≥i u ).3,2,1(=i我们称后一个问题是前一个问题的对偶问题．作为数学美基本特征之一的对称美，其内容是十分丰富的．上述所及不过是管中窥豹．在数学教学和学习中应注意挖掘数学中对称美的因素，利用数学的对称性考查数学对象，思考数学问题，形成数学思维的美学方法和解题策略．美的观点一旦与数学问题的条件和结论特征结合，思维主体就能凭借已有的知识和经验产生审美直觉，从而确定解题的总体思路或入手方向．因此，学习数学的对称思想，体验数学的对称美，培养对数学的审美能力，并用美的思想去创造美，不仅有利于激发同学们的学习兴趣，更有助于培养同学们发明创造的能力．综上所述，对称在数学中是普遍存在的，在从事数学学习与研究的过程中，应充分认识到数学美尤其是对称美的价值，学会从美学的角度去欣赏数学，学习数学，发展数学，从而把数学学习与研究变得充满情趣，富有魅力．。