阅读理解(新定义)

阅读理解

看得懂的问题，请仔细看；看不懂的问题，请硬着头皮看。

阅读：要理解新定义，不允许一知半解就解题

转化：把它转化为熟悉的相关数学知识解决

1. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；

（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O （0，0），A （3，0），B （0，4），请你画出以格点为顶点，OA ，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；

（3）如图2，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°，得到△DBE ，连接AD ，DC ，∠DCB=30度．求

证：DC 2+BC 2=AC 2，即四边形ABCD 是勾股四边形．

2．阅读下面的情景对话，然后解答问题

老师：我们新定义一种多边形：把一个n （n 为大于等于3的整数）边形的内角及外角从小到大分别排序后，若按这个顺序得到的n 个内角的比与n 个外角的比相等，则这个多边形叫做内外等比多边形（说明：每个顶点处只取一个外角）

小华：平行四边形一定是内外等比四边形 小明：三角形有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？ （1）根据“内外等比多边形的定义”，请你判断小华的命题的真假，并说明理由

（2）已知内外等比四边形ABCD 的四个内角分别是∠1、∠2、∠3、∠4，

∠1：∠2：∠3：∠4=()d c b a d c b a ≤≤≤:::，请探索a 、b 、c 、d 之间的关系，并说明理由。 （3）请回答小明问题：“三角形有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？”，并说明理由。

3.通过学习勾股定理的逆定理，我们知道在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形。类似的，我们定义：对于任意三角形，设其三个内角的度数分别为 x 、 y 和

z ，若满足222z y x =+，则称这个三角形为勾股三角形

（1）根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？ （2）若某一勾股三角形的内角度数分别为 x 、 y 和 z ，且z y x <<，,2160

=xy 求y x +的值 （3）已知△ABC 中，AB=6，AC=1+3，BC=2，求证：△ABC 是勾股三角形

4．（2010•永州）探究问题：

（1）阅读理解：

①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；

②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此为托勒密定理；

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC弧上任意一点．求证：PB+PC=PA；

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；

第二步：在BC弧上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离．

（3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．

已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．

5.(2010年宁波)十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存

在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

多面体 顶点数（V ） 面数（F ） 棱数（E ）

四面体 4 4

长方体 8 6 12

正八面体 8 12

正十二面体 20 12 30

你发现顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是_______________。

（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________。

（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24

个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求y x +的值。

6.（2011宁波）阅读下面的情景对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还

是假命题？

（2）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，且b a >，若Rt △ABC 是奇异三角形，求::a b c ；

（3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点(不与点A 、B 重合)，D 是半圆ADB 的中点， C 、D 在直

径AB 两侧，若在⊙O 内存在点E ，使得AE =AD ，CB =

CE ．

① 求证：△ACE

是奇异三角形；

② 当△

ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．

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．（2012•淮安）阅读理解

A B

四面体 长方体 正八面体 正十二面体