最值问题3(垂线段与辅助圆)

合集下载

2023中考数学复习：几何最值问题

证明:如图2,在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连
接FR,BR,RT,ET,AT,
∵A,E关于ON对称,∴AC=EC,同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,
∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,AT+TR+BR=ET+TR+FR.
∵ET+TR+FR>EF,
∴AC+CD+DB<AT+TR+BR,
的压轴题,发展了学生的几何直观和推理能力的核心素养.
专题四几何最值问题
返回类型清单
方法点拨
此类问题的解答,关键是要掌握每种模型的特征、辅助线的作法及解
题原理,能在实际问题中发现模型、建构模型,并依据模型解答问题,解
决实际问题.
专题四几何最值问题
返回类型清单
解题技巧
主要是利用重要的基本事实或者定理,如两点之间线段最短、三角形
动点,设AP=x,PB+PE=y,当点P从A向点C运动时,y与x的函数关系如图
②所示,其中点M是函数图象的最低点,则点M的坐标是( )
A.(4 2,3 5)
B.(2 2,3 5)
C.(3 5,2 2)
D.(3 5,4 2)
例题 4
4
5
6
专题四几何最值问题— 两点之间线段最短问题
模型二
返回类型清单
两定一动（“胡不归”问题）
模型解读
“胡不归”问题即点P在直线BM上运动的“PA+k•PB(0<k<1)”型
最值问题.如图①,已知sin∠MBN=k,点P为∠MBN其中一边BM上
的一个动点,点A在射线BM,BN的同侧,连接AP,则当“PA+k•PB”的

中考数学复习讲义课件中考考点全攻略第六单元圆小专题5 辅助圆问题

2．圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形 ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它的外接圆解题．如图3，在四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，可知四边形ABCD有外接圆⊙O，其圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交点)．
【经典母题】如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为_______.
[解析] ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2. ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC＋∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
[思维方法] 根据线段BA与线段BQ关于线段BP所在的直线对称可知，点Q在以点B为圆心，AB长为半径的圆上运动，即点Q的运动轨迹是一段圆弧，然后画出草图，再矩形的性质求出∠ABQ＝120°，再由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，最后根据S阴影部分＝S四边形ABQD－S扇形ABQ ＝S四边形ABOD＋S△BOQ－S扇形ABQ可求出答案．
小专题5辅助圆问题
类型一定点定长作圆方法解
读平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上 (如图1)．依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合．
推广：如图2，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点 B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧．若遇到求最值问题，可利用两点间线段最短或垂线段最短解决。
12．如图，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD， BC上，若AE＝3，求EF的长．

2024年中考数学总复习题型训练四几何最值问题

题型四几何最值问题类型一利用“垂线段最短”解决最值问题1. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8，点D在AC边上，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE的最小值为________．第1题图2. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB的中点，点M，N分别是CD 和BC上的动点，则BM＋MN的最小值是________．第2题图3. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，点P是BD上一动点，点E 是BC上一动点，若AC＝6，BD＝63，则PC＋PE的最小值为________．第3题图4. 如图，在△OAB中，已知∠AOB＝35°，点P是边AB上一点，点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，连接PO，PM，MN，若∠BOP＝10°，OP＝6，则PM＋MN的最小值为________．第4题图类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点P 是矩形ABCD 内一点，记a ＝S △APB ＋S △CPD ，b ＝P A ＋PB ＋PC ＋PD ，则a ＋b 的最小值为________．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M ，N 分别为BC ，CD 边上的动点，则△AMN 周长的最小值为________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，点D 为边BC 上的动点，点E 为边AB 的中点，连接DE ，DA ，则线段DE ＋DA 的最小值为________．第3题图4. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22 ，∠A ＝90°，点P 是△ABC 内部一点，且满足S △BCP ＝12S △ABC ，则PB ＋PC 的最小值为________．第4题图5. 如图，二次函数y ＝－23 x 2－43x ＋2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一点，连接PB ，PC ，BC ，则△PBC 的周长最小为________．第5题图类型三利用“二次函数性质”解决最值问题（2021.9）1. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c, 记p ＝a ＋b ＋c 2，则其面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） .这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p ＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为( )A. 5B. 4C. 25D. 52. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是BC 上的任意一点(P 与B ，C 不重合)，过点P 作AP ⊥PE ，垂足为P ，PE 交CD 于点E ，连接AE ，在点P 的运动过程中，线段CE 的最大值为________．第2题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠C ＝120°，点P 是AC 上一动点，PD ∥AB ，交BC 于点D ，连接AD ，则点P 在运动过程中，△APD 的面积的最大值为________．第3题图4. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AE＝CF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接DG.(1)当点E为AB的中点时，线段DG的长是________；(2)当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是________．第4题图类型四利用“辅助圆”解决最值问题（8年3考：2021.10、17，2020.17）1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝25，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE 折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG长的最大值为________．第1题图2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的动点(不与正方形的顶点重合)，且AE＝BF，CE，DF交于点M，连接BM，若AB＝2，则BM的最小值为________．第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，E，F分别是AC，BC边上的动点，且EF＝AC，P是EF的中点，连接AP，BP，则△APB面积的最小值为________．第3题图4. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a(0°＜a＜120°)，得到线段AD，连接CD，点E为CD上一点，且DE＝2CE.连接BE，则BE的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC＝3＋1，P为边AB上一动点，过点P 作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，则DE的最小值为________．第5题图题型四几何最值问题类型一利用“垂线段最短”解决最值问题 1. 853【解析】如解图，设DE 与AB 交于点O ，∵四边形ADBE 是平行四边形，∴OB ＝OA ，DE ＝2OD ，∴当OD ⊥AC 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则∠BHD ＝∠EDH ＝90°，易知AD ∥BE ，即AC ∥BE ，∴∠EBH ＝90°，∴四边形BHDE 是矩形，∴DE ＝BH ，∵AC ＝BC ＝6，AB ＝8，∴设CH ＝x ，则AH ＝6－x ，∵BA 2－AH 2＝BH 2＝BC 2－CH 2，即82－(6－x )2＝62－x 2，解得x ＝23 ，∴CH ＝23，∴DE ＝BH ＝BC 2－CH 2 ＝853 .∴DE 的最小值为853.第1题解图2. 4 【解析】如解图，作点N 关于DC 的对称点N ′.∵AC ＝BC ，点D 为AB 的中点，∴点N ′在AC 上，连接MN ′，BN ′，∴BM ＋MN ＝BM ＋MN ′≥BN ′，∴当B ，M ，N ′三点共线，且BN ′⊥AC 时，BM ＋MN 取得最小值．∵AC ＝6，S △ABC ＝12，∴△ABC 中AC 边上的高为4，∴BM ＋MN 的最小值是4.第2题解图3. 33 【解析】如解图，作点E 关于BD 的对称点E ′，连接PE ′，∵四边形ABCD 是菱形，∴BA 与BC 关于BD 对称，∴点E ′位于BA 上，由对称的性质可知，PE ＝PE ′，∴当C ，P ，E ′三点重合，且CE ′⊥BA 时，PC ＋PE 的值最小，即为CE ′的长，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ＝12 AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝33 ，AC ⊥BD ，AB ＝BC ，∴在Rt △BOC 中，BC ＝BO 2＋CO 2 ＝6，tan ∠BCO ＝BO CO＝3 ，∴∠BCO ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CE ′＝BC ·sin 60°＝33 ，∴PC ＋PE 的最小值为33 .第3题解图 4. 33 【解析】如解图，作点P 关于OA 的对称点P ′，连接OP ′，过点P ′作OB 的垂线交OA 于点M ，交OB 于点N ，此时PM ＋MN 的值最小，最小值为线段P ′N 的长．∵∠AOB ＝35°，∠BOP ＝10°，点P ′与点P 关于OA 对称，∴∠POA ＝∠P ′OA ＝25°，∴∠BOP ′＝60°，OP ′＝OP ＝6，在Rt △P ′ON 中，P ′N ＝OP ′·sin 60°＝6×32＝33 ，∴PM ＋MN 的最小值为33 .第4题解图类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 44 【解析】如解图，过点P 作EF ⊥AB ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AC ，BD ，则EF ＝AD ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴AC＝AB 2＋BC 2 ＝62＋82 ＝10，∴BD ＝AC ＝10，∵S △APB ＋S △CPD ＝12 AB ·PE ＋12 CD ·PF ＝12AB ·EF ＝12×6×8＝24，P A ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴当A ，P ，C 三点共线，B ，P ，D 三点也共线时，P A ＋PB ＋PC ＋PD 有最小值，最小值为AC ＋BD ＝20，∴a ＋b 的最小值为24＋20＝44.第1题解图2. 27 【解析】如解图，分别作A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值，作A ′H ⊥DA 交DA 的延长线于点H ，∴AA ′＝2AB ＝2，AA ″＝2AD ＝4，∵∠BAD ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∴在Rt △A ′HA 中，AH ＝12 AA ′＝1，∴A ′H ＝22－12 ＝3 ，A ″H ＝AH ＋AA ″＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝A ′H 2＋A ″H 2 ＝27 ，∴△AMN 的周长最小值为27 .第2题解图3. 43 【解析】如解图，作点E 关于BC 的对称点E ′，连接EE ′，交BC 于点F ，连接DE ′，AE ′，过点E ′作E ′G ⊥AC 交AC 的延长线于点G ，则DE ＝DE ′，EF ＝E ′F ，DE ＋DA ＝DE ′＋DA ≥AE ′，∴当A ，D ，E ′在同一直线上时，DE ＋DA 的值最小，最小值为AE ′的长，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，∴AC ＝33 BC ＝33×43 ＝4，∵点E 为边AB 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝12 AC ＝2，CF ＝12BC ＝23 ，∴E ′F ＝EF ＝2＝CG ，E ′G ＝CF ＝23 ，∴AG ＝AC ＋CG ＝4＋2＝6，∴AE ′＝E ′G 2＋AG 2 ＝（23）2＋62 ＝43 ，∴DE ＋DA 的最小值为43 .第3题解图4. 25 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝22 ，∠BAC ＝90°，∴AD ＝2，BC ＝4，∵S △BCP ＝12S △ABC ，∴点P 到BC 的距离为1，即点P 在AD 的垂直平分线l 上运动，作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接B ′C 交直线l 于点P ′，连接BP ′，B ′P ，则BB ′⊥BC ，BP ′＝B ′P ′，BP ＝B ′P ，∴BP ＋PC ＝B ′P ＋PC ≥B ′C ，当B ′，P ，C 三点共线，即点P 与点P ′重合时，BP ＋PC 的值最小，为B ′C 的长．在Rt △B ′BC 中，BB ′＝2，BC ＝4，∴B ′C ＝BB ′2＋BC 2 ＝25 ，∴PB ＋PC 的最小值为25 .第4题解图5. 13 ＋5 【解析】如解图，连接AC ，AP ，令y ＝0，得x ＝－3或1，∴点A (－3，0)，点B (1，0)，∴抛物线的对称轴是直线x ＝－1，OA ＝3，OB ＝1，令x ＝0，得y ＝2，∴点C (0，2)，∴OC ＝2，∴BC ＝OB 2＋OC 2 ＝5 ，AC ＝OA 2＋OC 2 ＝13 ，∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴要使△PBC 的周长最小，则PB ＋PC 最小即可，∵点A 与点B 关于对称轴对称，∴P A ＝PB ，∴PB ＋PC ＝P A ＋PC ≥AC ，∴PB ＋PC 的最小值为AC 的长，∴△PBC 的周长最小值＝AC ＋BC ＝13 ＋5 .第5题解图类型三利用“二次函数性质”解决最值问题1. C 【解析】∵p ＝5，c ＝4，∴S ＝5（5－a ）（5－b ）（5－4）＝5（5－a ）（5－b ），∵p ＝a ＋b ＋c 2 ，∴a ＋b ＝2p －c ＝6，∴b ＝6－a ，∴S ＝5（5－a ）[5－（6－a ）] ＝5（5－a ）（a －1）＝－5（a －3）2＋20 ，∵－5＜0，∴当a ＝3时，S 有最大值为20 ＝25 .2. 98【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∵AP ⊥PE ，∴∠APB ＋∠CPE ＝∠CPE ＋∠PEC ＝90°，∴∠APB ＝∠PEC ，∴△ABP ∽△PCE ，∴AB PC ＝BP CE，设BP ＝x ，CE ＝y ，则PC ＝3－x ，即23－x ＝x y，∴y ＝－12 x 2＋32 x ＝－12 (x －32 )2＋98 ，∵－12 ＜0，∴当x ＝32 时，y 有最大值，最大值是98 ，∴线段CE 的最大值为98 . 3. 3 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，设AP ＝x ，则CP ＝4－x ，∵AC ＝BC ，∠C ＝120°，∴∠BAC ＝∠B ＝30°，AE ＝BE ，∴CE ＝12AC ＝2，PF ＝12 AP ＝12x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得AE ＝42－22 ＝23 ，∴AB ＝2AE ＝43 ，∵PD ∥AB ，∴△PCD ∽△ACB ，∴PC AC ＝PD AB ，∴4－x 4 ＝PD 43，解得PD ＝3 (4－x )，∴S △APD ＝12 PD ·PF ＝12 ×3 (4－x )×12 x ＝－34 (x －2)2＋3 ，∵－34<0，∴当x ＝2时，S △APD 有最大值，最大值为3 .第3题解图4. (1)1 【解析】∵点E 为AB 的中点，AE ＝CF ，∴点F 为CD 的中点，∴EF ＝FG ＝4，此时F ，D ，G 三点共线，∴DG ＝FG －FD ＝1； (2)255 【解析】如解图，过点F 作FH ⊥AB 于点H ，过点G 作IG ⊥CD 于点I ，则∠EHF ＝∠GIF ＝90°，由题意可知∠EFG ＝90°，EF ＝GF ，∴∠EFH ＋∠EFI ＝∠EFI ＋∠GFI ＝90°，∴∠EFH ＝∠GFI ，∴△EFH ≌△GFI (AAS)，∴EH ＝GI ，设AE ＝a ，①当0＜a ＜3时，如解图①，GI ＝EH ＝6－2a ，ID ＝FD －FI ＝FD －FH ＝6－a －4＝2－a ，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(2－a )2＋(6－2a )2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145 )2＋45 ，∵5＞0，∴当a ＝145 时，DG 2取最小值45，∴DG ＝255；②当3≤a ＜6时，如解图②，GI ＝EH ＝2a －6，ID ＝FI －FD ＝FH －AE ＋EH ＝4－a ＋2a －6＝a －2，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(a －2)2＋(2a －6)2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145)2＋45 ，∵5＞0，3≤a ＜6，∴当a ＝3时，DG 2取最小值1，∴DG ＝1，∵1＞255，∴DG 的最小值为255.第4题解图类型四利用“辅助圆”解决最值问题1. 2 【解析】如解图，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，过点B 作弧的切线交CD 于点G ，切点为F ，此时点E 和点G 重合，DG 的最大值即为DE 的长，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝25 ，AB ＝CD ＝6，由折叠的性质可知，DE ＝EF ，AF ＝AD ＝25 ，设DE ＝EF ＝x ，则CE ＝CD －DE ＝6－x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝AB 2－AF 2 ＝4，则BE ＝BF ＋EF ＝4＋x ，在Rt △BEC 中，由勾股定理得BE 2＝CE 2＋BC 2，即(4＋x )2＝(6－x )2＋(25 )2 ，解得x ＝2，即DG 的最大值为2.第1题解图 2. 5 －1 【解析】如解图，取CD 的中点O ，连接BO ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠EBC ＝∠FCD ＝90°，∵AE ＝BF ，∴AE ＋BE ＝BF ＋CF ，∴BE ＝CF ，∴△EBC ≌△FCD (SAS)，∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE ＋∠DCE ＝∠BCD ＝90°，∴∠CDF ＋∠ECD ＝90°，∴∠CMD ＝90°，当点E ，F 分别在AB 和BC 上移动时，点M 在以CD 的中点O 为圆心，OC 长为半径的半圆上运动，要使BM 取得最小值，则需点B ，M ，O 在同一条直线上．∵AB ＝2，∴CO ＝1，∴BO ＝5 ，∴此时BM ＝5 －1，即BM 的最小值为5 －1.第2题解图3. 9 【解析】如解图，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，则S △ABP ＝12AB ·PH ＝5PH ，∴当PH 最小时，△ABP 的面积最小．∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2 ＝6.∴EF＝AC ＝6.连接CP ，则CP ＝12EF ＝3.∴点P 在以点C 为圆心，3为半径的圆弧上，过点C 作CH ′⊥AB 于点H ′，交⊙C 于点P ′，∵P ′H ′＝CH ′－CP ′＝CH ′－CP ≤CP ＋PH －CP ＝PH ，∴当点P 与点P ′重合，点H 与点H ′重合时，PH 最小，最小值为P ′H ′的长．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12 AB ·CH ′，∴CH ′＝AC ·BC AB ＝245 ，∴P ′H ′＝CH ′－CP ′＝245 －3＝95 ，∴PH 的最小值是95 ，此时S △ABP ＝5PH ＝9，即△ABP 面积的最小值为9.第3题解图4. 27 －2 【解析】如解图，过点E 作EH ∥AD ，交AC 于点H ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝6，由旋转的性质得AD ＝AB ，∴AD ＝AC ，∴∠D ＝∠ACD ，∵DE ＝2CE ，∴CE CD ＝CH CA ＝13 ，∠CEH ＝∠D ＝∠ACD ，∴CH ＝EH ，∵AC ＝6，∴CH ＝EH ＝2，取AH 的中点P ，连接EP ，则PH ＝EH ，∴∠EPH ＝∠PEH ，∵∠EPH ＋∠CEP ＋∠ACD ＝180°，∴2∠PEH ＋2∠CEH ＝180°，∴∠CEP ＝90°，∴点E 在以点H 为圆心，CP 为直径的圆弧上运动，连接BH ，∵EH 为定值2，∴当B ，E ，H 三点共线时，BE 的长最小，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，则CQ ＝12AC ＝3，∴QH ＝CQ －CH ＝1，BQ ＝BC 2－CQ 2 ＝62－32 ＝33 ，∴BH ＝BQ 2＋QH 2 ＝（33）2＋12 ＝27 ，∴BE 的最小值为27 －2.第4题解图5. 32＋64【解析】如解图，连接CP ，∵∠PDC ＝∠PEC ＝90°，∴∠PDC ＋∠PEC ＝180°，∴C ，D ，P ，E 四点共圆，圆心为点O ，且直径为CP ，∵BC ＝3 ＋1，∠ACB ＝45°，∠B ＝60°是定值，∴直径CP 最小时，∠DCE 所对的弦DE 最小，即CP ⊥AB 时，DE 的值最小，连接OD ，OE ，∵∠B ＝60°，CP ⊥AB ，BC ＝3 ＋1，∴∠BCP ＝30°，∴BP ＝12BC ＝3＋12 ，CP ＝3 BP ＝3＋32 ，∴OD ＝OE ＝12 CP ＝3＋34，∵∠ACB ＝45°，∴∠DOE ＝2∠ACB ＝90°，∴△ODE 是等腰直角三角形，∴DE ＝2 OD ＝32＋64，即DE 的最小值为32＋64.第5题解图。

专题03 隐圆(辅助圆)最值模型

专题03 隐圆类最值问题题型一滑梯类1．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，10AC =，8BC =，线段DE 的两个端点D 、E 分别在边AC ，BC 上滑动，且6DE =，若点M 、N 分别是DE 、AB 的中点，则MN 的最小值为( )A ．10B 3-C ．6D ．32．如图，矩形ABCD ，1AB =，2BC =，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上．当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为．3．已知边长为a 的正方形ABCD ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 点D 在第一象限，点E 为正方形ABCD 的对称中心，连接OE ，则OE 的长的最大值是．4．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是．5．如图，矩形ABCD中，20AD=，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且10EF=，AB=，30点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH CH+的最小值为．题型二定点定长6．如图，在矩形ABCD中，4∆沿AB=，6AD=，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将EBF EF所在直线折叠得到△EB F'，连接B D'，则B D'的最小值是．7．如图，在边长为4的菱形ABCD中，60∠=︒，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN∆A沿MN所在的直线翻折得到△A MN'，连接A C'，则线段A C'长度的最小值是．8．如图，四边形ABCD中，AB AC AD∠=度．∠=︒，则CBDCAD==，若769．如图，在Rt ABCBC=，点F在边AC上，并且2CF=，点E为边BC上的AC=，8∠=︒，6C∆中，90动点，将CEF∆沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是()A．1.5B．1.2C．2.4D．以上都不对10．如图，在平行四边形ABCD中，30BC=，CD=M是AD边的中点，N是AB边上BCD∠=︒，4的一动点，将AMN'，连接A C'，则A C'长度的最小值是．∆沿MN所在直线翻折得到△A MN题型三直角所对的是直径11．如图，在圆O中，半径OA弦10⊥，BC=，点Q是劣弧AC上的一个动点，连接BQ，作CP BQ垂足为P．在点Q移动的过程中，线段AP的最小值是()A．6B．7C．8D．912．如图，在ABCAB=，12BC=，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD ∠=︒，8ABC∆中，90上的一个动点，连接AE，CE，当ABD BCE∠=∠时，线段AE的最小值是()A ．3B ．4C ．5D ．613．如图，Rt ABC ∆中，AB BC ⊥，12AB =，8BC =，P 是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，连接PC ，则线段CP 长的最小值为．14．如图，已知C 的半径为3，圆外一定点O 满足5OC =，点P 为C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA OB =，90APB ∠=︒，l 不经过点C ，则AB 的最小值为．15．如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为3，则线段DH 长度的最小值是．题型四定边对定角16．如图，在边长为6的等边ABC ∆中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE CF =，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为．第16题第19题 17．在锐角三角形ABC 中，30A ∠=︒，2BC =，设BC 边上的高为h ，则h 的取值范围是．18．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，3BC =．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为．19．如图，ABC ∆为等边三角形，2AB =．若P 为ABC ∆内一动点，且满足PAB ACP ∠=∠，则线段PB 长度的最小值为．20．【问题情境】（1）点A 是O 外一点，点P 是O 上一动点．若O 的半径为2，且5OA =，则点P 到点A 的最短距离为．【直接运用】（2）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是弧CD 上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是．【构造运用】（3）如图2ABCD 的边长为6，点M 、N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿边BC 、CD 方向向终点C 和D 运动，连接AM 和BN 交于点P ，则点P 到点C 的最短距离，并说明理由．【灵活运用】（4）如图3，O 的半径为4，弦4AB =，点C 为优弧AB 上一动点，AM AC ⊥交直线CB 于点M ，则ABM ∆的面积最大值是．21．（1）如图1，已知ABC ∆中，30ABC ∠=︒，1AB AC ==，则ABC S ∆= ．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴上运动，点B 在x 轴上运动，且4AB =，求AOB ∆面积的最大值．（3）如图3，O的半径为2，弦AB=C为优弧AmB上一动点，AM AC⊥交射线CB于点M，请问，ABM∆的周长存在最大值还是最小值？若存在，求出相应的最值；若不存在，说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线289=--的图象经过点(0,3)y ax ax aC，交x轴于点A、(B A点在B点左侧），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；∠=∠？若存在，求出点P的坐标；若不（2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使BPC BAC存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P为y 轴上的一个动点，已知(2,0)A -、(0,C -，且抛物线的对称轴是直线1x =．（1）求此二次函数的解析式；（2）连接PA 、PB ，P 点运动到何处时，使得60APB ∠=︒，请求出P 点坐标．24．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A ，(1,0)B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ∆的内心为I ，试求CI 的最小值．题型五定角定高25．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =，E 为BC 边上一动点，F 、G 为AD 边上两个动点，45FEG ∠=︒，则线段FG 的长度最大值为．26．辅助圆之定角定高求解探究（1）如图①，已知线段AB ，以AB 为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，若4CD =，试判断AB 是否存在最小值，若存在，请求出AB 最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，CB CD ==点E 、F 分别为AB 、AD 上的点，若保持CE CF ⊥，那么四边形AECF 的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．27．问题研究（1）若等边ABC ∆边长为4，则ABC ∆的面积为；（2）如图1，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，若4CD =，试判断ABC ∆的面积是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图2，四边形ABCD 中，AB AD ==，45B ∠=︒，60C ∠=︒，135D ∠=︒，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的动点，且EAF C ∠=∠，求四边形AECF 面积的最大值．28．（1）如图1，已知AC 、BC 为O 的两条弦，点D 为O 外一点，则ACB ∠ ADB ∠（请用“<”“ >”或“=”填空）（2）①如图2，若等边ABC ∆内接于O ，4AB =，CD 为O 的切线，则ABD ∆的面积为． ②如图3，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高．若4CD =，试判断ABC ∆的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图4，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的动点，且45EDF ∠=︒，求四边形DEBF 面积的最大值．29．问题探究（1）如图1．在ABC ∆中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC ∆面积的最大值是．（2）如图2，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC ∆的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =+，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．30．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．AOB∆的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数9yx=的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．（1）求P∠的度数及点P的坐标；（2）求OCD∆的面积；（3）AOB∆的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．专题03 隐圆（辅助圆）最值模型题型一滑梯类模型1．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，10AC =，8BC =，线段DE 的两个端点D 、E 分别在边AC ，BC 上滑动，且6DE =，若点M 、N 分别是DE 、AB 的中点，则MN 的最小值为( )A ．10B 3-C ．6D ．3【解答】解：ABC ∆中，90C ∠=︒，10AC =，8BC =，AB ∴==，6DE =，点M 、N 分别是DE 、AB 的中点，12CN AB ∴==，132CM DE ==，当C 、M 、N 在同一直线上时，取最小值，MN ∴3，故选：B ．2．如图，矩形ABCD ，1AB =，2BC =，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上．当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为 1 ．【解答】解：如图，取AD 的中点H ，连接CH ，OH ，矩形ABCD ，1AB =，2BC =，1CD AB ∴==，2AD BC ==，点H 是AD 的中点，1AH DH ∴==，CH ∴===90AOD ∠=︒，点H 是AD 的中点，112OH AD ∴==，在OCH ∆中，CO OH CH <+，当点H 在OC 上时，CO OH CH =+，CO ∴的最大值为1OH CH +=，1．3．已知边长为a 的正方形ABCD ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 点D 在第一象限，点E 为正方形ABCD 的对称中心，连接OE ，则OE 的长的最大值是 a ．【解答】解：取AB 中点F ，连OF ，EF ，有OE OF FC +，当O 、E 、F 共线时，OE 有最大值，最大值是OF EF +．四边形ABCD 为正方形，90BEA ∴∠=︒，且F 为AB 中点，1122EF OF AB a ∴===， OE ∴的最大值为1122OF EF a a a +=+=，故答案为：a ．4．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 的长的最大值是．【解答】解：取AB 中点D ，连OD ，DC ，有OC OD DC +，当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD CD +．ABC ∆为等边三角形，AB BC AC a ∴===，根据三角形的性质可知：12OD a =，CD ==．OC ∴．5．如图，矩形ABCD 中，20AB =，30AD =，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的两个动点，且10EF =，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH 、GH ，则GH CH +的最小值为 45 ．【解答】解：由已知，点G 在以B 圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C 关于AD 的对称点C '，连接C B '，交AD 于H ，交以B 为圆心，以5为半径的圆于G 由两点之间线段最短，此时C B '50==，则GH CH +的最小值50545=-=，故答案为：45．题型二定点定长模型6．如图，在矩形ABCD中，4∆沿AB=，6AD=，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将EBFEF所在直线折叠得到△EB F'，连接B D'，则B D'的最小值是2．【解答】解：如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，此时B D'的值最小，根据折叠的性质，EBF∆≅△EB F'，∴'⊥'，EB B F∴'=，EB EBAB=，E是AB边的中点，4∴='=，2AE EBAD=，6∴=DE2∴'=．B D7．如图，在边长为4的菱形ABCD中，60∆A∠=︒，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到△A MN'，连接A C'，则线段A C'长度的最小值是2．【解答】解：如图所示：在N的运动过程中A'在以M为圆心，MA的长为半径的圆上，∴'是定值，A C'长度取最小值时，即A'在MC上时，MA过点M作MF DC⊥于点F，在边长为4的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 为AD 中点，2MD ∴=，60FDM ∠=︒，30FMD ∴∠=︒，112FD MD ∴==，cos30FM DM ∴=⨯︒=，MC ∴=2A C MC MA ∴'=-'=．故答案为：2．8．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若76CAD ∠=︒，则CBD ∠= 38 度．【解答】解：AB AC AD ==，∴点B ，C ，D 可以看成是以点A 为圆心，AB 为半径的圆上的三个点，CBD ∴∠是弧CD 对的圆周角，CAD ∠是弧CD 对的圆心角；76CAD ∠=︒，11763822CBD CAD ∴∠=∠=⨯︒=︒． 9．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是( )A ．1.5B ．1.2C ．2.4D ．以上都不对【解答】解：以F 为圆心，CF 为半径作F ，过点F 作FH AB ⊥于点H 交F 于点G ，则点P 到AB 的距离的最小值FH FP FH FG =-=-．由翻折的性质可知，2PF CF ==，∴点P 在F 上，6AC =，8BC =，10AB ∴=，由AHF ACB ∆∆∽， ∴AF FH AB BC =， ∴4108FH =， 3.2FH ∴=，∴点P 到AB 的距离的最小值 3.22 1.2FH FG =-=-=．故选：B ．10．如图，在平行四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒，4BC =，CD =M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将AMN ∆沿MN A MN '，连接A C '，则A C '长度的最小值是 5 ．【解答】解：如图，连接MC ；过点M 作ME CD ⊥，交CD 的延长线于点E ；四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，4AD BC ==，点M 为AD 的中点，30BCD ∠=︒，2DM MA ∴==，30MDE BCD ∠=∠=︒，112ME DM ∴==，DE ，CE CD DE ∴=+=222CM ME CE =+，7CM ∴=；由翻折变换的性质得：2MA MA '==，显然，当折线MA C '与线段MC 重合时，线段A C '的长度最短，此时725AC '=-=，故答案为5．题型三直角所对的是直径11．如图，在圆O 中，半径OA 弦10BC =，点Q 是劣弧AC 上的一个动点，连接BQ ，作CP BQ ⊥，垂足为P ．在点Q 移动的过程中，线段AP 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：如图，连接AC ，取BC 的中点K ，连接PK ，AKAB 是直径，90ACB ∴∠=︒，12AC ∴=，5CK BK ==，13AK ∴==，CP BQ ⊥，152PK BC ∴==， PA AK PK -，1358PA ∴-=，PA ∴的最小值为8．故选：C ．12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB =，12BC =，D 为AC 边上的一个动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当ABD BCE ∠=∠时，线段AE 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ．90ABC ∠=︒，90ABD CBD ∴∠+∠=︒，ABD BCE ∠=∠，90CBD BCE ∴∠+∠=︒，90CEB ∴∠=︒，6CT TB ==，162ET BC ∴==，10AT ==， AE AT ET -，4AE ∴，AE ∴的最小值为4，故选：B ．13．如图，Rt ABC ∆中，AB BC ⊥，12AB =，8BC =，P 是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，连接PC ，则线段CP 长的最小值为 4 ．【解答】解：90ABC ∠=︒，90ABP PBC ∴∠+∠=︒，PAB PBC ∠=∠，90BAP ABP ∴∠+∠=︒，90APB ∴∠=︒，∴点P 在以AB 为直径的O 上，连接OC 交O 于点P ，此时PC 最小，在Rt BCO ∆中，90OBC ∠=︒，8BC =，6OB =，10OC ∴==，1064PC OC OP ∴=-=-=．PC ∴最小值为4．故答案为：4．14．如图，已知C 的半径为3，圆外一定点O 满足5OC =，点P 为C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA OB =，90APB ∠=︒，l 不经过点C ，则AB 的最小值为 4 ．【解答】解：如图，连接OP ，PC ，OC ，OP PC OC +，5OC =，3PC =，∴当点O ，P ，C 三点共线时，OP 最短，如图，OA OB =，90APB ∠=︒，2AB OP ∴=，当O ，P ，C 三点共线时，5OC =，3CP =，532OP ∴=-=，24AB OP ∴==，故答案为：4．15．如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为3，则线段DH 长度的最小值是 31)2- ．【解答】解：在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中，AB CDBAD CDA AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CDADG CDG DG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则1322OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值31)2OD OH =-=．故答案为：31)2．题型四定边对定角模型16．如图，在边长为6的等边ABC ∆中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE CF =，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为【解答】解：ABC ∆是等边三角形，AB AC BC ∴==，60CAB ACB ∠=∠=︒，在ABE ∆和CAF ∆中，AB AC BAC ACB AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CAF SAS ∴∆≅∆，ABE CAF ∴∠=∠，60BPF PAB ABP CAP BAP ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，120APB ∴∠=︒，如图，过点A ，点P ，点B 作O ，连接CO ，PO ，∴点P 在AB 上运动，AO OP OB ==，OAP OPA ∴∠=∠，OPB OBP ∠=∠，OAB OBA ∠=∠，360120AOB OAP OPA OPB OBP ∴∠=︒-∠-∠-∠-∠=︒，30OAB ∴∠=︒，90CAO ∴∠=︒，AC BC =，OA OB =，CO ∴垂直平分AB ，30ACO ∴∠=︒，cos AC ACO CO ∴∠==2CO AO =，CO ∴=AO ∴=，在CPO ∆中，CP CO OP -，∴当点P 在CO 上时，CP 有最小值，CP ∴的最小值=故答案为17．在锐角三角形ABC 中，30A ∠=︒，2BC =，设BC 边上的高为h ，则h 的取值范围是 23h <+ 【解答】解：如图，BC 为O 的弦，2OB OC ==，2BC =，OB OC BC ∴==，OBC ∴∆为等边三角形，60BOC ∴∠=︒，1302BAC BOC ∴∠=∠=︒，作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则90DCB EBC ∠=∠=︒，∴当点A 在DE 上（不含D 、E 点）时，ABC ∆为锐角三角形，在Rt BCD ∆中，30D BAC ∠=∠=︒，CD ∴==当A 点为DE 的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大，延长AO 交BC 于H ，如图， A 点为DE 的中点，∴AB AC =，AH BC ∴⊥，1BH CH ∴==，OH ∴==2AH OA OH ∴=+=+h ∴的范围为23h +．故答案为23h +．18．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，3BC =．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为【解答】解：如图所示．45ADB ∠=︒，2AB =，作ABD ∆的外接圆O （因求CD 最小值，故圆心O 在AB 的右侧），连接OC ，当O 、D 、C 三点共线时，CD 的值最小．90AOB ∴∠=︒，AOB ∴∆为等腰直角三角形，sin 45AO BO AB ∴==︒⨯=45OBA ∠=︒，90ABC ∠=︒，45OBE ∴∠=︒，作OE BC ⊥于点E ，OBE ∴∆为等腰直角三角形．sin451OE BE OB ∴==︒⋅=，312CE BC BE ∴=-=-=，在Rt OEC ∆中，OC ==当O 、D 、C 三点共线时，CD 最小为CD OC OD =-．19．如图，ABC ∆为等边三角形，2AB =．若P 为ABC ∆内一动点，且满足PAB ACP ∠=∠，则线段PB 长度的最小值为．【解答】解：ABC ∆是等边三角形，60ABC BAC ∴∠=∠=︒，2AC AB ==，PAB ACP ∠=∠，60PAC ACP ∴∠+∠=︒，∴点P的运动轨迹是AC，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA PC=，OB AC⊥，则112AD CD AC===，30PAC ACP∠=∠=︒，1302ABD ABC∠=∠=︒，tan30PD AD AD∴=⋅︒==，BDPB BD PD∴=-==20．【问题情境】（1）点A是O外一点，点P是O上一动点．若O的半径为2，且5OA=，则点P到点A的最短距离为3．【直接运用】（2）如图1，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，2AC BC==，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP AP的最小值是．【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．【灵活运用】（4）如图3，O的半径为4，弦4AB=，点C为优弧AB上一动点，AM AC⊥交直线CB于点M，则ABM∆的面积最大值是．【解答】解：（1）连接AP、OP，如图4所示：O 的半径为2，2OP ∴=，523OA OP ∴-=-=，PA OA OP ∴-，3PA ∴，∴当点P 在OA 上时，PA 最短，最小值为3，故答案为：3；（2）连接OA ，交半圆于P '，连接OP ，如图1所示：2AC BC ==，BC 为半圆的直径，112OP OC BC ∴===，90ACB ∠=︒，OA ∴==AP OA OP -， 51AP ∴-，∴当点P 在OA 上时，AP1-，1；（3）点P 到点C 的最短距离为3，理由如下：取AB 中点O ，连接OP 、OC 、PC ，如图2所示：点M 、N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿边BC 、CD 方向向终点C 和D 运动， BM CN ∴=，四边形ABCD 是正方形，6AB BC ∴==，90ABM BCN ∠=∠=︒，在ABM ∆和BCN ∆中，BM CNABM BCN AB BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABM BCN SAS ∴∆≅∆，BAM CBN ∴∠=∠，90CBN ABN ∠+∠=︒， 90BAM ABN ∴∠+∠=︒， 90APB ∴∠=︒， ∴点P 在以AB 为直径的O 上运动， 132OP OA OB AB ====，OC =又PC OC OP -， 353PC ∴-，PC ∴的最小值为3；（4）连接OA 、OB ，如图3所示： 4OA OB AB ===， AOB ∴∆是等边三角形， 60AOB ∴∠=︒， 11603022ACB AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒，AM AC ⊥， 60M ∴∠=︒， ∴点M 在以120ADB ∠=︒的D 上， 4AB =，ABM S ∆最大，则点M 的距离最大， ∴当AM BM =时点M 到AB 的距离最大， ABM ∴∆是等边三角形，114422ABM S AB AB ∆∴==⨯=故答案为：21．（1）如图1，已知ABC ∆中，30ABC ∠=︒，1AB AC ==，则ABC S ∆= ．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴上运动，点B 在x 轴上运动，且4AB =，求AOB ∆面积的最大值．（3）如图3，O 的半径为2，弦AB =C 为优弧AmB 上一动点，AM AC ⊥交射线CB 于点M ，请问，ABM ∆的周长存在最大值还是最小值？若存在，求出相应的最值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图1中，作AH BC ⊥于H ．AB AC =，AH BC ⊥，BH CH ∴=，1AB =，30B ∠=︒，1122AH AB ∴==，2BC BH ==1122ABC S ∆∴==．（2）如图2中，取AB 的中点E ，连接OE ，作OH AB ⊥于H ．90AOB ∠=︒，AE EB =，122OE AB ∴==，OH AB ⊥，OH OE ∴，即2OH ，OH ∴的最大值为2，AOB ∴∆的面积的最大值12442=⨯⨯=．（3）如图3中，连接OA ，OB ，作OH AB ⊥于H ．OH AB ⊥，OA OB =，AH BH ∴==AOH BOH ∠=∠，sin AOH ∴∠，60AOH ∴∠=︒，2120AOB AOH ∠=∠=︒，1602ACB AOB ∴∠=∠=︒， MA AC ⊥，90MAC ∴∠=︒30M ∴∠=︒，如图31-中，ABM ∆中，AB =30AMB ∠=︒，ABM ∆的周长存在最大值，理由如下；作ABM ∆的外接圆，取优弧AB 的中点O ，连接OA ，OB ，以O 为圆心，OA 为半径作O ，延长AM 交O 于F ，连接BF ．30AOB AMB ∠=∠=︒，1152AFB AOB ∴∠=∠=︒， 30AMB F MBF ∠=∠+∠=︒，F MBF ∴∠=∠，MF MB ∴=，MA MB MA MF AF ∴+=+=，∴当AF 的值最大时，MA MB +的值最大，此时MAB ∆的周长最大，延长AO 交O 于E ，连接BE 交ABM ∆的外接圆于D ，连接AD ，OD ．易知：90ABD AOD ∠=∠=︒，OD AE ∴⊥，OA OE =，DA DE ∴=，15E EAD ∴∠=∠=︒，151530ADB ∴∠=︒+︒=︒，2AD DE AB ∴===6BD =，6BE ∴=，AE ∴当AF 与AE 重合时，AF 的值最大，AF ∴的最大值为ABM ∴∆的周长的最大值为22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线289y ax ax a =--的图象经过点(0,3)C ，交x 轴于点A 、(B A 点在B 点左侧），顶点为D ．（1）求抛物线的解析式及点A 、B 的坐标；（2）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使BPC BAC ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把(0,3)C 代入289y ax ax a =--得93a -=，解得13a =-， ∴所以抛物线的解析式为182333y x x =-++．令0y =得：1823033x x -++=，解得：11x =-，29x =， (1,0)A ∴-，(9,0)B ．（2）分两种情况：①如图 2 ，以AB 为直径作M ，M 交抛物线的对称轴于(P BC 的下方）．42b x a=-=， ∴点P 的横坐标为 4 ．由圆周角定理得CPB CAB ∠=∠，(1,0)A -，(9,0)B ，10AB ∴=．152MP AB ∴==． (4,5)P ∴-．②如图 3 所示：以A B '为直径作M '，M '交抛物线的对称轴于P '，过点M '作M E P F '⊥'，垂足为E ，连接P M ''．点A '与点A 关于BC 对称，10AB A B ∴='=，A A ∠=∠'．CP B CA B ∠'=∠'，CP B A ∴∠'=∠．(1,6)A '，(9,0)B(5,3)M ∴'．1M E ∴'=．152M P A B ''='=，P E ∴'=∴点P '的坐标为(4，3)．综上所述，点P 的坐标为(4,5)P -或(4，3)．23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P 为y 轴上的一个动点，已知(2,0)A -、(0,C -，且抛物线的对称轴是直线1x =．（1）求此二次函数的解析式；（2）连接PA 、PB ，P 点运动到何处时，使得60APB ∠=︒，请求出P 点坐标．【解答】解：（1）将A ，C 点坐标代入函数解析式，及对称轴，得42012a b c c b a⎧-+=⎪⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，解得a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩，抛物线的解析式为2y x -，（2）以AB 为边作等边ABM ∆，作ABM ∆的外接圆O '，交y 轴负半轴于P ，作O E AB '⊥于E ，连接BO '，O P '．设(0,)P m ．易知：(1,3)O '-，23BO O P '='=，21(3)12m ∴++=，113m ∴=--或113-（舍弃）， (0,311)P ∴--，根据对称性可知(0,311)P '+也符合条件．24．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A ，(1,0)B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ∆的内心为I ，试求CI 的最小值．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++过点(3,0)A ，(1,0)B -，∴933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=⎩， ∴这条抛物线对应的函数表达式为223y x x =-++．（2）解法一：如图，连接IO ，ID ，IA ，I 是ADG ∆的内心，IA ∴平分DAG ∠，ID 平分ADG ∠，12IAD DAG ∴∠=∠，12ADI ADG ∠=∠．90DAG ADG ∠+∠=︒，45IAD ADI ∴∠+∠=︒，135AID ∴∠=︒．在ADI ∆和AOI ∆中，AD AODAI OAI AI AI=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADI AOI SAS ∴∆≅∆．135AID AIO ∴∠=∠=︒． OA 为定线段，OIA ∠恒等于135︒，∴点I 在以OA 为弦，所含的圆周角等于135︒的圆弧上，设该圆的圆心为E ，连接EO ，EA ，135OIA ∠=︒，90OEA ∴∠=︒．EO EA =，EOA ∴∆为等腰直角三角形．过点E 作EH OA ⊥于点H ，则1322AH OH OA ===．OE ∴=．∴圆心E 的坐标为3(2，3)2，E ．当点I 在线段CE 上时，CI 的值最小，CI 的最小值CE OE =-==．题型五定角定高模型25．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =，E 为BC 边上一动点，F 、G 为AD 边上两个动点，45FEG ∠=︒，则线段FG 的长度最大值为 2 ．【解答】解：如图，作EFG ∆的外接圆O ，连接OA ，OE ，OG ，过点O 作OH AD ⊥于H ，过点E 作EQ AD ⊥于Q ，连接AC ．四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，1AB CD ==，AD BC ==2AC ∴=，45FEG ∠=︒，290FOG FEG ∴∠=∠=︒，12EFG EOG ∠=∠， 290EOF FOG EOG EFG ∴∠=∠+∠=∠+︒，1112221cos cos(45)cos(90)2EF EF EF OF OE OEF EFG EOF ====∠︒-∠︒-∠， ∴当EF 最大，且EFG ∠最小时，OF 的值最大，则FG 的值最大， 1sin 2EQEQ EFG FQ AC ∠==， ∴当点E 与C 重合，F与A 重合时，“=”号成立，12cos(4530)AC OF OE ∴==-︒-︒FG ∴的最大值2==．故答案为2．26．辅助圆之定角定高求解探究（1）如图①，已知线段AB ，以AB 为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，若4CD =，试判断AB 是否存在最小值，若存在，请求出AB 最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD 中，45A∠=︒，90B D ∠=∠=︒，CB CD ==点E 、F 分别为AB 、AD 上的点，若保持CE CF⊥，那么四边形AECF【解答】解：（1）如图①中，ABC ∆即为所求．（2）如图②中，作ABC ∆的外接圆O ，连接OA ，OB ，OC ，作OE AB ⊥于E ．设2OA OC x ==．2120AOB ACB ∠=∠=︒，OA OB =，OE AB ⊥，AE EB ∴=，60AOE BOE ∠=∠=︒， 12OE OA x ∴==，AE =，OC OE CD +，34x ∴， 43x∴， x ∴的最小值为43，2AB =，AB ∴．（3）如图③中，连接AC ，延长BC 交AD 的延长线于G ，将CDF ∆顺时针旋转得到CBH ∆，作CEH ∆的外接圆O ．90ADC ABC ∠=∠=︒，AC AC =，CD CB =，Rt ACD Rt ACB(HL)∴∆≅∆， ACD ACB S S ∆∆∴=，45DAB ∠=︒，135DCB ∴∠=︒， 45DCG ∴∠=︒， 90CDG ∠=︒，CD DG ∴==12CG ∴==，12AB GB ∴==+由（2）可知，当CEH ∆的外接圆的圆心O 在线段BC 上时，ECH ∆的面积最小，此时四边形AFCE 的面积最大，设OC OE r ==，易知2OB EB ==，r ∴=r ∴=，12(2EH ∴=，∴四边形AFCE 的面积的最大值112(1212(214422=⨯⨯+⨯⨯⨯． 27．问题研究（1）若等边ABC ∆边长为4，则ABC ∆的面积为（2）如图1，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，若4CD =，试判断ABC ∆的面积是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图2，四边形ABCD 中，AB AD ==，45B ∠=︒，60C ∠=︒，135D ∠=︒，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的动点，且EAF C ∠=∠，求四边形AECF 面积的最大值．【解答】解：（1）过点C 作CD AB ⊥于D ，等边ABC ∆边长为4，114222AD BD AB ∴===⨯=，在Rt ACD ∆中，由勾股定理得22AC AD CD =+，即22242CD =+，解得：CD =，11422ABC S AB CD ∆∴=-=⨯⨯故答案为：（2）CD 为AB 边上的高，若4CD =，设AB c =，AC b =，BC a =，过A 作AE BC ⊥于E ，111sin60222ABC S AB CD AE BC BC AC ∆∴=⨯=⨯=⨯⨯︒，4c ∴=，又sin 60AE AC =⋅︒=，1cos602CE AC b =⋅︒=， 12BE BC EC a b =-=-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理得222AB AE BE =+，即2221)()2c a b =+-， 2222c a b ab ab ab ab ∴=+--=，仅当a b =时取等号，即ABC ∆为等边三角形时， 283c c ∴，833c∴，11422ABC S AB CD ∆∴=⋅==最小（3）45B ∠=︒，60C ∠=︒，135ADC ∠=︒，3603604560135120BAD B C D ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，将ABE ∆逆时针旋转120︒得ADG ∆， 45ADG B ∠=∠=︒，AE AG =， 45135180ADG ADC ∴∠+∠=︒+︒=︒， C ∴、D 、G 三点共线，60EAF C ∠=∠=︒，12060BAE FAD EAF ∠+∠=︒-∠=︒， 60GAD FAD BAE FAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，在EAF ∆和GAF ∆中，AE AGEAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EAF GAF SAS ∴∆≅∆， EF GF ∴=，ABE ADF AGF AECF ABCD ABCD S S S S S S ∆∆∆=--=-四边形四边形四边形，∴当AGF S ∆最小时，AECF S 四边形最大，过A 作AH CG ⊥于H ，4AD =45ADH ∠='，sin454AH DH AD ∴==⋅︒=， 60FAG ∠=︒，11sin 6022AGF S AF AG AG AH GF ∆∴=--︒⋅=-，由（2）知AG AF =时，AFG ∆面积最小，由点F 在CD 上运动，达不到AFG ∆是等边三角形，当向D 运动时，AFG ∆面积逐渐减小，∴点F 到点D 时，AFG ∆面积最小，此时ABE AFG AFE ∆≅∆≅∆，45ABE AFE AFG HAF ∴∠=∠=∠=∠=︒，6BAE FAE AG O ∠=∠=∠=︒，AB AF AD ===在_AH 上取点M 使30HGM ∠=︒， 604515HAG FAG FAH ∠=∠-∠=︒-︒=︒，9075AGH GAH '∴∠=-∠=︒，75(9030)15AGM AGH MGH HAG ∴∠=∠-∠=︒-︒-︒=︒=∠，设GH x =，2MG x =，由勾股定理MH =，24AH AM MH x ∴=+=+=，4(2x ∴=-，44(212GF ∴=+=-，14(12242AEF AGF S S ∆∆==⨯⨯-=-12EF GF ==-1354590EFC ADC ADE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，60C ∠=︒，2111tan (1248222CEF S EF FC EF EF FEC ∆∴=⋅=⋅⋅∠=⨯-=，244824AEF CEF AECF S S S ∆∆∴=+=-=四边形．∴四边形AECF 面积的最大值为24．28．（1）如图1，已知AC 、BC 为O 的两条弦，点D 为O 外一点，则ACB ∠ > ADB ∠（请用“<”“ >”或“=”填空）（2）①如图2，若等边ABC ∆内接于O ，4AB =，CD 为O 的切线，则ABD ∆的面积为． ②如图3，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高．若4CD =，试判断ABC ∆的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图4，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的动点，且45EDF ∠=︒，求四边形DEBF 面积的最大值．【解答】解：（1）如图1，设AD 与O 交于E ，连接BE ，则C AEB ∠=∠，AEB D ∠>∠，ACB ADB ∴∠>∠；故答案为：>；（2）①如图2，连接CO 并延长交AB 于E ， ABC ∆是等边三角形， AC CB ∴=，∴AC BC =，CE AB ∴⊥，2AE BE ==，CE ∴=CD 为O 的切线，CE CD ∴⊥， //CD AB ∴，ABD ∴∆的面积11422AB CE =⋅=⨯=故答案为：②如图3中，作ABC ∆的外接圆O ，连接OA ，OB ，OC ，作OE AB ⊥于E ．设2OA OC x ==． 2120AOB ACB ∠=∠=︒，OA OB =，OE AB ⊥，AE EB ∴=，60AOE BOE ∠=∠=︒， 12OE OA x ∴==，AE =，OC OE CD +， 34x ∴， 43x∴， x ∴的最小值为43，2AB =，AB ∴； ABC ∴∆的面积的最小值142=⨯；（3）四边形DEBF 面积ADE CDF ABCD S S S ∆∆=--正方形，∴当ADE CDF S S ∆∆+DEBF 的面积有最大值，如图4，将DAE ∆逆时针旋转90︒得到DCM ∆， 180FCM FCD DCM ∴∠=∠+∠=︒，AE CM =，F ∴、C 、M 三点共线， DE DM ∴=，90EDM ∠=︒，90EDF FDM ∴∠+∠=︒， 45EDF ∠=︒，45FDM EDF ∴∠=∠=︒，在DEF ∆和DMF ∆中，DE DMEDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DEF DMF SAS ∴∆≅∆，EF MF ∴=，EF CF AE ∴=+；DEF ∆的面积DFM =∆的面积122ADE DCF S S EF CD EF ∆∆=+=⨯=，DEF ∴∆面积2EF =．EF AE CF =+，4AE BE AB +==，4BF CF BC +==， 8EF BE BF AB BC ∴++=+=， 8BE BF EF ∴+=-，22222(8)6416BE BF BE BF EF EF EF ∴⋅++=-=+-，且222BE FB EF +=， 328BE BF EF ∴⋅=-，2()0BE BF -， 222BE BF BE BF ∴+⋅， 26416EF EF ∴-2(8)128EF ∴+，828EF ∴-，或828EF --（舍去），EF ∴的最小值为8-，DEF ∴∆面积的最小值为，∴四边形DEBF 面积的最大值441632=⨯-=-29．问题探究（1）如图1．在ABC ∆中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC ∆面积的最大值是 24 ．（2）如图2，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC ∆的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，12AB =，6BC =，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当AD BC ⊥时，ABC ∆面积的最大，则ABC ∆面积的最大值是11862422BC AD ⋅=⨯⨯=，故答案为：24；（2）如图2中，连接OA ，OB ，OC ，作OE BC ⊥于E ．设2OA OC x ==，2120COB CAB ∠=∠=︒，OC OB =，OE CB ⊥， CE EB ∴=，60COE BOE ∠=∠=︒，12OE OB x ∴==，BE ，OA OE AG +，33x ∴， 1x ∴，x ∴的最小值为1，2BC =，BC ∴的最小值为（3）如图3中，连接AF ，EF ，延长BC 交AE 的延长线于G ，90D ∠=︒，6AD DE ==，45DAE AED ∴∠=∠=︒，12CD AB ==，6CE CF ∴==，45CEF CFE ∴∠=∠=︒， 90AEF ∴∠=︒，EF BF ∴=，将EFM ∆顺时针旋转得到FBH ∆，作FHN ∆的外接圆O 交AB 于N ，连接ON ，90AEF ABF ∠=∠=︒，AF AF =，EF BF =，Rt AEF Rt ABF(HL)∴∆≅∆， AEF ABF S S ∆∆∴=，。

初中最值问题汇总(将军饮马-辅助圆-瓜豆原理-“胡不归

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【问题简化】如图，在直线上找一点P 使得PA +PB 最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A 关于直线的对称点A ’，连接PA ’，则PA ’=PA ，所以PA +PB =PA ’+PBAB 将军军营河当A ’、P 、B 三点共线的时候，PA ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A 或点B ）关于折点（上图P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．BBP OBAMN当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．【两定两动之点点】在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

利用垂线段最短求解几何最值问题

利用垂线段最短求解几何最值问题
垂线段被定义为从一点开始链接另一点，以一条把两点分开的直线段为基础。

垂线段经常被用来解决几何最值问题，其中一种最值拥有独特的特性，即在两点中总是能够找到最短的垂线段。

然而，这种方法并不总是对每一个问题都有用。

在给定一组几何形状时，垂线段法可以帮助求解几何最值问题，而无需进行复
杂的计算。

例如，许多几何形状的最长垂线段长度可以很容易地被求解。

比如，给定一个三角形，可以确定三角形最长垂线段长度取决于最长边和与该边成夹角的最长垂线段。

使用垂线段法，就可以容易地计算出该垂线段的最短长度。

此外，垂线段法还可以帮助求解另一类几何最值问题，即求解两点之间的最短
距离。

例如，求解一个圆的最近距离，即求解两个圆之间的最短距离。

一般来说，最近距离可以取决于两个圆心之间的距离以及这两个圆的半径。

通过使用垂线段法，我们可以容易地求解出两个圆之间的最短距离。

综上所述，垂线段法可以帮助我们求解各种几何最值问题，有效地减少计算量，从而提高处理效率。

这种有效的方法，可以说是对几何最值问题的有益尝试，是一种可靠的解决方案。

例谈与圆有关的几何最值问题

技法点拨例谈与圆有关的几何最值问题■卢光丽几何图形的最值问题是中考数学试卷中常见的题型，此类问题一般是动态问题，难度较大，题目多在选择题、填空题或解答题的压轴题中呈现，其所涉及的知识点很多都与圆有关，只要我们认真审题，以静制动，巧妙地构造辅助圆（或圆弧），就能化难为易，使问题很快获解。

我们先来探究基本模型。

如图1，已知点M 是⊙O 外的一点，连接MO 交⊙O 于点A ，延长MO 交⊙O 于点B .则（1）线段MA 的长为圆外一点（M ）到圆上的最短距离；（2）线段MB 的长为圆外一点（M ）到圆上的最长距离.证明：（1）在⊙O 任取一点A ′（点A ′与点A 不重合），连接MA ′，OA ′，则MA ′+OA ′>MO =MA +OA ，∵OA ′=OA ，∴MA ′>MA .即线段MA 的长为圆外一点（M ）到圆上的最短距离.（2）在⊙O 任取一点B ′（点B ′与点B 不重合），连接MB ′，O B ′，则MO +O B ′>MB ′，∵OB =OB ′，∴MO +OB =MB >MB ′.即线段MB 的长为圆外一点（M ）到圆上的最长距离.下面，我们举例谈谈如何运用上述模型的结论解决几何最值问题。

例1.（2020·广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉。

把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图2，∠ABC=90°，点M ，N 分别在射线BA ，BC 上，MN 的长度始终保持不变，MN =4，E 为MN 的中点，点D 到BA ，BC 的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为_________.A BEDNCCN D EBAMMG 图2图3分析：梯子MN 在滑动过程中，始终保持△MBN 是直角三角形，点E 是MN 的中点。

根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，点E 的运动轨迹是以点B 为圆心，12MN 的长为半径的圆弧，连接BD 交圆弧于点E ，此时猫与老鼠的距离DE 最小。

2020年中考数学二轮核心考点讲解第03讲最值问题专题解析版

【中考数学二轮核心考点讲解】第03讲最值问题专题最值的种类你是否都提前总结过？1. 垂线段最值类型：2. 点与点之间，线段最短类型；3. 轴对称最值类型（也称将军饮马型）；4. 二次函数最值类型；5. 辅助圆中最值类型；6. 费马点最值类型；7. 胡不归最值类型；8. 阿波罗尼斯圆最值类型.【例题1】（2019•鸡西）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为．【分析】本题属于“将军饮马最值类型”【解析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△P AB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC ≥4，∴PD+PC的最小值为4．【例题2】在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分BAE∠，90ACE∠=︒，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE AB DE=+；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分BAE∠，EC平分AED∠，若120ACE∠=︒，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），8BD=，2AB=，8DE=，若135ACE=︒，求线段AE长度的最大值．【分析】本题属于“两点之间，线段最短类型”【解析】（1）AE AB DE=+；理由：在AE上取一点F，使AF AB=．易得=AE AF EF AB DE=++（2）猜想：12AE AB DE BD=++．证明：在AE上取点F，使AF AB=，连结CF，在AE上取点G，使EG ED=，连结CG．CQ是BD边的中点，12CB CD BD∴==．ACQ平分BAE∠，BAC FAC∴∠=∠．在ACB∆和ACF∆中，AB AFBAC FACAC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACB ACF SAS∴∆≅∆，CF CB∴=，BCA FCA∴∠=∠．同理可证：CD CG=，DCE GCE∴∠=∠．CB CD=Q，CG CF∴=120ACE∠=︒Q，18012060BCA DCE∴∠+∠=︒-︒=︒．60FCA GCE∴∠+∠=︒．60FCG∴∠=︒．FGC∴∆是等边三角形．12FG FC BD ∴==． AE AF EG FG =++Q ．12AE AB DE BD ∴=++．（3）作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ． C Q 是BD 边的中点，12CB CD BD ∴==．()ACB ACF SAS ∆≅∆Q ，CF CB ∴=，BCA FCA ∴∠=∠．同理可证：CD CG =，DCE GCE ∴∠=∠ CB CD =Q ，CG CF ∴= 135ACE ∠=︒Q ，18013545BCA DCE ∴∠+∠=︒-︒=︒． 45FCA GCE ∴∠+∠=︒． 90FCG ∴∠=︒．FGC ∴∆是等腰直角三角形．12FC BD ∴=．8BD =Q ， 4FC ∴=， 42FG ∴=． 42AE AB DE =++Q ． 2AB =Q ，8DE =，1042AE AF FG EG ∴++=+…．∴当A 、F 、G 、E 共线时AE 的值最大2，最大值为1042+．故答案为：1042+．【例题3】（2019•普洱一模）已知菱形ABCD 中，AB ＝5，∠B ＝60°，⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为3，点E 、F 分别为⊙A 、⊙B 上的动点，点P 为DC 边上的动点，则PE +PF 的最小值为 5 ．【分析】本题属于“轴对称最值类型”【解析】当P 与C 重合时，F 点在BC 上，E 点在AC 上，此时PE +PF 的值最小；连接AC ，∵菱形ABCD ，AB ＝5，∠B ＝60°， ∴AC ＝5，∵⊙A 的半径为2， ∴EC ＝3，∵⊙B 的半径为3， ∴FC ＝2， ∴PE +PF ＝5；故答案为5；【例题4】（2019•玉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】本题属于“圆中常规最值类型”【解析】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC∵点O是AB的三等分点，∴OB＝×5＝，＝＝，∴OP＝，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴＝＝，∴OD＝1，∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值＝+1＝，∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选：B．【例题5】如图，四边形的两条对角线AC、BD相交所成的锐角为60︒，当8+=时，四边形ABCDAC BD的面积的最大值是．【分析】本题属于“二次函数最值类型”【解析】ACQ与BD所成的锐角为60︒，∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD 的面积1sin602S AC BD =⨯⨯︒，设AC x =，则8BD x =-，所以2133(8)(4)43224S x x x =-⨯=--+，所以当4x =，S 有最大值43．故答案为：43．【例题6】（2019•上虞区一模）如图，已知ABC ∆，DEF ∆均为等腰直角三角形，102EF =，顶点D ，E 分别在边AB ，AC 上滑动．则在滑动过程中，点A ，F 间距离的最大值为．【分析】本题属于“辅助圆最值类型”【解析】DEF ∆均为等腰直角三角形，102EF =，10DE DF ∴==，ABC ∆Q 是等腰直角三角形，以ED 为直角作等腰直角三角形EDM ，以M 为圆心，AM 为半径作圆，随着D 、E 点运动，A 始终在圆M 上，当A 、M 、F 三点共线时，AF 最大； AM EM =Q ， 52AM ∴=，45DEF MED ∠=∠=︒Q ， 90MEF ∴∠=︒， 510MF ∴=， 52510AF ∴=+，故答案为52510+．【例题7】（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC ＝PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝．点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．【分析】本题属于“费马点最值类型”【解析】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴P A+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2【例题8】如图，在ACEe经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．∆中，CA CE∠=︒，OCAE=，30（1）试说明CE是Oe的切线；（2）若ACEe的直径AB；∆中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当12CD OD +的最小值为6时，求O e 的直径AB 的长．【分析】本题属于“胡不归最值类型” 【解析】（1）连接OC ，如图1， CA CE =Q ，30CAE ∠=︒，30E CAE ∴∠=∠=︒，260COE A ∠=∠=︒， 90OCE ∴∠=︒，CE ∴是O e 的切线；（2）过点C 作CH AB ⊥于H ，连接OC ，如图2，由题可得CH h =．在Rt OHC ∆中，sin CH OC COH =∠g ， 3sin 60h OC OC ∴=︒=g ， 233OC h ∴==，432AB OC h ∴==；（3）作OF 平分AOC ∠，交O e 于F ，连接AF 、CF 、DF ，如图3，则11(18060)6022AOF COF AOC ∠=∠=∠=︒-︒=︒．OA OF OC ==Q ，AOF ∴∆、COF ∆是等边三角形， AF AO OC FC ∴===， ∴四边形AOCF 是菱形，∴根据对称性可得DF DO =．过点D 作DH OC ⊥于H ，OA OC =Q ，30OCA OAC ∴∠=∠=︒， 1sin sin302DH DC DCH DC DC ∴=∠=︒=g g ， ∴12CD OD DH FD +=+．根据垂线段最短可得：当F 、D 、H 三点共线时，DH FD +（即1)2CD OD +最小，此时3sin 6FH OF FOH OF =∠==g ，则43OF =，283AB OF ==．∴当12CD OD +的最小值为6时，O e 的直径AB 的长为83．【例题9】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A 、B ，则所有符合(0PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点(,0)C m ，(0,)D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得0::M OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）:解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，又POD MOP ∠=∠Q ，~POM DOP ∴∆∆…… 任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 为ABC ∆内一动点，满足2CD =，利用（1）中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值．【分析】本题属于“阿波罗尼斯圆最值类型”【解析】解（1）在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，又POD MOP ∠=∠Q ， ~POM DOP ∴∆∆． :MP PD k ∴=， MP kPD ∴=，PC kPD PC MP ∴+=+，当PC kPD +取最小值时，PC MP +有最小值，即C ，P ，M 三点共线时有最小值，利用勾股定理得2222222()CM OC OM m kr m k r =+++．（2）4AC m==Q，23CDBC=，在CB上取一点M，使得2433CM CD==，∴23AD BD+的最小值为2244104()3+=．1．（2019•乐山）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A．3 B．C．D．4【解析】连接BP，如图，当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵Q是线段P A的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∵BC＝＝5，∴BP′＝5+2＝7，∴线段OQ的最大值是．故选：C．2．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．【解析】如图：当点F与点C重合时，点P在P 1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．3．（2019•黄石）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）A．B．C．D．【解析】如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴＝，即＝，∴a＝2，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠F AC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，∴H（1，0），∴BH＝＝4，∴＝＝．故选：B．4．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b 的最大值是（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．0【解析】连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，又∵MN⊥MC，∴∠CMN＝90°，∴∠AMC＝∠MNB，∴△AMC∽△NBM，∴，设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，∴，即：y＝x2+x∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）当BN最大，此时ON最小，点N（0，b）越往上，b的值最大，∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，此时，N（0，）b的最大值为．故选：A．5．如图，正三角形ABC的边长为3+，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和EFPH，使得D、E、F 在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，这两个正方形面积和的最小值是，最大值是99﹣54．【解析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，AB＝3+，在Rt△ADN中，AD＝DN＝m，在Rt△BPF中，BF＝PF＝n，∵AD+DE+EF+BF＝AB，∴m+m+n+n＝3+，∴m+n＝3，∴n＝3﹣m，∴S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2+当点M落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图，在Rt△ADN中，AD＝DN，AN＝DN，∴DN+DN＝3+，解得DN＝3﹣3，在Rt△BPF中，BF＝PF，∴（3﹣3）+3﹣3+EF+PF＝3+，解得PF＝6﹣9，∴6﹣3≤m≤3﹣3，∴当m＝时，S最小，S的最小值为；当m＝3﹣3时，S最大，S的最大值＝2（3﹣3﹣）2+＝99﹣54．故答案为；99﹣54．6．如图，平面直角坐标系中，A、B在x轴上，A（2，0）、B（8，0），点C为y轴上一动点，当∠ACB最大时，C点坐标为（0，4）或（0，﹣4）．【解析】当过A、B两点的⊙P与y轴正半轴相切于C时，∠ACB最大时，作PH⊥AB于H，连结PC、P A，如图，∵A（2，0）、B（8，0），∴OA＝2，AB＝6，∵PH⊥AB，∴AH＝BH＝3，∴OH＝OA+AH＝5，∵⊙P与y轴相切，∴PC⊥y轴，∴四边形PHOC为矩形，∴OC＝PH，PC＝OH＝5，在Rt△P AH中，∵AH＝3，P A＝5，∴PH＝＝4，∴OC＝4，∴C点坐标为（0，4），当⊙P与y轴的负半轴相切时，C点坐标为（0，﹣4）．故答案为（0，4）或（0，﹣4）．7．（2019•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）．【解析】如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，∵M为线段AB的中点，∴OA＝OB，∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴点A与点B关于直线y＝x对称，∵AB＝4，∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），∴（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），∴M（m+2，m+2），∴OM＝＝＝，∴OM的最小值为．故答案为．8．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．【解析】∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．9．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N 分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【解析】∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．10．（2019•乐山）如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连结OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是3．【解析】∵PQ⊥x轴，∴设P（x，），则Q（x，x﹣2），∴PQ＝﹣x+2，∴S△POQ＝（﹣+2）•x＝﹣（x﹣2）2+3，∵﹣＜0，∴△POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为3．11．（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．12．（2019•北仑区模拟）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边BC上的一个动点，EG＝EF，且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值为2．【解析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝4，∠A＝60°，∴MB＝2，∠HMB＝60°，∴HM＝1，∴AE'＝2，∴E点与E'点重合，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝4，∴EC＝2，故答案为2；13．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．【解析】∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．14．（2019•广元）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC ＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是6+3．【解析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，∴OP＝OA＝6，∴OM＝OA＝×6＝3，∴PM＝OP+OM＝6+3，∴则点P到AC距离的最大值是6+3，故答案为：6+3．15．（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为2．【解析】连接OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝8，∴OP＝＝4，∴PQ＝＝2．故答案为2．16．（2019•通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是﹣1．【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝3∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝∴CH＝4∴MC＝＝∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1故答案为：﹣117（2019•营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为8．【解析】过点A作AM⊥BC于M，∵BD＝DC＝2，∴DC＝4，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∵AM⊥BC，∴BM＝BC＝×6＝3，∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．此时AE取最小值，在Rt△ADM中，AD＝＝＝2，∴在Rt△ADG中，AG＝＝＝8；故答案为：8．18．（2019•舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC ＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为（24﹣12）cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为（24+36﹣12）cm2．【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM∴CD'平分∠ACM即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm如图，连接BD'，AD'，∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值，∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）19．（2019•十堰）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A 旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝6．【解析】作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．20．（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD ＝120°，则CD的最大值是14．【解析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．21．（2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【解析】连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．22．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P 是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是3．【解析】方法1、解：如图，过点A作AG⊥BD于G，∵BD是矩形的对角线，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝5，∵AB•AD＝BD•AG，∴AG＝，∵BD是⊙C的切线，∴⊙C的半径为过点P作PE⊥BD于E，∴∠AGT＝∠PET，∵∠ATG＝∠PTE，∴△AGT∽△PET，∴，∴＝×PE∵＝＝1+，要最大，则PE最大，∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大＝，∴最大值为1+＝3，故答案为3．方法2、解：如图，过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，∴，∵AB＝4，∴AE＝AB+BE＝4+BE，∴，∴BE最大时，最大，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，∵BD是⊙C的切线，∴∠GME＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝5，∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，∴△BHC∽△BCD，∴，∴，∴BH＝，CH＝，∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，∴△BHG∽△BAD，∴＝，∴，∴HG＝，BG＝，在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，∴GE最大时，BE最大，∴GM最大时，BE最大，∵GM＝HG+HM＝+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，∴GP'＝HP'+HG＝，过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，∴BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大＝BF，在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，∴BF＝FG﹣BG＝8，∴最大值为1+＝3，故答案为：3．23．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．【解析】过点C 作CG ⊥BA 于点G ，作EH ⊥AB 于点H ，作AM ⊥BC 于点M ． ∵AB ＝AC ＝5，BC ＝4， ∴BM ＝CM ＝2，易证△AMB ∽△CGB ， ∴，即∴GB ＝8，设BD ＝x ，则DG ＝8﹣x ，易证△EDH ≌△DCG （AAS ）， ∴EH ＝DG ＝8﹣x ， ∴S △BDE ＝＝＝，当x ＝4时，△BDE 面积的最大值为8．故答案为8． 24．（2019秋•嘉兴期末）一副三角板(ABC ∆与)DEF ∆如图放置，点D 在AB 边上滑动，DE 交AC 于点G ，DF 交BC 于点H ，且在滑动过程中始终保持DG DH =，若2AC =，则BDH ∆面积的最大值是( )A ．3B ．33C ．32D ．33【解析】如图，作HM AB ⊥于M ， 2AC =Q ，30B ∠=︒，23AB ∴=， 90EDF ∠=︒Q ，90ADG MDH ∴∠+∠=︒， 90ADG AGD ∠+∠=︒Q ， AGD MDH ∴∠=∠，DG DH =Q ，90A DMH ∠=∠=︒，()ADG MHD AAS ∴∆≅∆，AD HM ∴=，设AD x =，则23BD x =-，211113(23)(3)22222BDH S BD MH BD AD x x x ∆∴===-=--+g g ， BDH ∴∆面积的最大值是32，故选：C ．25．如图，已知矩形ABCD ，4AB =，6BC =，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA MD ME ++的最小值为 433+ ．【解析】将AMD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到△AM D ''，由性质的性质可知：MD M D =''，ADD ∆'和AMM ∆'均为等边三角形， AM MM ∴='，MA MD ME D M MM ME ∴++='+'+， D M ∴'、MM '、ME 共线时最短，由于点E 也为动点，∴当D E BC '⊥时最短，此时易求得433D E DG GE '=+=+，MA MD ME ∴++的最小值为433+．26．（2012•金牛区校级二模）如图，在△AOB 中，OA ＝OB ＝8，∠AOB ＝90°，矩形CDEF 的顶点C 、D 、F 分别在边AO 、OB 、AB 上，若tan CDO ＝，则矩形CDEF 面积的最大值s ＝．【解析】设CD ＝x ，CF ＝y ．过F 作FH ⊥AO 于H ．在 Rt △COD 中， ∵，∴．∴．∵∠FCH +∠OCD ＝90°，∴∠FCH ＝∠CDO ． ∴．∴．∵△AHF 是等腰直角三角形，∴．∴AO ＝AH +HC +CO ． ∴．∴．易知，∴当x ＝5时，矩形CDEF 面积的最大值为．故答案为：． 27．（2019•雁塔区校级一模）问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB BC =，3AD CD ==，90BAD BCD ∠=∠=︒，60ADC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为 33 ；问题探究：（2）如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，135ABC ∠=︒，22AB =，3BC =，在AD 、CD 上分别找一点E 、F ，使得BEF ∆的周长最小，并求出BEF ∆的最小周长；问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，10CD =，150ABC ∠=︒，90BCD ∠=︒，则在四边形ABCD 中（包含其边沿）是否存在一点E ，使得30AEC ∠=︒，且使四边形ABCE 的面积最大．若存在，找出点E 的位置，并求出四边形ABCE 的最大面积；若不存在，请说明理由．【解析】（1）AB BC =Q ，3AD CD ==，90BAD BCD ∠=∠=︒ ()ABD CBD SAS ∴∆≅∆ADB CDB ∴∠=∠，且60ADC ∠=︒30ADB CDB ∴∠=∠=︒，且90BAD BCD ∠=∠=︒ 3AB BC ∴==∴四边形ABCD 的面积1233332=⨯⨯⨯=故答案为：33（2）如图，作点B 关于AD 的对称点M ，作点B 关于CD 的对称点N ，连接MN ，交AD 于点E ，交CD 于点F ，过点M 作MG BC ⊥，交CB 的延长线于点G ， Q 点B ，点M 关于AD 对称BE EM ∴=，22AB AM ==，42BM ∴=Q 点B ，点N 关于CD 对称BF FN ∴=，3BC CN ==BEF ∴∆的周长BE BF EF NF EF EM MN =++=++= 135ABC ∠=︒Q ，45GBM ∴∠=︒，且GM BG ⊥， 45GBM GMB ∴∠=∠=︒BG GM ∴=，且222BG GM BM +=， 4BG GM ∴==，43310GN BG BC CN ∴=++=++=，∴在Rt GMN ∆中，2210016229MN GM GN =+=+=BEF ∴∆的最小周长为229（3）作ABC ∆的外接圆，交CD 于点E ，连接AC ，AE ，过点A 作AM CD ⊥于点M ，作BN AM ⊥于点N ， Q 四边形ABCE 是圆内接四边形 180ABC AEC ∴∠+∠=︒ 30AEC ∴∠=︒，BN AM ⊥Q ，AM CD ⊥，90BCD ∠=︒， ∴四边形BCMN 是矩形2BC MN ∴==，BN CM =，90CBN ∠=︒， 150ABC ∠=︒Q ，60ABN ∴∠=︒，且BN AM ⊥ 30BAN ∴∠=︒， 112BN AB ∴==，33AN BN == 32AM ∴=+，1CM =30AEC ∠=︒Q ，AM CE ⊥，2234AE AM ∴==+，3323ME AM ==+ 423CE CM ME AE ∴=+=+=∴点E 在AC 垂直平分线上，ABC ACE ABCE S S S ∆∆=+Q 四边形，且ABC S ∆是定值，AC 长度是定值，点E 在ABC ∆的外接圆上，∴当点E 在AC 的垂直平分线上时，ABCE S 四边形最大()()()232331223184322AMEABCE ABCM S S S ∆++∴=+=⨯++⨯+=+四边形四边形 28．（2010•滨州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 是等腰梯形，A 、B 在x 轴上，D 在y 轴上，//AB CD ，17AD BC ==，5AB =，3CD =，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求b 、c ；（2）设M 是x 轴上方抛物线上的一动点，它到x 轴与y 轴的距离之和为d ，求d 的最大值；（3）当（2）中M 点运动到使d 取最大值时，此时记点M 为N ，设线段AC 与y 轴交于点E ，F 为线段EC 上一动点，求F 到N 点与到y 轴的距离之和的最小值，并求此时F 点的坐标．【解析】（1）易得(1A -，0)(4B ，0)，把1x =-，0y =；4x =，0y =分别代入2y x bx c =-++，得101640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得34b c =⎧⎨=⎩．（3分）（2）设M 点坐标为2(,34)a a a -++，2||34d a a a =-++．①当10a -<…时，2224(1)5d a a a =-++=--+，所以，当0a =时，d 取最大值，值为4； ②当04a <<时，2244(2)8d a a a =-++=--+所以，当2a =时，d 取最大值，最大值为8；综合①、②得，d 的最大值为8．（不讨论a 的取值情况得出正确结果的得2分）（3）N 点的坐标为(2,6)，过A 作y 轴的平行线AH ，过F 作FG y ⊥轴交AH 于点Q ，过F 作FK x ⊥轴于K ， 45CAB ∠=︒Q ，AC 平分HAB ∠， FQ FK ∴=1FN FG FN FK ∴+=+-，所以，当N 、F 、K 在一条直线上时，1FN FG FN FK +=+-最小，最小值为5．易求直线AC 的函数关系式为1y x =+，把2x =代入1y x =+得3y =，所以F 点的坐标为(2,3)．29．（2019•淮安）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝100°，D 是BC 的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB ．将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转80°，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到△BPE ．小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E 在直线AD 上时，如图②所示． ①∠BEP ＝ 50 °；②连接CE ，直线CE 与直线AB 的位置关系是 EC ∥AB ．（2）请在图③中画出△BPE ，使点E 在直线AD 的右侧，连接CE ．试判断直线CE 与直线AB 的位置关系，并说明理由．（3）当点P 在线段AD 上运动时，求AE 的最小值．【解析】（1）①如图②中， ∵∠BPE ＝80°，PB ＝PE ， ∴∠PEB ＝∠PBE ＝50°， ②结论：AB ∥EC ．理由：∵AB ＝AC ，BD ＝DC ， ∴AD ⊥BC ， ∴∠BDE ＝90°， ∴∠EBD ＝90°﹣50°＝40°， ∵AE 垂直平分线段BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠ECB ＝∠EBC ＝40°， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝100°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝40°， ∴∠ABC ＝∠ECB ， ∴AB ∥EC ．故答案为50，AB ∥EC ．（2）如图③中，以P 为圆心，PB 为半径作⊙P ． ∵AD 垂直平分线段BC ， ∴PB ＝PC ，∴∠BCE ＝∠BPE ＝40°， ∵∠ABC ＝40°， ∴AB ∥EC ．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．。

2024年中考数学重难点《几何最值问题》题型及答案解析

重难点几何最值问题中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：一、将军饮马类最值二、动点辅助圆类最值三、四点共圆类最值四、瓜豆原理类最值五、胡不归类最值几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。

考向一：将军饮马类最值一动”“两定异侧普通一动”“两定同侧普通动”两定“一动”两定“两两动”“两定同侧两动”“两定异侧满分技巧将军饮马：。

1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．考向二：动点辅助圆类最值满分技巧动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）二.定边对直角模型原理：直径所对的圆周角是直角思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）三．定边对定角模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．3．（2023•大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．考向三：四点共圆类最值满分技巧对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生模型原理：圆内接四边形对角互补∴FD＝，在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，∵∠PCD＝45°∴∠ACP＝∠FCD，又∵△ABE∽△FBD，∴∠BAE＝∠BFD，∴∠CAP＝∠CFD，∴△CAP∽△CFD，∴，在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB＝，∴CF＝∴，∴AP＝1，∴PE＝2，故答案为：2考向四：瓜豆原理类最值满分技巧瓜豆原理的特征和结论：∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【分析】过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，则可得△ABE∽△PBG，进而可知∠BPG为定值，因此CG⊥PG时，CG最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP，即可求出结果．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝∴CE＝，故答案为：．考向五：胡不归类最值满分技巧胡不归模型解决步骤：模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时间最小解决步骤：由系数k·PB确定分割线为PBPA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一边为BD过点P作PQ⊥BD，转化kPB=PQ过定点A作AH⊥BD，转化（PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。

2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题

2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：1.如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．一.从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．Alll构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．A'NMABCDA'NMABCDDCBA MN A'H A'N MA BCD【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．3.如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．【分析】考虑l 是经过点P 的直线，且△ABC 沿直线l 折叠，所以B ’轨迹是以点P 为圆心，ABCEFPABCEFPBPB 为半径的圆弧．考虑△ACB ’面积最大，因为AC 是定值，只需B ’到AC 距离最大即可．过P 作作PH ⊥AC 交AC 于H 点，与圆的交点即为所求B ’点，先求HB ’，再求面积．4.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．Q ABC DEFP连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．二.定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．D'PFE DCBAQAB【分析】由于E 、F 是动点，故P 点也是动点，因而存在PD 最小值这样的问题，那P 点轨迹如何确定？考虑BE =CF ，易证AE ⊥BF ，即在运动过程中，∠APB =90°，故P 点轨迹是以AB 为直径的圆．连接OC ，与圆的交点即为P 点，再通过勾股定理即可求出PC 长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．1.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，EFA BCDPFDHGAB CDEF所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．2.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ， ∴∠P AB +∠PBA =90°，αααHGABCDE FPABC∴∠APB =90°，∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．当O 、P 、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC ，再减去OP 即可．【寻找定边】1.如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =5，AC =4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为．【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．CCBB【寻找定边与直角】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．【分析】连接CE ，由于CD 为直径，故∠CED =90°，考虑到CD 是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB ．取CB 中点M ，所以E 点轨迹是以M 为圆心、CB 为直径的圆弧．B连接AM ，与圆弧交点即为所求E 点，此时AE值最小，22AE AM EM =-==．2.如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的．重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．GF EDCB A∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GM 即可．【辅助圆+将军饮马】1.如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．AB C DE F GABCDE FP考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．【分析】∠AEC =90°且AC 为定值，故E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．考虑EF ⊥AB ，且E 点在圆上，故当EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值．F EDCBAB连接OF ，易证△OCF ≌△OEF ，∠COF =30°，故CF 可求．三.定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．BB若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．1.如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．【分析】由BE =CF 可推得△ABE ≌△BCF ，所以∠APF =60°，但∠APF 所对的边AF 是变化的．EFCBAP所以考虑∠APB =120°，其对边AB 是定值．所以如图所示，P 点轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（构造OA =OB 且∠AOB =120°）当O 、P 、C 共线时，可得CP 的最小值，利用Rt △OBC 勾股定理求得OC ，再减去OP 即可．60°EF CBAP 120°EF CBAP 120°MOP ABCF E120°2.如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．【分析】由∠P AB =∠ACP ，可得∠APC =120°，后同上例题．3.在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________．【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值．ABCP4ABC 60°4.如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C 、E 两点的轨迹，C 点轨迹上是弧MCN ，其对应圆心角为∠MON ，半径为OM （或ON ）．再考虑E 点轨迹，考虑到CE 、AE 都是角平分线，所以连接BE ，BE 平分∠ABC ，可得：∠AEB =135°．考虑到∠AEB 是定角，其对边AB 是定线段，根据定边对定角，所以E 点轨迹是个圆，考虑到∠ADB =90°，所以D 点即为圆心，DA 为半径．ABAAE 点轨迹所对的圆心角为∠MDN ，是∠MON 的一半，所以C 、E 两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。

中考压轴题突破：几何最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)

中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。

由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。

余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。

已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。

证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。

即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。

(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。

上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。

类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。

（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。

简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。

（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。

圆中最值问题(解析版)

圆中最值问题一、点到直线的最值问题原理：垂线段最短．1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．A. B. C. 3 D. 2答案：B解答：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ选B.2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC 的长的最小值为（）．A. 5B.C.D.答案：D解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点，∴圆的半径为BC的长的最小值为3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．答案：3解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时．4、如图，在Rt△AOB中，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），切线PQ的最小值为______．解答：连接OP，OQ，如图所示，∵PQ是O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，，∴OA=8，∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP，即OP=OA OBAB⋅=4，∴5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．答案：24．解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∴OD=5，OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．二、点到圆的最值问题原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．AP max=OA+r，AP min=|OA-r|．6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．A. 2或3B. 3C. 4D. 2或4答案：A解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．通常构造辅助圆求点到圆的最值问题7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠P AD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．答案：解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵∠P AD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠P AD+∠ADP=90°，∴∠APD=90°．∵AO=OD，∴PO=OA=OD.∵AD==∴OP=∵BC=CD=4,OD=∴OC===∵PC≤OP+OC∴PC≤∴PC的最大值为8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．答案：2解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°．∵∠DBC=∠DCA，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交☉O于点D，此时DA最小，在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，OA==∴5∴DA=OA-OD=5-3=2.故答案为29、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．答案：解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP 1最小，AP 2最大．∵AP 1•AP 2＝AC 2，AC ＝2，P 1P 2＝2，∴AP 1（AP 1+2）＝4，解得AP 1＝51±-（负值舍去），∴AP 2＝51251+=++-．故线段AP 的最小值和最大值分别是51+-和51+．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，求线段A ′C 的最小值．答案：解答：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值， ∵1022=+=CD MD MC ，∴A ′C 的最小值＝MC -MA '＝110-．11、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′B 长度的最小值．答案：解答：解：如图，由折叠知A ′M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA ′＝MD ，故点A ′在以AD 为直径的圆上，由模型可知，当点A ′在BM 上时，A ′B 长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，∴BM ＝3122=-，故A ′B 的最小值为13-12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，求四边形AGCD 的面积的最小值．答案：解答：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×＝×4×3+21×5×h ＝25h +6， ∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小，∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，h 2121h 21∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线．由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝54=AC BC ，在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝54=AE EH ， ∴EH ＝54AE ＝58， ∴h ＝EH -EG ＝58-1＝53，∴S 四边形AGCD 最小＝25h +6＝5325⨯+6＝215．。

圆中最值问题10种求法(供参考)

圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。

所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。

圆中最值问题的常见解法

例2.已知点点是圆上的动点，求的最大值与最小值，并求此时的点的坐标.
分析：由于都不是定值，加之平方式，所以直接用函数、均值不等式、几何法求解，都无能为力.于是考虑先设点的坐标，先代数化，再看有没有几何意义.
解：设点，则
，表示点到定点距离的平方,而
，的最大
值是，此时点的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，极端情况下，当三点共线时，两边之和等于第三边，两边之差等于第三边，这正是取得最值的时刻，这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是：求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有：设圆心为C，圆的半径为，定点为A,圆上动点为P，则 =
的最小值是，此时点的坐标满足
.
评析：在几何方法受阻的情况下，可以先做代数化处理，在构造几何意义，本题的解决，得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题：（1）已知圆 ,圆 , 分别是圆上的动点, 为轴上的动点,则的最小值为（）A
A． B． C． D．
（2）P为双曲线的右支上一点,M、N分别是圆，
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题，在这类问题中的最值问题又是常见题型，由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高，特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求，所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此，非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结，以供参考.
.
例1.点在椭圆上运动，点在圆上运动，求 .
分析：由于有两个动点，所以需要分步完成，可以先固定点，这样就可以利用三角形性质求得，然后再利用函数法求得最终结果.

中考数学总结复习专题：最值问题总结讲义

中考最值问题专题分享知识点一将军饮马【知识梳理】一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A 关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA ，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P 、B 三点共线的时候，PA’+PB=A’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A 或点B ）关于折点（上图P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．【例题精讲】类型一、【一定两动之点点】在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．BB此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP 为P’M+MN+NP’’，当P’、M 、N 、P’’共线时，△PMN 周长最小．例1、如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．类型二【两定两动之点点】在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM+MN+NQ 为P’M+MN+NQ’，当P’、M 、N 、Q’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

解题技巧专题：圆中的最值问题(含隐圆问题)

思路分析：
8．如图，已知⊙O的半径为m，点C为直径AB延长线上一点，BC＝m.过点C任作一直线l，若l上总存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于 45°.
解析：设PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互相垂直，则∠MON＝90°.∴四边形PMON是正方形．根据勾股定理求得OP＝ 2m.∴P点在以O为圆心，以 2m长为半径的大圆⊙O上．过C点作大 ⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，如图所示．∵PC是大圆⊙O的切线， ∴OP⊥PC.∵OC＝2m，OP＝ 2 m， ∴PC＝ OC2 OP2＝ 2m.∴OP＝PC. ∴∠ACP＝45°. ∴∠ACP的最大值等于45°.故答案为45°.
(2)解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线． ∴OF＝ 1 BC＝3.
2 ∴DF＝OD－OF＝5－3＝2.
(3)若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段 AB上任意一点，试求出PC＋PD的最小值． (3)解：作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于 P，连接OC，如图． ∵PC＝PC′， ∴PD＋PC＝PD＋PC′＝DC′. ∴此时PC＋PD的值最小． ∵ AD＝CD，∴∠COD＝∠AOD＝80°.
9．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2， AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ 2 3 .
解析：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于＝＝O2点BP2＝，′，12∠当AAB点D＝PO2与＝.∵P∠′A重ADO合＝D时2＝，，∠∠DOBPDA最CD短＝＝，4950则°°A.，∴O∴＝DPOO′＝DP′ OD－OP′＝2 2－2.过P′作P′E⊥CD于点E，则易得 P′E＝DE＝2－ 2.∴CE＝CD－ DE＝ 2＋2.∴CP′＝ PE2 CE2 ＝2 3.故答案为2 3.

初中最值问题辅助线做法

初中最值问题辅助线做法初中数学中的最值问题常常涉及到几何和代数知识，而解决这些问题通常需要使用辅助线来化简问题或找到最优解。

下面将结合具体例子，介绍几种常见的辅助线做法。

1.连接两点在一些最值问题中，两点之间距离最短是一个常见的问题。

为了解决这个问题，我们可以将这两点连接起来，并证明这条线段是最短的。

例如，在三角形ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，求AD+DE+BE的最小值。

通过构造辅助线，将AD延长至F，使得DF=DE，再连接CF，可以证明CF是AD、DE、BE的最短路径。

1.做垂线在一些最值问题中，我们需要找到一个点到直线的最短距离。

为了解决这个问题，我们可以做这条直线的垂线，并证明垂线段是最短的。

例如，在直角坐标系中，求点A(0,0)到直线x+y=1的最短距离。

通过构造辅助线，做直线OA的垂线BC，可以证明BC是点A到直线x+y=1的最短路径。

1.平行移动在一些最值问题中，我们需要找到一个图形在另一个图形上的最短路径。

为了解决这个问题，我们可以将这个图形平行移动到另一个图形上，并证明平行移动的距离是最短的。

例如，在直角坐标系中，求点A(0,0)到点B(1,1)的最短路径。

通过构造辅助线，将线段AB平行移动到x轴上，可以证明平行移动的距离是最短的。

1.利用三角形在一些最值问题中，我们需要利用三角形三边关系来解决最值问题。

为了解决这个问题，我们可以构造一个三角形，并利用三角形三边关系来证明这个三角形是最优解。

例如，在直角坐标系中，求点A(0,0)、点B(2,0)、点C(1,1)之间的最短距离。

通过构造辅助线，可以构造一个以AB、AC为腰的等腰三角形ABC，并利用三角形三边关系证明这个三角形是最优解。

1.做对称点在一些最值问题中，我们需要找到一个点到某条直线的最短距离。

为了解决这个问题，我们可以做这个点的对称点，并证明对称点与原点的连线是最短的。

例如，在直角坐标系中，求点A(1,1)到直线y=x的最短距离。

3.最值问题之辅助圆(轨迹)

几何最值问题之辅助圆（轨迹）最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P 就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的确定共圆的方法有几种，①到定点的距离等于定长②共斜边的直角三角形，定角对定弦③对角互补的四边形 ④同侧内角相等的八字形1.如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．Alll一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．2.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．A'NMABCDA'NMABCDDCBA MN A'H A'N MA BCD3.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．ABCEFPABCEFPB4.如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．5.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．Q ABC DEFPD'PFE DCBAQ二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．6.已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．【分析】由于E 、F 是动点，故P 点也是动点，因而存在PD 最小值这样的问题，那P 点轨迹如何确定？考虑BE =CF ，易证AE ⊥BF ，即在运动过程中，∠APB =90°，故P 点轨迹是以AB 为直径的圆．连接OC ，与圆的交点即为P 点，再通过勾股定理即可求出PC 长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．ABEFABCDPF7.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．HGAB CDEFαααHGABCDE F8.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ， ∴∠P AB +∠PBA =90°， ∴∠APB =90°，∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．当O 、P 、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC ，再减去OP 即可．9.如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =5，AC =4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为．【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．PABCCCB当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．【分析】连接CE ，由于CD 为直径，故∠CED =90°，考虑到CD 是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB ．BB取CB 中点M ，所以E 点轨迹是以M 为圆心、CB 为直径的圆弧．连接AM ，与圆弧交点即为所求E 点，此时AE值最小，22AE AM EM =−==．11.如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的．GF EDCB A重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GM 即可．12.如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．AB C DE F GABCDE FP考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．【分析】∠AEC =90°且AC 为定值，故E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．考虑EF ⊥AB ，且E 点在圆上，故当EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值．F EDCBAB连接OF ，易证△OCF ≌△OEF ，∠COF =30°，故CF 可求．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．BB若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．14.如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．【分析】由BE =CF 可推得△ABE ≌△BCF ，所以∠APF =60°，但∠APF 所对的边AF 是变化的．EFCBAP60°EF CBAP所以考虑∠APB =120°，其对边AB 是定值．所以如图所示，P 点轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（构造OA =OB 且∠AOB =120°）当O 、P 、C 共线时，可得CP 的最小值，利用Rt △OBC 勾股定理求得OC ，再减去OP 即可．15.如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．120°EF CBAP 120°MOP ABCF E120°ABCP【分析】由∠P AB =∠ACP ，可得∠APC =120°，后同上例题．16.在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________．【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值．4ABC 60°17.如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C 、E 两点的轨迹，C 点轨迹上是弧MCN ，其对应圆心角为∠MON ，半径为OM （或ON ）．再考虑E 点轨迹，考虑到CE 、AE 都是角平分线，所以连接BE ，BE 平分∠ABC ，可得：∠AEB =135°．考虑到∠AEB 是定角，其对边AB 是定线段，根据定边对定角，所以E 点轨迹是个圆，考虑到∠ADB =90°，所以D 点即为圆心，DA 为半径．E 点轨迹所对的圆心角为∠MDN ，是∠MON 的一半，所以C 、E 两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．ABAA。

培优专题03 几何最值类问题综合(原卷版)

培优冲刺03 几何最值类问题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。

（2022年柳州中考试卷第18题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF 长的最小值为．【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，方法二：连接AG、AE，由方法一同理得，AE＝CF，AG＝2，∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2，∴AE的最小值为2﹣2，∴CF的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．点评：本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，做辅助线构造全等三角形是解题的关键。

初中数学中，几何最值问题属于难度较大的一类题，问题环境可以是三角形、四边形、圆或者反比例函数、二次函数。

而常用到的最值原理则有：两点之间线段最短（三点共线）、点到直线的距离垂线段最短、圆和圆外定点的最值原理等。

这类题的原理虽然较为固定，但对学生的逻辑思维能力要求较高，综合型较强。

本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

垂线段最短与辅助圆三大模型：1.垂线段最短：如图，直线BC 与直线外一点A ，点A 到直线BC 的距离AD 最短1.例：如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0,4），直线343-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 5.6 。

2．如图，已知▱OABC 的顶点A 、C 分别在直线x=1和x=4上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为．【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】当B 在x 轴上时，对角线OB 长的最小，由题意得出∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，由平行四边形的性质得出OA ∥BC ，OA=BC ，得出∠AOD=∠CBE ，由AAS 证明△AOD ≌△CBE ，得出OD=BE=1，即可得出结果．【解答】解：当B 在x 轴上时，对角线OB 长的最小，如图所示：直线x=1与x 轴交于点D ，直线x=4与x 轴交于点E ，根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠AOD=∠CBE，在△AOD和△CBE中，，∴△AOD≌△CBE（AAS），∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5；故答案为：5．方法二：OH=5,当BH最小也就是等于0时OB最小=52.辅助圆1：直角三角形构造以斜边为直径的外接圆2.例：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（B）A．B．2 C．D．答案：2【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选B．3.辅助圆2：作以定点为圆心，定长为半径的圆3.例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．答案：3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 1.2．（构造以F为圆心，FC为半径的圆，再过点F作AB的垂线段）【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到=求出FM即可解决问题．【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴=，∵CF=2，AC=6，BC=8，∴AF=4，AB==10，∴=，∴FM=3.2，∵PF=CF=2，∴PM=1.2∴点P到边AB距离的最小值是1.2．故答案为1.2．【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．相关练习：1．如图，直角三角形ABC中,AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为．2．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．3．如图所示，已知点N（1，0），直线y=﹣x+2与两坐标轴分别交于A，B两点，M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是．4．（3分）（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE 交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是．（把你认为正确的说法的序号都填上）5、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（）A、22-D、4 10132-B、6 C、26. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）A. 5B. 7C. 8D.2137.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8，D 、E 分别是AC 、BC 上的一点，且DE =6，若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M 、N ，则MN 的最大值为（） A.59 B.512C.516D.5248．如图4，已知直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A 、P B .则P A B ∆面积的最大值是( ) ()A 8 ()B 12 ()C 212()D 172NMEDCBA9、在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，cos ∠ABC ＝53，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C 。

（1）如图①，当点B 1在线段BA 延长线上时。

①求证：BB 1∥CA 1；②求△AB 1C 的面积；（2）如图②，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在△ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是F 1，求线段EF 1长度的最大值与最小值的差。

答案：2.【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P 关于BD 的对称点P ′，连接P ′Q 与BD 的交点即为所求的点K ，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P ′Q ⊥CD 时PK +QK 的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB =2，∠A =120°，∴点P ′到CD 的距离为2∴PK +QK【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键． 4．（3分）（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE=BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③? ．（把你认为正确的说法的序号都填上）（以AB为直径作圆，圆心为O，连接CO与圆弧交于点G）通过计算从而判断出④错误．解答：解：∵在正方形ABCD中，AE、BD垂直平分，∴当E移动到与C重合时，AG=GE，故①错误；∵BF⊥AE，∴∠AEB+∠CBF=90°，∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴故②正确；根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长，∴圆弧BD的长==π，故③正确；CG的最小值为AC﹣AB=4﹣2，故④错误；综上所述，正确的结论有②③．故答案为②③．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，6. 如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A. 5B. 7C. 8D.132【考点】菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题．【分析】如下图所示，由题意可知，△ABC为等边三角形；过C作CH⊥AB，则AH=HB；连接DH；要使CA′的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A′应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQ∥DH；因为BP=3，易知HP=DQ=1，所以CQ=7.【解答】解：如图，过C作CH⊥AB，连接DH；∵ABCD是菱形，∠B=60°∴△ABC为等边三角形；∴AH=HB=8=4；∵BP=3，∴HP=1要使CA′的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A′应落在CH 上，且对称轴PQ应满足PQ∥DH；由作图知，DHPQ为平行四边形∴DQ=HP= 1，CQ=CD-DQ=8-1=7.故正确的答案为：B．【点评】本题综合考查了菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题．本题作为选择题，不必直接去计算，通过作图得出答案是比较便捷的方法。

弄清在什么情况下CA′的长度最小（相当于平移对称轴）是解决本题的关键.答案：我认为以上答案不对，点A’应该落在以点P为圆心PA长为半径的一段圆弧上，所以当A’落在CP上时，CA’的长度最小，PA沿线段PQ对折可得∠APQ=∠CPQ，再利用平行得内错角相等及等角对等边得出CQ=CP=79.解：（1）①证明：∵AB ＝AC ，B 1C ＝BC ∴∠1＝∠B ，∠B ＝∠ACB ，∵∠2＝∠ACB （旋转角相等），∴∠1＝∠2 ∴BB 1∥CA 1②过A 作AF ⊥BC 于F ，过C 作CE ⊥AB 于E∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ∴BF ＝CF ∵cos ∠ABC ＝53，AB ＝5，∴BF ＝3 ∴BC ＝6 ∴B 1C ＝BC ＝6 ∵CE ⊥AB∴BE ＝B 1E ＝518653=⨯∴BB 1＝536，CE ＝524654=⨯∴AB 1＝5115536=-，∴△AB 1C 的面积为：25132********=⨯⨯（2）如图过C 作CF ⊥AB 于F ，以C 为圆心CF 为半径画圆交BC 于F 1，EF 1有最小值。

此时在Rt △BFC 中，CF ＝524，∴CF 1＝524，∴EF 1的最小值为593524=-；如图，以C 为圆心BC 为半径画圆交BC 的延长线于F 1，EF 1有最大值。

此时EF 1＝EC ＋CF 1＝3＋6＝9 ∴线段EF 1的最大值与最小值的差为536599=-。