第四章 平面力系的简化与平衡方程

FR 0 M O0
(48)
二、平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程
FR 0 等价于：FRx0和 FRy0
n
M O 0 等价于： M O (Fi ) 0
i 1
n
从而有平衡方程：
Fxi 0
i 1
n
Fyi 0
i 1
n
MO (Fi ) 0
i 1
(4 9)
2、平衡方程应用
•用于求解平衡力系的三个未知力。 •求解步骤： ①取分离体，作受力图； ②列平衡方程，求未知力。
•物体滑动时的摩擦力。
2、动滑动摩擦定律
F m fF N •f称为动摩擦系数。
( 4 1 6 )
•f与相对速度有关，低速时为常数。 f fs
4-6-4 摩擦角和自锁现象
1、全约束力
FRA FN Fs
2、摩擦角
•临界状态下全反力与法线的夹角。f
tanf F F m N axfsF N F Nfs
FR F 2)由合力矩定理确定合力作用线与x 轴的交点坐标。
n
由： MA(FR) MA(Fi) i1 M A(F R)M A(F R x)M A(F R y)
n M A(F R y)F R yxK(72.42N )xK
MA(Fi)MA80.24Nm
i1
得：xKM FRy A87 02 .2 .4 42N N m1.11m K点在点A的左侧1.11m处。
2、主矢和主矩的性质
（1）主矢一般不是原力系的合力；主矩一般不是原力系的合力偶 矩。 （2）主矢与简化中心的位置无关。
（3）主矩一般与简化中心的位置有关。
[例4-1]在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有F1、F2、 F3、F4等四个力。已知F1=40N、F2=60N、F3=60N、F4=80N。试求 该力系向点A简化的结果。
1、临界平衡状态
•物体即将滑动而尚未滑动的平衡状态。
2、最大静滑动摩擦力
•最大静滑动摩擦力（Fmax）出现在临界物体平衡状态。 •一般情况下：0Fs Fmax
3、静滑动摩擦定律
F m a x f s F N •fs称为静摩擦系数。
( 4 1 5 )
4-6-3 动滑动摩擦力、动滑动摩擦定律
1、动滑动摩擦力
第四章 平面力系的简化与平衡方程
•平面任意力系：力系中各力的作用线都在同一平面内。
§4-1 平面任意力系向一点的简化•主矢和主矩
1、平面任意力系向一点的简化
•平面任意力系简化为作用在一 点的简单力系。 •简单力系作用点称为简化中心。
•简化方法步骤：
（1）各力等效平移：
F 1 F 1 F 2 F 2 F 3 F 3
(1) FR 0, M O 0; (2) FR 0, M O 0; (3) FR 0, M O 0; (4) FR 0, M O 0;
1、主矢不为零，主矩为零
FR 0, MO0; •力系简化为一个合力。
2、主矢不为零，主矩不为零
FR 0, MO0; •可进一步简化为一个合力。
d MO FR
4)FH的取值范围为：
1t anf st anf s FH1t anf st anfs
[例4-3]图示刚架AB受均匀分布的风荷载作用，单位长度上承
受的风压为q(N/m)，称q为均布荷载集度。给定q和刚架尺寸，求支 座A和B的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。
FR ql
2)列平衡方程，求未知力。 取坐标如图：
由：
Fx 0 Fy 0
M
A
0
得： qFlR FFAAxx 00 FBy FAy 0
1 FBx 4(qaF)
[例4-8] 图示结构由杆件AB、BC、CD、圆轮O、软索和重物 E组成。圆轮与杆件CD用铰链连接，圆轮半径为r=l/2。物体E重为 W，其它构件不计自重。求固定端A的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。 2) 列平衡方程，求未知力。
（1）考虑CD、圆轮、绳索及重 物分离体平衡：
解：1)选坐标系，求力系主矢： FRx Fx1 Fx2 Fx3 Fx4 F1 cos 45o F2 cos 30o F3 sin 45o F4 cos 45o 66.10N FRy Fy1 Fy 2 Fy3 Fy 4 F1 sin 45o F2 sin 30o F3 cos 45o F4 sin 45o 72.42N FR FR2xFR2y 98.05N
(46)
•合力矩定理：
由： n M O(FR)FRdM O M O(Fi) i1
得合力矩定理：
n
M O(FR) M O(F i) i1
(47)
即：平面任意力系的合力对作用面内任意点 的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
[例4-2]求例4-1中所给定的力系合力作用线。
解：1)由于力系向点A简化为非零的 主矢和主矩，知该力系可简化为 一合力。
（1）用二矩式平衡方程求解：
由：
M M
L B
0
0
Fy 0
得：2aF2aFA cos30o aFAsin30o FaFCa2aFAcos30o 0
0
FB FAcos30o 0
F A 1 .6 2 F
FB 1 .4 0 F
FC 1 .8 1F
（2）用三矩式平衡方程求解：
由：
解：1）问题分析：
2)由物快上滑的临界状态求力的 最大值。 （1)取分离体，作受力图。
（2) 列平衡方程，求未知力。
由： F x 0
Fy
0
得： W Wscions F FH Hm m aaxxcso ins F Fm Nax00
又： Fmax fsFN
得：
FHmax
tan fs 1 fs tan
由： FB 0
MA 0
得： (62)W 2m ax2W 0
W2max 350kN （3）塔机正常工作时平衡块重应为：
75kNW 2350kN
§4-5 物体系的平衡问题
1、物体系
•由若干物体组成的物体系 统称为物体系。
2、物体系平衡问题计算
•由整体或部分的平衡条件 联立求解未知力。 •最多可求解n个物体的物体 系中3n个未知力。
2、平面平行力系的平衡方程
（1）一矩式： n
Fyi 0
i1
n
i1 MO (Fi ) 0
(4 12)
（2）二矩式：
n
i1 n
MA(Fi
)
0
i1 MB(Fi ) 0
(4 13)
•矩心A和B两点的连线不能与x垂直。
[例4-6] 塔式起重机如图所示，机架自重W=700kN,作用线通 过塔轴线。最大起重量W1=200kN，最大吊臂长为12m，平衡块重 W2，它到塔轴线的距离为6m。为保证起重机在满载和空载时都不 反倒，试求平衡块的重量应为多大。
由： MD 0
得： 2 lF C 1 .5 lF 0 .5 lW 0
FC 0.5W
（2）考虑AB杆分离体平衡：
由：
Fx 0 Fy 0
M
A
0
得： FB F FAx 0 FAy 0
M A 2lFB 1.5lF 0
F Ax F Ay
0 .5W 0
M
A
0 .5lW
[例4-7] 由折杆AC和BC铰接组成的厂房刚架结构如图所示， 求固定铰支座B的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。 2) 列平衡方程，求未知力。
（1）考虑整体分离体平衡：
由： MA 0
得： 1 2qa22 3Fa2aFBy0
FBy
1(qa3F) 4
（2）考虑BC杆分离体平衡：
由： MC 0
得：
1 2FaFBxaFBya0
3、自锁现象
(4 1 7 )
•当主动力与法线夹角小于摩擦角时物体总是静止的现象。
4-6-5 考虑摩擦的平衡问题
1、注意问题
（1）摩擦力的方向与物体运动趋势方向相反。
（2）补充方程： Fmax fsFN （3）解用不等式表示。
2、例题
[例4-10] 物块重W，放在倾角为的斜面上，接触面的静摩擦
因数为fs。用水平力FH维持物块的平衡，试求力FH的大小。
解：1)取分离体，作受力图。 为平面平行力系。 2) 列平衡方程，求未知力。 （1）由塔机满载时的临界平衡 状态确定平衡块重最小值：
由： F A 0
MB 0
得： ( 6 2 ) W 2 m in 2 W ( 1 2 2 ) W 1 0
W2min 75kN
（2）由塔机空载时的临界平衡 状态确定平衡块重最大值：
cos FRx 0.67
FR
47.93o
2)求力系主矩：
n
M A M A (Fi ) i 1 F2a cos 30o F3a / cos 45o F4a sin 45o 88.24N m
主矩力偶方向为顺时针转向。
§4-2 平面任意力系简化结果的讨论
•平面任意力系向一点简化结果的可能情况：
M 1 M O ( F1) M 2 M O (F2) M 3 M O (F3) （2）求汇交力系合力：
F R F 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3
F R 称为平面任意力系主矢。一般情况下：
n
FR Fi i1
(41)
（3）求力偶系合力偶矩：
M O M 1 M 2 M 3 M O ( F 1 ) M ( F 2 ) M O ( F 3 )
M O 称为平面任意力系相对于简化中心的主矩。一般情况下：
n
M o M O(Fi)
(42)
i1
2、主矢计算
FRx
n
i1
Fxi
n
FRy
i1
Fyi
F R F R 2 xF R 2 y nF xi 2 nF yi 2
i 1 i 1
cosFRx
FR
cosF FRRy
(43) (44 ) (45)
（1）三矩式： n
M
A
( Fi )
0
i1
n
M B (Fi) 0
i1
(4 11)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
M C (Fi) 0
i1
•矩心A、B和C三点不共线。
[例4-5] 十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在水
平力F的作用下各支座的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。
2) 列平衡方程，求未知力。
取坐标如图：
3)由物快下滑的临界状态求力的 最小值。 （1)取分离体，作受力图。
（2) 列平衡方程，求未知力。
由： F x 0
Fy
0
得： W Wscions F FH Hm m iinncso ins F Fm Nax00
又： Fmax fsFN
得：
FHmin
tan fs 1 fs tan
M
A
0
FAx F 0 FAy 2 F 0
M
A
2F
a
F
a 2
0
F A x F ,F A y 2 F ,M A 2 .5 F a
3、平衡方程的其它形式
（1）二矩式： n
M
A (Fi)
0
i1
n
M B (Fi) 0
i1
(4 10)
n
Fxi 0
i1
•矩心A和B两点的连线不能与x垂直。
3、主矢为零，主矩不为零
FR 0, MO0; •力系简化为一个合力偶。
4、主矢与主矩均为零
FR 0, MO0; •力系是一平衡力系。
•平面任意力系的可能情况：
（1）力系可简化为一个合力。
（2）力系可简化为一个合力偶。
（3）力系是一平衡力系。
§4-3 平面任意力系的平衡条件•平衡方程
一、平面任意力系的平衡条件
1 .5 lF BByy
0
.
5
lqFl
2 R
0
F A xql, F B y1 3ql, F A y1 3ql
[例4-4]图示构件的A端为固定端，B端自由。求在已知外力的 作用下，固定端的A的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。
2)列平衡方程，求未知力。 取坐标如图：
由： 得：
Fx 0 Fy 0
M M
L K
0 0
M
A
0
得：
2aF2aFAcos30oaFAsin30o 2aF(aCK)FB 0
0
aF2aFBaFC 0
F A 1 .6 2 F FB 1 .4 0 F FC 1 .8 1F
§4-4 平面平行力系的平衡方程
1、平面平行力系
•力系中各力的作用线在同一平面内且 相互平行的力系称为平面平行力系
得： FAx FD 0
FAy
aFR1
a 2
FR2
3a 2
0
F A x 0 .5 q a , F A y 2 q a
§4-6 考虑摩擦的平衡问题
4-6-1 静滑动摩擦力
1、定义
•物体静止时的摩擦力。FS
2、性质
•方向与物体相对滑动的趋势方向相反。
•随主动力的增大而增大。 4-6-2 最大静滑动摩擦力、静滑动摩擦定律
[例4-9] 图示结构由折杆AB和DC铰接组成。按图示尺寸和荷 载求固定铰支座A的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。 2) 列平衡方程，求未知力。
（1）考虑CD分离体平衡：
由： MC 0
得： F DaF R20.5a0
FD 0.5qa （2）考虑整体分离体平衡：
由： F x 0
M
K
0