第四章 平面力系的简化与平衡方程
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第四章平面任意力系详解
同样，有且只有三个独立的平衡方程
例1： 简支梁受力如图，已知F＝300N, q=100N/m,
求A, B处的约束反力。
∑ 解：简支梁受力如图所示：
Fx = 0 ⇒ FAx = 0
F q
FAx A
CD
FAy 2m 2m
4m
∑ Fy = 0
FAy + FB − F − q ⋅ 4 = 0 (1)
B
∑MA =0
M
力的平移定理: 可以将作用于刚体上A点上的
力 F 平行移动到任一点O ，但必须附加一个力偶,
附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 O 点之矩。
力的平移的逆过程
M
－F
F
F
r F
图中：
d = MO F
一个力偶矩和一个作用于同一平面的
力 F，可以进一步简化为一个力 。
二、平面任意力系向作用面内一点简化
y
刚体系平衡
系统满足刚体的平衡条件
3. 注意一些临界的力学条件：
刚好拉过台阶FNA = 0
FNA
F
翻倒的临界条件：FN 集中于角点。
FN
§4.3 刚体系的平衡
一、刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状
态时的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。
F
F
（a）
F
F
（b）
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件
二、刚体系的平衡问题
y
F1 O F3
F1/ M1 M2 F2/
= F2
O M3 F3/
x=
Mo FR/
O
x
( ) ( ) ( ) r
r
r
M1 = M o F1 M 2 = M o F2 M 3 = M o F3
第4章平面力系的简化与平衡方程优秀课件
y
x
S Fx = 0, S Fy = 0, S MO= 0
4.3 平面任意力系的平衡条件·平衡方程
平 面 一 般 力 系 平 衡 方 程 的 其 他 形 式 ：
S Fx = 0 ,
S MA= 0 , S MB= 0 。
S MA = 0，
S MB = 0 , S MC = 0。
C
B
B
A
x
A、B 连线不垂直
FCx= 2FP , FCy= FP , FA= -2FP
4.3 平面任意力系的平衡条件·平衡方程
l
A lC
l FP B
第三种情形
FAy
FAx
l
l
FP
Ad
B
D
FBC
C
4.3 平面任意力系的平衡条件·平衡方程
FAy
FAx
l
Ad
l B
FP D
FBC
C
第三种情形
SM A(F)=0: FBC d - FP 2l = 0 FBC=22FP
l
l
FP
A
B
D
第 二
l
种 情 形
C
FA
l
A
l
FP
B
D
l FCy
FCx
C
4.3 平面任意力系的平衡条件·平衡方程
l FA
A
第 二
l FCy
种
情 形
FCx
C
l
FP
B
D
E
S MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0 S MA ( F ) = 0 : FCx l -FP 2l = 0 S ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
第四章：力系的平衡条件与平衡方程
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
（未知量不能全部由平衡方程求解）
物体系的平衡·静定和超静定问题
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
∑ M B = 0 −8FAy + 5*8 +10*6 +10* 4 +10* 2 = 0
得 FAy = 20kN ∑ Fiy = 0 FAy + FBy − 40 = 0
得 FBy = 20kN
求各杆内力
取节点A
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
Fiy Fix
= =
0 0
→ →
FAD FAC
取节点C
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
解得 P3max=350kN
22mm 22mm
所以，平衡载重P3取值范围为：
75kN ≤ P3 ≤ 350kN
（2）P3=180kN时：
∑ M A = 0 4P3 − 2P2 −14P1 + 4FB = 0
解得 FB=870kN
∑ Fy = 0 FA + FB − P1 − P2 − P3 = 0
∑M =0
FA'
⋅r
sinθ
− M2
=
0
解得 M 2 = 8kN ⋅m
FB = FA = 8kN
例
已知：OA=R，AB=
l,
r F
,
不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡；
求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，滑块给导 轨的侧压力.
工程力学C-第4章 平面任意力系
l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。
第四章 平面力系
第四章
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
理论力学02平面力系的简化和平衡
即它就是作用线方程rxry例题2123平面力偶系作用在同一平面的多个力偶构成平面力偶系以其中任一力偶为基准通过移转改变力偶臂长度将其他力偶与该基准力偶叠合得到两个汇交力系再分别合成可以得到一个新力偶原力偶系的合力偶原力偶系的合力偶矩只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件
第二章
平面力系的简化和平衡
2.1力的合成与分解： 1.平行四边形法则： 作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
④ R ≠0, MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
合力R 的大小等于原力系的主矢 合力R 的作用线到简化中心的距离
MO d R
结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
R
M O mO ( Fi )
主矩：
M O M O ( F ) 3F1 1.5P 1 3.9P 2 2355kN m
（2）求合力及其作用线位置：
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）求合力作用线方程：
MO MO
' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
二、汇交力系的合成 由几何法知合力等于各分力的矢量和，即
R F Fn F i 1 F 2 F 3
又 由于
Fi X ii Yi j Zi k Fxii Fyi j Fzi k
代入上式得 R
F i F
xi
yi
j Fzi k
根据合矢量投影定理得合力在坐标轴的投影
第二章
平面力系的简化和平衡
2.1力的合成与分解： 1.平行四边形法则： 作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
④ R ≠0, MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
合力R 的大小等于原力系的主矢 合力R 的作用线到简化中心的距离
MO d R
结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
R
M O mO ( Fi )
主矩：
M O M O ( F ) 3F1 1.5P 1 3.9P 2 2355kN m
（2）求合力及其作用线位置：
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）求合力作用线方程：
MO MO
' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
二、汇交力系的合成 由几何法知合力等于各分力的矢量和，即
R F Fn F i 1 F 2 F 3
又 由于
Fi X ii Yi j Zi k Fxii Fyi j Fzi k
代入上式得 R
F i F
xi
yi
j Fzi k
根据合矢量投影定理得合力在坐标轴的投影
平面任意力系
y
F4 F1 F2
F3
O
x
平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系 中所有各力的代数和等于零，以及各力对平面内任 一点之矩的代数和等于零。
n
{∑
i =1 n i =1
∑Y
i
=0
M O ( Fi ) = 0
二力矩形式的平衡方程：
{∑
i =1 n i =1
∑M
n
A
( Fi ) = 0
M B ( Fi ) = 0
则
′ FR = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2
′ FRy ∑Y θ = arctg = arctg ′ FRx ∑X
• 固定端约束 物体的一部分固嵌于另一物体的约束称为固 定端约束。 固定端约束的特点是既限制物体的移动又限 制物体的转动。
在外载荷的作用下，物体在固嵌部分所受的作 用力为一任意力系。 将此力系向连接处物体横截面的形心A简化，得 到一个力FA和一个力偶MA。 对于平面固定端约束，可用两个正交分力和一个 力偶矩表示。
平面任意力系的平衡方程：
∑ ∑ ∑
n n
n
X
i =1
i
= 0
i =1
Yi = 0 M
O
i =1
(Fi) = 0
所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和 分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和 也等于零。
平衡方程的其它形式：
• 二力矩形式的平衡方程
∑ ∑ ∑
n n
n
M M X
i =1
A
(Fi) = 0 (Fi) = 0 = 0
F
600
y
l l
M
B
D P
3l
F4 F1 F2
F3
O
x
平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系 中所有各力的代数和等于零，以及各力对平面内任 一点之矩的代数和等于零。
n
{∑
i =1 n i =1
∑Y
i
=0
M O ( Fi ) = 0
二力矩形式的平衡方程：
{∑
i =1 n i =1
∑M
n
A
( Fi ) = 0
M B ( Fi ) = 0
则
′ FR = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2
′ FRy ∑Y θ = arctg = arctg ′ FRx ∑X
• 固定端约束 物体的一部分固嵌于另一物体的约束称为固 定端约束。 固定端约束的特点是既限制物体的移动又限 制物体的转动。
在外载荷的作用下，物体在固嵌部分所受的作 用力为一任意力系。 将此力系向连接处物体横截面的形心A简化，得 到一个力FA和一个力偶MA。 对于平面固定端约束，可用两个正交分力和一个 力偶矩表示。
平面任意力系的平衡方程：
∑ ∑ ∑
n n
n
X
i =1
i
= 0
i =1
Yi = 0 M
O
i =1
(Fi) = 0
所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和 分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和 也等于零。
平衡方程的其它形式：
• 二力矩形式的平衡方程
∑ ∑ ∑
n n
n
M M X
i =1
A
(Fi) = 0 (Fi) = 0 = 0
F
600
y
l l
M
B
D P
3l
工程力学第四章平面一般力系
详细描述
平面一般力系简化的目的是将复杂的力系简化为更简单的形式，以便分析刚体的平衡状 态。通过力的平移定理，我们可以将平面一般力系简化为一个合力和一个力矩，或者一 组力和力矩的代数和。这个合力或力和力矩的代数和代表了原力系对刚体的作用效果。
简化后的力系更易于理解和分析，有助于解决工程实际问题。
Part
平衡条件的推导
根据力的平移定理，将平面力系中的所有力平移到同一点， 然后根据合力矩为零和合力为零的条件，推导出平面力系的 平衡条件。
Part
04
平面力系的平衡方程
平衡方程的推导
01
02
03
力的合成与分解
根据力的平行四边形法则， 将力进行合成或分解为多 个分力。
力的投影
将力投影到坐标轴上，得 到力在x轴和y轴上的分量。
STEP 01
分析受力情况
解决静力学问题
利用平衡方程，求解平面 内物体的受力情况，解决 静力学问题。
STEP 03
验证结构稳定性
利用平衡方程，验证结构 的稳定性，确保结构在各 种工况下的安全可靠。
通过平衡方程，分析物体 在平面内的受力情况，判 断物体的运动状态。
Part
03
平面力系的平衡条件
平衡条件的概念
平衡条件是一个物理概念，描述的是物 体在力系作用下保持静止的状态，而平 衡方程是一个数学表达式，用于描述这
一状态。
平衡条件是定性描述，而平衡方程则是 定量描述。平衡方程通过数学符号和运 算，将平衡条件的定性描述转化为可求
解的定量关系。
平衡条件是解决平衡问题的前提，而平 衡方程则是解决问题的工具。通过建立 平衡方程，可以求解未知量，得出物体
平衡条件与平衡方程的联系
平面一般力系简化的目的是将复杂的力系简化为更简单的形式，以便分析刚体的平衡状 态。通过力的平移定理，我们可以将平面一般力系简化为一个合力和一个力矩，或者一 组力和力矩的代数和。这个合力或力和力矩的代数和代表了原力系对刚体的作用效果。
简化后的力系更易于理解和分析，有助于解决工程实际问题。
Part
平衡条件的推导
根据力的平移定理，将平面力系中的所有力平移到同一点， 然后根据合力矩为零和合力为零的条件，推导出平面力系的 平衡条件。
Part
04
平面力系的平衡方程
平衡方程的推导
01
02
03
力的合成与分解
根据力的平行四边形法则， 将力进行合成或分解为多 个分力。
力的投影
将力投影到坐标轴上，得 到力在x轴和y轴上的分量。
STEP 01
分析受力情况
解决静力学问题
利用平衡方程，求解平面 内物体的受力情况，解决 静力学问题。
STEP 03
验证结构稳定性
利用平衡方程，验证结构 的稳定性，确保结构在各 种工况下的安全可靠。
通过平衡方程，分析物体 在平面内的受力情况，判 断物体的运动状态。
Part
03
平面力系的平衡条件
平衡条件的概念
平衡条件是一个物理概念，描述的是物 体在力系作用下保持静止的状态，而平 衡方程是一个数学表达式，用于描述这
一状态。
平衡条件是定性描述，而平衡方程则是 定量描述。平衡方程通过数学符号和运 算，将平衡条件的定性描述转化为可求
解的定量关系。
平衡条件是解决平衡问题的前提，而平 衡方程则是解决问题的工具。通过建立 平衡方程，可以求解未知量，得出物体
平衡条件与平衡方程的联系
第四章平面任意力系
R
42.01
R'
25kN
MA
d
A
1m
1m
20kN 60o
1m
B
30o
18kN
R
求力系的主矩
MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o = 32.64 kN·m
d M A 32.64 0.777 m R 42.01
§4-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F'1 M2
M1 O ·
Mn F'n
主矢′:力系中各力的矢量和.
F'2 x
y F'R
O· MO x
n
F R
F 1
F 2
F n
F i
i 1
主矩:力系中各力对简化中心o点的矩的代数和称为该力
系对简化中心o点的主矩.
n
M o
M M 1
2
M n
M
o
(
F i
)
i1
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三、平面任意力系向作用面内任一点的简化
合力 合力 合力偶 平衡
合力作用线过简化中心 作用线距简化中心 M O FR
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
合力FR 是在主矢FR´的那一侧，则要根据主矩的正负号来确定 。
原则是合力对简化中心的距的转向要与主矩的转向一致 。
合力矩定理：
n
MO (FR ) mO (Fi )
i 1
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于 力系中各力对于同一点之矩的代数和。
解题技巧
①选研究对象
①选坐标轴最好是未知力投影轴；
理论力学4 平面一般力系
力F ′+ 力偶（ F ， F ′′）
3
说明： 说明 力线平移定理揭示了力与力偶的关系： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 （例断丝锥） 例断丝锥）
力+力偶 力偶
有关， ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d 力平移的条件是附加一个力偶 ， 与 有关 ③力线平移定理是力系简化的理论基础。 力线平移定理是力系简化的理论基础。
Fx = 0, FAx − FT cos 30 0 = 0 ∑
Fy = 0, FAy + FT sin300 − P −Q = 0 ∑
1 ∑ M A = 0, FT 2 ⋅ 6a − P ⋅ 3a − Q ⋅ 4a = 0 F T = 17 . 33 kN 解得： F Ax = 15 . 01 kN 解得： F 22 Ay = 5 . 33 kN
a a 两力作用线过x1 = 和x2 = 3 2
17
§3-4
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
一 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
r ′ 即 FR = 0
Mo = 0
FR′ = (∑ Fx )2 + (∑ Fy )2
MO = ∑MO (Fi )
∑ F = 0, F = 0 ∑ Fy = 0, FAy + FBy − P − q ⋅ 2a = 0
9
固定端（插入端） 固定端（插入端）约束 说明 ① 认为Fi这群力在同一平面内; 雨搭 ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③ FA方向不定可用正交分力FAX, FAY 表示; ④ FAX, FAY, MA为固定端约束反力;
FR FYA FXA
4-5-6平面力系的简化与平衡方程
d
M A 22.64 0.539m FR 42.01
MA = 1×25 + 2 × 20sin60O － 3 × 18sin30O－10 = 22.64kN.m
20
新简化中心K点在A点右侧
第二节
[例题6]
平面任意力系简化结果的讨论
求图示力系合成的最终结果。已知
F1 100N，F2 100 2N，F3 50N，M 500N.m
2.平面汇交力系的平衡条件是力系的合力为零。 平衡方程：
Fi Biblioteka 1nxi0
F
i 1
n
yi
0
3. 力偶的两个性质。 1、力偶没有合力；力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。 2、力偶使物体绕其作用面内任意一点的转动效果，是与矩心的位置无关 的，这个效果完全由力偶矩来确定。 n Mi 4. 平面力偶系可合成为一合力偶,合力偶矩等于各力偶矩的代数和 M 5. 平面力偶系的平衡方程：
y F2 450 (-3,2) (2,1) 5 β 12 sinβ=5/13 F1 cosβ=12/13
O
M
解: 求力系的主矢
x
F3
(0,- 4)
F/Rx = FiX = F1 cosβ - F2 cos45o + F3 = 70N F/Ry= Fiy= F1sinβ + F2sin45o = 150N
d MA 0.435 a =yK FR
19
（3）求合力作用线的位置
新的简化中心点 K 位置坐标（0，0.435a）
第二节
[例题5]
平面任意力系简化结果的讨论
图示力系有合力，试求合力的大小,方向及作用线到A点的距离。
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•物体滑动时的摩擦力。
2、动滑动摩擦定律
F m fF N •f称为动摩擦系数。
( 4 1 6 )
•f与相对速度有关，低速时为常数。 f fs
4-6-4 摩擦角和自锁现象
1、全约束力
FRA FN Fs
2、摩擦角
•临界状态下全反力与法线的夹角。f
tanf F F m N axfsF N F Nfs
解：1）问题分析：
2)由物快上滑的临界状态求力的 最大值。 （1)取分离体，作受力图。
（2) 列平衡方程，求未知力。
由： F x 0
Fy
0
得： W Wscions F FH Hm m aaxxcso ins F Fm Nax00
又： Fmax fsFN
得：
FHmax
tan fs 1 fs tan
M 1 M O ( F1) M 2 M O (F2) M 3 M O (F3) （2）求汇交力系合力：
F R F 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3
F R 称为平面任意力系主矢。一般情况下：
n
FR Fi i1
(41)
（3）求力偶系合力偶矩：
M O M 1 M 2 M 3 M O ( F 1 ) M ( F 2 ) M O ( F 3 )
cos FRx 0.67
FR
47.93o
2)求力系主矩：
n
M A M A (Fi ) i 1 F2a cos 30o F3a / cos 45o F4a sin 45o 88.24N m
主矩力偶方向为顺时针转向。
§4-2 平面任意力系简化结果的讨论
•平面任意力系向一点简化结果的可能情况：
（1）三矩式： n
M
A
( Fi )
0
i1
n
M B (Fi) 0
i1
(4 11)
n
M C (Fi) 0
i1
•矩心A、B和C三点不共线。
[例4-5] 十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在水
平力F的作用下各支座的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。
2) 列平衡方程，求未知力。
取坐标如图：
解：1)取分离体，作受力图。 为平面平行力系。 2) 列平衡方程，求未知力。 （1）由塔机满载时的临界平衡 状态确定平衡块重最小值：
由： F A 0
MB 0
得： ( 6 2 ) W 2 m in 2 W ( 1 2 2 ) W 1 0
W2min ห้องสมุดไป่ตู้5kN
（2）由塔机空载时的临界平衡 状态确定平衡块重最大值：
FR F 2)由合力矩定理确定合力作用线与x 轴的交点坐标。
n
由： MA(FR) MA(Fi) i1 M A(F R)M A(F R x)M A(F R y)
n M A(F R y)F R yxK(72.42N )xK
MA(Fi)MA80.24Nm
i1
得：xKM FRy A87 02 .2 .4 42N N m1.11m K点在点A的左侧1.11m处。
由： FB 0
MA 0
得： (62)W 2m ax2W 0
W2max 350kN （3）塔机正常工作时平衡块重应为：
75kNW 2350kN
§4-5 物体系的平衡问题
1、物体系
•由若干物体组成的物体系 统称为物体系。
2、物体系平衡问题计算
•由整体或部分的平衡条件 联立求解未知力。 •最多可求解n个物体的物体 系中3n个未知力。
4)FH的取值范围为：
1t anf st anf s FH1t anf st anfs
2、主矢和主矩的性质
（1）主矢一般不是原力系的合力；主矩一般不是原力系的合力偶 矩。 （2）主矢与简化中心的位置无关。
（3）主矩一般与简化中心的位置有关。
[例4-1]在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有F1、F2、 F3、F4等四个力。已知F1=40N、F2=60N、F3=60N、F4=80N。试求 该力系向点A简化的结果。
(1) FR 0, M O 0; (2) FR 0, M O 0; (3) FR 0, M O 0; (4) FR 0, M O 0;
1、主矢不为零，主矩为零
FR 0, MO0; •力系简化为一个合力。
2、主矢不为零，主矩不为零
FR 0, MO0; •可进一步简化为一个合力。
d MO FR
1 FBx 4(qaF)
[例4-8] 图示结构由杆件AB、BC、CD、圆轮O、软索和重物 E组成。圆轮与杆件CD用铰链连接，圆轮半径为r=l/2。物体E重为 W，其它构件不计自重。求固定端A的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。 2) 列平衡方程，求未知力。
（1）考虑CD、圆轮、绳索及重 物分离体平衡：
第四章 平面力系的简化与平衡方程
•平面任意力系：力系中各力的作用线都在同一平面内。
§4-1 平面任意力系向一点的简化•主矢和主矩
1、平面任意力系向一点的简化
•平面任意力系简化为作用在一 点的简单力系。 •简单力系作用点称为简化中心。
•简化方法步骤：
（1）各力等效平移：
F 1 F 1 F 2 F 2 F 3 F 3
由： MD 0
得： 2 lF C 1 .5 lF 0 .5 lW 0
FC 0.5W
（2）考虑AB杆分离体平衡：
由：
Fx 0 Fy 0
M
A
0
得： FB F FAx 0 FAy 0
M A 2lFB 1.5lF 0
F Ax F Ay
0 .5W 0
M
A
0 .5lW
M M
L K
0 0
M
A
0
得：
2aF2aFAcos30oaFAsin30o 2aF(aCK)FB 0
0
aF2aFBaFC 0
F A 1 .6 2 F FB 1 .4 0 F FC 1 .8 1F
§4-4 平面平行力系的平衡方程
1、平面平行力系
•力系中各力的作用线在同一平面内且 相互平行的力系称为平面平行力系
1 .5 lF BByy
0
.
5
lqFl
2 R
0
F A xql, F B y1 3ql, F A y1 3ql
[例4-4]图示构件的A端为固定端，B端自由。求在已知外力的 作用下，固定端的A的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。
2)列平衡方程，求未知力。 取坐标如图：
由： 得：
Fx 0 Fy 0
得： FAx FD 0
FAy
aFR1
a 2
FR2
3a 2
0
F A x 0 .5 q a , F A y 2 q a
§4-6 考虑摩擦的平衡问题
4-6-1 静滑动摩擦力
1、定义
•物体静止时的摩擦力。FS
2、性质
•方向与物体相对滑动的趋势方向相反。
•随主动力的增大而增大。 4-6-2 最大静滑动摩擦力、静滑动摩擦定律
3、自锁现象
(4 1 7 )
•当主动力与法线夹角小于摩擦角时物体总是静止的现象。
4-6-5 考虑摩擦的平衡问题
1、注意问题
（1）摩擦力的方向与物体运动趋势方向相反。
（2）补充方程： Fmax fsFN （3）解用不等式表示。
2、例题
[例4-10] 物块重W，放在倾角为的斜面上，接触面的静摩擦
因数为fs。用水平力FH维持物块的平衡，试求力FH的大小。
2、平面平行力系的平衡方程
（1）一矩式： n
Fyi 0
i1
n
i1 MO (Fi ) 0
(4 12)
（2）二矩式：
n
i1 n
MA(Fi
)
0
i1 MB(Fi ) 0
(4 13)
•矩心A和B两点的连线不能与x垂直。
[例4-6] 塔式起重机如图所示，机架自重W=700kN,作用线通 过塔轴线。最大起重量W1=200kN，最大吊臂长为12m，平衡块重 W2，它到塔轴线的距离为6m。为保证起重机在满载和空载时都不 反倒，试求平衡块的重量应为多大。
[例4-3]图示刚架AB受均匀分布的风荷载作用，单位长度上承
受的风压为q(N/m)，称q为均布荷载集度。给定q和刚架尺寸，求支 座A和B的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。
FR ql
2)列平衡方程，求未知力。 取坐标如图：
由：
Fx 0 Fy 0
M
A
0
得： qFlR FFAAxx 00 FBy FAy 0
3、主矢为零，主矩不为零
FR 0, MO0; •力系简化为一个合力偶。
4、主矢与主矩均为零
FR 0, MO0; •力系是一平衡力系。
•平面任意力系的可能情况：
（1）力系可简化为一个合力。
（2）力系可简化为一个合力偶。
（3）力系是一平衡力系。
§4-3 平面任意力系的平衡条件•平衡方程
一、平面任意力系的平衡条件
M O 称为平面任意力系相对于简化中心的主矩。一般情况下：
n
M o M O(Fi)
(42)
i1
2、主矢计算
FRx
n
i1
Fxi
n
FRy
i1
Fyi
F R F R 2 xF R 2 y nF xi 2 nF yi 2
i 1 i 1
cosFRx
FR
cosF FRRy
(43) (44 ) (45)
[例4-7] 由折杆AC和BC铰接组成的厂房刚架结构如图所示， 求固定铰支座B的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。 2) 列平衡方程，求未知力。
（1）考虑整体分离体平衡：
2、动滑动摩擦定律
F m fF N •f称为动摩擦系数。
( 4 1 6 )
•f与相对速度有关，低速时为常数。 f fs
4-6-4 摩擦角和自锁现象
1、全约束力
FRA FN Fs
2、摩擦角
•临界状态下全反力与法线的夹角。f
tanf F F m N axfsF N F Nfs
解：1）问题分析：
2)由物快上滑的临界状态求力的 最大值。 （1)取分离体，作受力图。
（2) 列平衡方程，求未知力。
由： F x 0
Fy
0
得： W Wscions F FH Hm m aaxxcso ins F Fm Nax00
又： Fmax fsFN
得：
FHmax
tan fs 1 fs tan
M 1 M O ( F1) M 2 M O (F2) M 3 M O (F3) （2）求汇交力系合力：
F R F 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3
F R 称为平面任意力系主矢。一般情况下：
n
FR Fi i1
(41)
（3）求力偶系合力偶矩：
M O M 1 M 2 M 3 M O ( F 1 ) M ( F 2 ) M O ( F 3 )
cos FRx 0.67
FR
47.93o
2)求力系主矩：
n
M A M A (Fi ) i 1 F2a cos 30o F3a / cos 45o F4a sin 45o 88.24N m
主矩力偶方向为顺时针转向。
§4-2 平面任意力系简化结果的讨论
•平面任意力系向一点简化结果的可能情况：
（1）三矩式： n
M
A
( Fi )
0
i1
n
M B (Fi) 0
i1
(4 11)
n
M C (Fi) 0
i1
•矩心A、B和C三点不共线。
[例4-5] 十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在水
平力F的作用下各支座的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。
2) 列平衡方程，求未知力。
取坐标如图：
解：1)取分离体，作受力图。 为平面平行力系。 2) 列平衡方程，求未知力。 （1）由塔机满载时的临界平衡 状态确定平衡块重最小值：
由： F A 0
MB 0
得： ( 6 2 ) W 2 m in 2 W ( 1 2 2 ) W 1 0
W2min ห้องสมุดไป่ตู้5kN
（2）由塔机空载时的临界平衡 状态确定平衡块重最大值：
FR F 2)由合力矩定理确定合力作用线与x 轴的交点坐标。
n
由： MA(FR) MA(Fi) i1 M A(F R)M A(F R x)M A(F R y)
n M A(F R y)F R yxK(72.42N )xK
MA(Fi)MA80.24Nm
i1
得：xKM FRy A87 02 .2 .4 42N N m1.11m K点在点A的左侧1.11m处。
由： FB 0
MA 0
得： (62)W 2m ax2W 0
W2max 350kN （3）塔机正常工作时平衡块重应为：
75kNW 2350kN
§4-5 物体系的平衡问题
1、物体系
•由若干物体组成的物体系 统称为物体系。
2、物体系平衡问题计算
•由整体或部分的平衡条件 联立求解未知力。 •最多可求解n个物体的物体 系中3n个未知力。
4)FH的取值范围为：
1t anf st anf s FH1t anf st anfs
2、主矢和主矩的性质
（1）主矢一般不是原力系的合力；主矩一般不是原力系的合力偶 矩。 （2）主矢与简化中心的位置无关。
（3）主矩一般与简化中心的位置有关。
[例4-1]在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有F1、F2、 F3、F4等四个力。已知F1=40N、F2=60N、F3=60N、F4=80N。试求 该力系向点A简化的结果。
(1) FR 0, M O 0; (2) FR 0, M O 0; (3) FR 0, M O 0; (4) FR 0, M O 0;
1、主矢不为零，主矩为零
FR 0, MO0; •力系简化为一个合力。
2、主矢不为零，主矩不为零
FR 0, MO0; •可进一步简化为一个合力。
d MO FR
1 FBx 4(qaF)
[例4-8] 图示结构由杆件AB、BC、CD、圆轮O、软索和重物 E组成。圆轮与杆件CD用铰链连接，圆轮半径为r=l/2。物体E重为 W，其它构件不计自重。求固定端A的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。 2) 列平衡方程，求未知力。
（1）考虑CD、圆轮、绳索及重 物分离体平衡：
第四章 平面力系的简化与平衡方程
•平面任意力系：力系中各力的作用线都在同一平面内。
§4-1 平面任意力系向一点的简化•主矢和主矩
1、平面任意力系向一点的简化
•平面任意力系简化为作用在一 点的简单力系。 •简单力系作用点称为简化中心。
•简化方法步骤：
（1）各力等效平移：
F 1 F 1 F 2 F 2 F 3 F 3
由： MD 0
得： 2 lF C 1 .5 lF 0 .5 lW 0
FC 0.5W
（2）考虑AB杆分离体平衡：
由：
Fx 0 Fy 0
M
A
0
得： FB F FAx 0 FAy 0
M A 2lFB 1.5lF 0
F Ax F Ay
0 .5W 0
M
A
0 .5lW
M M
L K
0 0
M
A
0
得：
2aF2aFAcos30oaFAsin30o 2aF(aCK)FB 0
0
aF2aFBaFC 0
F A 1 .6 2 F FB 1 .4 0 F FC 1 .8 1F
§4-4 平面平行力系的平衡方程
1、平面平行力系
•力系中各力的作用线在同一平面内且 相互平行的力系称为平面平行力系
1 .5 lF BByy
0
.
5
lqFl
2 R
0
F A xql, F B y1 3ql, F A y1 3ql
[例4-4]图示构件的A端为固定端，B端自由。求在已知外力的 作用下，固定端的A的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。
2)列平衡方程，求未知力。 取坐标如图：
由： 得：
Fx 0 Fy 0
得： FAx FD 0
FAy
aFR1
a 2
FR2
3a 2
0
F A x 0 .5 q a , F A y 2 q a
§4-6 考虑摩擦的平衡问题
4-6-1 静滑动摩擦力
1、定义
•物体静止时的摩擦力。FS
2、性质
•方向与物体相对滑动的趋势方向相反。
•随主动力的增大而增大。 4-6-2 最大静滑动摩擦力、静滑动摩擦定律
3、自锁现象
(4 1 7 )
•当主动力与法线夹角小于摩擦角时物体总是静止的现象。
4-6-5 考虑摩擦的平衡问题
1、注意问题
（1）摩擦力的方向与物体运动趋势方向相反。
（2）补充方程： Fmax fsFN （3）解用不等式表示。
2、例题
[例4-10] 物块重W，放在倾角为的斜面上，接触面的静摩擦
因数为fs。用水平力FH维持物块的平衡，试求力FH的大小。
2、平面平行力系的平衡方程
（1）一矩式： n
Fyi 0
i1
n
i1 MO (Fi ) 0
(4 12)
（2）二矩式：
n
i1 n
MA(Fi
)
0
i1 MB(Fi ) 0
(4 13)
•矩心A和B两点的连线不能与x垂直。
[例4-6] 塔式起重机如图所示，机架自重W=700kN,作用线通 过塔轴线。最大起重量W1=200kN，最大吊臂长为12m，平衡块重 W2，它到塔轴线的距离为6m。为保证起重机在满载和空载时都不 反倒，试求平衡块的重量应为多大。
[例4-3]图示刚架AB受均匀分布的风荷载作用，单位长度上承
受的风压为q(N/m)，称q为均布荷载集度。给定q和刚架尺寸，求支 座A和B的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。
FR ql
2)列平衡方程，求未知力。 取坐标如图：
由：
Fx 0 Fy 0
M
A
0
得： qFlR FFAAxx 00 FBy FAy 0
3、主矢为零，主矩不为零
FR 0, MO0; •力系简化为一个合力偶。
4、主矢与主矩均为零
FR 0, MO0; •力系是一平衡力系。
•平面任意力系的可能情况：
（1）力系可简化为一个合力。
（2）力系可简化为一个合力偶。
（3）力系是一平衡力系。
§4-3 平面任意力系的平衡条件•平衡方程
一、平面任意力系的平衡条件
M O 称为平面任意力系相对于简化中心的主矩。一般情况下：
n
M o M O(Fi)
(42)
i1
2、主矢计算
FRx
n
i1
Fxi
n
FRy
i1
Fyi
F R F R 2 xF R 2 y nF xi 2 nF yi 2
i 1 i 1
cosFRx
FR
cosF FRRy
(43) (44 ) (45)
[例4-7] 由折杆AC和BC铰接组成的厂房刚架结构如图所示， 求固定铰支座B的约束力。
解：1)取分离体，作受力图。 2) 列平衡方程，求未知力。
（1）考虑整体分离体平衡：