微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[]

第一章 曲线论 §2 向量函数

5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r

= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r

具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e

的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e

为常向量，那么

)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r

=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2

λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r

=0 可与任意方向平行；当λ

≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e

2)＝2'e ，（因为e

具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e

为常向量。所以，)(t r 具有固

定方向。

6．向量函数)(t r

平行于固定平面的充要条件是（r

'r ''r

）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n

，使)(t r

·n

= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r

的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n

= 0 。两次求微商得'r ·n

= 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n

，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。

反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0

，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于

一固定平面，若r ×'

r

≠0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r

= r λ+μ'r ①

令n =r ×'r

，则n

≠

0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r

）=μn ，

于是n ×'n

=0

，由上题知n

有固定方向，而)(t r

⊥n ，即)(t r

平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1． 求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。 解 令t cos =1,t sin =0,

t =0

得

t =0, 'r

(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为

1

101z

y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。

2． 求三次曲线},,{3

2ct bt at r =

在点0t 的切线和法平面。

解 }3,2,{)('2

000ct bt a t r = ，切线为2

3

0020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-， 法平面为 0)(3)(2)(3

0202000=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。

3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。

证明 'r = {-a θsin ,a θcos ,b

},设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos =22||||'b

a b

e r k r +=⋅

为常数，故ϕ为定角

（其中k

为z 轴的单位向量）。

4. 求悬链线r ={t ，a t

a cosh }（-∞∞ t ）从t =0起计算的弧长。

解

'r

=

{1，a t

sinh }，|'r

| =a

t

2sinh

1+ = a t

cosh ， ｓ＝

a t

t

a t a dt sinh cosh 0

=⎰

。

９．求曲线2

2

3

2,3a xz y a x ==在平面3a

y

=

与y = 9a 之间的弧长。

解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{2

2

3x

a a x x ，曲面与两平面3a y = 与y = 9a 的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222x a a x -，｜'r ｜＝44

4441x

a a x ++＝22222x a a x +，所求弧长为a dx x a a x s a a 9)2(22322

=+=⎰ 。

10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。

解 'r = { -a t sin ,a t cos ,b }，s = t b a dt r t 2

20

|'|+=⎰ ，所以2

2

b

a s t +=

，

代入原方程得 r ={a cos

2

2

b

a s +, a sin

2

2

b

a s +,

2

2

b

a bs +}

11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。 解 由θθρcos )(=x ，θθρsin )(=y 知

'r

={)('θρθcos -θθρsin )(，)('θρθsin +θ

θρcos )(}，|

'r | =

)(')(2

2

θρθρ+，从0θ到θ的曲线的弧长是s=⎰

θθ0

)(')(22θρθρ+d θ 。

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 在任意点的密切平面的方程。 解

'r ={ -a t sin ,a t cos ,b },''r

={-a t cos ,- a t sin ,0 }