高中物理竞赛复赛专题：角动量及其守恒定律
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高中物理奥林匹克竞赛专题--角动量(共18张PPT)
M v1 对M v内M 质2v M 力v 内点1 20 M 矩力（v 2矩02d d）M tMv (：dL 1v d2 0L1 vt.0 M 2 2L v 02 20 ) 4
两式相加：M v 1 M v 1 0 M v 2 M v 2 0d d t(L v 1 L v 2)3
15M v1 –8M v2多普d dt(勒L v1效L v应2) 4
9 .1 1 1 0 3 1 ( 5 .2 9 1 0 1 1 ) 2 4 .1 3 1 0 1 6
1.051034(kgm 2s1)
此值为狄拉克h： hh/2
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
例3 一质量 m1.20140kg的登月飞船, 在离
月球表面高度 h10k0m 处绕月球作圆周运动.飞船
15 – 例81 多用普角勒动量效守应恒定律导出开普勒第第十二五定章律机械波
-- 行星单位时间内扫过的面积相等。
O
v
rv
A
a
s
c h
b
解：设行星绕太阳运
动,在时间 t 内，从a
点运动到b点，其速率
v为 。(行星质量为m)
L
作直线bc垂直于oa，因t很小 ababs
svt h s s in v ts in
A的 mM ,
由万有引力和牛顿定律
G mMm m v02 (Rh)2 Rh
g
G
mM R2
vB B
R
O
vA v0
v u
A
h
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
得 v0(R R2gh)12161m2s1
当飞船在A点以相对速度 u
向外喷气的短时间里 , 飞船的
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体角动量 角动量守恒定律以及进动(29张ppt)
例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为
：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径
RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m,
质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 .
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过 程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向
u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此 角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg＝ 0 mdm rumru
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时 的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即 为
L1Lg＝mru
刚体角动量和角动量守恒定律
1. 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理：
Mz
d J
dt
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定
轴的角动量分别为 、J11 、…J2，2
则该系统对该轴的角动量为：
Lz Jii
i1,2,
i
对于该系统还有 M Zdd LtZd dt i Jii
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
E1 2JA2 A1 2JBB 21 2JAJB2
1.3 2140J
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-13 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星 爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时 星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就 有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周， 它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2107m ， 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。
高二物理竞赛角动量角动量守恒课件(共13张PPT)
F
d
定义r：力对某点O的力矩等于力的作用点的矢
径 与力F的矢量积 .
M rF
M
o•
r
F
M
m
注意：
M rF sin r F
4）当 F 0时
下列情况, M 0
A） r 0
B）Mo力•的方向r 沿矢F径的方向
m
sin 0 M
4）当 F 0时
下列情况, M 0
A） r 0
线运动或不能作直线运动。 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点的矢 径 与力F的矢量积.
Law of Conservation of Angular Momentum) Law of Conservation of Angular Momentum)
C) 力的方向与转轴平行
C) 力的方向与转轴平行
B）力的方向沿矢径的方向
4）角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动或不能作直线运动。
质点对选取的参考点的角动量等于其矢径 与其动量 之矢量积。
角动量、角动量守恒 ( Angular Momentum.
Law of Conservation of Angular Momentum)
Law of Conservation of Angular Momentum)
角动量、角动量守恒 ( Angular Momentum. Law
of Conservation of Angular Momentum)
一）角动量
例如天文上行星围绕太阳转。
定义：质 点对选取的参考点的角动量等 于其 矢径 r 与其动量 mv之矢量 积。用 L 表示。
L r mv
L
o•
r
mv
注意：1、为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L画在参考点上。
人大附中高中物理竞赛辅导课件(力学)运动定律：角动量定理、角动量守恒(共17张ppt)
解：已知
r
a
costi
b
sin
tj
v
dr dt
a
sin
ti
b
costj
L
r
mv
mab cos2 tk mab sin 2 tk
mabk
力径矩r：与M力o力对•F某的点矢rMO量的积F力.r矩等F于力的作用点的矢
d
m
d r sin
注意：
12））大方小向：Mr
rF sin F 的方向
Fd
L
r
mv
L
r
mv
L rmv sin rmv mr 2
质点作直线运动
Z Y
O
r
mv d
X
L L mv或r s：inLmmvvddkˆ
例线在一直质角量坐为标m下的的质矢点径沿为着：一r条空a间co曲s线t运i动 ，b s该in曲tj
其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。
（河南名校竞赛班讲义）
对上式积分：
Mdt
dL
L2
L1
t1
L1
角动量定理（积分形式）
作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。
三、角动量守恒定 律
若 则：
MdL合外0力矩 L0
恒矢量
dt
角动量守恒定律：若对某一参考点, 系统(质点)所
受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点)对该参考
点的角动量将保持不变。
注意：1、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律， 无论在宏观上还是微观领域中都成立。
j
M
O
L vZ0
X
mv (
v0ti
mgv 0 t
1
高中物理竞赛复赛专题：角动量及其守恒定律共38页
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
高中物理竞赛复赛能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
高中物理竞赛角动量守恒定律.docx
角动量及角动量守恒定律-k大量天文观测表明TmV sin& =常量定义：运动质点m对O点的角动量为L = Fx p = Hx mv 大小：Z = rmvsvnO 方向：〒x（加〒）出L=rXmV则77L=-^-<Fx»l v) = TT-X/MV + rx 生鄂^得# = r x r质点加対参考点o的d r堑千位置矿矽乖所坯的齐角动量的angular momentum吋间变化率莎"矢量尸乂来合外力炉/ -> 二二—F ................. ^-■■■■•.. ... ..... —-亠一亠g ^ ■■■I ■川工= 一二_一】大小M—FYsmG =Fd即力北Af = F X F方向垂直于天亓所决定的平面，出右螺旋法则定指向。
得质点m対给定参考点o的角动量的时I'川变化率=7 x F -M 所受的介外力矩称为质点的角动量龙理的微分形式如果各分力与。
点共面,力矩只含止、反两种方向。
可设顺时针为止向，用代数法求合力矩9质点的角动量守恒定律根据质点的角动量定理^=M ( M=r x F)若M=r x F =0则帶=0即L =常矢量当质点加所受的合外力对某参考点0的力雪历为零时，质点对该点的角动量的时间变化率豁为零，即质点对该点的角动量L守恒。
称为质点的角动量守恒定律若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒，如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
质点系的角动量dZ _^T7质点受:外力的时间变化率^dT~i Mi外矩的矢量和 称为 质’点:条旳角动量定瑾微分形式由菲=干莎外=図 j 匸。
"=!z odL =K-Ko 若 M = O 贝！J ZT = Lo 或 L =恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，苴角动量守恒。
.of angular :of partical systei 0 “点白勺箱勻云力质点系的角动量V 2Z =孚 L*=S Af XW/Vzi各质点对给定参考点的角动量的矢量和•丙恵济旳加动垦走翼 将 三=号乙=孚耳厉对时间求导#=?#=? ［^=耳［vi^miVi +A ； x/w/fl/J+ A} x 用■=耳［右x Fi 内 +右x 尺外］得=另M i 内+三M ，外=E M i 外=s dr X7M/P/ + 不X 哥-（加了厉）］ 某给定 O参考点尺rj dW1r 2m2二见内 用内F L 外内力矩在求矢 量和时成对相消惯性系中某给定参考点/Mi我国第i颗人造卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点•已知地球半径R=6378 kin,卫星与地］fli的最近距离Zi=439km, 与地Ifli的最远距离/2=2384 km・若卫星在近地点A\的速度s=8.1 km-s,则卫星在远地点Ai 的速度s= _____________________ .1.如木题图，一质最为m的质点白由降落，在某时刻具有速度v。
高二物理竞赛角动量定理角动量守恒定律课件
的速率向东奔跑, 他感到风从北方吹来,当他奔跑的速率加倍时, 则感到风从东北方向吹来, 求风的速度。
或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变
A,B,C三个质点相互间有相对运动
M dL F dp
dt
dt
对质点系而言：（以两个质点为例）
设有质点m1 、 m2
分别受外力 F1 F2
外力矩 M1 M2
作用在质点系的角冲量等于系 统角动量的增量。
三、角动量守恒定律
若 则：
M合
dL
外
力
矩 0
0L
恒矢量
dt
M dL dt
角动量守恒定律：若对某一参考点, 系统(质点)所 受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点)对该参考 点的角动量将保持不变。
注意：角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，无 论在宏观上还是微观领域中都成立。
已知：
v sd = 10 正东
vcs
v fd = 10 v cs = 20
正西 北偏西30o
•
vfd vsd
vcd vcs v sd
vcd 10 3 km / h 方向正北
vcs vcd
v fd v fc vcd
300
v fc v fd vcd
人地 cos 450
2人
地
4.23(m
s
1
)
质点动力学(二) 人 地 人 地
450 450
风 人
风 地
二、力学的相对性原理
aAC aAB aBC
aBC 0, 同一质点的加速度在两个相互间作匀速 aAC aAB 直线运动的参照系中是相同的。
在牛顿力学中,力与参考系无关，质量与运动无关 F F
2022-2023年高中物理竞赛 角动量守恒
由N个质点组成的质点系
mi
ri
Fi
fi
vi
Pi · ·i · ·
Fi
·fi j· ·fj i
· j
由N个质点组成的质点系
ri
(Fi
fi )
ri
Fi
ri
fi
d Ji dt
(i 1,2,N)
i
ri Fi
i
ri fi
i
d Ji
dt
d J1 d J 2 d J N dJ
dt dt
M
x
M y
M
z
dJ x
dt dJ y
dt dJ z
dt
作用在质点上力矩在某 方向的分量等于对同一 参考 点角动量在该方向上的 分量的时间变化率
t t0
M x dt
Jx
J x0
t
t0 t
M y dt
Jy
J y0
t0 M z dt
Jz
J z0
作用在质点上冲量矩在某方向上的分量等于对 同一参考点角动量在该方向上分量的增量
v0
m
ko
m
v0
解、以初始时刻两球连线中点o为定点来 考察体系的角动量
初始时
a
a
J mv0 2 mv0 2 mv0a
体系水平方向不受外力,竖直方向外力的合 力为零,体系角动量守恒.当弹簧达到最大 伸长时,小球无径向速度,体系的角动量为
v0
m
ko
m
v0
J ' mv b mv b mvb 22
设猴一边的绳相对地下落的速度为| u | u
则猴对地的速度为 (v'u) j
r1 m(v'u) j r2 mu j 0
高中物理竞赛§2.5质点角动量定理角动量守恒课件
只是在解决转动问题时，用角动量定理较简便
§2.5 角动量定理、守恒定律—例
例 日：点处已到知日：心地距球离在为近日r2 点。处求到：日在心远距日离点为处r1的，速速度度为v2
v1
，在远
。
解：①分析：地球在太阳有心力作用下绕日运动，角动量守恒
②应用定律：
L1 L2
r 1 m v 1 r 2 m v 2
大小：MrFsin
M
o
r
F
Fd（力乘力臂）
d
m
方向： 右螺旋
单位：SI：N·m
2.说明
有心力：受力始终指向（或离开）某个中心 如：
质点受有心力作用时，力对力心的力矩=0 oF
太阳
v2
地球
MFd 0 v1
§2.5 质点角动量定理 角动量守恒（一角动量 二力矩）
2.5.3 质点的角动量定理 想法：动量随时间的变化率
当M合外0时 dLd t0 L恒矢量
即：当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点系对该点 的角动量保持不变
§2.5 角动量定理 角动量守恒定律
说明：1.各量守恒的条件： 动量守恒 质点角动量守恒 质点系角动量守恒
F合外0 M合0 M合外0
2.对问题的求解方法： 可牛顿定律、可动量定理、可角动量定理、 可动能定理、…
v
LALB rA m v0rB m v
O l B
大小 rlA 0m m0 0vs vli9 m ns0 virnBmsvin v0l0 , k
两个未知量？
mA
rA
rB
只保守力做功→机械能守恒
1 2m0 2v1 2m2v 1 2k(ll0)2
可解
例：（P55：例2-13）已知：初始A(m1)、B(m2)同高，之后A 由
§2.5 角动量定理、守恒定律—例
例 日：点处已到知日：心地距球离在为近日r2 点。处求到：日在心远距日离点为处r1的，速速度度为v2
v1
，在远
。
解：①分析：地球在太阳有心力作用下绕日运动，角动量守恒
②应用定律：
L1 L2
r 1 m v 1 r 2 m v 2
大小：MrFsin
M
o
r
F
Fd（力乘力臂）
d
m
方向： 右螺旋
单位：SI：N·m
2.说明
有心力：受力始终指向（或离开）某个中心 如：
质点受有心力作用时，力对力心的力矩=0 oF
太阳
v2
地球
MFd 0 v1
§2.5 质点角动量定理 角动量守恒（一角动量 二力矩）
2.5.3 质点的角动量定理 想法：动量随时间的变化率
当M合外0时 dLd t0 L恒矢量
即：当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点系对该点 的角动量保持不变
§2.5 角动量定理 角动量守恒定律
说明：1.各量守恒的条件： 动量守恒 质点角动量守恒 质点系角动量守恒
F合外0 M合0 M合外0
2.对问题的求解方法： 可牛顿定律、可动量定理、可角动量定理、 可动能定理、…
v
LALB rA m v0rB m v
O l B
大小 rlA 0m m0 0vs vli9 m ns0 virnBmsvin v0l0 , k
两个未知量？
mA
rA
rB
只保守力做功→机械能守恒
1 2m0 2v1 2m2v 1 2k(ll0)2
可解
例：（P55：例2-13）已知：初始A(m1)、B(m2)同高，之后A 由
角动量守恒定律在物理竞赛中应用
“角动量及角动量守恒定律的应用角动量（angular momentum) 在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量。
概念：转动物体的转动惯量(rotational inertia) 和角速度(angular velocity) 的乘积叫做它的角动量。
L = IωI 是转动惯量，ω（欧米伽）是角速度。
角动量在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉乘，通常写做L 。
角动量是矢量。
L= r×p其中，r表示质点到旋转中心（轴心）的距离（可以理解为半径），L表示角动量。
p 表示动量。
角动量的方向：角动量是r（参考点到质点的距离矢量）叉乘动量，是两个矢量的叉乘，在右手坐标系里遵循右手螺旋法，即右手四指指向r的方向，转过一个小于180度的平面角后四指指向动量的方向，则大拇指所指的方向就是角动量的方向。
在不受外力矩作用时，体系的角动量是守恒的。
角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。
角动量是一种特殊的动量，它的大小取决于转动的速率和转动物体的质量分布。
角动量守恒定律（conservation of angular momentum,law of）物理学的普遍定律之一。
反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。
反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
例如一个在有心力场中运动的质点，始终受到一个通过力心的有心力作用，因有心力对力心的力矩为零，所以根据角动量定理，该质点对力心的角动量守恒。
因此，质点轨迹是平面曲线，且质点对力心的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
如果把太阳看成力心，行星看成质点，则上述结论就是开普勒行星运动三定律之一。
一个不受外力或外界场作用的质点系，其质点之间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零，从而导出质点系的角动量守恒。
如质点系受到的外力系对某一固定轴之矩的代数和为零，则质点系对该轴的角动量守恒。
高二物理竞赛课件：角动量 角动量守恒定律
球滑到点 B （任意角度 θ ）时对环心 O 的角动量和角速
度。
解
小球受力
FN、
P
作用,
FN对O点的力矩为零，
重力矩垂直板面向里
M rF
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcos dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10/19
dL mgRcos dt
考虑到 d dt, L mRv mR 2
L mr 2 J
L
r
p
r
mv
L
o
p
m r
※ 质点的角动量定理
M
dL
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点 对该点 O 的角动量随时间的变化率。
dp
F，
dL
？
dt
dt
质点角动量定理的推导，由
L
r
p
M
dL
dt
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt
Miin 0 ，
Miex
d dt
(
miri 2 )
d( J )
dt
M
d( J )
dL
dt
dt
Mdt dL
Mdt
dL
d
( J )
t2 t1
Mdt
J2
J1
转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转 动物体角动量的增量——定轴转动刚体的角动量定理。
※ 非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J 22
J11
14/19
L2
度。
解
小球受力
FN、
P
作用,
FN对O点的力矩为零，
重力矩垂直板面向里
M rF
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcos dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10/19
dL mgRcos dt
考虑到 d dt, L mRv mR 2
L mr 2 J
L
r
p
r
mv
L
o
p
m r
※ 质点的角动量定理
M
dL
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点 对该点 O 的角动量随时间的变化率。
dp
F，
dL
？
dt
dt
质点角动量定理的推导，由
L
r
p
M
dL
dt
dL
d
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p)
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p
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Miin 0 ，
Miex
d dt
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miri 2 )
d( J )
dt
M
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dL
dt
dt
Mdt dL
Mdt
dL
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t2 t1
Mdt
J2
J1
转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转 动物体角动量的增量——定轴转动刚体的角动量定理。
※ 非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J 22
J11
14/19
L2
高中物理竞赛刚体的角动量定理和角动量守恒定律
dA内 F1 dr1 F2 dr2 F2 dr1 F2 dr2 F2 (dr2 dr1) F2 d(r2 r1) 0
dr1
F1
rm1 1
O
F2
dr2
m2 r2
内力的功不影响刚体的转动动能。
刚体绕定轴转动动能定理只适用于刚体的定轴转动。
4
刚体的重力势能
以xOy 平面为重力势能零参考面
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量
矩等于角动量的增量．——定轴转动的角
动量定理
11
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0，则 L J =常量
如果物体所受的合外力矩等于零， 或者不受外力矩的作用，物体的角动量 保持不变．——角动量守恒定律
5
刚体的力学系统的机械能
当 A外 + A非保内 = 0 时，有
E Ek Ep 恒量
（系统的机械能守恒定律）
对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只
有保守内力作功，而外力和非保守内力都不作
功，或作功的总和始终为零，则该系统的机械
能守恒。
6
力学系统的机械能应包括
质点的动能、重力势能，弹性势能； 平动刚体的平动动能、重力势能； 定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即
12
讨论
➢ 守恒条件 M 0
若 J 不变，不变； 若 J 变， 也变，但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中M in M exL 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
2020年高中物理竞赛辅导课件(运动的守恒定律)03角动量守恒定律(共15张PPT)
[思考] ①能否用机械能守恒求解？ ②能否用牛Ⅱ律求解？
*§3.7 守恒定律与对称性的关系 (Relation Between Laws of Conservation and Symmetries)
运动守恒与系统的时空对称性相关联：
能量守恒——时间平移对称性 动量守恒——空间平移对称性 角动量守恒——空间转动对称性
Notes: (1)角动量定理和角动量守恒定律也
只是在惯性系中成立．
(2)质点在有心力场
[F
F (r)r]
中运
动，其角动量守恒．
[思考] ①卫星绕地球作椭圆轨道运动，地球 在椭圆的一个焦点上，则卫星的动能、 动量、角动量是否守恒？
(角动量守恒)
②卫星变轨后，角动量是否一定改变? (不一定)
例3-4 Y
M 3k N m
例3-5
A2
L2
已知地球半径R=6378km,
R
L1
A1
L1=439km,L2=2384km. 若卫星在A1处的速度
V1=8.1km/s，则卫星在A2
处的速度V2=
.
解：卫星对地球中心的角动量守恒
A1处, L mV1(R+L1)
A2处, L mV2(R+L2)
于是 V2= V1(R+L1)/(R+L2)= 6.3 km/s
对称性：变换下的不变性
变换对象：系统的拉氏函数(Lagrangian)
O
F
vr X
质点m=2kg,r=3m,
v=4m/s, 又F=2N,
==30,则质点对O点 的角动量为 ,力F
对O点的力矩为
.
解：(1)
L
r
mv
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15
质点5-系2 角角动动量量守恒守定恒律
由
外
若
则
或
恒矢量
当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。
16
两人质量相等
既忽略 滑轮质量
终点线
一 人 用 力 上 爬
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 握 绳 不 动
可能出现的情况是:
1(1) 两人同时到达； (2) 用力上爬者先到； (3) 握绳不动者先到； (4) 以上结果都不对。
解 因作用于物体的合外力矩为零，
故物体角动量守恒，得
O
vB
mv Ad mv Bl
lB
∴
vB
mvAd ml
4(m / s)
物体角动量： LB mv Bl
LB 1kg m2 / s
d
m vA
A
31
例7 我国第一颗东方红人造卫星的椭圆轨道长半轴为a = 7.79 ×
106 m，短半轴为 b = 7.72×106 m，周期 T = 114 min，近地点和远 地点距地心分别为 r1 = 6.82×106 m和 r2 = 8.76×106 m。（1）证明 单位时间内卫星对地心位矢扫过的面积为常量；（2）求卫星经 近地点和远地点时的速度V1 和V2 。
[ C] 【例3 】 一质点作匀速率圆周运动时,它的 （A）动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B）动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C）动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D）动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
[C]
19
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 33）有心力与角动量守恒定律。
称为
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星 绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
10
开应用普质勒点的第角二动量定守律恒定律可以证明
开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
11
t时刻 m 对 O 的 角动量大小为:
瞬间 位矢扫过的微面积
R
m
900
P
m0
1
同上理可得 m 的速度v2 Gm0 / R
{
L2
大小；L2
2R m
Gm0 sin135 0 m R
Gm0 R
方向：垂直图平面向外，
27
【例5】质量同为m的两个小球系于一轻质弹簧两端，放在光滑
水平桌面上，弹簧处于自由伸长状态，长为 a，其劲度系数为k，
今使两球同时受水平冲量作用，各获得与连线垂直的等值反向初
高中物理复赛专题 之
角动量及其守恒
角动量的概念是在研究物体转动问题时引入的。与动 量、能量一样，角动量也是一个描述质点和质点系运动状 态的基本物理量；角动量守恒定律也是一个与动量守恒定 律和能量守恒定律并列的守恒定律。但是，角动量的概念 和数学表达要比动量、能量复杂一些。
〔例〕质点绕某一中心转动
宏观: 行星绕太阳运动
由机械能守恒：
2 1 mv2 1 k(b a)2
2
2
2
1 2
mv02
解以上两式，并将 b=2a代入，得： v0
2k a 3m
28
THE END
29
作业
练习三 10、11
30
例6 如图所示，在光滑水平面上有一长l=0.5m的绳子，一端固定
于O点，另一端系一质量m=0.5kg的物体。开始时，物体位于位置 A处，OA间的距离d=0.5m，绳子处于松弛状态。现在使物体以与 OA垂直的初速度 vA 4m / s 向右运动，到达位置B时物体速度的方 向与绳垂直。试求物体在B处的角动量和速度。 (课本5-4)
大小：L=rpsin θ = mrvsinθ
方向： r ( m v )
单位：千克·米2/秒（kg·m2/s）。
4
问题的提出
质点
地 球 上 的 单 摆
变
大小会变
对 的角动量 大小
太 阳 系 中 的 行 星
变变 变
大小未必会变。靠什么判断？
5
导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？
思路： 分析
与什么有关？
解
地球在引力(有心力)作用下绕太阳运动，
对力心O 的力矩为零，因此角动量守恒。
即: r1mv 1 r2mv 2
∴
v
rv 11
3.03104 m
s
2r
2
(1) 该过程中地球动量守恒吗？
地球动量不守恒，因地球速度大小、方向均在变*。
(2) 能否按引力等于向心力立方程求解？ 曲率半径未知，条件不够。
和质点的角动量
2
L2
。
解： 力矩定义式
M rF
①在点1处： 力矩 M1
2
在点1处，m所受引力指向P点，故 M1 0
角动量 L1
由m作圆周运动的动力学方程，可得速度v
P
R
m
900
m0
1
G
m0m R2
m
v2 R
v Gm0 R
L r mv
{
∴ 角动量 L1
v1
v2
（指猴子这一侧的绳子）
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
∴
v2
v 2
34
机械能是否守恒？
R
猴加速上爬过程中，重物也将加速上升。
对于猴、重物、地球组成的系统，由
于存在非保守内力 T1、T 2 做功，故系统机
T1
T2
械能不守恒。
动量是否守恒？
m2 g m1 g
d
2 3
，试求：(1)小球所受重力相对A，B，C的力矩；
(2)小球相对A，B，C的角动量。
解
(1)
力矩
M
r
F
{
MA
大小； M A mgd1
A
方向：垂直图平面向里，
g
d1
d2
m
v
d3
MB MA
M
C
0
(2)角动量 L r mv
B
C
{ L
A
LB
0
L
常量
dt
dt
2m
2m
（2） 卫星和地球视为系统，由角动量守恒，得
r1mv1 T dS
dt
r2mv2
ab
r1mTv12Lmr2mva2 b
L
v1
v2
2ab
Tr1
2ab
Tr2
8.1103 m / s 6.3103 m / s
20
5-3 有心力与角动量守恒定律
自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过 某一固定点，力的大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。 我们称这样的力为有心力，相应的固定点称为力心。例如， 万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。
物体运动仅受有心力作用时，
m
力对力心O点的力矩始终为零。
有心
在有心力作用下，运动物体
7
质点的角动量定理也可用积分形式表达
由
所受的合外力矩
称为 冲量矩
角动量的增量
8
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
9
5-2 角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理
若
则
即
常矢量
当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 为
零，即质点对该点的角动量 守恒。
m1v1R m2v2 R
∴ v1 v2
而 v绳地 v物地 v2 ,
17
讨论：
质点系
忽略轮、绳质量及轴摩擦
若
系统受合外力矩为零，角动量守恒。
系统的末 态角动量
系统的初 态角动量
得
不论体力强弱，两人等速上升。
若
系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。
同高从静态开始 往上爬
可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。
18
【例2】 质点系的内力可以改变
（A）系统的总质量。 （B）系统的总动量。 （C）系统的总动能。 （D）系统的总角动量。
r 力F
对力心O的角动量守恒。
力心o
L1 L2
r1
mv1
r2
mv2
21
行星绕太阳运动：
引力指向太阳，行星
在引力(有心力)作用下
绕 且 力矩r太为//零F阳，，运M对动力r心，FO
而 的
0,
因此行星绕太阳运动过
程中角动量守恒。
22
例1 地球在远日点时，它离太阳的距离为 r1 =1.52×1011 m ，运动速率 v1 =2.93×104 m/s，当地球在近日点时，它 离太阳的距离r2 =1.47×1011 m，则运动速率v2为多少？
解 卫星在引力(有心力)作用下绕地球运
动，对力心O 的力矩为 零，因此角
动量守恒。设卫星质量为m，有:
L
r
p
r
mv
常矢量
r1 o
V2
r2
（1）dt时间内卫星位矢扫过面积 dS
V1
r
dr
dS 1 r dr sin
2
32
∴
dS
1 2
r
dr sin