直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质

1．证明或判定线面垂直的常用方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若 a∥b，a⊥α，则 b⊥α(a、b 为直线，α 为平面)； (4)若 a⊥α，α∥β，则 a⊥β(a 为直线，α，β 为平面)； 2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂 直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
①线面垂直⇒线线平行②作平行线
思考：过一点有几条直线与已知平面垂直？
[提示] 有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂 直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，应无公共点， 这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．
2．平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则_一__个__平__面_内__垂直于_交__线_的直线
2．已知 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β.有下面四个命题： ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β. 其中正确的两个命题是( ) A．①② B．③④ C．②④ D．①③
D [∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m， l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．]
[证明] 因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 l⊂α，所以 l⊥EA. 同理 l⊥EB.又 EA∩EB＝E，所以 l⊥平面 EAB. 因为 EB⊥β，a⊂β，所以 EB⊥a， 又 a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以 a⊥平面 EAB. 由线面垂直的性质定理，得 a∥l.
面面垂直性质定理的应用 【例 2】 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥ 平面 PBC.
文字语言
与另一个平面垂__直__
符号语言
α⊥β
α_a∩_⊂_β_α＝__l⇒a⊥β
_a_⊥__l__
图形语言 作用
①面面垂直⇒_线__面_垂直 ②作面的垂线
思考：如果 α⊥β，则 α 内的直线必垂直于 β 内的无数条直线吗？
[提示] 正确．若设 α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则 a⊥b，故 β 内与 b 平行的无数条直线均垂直于 α 内的任意直线．
又 EC⊥平面 ABC，∴EC⊥NA，又 CA∩CE＝C， ∴NA⊥平面 ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC， 且 AN 为平面 ADE 与平面 ABC 的交线． ∴∠CAE 为平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角的平面角， 在 Rt△ACE 中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°. 所以平面 ADE 与平面 ABC 所成二面角为 45°.
2．如图，四棱锥 V-ABCD 的底面是矩形，侧面 VAB⊥底面 ABCD， 又 VB⊥平面 VAD.
求证：平面 VBC⊥平面 VAC.
[证明] ∵面 VAB⊥面 ABCD，且 BC⊥AB，面 VAB∩面 ABCD＝ AB，BC⊂平面 ABCD.
∴BC⊥面 VAB， 又 VA⊂平面 VAB，∴BC⊥VA， 又 VB⊥面 VAD，∴VB⊥VA， 又 VB∩BC＝B，∴VA⊥面 VBC， ∵VA⊂面 VAC，∴平面 VBC⊥平面 VAC.
线线、线面、面面垂直的综合应用
[探究问题] 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系． [提示] 垂直问题转化关系如下所示：
【例 3】 如图所示，△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC百度文库 BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，求证：(1)DE＝DA；
(2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA.
3．已知直线 a，b，平面 α，且 a⊥α，下列条件中，能推出 a∥b
的是( ) A．b∥α C．b⊥α
B．b⊂α D．b 与 α 相交
C [由线面垂直的性质定理可知，当 b⊥α，a⊥α 时，a∥b.]
4．平面 α⊥平面 β，直线 l⊂α，直线 m⊂β，则直线 l，m 的位置 关系是________．
养.
2.通过学习平面与平面
理证明相关问题．(重点、难点)
垂直的性质，提升直观想
3.理解平行与垂直之间的相互转
象、逻辑推理、数学运算
化．(易错点)
的数学素养.
自主预习 探新知
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线_平__行_
符号语言
ab⊥⊥αα⇒_a_∥__b__
图形语言
作用
垂直关系的互化及解题策略： 空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解 题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰边三角形的三线合一、 中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生 一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想 解决问题.
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系 的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
思路探究：(1)设出 BD，分别求出 DE、DA 的长度或证明 DM⊥AE， 即证 DM 为 AE 的中垂线即可．(2)(3)只需证明 DM⊥平面 ECA 即可．
[证明] (1)设 BD＝a，如图，作 DF∥BC 交 CE 于 F， 则 CF＝DB＝a.因为 CE⊥平面 ABC， 所以 BC⊥CF，DF⊥EC， 所以 DE＝ EF2＋DF2＝ 5a. 又因为 DB⊥平面 ABC， 所以 DA＝ DB2＋AB2＝ 5a， 所以 DE＝DA.
1．直线 n⊥平面 α，n∥l，直线 m⊂α，则 l、m 的位置关系是( )
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
D [由题意可知 l⊥α，所以 l⊥m.]
2．若平面 α⊥平面 β，平面 β⊥平面 γ，则( )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α 与 γ 相交但不垂直 D．以上都有可能
D [可能平行，也可能相交．如图，α 与 δ 平行，α 与 γ 垂直．]
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂 直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：
当堂达标 固双基
1．直线 a 与直线 b 垂直，直线 b⊥平面 α，则直线 a 与平面 α
的位置关系是( )
A．a⊥α
B．a∥α
C．a⊂α
D．a⊂α 或 a∥α
D [a⊥b，b⊥α，则 a∥α 或 a⊂α. 选 D.]
证明线线平行常用如下方法： 1利用线线平行定义：证共面且无公共点； 2利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线； 3利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； 4利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； 5利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
1．如图，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β， 直线 a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.
求证：BC⊥AB.
[证明] 如图，在平面 PAB 内，作 AD⊥PB 于点 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC， 且平面 PAB∩平面 PBC＝PB，AD⊂平面 PAB， ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC⊂平面 PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面 PAB. 又 AB⊂平面 PAB，∴BC⊥AB.
4．如图所示，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 SDC⊥底面 ABCD，求证：平面 SCD⊥平面 SBC.
[证明] 因为底面 ABCD 是矩形，所以 BC⊥CD. 又平面 SDC⊥平面 ABCD， 平面 SDC∩平面 ABCD＝CD，BC⊂平面 ABCD， 所以 BC⊥平面 SCD. 又因为 BC⊂平面 SBC. 所以平面 SCD⊥平面 SBC.
3．如图所示，三棱锥 P-ABC 中，平面 ABC⊥平面 PAB，PA＝ PB，AD＝DB，则( )
A．PD⊂平面 ABC B．PD⊥平面 ABC C．PD 与平面 ABC 相交但不垂直 D．PD∥平面 ABC
B [∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面 ABC⊥平面 PAB， 平面 ABC∩平面 PAB＝AB，∴PD⊥平面 ABC.]
本例条件不变，试求平面 ADE 与平面 ABC 所成二 面角的大小．
[解] 如图延长 ED 交 CB 延长线于点 N，连接 AN，设 BD＝a， 由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，
在△CEN 中，由BCDE＝12知 B 为 CN 中点， ∴CB＝BN＝2a. ∴△ABN 中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°， ∴∠CAN＝90°，即 NA⊥CA.
课时分层 作 业
点击右图进入…
Thank you for watching !
相交、平行或异面 [根据题意，l，m 可能相交、平行或异面．]
合作探究 提素养
线面垂直性质定理的应用 【例 1】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上 一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC.
求证：MN∥AD1.
[证明] 因为四边形 ADD1A1 为正方形， 所以 AD1⊥A1D. 又因为 CD⊥平面 ADD1A1， 所以 CD⊥AD1. 因为 A1D∩CD＝D， 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又因为 MN⊥平面 A1DC，所以 MN∥AD1.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
核心素养
1. 理解直线和平面垂直、平面与平面 1.通过学习直线与平面
垂直的性质，提升直观想
垂直的性质定理，并能用文字、符号
象、逻辑推理的数学素
和图形语言描述定理．(重点) 2.能应用线面垂直、面面垂直的性质定
(2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN，则 MN═∥12CE═∥DB. 所以四边形 MNBD 为平行四边形，所以 MD∥BN. 又因为 EC⊥平面 ABC，所以 EC⊥BN，EC⊥MD. 又 DE＝DA，M 为 EA 的中点，所以 DM⊥AE. 所以 DM⊥平面 AEC，所以平面 BDM⊥平面 ECA. (3)由(2)知 DM⊥平面 AEC，而 DM⊂平面 DEA， 所以平面 DEA⊥平面 ECA.