2021届河南省八市重点高中高三第一次测评(9月) 数学(理)试题Word版含解析

2021届河南省八市重点高中高三第一次测评（9月）数学（理）试题一、选择题1．已知全集U R =，集合{}{}22,0,2,|230 U A C B x x x =-=--≥，则A B ⋂= ( ) A. {}2- B. {}0,2 C. ()1,2- D. (]2,1-- 【答案】B【解析】∵2230x x --≥，∴x 1x 3≤-≥，或，故()B 1,3=-，又{}2,0,2A =-， ∴{}0,2A B ⋂= 故选：B2．已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且满足232z z i +=-，则z = ( ) A. 12i - B. 12i + C. 2i - D. 2i + 【答案】A【解析】设z a bi a b R =+∈，、，则a bi z =-，由232z z i +=-，得： ()2a bi a bi 32i ++-=-，即3a bi 32i +=- 易得： 1{ 2a b ==-，∴12z i =-故选：A3．已知等差数列{}n a 中， 22383829a a a a ++=,且0n a <，则数列{}n a 的前10项和为( )A. 9-B. 11-C. 13-D. 15- 【答案】D【解析】∵22383829a a a a ++=，∴(3a +8a )2=9,又0n a <∴3a +8a =−3,故S 10=()11010a a 2+=5(1a +10a )=5(3a +8a )=−15 故选D4．从[]0,2内随机取两个数，则这两个数的和不大于1的概率为( ) A.116 B. 18 C. 14 D. 12【答案】B【解析】设取出的两个数为x 、y ；则有0≤x ≤2，0≤y ≤2，其表示的区域为纵横坐标都在[]0,2之间的正方形区域，易得其面积为4，而x +y ≤1表示的区域为直线x +y =1上及下方，且在0≤x 1≤，0≤y 1≤表示区域内部的部分，如图，易得其面积为12×1×1=12； 则两数之和小于1的概率是： 124=18；故选B.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2B. 4C. 6D. 12 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱， 其体积为1V h 23262S ==⨯⨯⨯= 故选：C6．已知函数()32,1{ 22,1x x f x x x -≤-=+>-，则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是( )A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. ()[),10,-∞-⋃+∞【答案】D【解析】∵函数()22,1{ 22,1x x f x x x -≤-=+>-，且()2f a ≥∴2a 1{22a -≤-≥或1{ 222a a >-+≥，即a 1≤-，或a 0≥故选：D7．二项式5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数是( )A. 5B. 20-C. 20D. 5-【答案】A【解析】二项式5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()5r1512y 2rr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭依据题意易得： 53{2r r -==，即r 2=所以32x y 的系数是3251452C ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故选：A8．执行如图的程序框图，输出的S 值为( )A. 3-033【答案】B【解析】由程序框图可知： S 0n 1==，，循环第一次可得： 3S n 2==，， 循环第一次可得： 33S 3n 322=+==，， 循环第一次可得： S 3n 4==，，循环第一次可得： 3S n 52==，， 循环第一次可得： S 0n 6==，， 此时不适合，故输出S 0= 故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9．函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωφωφ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()f x 的取值范围是( )A. 3322⎡-⎢⎣⎦B. 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】由图易知： 3753T π46124T πππ=-==，，即2ω=根据最高点，得： 522k πk Z 122ππφ⨯+=+∈，， 2k πk Z 3πφ=-+∈，，又22ππφ-<< ∴3πφ=-;再根据与y 轴的交点，可得： 3sin 32A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， A 1=， ∴()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由7521212636x x πππππ≤≤-≤-≤，，故()f x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：D点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1) max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()2:20E y px p =>的准线分别交于,A B两点，若抛物线E 的焦点为F ，且0FA FB ⋅=，则双曲线C 的离心率为( )2【答案】D【解析】∵双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，∴双曲线的渐近线方程是y =ba±x 又抛物线()2:20E y px p =>的准线方程是x =−p 2， p 02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A ,B 两点的纵坐标分别是y =pb 2a ±， pb 2FA p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，， pb 2FB p a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又0FA FB ⋅=，∴222204p b p a-=，即224b a =， 2222245c a a c a -==，， e =故选：D11．三棱锥A BCD -的一条长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为( ) A.53π B. 54π C. 56π D. 58π 【答案】A【解析】不妨设a BC =底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD 与面ABD 垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为a ，其余棱长均为1，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径22231325113312R π⎫⎫=⨯+⨯=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S=254π3R π=； 故选A ．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 12．已知方程213ln 022x mx -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A. 20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 20,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (20,e ⎤⎦D. ()20,e 【答案】D【解析】由213ln 022x mx -+=，得mx 2=2ln x +3， ∵x ≠0，∴方程等价为232ln m 22x x +=， 设f （x ）=232ln 2x x+，则函数f （x ）是偶函数， 当x ＞0时，f （x ）=232ln 2x x+， 则f ′（x ）=()42x 1lnx x -+，由f ′（x ）＞0得﹣2x （1+lnx ）＞0，得1+lnx ＜0，即lnx ＜﹣1，得0＜x ＜1e，此时函数单调递增， 由f ′（x ）＜0得﹣2x （1+lnx ）＜0，得1+lnx ＞0，即lnx ＞﹣1，得x ＞1e，此时函数单调递减，即当x ＞0时，x=1e 时，函数f （x ）取得极大值f （1e ）=213ln21e e +⎛⎫⎪⎝⎭=22e， 作出函数f （x ）的图象如图：要使232ln m 22x x +=，有4个不同的解，即y=m 2与f （x ）=232ln 2x x+有四个不同的交点，则满足0＜m 2＜22e ，故答案为： ()20,e点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．若平面向量a 与b 的夹角为090， ()2,0,1a b ==,则2a b +=__________． 【答案】2 【解析】()()()222222a b a b a b+=+=+=4422+=.故答案为： 2214．已知实数,x y 满足不等式组10{0 2x y x y x y m+-≥-≤+≤，且2z y x =-的最小值为2-，则实数m =__________．【答案】6【解析】做出可行域：当直线2z y x =+经过B 点时， 2z y x =-的最小值为2-.此时B 33m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，即2233m m -=-，即6m = 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，如图结构是戴九履一，左三右七，二匹为肩，六八为足,以五居中，洛书中蕴含的规律奥妙无穷，比如：222222492816++=++，据此你能得到类似等式是__________．【答案】222222438276++=++ 【解析】根据题意得：，即有222222492816.++=++ 又可得到222222438276++=++16．已知数列{}n a 满足()()11110,2121n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++≠---=-+⋅，且113a =，则数列{}n a 的通项公式n a =__________． 【答案】12n + 【解析】∵()()11110,2121n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++≠---=-+⋅ 两边同除以1n n a a +⋅，得：()()1112121111n n n nn na a a a a a +++---=-+， 整理，得：1111n na a +-=，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列. ()13112n n n a =+-⨯=+,即12n a n =+.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知cos cos b aB A-=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆的面积S 的最大值； 【答案】（Ⅰ）4A π=（Ⅱ） 1.S ≤【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化边为角，利用两角和正弦公式可得结果；（2）利用余弦定理以及均值不等式求ABC ∆的面积S 的最大值.试题解析：（Ⅰ）由cos cos b a B A -=，及正弦定理可得sin sin cos cos B C AB A-+=,()sin cos cos sin cos cos sin B A C A A B C A A B -==+cos sin C A C =，又sin 0C ≠，所以cos 2A =, 故4A π=.（Ⅱ）由余弦定理及（Ⅰ）得，2222242cos4a b c bc b c π==+-=+，由基本不等式得：(42bc ≥,当且仅当b c =时等号成立，所以()22222bc ≤=+-所以()112sin 2222 1.222S bc A =≤⨯+⨯=+ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 1D D ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，01160,3,2,,BAD DD CF FC E G ∠===分别是AB 和DF 的中点，（Ⅰ）求证: CG ⊥平面DEF ； （Ⅱ）求二面角1A DE F --的余弦值；【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）55【解析】试题分析：(1)在△ADE 中，利用余弦定理易得： DE AB ⊥，即DE DC ⊥，又平面11CDD C ⊥底面ABCD ，所以DE ⊥平面11CDD C ，故DE CG CG DF ⊥⊥，易得，得CG ⊥平面DEF ；（2）以点D 为坐标原点，分别以1,,DE DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， ()0,1,1CG =-是平面DEF 的一个法向量， ()0,3,1n =是平面1A DE 的一个法向量， 5cos ,5CG n CG n CG n⋅==-. 试题解析：（Ⅰ）证明：由012,1,602DA AE AB BAD ===∠=，结合余弦定理可得2223,DE DA AE DE ==+，所以,.DE AB DE DC ⊥⊥因为1D D⊥底面ABCD，所以平面11CDD C⊥底面.ABCD又平面11CDD C⋂底面ABCD CD=，所以DE⊥平面11CDD C,因为CG⊂平面11CDD C，所以.DE CG⊥ --------①由112,3CF FC CC==，得2.CF CD==因为点G是DF的中点，所以.CG DF⊥ --------②由①②，得CG⊥平面.DEF（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,,DE DC DD两两垂直，以点D为坐标原点，分别以1,,DE DC DD所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，())()()()0,0,0,3,0,0,0,2,0,0,2,2,0,1,1,D E C F G)()()13,1,3,3,0,0,3,1,3.A DE DA-==-设(),,n x y z=是平面1A DE的一个法向量，则30330xx y z=∴-+=,取0,3x y==，得()0,3,1n=,显然，()0,1,1CG=-是平面DEF的一个法向量，5cos,.CG nCG nCG n⋅==-由图可以看出二面角1A DE F--5点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19．某投资公司现提供两种一年期投资理财方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股获利不赔不亏损购买基金获利不赔不亏损市 40% 赚20%20% 赚10%概率p121838概率pm13n（Ⅰ）甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”，若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于45，求m 的取值范围； （Ⅱ）若12m =，某人现有10万元资金，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择出一种，那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大.【答案】（Ⅰ）32.53m <≤（Ⅱ）应选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大 【解析】试题分析：（ I ）设事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，则C AB AB AB =⋃⋃，其中A ，B 相互独立．利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率． （ II ）假设此人选择“投资股市”，记ξ为盈利金额（单位万元），可得ξ的分布列为．假设此人选择“购买基金”，记η为盈利金额（单位万元），可得η的分布列，计算即可比较出大小关系． 试题解析：（Ⅰ）设事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，则C AB AB AB =⋃⋃，其中,A B 相互独立， 因为()()1,2P A P B m ==，则()()()()P C P AB P AB P AB =++，即 ()()()11111112222P C m m m m ⎛⎫=-+-+=+ ⎪⎝⎭,由()14125m +>解得35m >； 又因为113m n ++=且0n ≥，所以23m ≤，故32.53m <≤， （Ⅱ）假设此人选择“投资股市”，记ξ为盈利金额（单位万元），则ξ的分布列为：则1135402.2884E ξ=⨯+⨯-⨯= 假设此人选择“购买基金”，记η为盈利金额（单位万元），则η的分布列为：则1115201.2366E η=⨯+⨯-⨯= 因为5546>，即E E ξη>，所以应选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大. 20．已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0,A M 为圆上一动点，线段MA 的垂直平分线交线段MC 于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ； （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若经过()0,2F 的直线L 交曲线于不同的两点,G H ，（点G 在点F , H 之间），且满足35FG FH =，求直线L 的方程.【答案】（Ⅰ）22 1.2x y +=（Ⅱ） 2.y =+ 【解析】试题分析：(1) NP 是线段AM 的垂直平分线， NA NM=，.NC NM NC NA NC NM AC +=+=+=>由椭圆定义得轨迹方程；（2）设直线GH 的方程为：2y kx =+，联立方程得：2214302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，2121222343,,11222k k x x x x k k >+=-⋅=++，由35FG FH =,得1235x x =，巧借韦达定理建立k 的方程，解之即可.试题解析：（Ⅰ）设点N 的坐标为(),x y ，NP 是线段AM 的垂直平分线， NA NM =,又点N 在CM 上，圆()22:18C x y ++=，半径是r =.NC NM NC NA NC NM AC ∴+=+=+=∴点N 的轨迹是以,A C 为焦点的椭圆，设其方程为()2222:10x y a b a b +=>>，则22221, 1.a a c b a c ====-=∴曲线E 方程： 22 1.2x y +=（Ⅱ）设()()1122,,,,G x y H x y当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为： 2y kx =+,222{ 12y kx x y =+∴+=,整理得： 2214302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭,由0∆>，解得： 2121222343,,.11222k k x x x x k k >+=-⋅=++ ------①又()()1122,,2,,,2FG x y FH x y =-=-,由35FG FH =,得1235x x =，结合①得 22235651212k k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，即2322k =>,解得k =∴直线l的方程为： 2y =+,当直线GH 斜率不存在时，直线l 的方程为10,3x FG FH ==与35FG FH =矛盾.∴直线l 的方程为： 2.y =+21．已知函数()2ln 22,.22a a f x x x x a R ⎛⎫=+-++∈ ⎪⎝⎭（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若[)1,x ∈+∞时，函数()f x 的最小值为0，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）210x y +-=（Ⅱ）[)2,+∞ 【解析】试题分析：(1)求出导函数，得到()()11,102f f '=-=，利用点斜式得到切线方程；（2）分类讨论函数()f x 的单调性，明确最小值，从而得到a 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）当1a =时， ()()21515ln 2,,222f x x x x f x x x =+-+=+-'()()11,10.2f f '=-=所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()1012y x -=--， 即210x y +-=.（Ⅱ）()()()()224222112222ax a x ax x a f x ax x x x -++-'-⎛⎫=+-+==⎪⎝⎭， 当0a =时， ()()22102x f x x-'-=<，所以函数在[)1,+∞上为减函数，而()10f =，故此时不符合题意；当0a <时，任意[)1,x ∈+∞都有()0f x '<，所以函数在[)1,+∞上为减函数，而()10f =， 故此时不符合题意；当02a <<时，由()0f x '=得12x =或21x a =>， 21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<，所以函数在[)1,+∞上为减函数，而()10f =，故此时不符合题意； 当2a ≥时， ()()()22102ax x f x x'--=≥此时函数在[)1,+∞上为增函数，所以()()10f x f ≥=，即函数的最小值为0，符合题意， 综上a 的取值范围是[)2,+∞. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2tx y t=-=-，（ t 为参数），在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin .ρθ= （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点()0,1A ，若点P 是直线l 上一动点，过点P 作曲线C 的两条切线，切点分别为,M N ，求四边形AMPN 面积的最小值.【答案】（Ⅰ）2220x y y +-=（Ⅱ）2【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，可得直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）利用切线的几何性质，将四边形AMPN 面积为直角三角形的面积问题. 试题解析：（Ⅰ）由y t =-得t y -=，代入22tx =-化简得240x y --=， 因为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=， 又因为{x cos y sin ρθρθ==，所以2220x y y +-=所以直线l 的普通方程为240x y --=，曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=； （Ⅱ）将2220x y y +-=化为()2211x y +-=，得点A 恰为该圆的圆心.设四边形AMPN 的面积为S，则S PM r r =⋅==PA 最小时， S 最小，而PA 的最小值为点A 到直线l的距离d ==所以min 2.S ===23．选修4-5：不等式选讲已知不等式2112x x -+-<的解集为.M （Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）若整数m M ∈，正数,,a b c 满足42a b c m ++=，证明：1118.a b c++≥ 【答案】（Ⅰ）4|0 .3M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（1）利用零点分段法易得()3211f {1 21322x x x x x x x -≥=≤<-+<，，，，然后分段求解即可；（2）由（1）知， 42a b c ++=，巧用“1”得()111111142a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式即可证明不等式.试题解析：（Ⅰ）①当1x ≥时，原不等式等价于2112x x -+-<，解得43x <，所以413x ≤<； ②当112x ≤<时，原不等式等价于2112x x -+-<，解得2x <，所以112x ≤<；③当12x <时，原不等式等价于1212x x -+-<，解得0x >，所以10.2x <<综上， 403x <<，即4|0 3M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）因为4|0 3M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，整数m M ∈,所以42a b c ++= 所以()11111111444422a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫++=++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14416622b a c a c b a b a c b c ⎛⎛⎫=++++++≥+ ⎪ ⎝⎭⎝ ()1624482=+++= 当且仅当2a b c == 时，等号成立，所以1118a b c ++≥点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。