微分方程教案12页word
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)1. 引言本教案旨在介绍微分方程和常微分方程的基本概念和解法方法，帮助学生理解和掌握微分方程的应用。
微分方程作为数学中重要的研究领域之一，具有广泛的应用背景，在物理、经济、工程等领域中都有着重要的作用。
通过本教案的研究，学生将能够理解微分方程的意义和解题方法，为进一步研究高级数学和应用数学打下坚实的基础。
2. 微分方程的概念与分类2.1 微分方程的定义微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
它可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
2.2 常微分方程的分类常微分方程是指只包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类，其中一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程和恰当方程等；高阶常微分方程包括二阶和以上阶数的常微分方程。
3. 常见的微分方程解法3.1 可分离变量方程的解法可分离变量方程是一类形如 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x)$、$N(y)$、$P(x)$、$Q(y)$ 是关于$x$ 或 $y$ 的函数。
可分离变量方程可以通过对方程进行变形和变量分离的方法求解。
3.2 线性方程的解法线性方程是一类形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的一阶常微分方程，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。
线性方程可以通过求解定积分和应用特解的方法求解。
3.3 恰当方程的解法恰当方程是一类形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x,y)$、$N(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，并且满足 $\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}$。
恰当方程可以通过利用积分因子的方法求解。
4. 实际应用案例分析本节将通过介绍一些实际应用案例，展示微分方程在物理、经济和工程等领域的应用。
大学数学教案-微分方程的求解方法
大学数学教案-微分方程的求解方法
一、引言
微分方程是数学中经典且重要的研究领域之一。
在科学和工程等各个领域中，微分方程都扮演着重要的角色。
本教案将介绍微分方程的基本概念，并详细讨论了常见的求解方法。
二、微分方程概述
1.微分方程的定义和基本性质
2.微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程
3.初值问题和边值问题
三、常见求解方法
1. 可分离变量法
•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
2. 齐次线性微分方程法
•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
3. Bernoulli 方程法
•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
4. 线性高阶非齐次线性微分方程法（特征根法）•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
5. 其他常见方法介绍
•积分因子法
•变量替换法
•Laplace 变换法
四、数值解法
1.欧拉方法
2.改进的欧拉方法（改进的欧拉公式）
3.二阶龙格库塔法（RK2）
4.四阶龙格库塔法（RK4）
五、应用举例
1.常微分方程应用实例
•天体运动问题
•放射性衰变问题
2.偏微分方程应用实例
•热传导方程问题
•波动方程问题
六、总结与展望
本教案详细介绍了微分方程的基本概念和常见求解方法，并给出了数值解法和具体应用实例。
微分方程是一门重要而广泛应用的学科，通过学习该课题能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。
未来，随着科技的发展，微分方程研究将会得到更多的突破。
注：以上内容仅供参考，请根据具体需要进行补充和修改。
常微分方程可降阶的高阶微分方程学习教案
第19页/共35页
20 第二十页，共36页。
4 、可降阶的高阶方程(fāngchéng)
例１、 追线问题(wèntí)
的应用举例
在 Ox
轴上有一点P以常速度a沿着
正向移动;在
平面上另有一点M,它以常
xoy
轴
Ox
速度v 运动，方向永远指向P点,求M点的运动轨迹.
解: 首先我们建立点M运动时所满足的微分
y 1, x0
y
1
的特解是
x0 2
或
y x 1 y2 x 1
解 d ( yy) 0
dx
故 有 yy C1
由y
x0
1,
y
x0
1 2
C1
1 2
即
yy 1 2
y2 x
可分离(fēnlí)变量方程
2 2 C2
由y x0
1
C2
1 2
y2
x1
第15页/共35页
16 第十六页，共36页。
使该
xp( x) p( x) 0
可分离变量(biànliàng)方程
1
1
分离变量(biànliàng)并积分
dp pdx x来自得lnp
ln
x
ln C1
ln
C1 x
即p C1 , 即f ( x) C1 ,
再积分(j īfē n),得
x
x
f
( x)dx
C1 dx, x
f ( x) C1 ln x C2 即为所求.
若能求得其通解(tōngjiě)为:
y (t, c1, c2,cnk ) 即 x(k) (t, c1, c2 ,cnk )
对上式进行(jìnxíng)k 次积分,可求出方程的解.
高中数学教案微分方程
高中数学教案微分方程微分方程教案高中数学教案摘要：本教案主要介绍微分方程的基本概念、求解方法和应用，并设计了相关的教学活动和练习。
教学目标：1.了解微分方程的概念与分类，并理解微分方程的意义。
2.能够运用常微分方程的解法，解决简单的微分方程问题。
3.了解微分方程在实际问题中的应用，并能够将数学知识与实际问题相结合，解决实际问题。
教学重点：1.微分方程的概念与分类。
2.常微分方程的解法。
3.微分方程在实际问题中的应用。
教学难点：1.应用题中的问题分析和建立微分方程的能力。
2.求解复杂微分方程的能力。
教学准备：1.教师：PPT课件、教案、多媒体设备。
2.学生：教材、笔记本、计算器。
教学过程：一、导入（约5分钟）教师通过给学生出示一些实际问题，引发学生对微分方程的思考，激发学生的学习兴趣。
例如：一辆汽车在某段路程上的速度是多少？一杯冷水从什么温度下降到什么温度需要多长时间？二、知识讲解（约25分钟）1.微分方程的概念与分类（10分钟）教师结合多媒体展示，详细介绍微分方程的定义和分类，包括常微分方程和偏微分方程的区别，以及一阶、二阶微分方程等。
2.常微分方程的解法（15分钟）教师重点讲解常微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等，并通过示例演示每种方法的具体步骤和应用场景。
三、教学活动（约15分钟）1.小组讨论（10分钟）将学生分成小组，让他们根据所学的知识，自行应用解题方法解决教师提供的实际问题。
鼓励学生自主思考、合作探讨，培养学生的问题解决能力和团队精神。
2.展示与总结（5分钟）请每个小组派代表展示解题过程和结果，并让其他小组评价和提问。
教师及时纠正错误，总结解题思路和方法。
四、知识拓展（约20分钟）教师通过讲解微分方程在实际问题中的应用，如放射性衰变问题、人口增长问题等，引导学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生应用数学解决实际问题的思维能力。
五、教学总结（约5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并展示一些典型的习题，让学生巩固所学知识。
微分方程讲义
( x ) ，得
g ( y )dy f ( x )dx
设 G ( y ) 及 F ( x ) 依次为 g ( y ) 及
f ( x ) 的原函数，于是有
G( y) F ( x) c
因此，方程的解满足关系式。 反之，如果 y 数的直接求导法有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x ) 是式所确定的隐函数，那未在 g ( y ) 0 的条件下，据隐函
y x2 c
但是，并非所有的一阶微分方程都能这样求解。 例如，对于一阶微分方程
dy 2 xy 2 dx
就不能直接两端取积分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函数，积分 出来。为了解决这个困难，在方程的两端同乘以
2 2 xy dx 求不
dx y
2
，使方程变为
dy y
2
2 xdx
这样，变量 y 与 x 被分离在等式的两端，然后两端积分得
2 y 2c1e x 2c2 e x 2c2 xe x y c1e x 2c2 e x c2 xe x
显然 y 故
2 y y 0
是微分方程的解。因 c1 ,
y c1e x c2 xe x
c2 是相互独立的两个任意常数，而微
分方程的阶数是二阶的，故它微分方程的通解。
dy 2x dx
此外未知函数 yy(x)还应满足下列条件 x1 时y2简记为 y|x12 把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解)
(1)
(2)
y 2 xdx 即 yx2C
其中 C 是任意常数 把条件“x1 时y2”代入(3)式得
(3)
微分方程教案范文
微分方程教案范文教学目标：1.了解微分方程的概念和基本形式；2.掌握一阶和二阶微分方程的解法；3.学会应用微分方程解决实际问题；4.提高学生的问题分析与解决能力。
教学重难点：1.理解微分方程的概念和基本形式；2.掌握微分方程的解法；3.能够运用微分方程解决实际问题。
教学准备：1.教师准备好黑板、粉笔、教学投影仪等教学工具；2.准备一些微分方程的例题及对应的解法。
教学过程：第一节：微分方程的概念和基本形式1.教师介绍微分方程的定义和基本概念，强调微分方程与导数的关系；2.通过实际例子，引导学生理解微分方程的意义；3. 教师讲解微分方程的基本形式：dy/dx = f(x)，d²y/dx² = f(x)等。
第二节：一阶微分方程的解法1.教师介绍一阶微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。
第三节：二阶微分方程的解法1.教师介绍二阶微分方程的解法：特征方程法、变量分离法、待定系数法等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。
第四节：应用微分方程解决实际问题1.教师讲解如何应用微分方程解决实际问题；2.通过例题演示，指导学生如何建立微分方程模型；3.强调解的意义和结果的合理性。
教学方法与手段：1.讲授与演示相结合的方法，通过例题讲解，帮助学生理解微分方程的解法；2.提问与解答相结合的方法，引导学生思考与分析问题，培养问题解决能力；3.实例分析与模型建立相结合的方法，通过实际问题的讲解，培养学生应用微分方程解决实际问题的能力。
课堂练习与讨论：1.在课程的每个环节，教师都设置一些习题，进行课堂练习；2.学生之间可进行小组讨论和交流，提高问题解决的思路和方法。
课堂总结与作业布置：1.教师对本节课的重点和难点进行总结；2.布置相关作业，要求学生自主思考和解决问题；3.鼓励学生积极参加学术竞赛和科研活动，提升对微分方程的理解和应用能力。
04第四讲_微分方程word精品文档12页
第四讲 微分方程考纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =，(,)y f x y '''=和(,)y f y y '''=.5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.问题1 何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分方程的积分曲线？答 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件. 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解. 初值问题（Cauchy 问题）：微分方程连同初始条件. 一阶微分方程初值问题：(,,)0F x y y '=，00()y x y =.二阶微分方程初值问题：(,,,)0F x y y y '''=，00()y x y =，00()y x y ''=. 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.问题2 如何求解一阶微分方程？答 一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y '=，解出y '：(,)dyf x y dx=，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.1可分离变量的微分方程：()()dyg x h y dx= 解法 分离变量：()()dy g x dx h y =；两端积分：()()dyg x dx h y =⎰⎰. 2 齐次微分方程：dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法 令y u x =，则y xu =，dy du u x dx dx =+，代入方程，得()duu x u dxϕ+=并求解.3 一阶线性微分方程：()()dyP x y Q x dx+= 若()0Q x ≡，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法） 先解对应齐次线性微分方程()0dyP x y dx+=，求得通解()P x dx y Ce -⎰=； 再令非齐次线性微分方程的解为()()P x dxy C x e -⎰=，代入方程求出()C x .通解公式：()()(())P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ 解的结构：一阶非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的特解.4 伯努利方程：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠.（与一阶线性微分方程比较）解法 方程两边乘以y α-，再令1z y α-=，将方程化为一阶线性微分方程.求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 例 求解下列一阶方程：1.y y x y x +-='22 【C x xy x +=>ln arcsin ,0】 2.)ln (ln x y y y x -=' 【1+=Cx xe y 】3.e e y y x dxdyxy2)(,22=+= 【2ln 2+=x x y 】 4.1)0(,0)cos 2()1(2==-+-y dx x xy dy x 【11sin 2--=x x y 】5.02)(3=--ydx dy y x 【y C y x +-=351】6.ln dy y dx y x=- 7.0)2(2=+-xdy dx y xy 【Cx xy +=2】 问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？答 二阶微分方程(,,,)0F x y y y '''=，解出(,,)y f x y y '''=，考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法：1. ()y f x ''=、()()n y f x =型的微分方程 特点：右端仅含x . 解法：积分两次.2. (,)y f x y '''=型的微分方程 特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '=（这是关于变量x ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 3.(,)y f y y '''=型的微分方程 特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===，方程化为(,)dpp f y p dy=（这是关于变量y ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 例1. 解方程20yy y '''-=.【12C x y C e =】2.求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.3.求初值问题221,(1)1,(1)1yy y y y ''''=+==-的解. 解 令y p '=，则dp dp dy dpy p dx dy dx dy''===， 方程化为221dp ypp dy =+，分离变量，得221pdp dy p y=+，两边积分，得 21ln(1)ln ln p y C +=+，即211p C y +=.将初始条件1,1,1x y y p '====-代入，得12C =，故212p y +=，解得p =p =.再解y '=dx =-，两边积分，得2x C =-+，将初始条件1,1x y ==代入，得22C =，2x =-，即21(45)2y x x =-+.注意 二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.问题4 叙述二阶线性微分方程解的性质、解的结构. 答 二阶线性微分方程的一般形式：()()()y P x y Q x y f x '''++= 若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.线性微分方程解的性质⑴如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的解.⑵如果1y 与2y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的两个解，则12y y -是对应齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的解.⑶（解的叠加原理）设*k y 是线性方程()()()k y P x y Q x y f x '''++=的特解，则*1n k k y =∑是1()()()nk k y P x y Q x y f x ='''++=∑的特解.2线性微分方程解的结构定理1（齐次方程解的结构）如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性无关的特解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的通解.定理2（非齐次方程解的结构）设*y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解，1122y C y C y =+是对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解，则*1122y y C y C y =++是此非齐次方程的通解.例 设123,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个线性无关的解，则其通解为 .【1121231()()y C y y C y y +-+-】问题5 如何求解二阶常系数线性齐次方程0y py qy '''++=？答 先求出它的特征方程20r pr q ++=的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.特征方程20r pr q ++=的根 方程0y py qy '''++=的通解 两个不等实根12,r r 1212e e r x r x y C C =+两个相等实根12r r = 112()e r x y C C x =+两个共轭复根1,2r i αβ=± 12e [cos sin ]x y C x C x αββ=+ 问题6 如何求二阶常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解？答 考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解.1.若()()e x m f x P x λ=，则令*()e k x m y x Q x λ=，其中0,12k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是特征根；，是单特征根；，是二重特征根.2.若()e [()cos ()sin ]x m l f x P x x P x x λωω=+，则令**e [()cos ()sin ]k x n n y x Q x x Q x x λωω=+，其中{}max ,n m l =，0,1i k i λωλω+⎧=⎨+⎩不是特征根；，是单特征根.将它们代入非齐次方程，求出多项式中的待定系数，从而求出特解. 例1.求022=-'-''x e y y 满足1)0(,1)0(='=y y 的解.【x e x y 2)21(4143++=】 2.求x x y y cos +=+''的通解.【x x x x C x C y sin 21sin cos 21+++=】3.x x y y sin 12++=+''的特解形式可设为 . 问题7 如何求解欧拉方程2()x y pxy qy f x '''++=？ 答 令t x e =，则dy xy Dy dt'==， 222(1)d y dyx y D D y dt dt''=-=-，欧拉方程化为二阶常系数线性方程.例 欧拉方程)0(0242>=+'+''x y y x y x 的通解为 .【221x C x C y +=】 问题8 如何求解含变限积分的方程（积分方程）？答 积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限）.例1.设⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(，)(x f 为连续函数，求)(x f . 解 00()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，⑴ 两边对求导，得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰，⑵两边再对求导，得()sin ()f x x f x ''=--，故)(x f 满足微分方程sin y y x ''+=-，由⑴，⑵得初始条件(0)0,(0)1f f '==.2.函数)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足等式01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰， 求()f x '.【e ()1xf x x -'=-+】解 由01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰，得 ()1f x '=-，(1)()(1)()()0xx f x x f x f t dt '+++-=⎰，()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=， (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=，令()f x p '=，(1)(2)0dpx x p dx+++=，21dp x dx p x +=-+， ln ln(1)ln p x x C =--++，即e ()1xC p f x x -'==+， 又()1f x '=-，得1C =-，故e ()1xf x x -'=-+.问题9 如何用微分方程求解应用问题？ 答 关键是建立微分方程（包括初始条件）. 例题3 应用题1.设)(x f y =是第一象限连接)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求)(x f 的表达式.【2)1()(-=x x f 】2.设位于第一象限的曲线()y f x =过点1)22，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.⑴求曲线()y f x =的方程；（2221x y +=）⑵已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示()y f x =的弧长s .【4l 】 解 ⑴曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'， 令0X = ，得x Y y y =+'，故点Q 的坐标为(0,)x y y +'. 由题设知，0xy y y ++='，即20xdx ydy +=，解得222x y C +=，将1)22代入上式，得1C =，故曲线()y f x =的方程为2221x y +=. ⑵曲线sin y x =在[0,]π上的弧长2022l πππ-===⎰⎰⎰，()y f x =的参数方程为cos ,,2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩弧长s θ==⎰.4===⎰. 3.设)(x f 在[1,)+∞上连续，若由曲线()y f x =，直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为2()[()(1)]3V t t f t f π=-，求()y f x =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229x y ==的解.【2232x y y xy '=-；3(1)1xy x x=≥+】 4.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆的水平速度为700km/h 经测试，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【1.05km 】解 【利用22dv d sF ma m m dt dt===建立方程，关键是受力分析】质量9000kg m =，水平速度()v v t =，(0)700km/h v =，飞机所受的总阻力f kv =-，依题意dv kv mdt -=，dv k dt v m =-，两边积分，得ln ln kv t C m=-+，即ekt mv C -=，将(0)700v =代入上式，得700C =，故700ekt mv -=，飞机滑行的最长距离000700()700e e 1.05k k t t mmms v t dt dt k+∞--+∞+∞===-=⎰⎰（km ）问题10（数学三） 何谓差分、差分方程、差分方程的阶？如何求解一阶常系数线性差分方程？答 函数()t y f t =的差分1t t t y y y +∆=-.二阶差分2121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=-+. 差分方程：含有差分的等式. 差分方程的阶：下标差的最大值.第 58 页 求解一阶常系数线性差分方程1()t t y py f t +-=的步骤是：⑴先求对应齐次方程10t t y py +-=通解：求出特征方程0r p -=的根r p =，10t t y py +-=通解为t t y Cp =，⑵再求非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=的特解*()k t t m y t Q t b =，0,1,b p k b p ≠⎧=⎨=⎩⑶非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=通解为*t t t y Cp y =+，例1.设,2t y t =则差分=∆t y .【21t +】2.设t t a y =则差分=∆t y .【(1)t a a -】3.差分方程t t t t y y 21=-+的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】4.差分方程1t t y y t +-=的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】5.差分方程051021=-++t y y t t 的通解为 .【51(5)()126t t y C t =-+-】 6.某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额，则t W 满足的差分方程是 .【1 1.22t t W W +=+】希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
微分方程教案12页word
微分⽅程教案12页word微分⽅程的基本概念引⾔⼤家知道：⾼等数学的主要研究对象是函数，我们在前⾯的学习中，对于给定的函数()f x ，进⾏了微分运算和积分运算，那么函数⼜是如何得到的呢？我们可以对实验中得到的数据进⾏处理，从中发现规律得到函数，也就是采⽤数据拟合的⽅法。
然⽽有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，⽐如：我们的新型战机——歼⼆⼗战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。
寻找这些问题中变量之间函数关系的⽅法有很多，我们来介绍其中的⼀种——利⽤微分⽅程求解函数关系。
为此今天我们来学习微分⽅程的基本概念。
下⾯我们从⼀张图⽚开始来认识他们。
⼀、问题的提出我们注意到：歼—⼆⼗战机下降滑跑时，在跑道上会滑⾏⼀段距离。
因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑⾏跑道满⾜什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？那么，当机场跑道不⾜时，对它的着陆速度⼜有什么样的要求呢？对此，我们把它抽象成⼀般的数学问题：战机的安全着陆问题。
案例1 (战机的安全着陆) 我国新型战机——歼⼆⼗，质量为m ，以速度0v 着陆降落时，减速伞对飞机的阻⼒作⽤与降落时的速度成正⽐，此外飞机还受到另⼀个与时间成正⽐的阻⼒作⽤，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离⼩于跑道的长度。
对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进⾏分析,结合前⾯我们所学习的微分学知识以及⽜顿第⼆定律，这样便可建⽴运动⽅程。
解：设飞机质量为m ，着陆速度为0v ，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为()x t ，飞机的速度为()v t ，减速伞的阻⼒为()kv t ，其中k 为阻⼒系数。
根据⽜顿第⼆定律可得运动⽅程()dv m kv t kt dt =--，()dx v t dt= 从这个例⼦中，将这些等式和中学⾥我们所学的代数⽅程形式做⽐较，你有什么发现？⼆、微分⽅程的基本概念1、定义通过⽐较代数⽅程与微分⽅程，从代数⽅程的定义（含有未知量的等式）得到：含有未知函数的导数或微分的⽅程称为常微分⽅程，简称为微分⽅程，记为()(,,,,)0'=n F x y y y 。
《计算机应用数学》教案第7章 微分方程
《计算机应用数学》教案教学过程：一、知识回顾微分的概念和求不定积分和定积分的方法.二、新课导入引例 某市磁悬浮列车在直线轨道上，以120/m s 的速度行驶，制动获得的加速度为23/ms-，求开始制动后列车的运动方程.解： 设开始制动后列车的运动方程为()s f t =，则该列车的速度为d s d t，加速度为22d s d t.从而，()sf t =应满足方程223d s d t=-，同时，还应满足条件0120t d s d t==，0t s==.对223d s d t=-两端关于t 积分，得13d s t C d t=-+，对13d s t C d t=-+两端关于t 积分，得 21232s t C t C =-++（其中1C 和2C 为任意常数）. 将条件120t d s d t==，0t s ==分别代入13d s t C d t=-+和21232st C t C =-++，得1120C =，2C =.所以，开始制动后列车的运动方程是231202st t=-+.三、新课内容1、微分方程的概念定义7.1 含有未知函数导数（或微分）的方程，称为微分方程.定义7.2 微分方程中未知函数导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶.定义7.3 能使微分方程成为恒等关系式的函数，称为微分方程的解.定义7.4 若微分方程的解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解.定义7.5 用来确定通解中任意常数的条件，称为微分方程的初始条件（也称初值条件）.定义7.6 满足给定初始条件的解（即不含任意常数的解），称为微分方程的特解.定义7.7 微分方程的特解的几何图形对应于平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线，而其通解的几何图形对应于平面上无数多条积分曲线，称为微分方程的积分曲线簇.2、可分离变量的微分方程定义7.8 形如(,)y f x y '=的微分方程，称为一阶微分方程，根据方程(,)y f x y '=的不同特点，本节介绍三种类型的一阶微分方程及其解法.定义7.9 形如()()d y f x g y d x=⋅的微分方程，称为可分离变量的微分方程，其特点是x 与y 两个变量可分离写成两个变量的函数()f x 和()g y 的乘积.可分离变量的微分方程的解法： 第一步：分离变量，得()()d y f x d xg y = （其中()g y ≠）；第二步：两边积分，得()()d y f x d xg y =⎰⎰；第三步：求出积分，得()()G y F x C=+ （其中()G y 、()F x 分别是1()g y 、()f x 的原函数，C 为任意常数）.【例题精讲】例1 验证函数2y C x=（C 为任意常数）是微分方程2x y y'=的解.解：由2x y y'=，得20x y y '-=，将函数2yC x=代入微分方程20x y y '-=，得22222()2()220x y y x C x C x C x C x''-=-=-=，所以，函数2yC x=（C 为任意常数）是微分方程2x y y'=的解.例2 验证函数21(1)2yxe e=+是微分方程2x yy e-'=的解.解：因为所给函数是隐函数，将21(1)2yxe e=+两边对x 求导，得2yxe y e'=，即2x yy e-'=，所以，函数21(1)2yxe e=+是微分方程2x yy e-'=的解.例3 求微分方程2y x y'=的通解.解：将该微分方程变形为2d y x yd x=， 分离变量，得2d y x d xy=，两边积分，得 2x d xy=⎰⎰，即21lny x C =+，整理，得 2222111,x C CC xxxy ee e y e eC e+===±=（令1C Ce=±）， 所以，该微分方程的通解为2xyC e=.（此通解中含有分离变量时丢失的解0y=）例4 求微分方程22(1)(1)0x y d x y x d y +-+=的通解. 解：分离变量，得2211y x d y d xyx=++，两边积分，得 2211y x d y d xyx=++⎰⎰，即22111ln (1)ln (1)22y x C +=++.由于积分后出现对数函数，因此为了便于利用对数运算性质来化简结果，可将任意常数1C 表示为1ln 2C，即22111ln (1)ln (1)ln 222y x C+=++ （0C>），化简，得 221(1)yC x +=+，所以，该微分方程的通解为221(1)yC x +=+.【课堂练习】例1 一条曲线通过点(2,3), 且在该曲线上任一点(,)P x y 处的切线的斜率为2x, 求这条曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()yf x =，则根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足微分方程2d y xd x=（或2d yx d x=），由于曲线过点(2,3)，所以所求曲线还应满足初始条件23x y==，对微分方程两边积分，得2d y x d x =⎰⎰，即2yxC=+，将初始条件代入上式，得1C=-，所以，所求的曲线方程为21y x =-.例2 求微分方程22d y y x yd x=+的通解.解：将该微分方程变形为 2(1)d y x yd x=+，分离变量，得2(1)x d xy=+，两边积分，得 2(1)d y x d xy=+⎰⎰，即212xx Cy-=++，整理，得 212xx Cy++=，所以，该微分方程的通解为212xx Cy++=.例3 求微分方程x yd y ed x+=满足初始条件00x y==的特解.解：分离变量，得 y xe d y e d x-=，两边积分，得 y xe d y e d x-=⎰⎰，即xye eC-+=，于是该微分方程的通解为 xye eC-+=.将00x y==代入通解，得 2C =，所以，该微分方程的特解为2xye e-+=.【问题思考】如何求解齐次微分方程和一阶线性微分方程呢？ 【知识小结】1、微分方程的概念；2、可分离变量微分方程.【课后作业】习题7-1 1.（1）（3）（5） 2.（2）（4） 习题7-21.（2） 3.（1）（2）（3）（4） 4.（1）（3）四、板书设计《计算机应用数学》教案教学过程：一、知识回顾微分方程的概念和可分离变量微分方程的求法.二、新课导入1、如何求微分方程ln d y y y d xx x=的通解？2、如何求微分方程sin sin y y x x'+=的通解？三、新课内容1、齐次微分方程 定义7.10 形如d yy f d x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的微分方程，称为齐次微分方程，其特点是右边函数的变量为y x的形式.齐次微分方程的解法： 第一步：令y u x=，则yux=，d y d u xud xd x=+；第二步：将d y d u xud xd x=+代入微分方程，得()d u xu f u d x+=；第三步：分离变量，得()d u d x f u ux=-；第四步：两边积分，得()d u d x f u u x=-⎰⎰；第五步：求出积分并回代y u x=，得原微分方程的通解.2、一阶线性微分方程定义7.11 形如()()y P x y Q x '+=的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中()Q x 为自由项.所谓“线性”是指未知函数y 和导数y '都是一次的.当()0Q x =时，方程()0y P x y '+=称为一阶线性齐次微分方程；当()Q x ≠时，方程()()y P x y Q x '+=称为一阶线性非齐次微分方程.下面我们讨论一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法.1）一阶线性齐次微分方程 将()0y P x y '+=变形为()d y P x yd x=-， 分离变量，得()d y P x d xy =-，两边积分，得 ()d y P x d x y=-⎰⎰，即l n ()l n y P xd x C=-+⎰，整理，得 ()P x d xyC e-⎰=（其中C 为任意常数）.这就是一阶线性齐次微分方程的通解公式.2）一阶线性非齐次微分方程 显然，()0y P x y '+=是()()y P x y Q x '+=的特殊情况. 不妨设()0y P x y '+=的通解()P x d xyC e-⎰=中的()CC x =，使()()P x d xyC x e-⎰=成为()()y P x y Q x '+=的通解，则将()()P x d xyC x e-⎰=代入()()y P x y Q x '+=，得()()()()()()()()()P x d x P x d xP x d xC x eC x P x eP x C x eQ x ---⎰⎰⎰'-+=，即 ()()()P x d xC x e Q x -⎰'=，两边积分，得 ()()()P x d xC x Q x ed x C⎰=+⎰，将上式代入()()P x d xyC x e-⎰=，得()()(())P x d xP x d xy eQ x ed x C -⎰⎰=+⎰.【例题精讲】例1 求微分方程ln d y y y d xx x=的通解.解：令y ux=，则yux=，d y d u xud xd x=+，于是原微分方程可化为 ln d u x u u ud x+=， 分离变量，得(ln 1)d u d x u u x=-，两边积分，得 (ln 1)d ud x u u x=-⎰⎰，即1ln (ln 1)ln ux C -=+，整理，得 11ln ln 111x C C u ee x C x+=+=+=+（其中1C Ce=），回代y ux=，得 ln1y C xx=+，即1C xyx e+=，所以，该微分方程的通解为1C xyx e+=.例2 求微分方程22()0y x x y y '+-=的通解.解：将该微分方程变形为2221y d y yx y d xx y xx⎛⎫⎪⎝⎭==--.令y ux=，则yux=，d y d u xud xd x=+，于是原微分方程可化为 21d u uxu d x u +=-，即1d u u xd xu =-，分离变量，得 1(1)d x d u ux-=，两边积分，得 1(1)d x d u ux-=⎰⎰，即ln ln ln u ux C-=+，整理，得 ln ()u C x u =，回代y ux=，得ln ()y C y x=，即y xC y e =，所以，该微分方程的通解为yxC ye=.例3 求微分方程sin sin y y x x'+=的通解.解法一：先求其对应的一阶线性齐次微分方程sin 0y y x '+=的通解.将其变形，得s in d y y xd x=-，分离变量，得s in d y x d xy=-，两边积分，得 s ind y x d xy=-⎰⎰，即1lnc o s y x C =+，整理，得 c o s xy C e =（其中1C C e=），所以，微分方程sin 0y y x '+=的通解为c o s xyC e=.再用常数变易法求一阶线性非齐次微分方程sin sin y y x x'+=的通解.令()CC x =，则cos ()xy C x e=，c o s c o s ()()s in xxy C x eC x e x''=-，将y 和y '代入sin sin y y x x'+=，得c o s c o s c o s ()()s in ()s in s in xxxC x e C x ex C x ex x'-+=，即 c o s ()s in xC x e x'=，两边积分，得 co s co s ()sin x xC x e xd x eC--==+⎰，将上式代入c o s ()xyC x e=，得 c o s 1xyC e=+，所以，微分方程sin sin y y x x'+=的通解为c o s 1xyC e=+.解法二：该微分方程为一阶线性非齐次微分方程，可知()sin P x x=，()s in Q x x=，代入通解公式，得()()(())P x d xP x d xy eQ x ed x C -⎰⎰=+⎰s in s in (s in )x d xx d xex ed x C -⎰⎰=+⎰co s co s (sin )xxexed x C -=+⎰c o s c o s ()xxe e C -=+c o s 1xC e=+.例4 求微分方程sin xy y x'+=的通解.解：将原微分方程变形，得1s in x y y x x'+=，显然这是一阶线性非齐次微分方程，可知1()P x x=，s in ()x Q x x=，代入通解公式，得()()(())P x d xP x d xy eQ x ed x C -⎰⎰=+⎰11s in ()d xd xx x x eed x C x-⎰⎰=+⎰ln ln sin ()xxx e ed x C x-=⋅+⎰1s in ()x x d x C xx=⋅+⎰1(s in )x d x C x =+⎰1(c o s )x C x=-+c o s C x xx=-.【课堂练习】例1 求微分方程ta ny y y x x'=+满足初始条件11x y==的特解.解：将该微分方程变形为 ta nd y y y d xx x=+.令y ux=，则yux=，d y d u xud xd x=+，于是原微分方程可化为 ta n d u x u u u d x +=+，即ta n d u xud x=，分离变量，得 ta n d ud x u x =，两边积分，得 ta n d ud x ux=⎰⎰，即ln sin ln ln ux C=+，整理，得 sin u C x =， 回代y ux=，得 s iny C xx=，将11x y==代入通解，得sin 1C =，所以，该微分方程的特解为s ins in 1y x x=.例2 求微分方程xy y e'-=满足初始条件01x y==的特解.解：该微分方程为一阶线性非齐次微分方程，可知()1P x =-，()xQ x e=，代入通解公式，得()()(())P x d xP x d xy eQ x ed x C -⎰⎰=+⎰()d xd xxee ed x C -⎰⎰=+⎰()xxxe e ed x C -=⋅+⎰()xe d x C =+⎰()xe x C =+.将01x y==代入上式，得1C =，所以，该微分方程的特解为(1)x y e x =+.【问题思考】如何求解二阶常系数线性齐次微分方程呢？ 【知识小结】1、齐次微分方程；2、一阶线性微分方程.【课后作业】习题7-21.（1）2.3.（6）（7）（10）4.（4）（5）四、板书设计《计算机应用数学》教案教学过程：一、知识回顾齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法.二、新课导入引例设有一弹簧的上端固定，下端挂一个质量为m的物体，O点为平衡位置.若在弹性限度内用力将物体向下一拉，随即松开，物体就会在平衡位置O处上下自由振动，忽略物体所受的阻力，并且当物体运动开始时，物体的位置为x，初速度为v，求物体的运动规律.分析：设物体的运动规律为()x x t=，则由胡克定律（弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力f和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即f k x=-，其中k 是物质的弹性系数，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反.），可知弹性恢复力为f k x=-.根据牛顿第二定律，可知22d x mk xd t=-，即220d x k x d tm+=.令2k mω=，则有222d x x d tω+=，另外还应满足初始条件为t xx ==，00t x v ='=.方程2220d x x d tω+=为二阶微分方程，且各项系数均为常数，因此称为二阶常系数线性微分方程.三、新课内容1、二阶常系数线性齐次微分方程的解的结构 定义7.12 形如()y p y q y f x '''++=的微分方程，称为二阶常系数线性微分方程.其中，p 和q 都是常数，()fx 为自由项.所谓“线性”是指未知函数y 和导数y '，y ''都是一次的.当()0f x =时，方程0y p y q y '''++=称为二阶常系数线性齐次微分方程；当()0f x ≠时，方程()y p y q y f x '''++=称为二阶常系数线性非齐次微分方程.定理7.1 若函数1y 和2y 是二阶常系数线性齐次微分方程0y p y q y '''++=的两个解，则1122yC y C y =+（其中1C 和2C 为任意常数）也是该方程的解.定义7.13 若函数1y 和2y 的比值是一个常数，即12y C y =（其中C为非零常数），则称1y 和2y 线性相关；否则，称为线性无关.定理7.2 若函数1y 和2y 是二阶常系数线性齐次微分方程0y p y q y '''++=的两个线性无关的解，则1122y C y C y =+（其中1C 和2C 为任意常数）是该方程的通解.2、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 求二阶常系数线性齐次微分方程0y p y q y '''++=通解的步骤如下：第一步：写出微分方程0y p y q y '''++=的特征方程2r p r q ++=；第二步：求出特征方程的两个特征根1r 和2r ；第三步：根据特征根1r 和2r 的不同情况，根据下表写出方程0y p y q y '''++=通【例题精讲】例1 求微分方程3180y y y '''+-=的通解.解：原方程的特征方程为23180r r +-=，解得特征根为16r =-，23r =，所以，原方程的通解为6312xxyC eC e-=+. 例2 求微分方程440y y y '''++=的特解.解：原方程的特征方程为2440r r ++=，解得特征根为122r r ==-，所以，原方程的通解为212()xyC C x e-=+.例3 求微分方程20y y y '''--=的满足初始条件00x y ==，03x y ='=的特解. 解：原方程的特征方程为220r r --=，解得特征根为11r =-，22r =，所以，原方程的通解为212xxyC eC e-=+，于是2122xxy C eC e-'=-+，将初始条件00x y ==，3x y ='=分别代入y 和y '，得1212023C C C C +=⎧⎨-+=⎩，解得11C =-，21C =，则满足初始条件的特解为2xxy ee-'=-+.例4 求微分方程440y y y '''++=满足初始条件02x y==，00x y ='=的特解. 解：原方程的特征方程为24410r r ++=，解得特征根为1212r r ==-，所以，原方程的通解为1212()xyC C x e-=+，于是11222121()2xxy C eC C x e--'=-+，将初始条件02x y==，0x y ='=分别代入y 和y '，得1212102C C C =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得12C =，21C =，则满足初始条件的特解为12(2)xyx e-=+.【课堂练习】例1 求微分方程250y y y '''-+=的通解.解：原方程的特征方程为2250r r -+=，解得特征根为112r i=+，212r i=-，所以，原方程的通解为12(c o s 2s in 2)xye C x C x =+.例2 求微分方程220y y y '''++=满足初始条件01x y ==，02x y ='=的特解.解：原方程的特征方程为2220r r ++=，解得特征根为11r i=-+，21r i=--，所以，原方程的通解为12(c o s s in )xyeC x C x -=+，于是1221[()s in ()c o s ]xy eC C x C C x -'=-++-，将初始条件01x y==，02x y ='=分别代入y 和y '，得12112C C C =⎧⎨-=⎩，解得11C =，23C =，则满足初始条件的特解为(c o s 3s in )xy ex x -=+.例3 求微分方程4290y y y '''++=满足初始条件00x y ==，015x y ='=的特解.解：原方程的特征方程为24290r r ++=，解得特征根为125r i=-+，125r i=--，所以，原方程的通解为212(c o s 5s in 5)xyeC x C x -=+，于是22121[(52)c o s 5(25)s in 5]xy eC C x C C x -'=--+，将初始条件00x y==，015x y ='=分别代入y 和y '，得12105215C C C =⎧⎨-=⎩，解得10C =，23C =，则满足初始条件的特解为23s in 5xy ex-=.例4 求微分方程250y y ''+=满足初始条件02x y==，05x y ='=的特解.解：原方程的特征方程为2250r +=，解得特征根为15r i=，15r i=-，所以，原方程的通解为12c o s 5s in 5y C x C x=+，于是125s in 55c o s 5y C x C x'=-+，将初始条件02x y==，05x y ='=分别代入y 和y '，得12255C C =⎧⎨=⎩，解得12C =，21C =，则满足初始条件的特解为2co s 5sin 5yx x=+.【问题思考】如何求解二阶常系数线性非齐次微分方程呢？ 【知识小结】1、二阶常系数线性齐次微分方程的解的结构；2、二阶常系数线性齐次微分方程的解法.【课后作业】习题7-3 1.（1）（3）（5） 2.（2）（4）（6）四、板书设计。
(完整word版)常微分方程教案2
河北民族师范学院课程教案
（章节、专题首页）
河北民族师范学院课程教案
（分页）
c c是任意常数
c
()
P x dx
c e⎰
c c
=,。
4)
c
c是任意的常数，整理后
10）
方程（2.9）如果（2.10）中允许
包含在（2.10）中
代回原来的变量，得到原方程的通解为
c c
1,
c c
=
c
c c 是任意的常数
()()dx P x dx P x dx
dx c ce e dx
-⎫
+⎪⎭⎰⎰+ 2.32)
这就是方程(2.28这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法。
实际上常数变易法也是一2.29）可将方程（）化为变量分离方程。
非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和1(1)x n x ++的通解
c
)c c是任意的常数
例2 求方程
解原方程改写为
c
-
c y
ln) c是任意的常数，另外也是方程的解.
特别的，初值问题
+
()
y Q x 的解为
0()x
x P d ce
ττ
⎰+）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程3）的非零解，而，其中c 为任意常数。
基础数学微分方程教案高中
基础数学微分方程教案高中
教学目标：
1. 了解微分方程的基本概念和解题方法
2. 掌握一阶微分方程的求解步骤
3. 能够运用微分方程解决实际问题
教学重点：
1. 微分方程的定义和基本形式
2. 一阶微分方程的求解方法和应用
教学难点：
1. 复杂微分方程的求解
2. 微分方程在实际问题中的应用
教学准备：
1. 教案、黑板、粉笔、复印资料、教材
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师向学生介绍微分方程的概念和重要性，引导学生思考微分方程与常微分方程的区别和联系。
二、讲解微分方程的基本形式（10分钟）
1. 定义微分方程及其分类
2. 一阶微分方程的一般形式和求解步骤
三、讲解一阶微分方程的求解方法（15分钟）
1. 可分离变量的微分方程求解
2. 线性微分方程求解
3. 齐次微分方程求解
4. 方法小结和练习
四、综合应用（10分钟）
根据实际问题，让学生运用所学知识解决简单微分方程问题，培养学生的解决问题能力。
五、课堂练习（10分钟）
布置一些练习题让学生在课后复习巩固所学知识。
六、作业布置（5分钟）
留作业：完成课堂练习题并预习下节课内容。
教学反思：
微分方程作为数学领域中的重要概念，对于学生来说可能存在一定难度。
在教学中，要注意通过引入实例问题，引导学生将抽象的数学理论与实际问题结合起来，提高学习motivation和理解难度。
同时，也要重视巩固练习，帮助学生掌握解题方法和技巧。
高等数学第十一章 微分方程教案
第1次课的教学整体安排 (),)n y =个变量的函数。
这里必须指出，在方程()1,n y -等变量则可以不出现。
另一种是显式 (1),,)n y -'特别地，1n =时，一阶微分方程的标准形式为 (,,F x y y )y 或 (,P x 在区间I 上有(),)n y =()),,())n x ϕ≡该微分方程的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，微分方程的通解或一般解微分方程的另一种解中不含有任意常数，，从通解中确定出任意常数而得出的。
第2次课的教学整体安排个的非零常数倍，即12()()y x y x 不恒等于非零常数，则1()y x 与2()y x 在区间I 上线性无关。
例如，函数23x e -与2x e -在区间(,)-∞+∞内线性相关；函数sin x 与cos x ，x 与2x ,sin x x 与sin x ，x e -与x e 在区间(,)-∞+∞内都线性无关。
于是，当1()y x 与2()y x 线性无关时，函数1122()()y C y x C y x =+中含有两个独立的任意常数12C C 和。
有了线性无关的概念再结合定理1，我们就得到如下二阶齐次线性微分方程（3-2）的通解结构定理。
定理2 若1()y x 与2()y x 是方程（3-2）的两个线性无关的特解，则1122()()y C y x C y x =+ （3-4）就是方程（3-2）的通解。
例如，方程0y y ''+=是二阶齐次线性方程（这里()0,()1p x Q x ≡≡）.容易验证，1cos y x =与2sin y x =是所给方程的两个解，且21sin tan cos y x x y x==常数，即它们是线性无关的。
因此方程0y y ''+=的通解为12cos sin y C x C x =+。
关于二阶非齐次线性方程（3-1）的通解结构，我们有如下的定理。
定理3 设*()y x 是二阶非齐次线性方程()()()y P x y Q x y f x '''++= （3-1）的一个特解，()Y x 是与（3-1）对应的二阶齐次线性方程（3-2）的通解，那末()*()y Y x y x =+ （3-5）是二阶非齐次线性微分方程（3-1）的通解。
同济第六《高等数学》教案word-第12章 微分方程
第十二章 微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4． 会用降阶法解下列微分方程：()()n yf x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()n yf x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
4、欧拉方程§121 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究找出未知函数来 这就是解微分方程例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M (x y )处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程解 设所求曲线的方程为y y (x ) 根据导数的几何意义 可知未知函数y y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy2= (1)此外 未知函数y y (x )还应满足下列条件 x 1时y2 简记为y |x12 (2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解) ⎰=xdxy 2 即y x 2C (3)其中C 是任意常数 把条件“x 1时 y 2”代入(3)式 得212C由此定出C 1 把C 1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x12的解)y x 21例 2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数s s (t )应满足关系式4.022-=dts d (4)此外 未知函数s s (t )还应满足下列条件t 0时 s0 20==dtds v 简记为s |t 0=0 s |t 0=20 (5)把(4)式两端积分一次 得 14.0C t dtds v +-==(6)再积分一次 得 s02t2C 1t C 2 (7)这里C 1 C 2都是任意常数 把条件v |t20代入(6)得20C 1 把条件s |t0代入(7)得0C 2把C 1 C 2的值代入(6)及(7)式得 v 04t 20 (8) s02t220t (9)在(8)式中令v 0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 504.020==t (s ) 再把t 50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程 s 025022050500(m )解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米 s 04 并且s |t 0=0s|t 0=20把等式s 04两端积分一次 得 s04t C 1即v04t C 1(C 1是任意常数)再积分一次 得 s 02t2C 1t C 2 (C 1 C 2都C 1是任意常数) 由v |t 020得20C 1 于是v04t 20由s |t0得0C 2 于是s 02t220t令v 0 得t 50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m )几个概念微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 x 3y x 2 y4xy3x2y (4) 4y 10y12y5y sin2xy(n )10一般n 阶微分方程 F (x y y y(n ))0y(n )f (x y yy (n1))微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y (x )在区间I 上有n 阶连续导数 如果在区间I 上F [x (x )(x )(n )(x )]0 那么函数y (x )就叫做微分方程F (x y yy(n ))0在区间I 上的解通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 x x 0 时 y y 0 y y一般写成0y y x x == 00y y x x '='=特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程yf (x y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 例3 验证 函数 x C 1cos kt C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解解 求所给函数的导数kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=)sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程 得 k 2(C 1cos kt C 2sin kt ) k 2(C 1cos kt C 2sin kt )0 这表明函数x C 1cos kt C 2sin kt 满足方程0222=+x k dt x d 因此所给函数是所给方程的解例4 已知函数x C 1cos kt C 2sin kt (k 0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解 求满足初始条件 x | t 0A x | t的特解解 由条件x | t 0A 及x C 1 cos kt C 2 sin kt 得C 1A 再由条件x | t0 及x (t ) kC 1sin kt kC 2cos kt 得C 20把C 1、C 2的值代入x C 1cos kt C 2sin kt 中 得 x A cos kt§12 2 可分离变量的微分方程 观察与分析 1 求微分方程y2x 的通解 为此把方程两边积分 得y x 2C一般地 方程y f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数)2 求微分方程y2xy 2的通解因为y 是未知的 所以积分⎰dx xy 22无法进行 方程两边直接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为xdx dy y 212= 两边积分 得 C x y+=-21 或Cx y +-=21可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解 一般地 如果一阶微分方程y(x , y )能写成g (y )dy f (x )dx形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )F (x )C由方程G (y )F (x )C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P (x y )dx Q (x y )dy在这种方程中 变量x 与y 是对称的若把x 看作自变量、y 看作未知函数 则当Q (x ,y )0时 有),(),(y x Q y x P dx dy -=若把y 看作自变量、x 看作未知函数 则当P (x ,y )0时 有),(),(y x P y x Q dy dx -=可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy f (x )dx (或写成y(x )(y ))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy 另一端只含x 的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y 2xy 是 y 1dy 2xdx(2)3x 25x y0 是 dy (3x 25x )dx(3)(x2y 2)dx xydy =0 不是(4)y 1x y 2xy 2 是 y(1x )(1y 2)(5)y 10x y是 10ydy 10xdx(6)xy y x y +=' 不是可分离变量的微分方程的解法第一步 分离变量 将方程写成g (y )dy f (x )dx 的形式 第二步 两端积分⎰⎰=dxx f dy y g )()( 设积分后得G (y )F (x )C第三步 求出由G (y )F (x )C 所确定的隐函数y (x )或x(y )G (y )F (x ) C y(x )或x(y )都是方程的通解 其中G (y )F (x )C 称为隐式(通)解例1 求微分方程xy dxdy2=的通解 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得xdx dy y21=两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21即 ln|y |x 2C 1从而 2112xC C xe e e y ±=±=+因为1C e ±仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解 2xCe y =解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得xdx dy y 21=两边积分得⎰⎰=xdxdy y 21即 ln|y |x 2ln C 从而 2xCe y =例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比 已知t 0时铀的含量为M 0 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 M dtdM λ-=其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少 即0<dtdM由题意 初始条件为 M |tM 0将方程分离变量得dt MdM λ-=两边积分 得⎰⎰-=dt M dM )(λ即 ln Mt ln C 也即M Cet由初始条件 得M 0CeC所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M M 0et例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为v (t )降落伞所受外力为F mg kv ( k 为比例系数) 根据牛顿第二运动定律F ma 得函数v (t )应满足的方程为 kv mg dtdv m-= 初始条件为 v |t方程分离变量 得mdt kv mg dv =-两边积分 得⎰⎰=-mdt kv mg dv1)ln(1C m t kv mg k +=--即 t m k Cek mg v -+=(ke C kC 1--=) 将初始条件v |t 00代入通解得kmgC -=于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e kmgv --=例4 求微分方程221xy y x dxdy+++=的通解解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy++=分离变量得dx x dy y )1(112+=+两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112 即Cx x y ++=221arctan于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=例4 有高为1m 的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律 解 由水力学知道 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算 gh S dtdV Q 262.0==其中0 62为流量系数 S 为孔口横截面面积g 为重力加速度现在孔口横截面面积S 1cm 2 故gh dtdV 262.0= 或dtgh dV 262.0=另一方面 设在微小时间间隔[t t d t ]内 水面高度由h 降至h dh (dh 0)则又可得到 dVr 2dh其中r 是时刻t 的水面半径右端置负号是由于dh 0而dV 0的缘故又因222200)100(100h h h r -=--=所以 dV(200h h 2)dh通过比较得到dhh h dt gh )200(262.02--=π这就是未知函数h h (t )应满足的微分方程此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数h h (t )还应满足下列初始条件 h |t100将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得 dhh h gdt )200(262.02321--=π两端积分 得 ⎰--=dhh h gt )200(262.02321π即 Ch h g t +--=)523400(262.02523π其中C 是任意常数 由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ因此 )310107(262.0252335h h gt +-⨯=π上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系§12 3 齐次方程 齐次方程 如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的函数f (x , y )可写成 xy的函数 即)(),(x y y x f ϕ= 则称这方程为齐次方程下列方程哪些是齐次方程？(1)022=---'x y y y x 是齐次方程1)(222-+=⇒-+=⇒xyx y dx dy x x y y dx dy(2)2211y y x -='-不是齐次方程2211x y dx dy --=⇒(3)(x2y 2)dx xydy 0是齐次方程 xyy x dx dy xy y x dx dy +=⇒+=⇒22(4)(2x y 4)dx (x y 1)dy 0不是齐次方程142-+-+-=⇒y x y x dx dy(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x yx 是齐次方程x y x y dx dy xy x x y y x y x dx dy +=⇒+=⇒th 32ch 3ch 3sh 2齐次方程的解法在齐次方程)(x ydx dy ϕ=中 令x y u = 即y ux 有)(u dxdu xu ϕ=+分离变量 得x dx u u du =-)(ϕ两端积分 得⎰⎰=-xdx u u du )(ϕ求出积分后 再用xy代替u 便得所给齐次方程的通解 例1 解方程dxdyxydx dy x y =+22 解 原方程可写成1)(222-=-=xy x y xxy ydx dy因此原方程是齐次方程 令u xy = 则 y ux dxdu x u dx dy+=于是原方程变为12-=+u u dx du x u 即 1-=u u dx du x 分离变量 得 xdx du u =-)11(两边积分 得uln|u |Cln|x |或写成ln|xu |u C以xy代上式中的u 便得所给方程的通解C xy y +=||ln例2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程 解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L yy (x )(y >0)绕x 轴旋转而成 光源在原点 在L 上任取一点M (x , y ) 作L 的切线交x 轴于A 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线 由光学及几何原理可以证明OA OM 因为 x y y OP PM OP AP OA -'=-=-=αcot而 22y x OM +=于是得微分方程22y x x y y+=-'整理得1)(2++=yx y x dy dx 这是齐次方程问题归结为解齐次方程1)(2++=yx y x dy dx令vyx = 即x yv 得12++=+v v dydv yv 即 12+=v dydv y分离变量 得ydy v dv =+12两边积分 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C yv v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v Cy , 1222=-CyvC y 以yv x 代入上式 得)2(22C x C y +=这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)2(222C x C z y +=+这就是所求的旋转曲面方程例3 设河边点O 的正对岸为点A 河宽OA h 两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从点A 游向点O 设鸭子的游速为b (b >a ) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 求鸭子游过的迹线的方程例3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为a有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O 设鸭子的游速为b (b >a ) 且鸭子游动方向始终朝着点O 已知OA h 求鸭子游过的迹线的方程解 取O 为坐标原点 河岸朝顺水方向为x 轴 y 轴指向对岸 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ) 则鸭子运动速度) ,() ,(dtdy dt dx v v y x ==v 故有yx v v dy dx =另一方面 ) ,()0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v因此yxy x b a v v dy dx y x ++-==1)(2 即yxy x b a dy dx ++-=1)(2问题归结为解齐次方程yxy x b a dy dx ++-=1)(2令uyx = 即x yu 得12+-=u ba dy du y分离变量 得dy bya u du -=+12两边积分 得 )ln (ln arsh C y ab u +-=将yx u =代入上式并整理 得])()[(2111b ab aCy Cy C x +--= 以x |yh0代入上式 得hC 1=故鸭子游过的轨迹方程为])()[(211b a b a hy h y h x +--= 0y h 将y x u =代入)ln (ln arsh C y a b u +-=后的整理过程)ln (ln arsh C y a b y x +-=a bCy y x -=⇒)ln(sh ])()[(21a ba bCy Cy y x -=⇒- ])()[(2a b a b Cy Cy y x -=⇒-])()[(2111a b a b Cy Cy C x +--=⇒§ 线性微分方程一、 线性方程 线性方程 方程)()(x Q y x P dxdy=+叫做一阶线性微分方程 如果Q (x )0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy=+的齐次线性方程 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dxdyx =-)2(021=--y x dx dy 是齐次线性方程 (2) 3x 25x 5y0y3x25x 是非齐次线性方程(3) y y cos x e sin x是非齐次线性方程(4)y x dxdy+=10 不是线性方程(5)0)1(32=++x dxdy y 0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-不是线性方程齐次线性方程的解法 齐次线性方程0)(=+y x P dxdy是变量可分离方程 分离变量后得dx x P ydy)(-=两边积分 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰或 )( 1)(C dxx P e C Ce y ±=⎰=-这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 例1 求方程y dxdyx =-)2(的通解 解 这是齐次线性方程 分离变量得2-=x dx y dy两边积分得ln|y |ln|x 2|lnC方程的通解为y C (x 2) 非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x )把⎰=-dxx P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---化简得 ⎰='dxx P e x Q x u )()()(Cdx e x Q x u dxx P +⎰=⎰)()()(于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和例2 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解 解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解 分离变量得12+=x dx y dy两边积分得ln y 2ln (x 1)ln C齐次线性方程的通解为 y C (x 1)2用常数变易法 把C 换成u 即令y u (x 1)2代入所给非齐次线性方程 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u两边积分 得C x u ++=23)1(32再把上式代入y u (x1)2中即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=解 这里12)(+-=x x P 25)1()(+=x x Q 因为 )1ln(2)12()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dxx P2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P所以通解为 ])1(32[)1(])([232)()(C x x C dx e x Q ey dxx P dxx P +++=+⎰⎰=⎰-例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为E E m sin t (E m 、都是常数) 电阻R 和电感L 都是常量 求电流i (t )解 由电学知道 当电流变化时 L 上有感应电动势dtdi L - 由回路电压定律得出0=--iR dtdi L E 即LE i L R dt di =+把E E m sin t 代入上式 得t LE i L R dt di m sin ω=+初始条件为 i |t 0方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程 其中LR t P =)( t LE t Q msin )(ω=由通解公式 得 ])([)()()(C dt e t Q et i dtt P dtt P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t LE e dt L Rm dt L R +⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ωt LR mCe t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω其中C 为任意常数 将初始条件i |t0代入通解 得222 L R LE C m ωω+=因此 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-二、伯努利方程 伯努利方程 方程n y x Q y x P dxdy)()(=+ (n 0 1) 叫做伯努利方程 下列方程是什么类型方程？(1)4)21(3131y x y dx dy -=+ 是伯努利方程 (2)5xy y dx dy += 5xy y dxdy=- 是伯努利方程(3)x y y x y +='11-=-'xy y xy 是伯努利方程(4)x xy dxdy42=- 是线性方程 不是伯努利方程伯努利方程的解法 以y n除方程的两边 得 )()(1x Q y x P dxdyy n n =+-- 令z y1n得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+例4 求方程2)(ln y x a xydx dy -+的通解 解 以y 2除方程的两端 得 x a y xdx dy y ln 112=+-- 即 xa y xdx y d ln 1)(11=+---令z y1则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-这是一个线性方程 它的通解为 ])(ln 2[2x a C x z -=以y 1代z 得所求方程的通解为 1])(ln 2[2=-x a C yx经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 例5 解方程yx dx dy+=1解 若把所给方程变形为y x dydx +=即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程令x y u 则原方程化为udx du 11=- 即uu dx du 1+=分离变量 得dx du u u =+1两端积分得 u ln|u1|x ln|C |以u x y 代入上式 得 y ln|x y 1|ln|C | 或x Ceyy 1§125 全微分方程全微分方程 一个一阶微分方程写成P (x , y )dx Q (x , y )dy 0形式后 如果它的左端恰好是某一个函数u u (x , y )的全微分du (x , y )P (x , y )dx Q (x , y )dy那么方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0就叫做全微分方程 这里),(y x P xu =∂∂),(y x Q yu =∂∂而方程可写为 du (x , y )0全微分方程的判定 若P (x , y )、Q (x , y )在单连通域G 内具有一阶连续偏导数 且xQ y P ∂∂=∂∂则方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0是全微分方程 全微分方程的通解若方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0是全微分方程 且du (x , y )P (x , y )dx Q (x , y )dy 则 u (x , y )C 即)),(( ),(),(0000G y x C dx y x Q dx y x P yy xx∈=+⎰⎰是方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0的通解 例1 求解(5x 43xy2y 3)dx (3x 2y 3xy 2y 2 )dy 0解 这里xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236所以这是全微分方程 取(x 0, y 0)(0, 0)有⎰⎰+-+=y xdy y dx y xy x y x u 020324)35(),(332253123y xy y x x +-+=于是 方程的通解为Cy xy y x x =+-+332253123积分因子 若方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0不是全微分方程 但存在一函数(x , y ) ((x , y )0) 使方程(x , y )P (x , y )dx(x , y )Q (x , y )dy 0是全微分方程 则函数(x , y )叫做方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0的积分因子例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解: (1)ydx xdy 0(2)(1xy )ydx (1xy )xdy 0 解 (1)方程ydx xdy 0不是全微分方程 因为 2)(y xdy ydx yx d -=所以21y 是方程ydx xdy 0的积分因子 于是 02=-y xdy ydx 是全微分方程 所给方程的通解为C y x =(2)方程(1xy )ydx (1xy )xdy 0不是全微分方程将方程的各项重新合并 得(ydx xdy )xy (ydx xdy )0再把它改写成 0)()(22=-+ydy x dx y x xy d这时容易看出2)(1xy 为积分因子 乘以该积分因子后 方程就变为0)()(2=-+ydyx dx xy xy d 积分得通解C y x xy ln ||ln 1=+- 即xyCe yx 1=我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y P (x )y Q (x )可以验证⎰=dxx P e x )()(μ是一阶线性方程y P (x )y Q (x )的一个积分因子 在一阶线性方程的两边乘以⎰=dxx P e x )()(μ得⎰=⎰+⎰'dxx P dxx P dxx P e x Q e x yP e y )()()()()( 即 ⎰='⎰+⎰'dxx P dxx P dx x P e x Q e y e y )()()()(][亦即 ⎰='⎰dxx P dxx P e x Q ye )()()(][ 两边积分 便得通解 Cdx e x Q ye dxx P dxx P +⎰=⎰⎰)()()( 或 ])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-例3用积分因子求x xy dxdy42=+的通解 解 方程的积分因子为 22)(xxdxe e x =⎰=μ方程两边乘以2x e 得 22242xx x xe y xe e y =+' 即224)(xx xe y e ='于是 Ce dx xe y e x x x +==⎰22224因此原方程的通解为2224xx Ce dx xe y -+==⎰§126 可降阶的高阶微分方程一、y (n )f (x )型的微分方程 解法 积分n 次1)1()(C dx x f y n +=⎰-21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-例1 求微分方程y e 2x cos x 的通解解 对所给方程接连积分三次 得 12sin 21C x e y x +-=''212cos 41C x C x e y x +++='3221221sin 81C x C x C x e y x ++++=这就是所给方程的通解或 122sin 21C x e y x +-=''2122cos 41C x C x e y x +++='32212sin 81C x C x C x e y x ++++=这就是所给方程的通解例 2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动 设力F 仅是时间t 的函数F F (t ) 在开始时刻t 0时F (0)F 0 随着时间t 的增大 此力F 均匀地减小 直到t T 时 F (T )0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 解 设x x (t )表示在时刻t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为)(22t F dtx d m =由题设 力F (t )随t 增大而均匀地减小 且t 0时 F (0)F 0所以F (t )F 0kt 又当t T 时 F (T )0 从而 )1()(0TtF t F -=于是质点运动的微分方程又写为)1(022T t m F dtx d -=其初始条件为0|0==t x0|0==t dt dx把微分方程两边积分 得120)2(CTt t m F dt dx +-=再积分一次 得21320)621(C t C Tt t m F x ++-= 由初始条件x |t 00 0|0==t dtdx 得C 1C 20于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -= 0t T解 设x x (t )表示在时刻t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 mxF (t )由题设 F (t )是线性函数 且过点(0 F 0)和(T 0) 故1)(0=+T tF t F 即)1()(0Tt F t F -=于是质点运动的微分方程又写为 )1(0Tt m F x -='' 其初始条件为x |t 00 x |t把微分方程两边积分 得 120)2(C Tt t m F x +-=' 再积分一次 得2320)621(C Tt t m F x +-= 由初始条件x |t 00 x |t得C 1C 20于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -= 0t T二、y f (xy )型的微分方程解法 设yp 则方程化为p f (x p ) 设p f (x p )的通解为p (x C 1) 则),(1C x dxdyϕ=原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ例3 求微分方程 (1x 2)y 2xy 满足初始条件y |x1y|x3的特解解 所给方程是y f (x y )型的 设yp 代入方程并分离变量后 有dx x x p dp 212+=两边积分 得ln|p |ln(1x 2)C即 p y C 1(1x 2) (C 1e C )由条件y |x 03 得C 13所以 y 3(1x 2)两边再积分 得 y x 33x C 2 又由条件y |x 01 得C 21于是所求的特解为y x 33x 1例4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、yf (y y )型的微分方程解法 设y p 有dydpp dx dy dy dp dx dp y =⋅==''原方程化为),(p y f dy dpp = 设方程),(p y f dydpp =的通解为y p (y C 1) 则原方程的通解为21),(C x C y dy+=⎰ϕ例5 求微分yy y20的通解解 设y p 则dydp py =''代入方程 得02=-p dydp yp在y 0、p 0时 约去p 并分离变量 得ydy p dp =两边积分得ln|p |ln|y |ln c即 p Cy 或yCy (C c )再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 ln|y |Cx ln c 1 或 y C 1e Cx(C 1c 1)例5 求微分yy y 20的通解解 设y p 则原方程化为02=-p dydp yp当y 0、p 0时 有01=-p ydy dp 于是 yC e p dyy 11=⎰=即 yC 1y 0从而原方程的通解为 xC dxC e C e C y 1122=⎰=例6 一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面 求它落 到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）§12 7 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点给物体一个初始速度v 00后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x 是t 的函数 x x (t ) 设弹簧的弹性系数为c则恢复力fcx又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为则dtdx R μ-由牛顿第二定律得 dt dxcx dt x d mμ--=22移项 并记mn μ=2 mck =2则上式化为 02222=++x k dt dx n dtx d这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直扰力 F H sin pt 的作用 则有pt h x k dt dx n dt x d sin 2222=++其中mH h =这就是强迫振动的微分方程例2 设有一个由电阻R 、自感L 、电容C 和电源E 串联组成的电路 其中R 、L 、及C 为常数电源电动势是时间t 的函数 E E m sin t 这里E m 及也是常数设电路中的电流为i (t ) 电容器极板上的电量为q (t )两极板间的电压为u c 自感电动势为E L 由电学知道 dtdqi =Cq u c =dtdi LE L -=根据回路电压定律 得0=---Ri C q dt di L E 即 tE u dt du RC dt u d LC m c cc ωsin 22=++或写成t LC E u dt du dt u d m cc c ωωβsin 22022=++ 其中L R 2=β LC10=ω 这就是串联电路的振荡方程 如果电容器经充电后撤去外电源(E 0) 则上述成为022022=++c c c u dt du dtu d ωβ二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为y P (x )y Q (x )y f (x )若方程右端f (x )0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的二、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 yP (x )yQ (x )y 0 即0)()(22=++y x Q dx dyx P dxy d定理1 如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程 yP (x )yQ (x )y 0的两个解 那么y C 1y 1(x )C 2y 2(x )也是方程的解 其中C 1、C 2是任意常数齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 证明 [C 1y 1C 2y 2]C 1 y 1C 2 y 2[C 1y 1C 2y 2]C 1 y 1C 2 y 2因为y 1与y 2是方程y P (x )y Q (x )y 0 所以有y 1P (x )y 1Q (x )y 10及y 2P (x )y 2Q (x )y 20从而 [C 1y 1C 2y 2]P (x )[ C 1y 1C 2y 2]Q (x )[ C 1y 1C 2y 2]C 1[y 1P (x )y 1Q (x )y 1]C 2[y 2P (x )y 2Q (x )y 2]000这就证明了y C 1y 1(x )C 2y 2(x )也是方程y P (x )yQ (x )y 0的解函数的线性相关与线性无关设y 1(x ) y 2(x ) y n (x )为定义在区间I 上的n 个函数 如果存在n 个不全为零的常数k 1 k 2k n使得当x I 时有恒等式k 1y 1(x )k 2y 2(x ) k n y n (x )0成立 那么称这n 个函数在区间I 上线性相关 否则称为线性无关 判别两个函数线性相关性的方法对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关例如 1 cos 2x sin 2x 在整个数轴上是线性相关的 函数1 x x 2在任何区间(a ,b)内是线性无关的定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程y P(x)y Q(x)y0的两个线性无关的解那么y C1y1(x)C2y2(x) (C1、C2是任意常数)是方程的通解例3 验证y1cos x与y2sin x是方程y y0的线性无关解并写出其通解解因为y1y1cos x cos x0y2y2sin x sin x0所以y1cos x与y2sin x都是方程的解因为对于任意两个常数k1、k2要使k1cos x k2sin x0只有k1k20所以cos x与sin x在(, )内是线性无关的因此y1cos x与y2sin x是方程y y0的线性无关解方程的通解为y C1cos x C2sin x例4 验证y1x与y2e x是方程(x1)y xy y0的线性无关解并写出其通解解因为(x1)y1xy1y10x x0(x1)y2xy2y2(x1)e x xe x e x0所以y1x与y2e x都是方程的解因为比值e x/x不恒为常数所以y1x与y2e x在(, )内是线性无关的因此y1x与y2e x是方程(x1)y xy y0的线性无关解方程的通解为y C1x C2e x推论如果y1(x)y2(x)y n(x)是方程y(n)a1(x)y(n1)a n1(x)y a n(x)y0的n个线性无关的解那么此方程的通解为y C1y1(x)C2y2(x) C n y n(x)其中C1C2C n为任意常数二阶非齐次线性方程解的结构我们把方程y P(x)y Q(x)y0叫做与非齐次方程y P(x)y Q(x)y f(x)对应的齐次方程定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y P(x)y Q(x)y f(x)的一个特解Y(x)是对应的齐次方程的通解那么y Y(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解证明提示 [Y(x)y*(x)]P(x)[ Y(x)y*(x)]Q(x)[ Y(x)y*(x)][Y P(x)Y Q(x)Y ][ y* P(x)y* Q(x)y*]0 f(x) f(x)例如Y C1cos x C2sin x是齐次方程y y0的通解y*x22是y y x2的一个特解因此y C1cos x C2sin x x22是方程y y x2的通解定理4 设非齐次线性微分方程y P(x)y Q(x)y f(x)的右端f(x)几个函数之和如y P(x)y Q(x)y f1(x)f2(x)而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y P(x)y Q(x)y f1(x)与y P(x)y Q(x)y f2(x)的特解那么y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解证明提示[y1y2*]P(x)[ y1*y2*]Q(x)[ y1*y2*][ y1*P(x) y1*Q(x) y1*][ y2*P(x) y2*Q(x) y2*]f1(x)f2(x)§129 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypy qy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看能否适当选取r 使y erx满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程y py qy 0得(r2pr q )e rx 0由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解特征方程 方程r2pr q 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1qp p r -±+-= 求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数xr ey 11=、xr ey 22=是方程的解 又xr r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 xr x r e C e C y 2121+=(2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为 x r e y 11=是方程的解 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r xr ==1112不是常数 因此方程的通解为 xr x r xe C e C y 1121+=(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e(i )x、y e (i )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e xcos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e(i )x和y 2e(i )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (i )x e x (cos x i sin x ) y 2e(i )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e x cos x 、y 2e xsin x 也是方程解可以验证 y 1e x cos x 、y 2e xsin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为y e x(C 1cos x C 2sin x ) 求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0的通解的步骤为第一步 写出微分方程的特征方程 r2pr q 0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例1 求微分方程y2y3y 0的通解解 所给微分方程的特征方程为。
微分方程教案
微分方程教案引言：微分方程作为数学的一个重要分支，是描述自然界中变化规律的一种数学工具。
本教案将介绍微分方程的定义和基本概念，并以实例演示如何求解微分方程，旨在帮助学生理解微分方程的基本原理和解题方法。
一、微分方程的定义和分类1. 微分方程的定义微分方程是一个包含未知函数及其导数或微分的方程。
一般表示为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中y是自变量x的某个函数。
2. 常微分方程和偏微分方程常微分方程中只含有一个自变量，如dy/dx = f(x)。
偏微分方程中含有多个自变量，如∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0。
二、微分方程的基本概念1. 解函数和通解解函数是满足微分方程的具体函数，通解是含有任意常数的解函数的集合。
2. 初值问题和边值问题初值问题是在给定某一点上的函数值和导数值，求解满足微分方程条件的特解。
边值问题是在给定边界上的函数值，求解满足微分方程条件的特解。
三、常见的微分方程和求解方法1. 一阶常微分方程1) 可分离变量方程2) 齐次方程3) 线性方程4) Bernoulli 方程2. 高阶常微分方程1) 常系数线性齐次方程2) 常系数线性非齐次方程3) 变系数线性齐次方程4) 变系数线性非齐次方程3. 偏微分方程1) 热传导方程2) 波动方程3) Laplace 方程四、求解微分方程的技巧和方法1. 变量分离法将微分方程中的变量分离到方程两边，再进行积分。
2. 齐次方程的换元法通过引入新的变量，将齐次方程转化为变量分离的形式。
3. 一阶线性方程的积分因子法通过乘以适当的积分因子，将一阶线性方程转化为变量分离的形式。
4. 常系数线性方程的特解法根据齐次方程的通解求解非齐次方程的特解。
五、案例演示1. 一阶常微分方程求解以可分离变量方程为例，演示解题步骤和方法。
2. 高阶常微分方程求解以常系数线性非齐次方程为例，演示解题步骤和方法。
微分方程教案
微分方程教案
一、教学目标：
1. 理解微分方程的基本概念和解法；
2. 掌握常见微分方程的求解方法；
3. 能够应用微分方程解决实际问题。
二、教学重点和难点：
1. 重点：微分方程的基本概念和求解方法；
2. 难点：微分方程的应用解决实际问题。
三、教学内容：
1. 微分方程的基本概念：一阶微分方程和高阶微分方程；
2. 常见微分方程的求解方法：可分离变量、线性微分方程、齐次微分方程、常
数变易法等；
3. 微分方程的应用：生长衰减问题、物理问题、工程问题等。
四、教学过程：
1. 导入：通过引入实际问题引起学生兴趣，如生长衰减问题；
2. 概念讲解：介绍微分方程的基本概念和常见求解方法；
3. 案例分析：通过具体案例演示微分方程的求解过程；
4. 练习：布置练习题让学生巩固所学知识；
5. 拓展：引导学生思考微分方程在实际问题中的应用。
五、教学方法：
1. 讲授相结合：通过讲解基本概念和求解方法，引导学生理解微分方程的本质；
2. 案例分析：通过具体案例演示微分方程的求解过程，帮助学生掌握解题技巧；
3. 互动讨论：鼓励学生参与讨论，提高学生对微分方程的理解和应用能力。
六、教学工具：
1. 教科书、课件等教学资料；
2. 实例题目和练习题；
3. 多媒体设备。
七、教学评估：
1. 课堂表现：学生对微分方程的理解和应用能力；
2. 作业成绩：检验学生对微分方程的掌握程度；
3. 课后测验：检验学生对微分方程的理解和应用能力。
八、教学反思：
对教学过程进行总结和反思，根据学生的反馈和表现调整教学方法和内容，不断优化教学效果。
微分方程教学
(2) 若1 P ( x ) Q( x ) 0, (3) 若1 P ( x ) Q( x ) 0,
特解 y e x ;
特解 y e .
x
x 1 例 求方程 y y y x 1 的通解. 1 x 1 x x 1 x 1 x 0, 解 1 0, 1 x 1 x 1 x 1 x
(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2)
(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2)
C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2] 000.
对应齐次微分方程特解为 对应齐次微分方程通解为
y1 e x ,
y2 x
Y C1 x C2e x .
设原方程的通解为 y c1 ( x ) x c2 ( x )e x ,
c1 ( x )，c ( x ) 应满足方程组 2
c1 ( x ) 1 xc1 ( x ) e x c ( x ) 0 2 解得 x c ( x ) xe x 2 c1 ( x ) e c ( x ) x 1 2
* * 的特解, 那么 y1 y 2 就是原方程的特解.
解的叠加原理
简要证明: 这是因为 [y1* y2*]P(x)[y1*y2*]Q(x)[y1*y2*] [y1*P(x)y1*Q(x)y1*][y2*P(x)y2*Q(x)y2*] f1(x)f2(x).
思考题
已知 y1 3 ， y 2 3 x ， y 3 3 x e 都是微分方程
2 y 2 x 2 y 6 x 1
的解，求此方程所对应齐次方程的通解.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微分方程的基本概念引言大家知道：高等数学的主要研究对象是函数，我们在前面的学习中，对于给定的函数()f x ，进行了微分运算和积分运算，那么函数又是如何得到的呢？我们可以对实验中得到的数据进行处理，从中发现规律得到函数，也就是采用数据拟合的方法。
然而有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，比如：我们的新型战机——歼二十战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。
寻找这些问题中变量之间函数关系的方法有很多，我们来介绍其中的一种——利用微分方程求解函数关系。
为此今天我们来学习微分方程的基本概念。
下面我们从一张图片开始来认识他们。
一、问题的提出我们注意到：歼—二十战机下降滑跑时，在跑道上会滑行一段距离。
因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑行跑道满足什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？那么，当机场跑道不足时，对它的着陆速度又有什么样的要求呢？对此，我们把它抽象成一般的数学问题：战机的安全着陆问题。
案例1 (战机的安全着陆) 我国新型战机——歼二十，质量为m ，以速度0v 着陆降落时，减速伞对飞机的阻力作用与降落时的速度成正比，此外飞机还受到另一个与时间成正比的阻力作用，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离小于跑道的长度。
对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进行分析,结合前面我们所学习的微分学知识以及牛顿第二定律，这样便可建立运动方程。
解：设飞机质量为m ，着陆速度为0v ，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为()x t ，飞机的速度为()v t ，减速伞的阻力为()kv t ，其中k 为阻力系数。
根据牛顿第二定律可得运动方程()dvmkv t kt dt =--，()dx v t dt= 从这个例子中，将这些等式和中学里我们所学的代数方程形式做比较，你有什么发现？二、微分方程的基本概念1、定义通过比较代数方程与微分方程，从代数方程的定义（含有未知量的等式）得到：含有未知函数的导数或微分的方程称为常微分方程，简称为微分方程，记为()(,,,,)0'⋅⋅⋅=n F x y y y 。
例1：判断下列等式是否为微分方程。
(1) 0'+=xy y (2) 32()0'''-=y y(3) 2()0,t x dt xdx ++= (4) 2()2x x '=答案：(1) 是； (2) 是； (3) 是； (4) 否。
本质：是否含有未知函数的导数或微分是判断是否为微分方程的重要依据. 将这些方程与代数方程中“次数”的概念比较，得到如下概念： 2、微分方程的阶从代数方程按次（未知量的最高次数）分类得到微分方程按阶（未知函数导数的最高阶数）分类：一阶微分方程，二阶微分方程，......n 阶微分方程等。
例如：指出下列微分方程的阶数。
(1) 223d d x x t t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2) 22d d sin d d y y b cy x x x ++=答案：(1) 1阶； (2) 2阶。
有了“阶”的概念之后，我们将从不同的角度对微分方程进行详细的分类。
3、分类分类1:根据微分方程的阶数一阶微分方程：(,,)0F x y y '= 或者(,).y f x y '= 高阶微分方程：()(,,,,)0n F x y y y '=L 或者()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=L分类2:根据自变量的个数常微分方程(ODE)：未知函数为一元函数。
例如：2d d x x t=，22d d sin d d y y bcy x x x ++=， 223d d x x t t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2d d 0x y y x -= 偏微分方程(PDE)：未知函数为多元函数例如：222222(,,)u u uf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂分类3: 线性与非线性线性：在微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=L 中，F 对未知函数y 和它的各阶导数()',,n y y L 的全体而言是一次的。
例2 判断下列方程是否是线性的：（1）20;y x '-=（2）22()0;y x '-=（3）20;yy x '-=（4）20.xy x '-=答案：是，不是，不是，是。
前面的两个引例的解决过程事实上就是我们求解微分方程的过程，下面我们来介绍第三部分内容，也是我们本章的主要学习内容——微分方程的求解问题。
三、主要问题——求解微分方程从代数方程解的定义（使方程恒成立的数值）得到微分方程解的定义：使方程恒成立的函数。
1、微分方程的解:设函数)(x y ϕ=在区间I 上连续, 且有直到n 阶的导数.如果把)(x y ϕ=代入方程()(,,,,)0n F x y y y '=L , 得到在区间I 上关于x 的恒等式,0))(,),(),(,()(≡'x x x x F n ϕϕϕΛ 则称)(x y ϕ=为方程()(,,,,)0n F x y y y '=L 在区间I 上的一个解.现在让我们再回到案例1，当战机的着陆初速度以及加速度都已知时，战机的滑跑距离又是什么情况的时候可以保证战机安全着陆呢？解：设战机着陆后t 秒钟后战机行驶了x 米，()x x t =则加速度22d xa dt =-， 从而两边积分得1dxat C dt=-+, 再两边积分，得21212x at C t C =-++条件：000,dxt x v dt===时，，从而1020C v C ==，,因此，从战机开始着陆到完全停下来共需时间0v t a=，战机在这段时间内行驶了200020()2 =vv a x v a av a=-⨯+⨯在这个问题的解决过程中，发现21212x t C t C a =-++,2012x at v t =-+,都满足微分方程22d sa dt=-，是微分方程的解。
怎么回事？下面给出以下概念：全部解：所有满足微分方程的函数的集合。
通解：相互独立的任意常数的个数与方程的阶数相等的解。
特解：确定了通解中的任意常数的解。
初始条件：为确定通解中的任意常数而在微分方程中引入的条件。
例3：判断下列函数是否是方程dydx= （1）2(1)y x =+ （2）2()y x c =+（3）2{0,(1)}y y y x ==+解：（1），（2），（3）都是解，但（1）是特解，（2）是通解，（3）是全部解。
通过这个例子，我们对全部解，通解，特解的概念进行了区别，并且可以总结出三者之间的关系：特解⊂通解⊂全部解例4：验证：函数12cos sin ,cos x c kt c kt x kt =+=都是微分方程2220d xk x dt+=的解。
解：对cos x kt =关于t 求导,2sin ,cos x k kt x k kt '''=-=-,代入方程，22cos cos 0k kt k kt -+=从而也就验证了函数cos x kt =是方程2220d xk x dt+=的解。
对于12cos sin x c kt c kt =+同样来验证。
总结：求导 代入验证通过案例1，我们也找到一种求解微分方程的方法——两边积分求积分。
积分曲线——解)(x y y =所表达的曲线，为了便于研究方程解的性质, 我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.5)的一个特解)(x y ϕ=的图象是xoy 平面上的一条曲线, 称为方程(1.5)的积分曲线, 而通解),(C x y ϕ=的函数图象是平面上的一族曲线, 称为积分曲线族. 例如, 方程x dxdy2=的通解C x y +=2是xoy 平面上的一族抛物曲线.而2x y =是过点(0, 0)的一条积分曲线.以后, 为了叙述简便, 我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程, 也有积分曲线和积分曲线族的概念, 只不过此时积分曲线所在的空间维数不同.积分曲线方程——⎩⎨⎧==阶）（一阶）n c c c x y y c x y y n .)................,,(.....(.....),(21可分离变量的微分方程一. 实际问题在各种反装甲弹药中，穿甲弹无疑是历史最悠久、使用最广泛的反装甲弹药。
面对穿甲弹性能的不断提高，作为“盾”的一方——坦克的装甲——也变得越来越厚。
我国T －98式主要特点： 重量轻、装甲厚，具有多种自我伪装能力和自动灭火装置，战场生存能力强。
那么它的设计原理是什么呢？现在我们把它抽象为一般的数学问题加以研究。
案例 2 (坦克的装甲设计原理)已知质量为5kg 的某特种合金穿甲弹以900/m s 的速度射入我军阻力系数为41.510/kg s ⨯，车体防护能力相当于600毫米的均质钢装甲的T-98式主战坦克。
已知该穿甲弹所受阻力与速度成正比，问该型号穿甲弹能否击穿我军T-98式主战坦克车体？判断该型号该型号穿甲弹能否击穿我军T-98式主战坦克车体也就是要判断穿甲弹所走过的距离是否超过了车体防护能力的600mm,因此，我们要对穿甲弹的运动状态进行分析，根据牛顿第二定律有F ma =，其中F 是穿甲弹穿入车体时所受到的合力。
依题意，穿甲弹在车体中只受到车体的阻力()kv t -。
m 是穿甲弹的重量，a 是穿甲弹进入车体时的加速度，可以表示成dvdt。
这样便可建立运动方程。
解：设穿甲弹的质量为m ，从其射入时开始计时，则穿甲弹走过的距离为()x t ，运动速度为()v t ，根据牛顿第二定律可得运动方程()dvmkv t dt=-，满足初始条件0(0)v v =；又因为穿甲弹走过的距离为()x t 满足()dxv t dt=，这是两个一阶的微分方程，怎么解呢？对方程变形可以得到dv kdt v m=-，()dx v t dt =它的特点是变量,v t 分别位于等式的两边！对于具有这种特点的微分方程，我们给它一个名称，请看定义。
二．可分离变量微分方程的定义定义：设有一阶微分方程(,)dyF x y dx=，若(,)F x y 可以表示成()()g x h y ，即()()dyg x h y dx=。
则称其为可分离变量的微分方程。
对于这一定义，我们需要注意以下三点。
1. (),()g x h y 分别是x 和y 的连续函数；2. 方程的特点是形式上可以把因变量y 与自变量x 分离开；3. 当因变量与自变量符号改变时，仍然按照定义进行判断，如方 程()()dxg x h t dt=是可分离变量的微分方程。
接下来，请结合定义判断例5所举方程是否为可分离变量的微分方程。