微分方程教案12页word

微分方程的基本概念

引言

大家知道：高等数学的主要研究对象是函数，我们在前面的学习中，对于给定的函数()f x ，进行了微分运算和积分运算，那么函数又是如何得到的呢？我们可以对实验中得到的数据进行处理，从中发现规律得到函数，也就是采用数据拟合的方法。然而有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，比如：我们的新型战机——歼二十战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。寻找这些问题中变量之间函数关系的方法有很多，我们来介绍其中的一种——利用微分方程求解函数关系。为此今天我们来学习微分方程的基本概念。下面我们从一张图片开始来认识他们。

一、

问题的提出

我们注意到：歼—二十战机下降滑跑时，在跑道上会滑行一段距离。因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑行跑道满足什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？那么，当机场跑道不足时，对它的着陆速度又有什么样的要求呢？对此，我们把它抽象成一般的数学问题：战机的安全着陆问题。

案例1 (战机的安全着陆) 我国新型战机——歼二十，质量为m ，以速度0v 着陆降落时，减速伞对飞机的阻力作用与降落时的速度成正比，此外飞机还受到另一个与时间成正比的阻力作用，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？

要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离小于跑道的长度。对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进行分析,结合前面我们所学习的微分学知识以及牛顿第二定律，这样便可建立运动方程。

解：设飞机质量为m ，着陆速度为0v ，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为()x t ，飞机的速度为()v t ，减速伞的阻力为()kv t ，其中k 为阻力系数。

根据牛顿第二定律可得运动方程

()dv

m

kv t kt dt =--，

()dx v t dt

= 从这个例子中，将这些等式和中学里我们所学的代数方程形式做比较，你有什么发现？

二、

微分方程的基本概念

1、定义

通过比较代数方程与微分方程，从代数方程的定义（含有未知量的等式）得到：含有未知函数的导数或微分的方程称为常微分方程，简称为微分方程，记为

()(,,,,)0'⋅⋅⋅=n F x y y y 。

例1：判断下列等式是否为微分方程。

(1) 0'+=xy y (2) 32()0'''-=y y

(3) 2()0,t x dt xdx ++= (4) 2()2x x '=

答案：(1) 是； (2) 是； (3) 是； (4) 否。

本质：是否含有未知函数的导数或微分是判断是否为微分方程的重要依据. 将这些方程与代数方程中“次数”的概念比较，得到如下概念： 2、微分方程的阶

从代数方程按次（未知量的最高次数）分类得到微分方程按阶（未知函数

导数的最高阶数）分类：一阶微分方程，二阶微分方程，......n 阶微分方程等。

例如：指出下列微分方程的阶数。

(1) 2

23

d d x x t t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

(2) 22d d sin d d y y b cy x x x ++=

答案：(1) 1阶； (2) 2阶。

有了“阶”的概念之后，我们将从不同的角度对微分方程进行详细的分类。 3、分类

分类1:根据微分方程的阶数

一阶微分方程：(,,)0F x y y '= 或者(,).y f x y '= 高阶微分方程：

()(,,,,)0n F x y y y '=L 或者()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=L

分类2:根据自变量的个数

常微分方程(ODE)：未知函数为一元函数。

例如：2

d d x x t

=，22d d sin d d y y b

cy x x x ++=， 2

23

d d x x t t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

，2d d 0x y y x -= 偏微分方程(PDE)：未知函数为多元函数

例如：222222(,,)u u u

f x y z x y z

∂∂∂++=∂∂∂

分类3: 线性与非线性

线性：在微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=L 中，F 对未知函数y 和它的各阶导数()',,n y y L 的全体而言是一次的。

例2 判断下列方程是否是线性的：

（1）20;y x '-=（2）22()0;y x '-=（3）20;yy x '-=（4）20.xy x '-=

答案：是，不是，不是，是。

前面的两个引例的解决过程事实上就是我们求解微分方程的过程，下面我们来介绍第三部分内容，也是我们本章的主要学习内容——微分方程的求解问题。

三、

主要问题——求解微分方程

从代数方程解的定义（使方程恒成立的数值）得到微分方程解的定义：使方程恒成立的函数。 1、微分方程的解:

设函数)(x y ϕ=在区间I 上连续, 且有直到n 阶的导数.如果把)(x y ϕ=代入方程()(,,,,)0n F x y y y '=L , 得到在区间I 上关于x 的恒等式,

0))(,),(),(,()(≡'x x x x F n ϕϕϕΛ 则称)(x y ϕ=为方程()(,,,,)0n F x y y y '=L 在区间I 上

的一个解.

现在让我们再回到案例1，当战机的着陆初速度以及加速度都已知时，战机的滑跑距离又是什么情况的时候可以保证战机安全着陆呢？

解：设战机着陆后t 秒钟后战机行驶了x 米，()x x t =则加速度

22

d x

a dt =-， 从而两边积分得

1dx

at C dt

=-+, 再两边积分，得

2121

2

x at C t C =-++

条件：000,

dx

t x v dt

===时，，从而1020C v C ==，,