7.4 拉氏变换的应用举例
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
数学物理方法 拉氏变换
1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2 πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s p 2 n
令 s = p1 方法2
求极限的方法
N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
返 回 上 页 下 页
N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2 πj
s 1
3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s )] s 1 d [ s 4 ] 4 s 1 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
返 回
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小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[ sF ( s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F ( s) sf (0 ) f (0 )
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
7.4 z变换
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
积分变换 拉氏变换
dx(t ) st lim e dt limsX ( s ) x(0) s s dt 0 0 lim sX ( s) lim x(0)
s s
lim x(t ) lim sX ( s)
t 0 s
lim x ( t ) lim sX ( s ) 6）终值定理 t s 0
6 (0) 5sY ( s) y (0) 6Y ( s) s Y ( s) sy (0) y s 2s 2 12s 6 1 5 4 Y ( s) s( s 2)(s 3) 5e 2t 4e 3t
st e Lx(t ) x(t )e st dt x(t )d s 0 0 st e st e x(t ) dx(t ) s 0 0 s
x(0) 1 dx(t ) st e dt s s 0 dt x ( 0) 1 d L x(t ) s s dt d L x(t ) sX ( s ) x(0) dt
(t ) 8 y (t ) 32y(t ) 4 (t ) y 例：解方程 解：将方程两边取拉氏变换，得
(0) y(0) 0 y
8s 32 Y ( s ) 4 4 4 Y (s) 2 s 8s 32 s 4 2 4 2 4 Lsin(4t ) 2 s 42 y (t ) e 4t sin(4t )
0
t 0
1
t 0
0 0
F (t ) (t )e jwt dt e jwt
0
1
x(t ) (t )dt lim
拉氏变换
拉氏变换的基本性质及其应用举例
一、拉氏变换的性质
(1)线性定理：拉氏变换是线性变换，即：
(2)卷积定理：
称为、的卷积，记为
(3)乘积定理：设、的拉氏变换为、，则：的拉氏变换为：
(4)导数定理：
如果：
则：
(5)不定积分定理：
(6)象的导数定理：
(7)象的积分定理：设的象为,且积分收敛，则：
(8)相似定理：设，则：
(9)位移定理：
(10)延迟定理：设，则：
二、用拉氏变换求解常微分方程及积分方程举例
例1、求解初值问题：
解：对方程两端作拉普拉斯变换：
即：
将上式两端反演，即：
从例1中可得出运用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可归纳为：
(1)对方程施行拉普拉斯变换，这变换把初始条件一同考虑。
(2)从变换后的方程中解出象函数。
(3)对求出的象函数进行反演，原函数就是原方程的解。
例2 求解交流RL电路的方程：
解：对方程两边作拉普拉斯变换
将上式两端反演得：
由卷积定理得：
所得结果第一部分代表一个稳定的(幅度不变的)振荡，第二部分则是随时间而衰减的．例3 求解
解：对该方程施行拉普拉斯变换后得：
记
将上式反演，设：
则
则由卷积定理得：
而：
例4 求解方程组：
解：对方程组施行拉氏变换得：
记：
两式相加减得：
将上方程组反演：
例5 求解积分方程
解：对方程两端施行拉氏变换
即：
进行反演：
例6 用拉普拉斯变换求积分：
解：当
进：对积分进行拉普拉斯变换
反演得：
当
时，作变换。
拉氏变换详解课件
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 f (2) (0) s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有
L[
f
(t)dtn ]
1 sn
F (s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其
象
sn
函数除以
。
6
（4）终值定理 lim f (t) lim sF(s)
t
直接按上式求原函数太复杂，一般都用 查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)12 必须是一种能直接查到的原函数的形式。
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这 些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。
例1： F(s)
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
F(s)
M (s) D(s)
b0sm b1sm1 bm1s bm sn a1sn1 an1s an
(m
n)
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s)
总能展开成如下简单的部分分式之和
F (s) c1 c2 cn
s p1 s p2
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
拉氏变换及应用
§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
第七章拉普拉斯变换
2024/8/1
1[ 2s
1
j
s
1
j
]
s2
s
2
.
11
• 例2．已知F(s) 5s 1 ，求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
解：F (s) 5s 1 2 1 3 1 , L[eat ] 1
(s 1)(s 2) s 1 s 2
sa
L1[F (s)] 2L1[ 1 ] 3L1[ 1 ]
2024/8/1
2
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1的拉氏变换.
1,
t t
0，符号函数 0
sgn
t
0,
1,
t 0 | t | 0， t0
解： (1)L[u(t)]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
2024/8/1
3
一般规定：在拉氏变换中f (t)均理解为：f (t) 0，t 0.
即写下f (t) sin t时，理解为f (t) u(t)sin t，象函数F(s) 1，Re(s) 0 s
的象原函数可写为f (t) 1,即：L1[1] 1. s
例2．求指数函数f (t) ekt的拉氏变换（k为实数）.
L[ t f (t)dt] 1 F(s).
0
s
推广： L[
t
dt
t
dt
00
t 0
f
(t)dt]
1 sn
F (s).
２．象函数的积分
设L[ f (t)] F(s)，则 L[ f (t)]
拉氏变换
用拉氏变换法解线性微分方程一 基本定义若函数f(t)，t 为实变量，线积分∫ f(t)e -st dt (s 为复变量)存在，则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或£[f(t)]，即F(s)=£[f(t)]=∫ f(t)e -st dt常称：F(s)→f(t)的象函数；f(t) →F(s)的原函数。
二 基本思路用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算三 典型函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数f(t)=1(t)= 1 t ≧0t <0F(s)=£[f(t)]= ∫ f(t)e -st dt =∫ 1 e -st dt =1/s2、单位斜坡函数 f(t)= t 1(t) = t t ≥00 t <0F(s)=£[f(t)]= ∫ t e -st dt =1/s ²3、等加速度函数∞0 ∞∞∞ 0∞f(t) = 1/2 t ² t ≥0 0t <0F(s) = ∫ 1/2 t ² e -st dt = 1/s ³4、指数函数t ≥0 t <0F(s)= ∫ 1/2 t ² e -stdt =1 / (s-α)5、正弦函数f(t)= sinwt t ≥0 0 t <0F(s) =∫sinwt e -st dt = w/(s ²+w ²) 四 拉氏变换的几个法则对于一些简单原函数，可根据拉氏变换定义求象，但对于较复杂的原函数，必须用到下面几个定理求取其象函数：1、线性定理若：£[f 1(t)]=F 1(s) ， £[f 2(t)]=F 2(s) (a 、b 为常数) 则 £[a f 1(t) + b f 2(t)] = aF 1(s) + bF 2(s)2、微分定理若：£[f(t)]=F(s)则 £[d ⁿf(t)/dt ⁿ]=s ⁿF(s) - ∑s n-i-1 f (i) (0)式中f (i) (0)为f(t)及其各阶导数在t=0时的值∞∞∞n-1i=0若 f (i) (0) = 0 （a=1，2，…n ）则 £[d ⁿf(t)/dt ⁿ] =s ⁿF(s)3、积分定理若：£[f(t)]=F(s) ， 在零初始条件下： 则 £[∫…∫f(t)dt ⁿ]=1/s ⁿ F(s)4、位移定理（延时定理） 若：£[f(t)]=F(s)则 时域：£[f(t-t 0)1(t-t 0)] = F(s)eS 域：£[f(t)e ] = F(s+α)5、初值与终值定理若：£[f(t)] = F(s) ，且f(t)的拉氏变换存在， 则 f(0)=limf(t) = lim s F(s)f(∞)=limf(t)=lim sF(s)例：求阶跃函数 f(t)=A 1(t) 的象函数 解：F(s)= £[A 1(t)]= A £[1(t)]=A 1/s例：求脉冲函数δ(t) 的象函数 解： ∵δ(t) = d1(t)/dt∴应用微分定理（初零）得： F （s ）= £[d1(t)/dt] = sF(s) =s 1/s = 1-αt-st o-αtt →0t →∞s →∞s →0例：求f(t) = e sinwt 的拉氏变换 解：应用位移定理，F （s ）= £ [e sinwt] = w/[(s+α)²+w ²] 五 拉普拉斯反变换定义：若£-¹[F(s)] = f(t) = 1/（2πj ）∫ F(s)e dt ，则称上式为F(s)的拉氏反变换。
拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的实际应用
拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的实际应用拉普拉斯变换的实际应用在工程学上的应用应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉氏变换在微分方程(组)初值问题中的应用1．1 利用拉氏变换解常系数线性微分方程的初值问题例1 求初值问题Y”一2y +2y=e～，y(O)=0，Y (0)=1．例2求解初值问题用拉氏变换求常系数线性微分方程(组)，是把关于Y(t)的微分方程(组)转化成关于象函数l，(s)的代数方程，从而容易确定l，(s)．从象函数l，(s)求其拉氏逆变换即得原函数Y(t)．由于在求解过程中同时利用了初值条件，因此用拉氏变换求得的解是初值问题的解．如果把初值视为任意常数，则用拉氏变换求得的解就是通解．2 利用拉氏变换求积分方程用拉氏变换求解相关问题既方便又简洁．答案补充：应用拉普拉斯变换分析RLC电路,不需要确定积分常数拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应用ut(t,x)-∫0^t(t-s)^-1/2uxx(s,x)ds=f(t,x)的数值解。
该方法选择适当的n可以达到相当高的精度。
用拉氏变换引入网络函数的概念，网络函数是分析电路正弦稳态响应的工具，最后，希望以系统的方式将电路的时域特性与频域特性联系起来，拉氏变换加深对电路功能的理解。
答案补充拉氏反变换：有理真分式、有理假分式、部分分式展开法、具有独立实根的有理真分式的拉氏反变换、具有共轭复根的有理真分式的拉氏反变换、具有实重根的有理真分式的拉氏反变换、具有多重复根的有理真分式的拉氏反变换、假分式的拉氏反变换（为一个多项式和有理真分式之和，然后分别求其拉氏反变换）、F（s）的零点极点、初值定理和终值定理、初值定理终值定理的应用。
s域电路分析拉氏变换用于电路分析具有两个特点：第一，拉氏变换将线性常系数微分方程转化为容易处理的线性多项式方程，第二，拉氏变换将电流和电压变量的初始值自动引入到多项式方程中，这样在变换处理过程中，初始条件就成为变换的一部分。
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
积分变换 第6讲拉氏变换的性质及应用
1 s
F (s)
10
重复应用(2.8)式, 就可得到:
L
{ d t d t f (t ) d t} s
0 0 0
t
t
t
1
nF ( s)(29)n次11由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则
F (s) d s
f (t ) A[u (t ) u (t - t ) u (t - 2t ) ] Au(t - kt )
k 0
f(t)
4A 3A 2A
1A O
t
2t
3t
t
20
利用拉氏变换的线性性质及延迟性质, 可得
1 1 - st 1 - 2 st 1 -3 st L [ f (t )] A e e e s s s s
2
T T t - u t - 2 2
T 2 s
2 2 s T
(1 - e
),
2 T
24
例10 求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉 氏变换
fT(t)
E
O
T 2
T
3T 2
2T
5T 2
t
25
由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏 变换为
3
2.微分性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0) (2.3) 证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
a
u d v uv | - v d u
b a a
b
L [ f (t )] e
拉式变换(增补)
f (t ) = t[ε (t ) − ε (t − T)] 1 e−sT F(s) = 2 − 2 s s f (t ) = tε (t ) − (t − T)ε (t − T) − Tε (t − T) 1 1 −sT T −sT F(s) = 2 − 2 e − e s s s
例3 解
求周期函数的拉氏变换 求周期函数的拉氏变换 设f1(t)为第一周函数 为第一周函数
∞
−(s−c)t
dt
M = s −C
总可以找到一个合适的s值使上式积 总可以找到一个合适的 值使上式积 分为有限值， 的拉氏变换式F(s)总存 分为有限值，即f(t)的拉氏变换式 的拉氏变换式 总存 在。
典型函数的拉氏变换
F ( s) =
∫
+∞
f (t )e dt
−st
0−
单位阶跃函数的象函数
f (t) = ε (t)
微分性质
时域导数性质
若： [ f (t)] = F(s)
∫ udv = uv − ∫ vdu
则
df ( t ) dt = sF( s ) − f (0− )
∞ df (t) −st e dt = ∫ e−st df (t) ∫0− dt 0− ∞
df ( t ) 证： = dt
2
t
延迟性质
设：
注
[ f (t )] = F(s)
则： [ f (t − t0 )] = e F(s)
− st0
f (t − t0 ) = 0 当 t < t0
证：
[f(t - t0 )] = ∫0
∞ t0
−
∞
−
f (t −t0 )e−st dt
拉氏变换及应用
a,b为常数
则他们的组合为
L [ a f 1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F 2 ( s )
2、微分性质
L[ d f (t ) dt L[ d f (t ) dt
n 2 2 2 ] s F ( s ) 2 f (0 ) f (0 )
] sF ( s ) f (0 )
s1 t
i m 1
n
cie
si t
拉氏变换表如书中。 例
d y (t ) dt
2 2
2
d y (t ) dt
2 y (t ) (t )
y (0) y (0) 0
方程两端拉氏变换
带入初状态有
Y (s) s c1 1 2 j
1
2
2s 2 c2
m 1
c1 ( s s1 )
c m 1 s s m 1
cn s sn
系数如下
c m lim ( s s1 ) F ( s )
m s s1
c m 1 lim
[ ( s s1 ) ds
j m m
d [( s s1 ) F ( s )]
m
s s1
拉氏变换及应用
1、定义 如 f ( t ) e dt 其中 s j 为复变量存在 称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 记作F(s)= f ( t ) e dt 其中 s j F(s)=L[f(t)]称F(s)为f(t)的象函数，f(t) 为F(s)的原函数。 2、积分限问题 正常函数的积分下限为0但对于一些特殊函数的
7.4传递函数的物理意义
(s)Fk
(s)
k =1
传递函数的物理意义
则对于任一物理坐标位移响应的拉氏变换可表示为
N
∑ X e (s) = Hek (s)Fk (s) k =1
它表明，该系统第e个物理坐标位移响应的拉氏变换，等于各作用力 的拉氏变换与其对应的传递函数乘积的代数和。
原点传递函数的物理意义
若k=e时，Fe(s)≠0。当k ≠e时， Fk(s)=0 。则上式变为
H12 (s) H22 (s)
He2(s)
HN2(s)
H1 f (s) H2 f (s)
Hef (s)
H Nf (s)
H1N (s)
H2N (s)
HeN (s)
H NN (s)
利用以上两种方法，采取单点激振或单点拾振即可求出传递函数矩阵 [H(s)]的每个元素Hij (s)。
A2r Afr
A2
r
ANr
Aer A2r Aer Afr Aer ANr
ANr A2r ANr Afr ANr ANr
传递函数矩阵的任一列、任一行，都包含了Mr、Cr、Kr和一组Ar， r=1,2,…,N，所差的只是一个常量因子。例如：第e行AerArT中常量因子 为Aer。第f行AfrArT中常量因子为Afr 。因此为了求出模态矢量Ar，只要 测出传递函数的一列或一行元素就可以了。
( ) [ c] = AN−T diag Cr AN−1
传递函数在模态分析中的物理意义
( ) [ ] ( ) H s
=
1 AN−T diag M r s2 + Cr s + K r
AN−1
( ) =
AN diag
Mrs2 + Crs + Kr
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由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性
微分方程的方法的运算过程如图7-6：
常系数线性 微分方程 作拉氏变换 象函数的 代数方程 解代数方程 象原函数 求拉氏逆变 （微分方程的解） 换 图7-6 象函数
例7-20 求微分方程 y 3 y 2 y 2e
t
满足初值条件 y(0) 2，y(0) 1 的解． 解 对所给微分方程的两边分别作拉氏变
第4节 拉氏变换应用举例
下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中
的应用．
例7-19 求微分方程 x(t ) 2 x(t ) 0 满足 初值条件x(0)=3的解． 解 第一步 ,对方程两边取拉氏变换,并设 L[x(t)]=X(p).
L[ x' ( t ) 2 x(t )] L[0]
L[ x(t )] 2 L[ x(t )] 0 pX( p) x(0) 2 X ( p) 0
将初始条件x(0)=3代入上式，得
( p 2) X ( p) 3
这样，原来的微分方程经过拉氏变换 后，就得到了一个像函数的代数方程．
第二步
3 . 解出X(p): X ( p) p2
第三步 求象函数的拉氏逆变换： 3 1 1 x( t ) L [ X ( p)] L [ ] 3e 2 t p2 这样就得到了微分方程的解 x(t ) 3e
1 t 7 2t t y( t ) e 4e e 3 3
用拉氏变换还可以解常系数线性微分 方程组．
2 2 p 5p5 2 即( p 3 p 2)Y p1
解出 Y ，得
2 p2 5 p 5 Y ( p 1)( p 2)( p 1)
将上式分解为部分分式
1 7 4 3 Y 3 p1 p1 p 2
再取拉氏逆变换，就得到满足所给初
值条件的方程的特解为
换．设 L[ y(t )] Y ( p) Y ，则得
2 [ p Y py(0) y(0)] 3[ pY y(0)] 2Y p1 将初值条件 y(0) 2，y(0) 1 代入,得到
2
Y 的代数方程
2
2 ( p