初三数学相似三角形知识点总结
初三上册数学相似三角形pdf
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相似三角形：
1、定义：
相似三角形是指两个三角形内角相同，有同样的外接圆和共线对边，所以两个三角形都有同样的形状和大小，但是角度和面积大小不同。
这种三角形被称之为“相似三角形”。
2、条件：
要构成相似三角形，三角形必须满足以下条件：
（1）三角形内夹角一致；
（2）共线边等比相等，即三角形的边长之比为常数；
（3）有对应侧边对比相等。
3、性质：
（1）在两个相似三角形中，它们的外加线分别是对称的；
（2）根据等比例性，如果比较的是不同的边，那么两个三角形的各个边的比例必须是相同的；
（3）两个相似三角形的三内角之和相等：a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2；（4）两个相似三角形中对应顶点之间的距离满足以下关系：d1 : d2 = m : n，其中m，n为两个三角形对应边的比值。
4、运用：
在实际应用中，我们经常会遇到一些问题涉及相似三角形，其解决过
程可以运用到相似三角形的性质上。
例如：求相似三角形的比例尺比，缩放比，寻找对应边等等，尤其是在建筑工程中更多的应用到相似的
三角形原理，方便实施工程测量和施工。
初三数学相似知识点
初三数学相似知识点
1. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的对
应边长成比例，对应角度相等。
2. 相似比例：相似三角形的边长比值称为相似比例。
如果两个三角形的对应边长分别
为a:b:c和ka:kb:kc，那么它们的相似比例为a:b:c。
3. 相似三角形定理：包括AAA相似定理、AA相似定理和对应角边比相等定理。
其中，AAA相似定理指出如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似；AA相似定理指出如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们相似；对应角边比相等定理指出如果
两个三角形的两个对应角度相等，并且对应边长之比相等，那么它们相似。
4. 相似三角形的性质：相似三角形的相似比例等于对应边长之比；相似三角形的相似
比例等于对应角度的正弦值、余弦值或正切值；相似三角形的高线、中线等与对应边
长成等比例；相似三角形的面积与边长平方成比例。
5. 相似三角形的应用：相似三角形的定理在解决实际问题中有很多应用，如利用相似
三角形进行测量、解决影子问题、求解高度、求解距离等。
6. 图形的相似：除了三角形，其他图形（如矩形、圆、椭圆等）也有相似的概念和相
似关系，可以利用相似关系解决相关问题。
这些内容是初三数学中关于相似的主要知识点，希望对你有帮助！如有其他问题，请
随时提问。
北师大版初三上数学相似三角形(一)
相似三角形【知识要点】1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
3．相似三角形具有下述性质：①相似三角形对应角相等、对应边成比例；②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4．熟悉如图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形。
【典型例题】例1．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，BM∥CD交CA的延长线于M，求证：OC2 =OA·OMBGD例2 . 如图，三个正方形组成一个矩形，AB=AG=GH=HD=a ，求证：∠AFB+∠ACB=45°。
例3 . 已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，E 是CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，AB FG ⊥，垂足是G ，求证：FB FC FG ∙=2ABCDE G H例4．如图，已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB 。
（1）求证：△ADE ∽△EFC 。
（2）如果△ADE 和△EFC 的面积分别是20和45，求四边形BFED 的面积。
例5. 如图所示，△ABC 中AB=AC ，D 为CB 的延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2=DB ·CE 。
（1）求证：△ADB ∽△EAC ； （2）若∠BAC=40°，求∠EAD 的大小例6.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F求证：△AEF ∽△ACBADBCE例7．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .（1）求证：OE=OF ； （2）求证：EFBC AD 211=+。
初三数学知识点归纳总结
初三数学知识点归纳总结（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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数学初三必考知识点归纳
数学初三必考知识点归纳这里按照五个大类把初三的全部知识点都整理一遍，一共二十八个知识点，如下所示：一、相似三角形（7个考点）考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：（1）理解相似形的概念；（2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。
考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。
考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。
考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理（包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理）和性质，并能较好地应用。
考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用。
考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比（2个考点）考点8：锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30度、45度、60度角的三角比值。
考点9：解直角三角形及其应用考核要求：（1）理解解直角三角形的意义；（2）会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。
三、二次函数（4个考点）考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：（1）通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念；（2）知道常值函数；（3）知道函数的表示方法，知道符号的意义。
考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：（1）掌握求函数解析式的方法；（2）在求函数解析式中熟练运用待定系数法。
注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。
九年级数学第二十九章 相似三角形;三角形相似的条件冀教版知识精讲
初三数学第二十九章 相似三角形；三角形相似的条件冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形和三角形相似的条件1. 了解相似三角形、相似比的含义．2. 掌握两个三角形相似的判断条件，并能够运用三角形相似的判断方法解决一些简单的问题．二. 知识要点： 1. 相似三角形（1）相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形． （2）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比． （3）表示方法：用符号“∽”来表示相似，读作“相似于”．如图所示，△ABC 和△A ’B ’C ’相似，记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”，读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”．A B CA'C'B'说明：（1）这个定义告诉我们：①如果两个三角形的角对应相等、边对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例．（2）相似比是有顺序的．例如：若△ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为k ，则△A ’B ’C ’∽△ABC ，那么相似比为1k ．2. 三角形相似的条件（1）如果两个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．例如：如图所示，若∠A ＝∠A ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若∠A ＝∠A ’，∠C ＝∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若∠C ＝∠C ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’． 说明：只要有两对角对应相等，这两个三角形就相似．“对应”不一定非得是“A 对A ’，B 对B ’，C 对C ’”．A B A'B'（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．例如：如上图所示，若AB A ’B ’＝BCB ’C ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’；若BC B ’C ’＝CA C ’A ’，∠C ＝∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若AB A ’B ’＝AC A ’C ’，∠A ＝∠A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．例如：如上图所示，若AB A ’B ’＝BC B ’C ’＝CAC ’A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．三. 重点难点：本讲重点是相似三角形的定义和三角形相似的条件，难点是应用三角形相似的三个条件解决一些问题．【典型例题】例1. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的一点，当∠1＝__________，∠2＝__________时，或ACAB＝__________＝__________时，△ADC ∽△ACB ． ABCD12分析：要使△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的定义，三组对应角分别相等，三组对应边成比例，由图可知，∠A 为公共角，∠1的顶点与∠ACB 的顶点重合．∴点A 与点A 对应，点C 与点B 对应，点D 与点C 对应，∴∠1＝∠B ，∠2＝∠ACB ，AC AB ＝AD AC ＝DCCB．解：∠B ，∠ACB ，AD AC ，DCCB评析：在找对应边、对应角时，应先观察图形，找出图形中的条件，如公共角、公共边等，再找出对应顶点、对应边和对应角．在写相似表达式时，应尽量把对应顶点的字母写在对应的位置上．例2. （1）若△AED ∽△ABC ，AD ＝6cm ，AC ＝12cm ，则△AED 与△ABC 的相似比为__________． （2）有一个三角形的三边长为2、3、4，若另一个和它相似的三角形的最短边长为8，则第二个三角形的周长为__________．分析：（1）相似三角形的相似比就是其对应边的比．∵△AED ∽△ABC ，∴边AD 与AC对应．∴相似比为AD AC ＝612＝12．（2）由题意知，要求周长，应知道三边长，两个三角形相似，则对应边成比例，这里的对应指大边对大边，小边对小边，题目中给出的第二个三角形的最短边长是8，因此应找出第一个三角形的最短边与之对应，这条对应边长应为2，所以相似比为28＝14，设另两边长分别为x 、y ，则3x ＝4y ＝14，解得x ＝12，y ＝16，∴第二个三角形的周长为8＋12＋16＝36．解：（1）12（2）36评析：（1）①求相似比时要注意顺序，哪个三角形在前，它的对应边就作为比的前项．②相似比实际上反映的是一个图形的放大或缩小，相似比大于1，说明图形被放大；相似比小于1，说明图形被缩小；相似比等于1，说明两个图形全等．③若△ABC 与△A'B'C'的相似比为k ，则△A'B'C'与△ABC 的相似比为1k ．（2）找两个相似三角形的对应边、对应角的方法有两种：①如果给出相似表达式，就先找对应顶点，再找对应边、对应角．②如果已知对应角，那么对应角所对的边就是对应边；如果已知对应边，那么对应边所对的角就是对应角．找两个相似三角形的对应边还有一个原则：大边对大边，小边对小边．例3. 如图所示，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似的三角形共有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对ABCDGEF分析：由AD ∥BG ，可得∠DAE ＝∠G ，∠ADB ＝∠DBG ，可推出△AED ∽△GEB ，同理可推出△AFD ∽△GFC ；由AB ∥DC 可得到△AEB ∽△FED 和△ABG ∽△FCG ，由相似图形的传递性，知△GAB ∽△AFD ，又△ABD ∽△CDB ，∴图中共有6对相似三角形，故正确答案为D ．解：D评析：充分利用题目中的条件，如平行、垂直等推出相等的角，如公共角，对顶角等．例4. 如图所示，BC 平分∠ABD ，AB ＝4，BD ＝5，当BC ＝__________时，△ABC ∽△CBD ．AB CD分析：因为BC 平分∠ABD ，所以得到∠ABC ＝∠CBD ，又题目中给出的条件是边，所以要使△ABC ∽△CBD ，只要两边对应成比例且夹角相等即可，所以只需AB BC ＝BC BD ，即BC 2＝AB ·BD ．又AB ＝4，BD ＝5，所以BC 2＝4×5＝20，所以BC ＝25．解：2 5例5. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的平分线． （1）△ABC 和△BCD 相似吗？（2）试说明AD 2＝DC ·AC ；（3）若AC ＝5＋1，求BC 的长．AB CD分析：有一个角为36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，故∠CBD ＝36°，则可推出△ABC ∽△BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．解：（1）因为∠A ＝36°，AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝72°． 又因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝36°． 所以AD ＝BD ＝BC ，所以△ABC ∽△BCD ．（2）因为△ABC ∽△BCD ，所以BC AB ＝CDBC，所以BC 2＝AB ·CD ，即AD 2＝AC ·CD ．（3）由AD 2＝AC ·CD ，得D 为线段AC 的黄金分割点，所以AD ＝5－12·AC ＝5－12·（5＋1）＝2，而BC ＝AD ，故BC ＝2．评析：识别三角形相似的思路：①有一对等角，找⎩⎪⎨⎪⎧另一对等角等角的两边对应成比例 ；②有两边对应成比例，找⎩⎪⎨⎪⎧夹角相等第三边成比例 ；③直角三角形，找一对锐角相等；④等腰三角形，找⎩⎪⎨⎪⎧顶角相等一对底角相等底和腰成比例．例6. 为了测量校园内一棵不可攀登的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索： 如图所示，把镜子放在离树（AB ）的点E 处，然后沿着BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝，观察者目高CD ＝，请你计算出树的高度．（精确到）ABC D解：因为∠D ＝∠B ＝90°，∠CED ＝∠AEB ，所以△CDE ∽△ABE ，所以CD AB ＝DE BE ．因为CD ＝1.6，DE ＝2.7，BE ＝8.7， 所以AB＝，所以AB ≈5.2．答：树的高度约是．评析：光线的入射角和反射角是相等的，故可得∠CED ＝∠AEB ，然后可利用相似三角形的性质解决问题．【方法总结】1. 三角形相似的条件有三个：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．2. 相似三角形判定方法的作用：①可以用来判定两三角形相似；②间接说明角相等，线段成比例；③间接为计算线段长度及角的大小创造条件．3. 有关三角形相似的基本图形：①如图1所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ；②如图2所示，若∠ADE ＝∠B ，则△ADE ∽△ABC ；③如图3所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ．A BC D E ABC D E ABCDE图1图2图3【预习导学案】（相似三角形和相似多边形的性质）一. 预习前知1. 相似三角形的对应边__________，对应角__________．2. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，AB ＝3，BC ＝4，A ’B ’＝5，∠A ＝80°，∠B ＝30°，求B ’C ’的长与∠C ’的度数．3. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ，点D 是AC 的中点．找出图中的相似三角形（不包括全等三角形），并求出其相似比．A BCD二. 预习导学1. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，C △ABC ＝12，ABA'B'＝2，求C △A ’B ’C ’． 2. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，S △ABC ＝12，ABA'B'＝2，求S △A ’B ’C ’．3. 如图所示的两个四边形相似，找出图中的对应角、对应边、并用比例式表示．ABEF4. 两个相似多边形的相似比为2∶3，则它们周长的比为__________，面积的比为__________． 反思：（1）相似三角形有什么性质？（2）相似多边形有什么性质？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 已知△ABC ∽△A'B'C'，如果∠A ＝75°，∠B ＝25°，则∠C'的度数为（ ） A ．80° B ．70° C ．60° D ．50°2. 下列说法中正确的个数是（ ） ①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的等边三角形都相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. △ABC ∽△A'B'C'，且相似比为23，△A'B'C'∽△A''B''C''，且相似比为54，则△ABC与△A''B''C''的相似比为（ ）A ．56B ．65C ．56或65D ．8154. 具备下列各组条件的△ABC 和△A'B'C'，不能判定它们相似的是（ ） A ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B' B ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠C' C ．∠A ＝∠B'，∠B ＝∠C' D ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠A'5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）ABCABCD*6. 已知，如图所示，D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且△AED ∽△ABC ，∠A ＝35°，∠C ＝85°，则下列结论错误的是（ ）A ．AD ·AB ＝AE ·AC B ．∠AED ＝60° C ．DE BC ＝AD AC D ．DE BC ＝AD ABA BCDE7. 下列4个三角形中，与右边三角形相似的是（ ）ABC55555575°30°D5540°**8. 如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对A BCD EF G H二. 填空题1. 若两个三角形的相似比是1，则这两个三角形__________．2. 已知△ABC ∽△DEF ，则∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝__________，ABDE ＝__________＝__________．3. △ABC 的各边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A'B'C'的最大边长为18cm ，那么△A'B'C'的最小边长为__________．4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1、DE ＝2、BD ＝3，则BC ＝__________．A D EC B5. 如图所示，△ABC ∽△DBE ，且AD ＝12AB ，则△ABC 与△DBE 的相似比为__________．ABCDE6. 如图所示，（1）若AEAB ＝__________，则△AEF ∽△ABC ，理由是__________；（2）若__________∥__________，则△AEF ∽△ABC ．AB CEF*7. 如图所示，AC 、BD 相交于O ，若给出__________＝__________，则可以使△AOB ∽△DOC ，若给出DC 2＝DO ·DB ，则可以使__________∽__________．A BC DO**8. 如图所示，△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，要使△ABD ∽△ACE ，已具备的条件是__________，还需要添加的条件是__________或__________或__________．A BCDE三. 解答题1. 依据下列各组条件判定△ABC 与△A ’B ’C ’是否相似，并说明理由．（1）∠A ＝45°，AB ＝12cm ，AC ＝15cm ，∠A ’＝45°，A ’B ’＝16cm ，A ’C ’＝20cm ； （2）∠B ＝80°，AB ＝，BC ＝2cm ，∠B ’＝80°，A ’B ’＝，B ’C ’＝．2. 如图所示，若∠A ＝∠C ，那么△OAB 与△OCD 相似吗？OA ·OD ＝OB ·OC 吗？为什么．ABCDO3. 如图所示，已知△ADE ∽△ABC ，△DBF ∽△ABC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求BF 的长．A BCDEF*4. 请你制作两个三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，如何选料可使这两个三角形相似？**5. 四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，指出图中有哪些相似三角形，并说明理由．如图所示．ABCDEO1234试题答案一. 选择题1. A2. B3. A4. D5. A6. D7. C8. C二. 填空题1. 全等2. ∠D ，∠E ，∠F ，AC DF ，BC EF3. 6cm4. 85. 2∶16.（1）AFAC ；两边对应成比例，且它们的夹角是对顶角（相等）（2）EF ，BC 7. ∠ABO （或∠BAO ），∠BDC （或∠ACD ），△BDC ，△CDO 8. ∠A ＝∠A ，∠ABD ＝∠ACE ，∠ADB ＝∠AEC ，AD AE ＝ABAC三. 解答题1. （1）相似，因为AB A ’B ’＝1216＝34，∠A ＝∠A ’＝45°，AC A ’C ’＝1520＝34．（2）相似，因为AB B ’C ’＝＝57，BC A ’B ’＝2＝57，且它们的夹角∠B ＝∠B ’＝80°，所以△ABC ∽△C ’B ’A ’．（点A 的对应顶点是C ’，点B 的对应顶点是B ’，点C 的对应顶点是A ’）2. ∵∠A ＝∠C ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，∴OA OC ＝OBOD ，∴OA ·OD ＝OB ·OC3. ∵△ADE ∽△ABC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，∴AD AB ＝DE BC ，∴44＋8＝5BC，∴BC ＝15cm 。
初三数学九下相似所有知识点总结和常考题型练习题
相似知识点一、比例的性质二、相似三角形：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽〞表示，读作“相似于〞。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边〔或两边的延长线〕相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型 斜三角形直角三角形全等三角形的判定 SAS SSSAAS 〔ASA 〕 HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边与一条直角边与另一个直角三角形的斜边与一条cd a b = db c a a c b d ==或 合比性质：ddc b b a ±=±⇒=⇔=bc ad dcb a 〔比例根本定直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2相似练习一. 选择题1．如图，DE ∥BC ，AD ：DB=2：1，那么△ADE 与△ABC 的相似比为 ( )A ．12B ．23C ．14D ．22．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，那么在以下比例式中，正确的选项是 ( ) A ．AB OA CD AD = B ．OA OB OD BC = C ．AB OB CD OC =D ．BC OBAD OD = 3．以下表达中，不正确的选项是( )A ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=20°，在Rt △A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，∠A ′=20°，那么△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．△ABC 的两个角分别是35°与100°，△A ′B ′C ′的两个角分别是45°与35°，那么这两个三角形相似C．等腰△ABC与等腰△A′B′C′都有一个角为90°，那么△ABC与△A′B′C′相似D．等腰△ABC与等腰△A′B′C′都有一个角为105°，那么△ABC与△A′B′C′相似4．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB=3，CD=6，AP=4，那么DP 的长为( )A．3 B．4 C．6 D．8 5．如图，AB∥CD∥EF，那么图中相似的三角形共有( )A．4对B．3对C．2对D．1对6. 如图，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( ) A．13B．23C．34D．457. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C的坐标为〔〕A．(2，1) B．(2，0)C．(3，3) D．(3，1)8. 如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，那么△AEF与多边形BCDFE的面积之比为〔〕A．B．C．D．二、填空题6．如图，△ADE ∽△ABC ，那么AD ：DB=__________．7．在△ABC 中，∠A=40°，∠B=75°，那么在如下图的三角形中，与△ABC 相似的是_______．8．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，请你添加一个条件，使△ADE 与△ABC 相似．你添加的条件是_______________．9．如图，DE ∥BC ，假设AD=3，BD=2．AE=6，那么AC=__________．10. 如果kf e d c b a ===〔0≠++f d b 〕，且)(3f d b e c a ++=++，那么k =_11. 在□ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，那么S △MOD ：S △COB = ． 三、解答题11．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，假设∠A=38°，∠C=82°，∠1=60°，那么AD ABAE AC=成立吗为什么 12．请设计三种不同的分法，将如下图的直角三角形分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原三角形都相似(要求画出分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求写出画法，不要求说明理由)．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， EF ∥AB ，说明：△ADE ∽△EFC ．14．：bc c a ba --=。
相似三角形模块知识点及题型整理
特殊三角形和相似一、章节目录二、地位和作用构成三角形的是边和角, 全等三角形涉及的是等边等角的三角形, 相似三角形涉及的则是等角的三角形. 全等是相似的特殊情况, 相似是对全等关系条件放宽, 按照相似关系将三角形进行分类,同一类三角形只有大小不一样,但保留了边与边之间的比值关系(形状). 因此本模块内容主要是两部分, 一是相似的基本概念,性质与判定; 二是特殊三角形(每一类特殊三角形都是相似关系)和三角函数(在相似的关系下一个角的三角函数是不变量) 考点上,相似三角形和全等在分布和难度上都类似, 选择题和填空题主要考察基本概念,判定以及性质; 大题综合考察, 也会与函数结合, 需要总结方法和思路; 特殊三角形单独考察一般是小题, 更多的是结合在其他证明题中作为条件出现, 需要对特殊三角形的性质烂熟于心; 解直角三角形会有一道大题, 主要是勾股定理应用, 方程法等等.三、知识点总结（一）特殊三角形1、等腰三角形（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性质：等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（“三线合一”）等腰三角形关于顶角中线对称.（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个等角所对的边相等.2、等边三角形（1）概念：三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形. （2）性质：等边三角形具有等腰三角形的一切性质等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.（3）等边三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.3、直角三角形（1）性质：直角三角形的两个锐角互余.（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.（3）三角形斜边的中线性质：三角形斜边上的中线是斜边的一半.证明：倍长中线构造全等.（4）两个特殊直角三角形：30°，60°，90°：30°所对直角边是斜边的一半.45°，45°，90°：等腰直角三角形，顶角中线把三角形又分为两个等腰直角三角形4、勾股定理（1）定理内容：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方. （a2+b2=c2）.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形中有两个边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形是直角三角形.5、直角三角形全等判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.6、反证法证明一个命题是真命题：①假设命题的结论不成立；②从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.③由矛盾的结果，知假设不能成立，从而说明命题的结论是正确的.讲反证法这类逻辑上的内容,可以多结合生活中的例子,从现实中体会其核心思想.（二）图形的相似1、比例线段（1）四条线段之间的关系:在四条线段a,b,c,d 中, 如果线段a 与b 的比等于线段c 与d 的比, 即a b=c d, 就称这四条线段为成比例线段, 简称比例线段, 我们也称这四条线段成比例.（2）比例线段的基本性质①如果ab=c d, 那么ad =bc .②如果ad=bc , 那么ab=cd(b,d =≠0)（3）黄金分割C 是线段AB 上的一个点，如果有ACAB =BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点，ACAB称为黄金分割比.黄金分割比即：全线段：较长边=较长边：较短边. 黄金分割比为常数√5−12, 约为0.618.2、平行线分线段成比例（1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的线段成比例. 如图所示l1//l2//l3, 则AB:BC=DE:EF.将这个事实应用于三角形后：（2）推论：平行于三角形的一边截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.（ADAB =AEEC）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形对应边成比例.（ADAB =AEAC=DEBC，第三边证明方法是过D作AC平行线.）3、相似三角形（1）概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做相似比. 若△ABC与△DEF相似，记作△ABC∼△DEF, A和D，B和E，C和F是对应点.（2）相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线与另外两边构成的三角形与原三角形相似.思路指导：遇平行找相似.②三条边分别成比例③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.④两组角对应相等的两三角形相似.注意课本中后四个判定的证明方法，判定①是最简单、基本的那个，后三个相似判定都是通过转化为①的情况加以证明的，由平行构造出的相似三角形也是最简单的相似模型.（“A”字形和“8”字形）（3）相似三角形的性质①对应角相等，对应边成比例.②对应的中线、高线、角平分线之比为相似比，周长之比也为相似比.③面积比为相似比的平方.（4）相似模型：①“A”字形相似和“8”字形相似.（一组等角和两条邻边判定.）A字形相似是由直线截得的相似，在已知一个三角形的情况下，用一条直线截这个三角形，使得直线与三角形边的夹角等于已知三角形的一个角，进而通过两个角对应相等判定截得的三角形与原三角形相似.8字形也是由直线截得的，与A字形不同的是，在这里直线截的是△ABC的两条边所在的直线，最终截得的图如下：②射影定理（三个直角三角形三组相似）如图所示△ABC是直角三角形，CD⊥AB, 则三个直角三角形两两相似，根据相似关系可得：AC2=AD⋅ABCB2=BD⋅BACD2=AD⋅DB③共线三等角（两组角对应相等）共线三等角是如图给出的相似，由∠ACB+∠DCE=180○−α=∠ACB+∠A，得∠A=∠DCE, 从而△ABC∼△CED.④旋转相似如上图,△AED,△ACB是任意三角形,ED//CB,将△AED经过旋转至图2后,形成的△ACE∼△ABD.旋转相似是前面全等三角形手拉手模型的推广,可以看到,当AC=AB时,相似比为1,也就是两个三角形全等.4、相似三角形的应用：间接测量（测旗杆）利用△ABO∼△CBD,测量BD,BO得相似比，通过CD求得OA.（测河宽）由C作AB平行线构造相似.（三）解直角三角形1、锐角三角函数锐角三角函数：在相似的意义下，三角形自身边的比值是一个不变量，因此定义一个研究这类比值的量，就是三角函数.（1）概念在直角三角形中，A是其中一个锐角：)①正弦函数sin ∠A：∠A的对边与斜边的比.(sin∠A=ac②余弦函数cos ∠A:∠A的邻边与斜边的比.(cos∠A=b)c)③正切函数tan∠A: ∠A的对边与邻边的比.(tan∠A=ab注意：2sin∠A2=sin(∠A2),sin2∠A=(sin∠A)（2）锐角三角函数的值当锐角A确定，所有以A为一个锐角的直角三角形都是相似的关系，因此他们三边之间的比值都是相等的, 因此A的角度唯一决定了三角函数的值. 即sin∠A,cos∠A,tan∠A都是A的函数.（3）锐角三角函数的性质设∠A与∠B互余，放在同一个直角三角形内，由它们各自三角函数的定义可得：①sin∠A=cos∠B②tan∠A ⋅tan∠B=1同角的三角函数有两个常用性质：①tan∠A=sin∠Acos∠A②sin2∠A+cos2∠A=1（4）几个特殊角度的三角函数值.2、锐角三角函数的计算这里涉及到计算的考点主要是上面特殊角的三角函数值，与正常的实数计算没有区别，把其中的三角函数换成对应的值就是一个普通的计算题了.3、解三角形直角三角形中，三条边和两个锐角共五个元素，知道其中两个（至少一个是边，一边一角或两边就可以确定这个直角三角形）就可以求出另外三个元素. 求解的过程就叫做解三角形.（1）斜三角形内作高构造直角三角形向外高构造直角三角形（2）俯仰角、方位角、坡度仰角：进行测量时，向上看时视线与水平线夹角α.俯角：向下看时视线与水平线夹角β.方位角：指的是南或北方向线与目标方向线所成的锐角.名称如图所示.坡度（坡比）：坡面的垂直高度（h）和水平宽度（l）的比叫坡度，以i表示.坡角：坡面与水平面的夹角（α）i=tanα四、常考题型（一）特殊三角形1、等腰三角形和等边三角形出题方向：填空题或者选择题，一般为图形计算，等腰作为条件出现，需要利用等腰所具有的性质进行计算. 或者在证明题中作为条件, 利用等腰三角形的性质构造辅助线.A若等腰三角形的周长为10cm, 其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为:_____ 考点:等腰三角形;分类讨论;三边关系.如图,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36○, BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC考点: 等腰三角形的性质,以及判定. 顶角为36°的等腰三角形也是常考的一个图形.AB的长为半径画圆,两弧如图,已知AB=AC,AB=5,BC=3, 以A,B两点为圆心, 大于12相交于M,N,连接MN与AC相交于点D,则ΔBDC的周长为:_____.考点:等腰三角形的性质; 尺规作图. 在计算ΔBDC周长时,需要通过分析转化为求AC与BC的和, 这也是在三角形计算中经常会考到的一个思想.如图,已知AD⊥BC于点D, AE⊥CE于E, ∠ACE =∠B, AD=AE,求证: D是BC的中点.考点: 结合全等等腰三角形判定; 三线合一性质如图,点D、E在Δ ABC的BC边上, AB=AC,AD=AE,求证BD=CE.考点：三线合一,利用中线性质作辅助线进行证明. 不需要证明全等.在等腰三角形中三线合一,因此顶角中线(高线/角平分线)是一条重要的辅助线.如图:RtΔABC中, ∠BAC=90○, AB=AC, D是BC的中点,AE=BF.求证:DE=DF.考点:全等三角形证明;其中等腰是条件,需要想到作出高线构造全等.如图:已知ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一条直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E=_____度.考点：等边三角形和等腰三角形的性质;外角性质.B如图, 在ΔABC中,AB=AC, AD,CE是两条中线,P是AD上的一个动点, 则BP+EP的最小值是:_____.考点: 三角形顶角中线的性质(对称性), 与将军饮马模型结合.如图,ΔABC是等边三角形, 延长BC到D, 使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为_____.考点:等腰、等边三角形; 特殊三角形已知2是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为（）A. 10B.14C.10或14D.8或10.考点:等腰三角形和方程结合;分类讨论;三边关系.AC, 则等腰ΔABC底角的度数等腰ΔABC中, BD⊥AC, 垂足为点D, 且BD=12为:_____.考点:等腰三角形;分类讨论;特殊三角形等腰三角形中分类讨论的特点: ①没有图. ②若给出三角形的两个边,则这两个边都可以作为腰, 因此分类讨论; 又同时必须满足三边关系, 得出结果也要进行取舍.如图,已知点O是∠APB内的一点,M、N分别是点O关于P A、PB的对称点，连接MN，与P A，PB分别相交于点E、F,已知MN=6cm.(1)求△OEF的周长;(2)连接PM、PN，若∠APB=α, 求∠MPN(用含α的代数式表示)(3)在(2)的条件下,若α=30°,判定△PMN的形状,并说明理由.考点:几何证明大题,其中涉及了等边三角形的判定. 也是一类动点题的经典考法.如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE, AD与CE交于点F.(1)求证AD=CE(2)求∠DFC的度数考点: 正多边形中的“弦图”，利用的是正多边形中心旋转对称性.2、直角三角形A如图所示，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_____.考点：涉及到直角三角形的简单计算题.已知：在△ABC中，AD⊥BC,∠1=∠B, 求证：△ABC是直角三角形.考点：直角三角形判定如图，在△ABC中，∠ACB=90○,∠ABC=60○，BD平分∠ABC,P是BD的中点，若AD=6，则CP的长为_____.考点：直角三角形中线的性质.如图所示，△ABC中，AB=AC，E为AB的中点，BD ⊥ AC，若∠DBC=20○,则∠BED 为______考点：应用直角三角形中线的性质，连接中线后构造出等腰三角形.B如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=_____°（点A,B,P是网格线交点）考点：直角三角形判定；外角性质. 作法是加倍延长AP后连接终点与B，构造出的三角形是等腰直角三角形.如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A’与点A重合，点C’落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB=∠AC′B′=90○，AC=BC=3,则B′C的长为_____.考点：主要是勾股定理的应用.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90○，AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点，连接BM,MN,BN.（1）求证：BM=MN；（2）若∠BAD=60○,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.考点:直角三角形中线性质;中位线性质;等腰直角三角形性质.如图,在Rt△ABC中, ∠A=90○,AB=AC,BC=√2+1,点M、N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B, 使点B的对应点B’始终落在边AC上. 若△MB′C为直角三角形，则BM的长为：_____.考点:动点问题,一般有两个特征:一是列代数式,列方程的思想; 二是分类讨论.本题还与折叠问题相结合.看似M、N都是动点，实际上N是随M取定而确定的.3、勾股定理勾股定理在三角形的计算中起着非常重要的作用，前面给出的部分例题也有涉及，勾股定理最常见的是作为一个方法与直角三角形相关的问题紧密结合.在一个直角三角形中，如果其中两条边分别是6和10，那么第三条边的长度是：_____.考点：直角三角形的勾股定理已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式√c2−a2−b2+|a−b|=0,则△ABC 的形状为_____.考点：勾股定理的逆定理，判定直角三角形如图，△BCD中，AB=4，AD=3, BC=13, CD=12, 且∠BAD=90○, 求△BCD的面积.考点：勾股定理的逆定理. 首先求出BD，得出△BDC是直角三角形.（二）相似三角形1、几类经典的相似模型（1）A字形相似和8字形相似如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在边AB上，AM=3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为:_____.注意是“截得”的三角形，那么对应前面的总结，应当考虑的是截线与边的夹角∠AMN 与∠B 或∠C对应，要分类讨论,两种情况下对应关系不同，就能求出两个结果.如图，已知在△ABC中，AB=20,BC=12,D是AC上一点，过点D作DE//BC交AB于E，作DF//AB交BC于F，设四边形BEDF为菱形.①求菱形的边长②求菱形BEDF面积与△ABC的面积之比.如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若AFEF =3，求CDCG的值.①尝试探究：在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H，则易求ABEH 的值是:_____,CGEH的值是:_____, CDCG的值是:_____.②类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFEF =m(m>0), 则CDCG的值是:_____(用含m的代数式表示)，写出解答过程;③拓展迁移：如图3，在梯形ABCD中，DC//AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若ABCD =a,BCBE=b(a>0,b>0),则AFEF的值是：_____（用含a、b的代数式表示.）写出解答过程构造相似，其思路是结合已知条件（线段的比），使之称为相似三角形中的对应边.（2）射影定理已知CD是△ABC的高，DE⊥CA,DF⊥CB，如图，求证:△CEF∼△CBA.如图，在△ABC中，∠ACB=90○,AD为边BC上的中线，CP⊥AD于点P，求证：AD⋅PB=AB⋅BD.3、共线三等角（1）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,∠ADE=60○,则AE的长为：_____.将条件标上，应该就能找到相似模型了.（2）△ABC中，∠C=90°, AC=3, BC=4,O是AB上的一个点,且AOAB =25,点P是AC上的一个动点,PQ⊥OP交线段BC于点Q(不与B、C重合)，已知AP=2，求CQ的长.思路是由O作垂线构造三等角模型.4、旋转相似（1）如图，在平行四边形ABCD中，AC=CD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠EAF=∠CAD.证明：①△ACE∼△ADF②EA=EF.（2）1）如图①，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；2）将图①中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图②，求HD:GC:EB;3）把图②中的正方形都换成矩形，如图③，且已知DA:AB=HA:AE=m:n，此时HD:GC:EB 的值与2）中结果相比有变化吗？如果有，写出变化后的结果.（三）解三角形1、锐角三角函数（1）如图所示小正方形网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则cosA的值为：_____.（2）在△ABC中，∠C=90°，AB=√6,BC=√3,则∠A的度数为：_____.（3）计算题在△ABC中，若,∠A、∠B都是锐角，求∠C的度数.2、解三角形（1）如图，在△ABC中，AB=2,AC=4,∠A=120°，求BC的长.解三角形的一个重要方法是作高线构造直角三角形，然后利用勾股定理..求BC和AC的长.（2）如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=2√2,tanC=23（3）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面水平放置一个平面镜E，使得B，E，D处在同一水平线上，如图所示. 该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED）,在F处观测旗杆顶A 的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82,tan84.3○≈10.02）（4）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然后沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A,C两港之间的距离为：_____（5）如图，水坝的横断面是梯形ABCD，背水坡AB的坡角∠BAD=60°,坡长AB=20米,为增强水坝强度,将坡底从A处向后水平延伸到E处,使新的背水坡的坡度为1:2,求AE 的长度.(结果精确到1米,参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732).。
相似三角形知识点
《相似三角形》知识点归纳所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法有：平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
射影定理相似三角形的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方以上就是xx教育网为大家带来的人教版初三数学《相似三角形》知识点归纳，希望大家能够熟练掌握这些知识点，这样考试的时候就能熟练运用，从而取得好的成绩。
第22章《相似三角形》知识点整理本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项----黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a,b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果线段a,b的比等于线段c,d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项:如果a：b=b:c,那么b叫做a,c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
【重点梳理】-初三数学-相似三角形的判定
要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，∽，
则说明点 A 的对应点是 A′，点 B 的对应点是 B′，点 C 的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为 1 时，两个三角形全等.
核心知识点二：相似三角形的判定定理
1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
\。
初三数学教材相似三角形的判定与性质
初三数学教材相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学教材中的重要概念之一。
它在几何学中具有广泛的应用，无论是在解题还是在实际生活中都有着重要的作用。
本文将重点探讨初三数学教材中相似三角形的判定与性质。
一、相似三角形的判定方法在数学教材中，相似三角形的判定主要有以下几种方法：1. AAA相似判定法：当两个三角形的三个角分别相等时，可以判定它们是相似三角形。
简而言之，如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似判定法：当两个三角形的两个角对应相等，并且它们的对应边成比例时，可以判定它们是相似三角形。
这是相似三角形判定中常用的方法之一。
3. SSS相似判定法：当两个三角形的对应边之比相等时，可以判定它们是相似三角形。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些独特的性质，下面将逐一进行介绍：1. 对应角相等性质：对于两个相似三角形，它们的对应角是相等的。
这个性质对于解题时的证明操作非常重要。
2. 对应边成比例性质：对于两个相似三角形，它们的对应边成比例。
这一性质在解题中常用于求解未知边长或者比例。
3. 高度成比例性质：对于两个相似三角形，它们的高度和底边之比相等。
这一性质在解题中常常用于求解高度。
4. 面积成比例性质：对于两个相似三角形，它们的面积之比等于任意两条对应边之比的平方。
5. 周长成比例性质：对于两个相似三角形，它们的周长之比等于任意两条对应边之比。
6. 中线成比例性质：对于两个相似三角形，它们的中线与底边的比等于任意两条对应边之比。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学的应用非常广泛。
以下是一些常见的应用场景：1. 比例尺问题：在地图或者工程图中，为了保持比例，常常使用相似三角形来进行计算与测量。
2. 相似三角形的证明：在解题时，经常需要通过证明两个三角形相似来推导出结论。
3. 测量难度较大的物体：通过相似三角形的性质，可以通过测量一个物体的一部分来推测整体的尺寸。
4. 图形的放大与缩小：通过相似三角形的比例关系，可以实现图形的放大与缩小。
初三数学相似三角形的性质与判定知识精讲
初三数学相似三角形的性质与判定知识精讲一. 本周教学内容：相似三角形的性质与判定二. 学习重点和难点1. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等.（2）相似三角形的对应边的比相等.（3）相似三角形的对应线段成比例.（4）两个相似三角形的周长比等于相似比.（5）两个相似三角形的面积比等于相似比的平方.2. 相似三角形的判定方法：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本图形：C推理格式：在△ABC中，∵ DE//BC，∴△ADE∽△ABC.（2）如果两个三角形三组对应边．．．的比相等，那么这两个三角形相似. 基本图形：B推理格式：在△ABC和△'C'B'A中，'A 'C CA 'C 'B BC 'B 'A AB ==， ∴△ABC ∽△'C 'B 'A .（3）如果两个三角形的两组对应边．．．的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.基本图形：B推理格式：在△ABC 和△'C 'B 'A 中，'C 'A AC 'B 'A AB =，∠A=∠'A ABC ∆∴∽△'C 'B 'A . （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应．．相等，那么这两个三角形相似. 基本图形：B推理格式：在△ABC 和△'C 'B 'A 中，∵∠A=∠'A ，∠B=∠'B ，∴△ABC ∽△'C 'B 'A .三. 我们的目标：通过学习进一步理解相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理的应用.例1. 如图，BC ⊥AF ，FD ⊥AB ，垂足分别为C 、D ，那么图中有_________对相似三角形.FCEA D B分析：观察图形，我们可以发现，图中有4个∆Rt ，它们是ADF R t ABC R t ∆∆，，E DB Rt ∆，CFE Rt ∆.这四个∆Rt 每两个之间都相似，所以一共有6对三角形相似.△ABC ∽△EBD ，△ABC ∽△AFD ，△ABC ∽△EFC△AFD ∽△EBD ，△AFD ∽△EFC ，△BED ∽△FEC答：6对注意：在复杂图形中辨认相似三角形时，要着重抓住图形的特征.如本题重在找相等的角，然后再判定.例2. 如图，∠ADE=∠B ，则)()()()(AC AE ==.B C分析：∵∠ADE=∠B ，∠A=∠A∴△ADE ∽△ABCABAD BC DE AC AE ==∴ 注意：首先要判断△ADE ∽△ABC ，然后正确找出对应边.例3. 如图，已知DE//BC ，DF 与AC 交于G ，则图中的相似三角形有：△__________∽△__________，△__________∽△__________.答案：△ADE △ABC ，△DEG △FCG. 注意：要抓住DE//BC 的条件，利用基本图形进行判定.例4. 如图，AD=DF=FB ，DE//FG//BC ，则=321S :S :S __________.AD EF GB C 1 2 3答案：1：3：5分析：∵DE//FG//BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC又∵AD=DF=FB∴AD ：AF ：AB=1：2：3.4121S S 2AFG 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆ 3:1S :S 21=∴9432S S 2ABC AFG =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆∆ 53S S 32=∴ 5:3:1S :S :S 321=∴注意：要抓住AD=DF=FB ，DE//FG//BC 的条件，利用基本图形进行判定三角形相似，然后利用性质解题.例5. 如图，△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连结AE.（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形，若有请写出来，并说明理由；若没有请说明理由.（3）求△BEC 与△BEA 的面积比.BEC D A解：（1）DE=DA ，EC=EA=EB.证明： ∵∠DEC=90°，∠BDC=60°，∴∠DCE=30°.DA CD 21DE ==∴，即DE=DA. ∴∠DEA=∠DAE.又∵∠EDC=∠DEA+∠DAE=60°，∴∠DAE=∠DEA=30°.又∵∠BAC=45°，∴∠EAB=∠BAC －∠DAE=15°.又∠DEA=∠EAB+∠EBA ，∴∠EBA=∠DEA －∠EAB=15°.∴∠EBA=∠EAB.∴EA=EB.∵∠DCE=∠DAE=30°，∴EC=EA.∴EC=EA=EB.（2）①△ADE ∽△CEA ，或②△BCD ∽△ACB① 理由：△ADE ，△CEA 均为底角为30°的等腰△，∴△ADE ∽△CEA.② 理由：∵∠CBD=∠CAB=45°，∠CDB=∠ABC=60°，∴△BCD ∽△ACB.（3）过点A 作AF ⊥BD ，交BD 延长线于点F ，则∠AFD=∠CED=90°.又∠ADF=∠CDE ，∴△CED ∽△AFD.2ADAD 2AD CD AF CE ===∴， 2AF CE AF BE 21CE BE 21S S BEA BEC ==⋅⋅=∴∆∆. 即2S S BEA BEC =∆∆.（答题时间：60分钟）一、选一选1. 下列四条线段成比例的是（ ）A. 2，3，2，3B. 3，2，6，4C. 4，5，6，10D. 12，8，11，162. 用一个3倍放大镜照一个△ABC ，下列说法正确的是（ ）A. △ABC 放大后，∠A 是原来的3倍B. △ABC 放大后，周长是原来的3倍C. △ABC 放大后，面积是原来的3倍D. 以上答案都不正确3. 若23b a =，则ba b +等于（ ） A. 3：2 B. 2：3 C. 2：5 D. 5：24. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）A. 两个等边三角形B. 两个全等三角形C. 两个直角三角形D. 有一个角是120°的两个等腰三角形5. 如图所示，下列各式能使△ACB ∽△DCA 的是（ ）A. AB AC BDCD = B.CD AC AC CB = C. BC AC AB AD = D. AB AD AD AC =6. 过三角形一边上一点画直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7. 如图所示，已知EF//BC ，△AEF 和梯形EBCF 的面积分别为18，80。
初三数学相似三角形知识点总结
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初三数学相似知识点总结
初三数学相似知识点总结学好数学要善于总结自己掌握的数学的解题方法，只有这样你才能够真正掌握了数学的解题技巧。
做到总结和归纳是学会数学的关键。
下面是整理的初三数学相似知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
初三数学相似知识点1 图形的相似相似多边形的对应边的比值相等，对应角相等;两个多边形的对应角相等，对应边的比值也相等，那么这两个多边形相似;相似比：相似多边形对应边的比值。
2 相似三角形判定：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形和原三角形相似;如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似;如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么两个三角形相似;如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么两个三角形相似。
3相似三角形的周长和面积相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;相似三角形(多边形)的面积的比等于相似比的平方。
4位似位似图形：两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫位似图形，相交的点叫位似中心。
初二数学三角形知识点复习1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
初三数学相似三角形解题技巧
初三数学相似三角形解题技巧摘要：1.相似三角形的判定方法2.相似三角形的性质应用3.解题步骤与实例分析正文：相似三角形在初中数学中占有重要地位，掌握相似三角形的判定方法和性质对解决各类题目有很大帮助。
本文将为大家介绍相似三角形的解题技巧，帮助大家更好地运用这一知识点。
一、相似三角形的判定方法1.两角法：如果两个三角形有两个对应角相等，则这两个三角形相似。
2.边比例法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
3.面积比例法：如果两个三角形的面积成比例，则这两个三角形相似。
4.角-边-角法：如果两个三角形的一组对应角相等，且夹在这两个角之间的那组对应边成比例，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的性质应用1.相似三角形的对应边成比例。
2.相似三角形的对应角相等。
3.相似三角形的面积比等于相似比的平方。
4.相似三角形的高成比例。
5.相似三角形的周长比等于相似比。
三、解题步骤与实例分析1.观察题目，找出已知条件和所求问题。
2.判断三角形是否相似，若相似，利用相似三角形的性质解题。
3.根据题目条件，运用相似三角形的判定方法，确定相似三角形的存在。
4.利用相似三角形的性质，将问题转化为简单的计算或几何问题。
5.进行计算或几何分析，得出最终答案。
实例：已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB/DE = 2，BC/EF = 3，求AC/DF。
解：由相似三角形的性质可知，三角形ABC与三角形DEF的对应边成比例。
因此，AC/DF = AB/DE × BC/EF = 2 × 3 = 6。
总之，掌握相似三角形的判定方法和性质，并能灵活运用这些知识解决实际问题，是提高初三数学解题能力的关键。
初三相似三角形知识点以及经典例题
相似三角形知识点以及典例知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在四条线段中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简,,,a b c d ,,,a b c d 称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b ,,a d c b =②在比例式中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫(::)a c a b c d b d==比例后项,如果b=c ，即 那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有。
a b b d =：：2b ad =知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①；②．bc ad d c b a =⇔=::2::a b b c b a c =⇔=⋅注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为bc ad =等。
d c b a ::=（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d ba dbc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： ．a c b d b d a c=⇔=（4）合、分比性质：．a c a b c d b d b d ±±=⇔=典型例题：例题1：已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是________cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_________cm ．例题2：若＝＝＝－m 2，则m ＝______．c b a +a c b +bc a +知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.(相似)2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一有∽．ABC ∆ABC ∆ABC ∆②对称性：若∽，则∽．ABC ∆'''C B A ∆'''C B A ∆ABC ∆③传递性：若∽，且∽，则∽ABC ∆C B A '∆''C B A '∆''C B A ''''''∆ABC ∆C B A ''''''∆(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：， ∴ ∽．BC DE //Q ADE ∆ABC ∆知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
初三数学 相似三角形的判定
【本讲教育信息】一. 教学内容： 相似三角形的判定二. 重点、难点 怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。
三. 知识回顾（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。
相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。
（二）判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
③有两个角对应相等的两个三角形相似。
④三条边对应成比例的两个三角形相似。
⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
【典型例题】例1. 如图，△ABC 中，∠A=，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，求证：△ADE ∽△ABC 。
60例2. 如图，过△ABC 的顶点B 和C ，分别作AB 、AC 的垂线BD 、CD ，使交于点D ，过C 作CE ⊥AD 交AB 于E ，交AD 于F求证：△ACE ∽△ABC例3. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：△AEF ∽△ACB例4. 如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE ：AB=1：4，F 为边AD 上一点，问：当F 在AD 上的什么位置时，△AEF ∽△CDF 。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”）（1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（）（2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ）（3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（）（4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（）（5）一个顶角为的等腰三角形和一个底角为的等腰三角形相似（）︒40︒70（6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ）（7）所有的菱形均相似（ ）（8）所有的正方形均相似（）2. △ABC 中，∠ACB=，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ︒90）A. 2B. 3C. 4D. 53.已知△ABC ∽△，相似比为4，△∽△，相似比为3，试问：△与△'''C B A '''C B A ''''''C B A ''''''C B A ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。
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相似三角形知识点整理 重点、难点分析� 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点� 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理 第一套�比例的有关性质��涉及概念�①第四比例项②比例中项 ③比的前项、后项�比的内项、外项④黄金分割等。
第二套�二、有关知识点� 1.相似三角形定义� 对应角相等�对应边成比例的三角形�叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法�用符号“∽”表示�读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比� 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理� 平行于三角形一边的直线和其他两边�或两边的延长线�相交�所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理� (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下� 反比性质�c d a b � 更比性质�d b c a a c bd��或 合比性质�d d c b b a ��� ����b c a d d c b a �比例基本定理� ban d bm c an d b nmdcba�������������������:)0(等比性质相似基本定理 推论 (骨干定理) 平行线分线段成比例定理 (基本定理) �应用于△中 相似三角形判定定理定理1 定理2 定理3 R t △ 推论 推论的逆定理 推论类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SA S S S S AA S �A S A � H L 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理�这就是我们数学中的用类比的方法�在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似� (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例�那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理� (1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比�对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性 如果△A B C ∽△A 1B 1C 1�△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2�那么△A B C ∽A 2B 2C 2 9、三角形三条中线的交点叫做重心�三角形的重心到一个顶点的距离�等于它到对边中点距离的的两倍。
10、向量、 1、实数与向量相乘法则设n m ,为实数�则 �1�a m n a n m ��)()(� �2�a m a m a n m ������)( �3�b n a m b a m �������)( 2.平行向量定理�如果向量b �与非零向量a �平行�那么存在唯一的实数,m使a m b ��� 3.单位向量 我们把长度为1的向量叫做单位向量。
设e �为单位向量�则1�e�。
对于任意非零向量a ��与它同方向的单位向量记作0a �,则 a aa a a a������1,00��4.线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。
如b a 23��b a 2�、)5(3b a �等�都是向量的线性运算。
5.线性组合 如果.,b a 是两个不平行的向量�x 、y 是实数�那么b y a x �叫做.,b a 线性组合。
如.,b a 两个不平行的向量�向量,23b a O E ���这时就说O E 是.,b a 的线性组合。
6.线性分解 如果.,b a 是两个不平行的向量�x 、y 是实数�那么对于任意一个向量c 都可由.,b a 的线性组合表示c �b y a x ��也叫线性分解。
a x 是在a 方向上的分向量�b y 是在b 方向上的分向量。
三、注意 1、相似三角形的基本定理�它是相似三角形的一个判定定理�也是后面学习的相似三 角形的判定定理的基础�这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ 8 ”型。
在利用定理证明时要注意A 型图的比例AD AB D E BC A E A C ���每个比的前项是同一个三 角形的三条边�而比的后项是另一个三角形的三条对应边�它们的位置不能写错�尤其是要防止写成AD DB D E BC A E E C ��的错误。
2、 相似三角形的基本图形Ⅰ.平行线型�即A 型和8型。
Ⅰ.相交线型 A.具有一个公共角� 在△A B C 与△A D E 中∠A 是它们的公共 角�且∠A D E =∠C B .具有一条公共边和一个公共角 在△A B C 与△B D C 中C B 是它们的公共边� 且∠C B D =∠A �∠C 是它们的公共角。
C EDBACAD B.C.有对顶角�在△A B C 中∠1与∠2是对顶角CBDEA3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 三角形相似及比例式或等积式。
4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
5、对比例问题�常用处理方法是将“一份”看着k ;对于等比问题�常用处理办法是设“公比”为k 。
6、对于复杂的几何图形�采用将部分需要的图形�或基本图形�“抽”出来的办法处理。
实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式 乘法与因式分解 a 2-b 2=(a +b )(a -b ) a3+b 3=(a +b )(a 2-a b +b 2) a 3-b 3=(a -b (a 2+a b +b 2) 三角不等式 |a +b |≤|a |+|b | |a -b |≤|a |+|b | |a |≤b <=>-b ≤a ≤b|a -b |≥|a |-|b | -|a |≤a ≤|a | 一元二次方程的解 -b +√(b 2-4a c )/2a -b -√(b 2-4a c )/2a 根与系数的关系 X 1+X 2=-b /a X 1*X 2=c /a 注�韦达定理判别式b 2-4ac =0 注�方程有两个相等的实根 b 2-4a c >0 注�方程有两个不等的实根 b 2-4a c <0 注�方程没有实根�有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 s i n (A +B )=s i n A c o s B +c o s A s i n B s i n (A -B )=s i n A c o s B -s i n B c o s A c o s (A +B )=c o s A c o s B -s i n A s i n B c o s (A -B )=c o s A c o s B +s i n A s i n Bt a n (A +B )=(t a n A +t a n B )/(1-t a n A t a n B ) ta n (A -B )=(t a n A -t a n B )/(1+t a n A t a n B )c t g (A +B )=(c t g A c t g B -1)/(c t g B +c t g A ) ct g (A -B )=(c t g A c t g B +1)/(c t g B -c t g A )倍角公式 t a n 2A =2t a n A /(1-t a n 2A ) c t g 2A =(c t g 2A -1)/2c t g ac o s 2a =c o s 2a -s i n 2a =2c o s 2a -1=1-2s i n 2a半角公式 s i n (A /2)=√((1-c o s A )/2) s i n (A /2)=-√((1-c o s A )/2)c o s(A/2)=√((1+c o s A)/2)c o s(A/2)=-√((1+c o s A)/2)t a n(A/2)=√((1-c o s A)/((1+c o s A))t a n(A/2)=-√((1-c o s A)/((1+c o s A))c t g(A/2)=√((1+c o s A)/((1-c o s A))c t g(A/2)=-√((1+c o s A)/((1-c o s A))和差化积2s i n A c o s B=s i n(A+B)+s i n(A-B)2c o s A s i n B=s i n(A+B)-s i n(A-B)2c o s A c o s B=c o s(A+B)-s i n(A-B)-2s i n A s i n B=c o s(A+B)-c o s(A-B)s i n A+s i n B=2s i n((A+B)/2)c o s((A-B)/2c o s A+c o s B=2c o s((A+B)/2)s i n((A-B)/2)t a n A+t a n B=s i n(A+B)/c o s A c o s Bt a n A-t a n B=s i n(A-B)/c o s A c o s Bc t g A+c t g B s i n(A+B)/s i n A s i n B-c t g A+c t g B s i n(A+B)/s i n A s i n B某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/412+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/61*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/s i n A=b/s i n B=c/s i n C=2R注�其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2a c c o s B注�角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注��a,b�是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+D x+E y+F=0注�D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2p x y2=-2p x x2=2p y x2=-2p y直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=p i(R+r)l球的表面积S=4p i*r2圆柱侧面积S=c*h=2p i*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=p i*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r>0扇形公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*p i*r2h斜棱柱体积V=S'L注�其中,S'是直截面面积�L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=p i*r2h。