2020年高三数学23个经典的不等式附多种证明法

a m1 1 b1m
...
a m1 n bnm
(a1 ... an )m1 (b1 ... bn )m
已知： a3
b3
2 ，即： (
a3 2 )2
(
b3 2 )2
1
采用权方和不等式： (
a3 2 )2
(
b3 2 )2
(
(a b)3 2 2 )2
(a b)3 23
即：
1
(a
b)3 23
立方和公式以及均值不等式配合. 此法称为立方和的“公式法”.
⑵ 琴生不等式 构建函数： f ( x) x3 ，则在在 x R 区间为单调递增函数，且是下凸函数.
对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值.
即： f ( x1) f ( x2 ) ... f ( xn ) f ( x1 x2 ... xn )
n
n
对于本题： f (a) f (b) f ( a b )
2
2
即：
a3
2
b3
a
2
b
3
即：
a
2
b
3
a3
2
b3
2 2
1
，即：
a
2
b
1 ，即： a
b
2
第3页
琴生不等式可秒此题. 此法称为“琴生不等式”.
⑶ 权方和不等式
若（ a 0 ， b 0 ， m 0 或 m 1 ）
则：
23 个经典的不等式专题
1.
证明：
1+
1 22
1 32
...
1 n2
2；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 若： a3 b3 2 ，求证： a b 2 ；
3. 若： n N ，求证： 1 1 1 ... 1 1 ；
2 n1 n2
2n
4. 若： a, b 0 ，且 ab a b 3 ，求： a b 的取值范围 ；
12.若 a, b, c R ，且 (a 1)2 (b 2)2 (c 3)2 1 ，求 a b c 的最大值和最小值；
16
5
4
13.若 a, b, c 0 ， x, y, z 0 ，且满足 a2 b2 c2 25 ， x2 y2 z2 36 ，
ax by cz 30 ，求： a b c 的值； x yz
，即： a b 2 .
此法称为“权方和不等式”.
⑷ 幂均不等式
1
由于幂均函数
Mr
(a)
a1r
a2r n
...
anr
r
随
r
单调递增而得到幂均不等式：
1
M1(a)
M3
(a)
，即：
a
2
b
a3
2
b3
3
1
1
即：
a
2
b
a3
2
b3
3
=
2 2
3
=1
，即：
a
b
2
.
此法称为“幂均不等式”.
1 3
...
1 2n
1
n 2
；
22.设： Sn 1 2 2 3 ... n(n 1) ，求证： n(n 1) 2Sn (n 1)2 ；
23.已知： n N ，求证： 1 1 1 ... 1 2 .
n1 n2
3n 1
23 个经典的不等式专题解析
1.
证明： 1+
1 22
7 4
2. 若： a3 b3 2 ，求证： a b 2
[证明]
⑴ 公式法 a3 b3 (a b)(a2 b2 ab) ab(a b) ，即： ab(a b) 2 则： 3ab(a b) 6 ， a3 b3 3ab(a b) 8 ，即： (a b)3 8 ，即： a b 2 .
的最大值和最小值
；
9. 若 a, b, c 0 ，求证： 2 2 2 9 ； ab bc ca abc
10.若 a, b, c R ，且 a2 b2 c2 25 ，试求： a 2b 2c 的取值范围；
11.若 a, b, c R ，且 2a b 2c 6 ，求 a2 b2 c2 的最小值；
5. 若： a, b, c 是 ABC 的三边，求证： a b c ； 1a 1b 1c
6.
当 n 2 时，求证： 1 1 2 n1
1 22
1 32
...
1 n2
1 1 n
；
7. 若 x R ，求 y x2 x 1 x2 x 1 的值域 ；
8.
求函数
y
3 sin 2 cos
23
n
18.已知： x 0 ,求证： x ln(1 x) x ； 1 x
19.已知： n N ，求证： 1 1 ... 1 ln(1 n) 1 1 ... 1 ；
23
n1
2
n
20.已知： n 2 ，求证： 2n n(n 1) ；
21.已知： n
N
，求证： 1
1 2
1 32
...
1 n2
2
；
[证明]
⑴ 放缩法
n 1
k1 k2
n
1
k2
1 k2
n
1
k2
1 k(k 1)
1
k
n 2
k
1
1
1 k
1
1
1 n
2.
从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 此法称为“放缩法”.
⑵ 积分法
构建函数： f ( x) 1 ，则 f ( x) 在 x R 区间为单调递减函数.
14.求证：
n k1
1 k2
5 3
；
15.当 n 2 时，求证： 2 (1 1 )n 3 ； n
16.求证： 1 1 3 1 3 5 ... 1 3 5 ... (2n 1) 2n 1 ；
2 24 246
2 4 6 ... (2n)
第1页
17.求证： 2( n 1 1) 1 1 1 ... 1 2( 2n 1 1) ；
...
1 n2
7 4
[证明] 放缩法
1 12
1 22
...
1 n2
1 12
1 22 1
3
1 2
1
+...
1 n2 1
1
1 2
2
1
1
2
1
1
3
1
1
3
1
1
...
n
1
1
n
1
1
1
1 2
1 2
1
1 3
1
1 n
1 n
1
1
1 2
2
1
1
3
1
1
1
1 2
1
1 2
1
3 4
x2
于是：
k
n 1
1 k2
1
k
n
2
1 k2
1
n 1
1 x2 dx
1
1 x
n 1
1
(
1 n
1 )
1
2
1 n
2
从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为[1, n] ；
积分项小于求和项时，积分限为[2, n 1] . 此法称为“积分法”.
第2页
⑶
加强版
求证： 1 12
1 22
3. 若： n N ，求证： 1 1 1 ... 1 1
2 n1 n2
2n
[解析]
⑴ 放缩法
由： n n n k n (k 1, 2, ..., n) 得： 1 1 1 ， 2n n k n