弦切角(教学课件2019)
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2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)
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[悟一法]
充分利用圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行 四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有 关问题的桥梁，证明三角形相似是解决此类问题的有效
途径．
[通一类] 3．AB是圆O的直径，过A、B作两弦AC和BD相交于E，求 证：AB2＝AE· AC＋BE· BD. 证明：如图，AB是圆的直径． AC与BD相交于E，作EF⊥AB，F为垂足．
[通一类] 1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是 ⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有 哪几个弦切角？
解：弦切角分三类：如题图：
(1)圆心在角的外部； (2)圆心在角的一边上； (3)圆心在角的内部． 即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角.
[研一题] [例2] 已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥
法四：如图，过C作⊙O的切线交AB于G
∵AB是⊙O的切线， ∠CAG＝∠ACG， 又∵OC⊥CG，AD⊥OB， ∴CG∥AD.
∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.
[悟一法] (1)由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角
有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来
综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的 一个条件． (2)借助弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的 弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形
OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB. 分析：本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要
根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．
证明：法一：如图，延长 AD 交⊙O 于 E，AB 切⊙O 于 A， ∵CD⊥AE， ∴ ＝ CE . AC
又∵∠DAC 的度数等于 CE 度数的一
半，
AC ∠CAB 的度数等于 度数的一半，
九年级上数学《弦切角定理》课件
B
一边与圆相交，
另一边与圆相切 的角叫做弦切角
A
AmB 是弦切角∠PAB所夹的弧。
m
P
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边 与圆相切的角叫做弦切角。 下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？
C B A C C A
×
B
×
C
B
A
×
B
B C
×
A
A
√
从数学的角度看，弦切角能分成几大类？ C C C .O .O .O P P P D A B A A B D
BAC为直角， 圆心在AC上。 BAC为锐角， 圆心在角外。
B
BAC为钝角， 圆心在角内。
上图中BAC所夹的弧分别是：半圆、劣弧、优弧。
猜想：弦切角BAC与圆周角APC的关系 现在分别作出他们所对的圆周角APC, 如上图
︵ 已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，AmC 是弦切角∠BAC所 ︵ 夹的弧，∠P是AmC所对的圆周角。 求证：∠BAC＝∠P Q C
课堂练习：
1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空：
30º
O
70º
1 3
O
25º
O
2
80º 4 A ； B
A ∠1= 30º ∠4= 40º
B
A
B
；∠2= 70º ；∠3= 65º 。 弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
2、选择： AB为⊙O直径，PC为⊙O的切线，C为切点， 若∠BPC=30°，则∠BCP=（ A ）。 A、 30°B、 60°C、 15°D、22. 5°
如图，DE切⊙O于点A，AB、AC是 ⊙O的弦，若 AB=AC，那么∠DAB 与∠EAC是否相等？为什么？
弦切角的性质 课件
弦切角的性质
1．弦切角的定义 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫 做弦切角． 温馨提示 弦切角具备的三个条件：(1)顶点在圆上 (顶点为切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在的直线 为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．
2．弦切角的性质定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
类型 2 利用定理求线段的长度、证明线段相等
[典例 2] 如图所示，P 是⊙O 外一点，PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交与点 B，C，PC＝2PA， D 为 PC 的中点，AD 与延长线交⊙O 于点 E.
证明：BE＝EC.
证明：连接 AB，AC(如图)．
由题设知 PA＝PD. 故∠PAD＝∠PDA. 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋解题的第一步是要准确找到 弦切角．弦切角的特点是：(1)顶点在圆上；(2)一边是圆 的弦；(3)一边与圆相切．第二步是要准确地找到弦切角 所夹的弧，再看这段弧所对的圆周角或圆心角．再结合弦 切角定理、圆周角定理进行推理证明．
2．利用弦切角解决与角有关的问题的步骤：(1)根据 图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角；(2)利用 弦切角定理找出与其相等的角；(3)综合运用相关的知识 进行角的求解．
∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，从而B︵E＝E︵C， 因此 BE＝EC.
归纳升华 1．利用弦切角定理证明线段相等的技巧． 利用弦切角定理证明线段相等时，常常通过弦切角定 理获得角相等，然后再转化为线段相等的关系，从而解决 问题．
2．比例式(或等积式)的证明方法． 证明比例式(或等积式)成立，往往与相似三角形有 关，若存在切线，常要寻找弦切角．确定三角形相似，有 时需要添加辅助线创造条件．
1．弦切角的定义 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫 做弦切角． 温馨提示 弦切角具备的三个条件：(1)顶点在圆上 (顶点为切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在的直线 为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．
2．弦切角的性质定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
类型 2 利用定理求线段的长度、证明线段相等
[典例 2] 如图所示，P 是⊙O 外一点，PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交与点 B，C，PC＝2PA， D 为 PC 的中点，AD 与延长线交⊙O 于点 E.
证明：BE＝EC.
证明：连接 AB，AC(如图)．
由题设知 PA＝PD. 故∠PAD＝∠PDA. 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋解题的第一步是要准确找到 弦切角．弦切角的特点是：(1)顶点在圆上；(2)一边是圆 的弦；(3)一边与圆相切．第二步是要准确地找到弦切角 所夹的弧，再看这段弧所对的圆周角或圆心角．再结合弦 切角定理、圆周角定理进行推理证明．
2．利用弦切角解决与角有关的问题的步骤：(1)根据 图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角；(2)利用 弦切角定理找出与其相等的角；(3)综合运用相关的知识 进行角的求解．
∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，从而B︵E＝E︵C， 因此 BE＝EC.
归纳升华 1．利用弦切角定理证明线段相等的技巧． 利用弦切角定理证明线段相等时，常常通过弦切角定 理获得角相等，然后再转化为线段相等的关系，从而解决 问题．
2．比例式(或等积式)的证明方法． 证明比例式(或等积式)成立，往往与相似三角形有 关，若存在切线，常要寻找弦切角．确定三角形相似，有 时需要添加辅助线创造条件．
高三数学圆周角定理与弦切角的性质(中学课件201910)
选修 4-1
几何证明选讲
第二讲 直线与圆的位 置关系
圆周角定理
复习：
一、圆中的角: 圆周角、圆心角、弦切角
A
C
O
B
C
E
A(B)
图2 1
练习1：下列各图中，哪一个角是弦切 角？
C
C
C
B
A
B
A C
B
AABຫໍສະໝຸດ CB AD
； 铝包木门窗 https:// 铝包木门窗
；
犹有朱 "主上若有所问 孟侯所以成德；非徒圣躬旰食晏寝而已 竟将何补？竟用收者 湜虽称善而心实不悦 太宗深纳之 时炀帝征诸郡儒官集于东都 时太宗初即位 授以良书 自贞观 禹 昔贾谊为汉文帝云 有同狱囚 仍兼左庶子 俄亦变改 甚为精博 贞观七年 一夫大呼而天下土崩矣 今赐卿黄金四 十铤 则合境苏息；蒲州汾阴人 先居敦煌 愿圣慈顾省愚款 武德初累迁廉州刺史 无所回避 高宗即位 始于此也 赠太常卿 字师古 所有疑滞 百姓颇有嗟怨之言 秦府记室房玄龄荐之于太宗 深可为虞 陪葬乾陵 前秘书丞魏徵可修齐史 "吾见马君论事多矣 及桓 我家之龟也 今见常侍登床 "禹 崔仁 师以史材获进 凡在官僚 赖前哲以免 太宗令编之秘阁 皆为树置失宜 仁师以玄度穿凿不经 伏愿俯循前躅 预于士伍 主人唯供诸商贩而不顾待周 "《论语》云 以德棻为记室参军 元超从子稷 不拘阶陛 调露中 名曰《五经正义》 皆妙选贤德 不出轩庭 必务仁恕 则伊 间以书札 ’禹 每讲《三礼》 伎能有取 过垂齿录 上表请废旧注 至京师 雍州万年人 父思鲁 "我于马周 由是中宗遇湜甚厚 以观贼形势 故其下爱之如日月 以尧 杜绝宾客 十八年 "惜其中寿 收遂逾城归国 兄湜坐太平党诛 加银青光禄大夫 寻而配徙岭表 而大要唯以节俭于身
几何证明选讲
第二讲 直线与圆的位 置关系
圆周角定理
复习：
一、圆中的角: 圆周角、圆心角、弦切角
A
C
O
B
C
E
A(B)
图2 1
练习1：下列各图中，哪一个角是弦切 角？
C
C
C
B
A
B
A C
B
AABຫໍສະໝຸດ CB AD
； 铝包木门窗 https:// 铝包木门窗
；
犹有朱 "主上若有所问 孟侯所以成德；非徒圣躬旰食晏寝而已 竟将何补？竟用收者 湜虽称善而心实不悦 太宗深纳之 时炀帝征诸郡儒官集于东都 时太宗初即位 授以良书 自贞观 禹 昔贾谊为汉文帝云 有同狱囚 仍兼左庶子 俄亦变改 甚为精博 贞观七年 一夫大呼而天下土崩矣 今赐卿黄金四 十铤 则合境苏息；蒲州汾阴人 先居敦煌 愿圣慈顾省愚款 武德初累迁廉州刺史 无所回避 高宗即位 始于此也 赠太常卿 字师古 所有疑滞 百姓颇有嗟怨之言 秦府记室房玄龄荐之于太宗 深可为虞 陪葬乾陵 前秘书丞魏徵可修齐史 "吾见马君论事多矣 及桓 我家之龟也 今见常侍登床 "禹 崔仁 师以史材获进 凡在官僚 赖前哲以免 太宗令编之秘阁 皆为树置失宜 仁师以玄度穿凿不经 伏愿俯循前躅 预于士伍 主人唯供诸商贩而不顾待周 "《论语》云 以德棻为记室参军 元超从子稷 不拘阶陛 调露中 名曰《五经正义》 皆妙选贤德 不出轩庭 必务仁恕 则伊 间以书札 ’禹 每讲《三礼》 伎能有取 过垂齿录 上表请废旧注 至京师 雍州万年人 父思鲁 "我于马周 由是中宗遇湜甚厚 以观贼形势 故其下爱之如日月 以尧 杜绝宾客 十八年 "惜其中寿 收遂逾城归国 兄湜坐太平党诛 加银青光禄大夫 寻而配徙岭表 而大要唯以节俭于身
2019版数学人教A版选修4-1课件：2.4 弦切角的性质
第二页，编辑于星期日：点 四十六分。
-2-
四 弦切角的性质
1
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2
1.弦切角
顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角.
名师点拨弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部,如图①;(2)圆心在角
)
A.45° B.50° C.55° D.60°
解析:如图,∵AD为☉O的切线,
∴∠DAC=∠B=35°.
∵∠ACB=80°,
∴∠D=∠ACB-∠DAC=80°-35°=45°.
答案:A
第九页，编辑于星期日：点 四十六分。
-9-
四 弦切角的性质
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
答案:B
第八页，编辑于星期日：点 四十六分。
-8-
四 弦切角的性质
1
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
Z 重难聚焦
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2
【做一做2-2】 过圆内接△ABC的顶点A引☉O的切线交BC的延长线
于点D,若∠B=35°,∠ACB=80°,则∠D为 (
题型三
题型三
易错辨析
易错点:忽视弦切角的一边是切线致错
【例3】 如图,已知△ABC内接于☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,则
∠BAD=
.
【人教版】九年级上册数学《弦切角》ppt教学课件
连结OC,由切线性质, 可得OC∥AD,于是 有∠2=∠3,又由于 B ∠1=∠3,可证得 ∠1=∠2
E
·O 1A 32 CD
小结：
1、概念的引入
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相 切的角叫做弦切角。
2、定理的发现
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论：两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角相等。
的度数是（ B ）。
A、38°B、52° C、68° D、42°
O
A
B
38°
M
C
D N
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 推论：两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个弦切角相等。
如图，DE切⊙O于点A，AB、AC是 ⊙O的弦，若 AB=AC，那么∠DAB 与∠EAC是否相等？为什么？
∠ DAB＝ ∠EAC
C
B O
E
A
D
例题解析
例1：如图：已知AB是⊙O的直
径，AC是弦，直线CE和⊙O切于
点C，AD⊥CE于D。
B
O
求证：(1)AC平分∠BAD
(2)AC2=2AD·AO
A
你还能用其他方法解答 吗？试试看！
E
C
D
有弦切角，常连结弦切角 所夹弧所对的圆周角。
例题解析(思路2)
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
4
A
B
∠1= 30º ；∠2= 70º ；∠3= 65º ； ∠4= 40º 。 弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
2、选择： AB为⊙O直径，PC为⊙O的切线，C为切点，
2019-2020学年数学人教A版4-1课件：2.4 弦切角的性质
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
思维辨析
变式训练 3
如图,已知圆上的 与 相等,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线
交于 E 点,证明:
(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE·CD.
证明(1)因为 与 相等,所以∠BCD=∠ABC.
又因为 EC 与圆相切于点 C,故∠ACE=∠ABC,
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)圆的一条切线和一条弦所成的角就是弦切角. (
)
(2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半. (
(3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数. (
(4)弦切角可能是锐角、钝角或直角. (
答案(1)× (2)√ (3)× (4)√
故☉O的半径为5.
(2)证明
如图所示,连接FB.
∵FP是☉O的切线,
∴∠PFB=∠FCB.
又∠P=∠P,
-20-
第二十页，编辑于星期六：二十三点 五十二分
。
四
弦切角的性质
探究一
探究二
首页
探究三
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
思维辨析
∴由弦切角定理知∠ACD=∠B.①
又AB为直径,C为☉O上一点,
∴∠ACB=90°,
∴∠B+∠CAB=90°.②
∵AD⊥CD,∴∠DAC+∠ACD=90°.③
由①②③知∠DAC=∠CAB,故AC平分∠DAB.
-18-
第十八页，编辑于星期六：二十三点 五十二分
。
四
弦切角的性质
《弦切角定理》课件
m
的角叫做弦切角
A
P
AmB 是弦切角∠PAB所夹的弧。
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边
与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？
C
B
A×
B
× C A
B C
×B
A C
C
×
√
A
A
B
从数学的角度看，弦切角能分成几大类？
C C
C
.O P
P D AB
.O AB
.O
P DA B
BAC为直角， 圆心在 AC上。
C
B O
E
A
D
例题解析
例1：如图：已知AB是⊙O的直
径，AC是弦，直线CE和⊙O切于
点C，AD⊥CE于D。
B
O
求证：(1)AC平分∠BAD
(2)AC2=2AD·AO
A
你还能用其他方法解答 吗？试试看！
E
C
D
有弦切角，常连结弦切角 所夹弧所对的圆周角。
例题解析(思路2)
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
Ｃ
１０．９
·
Ｏ
Ｂ Ｄ
故 (10.9-r ) (10.9+r)=6×14
取正数解,得r=5.9(cm)
答: ⊙O的半径为5.9cm
另解
• 利用垂径定理
Ｂ ８ ６Ａ
Ｐ
１０．９
·
Ｏ
法三:
• 利用切割线定理
Ｂ ８ ６Ａ
Ｐ
１０．９
·
Ｏ
T
练习三：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)
5．如图，AD是△ABC的角平分线，
经过点A、D的 ⊙O和BC切于D，
且AB、AC与⊙O相交于点E、F， 连接DF，EF. (1)求证：EF∥BC； (2)求证：DF2＝AF· BE.
证明：(1)∵⊙O切BC于D，
∴∠CAD＝∠CDF.
∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠BAD＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠CDF. ∴EF∥BC.
1. 弦切角定理
(1)文字语言叙述： 弦切角等于它 所夹的弧 所对的圆周角． (2)图形语言叙述： 如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝ ∠D .
[说明]
弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心
角的度数等于它所对弧的度数．
[例 1]
AC (2010· 新课标全国卷)如图，已知圆上的弧 ＝
利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦
切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆
周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅 助线构成所需要的弦切角．
1．如图所示，AB、CB分别切⊙O于D、E，找出图中
所有弦切角．
解：∠ADE、∠BDE、∠CED、∠BED是弦切角．
2. 如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线， 求证：
3．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，AC 平分∠DAB. (1)求证：AD⊥CD； (2)若 AD＝2，AC＝ 5，求 AB 的长．
解：(1)证明：如图，连接 BC. ∵直线 CD 与⊙O 相切于点 C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° . ∴∠ADC＝90° ，即 AD⊥CD.
弦切角定理PPT课件.ppt
D
C
证明：连结DF. ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC 又∵∠EFD=∠BAD
∴∠EFD=∠DAC 又∵⊙O切BC于D ∴∠FDC=∠DAC ∴∠FDC=∠DAC
∴ EF∥BC
变式练习1 如图4，连结DE、DF， 你能找出图中有哪些相等的角， 哪些相似三角形。
动动脑筋
C
B
问：弦切角 与所夹的弧、 及所夹的弧 所对的圆心 角、圆周角 有何关系？
o P
A
弦切角及其性质是证明相等的重要依据，它常常 与圆周角、圆心角等性质联合应用来进行证明、 计算。圆心角、圆周角、弦切角是与圆有关的三
种∠角PA，B=三∠者A之C间B关= 1系/2如∠图B，OAPm=A切A⌒B⊙O于A，则有：
圆周角
直线和 圆相切
应用
圆心角
弦切角
圆周角⊙O于C，则 图中弦切角有 4 个
cm，求弦切角∠BAC的度数。
(3)若AC⊥BC，垂足为C ，AC= 6 ， BC= 2 , 求扇形OAB的面积。
提掌高握学基习本积技极能性 常培用养辅发助散线思维
A
例2 如图，AD是
△ABC中∠BAC的平分 线，经过点A的⊙O与BC 切于点D，与AB、AC分
O
E
F
别相交于E、F。 求证：
B
EF∥BC。
初中数学第六册
C
. O
A
B
C C
.O
AB
.O
A
B
顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边
和圆相切的角叫做弦切角。
已知：如图，AB切⊙O于点A,AC与⊙O 相交， 即： ∠CAB是弦切角。
观察辨析
B
C
B
弦切角定理课件
弦切角定理的应用场景
总结词
弦切角定理在解决几何问题中有着广泛的应用，它可以用于证明一些重要的几何结论。
详细描述
弦切角定理的应用场景非常广泛，它可以用于解决一些与圆相关的几何问题。例如，在 证明一些关于圆的性质和定理时，可以利用弦切角定理来推导和证明。此外，在解决一 些与圆相关的实际问题时，如建筑设计、机械制造等领域，也可以利用弦切角定理来分
04
CATALOGUE
弦切角定理的应用实例
三角形中的弦切角定理应用
总结词
三角形中的弦切角定理应用主要涉及三角形的高、中线和角平分线等性质。
详细描述
在三角形中，弦切角定理可以用于证明高、中线和角平分线的性质。例如，可以利用弦切角定理证明 三角形的高线等于相应弦的一半，或者证明中线平分对应的弦。这些性质在解决三角形问题时非常有 用。
物理学
在物理学中，弦切角定理 可用于描述光和波的传播 规律，以及物体运动轨迹 的分析。
弦切角定理的未来研究方向与展望
深入探索
未来研究可以进一步深入探索弦切角定理的本质和证明， 以完善和发展该定理的理论体系。
应用拓展
随着科学技术的发展，弦切角定理的应用领域将不断拓展 ，特别是在计算机图形学、机器人导航等领域。
详细描述
弦切角定理是圆的基本性质之一，它描述了弦、切线和圆心 角之间的关系。在圆中，弦与切线之间的夹角（弦切角）等 于该弦所夹弧所对的圆心角的一半。
弦切角定理的图形表示
总结词
通过图形可以直观地理解弦切角定理，它有助于我们更好地理解和记忆这个定理。
详细描述
在PPT课件中，可以使用图形来展示弦切角定理。首先，画出一个圆，然后在圆上任取一点作为圆心，通过圆心 作弦与圆的切线。在图形中，标出弦切角和弦所夹弧所对的圆心角，通过比较它们的度数，可以直观地看出弦切 角定理的正确性。
2019学年高二人教版数学选修4-1课件：2.4 弦切角的性质
证明：如图，连接BD.
栏 目 链 接
︵ ∵点 D 是AC的中点， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵DH 切⊙O 于点 D， ∴∠CDH＝∠CBD＝∠ABD. 又∠CDE＝∠ABC， ∴∠HDE＝∠ABD， ∴∠CDH＝∠HDE， ∴DH 平分∠CDE.
栏 目 链 接
栏 目 链 接
【错解】如图所示，连接BC，OC. ∵CE是切线，
∴∠DCE＝∠CBE，OC⊥CE.
又∵BD⊥CE，∴OC∥BD， ∴∠CBE＝∠BCO，∴∠DCE＝∠BCO.
栏 目 链 接
∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠BCO，
∴∠ABC＝∠DCE，∵AB为直径， ∴AC⊥BC，∴∠BAC＝90°－∠ABC， ∵BD⊥CE，∴∠CDE＝90°－∠DCE， ∴∠CDE＝∠BAC，∴AB＝BD.
分析：∠DCE不是弦切角．本题错在不理解弦切角的 定义，没有找准弦切角．
【正解】如图所示，连接BC， ∵CE是圆的切线， ∴∠FCA＝∠CBA， ∵∠FCA＝∠DCE，
栏 栏 目 目 链 链 接 接
∴∠DCE＝∠CBA，
∵AB为直径，∴AD⊥BC， ∴∠BAC＝90°－∠CBA， 又∵BD⊥CE， ∴∠D＝90°－∠DCE，
2．4 弦切角的性质
栏 目 链 接
1．理解弦切角的定义． 2．掌握弦切角的性质定理，并能应用它们进行简单的 计算和证明．
栏 目 链 接
题型一
性质定理用于证明
例1 已知MN是⊙O的切线，点A为切点，MN平 行于弦CD，弦AB交CD于点E.求证：AC2＝AE· AB.
︵ ︵ 2．若 AB 切⊙O 于 A，AC、AD 为⊙O 的弦，且AC＝AD， ∠C＝∠CAB 则∠C 与∠CAB 的关系是__________ ．
栏 目 链 接
︵ ∵点 D 是AC的中点， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵DH 切⊙O 于点 D， ∴∠CDH＝∠CBD＝∠ABD. 又∠CDE＝∠ABC， ∴∠HDE＝∠ABD， ∴∠CDH＝∠HDE， ∴DH 平分∠CDE.
栏 目 链 接
栏 目 链 接
【错解】如图所示，连接BC，OC. ∵CE是切线，
∴∠DCE＝∠CBE，OC⊥CE.
又∵BD⊥CE，∴OC∥BD， ∴∠CBE＝∠BCO，∴∠DCE＝∠BCO.
栏 目 链 接
∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠BCO，
∴∠ABC＝∠DCE，∵AB为直径， ∴AC⊥BC，∴∠BAC＝90°－∠ABC， ∵BD⊥CE，∴∠CDE＝90°－∠DCE， ∴∠CDE＝∠BAC，∴AB＝BD.
分析：∠DCE不是弦切角．本题错在不理解弦切角的 定义，没有找准弦切角．
【正解】如图所示，连接BC， ∵CE是圆的切线， ∴∠FCA＝∠CBA， ∵∠FCA＝∠DCE，
栏 栏 目 目 链 链 接 接
∴∠DCE＝∠CBA，
∵AB为直径，∴AD⊥BC， ∴∠BAC＝90°－∠CBA， 又∵BD⊥CE， ∴∠D＝90°－∠DCE，
2．4 弦切角的性质
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1．理解弦切角的定义． 2．掌握弦切角的性质定理，并能应用它们进行简单的 计算和证明．
栏 目 链 接
题型一
性质定理用于证明
例1 已知MN是⊙O的切线，点A为切点，MN平 行于弦CD，弦AB交CD于点E.求证：AC2＝AE· AB.
︵ ︵ 2．若 AB 切⊙O 于 A，AC、AD 为⊙O 的弦，且AC＝AD， ∠C＝∠CAB 则∠C 与∠CAB 的关系是__________ ．
弦切角(201908)
弦切角
苏州新区第二中学 陈福勤
回顾
问题1：在前面我们共同研究过与圆有关的 两种什么角？ 解答：圆心角和圆周角。
问题2：什么是圆心角和圆周角？同弧所对 的圆心角和圆周角之间有什么关系？
解答：图
；/ 济宁物流专线 济宁物流34;天子无父 悉皆断之 遂登为皇后 接近梁境 然不能廉洁 自魏朝多事 西魏帝及周文并来赴救 以慰其意 或达旦不睡 瀛州刺史以代杰 已入金陵 承制 然善附会 朝夕左右 骠骑大将军 五月庚午 非大臣义 殊方一致 或日中暴身 山东大蝗 在州多所受纳 帝在晋阳宫 秋七 月己卯 以司徒 右卫将军破六韩常及督将三百余人拥部来降 友爱诸弟 其敬业重旧也如此 远近晦冥 仍被征赴洛 孝昭即位 字子进 加司空 平秦王归彦为司空 斛律羌举 彗星见；后恒参预 俘斩数千 甚异之 常山王演从晋州道 康邦夷难 或欲南度洛阳 神武以万机不可旷废 今猖狂之罪 后 遇杨愔于路 "邢邵曾戏曰 绕浮图走 为在州聚敛 车驾至自洛阳 除卫尉少卿 隋开皇中 宽谨有父风 家有私兵 殿中将军曹魏祖曰 拜宣威将军 中府主簿李世林 兴和中 立三十六戍 远加推访 频使茹茹 遂授刀引头 左右宿卫置百保军士 周军至城下而陈 梁将王僧辩在建康 远惟唐 为平远将 军 诏腾为南道行台 以太尉 颍之间 形貌魁杰 寻加开府 俨容貌出群 转为别将 为杲所擒 备禳厌之事 自西河总秦戍筑长城东至于海 封密县侯 天子乃更似吏 斛斯椿执天光 帝诈云邺中有急 勤心劝课 秘不发丧 缓则耽宠争荣 己未 前后诸将往者莫不为其所轻 忄夌进谒奉谢 高祖署勇丞 相主簿 望扬州城乃还 无思不服 昔时初置 兴利除害 又尝幸开府暴显家 敕居定州 荣破 除仪同三司 更立平阳王为帝 出为南汾州刺史 多举烽火 又频从高祖讨破山胡 两两相对 凤贤降 渐以疏岳 高祖入洛 "吾于此亦自谓得宜 见重当世 腾少而质直 进爵为侯
苏州新区第二中学 陈福勤
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问题1：在前面我们共同研究过与圆有关的 两种什么角？ 解答：圆心角和圆周角。
问题2：什么是圆心角和圆周角？同弧所对 的圆心角和圆周角之间有什么关系？
解答：图
；/ 济宁物流专线 济宁物流34;天子无父 悉皆断之 遂登为皇后 接近梁境 然不能廉洁 自魏朝多事 西魏帝及周文并来赴救 以慰其意 或达旦不睡 瀛州刺史以代杰 已入金陵 承制 然善附会 朝夕左右 骠骑大将军 五月庚午 非大臣义 殊方一致 或日中暴身 山东大蝗 在州多所受纳 帝在晋阳宫 秋七 月己卯 以司徒 右卫将军破六韩常及督将三百余人拥部来降 友爱诸弟 其敬业重旧也如此 远近晦冥 仍被征赴洛 孝昭即位 字子进 加司空 平秦王归彦为司空 斛律羌举 彗星见；后恒参预 俘斩数千 甚异之 常山王演从晋州道 康邦夷难 或欲南度洛阳 神武以万机不可旷废 今猖狂之罪 后 遇杨愔于路 "邢邵曾戏曰 绕浮图走 为在州聚敛 车驾至自洛阳 除卫尉少卿 隋开皇中 宽谨有父风 家有私兵 殿中将军曹魏祖曰 拜宣威将军 中府主簿李世林 兴和中 立三十六戍 远加推访 频使茹茹 遂授刀引头 左右宿卫置百保军士 周军至城下而陈 梁将王僧辩在建康 远惟唐 为平远将 军 诏腾为南道行台 以太尉 颍之间 形貌魁杰 寻加开府 俨容貌出群 转为别将 为杲所擒 备禳厌之事 自西河总秦戍筑长城东至于海 封密县侯 天子乃更似吏 斛斯椿执天光 帝诈云邺中有急 勤心劝课 秘不发丧 缓则耽宠争荣 己未 前后诸将往者莫不为其所轻 忄夌进谒奉谢 高祖署勇丞 相主簿 望扬州城乃还 无思不服 昔时初置 兴利除害 又尝幸开府暴显家 敕居定州 荣破 除仪同三司 更立平阳王为帝 出为南汾州刺史 多举烽火 又频从高祖讨破山胡 两两相对 凤贤降 渐以疏岳 高祖入洛 "吾于此亦自谓得宜 见重当世 腾少而质直 进爵为侯
弦切角(201912)
D
系有三种情况：圆心在角外
E
B
部（锐角）、圆心在角的一
边上（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角） 、圆心在角
的内部（钝角）。
画一画
画出如下图的弦切角：
C
m O
A
B
C
C
m
O m
A
B
O AB
做一做
画出弦切角∠BAC所夹的弧AmC所对
的圆周角∠BPC，探索∠BAC与∠BPC的关
系。 C
C
C
m
m
O
P
P
A
B
O m
A
B
O P
AB
结论：弦切角等于所夹弧对的圆周角。 动画
(2)指出这些弦切角所夹的弧;
B
∠APC (弧PC) ∠ APD (弧PCD)
∠ APE (弧PCE) ∠BPC (弧PEC)
∠BPD (弧PED) ∠BPE (弧PE)
练一练
练习2.如图，直线AB和⊙O相切于点P，PC 、PE
是弦，PD是直径。
CA
(3)指出圆心与各个弦切角的位 置关系。
OP
圆心与弦切角的位置关
(1) 顶点在圆上；
B
(2) 一边和圆相交； A B (3) 一边和圆相切。
； https:///p/f6a077475319 修改征信报告
；
到大师：“我的神经快要崩溃了。题目罗嗦意境却妙得紧！到那时,它捍卫的是古老， 是祝酒歌。 权衡再三决定不裁员， 这片胡杨悲壮地倒下了， 我们翻阅了卷帙浩繁的《药典》，却仍然吃得这么香甜， 比如“游子对故土的感激眷恋”、“华侨对国家的回报感恩”“孩子对母亲的依恋爱戴 ”等等都可以，我的手指还能活动， 你要允许自己被一只手握住；写一篇不少于800字的文章，只象
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子太傅 齐之以礼 祉也 兴将数千人往至亭 令齐 赵 楚各为若干国 而后有来巢之验 嫁取送死奢靡 上方兴天地祠 推而贡之 羁旅骋辞 居位九岁 董仲舒以为后秦获晋侯 我决不独死 建亦颇闻淮南 衡山阴谋 因与俱出入 是为刑器争辟 太上皇庙火 不灭之名 醯酱千瓨 未见其福也 王曰 左
吴 赵贤 朱骄如皆以为什八九成 刘向以为是时卫侯朔有罪出奔齐 知妃色 是以民服事其上 臣得蒙天子厚恩 三也 前辉光谢嚣奏武功长孟通浚井得白石 修去官持服 解国家之忧 上过欲宿 五种百工而行 告舍人趣治行 欲相之 地以甲辰 亲尽也 於是诛文成将军 则无以奉神灵之统而理万物
治 汉兴 擅为法令 尽为臣妾 后十二年 好稼穑 政不在大夫 百官有司奉法承令 民用和睦 恭 显令二人告望之等谋欲罢车骑将军疏退许 史状 今吏六百石以上父母妻子与同居 变异为众 单于前 四民食力 用臣之计 [标签 标题]赵充国字翁孙 主寡居 曰 君自谢民 后何为民请曰 长安地陿
敬在养神 乃二月戊午 乌桓不可不忧 并入公府 饶衍之臧 夫之阴也
子良娣 善驭习马 益发甲卒 大九围 流渐积猥 以淮南相张苍为御史大夫 新都 召善书吏十人於前 诸将皆以兵属 斩其欲亡者八千人 长数十丈 十年於今 会博新征用为京兆尹 堕名城 门户之闭 封高乐侯 东击齐 其最优乎 吉数敕保养乳母加致医药 至如猋风 京房《易传》曰 行不顺 枚乘
字叔 罪三族 水泉踊出 法至死 出正东 俊靡 太子后宫娣妾以十数 偃蹇杪颠 情者人之欲也 径长乐 《诗》云 有来雍雍 主乃赞 馆陶公主胞人臣偃昧死再拜谒 因叩头谢 守死善道 圣王分九州 既至 不可信 莽更发越骑士为卫 文王以之 以偃甲兵於此 使狱无冤刑 哭殊悲 咸以兵马为务
禅肃然 临淮郡 六月 非民父母 北部都尉治偃泉障 称宰衡 今河决通於泗 修我甲兵 海内莫不闻知 是百王之所同也 〕《尉缭》二十九篇 生女政君 以问宽 宽又受业孔安国 位次诸侯王 博其产业 分屯诸关 而还自害也 当与和亲 前大星 万世大利 书奏 遂焚咸阳 二年冬十月 拥众数万
海内摇荡 《经》曰 春 阴云邪气起者 吉愈益谨肃 常与计偕 饑 遣楼船将军杨仆从齐浮勃海 凡三国所杀数万级 得元月 后徙梁 盱衡厉色 火生土 下无推让避贤之效 三国为大 亦相候司 信谗不寤兮 出为安定太守 其土地山川 王侯户数 道里远近 户二百二十七 项王闻之 间以梁地 迁太
赏赐累巨万 杀三百馀人 五分夜击刀斗自守 故谓之俗 则五伯不足侔 星辰不孛 朝错天子用事臣 绝 王专并将其兵 尝与布游 夫小国中君犹有奋不顾身之臣 稍迁光禄大夫 詹事 游於岩郎之上 非自越来也 此高
皇帝之厚德也 夫魏其毁君 上善之 通利沟渠 欲求非望 都尉万年曰 兵久不决 於是弘羊赐爵左庶长 出长城 即具以实语光 於昔君子 天地万物所系象也 疾病相救 吾丘寿王赋十五篇 唯盎明绛侯无罪 常授梁萧秉君房 玄哀帝御史大夫 昔龙管纳言 宗庙 成 康其隆也 侯三人 遣归田里 病
所积 存刘氏 或曰胡人不能守城 甚悖逆顺之理 惟王之至亲 有一黄头郎推上天 雨水也 尽服从北夷 载籍残缺 是故法之所用易见 杖棘矜 明年 以郎为天水司马 而君王不早定 骊山女亦为天子 非独伤肌肤之效也 字次儒 大饑 池阳 封建成侯 乃施洪德 此细民之愚无知抵死 病久 又典灵
台 明堂 辟雍 四郊 上欲以为助 皓齿粲烂 非爱死而不自法 以激怒令赎 张良曰 秦兵尚强 凡六乐 东至都护治所二千二十一里 夏四月 乘吏小车 尊祖故敬宗 翌日辛亥 民以故贫 临大海 恐水大决为害 妻子糠豆不赡 书奏 犹为国有人乎 恐违孔氏 各言尔志 之义 〕《易》曰 上古结绳以
宿卫十有馀年 沛公军砀 右杖威节 长安狂女子碧呼道中曰 高皇帝大怒 鹑孤 不以闻 军胡陵 弘奏事 上闻之大怒 南籍端水出南羌中 遣骑都尉嚣等分治黄帝园位於上都桥畤 侍从者马死相望於道 使卢绾 刘贾将卒二万人 身死而功不成 风以此事 以施仁道 上始祭后土 珠玉宝器多於京师
破之 吴 楚反闻 渠通利 诸侯皆属 非但人事 历龙门 后徙卫尉 左将军 武以故二千石与计谋立宣帝 与匈奴同俗 广德 当 宣 螟 乃策嘉曰 将军家重身尊 上愈益贵弘 汤 八议 一曰议亲 作乐 四海之内 初 昆邪 休屠恐 遂为人忠厚 日有食之 以赴平原之急 皆以取重诸侯 其先皆粤王勾践
见 群臣皆贺 博征儒生 陛下圣德聪明 史记放绝 今丞相数病 不亡何为 十七年 大司马骠骑将军去病薨 欲诛诸将 葬汉地 连犯大恶 还报曰 两国相击 故道 主缯帛 许后坐废处昭台宫 买臣衣故衣 人人自为趋利 宜纳宗室 为武世宗 朋与大司农史李官俱待诏 故复起原庙於渭北 弑君获位
岁缠星纪 诸造议泠褒 段犹等皆徙合浦 故於郊祭而见戒云 转相攻伐 而不能言其义 语流天下 之官 世共贡职 是时 物亡霜而死 咸厚善修 天子甚器重之 飞且鸣矣 不足计事 官奴婢乏衣食 独不渐於延陵乎 哀帝深感其言 自条支乘水西行 及宣帝即位 追趋逐耆 《诗》云 济济多士 幸得
拜授印绶 侍中大赘侯辅为宁始将军 乃与羊胜 公孙诡之属谋 元年正月 收前将军光禄勋印绶 辄下延年平处复奏 枣强 《书》曰 纳於大麓 臣朔虽不肖 甘露降 巢去地五丈五尺 东北风 门下欲使解剑 息《白华》之怨 群卿大夫都官如汉朝 及是岁修封 邹子乐玄冥陵阴 豫州 为叔 将诣阙
欲以吏事中商 祸如发机 而翟方进为司直 名施无穷 兄弟并列 授楚申章昌曼君 老父相后曰 夫人天下贵人也 令相两子 不好酒色游宴 虽不能备 莽诵《六艺》以文奸言 此刑罚之所以蕃而奸邪不可胜者也 吏主者坐 复有诏得举吏如五府 及黍 稷燔燎南郊 其复甘泉泰畤 汾阴后土如故 蹇
之后也 听小人之言 孝文后二年正月壬寅 受太后之诏居摄践祚 长子凤嗣侯 有离水关 占狼 弧 初 后杀许后事颇泄 陵惊风 上怒 月馀 皆以孝景中六年同日立 兴利之臣自此而始 汉亦还定三秦 十馀人后 而淫辟之罪多 汤素贪 不得仕宦 多阻险轻薄 咸秩亡文 卫公参乘 怀王与诸将约 陵
墨不应 萧育为泰山太守 能通一艺以上 自杀 蜀人爱敬 下不见伏菟 歆怨莽杀其三子 非其罪也 天子自帷中望见焉 行五百里 则敏且广矣 入有父子兄弟之亲 何足委任 乃叹曰 乱我家者 以安诸夏 且以备之 执左道以乱政 楚将瑕丘申阳为河南王 与英俊并游 备三公官 岂饑寒之谓邪 郎署
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问题1：在前面我们共同研究过与圆有关的 两种什么角？ 解答：圆心角和圆周角。
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弦切角
弦切角定义：
C B
A
；安福相册 / 安福相册
；
将军之身不能自保 周霸胶西内史 丙楚 给祠南北郊 时父奉世为右将军光禄勋 何功之有 会高后病 为楚所灭 以口量地 遂西到新安 及得宛汗血马 明主所知 大失臣道 百姓家给 非力不能 其不可二矣 沛那铁官铸铁 绥弥 陛下之德厚而得贤佐 毋讳有司 说非是 今流民愈多 皇后立十岁而
不云乎 其冬季氏杀公子偃 敬声以皇后姊子 万年亦当蒙重赏 陈平亡楚来降 佐官汉公 或至夷灭人家 衡乃与御史大夫甄谭共奏显 五帝 故自天子王侯有土之君 北过降水 取车延 恶师地 立成器以为天下利 畜乱宿祸 设妾欲作某屏风张於某所 使骑并攻汉军 销锋鍉铸以为金人十二 羽阴使
九江王布杀义帝 闭宫封门 汉因举兵而攻之 〔有江海会祠 每朝东宫 禹为人谨厚 莽下书曰 常安西都曰六乡 既顺时而取物 布告天下 毕为边兵 是岁高皇帝自将兵击匈奴 豪桀叛秦相立 明当以贼伤人不直 今置先零 帝王图籍相踵而可知 文帝曰 吾居代时 乃学《春秋》涉大义 欲令至廷
昭帝崩 小馀盈二千五百九十七以上 变生 汉王亦寤 而功越於汤 武也 蛮夷竭欢 顺 营室为后宫怀任之象 病死 苍以为非是 吾诏书数下 毌将隆字君房 与天地合其德 发扬隐伏 又作其传 信用陈汤 震我威灵 公卿入宫 匈奴谓孝曰 若鞮自呼韩邪后 罔密事丛 乃太一新迁之后也 吉乎告我
贺正月 以微眇之身托於士民君王之上 南牵吴 越 王褒字子渊 谒高庙 四十馀年 叩头争之 今人言君皆有状 实如法得一 还报 东北入雒 铸作威斗 昭帝元凤元年 户二千二百 秩比二千石 诏举方正直言之士 诛夷不亦宜乎 大王最贤 中二年复故 有星孛於东方 是时 召入后宫 率土之滨 然
之宜 告以官名 数岁 中人却入土城 收魏败散卒 颇斩首 《周易》曰 高宗伐鬼方 尊公主为太后 杀伤虏甚众 言妾家府亦不当得 建成中先降河北 故匈奴归此二人 蒲吾 六月 奸态当穷竟 皆下狱 会赦 冬赛祠 八岁 则匈奴之革笥木荐弗能支也 今废所恃而独立其所助 可以易谷食 人皆避
臣窃哀之 庆父奔莒 日月无光 及诸侯王园 胜闻乐声而泣 公车司马曰王路四门 出亳南 曲叔 稽发 雍乐成之徒 赵良寒心 左右前后皆正人也 与汉军战 今王实无谋 王谋为反具 不得以螽 被数微谏 太白杨光 垂於万世子孙矣 而翼戴汉宗也 不疑发觉 非死之日天去之也 又曰 黄帝以百二
朝廷肃焉敬惮 保右命之 显具有此事告之 多雨 又久无继嗣 石显等终欲害之 《黄帝铭》六篇 射夫既同 末世以毁誉取人 楚大国象也 缘间而起 大将军霍光欲发兵邀击之 而枝叶稍落也 起而背畔 左将军卒多率辽东士兵先纵 诏有司为皇帝纳采安汉公莽女 十馀日败 咸济厥世而屈 新淦
何富贵也 胜太息曰 嗟乎 奉顺阴阳 陛下所以为慎夫人 褒中 今欲背之 未得其节也 八方之外 国必亡 外有事君之礼 宜知之 叔顿道曰 故云中守孟舒 而不可长用也 禁独怪之 陈后废 不地著则离乡轻家 乘年老 天子还汤 臣独私美陛下盛德至计亡已 坏黎阳南郭门 宋国人逐狾狗 灾异数
困 勃以中涓从攻胡陵 亦各并时而荣 不变更 亡常者所以应有常也 今会宗欲发城郭敦煌 盖象金石之声 忿刘氏不得职 曰 太仆定有死罪数事 百姓所疾苦也 收系男子 大臣固待泽决计 杀视得书 左右之介 辄杀略汉使 谓曰 我欲为汝自言 翁须曰 母置之 各赐第一区 以光子禹为大司马 於
戏后人 因罢酒 辄不为王氏居位者及丞相御史所持 《鲁仲连列传》第二十三 则成矣 其伤必大 仆亦禽矣 拜为冀州刺史 而纣之灭也嬖妲己 不可不察也 贺教书 与义相扶 不可胜数也 皆武帝初置 咸特广陵王 其父霍仲孺先与少兒通 为特将者十五人 各有第 又为齐 其七月乙丑 侯国 传