直线与圆相切的性质与判断
切线的性质与判定
P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数． 解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。
圆的切线判定与性质
直于这条半径的直线是圆的切线。
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
O
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB,
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
A
C
B
∴ AB⊥OC(三线合一)
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC， OD⊥AB于点D ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE也是半径 ∴ AC是⊙O的切线。
O
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
练习3
如图AB是⊙O的直径.AE是弦, EF是⊙O的切线,E是切 点,AF⊥EF, 垂足为F,AE平分∠FAB吗?
圆的切线性质与判定
圆的切线性质与判定圆是平面上具有特殊性质的图形，它有着多种有趣的性质与判定方法。
其中，圆的切线性质是一项重要的研究内容，具有广泛的应用价值。
本文将从圆的切线的定义开始，逐步介绍圆的切线的性质与判定方法。
一、圆的切线定义切线是一条直线，与圆的某一点相切，且与圆在该点处的切点处于圆的内部。
切点即为切线与圆的交点，切线与半径的夹角为直角。
圆的切线是圆与切点处切线共线的直线。
二、圆的切线性质1. 切线与半径的关系在圆上，以切点为顶点的切线与半径垂直。
2. 切线长度圆的切线长度等于切点到圆心的距离的两倍。
3. 切线的唯一性一个圆上的切线最多只能有两条，并且与该圆在切点处共线。
4. 外切线与内切线若一条直线与圆有且仅有一个公共切点，则称该直线为圆的外切线；若一条直线与圆有两个公共切点，则称该直线为圆的内切线。
5. 切线相交性质若两条切线与圆的切点不同，则这两条切线相交于圆的外部；若两条切线与圆的切点相同，则这两条切线相交于圆的内部。
三、圆的切线判定方法1. 分析法根据切线的定义，通过分析问题中的圆与切点的位置关系，可以判断出切线的存在与否。
2. 考察斜率法假设切点的坐标为(x1, y1)，圆心的坐标为(a, b)，可以根据斜率公式计算切线的斜率，若斜率存在且符合条件，则该直线为圆的切线。
3. 使用代数方程法对于已知的圆方程和直线方程，可以通过联立方程求解的方式来得到切线方程。
通过判断解的情况，可以判定直线与圆的关系。
四、应用举例1. 圆的切线应用于建筑设计中，可以帮助确定柱体或钟表的刚性支撑结构。
2. 在地理测量学中，圆的切线可以用于研究山脉的坡度和高度。
3. 圆的切线应用于计算机图形学中，用于控制曲线与圆弧的形状和运动轨迹。
总结：圆的切线性质与判定是一个重要且有趣的数学问题，它具有广泛的应用领域。
通过切线的定义和性质，我们可以了解切线在圆上的位置关系和特点。
掌握圆的切线判定方法，可以应用于实际问题的求解和分析中。
圆的切线性质与判定
例2：如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F， （1）求证：DF是⊙O的切线；
证明：连结OD， ∵OB=OD，∴∠ODB=∠B 又∵AB=AC，∴∠C=∠B ∴∠ODB=∠C ∴OD∥AC 又∵DF⊥AC ∴∠DFC=90° ∴∠ODF=∠DFC=90° ∴DF⊥OD ∴DF为⊙O的切线
注意：确定唯一公共点，可证明直线和圆相切
例1：直线l和⊙O的公共点的个数为m，且m满足方程 m2+2m- 3=0, 试判断直线l和⊙ O的位置关系，并 说明理由.
例3．如图，直线y=－ x+4与y轴交于点A，与x轴交于 点B，以点C（ ，0）为圆心，OC的长为半径作⊙C， 证明：AB是⊙C的切线。 M 分析：由于不知AB和⊙C是否有公共点，故考虑过C作CM⊥AB于M，再证CM为⊙C的半径即可
小结一
确定唯一公共点，证切线
无交点，作垂直，证半径
有交点，连半径，证垂直
证明切线的一般方法简单表述为：
小试牛刀
例3：如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F，
（2）连结OP ∵AC与⊙O相切于点P，∴OP⊥AC 由（1）可知OD∥AC，且DF⊥AC， 故四边形ODFP为正方形 ∴PF=OD=OB=3 设AC=x，则在Rt△APO中有 AP2+OP2=OA2 即(x－4)2+32=(x－3)2 解得x=8 ∴AC=8
是圆的切线
是圆的切线
是圆的切线
3、圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定(编)
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
直线与圆的位置关系与性质知识点总结
直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。
在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。
一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。
- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。
- 直线位于圆的内部，没有交点。
- 直线位于圆的外部，也没有交点。
2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。
与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。
- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。
通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。
二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。
定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。
2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。
3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。
4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。
三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。
- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。
2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。
3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。
圆和直线相切的公式
圆和直线相切的公式
圆和直线相切时，两者只有一个交点，这个交点就是切点。
如果我们知道圆的方程和直线的方程，可以通过求解方程组来求出切点的坐标。
但是，有时候我们并不知道圆和直线的方程，这时候就需要用到圆和直线相切的公式。
1. 直线与圆相切的条件
直线与圆相切的条件是：直线的距离等于圆的半径。
设直线的方程为y=ax+b，圆的方程为(x-x0)+(y-y0)=r，其中(x0,y0)为圆心坐标，r为圆的半径。
那么，直线与圆相切的条件可以表示为：
|ax-y0-b| = r。
2. 求解切点坐标
已知直线与圆相切，可以根据上述条件列出一个方程组：
y = ax + b
(x-x0) + (y-y0) = r
将直线方程中的y代入圆的方程得：
(x-x0) + (ax+b-y0) = r
展开后化简得：
(x+ax+2abx+b-2ay0x-2b(y0-r)) = 0
这是一个关于x的二次方程，可以使用一般求根公式求解。
解出x后，再带入直线方程求得对应的y值，即为切点的坐标。
3. 例子
例如，已知直线y=2x+1和圆(x-2)+(y-3)=1相切，求切点坐
标。
根据相切条件|2x-3-1|=1，解得x=2或x=1。
带入直线方程得到对应的y值，切点坐标分别为(2,5)和(1,3)。
注意：如果根据相切条件列出的方程无解或有多个解，说明直线与圆不相切。
圆的切线性质定理
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定： 1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
。
变式一：在△ABC中，AB=2，AC= ，以A为圆心，1为
半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为
。
变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点
B，且AB=2 ，弦BC∥OA，则BC的长为
。
A
B
D CB
A C
O A
C
B
7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切 线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
A
L
线L就要与圆相交，而这与直线
O
L是圆O的切线相矛盾。
因此，OA与直线L垂直。
MA
L
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。
证明或 ∵ 直线L是圆O的切线 解答： ∴ OA ⊥ L
练习与巩固：
1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°， 则∠BAC等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
A
C
C
O
P
A
O
BP
B （4）
（5）
5、如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线 PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ）
A. 5 3
3
B.
53 6
C. 10
D. 5
辅助线的作法：作过切点的半径
切线的判定定理和性质定理
O
A
P
r=3
2 如图：PA,PC分别切⊙ O于 如图： 分别切⊙ 于 分别切 点A,C两点 为⊙ O上与 两点,B为 上与A,C 两点 上与 不重合的点,若 不重合的点 若∠P=50°,则 °则 B ∠ABC=___
C
O A
P
65°或 115°
如图（ ） 为 的直径， 如图（a）AB为⊙O的直径，△ABC 的直径 内接于⊙ ， 内接于⊙O，且∠CAE＝∠B ＝ 1、试说明 与⊙O相切于点 。 相切于点A。 、试说明AE与 相切于点 2、如图（b）,若AB是⊙O的非直径的弦，且 的非直径的弦， 、如图（ ） 若 是 的非直径的弦 还相切于点A吗 ∠CAE＝∠B，AE与⊙O还相切于点 吗？ ＝ ， 与 还相切于点
C A D B
●
O
定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
判定定理： 判定定理：
①过半径的外端点 ②垂直于这条半径
切线
性质定理： 性质定理：
①圆的切线 过切点的半径。 ②过切点的半径。
切线垂直于半径
B
于点B， １如图, PB切⊙O于点 ， 如图 切 于点 PB=4,PA=2,则⊙O的半径多 则 的半径多 少？
证明切线时常用辅助线： 证明切线时常用辅助线：
1、有点连圆心，证垂直 、有点连圆心， 2、无点做垂线，证相等 、无点做垂线，
切线的判定定理： 切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线． 条半径的直线是圆的切线． 经过⊙ 上的 上的T点 ∵直线AB 经过⊙O上的 点 直线 OT⊥AB 直线AB AB是 O的切线 ∴直线AB是⊙O的切线 OT是半径 是半径 OT⊥AB 直线AB AB是切线 ∴直线AB是切线 O B
圆的切线和切点的性质
圆的切线和切点的性质切线是一个非常重要的概念，特别是在几何学中研究圆形时。
当我们将直线恰好与圆相交于圆上一点时，这条直线就成为圆的切线。
切线与圆相切于切点，这个切点位于切线上与圆相接的位置。
在本文中，我们将讨论圆的切线和切点的性质。
1. 切线与半径垂直当一条直线与圆相切时，该直线与半径的交角为90度。
也就是说，切线与半径垂直。
证明：设圆的半径为OA，切线为BC，切点为C。
以圆心O为中心，以半径OA为半径作圆，并将BC延长至圆上交于点D。
由于OD是BC的延长线，而OC是半径OA的延长线，且OC与OD相等（都是圆的半径），因此三角形OCD是等腰三角形。
所以∠OCB=∠ODC。
而由于OC与OD相等，所以∠ODC=∠OCD，即∠OCB=∠OCD。
因此，∠OCB+∠OCD=（∠OCB+∠OCD）/2 = 90度。
所以，切线与圆上的半径垂直。
2. 切线的切点位于半径延长线上当一条直线与圆相切于某一点时，该切点与圆心以及该直线上的长为半径的延长线上的点共线。
证明：设圆的半径为OA，切线为BC，切点为C。
以点O为中心，用半径OA作圆，在圆上取一点D，使得CD与BC平行。
由于BC是切线，所以OC与CD垂直，并且OC与CD重合（共线），所以OC 必然是半径OA的延长线。
因此，切点C位于半径OA的延长线上。
3. 切线的切点到圆心的距离等于半径的长度切点到圆心的距离等于半径的长度。
证明：设圆的半径为OA，切线为BC，切点为C。
由于OC是半径OA的延长线，所以OC与OA相等。
又因为BC是切线，所以OC与BC垂直，并且它们相交于切点C。
所以OC与BC相互垂直，并且相等。
因此，切点C到圆心O的距离等于半径OA的长度。
通过上述性质的证明，我们可以看出切线与切点的重要性质。
这些性质在解决几何问题时非常有用，并且经常被应用于实际问题的解决中。
因此，熟练掌握切线和切点的性质对于几何学的学习非常重要。
直线与圆的切线与切点知识点总结
直线与圆的切线与切点知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要的知识点，其中切线与切点的相关内容更是具有关键意义。
接下来，让我们详细地探讨一下这部分知识。
一、直线与圆的位置关系在开始深入研究切线与切点之前，我们先来了解一下直线与圆的基本位置关系，主要有以下三种：1、相离：直线与圆没有公共点。
此时圆心到直线的距离大于圆的半径。
2、相切：直线与圆有且仅有一个公共点，这个公共点就是切点。
圆心到直线的距离等于圆的半径。
3、相交：直线与圆有两个公共点。
圆心到直线的距离小于圆的半径。
通过判断圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，我们可以确定直线与圆的位置关系。
二、圆的切线1、切线的定义当一条直线与圆只有一个公共点时，称这条直线为圆的切线，这个公共点称为切点。
2、切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点。
（2）圆心到切线的距离等于圆的半径。
（3）切线垂直于经过切点的半径。
3、切线的判定（1）定义法：如果直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线。
（2）距离法：如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线。
（3）定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
三、切点切点是直线与圆相切时的公共点，具有一些特殊的性质。
1、切点在圆上，满足圆的方程。
2、过切点的半径与切线垂直。
四、切线长从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段长度相等，这个长度称为切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
五、切线方程如果圆的方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，点$P(x_0, y_0)＄在圆上，则切线方程为：＄（x_0 a)（x a) ＋（y_0 b)（y b) ＝ r^2$如果点$P(x_0, y_0)＄在圆外，设切线方程为$y y_0 ＝k(x x_0)＄，然后将其代入圆的方程，得到一个关于$x$的一元二次方程，令判别式等于 0，即可求出切线的斜率$k$，从而得到切线方程。
切线的判定与性质
练习
驶向胜利 的彼岸
1、 △ABC内接于⊙O， AB是⊙O的直径， ∠DAC=∠B，判断直线 AD与⊙O的位置关系，并 说明理由.
O
A
D
B
C
10
练习
变式：△ABC内接于⊙O， AB是⊙O的弦，∠1=∠B， 判断直线AD与⊙O的位置 关系，并说明理由. A
D
证明一条直线是圆的切线时: 直线与圆有交点时，连接交点与圆心，证垂直.
F
7
切线的判定方法有： ①、直线与圆有一个公共点。
②、直线到圆心的距离等于圆的半径。
③、切线的判定定理。
8
要证明一条直线是圆的切线：
方法1：如果直线经过圆上某一点，则需要连接这点 和圆心得到半径，再证明所作半径垂直于这条直线。 总结为：已知公共点，连半径证垂直。
方法2：如果已知中这条直线与圆的公共点没有确定， 那么应过圆心作直线的垂线，得垂线段，再证明这条 垂线段的长等于半径。 总结为：未知公共点，作垂线段证半径相等。
11
B O 1
2 E
C
反过来,如果 l 是⊙O 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线 l是不 是一定垂直呢?
一定垂直
.O
A
l
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径。
12
判断下列命题是否正确。 ⑴、经过半径外端的直线是圆的切线。 （×） ⑵、垂直于半径的直线是圆的切线。 （×） ⑶、过直径的外端并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线。 （√） ⑷、和圆只有一个公共点的直线是圆的切 线。 （√） ⑸、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上 的高为半径的圆与底边相切。 （√）
求证:直线AB是⊙O的切线.
∵OA=OB, CA=CB
直线与圆的位置关系(3)切线的性质
(2) ∠P=20°,则∠ACB=__3_5_°___
A
(3)探究： ∠P与∠ACB之间的
数量关系？
pB
A
o
B
OC
试一试：
1.如图，PA、PB是⊙O的切线，切 点分别为A、B，点C是⊙O优弧上一 点，若∠APB=40°，求∠ACB度数.
变式：若C为 ⊙O上一点， 求∠ACB度数.
P
A
C O
B
2.已知：AB是⊙O直径，AP是⊙O切线， 切点为A，PB交⊙O于点C，若点D是AP 中点，则直线CD是⊙O的切线吗？为 什么？
B
C
O
A
D
P
小结：
圆的切线垂直于经过切点的半径. 常见的辅助线是见切点连半径，得垂直.
直线与圆的位置关系（3）
——切线的性质
回 顾 判断直线与圆相切有哪些方法？
判定切线的方法： 1. 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
2.与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
3.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线.
探究： 如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是 过切点的半径，直线l与半径OA是否 垂直？为什么？
归纳：切线的性质： 圆的切线垂直于经过 切点的半径 ∵l是⊙O的切线 ∴l⊥OA
O
A
l
练习： 1.如图，OA是⊙O的 半径，AC是⊙O的切 线，OA=3,AC=4，则 OC=__5____.
2.如图,以点O为圆心 的两个同心圆中，大 圆的弦AB切小圆于点 P，AP=2，则 AB=__4___.
O
A
C
Oห้องสมุดไป่ตู้A PB
3.如图，已知：PC切⊙O于点C， ∠A=35°，则∠P=__2_0_°_.
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直线与圆的性质与判定
【知识要点】 1. 直线与圆相切性质
(1)如果直线与圆相切，则二者只有一个交点。
(2)如果直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径。
(3)如果直线与圆相切，切线垂直于过切点的半（直）径 2.直线与圆相切的判定 (1)定义法
(2)切线判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线
3.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三内角平分线的交点，内切圆的圆心叫做三角形的内心。
【习题讲炼】
1.如图1，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和切线，BC 交⊙O 于D ，AB ＝8，AC ＝6，则AD ＝ ．
2.如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为 。
3.如图，PA PB ，切⊙O 于点A B ，，点C 是⊙O 上一点，且65ACB ∠=
， 则P ∠= 度．
4.如图4，
是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作⊙O 的切线，切点为C ，若25A
=
∠，则
D =∠______ ．
5.如图5，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于P ，如果4cm AB =，则图中阴影部分的面积为 2
cm （结果用π表示）．
6.如图6，在ABC △中，10AB =，8AC =，6BC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA CB ，分别相交于点P Q ，，则线段PQ 长度的最小值是 。
图3
A
7.如图7，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 坐标是 。
8．如图8
所示，已知△
ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 上的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D 。
求证：AC 与
⊙O 相切
9．如图9所示，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，D E ⊥AC ，求证：DE 是⊙O 的切线
10.如图10，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过点B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论．
图
11. 如图11，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一动点，延长AD 到C 使CD AD =，连结BC BD ，． (1)证明：当D 点与A 点不重合时，总有AB BC =．
(2)设⊙O 的半径为2，AD x =，BD y =，用含x 的式子表示y ． (3)BC 与⊙O 是否有可能相切?若不可能相切，则说明理由；若能相切，
则指出x 为何值时相切．
12.如图12，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若CPA ∠=30°，求PC 的长；
(2)若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化， 请说明理由；若不变，求出∠CMP 的值．
13.如图13，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，且平分BAD ∠，AD CD ⊥，垂足为D ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的直径为4，3AD =，试求BAC ∠的度数．
14. 如图14在Rt ACB △中，90C ∠= ，3AC =，4BC =，D E ，分别是边AB ，AC 的中点．⊙O 过点D E ，
且与AB 相切于点D ，求⊙O 的半径r ．
15.如图15，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD ⌒ 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2，
EC ＝1．
（1）求证：DEC △∽ADC △；
（2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ．求证：CH 是⊙O 的切线．
A
C
O E
B
16.如图16，在平面直角坐标系中，A B ，两点的坐标分别为(20)(80)A B -，，，，以AB 为直径的半圆P 与y 轴交于点M ，以AB 为一边作正方形ABCD ． （1）求C M ，两点的坐标；
（2）连接CM ，试判断直线CM 是否与⊙P 相切？说明你的理由； （3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得QMC △的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
17.如图17，AB 是⊙O 的直径，∠BAC = 60︒，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，过点C 的切线CD 交PQ 于D ，连结OC ． （1）求证：△CDQ 是等腰三角形；
（2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．。