第2章 欧式空间中的点集

2.2
开集、闭集与完备集
开集与闭集是本章的重点，特别是开集与闭集的构造，必须熟炼地掌握，实际上，在下 一章我们将看到开集、闭集与测度理论密切相关，是构成测度理论的一个重要环节。 定义 2.3 设 E R n ，若 E 中每个点都是 E 的内点，则称 E 为开集。 由开集的定义易知 E 是开集当且仅当 E E 0 ，任何非空有限集都不是开集，每个开区 间 ( a, b), ( a, ), ( , b) 都是 R1 上的开集（在 R 2 中就不是） 。若 x0 R ， r 0 ，则邻域
(k )
一个坐标形成的数列是收敛的； 再考虑 {xk ,1} 的第二个坐标形成的数列， 同理可从可从 {xk ,1} 中选出子列 {xk ,2 } 使其第二个坐标形成的数列是收敛的，此时其第一坐标数列仍为收敛列 （注意到同一收敛数列的任一子列必收敛于同一极限） ， 这样进行下去， 至第 n 步， 可得 {xk } 的子列 {xk ,n } 使其 n 个坐标数列都是收敛的，从而知 {xk ,n } 是收敛点列， ，设其极限为 x ， 由 于 {xk ,n } 是互异点列，故由定理 2.1 知 x 是 E 的聚点。 作业： 习题 2（A 组题） 二、1，2；三、1，2，3
显然有下列事实，
R n 中的点列收敛等价于按坐标收敛。即若
(k ) (k ) xk x ( k ) ( x1( k ) , x2 , xn ) ， x ( x1 , x2 , xn )
x （为避免 xk 与 x 的第 k 个坐标相混淆，故将 xk 改写为 x ( k ) ） ，则 lim k xi 个 i 1, 2, n 有 lim k
N ( x1 , 1 ) E { x1} ， N ( x2 , 2 ) E {x2 } ，
根据 R n 中有理点的稠密性，可分别在 N ( x1 ,
1
2
) 和 N ( x2 ,
2
2
) 中取定两个有理点 r1 , r2 ，则当
x1 x2 时，必有 r1 r2 ，否则
d( x1 , x2 ) d( x1 , r1 ) d( r1 , x2 ) d( x1 , r1 ) d( r2 , x2 )
r1 r2
1
2

2
2
max{1 , 2 } 。
不妨设 max{1 , 2 } 1 ，则有 d ( x1 , x2 ) 1 ，从而 N ( x1 , 1 ) E {x1 , x2 } ，矛盾。 这说明 E 对等于 R n 中全体有理点的一个子集，所以 E 是至多可数的。 】 思考题 若 E {x 1 , x 2 , , x k , } 是可数集， 任意 x k E 是否为 E 的孤立点？E 是否为 孤立点集？ E 是否为至多可数集？【都不一定】 下面是几个与聚点相关的命题。
第2章
欧式空间中的点集
【说明：实变函数中考虑的函数，其定义域虽然可以是一般集合，但由于实际问题中 涉及的函数主要还是集中在欧式空间的点集上，因此为了研究的方便和需要，我们约定实 变函数中涉及的函数是指定义在欧式空间点集上的广义实函数。 】 本章介绍欧氏空间 R n 中的一些常见点集，目的是为后面的测度与积分理论作准备，同 时也为更一般的空间上的点集理论提供典型特例。虽然我们是在一般的 n 维空间上讨论， 但 读者不妨以直线或平面上的情形为特例，这将有助于对本章内容的理解。
A B ( A B ) ； 另一方面， 设 x ( A B ) ， 则由定理 2.1 存在 A B 中互异点列 {xk }
使 xk x(k ) ，于是有两种情形：若 x A ，则 x A B ；若 x A ，则点列 {xk } 中至多有限个点属于点集 A ，其余无穷多个点必是属于 B 的，从而再由定理 2.1 知
n
则称 x0 是 E 的聚点。 显然有如下事实： （1） E 的内点必为 E 的聚点；但 E 的聚点不必为 E 的内点； （2） E 的内点必属于 E ；但 E 的聚点可以属于 E 也可以不属于 E ； （3） x0 是 E 的聚点当且仅当任意邻域 N ( x0 , ) 中都含有一个异于 x0 而属于 E 的点。 定义 2.2 对于 E R n ，称 E 的聚点全体为 E 的导集，记为 E ； E E 称为 E 的闭 包，记为 E 。
x B A B ，
这就证明了 ( A B ) A B ，证毕。 类似于数学分析中的相关结论，我们给出如下定理。 定理 2.4（Bolzano-Weierstrass 定理） R n 中任一有界无限点集 E 至少有一个聚点。 证明 首先可从有界无限点集 E 中选出互异点列 {xk } ，写出 xk 的坐标
2.1 聚点、内点、边界点及 Bolzano-Weierstrass 定理
本节回顾点关于点集的两种分类关系： 点集的内点、外点和边界点；点集的聚点、孤立点和外点。
2.1.1 R n 中的距离
设 n 是正整数，由有序 n 元实数组的全体所成的集合 R n 称为 n 维欧几里得空间（欧氏 空间） ，即
R n ( x1 , x2 , , xn ) x1 , x2 , , xn R1
( xi yi ) 2 xi2 yi2
i 1 i 1
n
n
（2.6）
■ 利用距离可考虑 R n 中的点列的极限 对于 R n 中的一个点列 {xk } 及点 x R n ，若
lim d( xk , x) 0 ，
k
xk x 或 xk x(k ) 。 则称 {xk } 收敛于 x ，称 x 为 {xk } 的极限，记为 lim k
xk x0 。 定理 2.1 x0 E 的充要条件是存在 E 中互异点列 {xk } 使 lim k
证明 充分性显然。
必要性由上述事实（3）可构造出收敛于 x0 的互异点列 {xk } 。 定理 2.2 若 A B R n ，则 A B 。 （读者可以自己给出证明） 定理 2.3 若 A R n ， B R n ，则 A B A B 。 证明 因 A A B ，所以由定理 2.2 ， A ( A B ) ，同样 B ( A B ) ，从而

.
（2.1）
其中 R1 ， R 2 和 R 3 分别是直线、平面和三维空间。熟知 R n 按照如下的加法和数乘作成一个 线性空间
( x1 , x2 , xn ) ( y1 , y2 , yn ) ( x1 y1 , x2 y2 , xn yn )
（2.2） （2.3）
（3）设 A1 , A2 , , An 是 n 个开集，若 x Ai ，则 x 必属于每个 Ai (i 1, 2, n) ，因
i 1 n
1 , 2 , n ，则 0 并且 为 Ai 是开集，故存在 i 0 ，使得 N ( x, i ) Ai ，令 min

A ， I 是 R n 中的一族开集， 任取 x 则存在 I I
- 41 -
使 x A ，因 A 是开集，存在 x 的邻域 N ( x, ) 使得 N ( x, ) A ，于是更有
N ( x, ) A ， I A 的内点，这表明 A 是开集。 因此 x 是 I I
2.1.2 聚点、内点、边界点及 Bolzano-Weierstrass 定理
利用邻域的概念我们来研究点与点集之间的关系。 第一种分类关系：对于 E R n 及 x0 R 不外乎以下三种可能：
n
第一， x0 附近没有 E 的点，即有邻域 N ( x0 , ) ，使得 N ( x0 , ) E ，此处我们也 可称 x0 为 E 的外点； 第二， x0 附近全是 E 的点，即有邻域 N ( x0 , ) E ，此时我们称 x0 是 E 的内点。由 E 的全部内点组成的集合称为 E 的开核，记为 E 0 ； 第三， x0 附近既有属于 E 的点也有不属于 E 的点，即在以 x0 为心的任意邻域 N ( x0 , ) 中，既有 x E 也有 x E ，此时我们称 x0 是 E 的边界点。 E 的全部边界点组成 E 的边界， 记为 E 。 第二种分类关系： 定义 2.1 设 E R n 及 x0 R ， 若对任意邻域 N ( x0 , ) ， 其中恒有无穷多个点属于 E ，
■ 利用距离可考虑有界集 设 M R n ，若有正数 K 0 ，使对任意 x ( x1 , x2 , xn ) M ，都有
xi K (i 1, 2, , n) ，
则称 M 为有界集。
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显然 M 有界的充要条件是：存在正数 K ' 0 ，使对一切 x M 都有 d( x, o) K ' 。
(k )
(k )
x 当且仅当对每
xi 。
■ 利用距离可考虑点的邻域 对于 R n 中点 x 及正数 0 ，称 R n 中到 x 的距离小于 的点的全体所作成的集合为以
x 为心， 以 为半径的邻域， 记为 N ( x, ) 。 当不需指明半径时， 以 x 为心的邻域记为 N ( x) 。
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x
x
i 1
n
2 i
（2.5）
由上式（2.4）定义的 R n 上的距离有以下性质： （1） 非负性： d( x, y ) 0 ； d( x, y ) 0 当且仅当 x y ； （2） 对称性 d( x, y ) d( y, x) ； （3） 三角不等式 d( x, y ) d( x, z ) d( z , y ) ； 其中性质（1） （2）是显然的，性质（3）的证明可考虑下面的柯西不等式。
n
N ( x0 , r ) 是 R n 中的开集，因此，我们也称 N ( x0 , r ) 为以 x0 为中心，以 r 为半径的开球。