第2章 欧式空间中的点集
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x B A B ,
这就证明了 ( A B ) A B ,证毕。 类似于数学分析中的相关结论,我们给出如下定理。 定理 2.4(Bolzano-Weierstrass 定理) R n 中任一有界无限点集 E 至少有一个聚点。 证明 首先可从有界无限点集 E 中选出互异点列 {xk } ,写出 xk 的坐标
第2章
欧式空间中的点集
【说明:实变函数中考虑的函数,其定义域虽然可以是一般集合,但由于实际问题中 涉及的函数主要还是集中在欧式空间的点集上,因此为了研究的方便和需要,我们约定实 变函数中涉及的函数是指定义在欧式空间点集上的广义实函数。 】 本章介绍欧氏空间 R n 中的一些常见点集,目的是为后面的测度与积分理论作准备,同 时也为更一般的空间上的点集理论提供典型特例。虽然我们是在一般的 n 维空间上讨论, 但 读者不妨以直线或平面上的情形为特例,这将有助于对本章内容的理解。
( xi yi ) 2 xi2 yi2
i 1 i 1
n
n
(2.6)
■ 利用距离可考虑 R n 中的点列的极限 对于 R n 中的一个点列 {xk } 及点 x R n ,若
lim d( xk , x) 0 ,
k
xk x 或 xk x(k ) 。 则称 {xk } 收敛于 x ,称 x 为 {xk } 的极限,记为 lim k
n
N ( x0 , r ) 是 R n 中的开集,因此,我们也称 N ( x0 , r ) 为以 x0 为中心,以 r 为半径的开球。
定理 2.5(开集的基本性质)开集具有如下性质: (1) (2) (3) 空集 及全空间 R n 是开集; 任意多个开集的并是开集; 有限个开集的交是开集。
证明 (1) 显然。 (2) 设 A
显然有下列事实,
R n 中的点列收敛等价于按坐标收敛。即若
(k ) (k ) xk x ( k ) ( x1( k ) , x2 , xn ) , x ( x1 , x2 , xn )
x (为避免 xk 与 x 的第 k 个坐标相混淆,故将 xk 改写为 x ( k ) ) ,则 lim k xi 个 i 1, 2, n 有 lim k
(k )
(k )
x 当且仅当对每
xi 。
■ 利用距离可考虑点的邻域 对于 R n 中点 x 及正数 0 ,称 R n 中到 x 的距离小于 的点的全体所作成的集合为以
x 为心, 以 为半径的邻域, 记为 N ( x, ) 。 当不需指明半径时, 以 x 为心的邻域记为 N ( x) 。
A , I 是 R n 中的一族开集, 任取 x 则存在 I I
- 41 -
使 x A ,因 A 是开集,存在 x 的邻域 N ( x, ) 使得 N ( x, ) A ,于是更有
N ( x, ) A , I A 的内点,这表明 A 是开集。 因此 x 是 I I
- 37 -
x
x
i 1
n
2 i
(2.5)
由上式(2.4)定义的 R n 上的距离有以下性质: (1) 非负性: d( x, y ) 0 ; d( x, y ) 0 当且仅当 x y ; (2) 对称性 d( x, y ) d( y, x) ; (3) 三角不等式 d( x, y ) d( x, z ) d( z , y ) ; 其中性质(1) (2)是显然的,性质(3)的证明可考虑下面的柯西不等式。
N ( x1 , 1 ) E { x1} , N ( x2 , 2 ) E {x2 } ,
根据 R n 中有理点的稠密性,可分别在 N ( x1 ,
1
2
) 和 N ( x2 ,
2
2
) 中取定两个有理点 r1 , r2 ,则当
x1 x2 时,必有 r1 r2 ,否则
d( x1 , x2 ) d( x1 , r1 ) d( r1 , x2 ) d( x1 , r1 ) d( r2 , x2 )
■ 利用距离可考虑有界集 设 M R n ,若有正数 K 0 ,使对任意 x ( x1 , x2 , xn ) M ,都有
xi K (i 1, 2, , n) ,
则称 M 为有界集。
- 38 -
显然 M 有界的充要条件是:存在正数 K ' 0 ,使对一切 x M 都有 d( x, o) K ' 。
对 R n 中的任意两点 x ( x1 , x2 , xn ) 和 y ( y1 , y2 , yn ) ,定义这两点之间的距离为
d( x, y )
(x y )
i 1 i i
n
2
(2.4)
特别地,称 R n 中点 x 到原点 o 的距离 d( x, o) 为 x 的模或长度,记为 x ,即
2.1.2 聚点、内点、边界点及 Bolzano-Weierstrass 定理
利用邻域的概念我们来研究点与点集之间的关系。 第一种分类关系:对于 E R n 及 x0 R 不外乎以下三种可能:
n
第一, x0 附近没有 E 的点,即有邻域 N ( x0 , ) ,使得 N ( x0 , ) E ,此处我们也 可称 x0 为 E 的外点; 第二, x0 附近全是 E 的点,即有邻域 N ( x0 , ) E ,此时我们称 x0 是 E 的内点。由 E 的全部内点组成的集合称为 E 的开核,记为 E 0 ; 第三, x0 附近既有属于 E 的点也有不属于 E 的点,即在以 x0 为心的任意邻域 N ( x0 , ) 中,既有 x E 也有 x E ,此时我们称 x0 是 E 的边界点。 E 的全部边界点组成 E 的边界, 记为 E 。 第二种分类关系: 定义 2.1 设 E R n 及 x0 R , 若对任意邻域 N ( x0 , ) , 其中恒有无穷多个点属于 E ,
(k )
一个坐标形成的数列是收敛的; 再考虑 {xk ,1} 的第二个坐标形成的数列, 同理可从可从 {xk ,1} 中选出子列 {xk ,2 } 使其第二个坐标形成的数列是收敛的,此时其第一坐标数列仍为收敛列 (注意到同一收敛数列的任一子列必收敛于同一极限) , 这样进行下去, 至第 n 步, 可得 {xk } 的子列 {xk ,n } 使其 n 个坐标数列都是收敛的,从而知 {xk ,n } 是收敛点列, ,设其极限为 x , 由 于 {xk ,n } 是互异点列,故由定理 2.1 知 x 是 E 的聚点。 作业: 习题 2(A 组题) 二、1,2;三、1,2,3
(3)设 A1 , A2 , , An 是 n 个开集,若 x Ai ,则 x 必属于每个 Ai (i 1, 2, n) ,因
i 1 n
1 , 2 , n ,则 0 并且 为 Ai 是开集,故存在 i 0 ,使得 N ( x, i ) Ai ,令 min
xk x0 。 定理 2.1 x0 E 的充要条件是存在 E 中互异点列 {xk } 使 lim k
证明 充分性显然。
必要性由上述事实(3)可构造出收敛于 x0 的互异点列 {xk } 。 定理 2.2 若 A B R n ,则 A B 。 (读者可以自己给出证明) 定理 2.3 若 A R n , B R n ,则 A B A B 。 证明 因 A A B ,所以由定理 2.2 , A ( A B ) ,同样 B ( A B ) ,从而
( x1 , x2 , xn ) ( x1 , x2 , xn )
x ( x1 , x2 , xn ) 称为 R n 中的点或向量,称 xi (i 1, 2,, n) 为 x 的第 i 个坐标。特别地称 o (0, 0, , 0) 为 R n 中的原点。
r1 r2
1
2
2
2
max{1 , 2 } 。
不妨设 max{1 , 2 } 1 ,则有 d ( x1 , x2 ) 1 ,从而 N ( x1 , 1 ) E {x1 , x2 } ,矛盾。 这说明 E 对等于 R n 中全体有理点的一个子集,所以 E 是至多可数的。 】 思考题 若 E {x 1 , x 2 , , x k , } 是可数集, 任意 x k E 是否为 E 的孤立点?E 是否为 孤立点集? E 是否为至多可数集?【都不一定】 下面是几个与聚点相关的命题。
- 40 -
(k ) (k ) xk ( x1( k ) , x2 , xn ) , k 1。
Leabharlann Baidu
则由 {xk } 第 i (i 1, 2, , n) 个坐标所形成的实数列 {xi } 必是有界数列,由数学分析中的聚
(k )
点定理知 {x1 } 存在一个收敛子列,这样 {xk } 就存在一个子列,将其记为 {xk ,1} ,使得其第
2.1 聚点、内点、边界点及 Bolzano-Weierstrass 定理
本节回顾点关于点集的两种分类关系: 点集的内点、外点和边界点;点集的聚点、孤立点和外点。
2.1.1 R n 中的距离
设 n 是正整数,由有序 n 元实数组的全体所成的集合 R n 称为 n 维欧几里得空间(欧氏 空间) ,即
R n ( x1 , x2 , , xn ) x1 , x2 , , xn R1
2.2
开集、闭集与完备集
开集与闭集是本章的重点,特别是开集与闭集的构造,必须熟炼地掌握,实际上,在下 一章我们将看到开集、闭集与测度理论密切相关,是构成测度理论的一个重要环节。 定义 2.3 设 E R n ,若 E 中每个点都是 E 的内点,则称 E 为开集。 由开集的定义易知 E 是开集当且仅当 E E 0 ,任何非空有限集都不是开集,每个开区 间 ( a, b), ( a, ), ( , b) 都是 R1 上的开集(在 R 2 中就不是) 。若 x0 R , r 0 ,则邻域
.
(2.1)
其中 R1 , R 2 和 R 3 分别是直线、平面和三维空间。熟知 R n 按照如下的加法和数乘作成一个 线性空间
( x1 , x2 , xn ) ( y1 , y2 , yn ) ( x1 y1 , x2 y2 , xn yn )
(2.2) (2.3)
n
则称 x0 是 E 的聚点。 显然有如下事实: (1) E 的内点必为 E 的聚点;但 E 的聚点不必为 E 的内点; (2) E 的内点必属于 E ;但 E 的聚点可以属于 E 也可以不属于 E ; (3) x0 是 E 的聚点当且仅当任意邻域 N ( x0 , ) 中都含有一个异于 x0 而属于 E 的点。 定义 2.2 对于 E R n ,称 E 的聚点全体为 E 的导集,记为 E ; E E 称为 E 的闭 包,记为 E 。
定义 2.3 若存在 x 的邻域 N ( x) ,使 N ( x) E {x} ,则称 x 为 E 的孤立点;若 E 的 每一点都是孤立点,则称 E 是孤立点集。 显然有限集是孤立点集,自然数集是孤立点集。 我们还可以证明:
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凡孤立点集都是至多可数集。 【事实上,若 E R n 是孤立点集,则对任意 x1 , x2 E ,都应有 1 , 2 0 ,使得
A B ( A B ) ; 另一方面, 设 x ( A B ) , 则由定理 2.1 存在 A B 中互异点列 {xk }
使 xk x(k ) ,于是有两种情形:若 x A ,则 x A B ;若 x A ,则点列 {xk } 中至多有限个点属于点集 A ,其余无穷多个点必是属于 B 的,从而再由定理 2.1 知