2013年高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析版
2013全国高考大纲卷理科(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 （ ）A.3B.4C.5D.6 【测量目标】集合的含义.【考查方式】给出两个集合，利用集合中元素的互异性求个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】因为集合A ={1，2，3}，B ={4，5}，M={}|x x a b a A b B =+∈∈，，， 所以a+b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B ． 2．()31+3i= （ ）A.8-B.8C.8i -D.8i 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的幂运算，利用复数的乘法运算求值. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】()()()()()3221+3i1+3i 1+3i 1+3i 2+23i 26i8==-=-+=-.3．已知向量()()1,1,2,2λλ=+=+m n ，若()()+⊥-m n m n ，则=λ （ ） A.4- B.3- C.2- D.1- 【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】给出两个向量，利用向量的坐标运算，再根据向量的垂直的性质求值. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】∵()1,1λ=+m ， ()2,2λ=+n ． ∴()23,3λ+=+m n ，()1,1-=--m n ．（步骤1） ∵()()+⊥-m n m n ， ∴()()+- m n m n =0，∴()2330λ-+-=，解得λ=−3．（步骤2）4．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x +的定义域为 （ ）A.()1,1-B.11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.()1,0- D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给出函数的定义域求复合函数的定义域. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】∵原函数的定义域为()1,0-，∴1-＜2x +1＜0，解得1-＜x ＜12-． ∴则函数()21f x -的定义域为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故选B ． 5．函数()()21=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （ ）A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数，函数的值域.【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由21log 1y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1) 把x 和y 互换，即得()11.21xf x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21x fx x -=>-(步骤3) 6．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 （ ） A.()10613--- B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3- 【测量目标】等比数列的定义，等比数列前n 项和.【考查方式】给出关于数列的等式，利用等比数列的定义判断数列，进而求数列前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤2) 7．()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是 （ ）A.56B.84C.112D.168 【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用二项展开式的通项公式求值. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】因为()81x +的展开式中2x 的系数为28C ，()41y +的展开式中2y 的系数为24C ，所以22x y 的系数为2284C C 168=.故选D.8．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ）A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【测量目标】斜率公式，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】给出椭圆及斜率范围，利用斜率公式求值. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +，2002PA y k x =-，1002PA y k x =+， 于是122200222003334244PA PA x y k k x x -===--- .故12314PA PA k k ＝－.（步骤1） ∵[]22,1PA k ∈--，∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B. （步骤2）9．若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是 （ ）A.[-1,0]B.[1,)-+∞C.[0,3]D.[3,)+∞【测量目标】利用导数判断函数的单调性，不等式恒成立问题. 【考查方式】结合导数解决不等式恒成立问题，求未知量. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由条件知()f x '＝2x ＋a －21x …0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x -…在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立． ∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a …3.故选D. 10．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于 （ ） A.23C.3D.13 【测量目标】线面角，线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】如图，连结AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3）连结DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与平面1BDC 所成的角.（步骤4） 设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5）11．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = （ ）A.12B.2D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+= 所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)12．已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是 （ ）A.()y f x =的图象关于()π,0中心对称B.()y f x =的图象关于直线π2x =对称C.()f x 的最大值为2D.()f x 既奇函数，又是周期函数 【测量目标】三角函数的周期性、最值，对称性.【考查方式】利用三角函数的性质判断周期性、对称性，结合导数的应用判断最值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】A 项，因为(2π)cos(2π)sin(4π2)cos()sin(2)cos sin 2()f x x x x x x x f x -=--=--=-=-()f x 的图象关于点(,0)π中心对称，故正确.（步骤1）B 项，因为(π)cos(π)sin(2π2)cos sin 2(),f x x x x x f x -=--==所以()y f x =的图象关于直线2x π=对称，故正确，(步骤2)C 项，由题意知()()22=2cos sin 21sin sin f x x x x x =-. 令sin t x =，[]1,1t ∈-，则()()232122g t t t t t=-=-.（步骤3）令()2260g t t '=-=，得=3t ±.当1t =±时，函数值为0；当3t =-时，函数值为9-；当3t =时，函数值为9.∴()max g t = 9，即()f x 的最大值为9.故选C.（步骤4）D 项，由()cos()sin(2)cos sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-知其为奇函数，综合选项A 、B 知()f x 为周期函数，故正确.(步骤5)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知α是第三象限角，1sin 3α=-，则cot α= . 【测量目标】同角三角函数的基本关系，反三角函数. 【考查方式】给出角的范围及正弦值求余切值. 【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由题意知cos 3α==-.故cos cot sin ααα=14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）.【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】利用插空法解决排列组合中不相邻问题. 【难易程度】容易【参考答案】480【试题解析】先把排除甲、乙外的4人全排列，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480= (种)．15．记不等式组0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………所表示的平面区域为D ，若直线()1y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是 .【测量目标】判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】结合图象利用线性规划的相关知识求未知数范围. 【难易程度】中等 【参考答案】12…a … 4 【试题解析】作出题中不等式组表示的可行域如下图中阴影部分所示．∵直线()1y a x =+过定点P (－1,0)，由图并结合题意可知12AP k =，4BP k =， ∴要使直线()1y a x =+与平面区域D 有公共点， 则12…a …4.16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式.【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【难易程度】较难【参考答案】16π【试题解析】如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM 由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.RMO ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM ==(步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知232=S a ，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项式.【测量目标】等差数列的通项及性质，等比数列的性质.【考查方式】给出数列及部分条件，利用等差中项及等比中项的性质求值. 【难易程度】中等【试题解析】设{}n a 的公差为d ,由232S a =得2223a a =，故2a ＝0或2a ＝3.（步骤1） 由124,,S S S 成等比数列得2214S S S =.又1222,2S a d S a d =-=-，4242S a d =+， 故()()()2222242a d a d a d -=-+．（步骤2）若2a ＝0，则222d d =- ，所以0d =，此时0n S =，不合题意；若2a ＝3，则()26d -＝(3－d )(12＋2d )，解得0d =或2d =. 因此{}n a 的通项公式为3n a =或21n a n =-.（步骤3）18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B ;（II ）若sin sin A C =C . 【测量目标】余弦定理，两角和与差的余弦.【考查方式】已知三角形及部分条件，利用余弦定理，两角和与差的余弦公式求值. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a c b B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（Ⅱ）由（Ⅰ）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()1cos 2sin sin 22A C A C =++=+=(步骤3) 故30A C -= 或30,A C -=-因此15C = 或45.C = (步骤4) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==，△与PAD △都是等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求二面角A PD C --的大小.【测量目标】平行于垂直关系的综合问题，二面角，空间直角坐标系，空间向量及其运算.【考查方式】（1）借助线线、线面垂直证线线垂直.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段求解；也可借助空间坐标的运算求值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABED 为正方形.过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,OA OB OD ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥又,,OE OP BD OP O ⊥= 所以OE ⊥平面PDB ,从而.PB OE ⊥(步骤2) 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解法一：（图1）由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .（步骤4）连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．（步骤5） 连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则CD =AE ＝22EG ＝12PB ＝1， 故AG 22AE EG + 3.（步骤6）在△AFG 中，FG ＝122CD =3AF =，AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝222623FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为6πarccos 3-（步骤7）解法二：(图2)由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 设|AB|＝2，则A (2-0，0)，D (0，2-0)，C (222-0)，P (0， 02． PC ＝(222-2-，PD＝(0，2-2-． AP ＝202，AD＝(22-，0)．（步骤8）设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1PC＝(x ，y ，z ) (222-2-＝0， n 1PD＝(x ，y ，z ) (0，2-2-＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．（步骤9）设平面P AD 的法向量为n＝(m ，p，q )，则n 2AP＝(m ，p ，q ) 0＝0，n 2 AD＝(m ，p ，q )0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n2＝(1,1，－1)．（步骤10） 于是cos〈n 1，n 2〉＝1212||||= n n n n . 由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大小为π-（步骤11）20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判. （I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.【测量目标】相互独立事件的概率，离散型随机变量的期望.【考查方式】利用相互独立事件的概率公式求概率,进而求离散型随机变量的分布列. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”. 则12.A A A =()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，1B 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．(步骤2)则P (X ＝0)=()()()()123123P B B A P B P B P A = ＝18，P (X ＝2)＝()()()1313P B B P B P B == 14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0 P (X ＝0)＋1 P (X ＝1)＋2 P (X ＝2)＝98.（步骤3）21．（本小题满分12分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为3，直线2y =与C（I ）求,a b ;（II ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点，且11AF BF =，证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的标准方程及简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，直接证明.【考查方式】利用直线与双曲线的位置关系及双曲线简单几何性质求双曲线方程，联立方程利用韦达定理求解线段，证明线段是否满足等比中项的性质. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3) （Ⅱ）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=① (步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.kx k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ===-+123 1.BF x ===+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===-故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10) ()221212=39116,AF BF x x x x +--=因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11). 22．（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+（I ）若0x …时，()0f x …，求λ的最小值； （II ）设数列的{}n a 通项1111,23n a n =+++⋅⋅⋅+证明：21ln 2.4n n a a n-+> 【测量目标】利用导数求函数的最值，解决不等式问题【考查方式】结合导数的应用求参数范围，利用放缩法求和，证明不等式.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)解：由已知f (0)＝0，()f x '＝22121x x x λλ(-)-(+)，()0f '＝0.（步骤1） 若12λ<，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，()f x '＞0，所以f (x )＞0， 若12λ…，则当x ＞0时，()f x '＜0，所以当x ＞0时，f (x )＜0. 综上，λ的最小值是12.（步骤2） (Ⅱ)证明：令12λ=，（步骤3） 由(Ⅰ)知，当x ＞0时，f (x )＜0，即2ln(1)22x x x x(+)>++．（步骤4） 取1x k =，则211>ln 21k k k k k++(+). 于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ ＝2121211ln 21n n k n k nk k k k k --==++>(+)∑∑ ＝ln 2n －ln n ＝ln 2. 所以21ln 24n n a a n-+>.（步骤5）。
真题答案与解析 (理科)(新课标Ⅰ)2013年全国统一高考数学试卷
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.2或﹣＜C．=+==+i，3．（5分）（2014•四川模拟）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下4．（5分）已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（）．C D由题意可得，由此求得=，从而求得双曲线的渐近线方程．的离心率为，故有，∴，解得=5．（5分）（2014•武汉模拟）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（），6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）．C D．V===8．（5分）（2014•武汉模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）×9．（5分）（2014•武汉模拟）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二，13=7×=7×，即×，即10．（5分）（2014•甘肃一模）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E ．C D．代入椭圆方程得可得，利用斜率计算公式可得==c=3=，代入椭圆方程得，，∴．，=．∴c=3=的方程为11．（5分）（2014•武汉模拟）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）==，=所以其面积=二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2014•苏州一模）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．•，对式子=t+两边与作数量积可得解：∵，，∴=0，∴14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．，解得）﹣（=整理可得15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．）解析式提取=2cosx=（=﹣16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．﹣﹣2+），）时，2+，）2+﹣2+﹣2+三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（Ⅰ）若，求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．中，由正弦定理得=，∴=中，由正弦定理得，即．∴18．（12分）（2014•仁寿县模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．为坐标原点，||，，的坐标，设的法向量，则（，＞，即为所求正弦值．为坐标原点，的方向为||，），，，﹣），即，，可得=，＜，=所成角的正弦值为：19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X的分布列及数学期望．=﹣=400 500 800××+800×=506.2520．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．根据的方程为|AB|=，解得时，联立∴．|AB|==由于对称性可知：当．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．．BG=23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）的参数方程式，解得或，），24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．对都成立．故﹣≥且当对≥，故]。
2013年高考理科数学试卷及答案---全国卷(新课标版)word版
2013年全国卷新课标数学（理）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a项和为 . 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . (Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；(Ⅱ) 花店记录了100以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B AABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.参考答案1-12：DACCD CBCAB AB 13、 14、[]3,3-. 15、3816、1830. 17、解：(Ⅰ)由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △1sin 2bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==，222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18、解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. 19、(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -， 1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. 又1DC BD ⊥ ，1DC DC D =，1DC ∴⊥平面BDC .BC⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ， AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.20、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为3AF k ==.直线m的方程为0x =. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由3x y p '==, 3x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为06x -=. 所以坐标原点到m ，n3=. 21、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+,令1x =得,(0)1f =, 再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2x f x e x x =-+. ()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立,即()()21()102x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立， ()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+, 故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-.依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++, 10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-, ()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x取最大值2e u =.故当12a b+==时, ()1a b+取最大值2e.综上, 若baxxxf++≥221)(，则ba)1(+的最大值为2e.22、证明：(Ⅰ) ∵D，E分别为ABC△边AB，AC的中点，∴//DE BC.//CF AB,//DF BC,CF BD∴ 且=CF BD，又∵D为AB的中点，CF AD∴ 且=CF AD，CD AF∴=.//CF AB，BC AF∴=.CD BC∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF，GB CF BD∴==，BGD BDG DBC BDC∠=∠=∠=∠BCD GBD∴△∽△.23、解：(Ⅰ)依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为.所以点A，B，C，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-；(Ⅱ) 设()2cos,3sinPϕϕ，则2222||||||||PDPCPBPA+++())2212cos3sinϕϕ=-+()()222cos13sinϕϕ++-()()2212cos3sinϕϕ+--+)()222cos13sinϕϕ++--2216cos36sin16ϕϕ=++[]23220sin32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24、解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。
2013年全国高考理数真题试卷(新课标Ⅰ卷)及解析
外…………○…………装………学校:___________姓名：_______内…………○…………装………2013年全国高考理数真题试卷（新课标Ⅰ卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合A={x|x 2﹣2x ＞0}， B ={x|−√5<x <√5} ，则（ ） A.A∩B=∅ B.A∪B=R C.B ⊆A D.A ⊆B2.已知双曲线C ： x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为 √52 ，则C 的渐近线方程为（ ） A.y= ±14xB.y= ±13xC.y=±xD.y= ±12x3.执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s 属于（ ）A.[﹣3，4]B.[﹣5，2]C.[﹣4，3]D.[﹣2，5]4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若S m ﹣1=﹣2，S m =0，S m+1=3，则m=（ ） A.3 B.4 C.5 D.6答案第2页，总14页 订…………○…………线…………○内※※答※※题※※订…………○…………线…………○5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π6.设m 为正整数，（x+y ）2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，（x+y ）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m=（ ） A.5 B.6 C.7 D.87.已知函数f （x ）= {−x 2+2x,x ≤0ln(x +1),x >0，若|f （x ）|≥ax，则a 的取值范围是（ ）A.（﹣∞，0]B.（﹣∞，1]C.[﹣2，1]D.[﹣2，0]8.设△A n B n C n 的三边长分别为a n ， b n ， c n ， △A n B n C n 的面积为S n ， n=1，2，3…若b 1＞c 1 ， b 1+c 1=2a 1 ， a n+1=a n ， b n+1=c n +a n2， c n+1=b n +a n2，则（ ）A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n ﹣1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n ﹣1}为递减数列，{S 2n }为递增数列第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）9.已知两个单位向量 a →， b →的夹角为60°， c → =t a →+（1﹣t ） b → ．若 b →• c →=0，则t= ．10.若数列{a n }的前n 项和为S n = 23 a n + 13 ，则数列{a n }的通项公式是a n = ．………○…………装………………○…………线……学校:___________姓名：________：___________………○…………装………………○…………线……11.设当x=θ时，函数f （x ）=sinx ﹣2cosx 取得最大值，则cosθ= ．12.若函数f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+ax+b ）的图象关于直线x=﹣2对称，则f （x ）的最大值为 ．三、解答题（题型注释）13.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1 ， ∠BAA 1=60°．（1）证明AB⊥A 1C ；（2）若平面ABC⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．14.已知圆M ：（x+1）2+y 2=1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．15.已知函数f （x ）=x 2+ax+b ，g （x ）=e x （cx+d ）若曲线y=f （x ）和曲线y=g （x ）都过点P （0，2），且在点P 处有相同的切线y=4x+2． （1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若x≥﹣2时，f （x ）≤kg（x ），求k 的取值范围． 16.（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D ．（1）证明：DB=DC ；（2）设圆的半径为1，BC= √3 ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 17.（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 已知曲线C 1的参数方程为 {x =4+5costy =5+5sint（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （1）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π） 18.（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x+a|，g （x ）=x+3．答案第4页，总14页（1）当a=﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（2）设a ＞﹣1，且当 x ∈[−a 2,12) 时，f （x ）≤g（x ），求a 的取值范围．…………○…………线……：___________…………○…………线……参数答案1.B【解析】1.解：∵集合A={x|x 2﹣2x ＞0}={x|x ＞2或x ＜0}， ∴A∩B={x|2＜x ＜ √5 或﹣ √5 ＜x ＜0}，A∪B=R，故选B ．【考点精析】利用集合的并集运算和解一元二次不等式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知并集的性质：（1）A A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则AB ，反之也成立；求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边． 2.D【解析】2.解：由双曲线C ： x 2a 2−y 2b 2=1 （a ＞0，b ＞0），则离心率e= c a = √a 2+b 2a = √52 ，即4b 2=a 2 ，故渐近线方程为y=± b ax= ±12x ，故选：D ． 3.A【解析】3.解：由判断框中的条件为t ＜1，可得： 函数分为两段，即t ＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t ；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t ﹣t 2 故分段函数的解析式为：s= {3t,t ＜14t −t 2,t ≥1，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象， 则输出的s 属于[﹣3，4]． 故选A ．答案第6页，总14页○…………装…………○………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订线※※内※※答※※题※※○…………装…………○………订…………○…………线…………○【考点精析】根据题目的已知条件，利用程序框图的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明． 4.C【解析】4.解：a m =S m ﹣S m ﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m =3， 所以公差d=a m+1﹣a m =1， S m =m(a 1+a m )2=0，得a 1=﹣2，所以a m =﹣2+（m ﹣1）•1=2，解得m=5， 故选C ．【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的前n 项和公式的相关知识，掌握前n 项和公式：，以及对等差数列的性质的理解，了解在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列． 5.A【解析】5.解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4． ∴长方体的体积=4×2×2=16， 半个圆柱的体积= 12 ×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是16+8π； 故选A ．外…………○…………装…………○………线…………○…学校:___________姓名：___________班内…………○…………装…………○………线…………○…【考点精析】解答此题的关键在于理解由三视图求面积、体积的相关知识，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积． 6.B【解析】6.解：∵m 为正整数，由（x+y ）2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，以及二项式系数的性质可得a= c 2m m ，同理，由（x+y ）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ，可得 b= c 2m+1m = c 2m+1m+1 ． 再由13a=7b ，可得13 c 2m m =7 c 2m+1m ，即 13× (2m)!m!⋅m! =7× (2m+1)!m!(m+1)! ，即 13=7× 2m+1m+1 ，即 13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B ． 7.D【解析】7.解：由题意可作出函数y=|f （x ）|的图象，和函数y=ax 的图象，由图象可知：函数y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y=|f （x ）|在第二象限的部分解析式为y=x 2﹣2x ， 求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l 的斜率为﹣2， 故只需直线y=ax 的斜率a 介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0] 故选：D 8.B【解析】8.解：b 1=2a 1﹣c 1且b 1＞c 1 ， ∴2a 1﹣c 1＞c 1 ， ∴a 1＞c 1 ， ∴b 1﹣a 1=2a 1﹣c 1﹣a 1=a 1﹣c 1＞0，∴b 1＞a 1＞c 1 ，又b 1﹣c 1＜a 1 ， ∴2a 1﹣c 1﹣c 1＜a 1 ， ∴2c 1＞a 1 ， ∴ c 1>a 12，答案第8页，总14页……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○由题意，+a n ， ∴b n+1+c n+1﹣2a n = 12 （b n +c n ﹣2a n ），∴b n +c n ﹣2a n =0，∴b n +c n =2a n =2a 1 ， ∴b n +c n =2a 1 ， 又由题意，b n+1﹣c n+1=c n −b n2，∴ =a 1﹣b n ，∴b n+1﹣a 1= 12(a 1−b n ) ，∴b n ﹣a 1= (−12)n−1，∴ ，c n =2a 1﹣b n = ，∴[ ][ ]= [ ﹣ ]单调递增（可证当n=1时 ＞0）故选B ．【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式． 9.2【解析】9.解：∵， c →⋅b →=0 ，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1 −12t =0，解得t=2．所以答案是2．【考点精析】解答此题的关键在于理解平面向量的基本定理及其意义的相关知识，掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．10.（﹣2）n ﹣1【解析】10.解：当n=1时，a 1=S 1= 23a 1+13 ，解得a 1=1当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（ 23a n +13 ）﹣（ 23a n−1+13 ）= 23a n +13a n−1 ， 整理可得 13a n =−13a n−1 ，即 a nan−1=﹣2，故数列{a n }从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，…○…………订…………○………线…………○…___班级：___________考号：___________…○…………订…………○………线…………○…故当n≥2时，a n =（﹣2）n ﹣1=（﹣2）n ﹣1 经验证当n=1时，上式也适合， 所以答案是：（﹣2）n ﹣1【考点精析】利用等比数列的通项公式（及其变式）对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通项公式：．11.- 2√55【解析】11.解：f （x ）=sinx ﹣2cosx= √5 （ √55 sinx ﹣ 2√55cosx ）= √5 sin （x ﹣α）（其中cosα= √55 ，sinα=2√55）， ∵x=θ时，函数f （x ）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ= √5 ， 又sin 2θ+cos 2θ=1，联立得（2cosθ+ √5 ）2+cos 2θ=1，解得cosθ=﹣ 2√55． 所以答案是：﹣2√55【考点精析】通过灵活运用两角和与差的正弦公式，掌握两角和与差的正弦公式：即可以解答此题．12.16【解析】12.解：∵函数f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+ax+b ）的图象关于直线x=﹣2对称， ∴f（﹣1）=f （﹣3）=0且f （1）=f （﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0， 解之得 {a =8b =15，因此，f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+8x+15）=﹣x 4﹣8x 3﹣14x 2+8x+15， 求导数，得f′（x ）=﹣4x 3﹣24x 2﹣28x+8，令f′（x ）=0，得x 1=﹣2﹣ √5 ，x 2=﹣2，x 3=﹣2+ √5 ，当x∈（﹣∞，﹣2﹣ √5 ）时，f′（x ）＞0；当x∈（﹣2﹣ √5 ，﹣2）时，f′（x ）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+ √5 ）时，f′（x ）＞0； 当x∈（﹣2+ √5 ，+∞）时，f′（x ）＜0 ∴f（x ）在区间（﹣∞，﹣2﹣ √5 ）、（﹣2，﹣2+ √5 ）上是增函数，在区间（﹣2﹣ √5 ，﹣2）、（﹣2+ √5 ，+∞）上是减函数． 又∵f（﹣2﹣ √5 ）=f （﹣2+ √5 ）=16，答案第10页，总14页……外…………○………线…………○※※……内…………○………线…………○∴f（x ）的最大值为16． 所以答案是：16．【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2） 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题． 13.（1）解：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B ，因为CA=CB ，所以OC⊥AB，由于AB=AA 1，∠BAA 1=60°， 所以△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB， 又因为OC∩OA 1=O ，所以AB⊥平面OA 1C ， 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ；（2）解：由（1）知OC⊥AB，OA 1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两垂直．以O 为坐标原点， OA → 的方向为x 轴的正向，| OA →|为单位长，建立如图所示的坐标系， 可得A （1，0，0），A 1（0， √3 ，0），C （0，0， √3 ），B （﹣1，0，0），则 BC →=（1，0， √3 ）， BB 1→=AA 1→=（﹣1， √3 ，0）， A 1C →=（0，﹣ √3 ， √3 ）， 设 n → =（x ，y ，z ）为平面BB 1C 1C 的法向量，则 {n →⋅BC →=0n →⋅BB 1→=0，即 {x +√3z =0−x +√3y =0，可取y=1，可得 n →=（ √3 ，1，﹣1），故cos ＜ n →， A 1C→＞= n →⋅A 1C →|n →|⋅|A 1C →|=- √510 ，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为： √510 ．【解析】13.（1）取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1 ， A 1B ，由已知可证OA 1⊥AB，AB⊥平面OA 1C ，进而可得AB⊥A 1C ；（2）易证OA ，OA 1 ， OC 两两垂直．以O 为坐标原点， OA →的方向为x 轴的正向，| OA →|为单位长，建立坐标系，可得 BC →， BB 1→， A 1C →的坐标，设 n →=（x ，y ，z ）为平面BB 1C 1C 的法向量，则 {n →⋅BC →=0n →⋅BB 1→=0，可解得 n →=（ √3 ，1，﹣1），可求|cos ＜ n →， A 1C → ＞|，即为所求正弦值．【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，需要了解垂直于同一个平面的两条直线平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案． 14.（1）解：由圆M ：（x+1）2+y 2=1，可知圆心M （﹣1，0）；圆N ：（x ﹣1）2+y 2=9，圆心N （1，0），半径3． 设动圆的半径为R ，∵动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R ）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴a=2，c=1，b 2=a 2﹣c 2=3． ∴曲线C的方程为 x 24+y 23=1 （x≠﹣2）．（2）解：设曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM|﹣|PN|=2R ﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x ﹣2）2+y 2=4．①l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|=2 √3 ．②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R，可知l 与x 轴不平行，设l 与x 轴的交点为Q ，则 |QP||QM|=Rr 1，可得Q （﹣4，0），所以可设l ：y=k （x+4），由l 于M 相切可得：√1+k2=1 ，解得 k =±√24．当 k =√24时，联立 {y =√24x +√2x 24+y 23=1，得到7x 2+8x ﹣8=0．∴ x 1+x 2=−87 ， x 1x 2=−87 ．∴|AB|= √1+k 2|x 2−x 1| = √1+(√24)2√(−87)2−4×(−87) = 187由于对称性可知：当 k =−√24时，也有|AB|= 187 ．综上可知：|AB|=2 √3 或 18．答案第12页，总14页【解析】14.（1）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R ）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（2）设曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM|﹣|PN|=2R ﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x ﹣2）2+y 2=4．分①l 的倾斜角为90°，此时l 与y 轴重合，可得|AB|．②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R，可知l 与x 轴不平行，设l 与x 轴的交点为Q ，根据 |QP||QM|=Rr 1可得Q （﹣4，0），所以可设l ：y=k （x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 15.（1）解：由题意知f （0）=2，g （0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4， 而f′（x ）=2x+a ，g′（x ）=e x （cx+d+c ），故b=2，d=2，a=4，d+c=4， 从而a=4，b=2，c=2，d=2；（2）解：由（1）知，f （x ）=x 2+4x+2，g （x ）=2e x （x+1） 设F （x ）=kg （x ）﹣f （x ）=2ke x （x+1）﹣x 2﹣4x ﹣2， 则F′（x ）=2ke x （x+2）﹣2x ﹣4=2（x+2）（ke x ﹣1）， 由题设得F （0）≥0，即k≥1，令F′（x ）=0，得x 1=﹣lnk ，x 2=﹣2，①若1≤k＜e 2，则﹣2＜x 1≤0，从而当x∈（﹣2，x 1）时，F′（x ）＜0，当x∈（x 1，+∞）时，F′（x ）＞0，即F （x ）在（﹣2，x 1）上减，在（x 1，+∞）上是增，故F （x ）在[﹣2，+∞）上的最小值为F （x 1），而F （x 1）=﹣x 1（x 1+2）≥0，x≥﹣2时F （x ）≥0，即f （x ）≤kg（x ）恒成立． ②若k=e 2，则F′（x ）=2e 2（x+2）（e x ﹣e ﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x ）＞0， 即F （x ）在（﹣2，+∞）上是增，而F （﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F （x ）≥0，即f （x ）≤kg（x ）恒成立．③若k ＞e 2时，F′（x ）＞2e 2（x+2）（e x ﹣e ﹣2），而F （﹣2）=﹣2ke ﹣2+2＜0，所以当x ＞﹣2时，f （x ）≤kg（x ）不恒成立， 综上，k 的取值范围是[1，e 2]．【解析】15.（1）对f （x ），g （x ）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x ）和曲线y=g （x ）都过点P （0，2），从而解出a ，b ，c ，d 的值；（2）由（1）得出f （x ），g （x ）的解析式，再求出F （x ）及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出F （x ）的最值，从而判断出f （x ）≤kg（x ）恒成立，从而求出k 的范围． 16.（1）证明：连接DE 交BC 于点G ．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE， ∴∠CBE=∠BCE，BE=CE ．又∵DB⊥BE，∴DE 为⊙O 的直径，∠DCE=90°． ∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．………○………__________………○………（2）证明：由（1）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC ． 故DG 是BC 的垂直平分线，∴BG= √32 ． 设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG=60°． 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°． ∴CF⊥BF．∴Rt△BCF 的外接圆的半径= √32 ．【解析】16.（1）连接DE 交BC 于点G ，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE ．由已知DB⊥BE，可知DE 为⊙O 的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB ．（2）由（1）可知：DG 是BC 的垂直平分线，即可得到BG= √32 ．设DE 的中点为O ，连接BO ，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF 的外接圆的半径= 12BC ． 17.（1）解：曲线C 1的参数方程式 {x =4+5costy =5+5sint（t 为参数），得（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=25即为圆C 1的普通方程， 即x 2+y 2﹣8x ﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C 1的极坐标方程；（2）解：曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2y=0，由 {x 2+y 2−8x −10y +16=0x 2+y 2−2y =0，解得 {x =1y =1 或 {x =0y =2 ． ∴C 1与C 2交点的极坐标分别为（ √2 ， π4 ），（2， π2 ）．【解析】17.（1）对于曲线C 1利用三角函数的平方关系式sin 2t+cos 2t=1即可得到圆C 1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C 1的极坐标方程；（2）先求出曲线C 2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C 1与C 2交点的极坐标． 18.答案第14页，总14页……○…………订………※※装※※订※※线※※内※※答※※题……○…………订………设y=|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，则 y= {−5x,x ＜12−x −2,12≤x ≤13x −6,x ＞1，它的图象如图所示：结合图象可得，y ＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（2）解：设a ＞﹣1，且当 x ∈[−a 2,12) 时，f （x ）=1+a ，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对 x ∈[−a 2,12) 都成立．故﹣ a2 ≥a﹣2，解得 a≤ 43 ，故a 的取值范围为（﹣1， 43]．【解析】18.（1）当a=﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．（2）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对 x ∈[−a 2,12) 都成立．故﹣ a2 ≥a﹣2，由此解得a 的取值范围．【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质和绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a.∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直． 以O 为坐标原点，OA u u u r 的方向为x 轴的正方向，|OA u u u r |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC uuu r ＝(1,0，1BB u u u r ＝1AA u u u r ＝(－1，0)，1AC u u u r ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)． 故cos 〈n ，1AC u u u r 〉＝11A C A C⋅u u u r n n＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)． 而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝2. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF . 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年全国高考数学试题及答案(大纲卷)
2013年全国高考数学试题答案卷(理科)一、选择题1． 设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．61．B [解析] 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M 中有4个元素．2． (1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8i D ．8i2．A [解析] (1＋3i)3＝13＋3×12(3i)＋3×1×(3i)2＋(3i)3＝1＋33i －9－33i ＝－8.3． 已知向量＝(λ＋1，1)，＝(λ＋2，2)，若(＋)(－)，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－13．B [解析] (＋)⊥(－)⇔(＋)·(－)＝0⇔2＝2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.4． 已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，14．B [解析] 对于f (2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12. 5． 函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋1x (x >0)的反函数f －1(x )＝( ) A.12x －1(x >0) B.12x －1(x ≠0) C ．2x －1(x ∈) D ．2x －1(x >0)5．A [解析] 令y ＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋1x ，则y >0，且1＋1x ＝2y ，解得x ＝12y －1，交换x ，y 得f －1(x )＝12x－1(x >0)． 6． 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)6．C [解析] 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ≠0(否则a 2＝0)且a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是公比为－13的等比数列，代入a 2可得a 1＝4，故S 10＝4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101＋13＝3×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1310＝3(1－3－10)．7． (1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112 D ．1687．D [解析] (1＋x )8展开式中x 2的系数是C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数是C 24，根据多项式乘法法则可得(1＋x )8(1＋y )4展开式中x 2y 2的系数为C 28C 24＝28×6＝168.8．、 椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，34B.⎣⎡⎦⎤38，34C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎣⎡⎦⎤34，1 8．B [解析] 椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P (x 0，y 0)，则kP A 1kP A 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4，而x 204＋y 203＝1，即y 20＝34(4－x 20)，所以kP A 1kP A 2＝－34，所以kP A 1＝－34kP A 2∈⎣⎡⎦⎤38，34.9．、 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞)9．D [解析] f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12 ，＋∞上恒成立，由于y ＝1x2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以y <3，故只要a ≥3. 10． 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.1310．A [解析] 如图，联结AC ，交BD 于点O .由于BO ⊥OC ，BO ⊥CC 1，可得BO ⊥平面OCC 1，从而平面OCC 1⊥平面BDC 1，过点C 作OC 1的垂线交OC 1于点E ，根据面面垂直的性质定理可得CE ⊥平面BDC 1，∠CDE 即为所求的线面角．设AB ＝2，则OC ＝2，OC 1＝18＝3 2，所以CE ＝CC 1·OC OC 1＝4 23 2＝43，所以sin ∠CDE ＝CE CD ＝23.11．、 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB ＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．211．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2＋4＝4.MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t ＝2.12．、 已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )A ．y ＝f (x )的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数12．C [解析] 因为对任意x ，f (π－x )＋f (π＋x )＝cos x sin 2x －cos x sin 2x ＝0，故函数f (x )图像关于点(π，0)中心对称；因为对任意x 恒有f (π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故函数f (x )图像关于直线x ＝π2对称；f (－x )＝－f (x )，f (x ＋2π)＝f (x )，故f (x )既是奇函数也是周期函数；对选项C 中，f (x )＝2cos 2x sin x ＝2(1－sin 2x )sin x ，令t ＝sin x ∈[－1，1]，设y ＝(1－t 2)t ＝－t 3＋t ，y ′＝－3t 2＋1，可得函数y 的极大值点为t ＝13，所以y 在[]－1，1上的极大值为－1313＋13＝2 39，函数的端点值为0，故函数y 在区间[]－1，1的最大值为2 39，函数f (x )的最大值为439，所以选项C 中的结论错误．13． 已知α是第三象限角，sin α＝－13，则cot α＝________．13．2 2 [解析] cos α＝－1－sin 2α＝－2 23，所以cot α＝cos αsin α＝2 2.14．、 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)14．480 [解析] 先排另外四人，方法数是A 44，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A 25，根据乘法原理得不同排法共有A 44A 25＝24×20＝480种．15． 记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．15.⎣⎡⎦⎤12，4 [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图1－2中的三角形ABC 及其内部，直线y ＝a (x ＋1)是过点(－1，0)斜率为a 的直线，该直线与区域D 有公共点时，a 的最小值为MA 的斜率，最大值为MB 的斜率，其中点A (1，1)，B (0，4)，故MA 的斜率等于1－01－（－1）＝12，MB 的斜率等于4－00－（－1）＝4，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，4.16．、 已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．16．16π [解析] 设两圆的公共弦AB 的中点为D ，则KD ⊥DA ，OD ⊥DA ，∠ODK 即为圆O 和和圆K 所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK ＝60°.由于O 为球心，故OK垂直圆K 所在平面，所以OK ⊥KD .在直角三角形ODK 中，OK OD ＝sin60°，即OD ＝32×23＝3，设球的半径为r ，则DO ＝32r ，所以32r ＝3，所以r ＝2，所以球的表面积为4πr 2＝16π.17．、 等差数列{a n }前n 项和为S n .已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0， 此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．、 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac . (1)求B ； (2)若sin A sin C ＝3－14，求C . 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝12＋2×3－14 ＝32， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°. 19．、 如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形．(1)证明：PB ⊥CD ；(2)求二面角A －PD －C 的大小．19．解：(1)取BC 的中点E ，联结DE ，则四边形ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 联结OA ，OB ，OD ，OE .由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连FG . 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .联结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD .所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角． 联结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝2 2，EG ＝12PB ＝1，故AG ＝AE 2＋EG 2＝3，在△AFG 中，FG ＝12CD ＝2，AF ＝3，AG ＝3.所以cos ∠AFG ＝FG 2＋AF 2－AG 22·FG ·AF ＝－63.因此二面角A －PD －C 的大小为π－arccos63. 解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB →|＝2，则A (－2，0，0)，D (0，－2，0)， C (2 2，－2，0)，P (0，0，2)，PC →＝(2 2，－2，－2)，PD →＝(0，－2，－2)， AP →＝(2，0，2)，AD →＝(2，－2，0)． 设平面PCD 的法向量为1＝(x ，y ，z )，则 1·PC →＝(x ，y ，z )·(2 2，－2，－2)＝0，1·PD →＝(x ，y ，z )·(0，－2，－2)＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故1＝(0，－1，1)． 设平面P AD 的法向量为2＝(m ，p ，q )，则 2·AP →＝(m ，p ，q )·(2，0，2)＝0， 2·AD →＝(m ，p ，q )·(2，－2，0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故2＝(1，1，－1)． 于是cos 〈，2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－63.由于〈，2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大小为π－arccos63. 20．、 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望． 20．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0，1，2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B 1·B 3)＝P (B 1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58，E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.21．、、 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．21．解：(1)由题设知ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |＜2 2，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199.由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．22． 已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x （1＋λx ）1＋x .(1)若x ≥0时f (x )≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n }的通项a n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，证明：a 2n －a n ＋14n ＞ln 2.22．解：(1)由已知f (0)＝0，f ′(x )＝（1－2λ）x －λx 2（1＋x ）2，f ′(0)＝0.若λ＜12，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，f ′(x )＞0，所以f (x )＞0.若λ≥12，则当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以当x ＞0时，f (x )＜0.综上，λ的最小值是12.(2)令λ＝12.由(1)知，当x ＞0时，f (x )＜0，即x （2＋x ）2＋2x＞ln (1＋x )．取x ＝1k ，则2k ＋12k （k ＋1）＞ln k ＋1k .于是a 2n －a n ＋14n ＝∑k ＝n 2n －1 ⎣⎡⎦⎤12k ＋12（k ＋1）＝∑k ＝n2n －12k ＋12k （k ＋1）＞k ＝n 2n －1lnk ＋1k＝ln 2n－ln n ＝ln 2.所以a2n－a n＋14n＞ln 2.。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |＜x，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，ABBC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2. 14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20． 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =+22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=. 当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.而F(x1)＝2x1＋2－21故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)最新修正版
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）=（）A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣14．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5 B．8 C．12 D．188．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C． D．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．2．（5分）=（）A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．【解答】解：故选：A．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求+a n=0【解答】解：∵3a n+1∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5 B．8 C．12 D．18【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．=C3r x r【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为T r+1令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，=C4r y r（1+y）4的展开式的通项为T r+1令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，故选：D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C． D．【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选：B．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥0在（，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．∴h（x）＜h（）=3∴a≥3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B 两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；对于B，因为f（+x）=cos（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，f（﹣x）=cos（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（+x）=f（﹣x），可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t）∴当t∈（﹣1，﹣）时或t∈（，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；当t∈（﹣，）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，结合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值为．由此可得f（x）的最大值为而不是，故C不正确；对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．综上所述，只有C项不正确．故选：C．【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=2．【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣则cotα==2故答案为：2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有480种．（用数字作答）【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为：480．【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4] ．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于16π．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式【解答】解：设数列的公差为d由得，3∴a2=0或a2=3由题意可得，∴若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）解可得d=0或d=2∴a n=3或a n=2n﹣1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE ∥CD，因此PB⊥CD；（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG ⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角连接AG、EG，则EG∥PB∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P（X=0）=P（B 1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．P（X=2）=P（B 3）=P（）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．从而EX=0×+1×+2×=．【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）==，∴f′（0）=0欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x＜，则当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当0＜x＜时，f（x）＞0，此时不合题意，若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0恒成立，综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为（II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即取x=，则于是a2n﹣a n+=++…++====＞=ln2n﹣lnn=ln2最新修正版所以【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，2013 全国新课标卷1理科数学 第11页 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C ⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝当k y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x1,2＝47-±.所以|AB|2118|7x x-=.当k=|AB|＝187.综上，|AB|＝|AB|＝187.21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－21x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.2013 全国新课标卷1理科数学第12页2013 全国新课标卷1理科数学 第13页 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年高考理科数学大纲卷-答案
【答案】B【解析】(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+(2m n λ∴+=+，(1,m n -=--）()()m n m n +⊥-，()()0m n m n +-==0【提示】给出两个向量，利用向量的坐标运算，再根据向量的垂直的性质求值【考点】向量的坐标运算【解析】原函数的定义域为1220PA PA y k x =.2[PA k ∈-【提示】设0(,x y P 34.利用斜率计算公式可得12PA k ，再利用已.函数1AC C =，所以1CC O 内作1BDC O O =，所以DH ，则DH 1=，AB 3CD1BDC O O =1122(2,2)(2,2)(MA MB x y x y =+-+-=将上面各个量代入，化简得利用1122(2,2)(2,2)0MA MB x y x y =+-+-=【考点】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算 sin 2(1x x =3342 45480A=（种）.直线2260.= KOM中，360的表面积为4πR 4120.（Ⅱ）由（Ⅰ）知60，所以2sin sin A BDOP O =所以因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE CD ∥.因此PB CD ⊥.PB PO P =，故CD ，FG PD ⊥为坐标原点，OE 的方向为的空间直角坐标系||2AB =，则(0,0,2).(22,PC =，(0,PD =-(2,0,AP =，(2,AD =设平面PCD 的法向量为1(,,n x y z =则1(,)(22,2,n x y PC =-，1(,,)(0,2,2)n PD x y z =--=0z =，1y =-，得0，1z =，故1(0,1,1)n =-. 的法向量为2(,n m p =22(,)(2,0,2)n m p AP =，22(,)(2,2,0)n m D p A =-0=，1，得1p =，1=-，故2(1,1,n =-， 1212126,3||||n n n n n n <>==-12,n n <>等于二面角A PD -312A A ，121())(P A A A P A =123)(B B A P B =131)(B B P B =009()1122()()8P X P X P X ===++=.2|||=3(BF x 22|BF AB =2与C 的两个交点间的距离为11 / 11。
2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则（ ） （A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）B A ⊆ （D ）A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->，∴0x <或2x >．由图象可以看出A B =R ，故选B ． （2）【2013年全国Ⅰ，理2，5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为（ ）（A ）4- （B ）45- （C ）4 （D ）45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+．故z 的虚部为45，故选D ． （3）【2013年全国Ⅰ，理3，5分】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）（A ）简单随机抽样 （B ）按性别分层抽样 （C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样 【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样，故选C ．（4）【2013年全国Ⅰ，理4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===．∴224a b =，1=2b a ±． ∴渐近线方程为12b y x x a =±±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，理5，5分】执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（ ） （A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-，则执行3s t =，故[)3,3s ∈-．若[]1,3t ∈，则执行24s t t =-，其对称轴为2t =．故当2t =时，s 取得最大值4．当1t =或3时，s 取得最小值3，则[]3,4s ∈． 综上可知，输出的[]3,4s ∈-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅰ，理6，5分】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚 度，则球的体积为（ ）（A ）35003cm π （B ）38663cm π （C ）313723cm π（D ）320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题可知R ，2R -，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA ∆为直角三角形，如图，2BC =，4BA =，2OB R =-，OA R =，由()22224R R =-+，得5R =，所以球的体积为34500533ππ=(cm 3)，故选B ．（7）【2013年全国Ⅰ，理7，5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（ ）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】∵12m S -=-，0m S =，13m S +=，∴()1022m m m a S S -=-=--=，11303m m m a S S ++=-=-=．∴1321m m d a a +=-=-=．∵()11102m m m S ma -=+⨯=，∴112m a -=-． 又∵1113m a a m +=+⨯=，∴132m m --+=．∴5m =，故选C ． （8）【2013年全国Ⅰ，理8，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径2r =，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．（9）【2013年全国Ⅰ，理9，5分】设m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ， ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】由题意可知，2m m a C =，21mm b C +=，又∵137a b =，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+．解得6m =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅰ，理10，5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ） （A ）2214536x y +=（B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为()1,1-，∴122y y +=-，122x x +=，而1212011=312AB y y k x x --(-)==--， ∴221=2b a ．又∵229a b -=，∴218a =，29b =．∴椭圆E 的方程为22=1189x y +，故选D ． （11）【2013年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x a x ≥|，则a 的取值范围是（ ） （A ）(],0-∞ （B ）(],1-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知：①当0x >时，y ax =只有0a ≤时，才能满足()f x ax ≥，可排除B ，C ．②当0x ≤时，()2222y f x x x x x ==-+=-．故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥．当0x =时，不等式为00≥成立．当0x <时，不等式等价于2x a -≤．∵22x -<-，∴2a ≥-．综上可知：[]2,0a ∈-，故选D ．（12）【2013年全国Ⅰ，理12，5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3.n =⋯，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（ ）（A ）{}n S 为递减数列 （B ）{}n S 为递增数列（C ）{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列 （D ）{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，理13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ．若·0=b c ，则t = ． 【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ，∴()2··1t t =+-bc ab b ．又∵1==a b ，且a 与b 夹角为60°，⊥b c ， ∴()0 601t cos t =︒+-a b ，1012t t =+-．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，理14，5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a = ．【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+，① ∴当2n ≥时，112133n n S a --=+．② ①-②，得12233n n n a a a -=-，即12n n aa -=-．∵1112133a S a ==+，∴11a =．∴{}n a 是以1为首项，-2为公比的等比数列，()12n n a -=-．（15）【2013年全国Ⅰ，理15，5分】设当x θ=时，函数()2f x sinx cosx =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】 【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-，令cos α=，sin α=，则()()f x x α=+，当22()x k k ππα=+-∈Z 时，()sin x α+有最大值1，()f x，即22()k k πθπα=+-∈Z ，所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（16）【2013年全国Ⅰ，理16，5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，∴()f x 满足()()04f f =-，()()13f f -=-，即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩，得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++．由()324242880f x x x x '=---+=，得12x =-22x =-，32x =-．易知，()f x在(,2-∞-上为增函数，在()22--上为减函数，在(2,2--上为增函数，在()2-+-∞上为减函数．∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故f (x )的最大值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，理17，12分】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒．（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．解：（1）由已知得60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒．在PBA ∆中，由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=．故PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=．在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．所以tan α，即tan PBA ∠= （18）【2013年全国Ⅰ，理18，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒． （1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OA C ． 又1A C 平面1OA C ，故1AB A C ⊥．（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面11AA B B ，故OA ，1OA ，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设知()1,0,0A，1()0A ，(0,0C ，()1,0,0B -．则(1,03BC =，11()BB AA =-=，(10,A C = ．设()n x y z =，，是平面11BB C C 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-．故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ ．所以1A C 与平面11BB C C． （19）【2013年全国Ⅰ，理19，12分】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B = ，且11A B 与22A B 互斥，所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+．（2）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()500116P X ==，()80140P X ==． 所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=． （20）【2013年全国Ⅰ，理20，12分】已知圆()2211M x y ++=：，圆()2219N x y -+=：，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为(),P xy ，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重 合，可得AB =l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M ，解得k =． 当k =时，将y =+22=13x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =． 2118|7AB x x =-=．当k =时，由图形对称性可知187AB =．综上，AB =187AB =． （21）【2013年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（1）由已知得()02f =，()02g =，()04f '=，()04g '=．而()2f x x a '=+，()()x g x e cx d c '=++， 故2b =，2d =，4a =，4d c +=．从而4a =，2b =，2c =，2d =． （2）由（1）知，()242f x x x =++，()()21x g x e x =+．设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---，()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-．()00F ≥ ，即1k ≥．令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-． ①若21k e ≤<，则120x -<≤．从而当12()x x ∈-，时，()0F x '<；当1()x x ∈+∞，时，()0F x '>． 即()F x 在1(2)x -，单调递减，在1()x +∞，单调递增．故()F x 在[)2-+∞，的最小值为()1F x ． 而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ②若2k e =，则()()()2222x F x e x e e -'=+-．∴当2x >-时，()0F x '>，即()F x 在()2-+∞，单调递增． 而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ③若2k e >，则()()22222220F k eek e ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1]e ，． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆 于点D ． （1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径． 解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=． 所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。
2013年全国高考数学(理科)试题及答案-新课标1卷(解析版)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷)数学(理科)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知集合{}022>-=x x x A ，{}55B <<-=x x ，则 （A ）A B =ΦI （B ）A B =R U （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆（2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A ）简单的随机抽样 （B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样（4）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为 （A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±= （5）执行右面的程序框图，如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于（A ）[]43，- （B ）[]25，- （C ）[]34，- （D ）[]52，-（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 32048π（7）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）8π16+（B ）8π8+（C ）π6116+（D ）16π8+（9）设m 为正整数，()m y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ，()12++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m ＝（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 理数(大纲卷) (含答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（2）()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i （3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）-3 （C ）2- （D ）-1 （4）已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（5）函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210xx -> （6）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（7）()()342211+x y x y +的展开式中的系数是（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168（8）椭圆22122:1,,46x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（9）若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，则的取值范围是 （A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+ （10）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B）3 （C）3 （D ）13（11）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==u u u r u u u rg 两点,若则（A ）12（B）2 （C（D ）2（12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中正确的是（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称 （B ）()2y f x x π==的图像关于对称（C ）()f x （D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知1sin ,cot 3a a a =-=是第三象限角，则 .（14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）（15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =o ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若31sin sin , C.4A C -=求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆o中，，与都是等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求二面角.A PD C --的大小20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.21．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b -=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列22．（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+ （I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科答案一．二、填空题13. 1[,4]216. 16π三、解答题17. 设{}n a 的公差为d.由232S a =得2223a a =，故20a =或23a =.由124,,S S S ，成等比数列得2214=S S S .又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+，故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+.若20a =，则222d d =-，所以0d =，此时0n S =，不合题意；若23a =，则2(6)(3)(122)d d d -=-+，解得0d =或2d =. 因此{}n a 的通项公式为3n a =，或21n a n =-.18. （Ⅰ），因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a cb ac +-=-.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-， 因此0120B =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知060A C +=，所以 cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++13122-=+⨯ 3=， 故030A C -=或030A C -=-， 因此015C =或045C =.19. （Ⅰ）证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形. 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O.连结OA ，OB,OD,OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD ， 所以OA=OB=OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥.因为O 是BD 的中点， E 是BC 的中点，所以OE//CD.因此PB CD ⊥. （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知CD PB ⊥，CD PO ⊥，PB PO P =I . 故CD ⊥平面PBD.又PD ⊂平面PBD ，所以CD PD ⊥. 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG//CD ，FG//PD.连结AF ，由APD ∆为等边三角形可得AF ⊥PD.所以， AFG ∠为二面角A-PD-C 的平面角. ……8分 连结AG ，EG ，则EG//PB. 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE.设AB=2，则22AE =，112EG PB ==， 故223AG AE EG =+=.在AFG ∆中，122FG CD ==，3AF =，3AG =， 所以2226cos 23FG AF AG AFG FG AF +-∠==-⨯⨯.因此二面角A-PD-C 的大小为6arccos π-. 解法二：由（Ⅰ）知，OE,OB,OP 两两垂直.以O 为坐标原点， OE uuu r的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设||2AB =u u u r，则(2,0,0)A -，(0,2,0)D -，(22,2,0)C -，(0,0,2)P .(22,2,2)PC =u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r. 2,0,2)AP =u u u r ，(2,2,0)AD =u u u r.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =u r，则 1(,,)(22,2,2)0n PC x y z •=•--=u r u u u r， 1(,,)(0,2,2)0n PD x y z •=•--=u r u u u r，可得20x y z --=，0y z +=.取1y =-，得0,1x z ==，故1(0,1,1)n =-u r. 设平面PAD 的法向量为2(,,)n m p q =u u r，则 2(,,)(2,02)=0n AP m p q •=•u u r u u u r，，2(,,)n AD m p q •=•u u r u u u r，可得0,0m p m p +=-=.取m=1，得1,1p q ==-，故2(1,1,1)n =-u u r.于是121212cos ,3||||n n n n n n •<>=u r u u ru r u u r u r u u r .由于， 12,n n <>u r u u r等于二面角A-PD-C 的平面角，所以二面角A-PD-C的大小为arccos3π-. 20. （Ⅰ）记1A 表示事件， “第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12=A A A •.12121()=P()()()4P A A A P A P A •==. （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，1B 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==••==13131(2)()()=4P X P B B P B P B ==•=（），115(1)1-(0)(2)1848P X P X P X ===-==--=，9()0(0)1(=1)+2(2)8E X P X P X P X =•=+••==.21.（Ⅰ）由题设知3ca=，即2229a b a +=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将y=2代入上式，求得x =由题设知，=21a =.所以1,a b ==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -=. ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-， ||k <，代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11x ≤-，21x ≥，212268k x x k +=-，2122988k x x k +•=-.于是11||(31)AF x ===-+，12||31BF x ===+由11||||AF BF =得12(31)31x x -+=+，即1223x x +=-. 故226283k k =--，解得245k =，从而12199x x •=-.由于21||13AF x ===-，22||31BF x ===-.故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9-116AF BF x x x x •=+-=.因而222|||||AB|AF BF •=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.22. （Ⅰ）由已知(0)0f =， 2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =.若12λ<，则当02(12)xλ<<-时，'()0f x>，所以()0f x>.若12λ≥，则当0x>时，'()0f x<，所以当0x>时，()0f x<.综上，λ的最小值是12.（Ⅱ）证明：令12λ=.由（Ⅰ）知，当0x>时，()0f x<，即(2)ln(1) 22x xxx+>++.取1xk=，则211ln()2(1)k kk k k++>+.于是212111()422(1)nn nk na an k k-=-+=++∑21212(1)nk nkk k-=+=+∑211lnnk nkk-=+>∑ln2lnn n=-ln2=.所以21ln24n na an-+>.。
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷大纲版)理数-含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷大纲版）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2013大纲全国，理1）设集合，，，则M 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62. （2013大纲全国，理2）=（ ）A ．-8B ．8C ．D ．3. （2013大纲全国，理3）已知向量，，若，则=（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-14. （2013大纲全国，理4）已知函数f(x)的定义域为，则函数的定义域（ ） A ． B ． C ． D ．5. （2013大纲全国，理5）函数（x>0）的反函数=（ ）A ．B ．C ．D ． 6. （2013大纲全国，理6）已知数列满足，，则的前10项和等于（ ） A ． B ． C ． D ．7. （2013大纲全国，理7）的展开式中的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．1688. （2013大纲全国，理8）椭圆C ：的左右顶点分别为，点P 在C 上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 9. （2013大纲全国，理9）若函数在是增函数，则a 的取值范围是（ ） ={1,2,3}A B={45}，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈3(1)+8i -8i (1,1)m λ=+u r (2,2)n λ=+r ()()m n m n +⊥-u r r u r rλ(1,0)-(21)f x +(1,1)-1(1,)2--(1,0)-1(,1)221()log (1)f x x=+1()f x -1(0)21x x >-1(0)21xx ≠-21()x x R -∈21(0)x x ->{}n a 130n n a a ++=243a =-{}n a 106(13)---101(13)9-103(13)--103(13)-+84(1)(1)x y ++22x y 22143x y +=12,A A 2PA [2,1]--1PA 13[,]2433[,]841[,1]23[,1]421()f x x ax x =++1(,)2+∞A ．B ．C ．D ．10. （2013大纲全国，理10）已知正四棱柱中，，则CD 与平面所成角的正弦值等于（ ） A ．B ．C ．D ．11.已知抛物线C ：与点M （-2,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若，则k=（ ）A ．B ．C ．D ．212. （2013大纲全国，理12）已知函数，下列结论中错误的是（ ） A ．的图像关于点中心对称 B ．的图像关于直线对称C ．的最大值为D ．既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知是第三象限角，，则14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）15.记不等式组，所表示的平面区域为D.若直线与D 有公共点，则a 的取值范围是16.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为，则球O 的表面积等于 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（2013大纲全国，理17）（本小题满分10分）等差数列的前n 项和为.已知，且成等比数列，求的通项公式.[1,0]-[1,)-+∞[0,3][3,)+∞1111ABCD A B C D -12AA AB =1BDC 23321328y x =0MA MB •=u u u r u u u r12222()cos sin 2f x x x =()y f x =(,0)π()y f x =2x π=()f x 3()f x α1sin 3α=-cot α=03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩(1)y a x =+32OK =060{}n a n S 232S a =124,,S S S {}n a18. （2013大纲全国，理18）（本小题满分12分）设的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，. （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若，求C. 19. （2013大纲全国，理19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，，，和都是等边三角形.（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求二面角A-PD-C 的大小.20. （2013大纲全国，理20）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判. （Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 21. （2013大纲全国，理21）（本小题满分12分）已知双曲线C ：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C 的两个交点间的距离为. （Ⅰ）求a,b ；（Ⅱ）设过的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且，证明：、、成等比数列.22. （2013大纲全国，理22）（本小题满分12分） 已知函数.（Ⅰ）若时，，求的最小值； （Ⅱ）设数列的通项，证明：.ABC ∆()()a b c a b c ac ++-+=31sin sin 4A C -=090ABC BAD ∠=∠=2BC AD =PAB∆PAD ∆PB CD ⊥1222221x y a b-=1F 2F 62F 11||||AF BF =2||AF ||AB 2||BF (1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+0x ≥()0f x ≤λ{}n a 111123n a n =++++L 21ln 24n n a a n-+>参考答案一．二、填空题13. 14.480 15. 16. 三、解答题17. 设的公差为d.由得，故或. 由，，成等比数列得. 又，，， 故.若，则，，，所以，此时，不合题意；若，则，解得或.因此的通项公式为，，或.18. （Ⅰ），，因为，所以.由余弦定理得， 因此.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以1[,4]216π{}n a 232S a =2223a a =20a =23a =124,,S S S 2214=S S S 12S a d =-222S a d =-4242S a d =+2222(2)()(42)a d a d a d -=-+20a =222d d =-0d =0n S =23a =2(6)(3)(122)d d d -=-+0d =2d ={}n a 3n a =21n a n =-()()a b c a b c ac ++-+=222a c b ac +-=-2221cos 22a cb B ac +-==-0120B =060A C +=故或， 因此或.19. （Ⅰ）证明：取BC 的中点E ，，，连结DE ，则ABED 为正方形. 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O. 连结OA ，OB,OD,OE.由和都是等边三角形知PA=PB=PD ， 所以OA=OB=OD ，，，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故，从而.因为O是BD 的中点，，，E 是BC 的中点，所以OE//CD.因此. （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，，. 故平面PBD.又平面PBD ，，，所以. 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG//CD ，FG//PD.连结AF ，由为等边三角形可得AF ⊥PD.所以，，为二面角A-PD-C 的平面角. ……8分 连结AG ，EG ，则EG//PB. 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE. 设AB=2，则， cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++122=+2=030A C -=030A C -=-015C =045C =PAB ∆PAD ∆OE BD ⊥PB OE ⊥PB CD ⊥CD PB ⊥CD PO ⊥PB PO P =I CD ⊥PD ⊂CD PD ⊥APD ∆AFG ∠AE =112EG PB ==故.在中，，， 所以.因此二面角A-PD-C 的大小为. 解法二：由（Ⅰ）知，OE,OB,OP 两两垂直.以O 为坐标原点，，，的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设，则，，，.，. ，.设平面PCD 的法向量为，则 ， ，可得，.取，得，，，故. 设平面PAD 的法向量为，则 ， ，可得.取m=1，得，故.3AG ==AFG∆12FGCD ==AF =3AG =222cos2FG AF AG AFGFG AF +-∠==⨯⨯π-OE uuu r||2AB =u u ur(A (0,D CP PC =u u ur (0,PD =u u u rAP =u u u r AD =u u u r1(,,)n x y z =u r1(,,)0n PC x y z •=•=u r u u ur1(,,)(0,0n PD x y z •=•=u r u u u r20x y z --=0y z +=1y =-0,1x z ==1(0,1,1)n =-u r2(,,)n m p q =u u r2(,,)n AP m p q •=•u u r u u u r2(,,)n AD m p q •=•u u r u u u r0,0m p m p +=-=1,1p q ==-2(1,1,1)n =-u u r于是.由于，，等于二面角A-PD-C 的平面角，所以二面角A-PD-C 的大小为. 20. （Ⅰ）记表示事件，，“第2局结果为甲胜”， 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”.则.. （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.记表示事件“第3局乙和丙比赛时，，，结果为乙胜丙”，表示事件“第1局结果为乙胜丙”，表示事件“第2局乙和甲比赛时，，，结果为乙胜甲”，表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则 ，，.21.（Ⅰ）由题设知，，，即，故. 所以C 的方程为.将y=2代入上式，求得121212cos ,=-3||||n n n n n n •<>=u r u u ru r u u r u r u u r 12,n n <>u r u u rarccos3π-1A 2A 12=A A A •12121()=P()()()4P A A A P A P A •==3A 1B 2B 3B 1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==••==13131(2)()()=4P X P B B P B P B ==•=（）115(1)1-(0)(2)1848P X P X P X ===-==--=9()0(0)1(=1)+2(2)8E X P X P X P X =•=+••==3c a=2229a b a +=228b a =22288x y a -=x =由题设知，. 所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C 的方程为. ①由题意可设的方程为，，，，代入①并化简得.设，，则，，，.于是，由得，，，即.故，解得，，，从而. 由于，.故，.因而，，，所以、、成等比数列.22. （Ⅰ）由已知，，，，. 若，则当时，，所以. 若，则当时，，，，所以当时，.=21a =1,a b ==1(3,0)F -2(3,0)F2288xy -=l (3)y k x =-||k <2222(8)6980k x k x k --++=11(,)A x y 22(,)B x y 11x ≤-21x ≥212268k x x k +=-2122988k x x k +•=-11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+11||||AF BF=12(31)31x x -+=+1223x x +=-226283k k =--245k =12199x x •=-21||13AF x ===-22||31BF x ===-2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=221212||||3()9-116AF BF x x x x •=+-=222|||||AB|AF BF •=2||AF ||AB 2||BF (0)0f =2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+'(0)0f =12λ<02(12)x λ<<-'()0f x >()0f x >12λ≥0x >'()0f x <0x >()0f x <综上，的最小值是. （Ⅱ）证明：令.由（Ⅰ）知，，，当时，， 即.取，则. 于是 . 所以. 考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2013年高考理科数学试题(大纲卷,新课标Ⅰ、Ⅱ卷)参考答案
1952013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（大纲卷）参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 BABBA CDBDA DC第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分）13．．480 15．1[,4]216．16π 三、解答题17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ． 由232=S a 得21232+=a a a a +，即2223a a =，20a =，或23a =．由124,,S S S 成等比数列得2214S S S =． ∵1122242,2,42S a a d S a d S a d ==-=-=+， ∴()()()2222242a d a d a d -=-+，即222d a d =，0d =或223d a =． 当20a =时，0d =，从而0n S =，不符合题意；当23a =量，0d =或2d =．∴{}n a 的通项式为3n a =或21n a n =-． 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵()()a b c a b c ac ++-+=，∴222a cb ac +-=-. 由余弦定理得，2221cos 22a c b B ac +-==-，∴0120B =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知060A C +=，∴cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+ cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C=++122=+= ∴030A C -=或030A C -=-， ∴015C =或045C =.19．解：（Ⅰ）证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作OP ⊥平面ABCD ，垂足为O .连接,,,OA OB OD OE .由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA PB PD ==，∴OA OB OD ==，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，∴OE BD ⊥，从而PB OE ⊥. ∵O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，∴OE //CD .∴PB CD ⊥. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，PB CD ⊥，OP CD ⊥，PB OP P = ， ∴CD ⊥平面PBD .∵PD ⊂平面PBD ，∴CD PD ⊥. 由知取PD 的中点F ，PC 中点G ，连接GF ，则GF //CD ，GF PD ⊥.连接AF ，由PAD ∆都是等边三角形知AF PD ⊥.∴AFG α∠=是二面角A PD C --的平面图角.连接,AG EG ，则EG //PB . 又PB AE ⊥，∴EG AE ⊥. 设2AB =，则112AE EG PB ===，3AG =.∴在AFG ∆中，12FG CD AF ===3AG =.∴222cos 23FG AF AG FG AF α+-==- ，二面角A PD C --的大小为196π-. 注：（Ⅱ）第小题可以用坐标方法求解. 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12=A A A ⋅.12121()=P()()()4P A A A P A P A ⋅==. （Ⅱ）由条件知X 的可能取值为0，1，2. 3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜”，记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”. 则123(0)()P x P B B A ==⋅⋅1231()()()8P B P B P A =⋅⋅=，13(2)()P X P B B ==⋅131()()4P B P B ==，∴5(1)1(0)(2)8P X P X P X ==-=-==． ∴1519()0128848E X =⨯+⨯+⨯=． 21．（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由题设知3ca=，即 2229a b a+=，∴228b a =， ∴C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得，x =由题设知，=，解得，21a =.∴1,a b ==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -=. ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <，代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=. ② 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12,x x 是方程的两个根，且11x ≤-，21x ≥，212268k x x k +=-， 2122988k x x k +∙=-.∴1||AF =1(31)x ==-+，1||BF =231x ==+由11||||AF BF =得，12(31)31x x -+=+，即1223x x +=-. ∴226283k k =--，解得245k =，从而 12199x x ∙=-.由于2||AF =113x ==-，2||BF =231x ==-，∴2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9-116AF BF x x x x ∙=+-=.∴222|||||AB|AF BF ∙=， ∴22AF AB BF ,,成等比数列. 22．（本小题满分12分）197解：（Ⅰ）由已知条件得22(12)(0)0,(),(0)0(1)x x f f x f x λλ--''===+.若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，()0f x '>，∴()0f x >.若12λ≥，则当0x >时，()0f x '<，∴当0x >时，()0f x <.综上可得：λ的最小值为12.（Ⅱ）令1x k =12λ=由（Ⅰ）得当0x >时，()0f x <，即 ()()2ln 122x x x x+>++.取1x k =，则()21ln 1ln 2(1)k k k k k +>+-+. ∴214n n a a n -+11111224n n n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪++⎝⎭111122(1)2(1)2(2)n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭112(21)2(2)n n ⎛⎫+++⎪-⎝⎭21232(1)2(1)(2)n n n n n n ++=++++ 412(21)(2)n n n -++-()()ln(1)ln ln(2)ln(1)n n n n >+-++-+ ()ln(2)ln(21)n n ++--ln(2)ln n n =- ln 2=.∴21ln 24n n a a n-+>.2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学(新课标I 卷)参考答案第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分）1-12 BDCCA ACABD DB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二填空题（共20分） 13．2 14．1(2)n --15． 16．16 三、解答题 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，∠PBC =o60， ∴∠PBA =30o ．在△PBA 中，由余弦定理得2PA=o 1132cos3042+-=74， ∴PA（Ⅱ）设∠PBA =α，由已知得， sin PB α=．在△PBA中，由正弦定理得 o o sin sin150sin(30)αα=-，化简得 4sin αα=，即tanα， ∴tan PBA ∠说明：本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题. 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）取AB 中点O ，连接OC ，1A B ，1OA ．∵AB =1AA ，1BAA ∠=060，198∴1BAA ∆是正三角形，∴1OA ⊥AB ． ∵AC BC =， ∴OC ⊥AB ，∵1OC OA O ⋂=，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1AC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC ⊥AB ，1OA ⊥AB ． 又∵面ABC ABC ⊥面11ABB A ，面ABC ∩面11ABB A =AB ， ∴OC ⊥面11ABB A ，∴OC ⊥1OA ． ∴OA ，OC ，1OA 两两相互垂直． 以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．由题设知1(1,0,0),A A,C ，(1,0,0)B -，则11(1(1BC BB AA ===-，1(0,AC = ． 设n =(,,)x y z 是平面11CBBC 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，可取,1)=-n ，∴111cos ,|AC AC AC ⋅<>==n n |n ||， ∴直线C A 1 与平面C C BB 11所成角的正弦说明：本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题. 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B ,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C ，第二次取出的1件产品是优质品为事件D ，这批产品通过检验为事件E ，根据题意有()()E AB CD = ,且AB 与CD 互斥，∴()()()P E P AB P CD =+()()()()P A P B A P C P D C =+244341111132222264C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）X 的可能取值为400,500,800，并且 343411111(400)122216P X C ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(500)16P X ==，334111(800)224P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为1111()400500800506.2516164E X =⨯+⨯+⨯=. 20．（本小题满分12分）解：由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -,半径1r =1，圆N 的圆心为(1,0)N ,半径2r =3. 设动圆P 的圆心为(,)P x y ，半径为R. （Ⅰ）∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切， ∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，的椭圆(左顶点除外)，其方程为221(2)43x y x +=≠-. （Ⅱ）对于曲线C 上任意一点(,)P x y ，由于|PM|-|PN|=22R -≤2，∴2R ≤.当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，2R =， ∴当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=.当l 的倾斜角为090时，则l 与y 轴重合，可得|AB|=199GF D EB A O 当l 的倾斜角不为090时，由1r R ≠知l 不平行x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则||||QP QM =1Rr ，可求得(4,0)Q -，∴设l ：(4)y k x =+.由l 于圆M1=，解得k =.当k时，将y x =+221(2)43x y x +=≠-并整理得 27880x x +-=，解得1,2x=47-±，∴12|x x -=187.当k =－时，由图形的对称性可知|AB |=187.综上，|AB |=187或|AB|=21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，而()2f x x b '=+，()()xg x e cx d c '=++， ∴a =4，b =2，c =2，d =2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+．设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42xke x x x +---（2x ≥-），则()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)xx ke +-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥． 令()F x '=0得，1x =ln k -，22x =-．（1）若21k e ≤<，则120x -<≤， ∴当1(2,)x x ∈-时，()F x '＜0， 当1(,)x x ∈+∞时，()F x '＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，∴()F x 在x =1x 取最小值1()F x ，而1()F x =21112242x x x +---=11(2)0x x -+≥， ∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即 ()()f x kg x ≤恒成立．(2)若2k e =，则()F x '=222(2)()x e x e e -+-． ∴当2x ≥-时，()0F x '≥，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即 ()()f x kg x ≤恒成立．(3)若2k e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0， ∴当2x ≥-时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立．综上所述，k 的取值范围为[1,2e ].说明：本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 22．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）连接DE ，交BC 与点G . 由弦切角定理得，ABF BCE ∠=∠， ∵ABE CBE ∠=∠，∴CBE BCE ∠=∠，BE CE =，200又∵BD BE ⊥，∴DE 是直径，90DCE ∠=︒， 由勾股定理可得DB DC =（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CDEBDE ∠=∠，DB DC =，∴DG 是BC 的中垂线，∴BG =.设DE 中点为O ，连接OB ，则 60BOG ∠=︒，30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒， ∴CF BF ⊥，∴Rt △BCF 说明：本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题. 23，（本小题满分10分）解（Ⅰ）将45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即1C ：22810160x y x y +--+=. 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 代入22810160x y x y +--+=得，28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（Ⅱ）2C 的普通方程为2220x y y +-=，由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π），(2,)2π. 说明：本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.24．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）当2a =-时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<. 设函数y =|21||22|3x x x -+---，则y =15, ,212, 236, 1,x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，0y <，∴原不等式解集是{|02}x x <<.（Ⅱ）当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，()f x =1a +，不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+，∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2a-≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.说明：本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围，是容易题.2012013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标Ⅱ卷)参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：（共60分） 1-12 AACDD BADBC CB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．2 14．8 15．510-16．－49 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)
.2013 年全国一致高考数学试卷（理科）（纲领版）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．（5 分）设会合 A={ 1，2，3} ，B={ 4，5} ，M={ x| x=a+b，a∈A，b∈B} ，则 M中元素的个数为（）A．3 B．4C．5 D．62．（5 分）=（）A．﹣ 8 B．8C．﹣ 8i D．8i3．（5 分）已知向量=（λ+1， 1）， =（λ+2，2），若（+ ）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣ 4 B．﹣ 3 C．﹣ 2 D．﹣ 14．（5 分）已知函数 f（ x）的定义域为（﹣ 1，0），则函数 f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣ 1，0）D．5．（5 分）函数 f（ x）=log2（1+）（x＞0）的反函数 f ﹣ 1）（ x） =（A．B．C．2x﹣ 1（ x∈R） D． 2x﹣1（x＞0）．（分）已知数列{ a n } 知足 3a++a ，﹣，则{ a n} 的前 10 项和等于（）6 5n 1n=0 a2=A．﹣ 6（ 1﹣ 3﹣ 10﹣10﹣ 10） B．C．3（1﹣3 ）D．3（1+3）7．（5 分）（1+x）3（1+y）4的睁开式中 x2y2的系数是（）A．5 B．8 C．12 D．188．（5 分）椭圆 C：的左、右极点分别为A1、A2，点 P 在 C 上且直线PA2斜率的取值范围是 [ ﹣ 2，﹣ 1] ，那么直线 PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5 分）若函数（fx）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[ ﹣1，0]B．[ ﹣1，+∞）C．[ 0，3]D．[ 3，+∞）10．（ 5 分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中， AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（ 5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（﹣ 2，2），过点 F 且斜率为k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若，则k=（）A．B．C．D．212．（ 5 分）已知函数 f（ x）=cosxsin2x，以下结论中不正确的选项是（）A．y=f（x）的图象对于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分.13．（5 分）已知α是第三象限角， sin α=﹣，则 cot α=．14（．5 分）6 个人排成一行，此中甲、乙两人不相邻的不一样排法共有种．（用数字作答）15．（5 分）记不等式组所表示的平面地区为D．若直线 y=a（x+1）与D 有公共点，则 a 的取值范围是．16．（5 分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径，，则球 O 的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.．（10分）等差数列n } 的前 n 项和为 S n．已知 S322，且 S1，S2， S4成等比17{ a=a数列，求 { a n} 的通项式．18．（12 分）设△ ABC的内角 A，B，C 的内角对边分别为a，b，c，知足（a+b+c）（a﹣ b+c） =ac．（Ⅰ）求 B．（Ⅱ）若 sinAsinC=，求C．19．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△ PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角 A﹣ PD﹣ C 的大小．20．（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，此中两人竞赛，另一人当裁判，每局竞赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中两方获胜的概率均为，各局竞赛的结果都互相独立，第 1 局甲当裁判．（Ⅰ）求第 4 局甲当裁判的概率；（Ⅱ） X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求X 的数学希望．21．（ 12 分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞ 0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为．（ I）求 a， b；（ II）设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别订交于 A、B 两点，且 | AF1| =| BF1| ，证明： | AF2| 、 | AB| 、 | BF2| 成等比数列．22．（ 12 分）已知函数．（ I）若 x≥ 0 时， f （x）≤ 0，求λ的最小值；（ II）设数列 { a n} 的通项 a n=1+．2013 年全国一致高考数学试卷（理科）（纲领版）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．（5 分）设会合 A={ 1，2，3} ，B={ 4，5} ，M={ x| x=a+b，a∈A，b∈B} ，则 M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【剖析】利用已知条件，直接求出a+b，利用会合元素互异求出M 中元素的个数即可．3页所以 a+b 的值可能为： 1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、 3+5=8，所以 M 中元素只有： 5， 6，7，8．共 4 个．应选： B．【评论】本题观察会合中元素个数的最值，会合中元素的互异性的应用，观察计算能力．2．（5 分）=（）A．﹣ 8 B．8C．﹣ 8i D．8i【剖析】复数分子、分母同乘﹣ 8，利用 1 的立方虚根的性质（），化简即可．【解答】解：应选： A．【评论】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5 分）已知向量=（λ+1， 1）， =（λ+2，2），若（+ ）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣ 4 B．﹣ 3 C．﹣ 2 D．﹣ 1【剖析】利用向量的运算法例、向量垂直与数目积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（ 2λ+3）﹣ 3=0，解得λ=﹣3．应选： B．【评论】娴熟掌握向量的运算法例、向量垂直与数目积的关系是解题的重点．4．（5 分）已知函数 f（ x）的定义域为（﹣ 1，0），则函数 f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1） B．C．（﹣ 1，0） D．【剖析】原函数的定义域，即为2x+1 的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣ 1＜2x+1＜ 0，解得﹣ 1＜ x＜﹣．∴则函数 f（ 2x+1）的定义域为．应选： B．【评论】观察复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转变，属简单题．5．（5 分）函数 f（ x）=log2（1+）（x＞0）的反函数 f ﹣ 1）（ x） =（A．B．C．2x﹣ 1（ x∈R） D． 2x﹣1（x＞0）【剖析】把 y 看作常数，求出 x：x=，x，y 交换，获得 y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设 y=log2（1+），把 y 看作常数，求出 x：1+ =2y， x=，此中y＞0，x，y 交换，获得 y=log2（ 1+）的反函数：y=，应选： A．【评论】本题观察对数函数的反函数的求法，解题时要仔细审题，注意对数式和指数式的互相转变．．（分）已知数列n}知足3a n+1+a n，2﹣，则n }的前10项和等于（）6 5{ a=0 a ={ aA．﹣ 6（ 1﹣ 3﹣ 10﹣10﹣10） B．C．3（1﹣3 ）D．3（1+3）【剖析】由已知可知，数列 { a n } 是以﹣为公比的等比数列，联合已知可求 a1，而后辈入等比数列的乞降公式可求【解答】解：∵ 3a n+1+a n=0∴∴数列 { a n} 是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的乞降公式可得， S10==3（1﹣3﹣ 10）应选： C．【评论】本题主要观察了等比数列的通项公式及乞降公式的简单应用，属于基础试题34 2 27．（5 分）（1+x）（1+y）的睁开式中 x y 的系数是（）【剖析】由题意知利用二项睁开式的通项公式写出睁开式的通项，令x的指数为2，写出出睁开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可获得结果．令 r=2 获得睁开式中 x2的系数是 C32 =3，（ 1+y）4的睁开式的通项为 T r+1=C4r y r令r=2 获得睁开式中 y2的系数是 C42=6，（ 1+x）3（ 1+y）4的睁开式中 x2y2的系数是： 3×6=18，应选： D．【评论】本题观察利用二项睁开式的通项公式解决二项睁开式的特定项问题，本题解题的重点是写出二项式的睁开式，全部的这种问题都是利用通项来解决的．8．（5 分）椭圆 C：的左、右极点分别为A1、A2，点 P 在 C 上且直线PA2斜率的取值范围是 [ ﹣ 2，﹣ 1] ，那么直线 PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【剖析】由椭圆 C：可知其左极点A1（﹣ 2，0），右极点 A2（2，0）．设P（ x0， y0）（x0≠± 2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆 C：可知其左极点A1（﹣2，0），右极点A2（2，0）．设 P（x0，y0）（x0≠± 2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．应选： B．【评论】娴熟掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的重点．9．（5 分）若函数（fx）=x2+ax+是增函数，则 a 的取值范围是（）A．[ ﹣1，0]B．[ ﹣1，+∞）C．[ 0，3]D．[ 3， +∞）【剖析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥ 0 在（，+∞）上恒成立，从而可转变为 a≥﹣2x 在（，+∞）上恒成立，结构函数求出﹣2x 在（， +∞）上的最值，可得 a 的取值范围．【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥ 0 在（， +∞）上恒成立，即 a≥ ﹣2x 在（， +∞）上恒成立，令h（x） = ﹣ 2x，则 h′（x）=﹣﹣2，当 x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．∴h（ x）＜ h（）=3∴a≥ 3．应选： D．【评论】本题观察的知识点是利用导数研究函数的单一性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．10．（ 5 分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中， AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【剖析】设 AB=1，则 AA1，分别以的方向为x 轴、y轴、z=2轴的正方向成立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面 BDC 的一个法向量，1CD与平面 BDC1所成角为θ，则 sin θ=|| ，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向为x轴、y 轴、 z 轴的正方向成立空间直角坐标系，以以下图所示：则 D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣ 2），=（1，0，0），设 =（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，则，即，取=（ 2，﹣ 2，1），设 CD与平面 BDC 所成角为θ，则 sin θ=|| =，1应选： A．【评论】本题观察直线与平面所成的角，观察空间向量的运算及应用，正确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的重点．11．（ 5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（﹣ 2，2），过点 F 且斜率为k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若，则k=（）A．B．C．D．2【剖析】斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x﹣ 2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣ 2） ?（ x2+2，y2﹣ 2）=0，即可求出 k 的值．【解答】解：由抛物线 C： y2=8x 得焦点（ 2，0），由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x﹣ 2），代入抛物线方程，获得 k2x2﹣（ 4k2+8） x+4k2=0，△＞ 0，设 A（x1，y1），B（x2， y2）．∴ x1+x2=4+ ，x1x2=4．∴y1+y2= ，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）?（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．应选： D．【评论】本题观察直线与抛物线的地点关系，观察向量的数目积公式，观察学生的计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）已知函数 f（ x）=cosxsin2x，以下结论中不正确的选项是（）A．y=f（x）的图象对于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数【剖析】依据函数图象对于某点中心对称或对于某条直线对称的公式，对A、B 两项加以考证，可得它们都正确．依据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得 f（ x）=2sinx（1﹣sin2），再换元：令，获得对于t 的三次函数，x t=sinx利用导数研究此函数的单一性可得f（ x）的最大值为，故 C 不正确；依据函数周期性和奇偶性的定义加以考证，可得 D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于 A，因为 f （π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，f（π﹣x）=cos（π﹣ x） sin（2π﹣2x） =cosxsin2x，所以 f（π+x） +f （π﹣x） =0，可得 y=f（x）的图象对于（π，0）中心对称，故 A 正确；对于 B，因为 f （+x）=cos（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣ sin2x） =sinxsin2x，f（﹣x）=cos（﹣ x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以 f（+x）=f（﹣ x），可得 y=f（x）的图象对于直线 x=对称，故 B 正确；2（﹣2），对于 C，化简得 f（x）=cosxsin2x=2cosxsinx=2sinx 1sin x令 t=sinx，f （x）=g（ t）=2t（1﹣t 2），﹣ 1≤ t≤1，∵ g（ t）=2t（1﹣t 2）的导数 g'（t ） =2﹣6t2（=2 1+ t）（1﹣t）∴当 t ∈（﹣ 1，﹣）时或 t∈（，1）时 g'（ t）＜0，函数 g（t ）为减函数；当 t∈（﹣，）时 g'（ t）＞ 0，函数 g（t ）为增函数．所以函数 g（ t ）的最大值为 t=﹣1时或 t=时的函数值，联合 g（﹣ 1）=0＜g（）=，可得 g（ t）的最大值为．由此可得 f（ x）的最大值为而不是，故 C 不正确；对于 D，因为 f （﹣ x）=cos（﹣ x）sin（﹣ 2x）=﹣ cosxsin2x=﹣ f（x），所以 f （x）是奇函数．因为 f （2π+x）=cos（ 2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），所以 2π为函数的一个周期，得 f （x）为周期函数．可得 f（ x）既是奇函数，又是周期函数，得 D 正确．综上所述，只有 C 项不正确．应选： C．【评论】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单一性和周期性．侧重观察了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单一性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分.13．（ 5 分）已知α是第三象限角， sin α=﹣，则 cot α=2．【剖析】依据α是第三象限的角，获得cosα小于 0，而后由 sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，从而求出cot α的值．【解答】解：由α是第三象限的角，获得cosα＜0，又 sin α=﹣，所以 cosα=﹣=﹣则 cot α==2故答案为： 2【评论】本题观察学生灵巧运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．14（．5 分）6 个人排成一行，此中甲、乙两人不相邻的不一样排法共有480种．（用数字作答）【剖析】摆列好甲、乙两人外的 4 人，而后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位中即可．【解答】解： 6 个人排成一行，此中甲、乙两人不相邻的不一样排法：摆列好甲、乙两人外的 4 人，有中方法，而后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为： 480．【评论】本题观察了乘法原理，以及摆列的简单应用，插空法解答不相邻问题．15．（ 5 分）记不等式组所表示的平面地区为D．若直线 y=a（x+1）与D 有公共点，则 a 的取值范围是[，4]．【剖析】本题观察的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出知足拘束条件的平面地区，而后剖析平面地区里各个角点，而后将其代入y=a（x+1）中，求出 y=a（x+1）对应的 a 的端点值即可．.【解答】解：知足拘束条件的平面地区如图示：因为 y=a（x+1）过定点（﹣ 1，0）．所以当 y=a（ x+1）过点 B（0，4）时，获得 a=4，当 y=a（x+1）过点 A（1，1）时，对应 a= ．又因为直线 y=a（x+1）与平面地区 D 有公共点．所以≤a≤4．故答案为： [，4]【评论】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由拘束条件画出可行域 ? ②求出可行域各个角点的坐标 ? ③将坐标逐个代入目标函数 ? ④考证，求出最优解．16．（5 分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，，则球 O 的表面积等于16π ．【剖析】正确作出图形，利用勾股定理，成立方程，即可求得结论．【解答】解：以下图，设球O 的半径为 r，AB 是公共弦，∠ OCK是面面角依据题意得 OC=，CK=在△ OCK中， OC2=OK2+CK2，即∴r2=42∴球 O 的表面积等于4πr=16π故答案为 16π【评论】本题观察球的表面积，观察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.．（10分）等差数列{ a n} 的前 n 项和为 S n．已知 S3 22，且 S1，S2， S4成等比17=a数列，求 { a n} 的通项式．【剖析】由，联合等差数列的乞降公式可求 a2，而后由，结合等差数列的乞降公式从而可求公差d，即可求解通项公式【解答】解：设数列的公差为 d由得， 3∴a2=0 或 a2=3由题意可得，∴若 a2=0，则可得 d2=﹣2d2即 d=0 不切合题意若a2=3，则可得（ 6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）解可得 d=0 或 d=2∴a n=3 或 a n=2n﹣1【评论】本题主要观察了等差数列的通项公式及乞降公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题18．（12 分）设△ ABC的内角 A，B，C 的内角对边分别为a，b，c，知足（a+b+c）（a﹣ b+c） =ac．（Ⅰ）求 B．（Ⅱ）若 sinAsinC=，求C．【剖析】（I）已知等式左侧利用多项式乘多项式法例计算，整理后获得关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB 的值，由 B 为三角形的内角，利用特别角的三角函数值即可求出 B 的度数；（II）由（ I）获得 A+C 的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos（ A﹣ C），变形后将 cos（A+C）及 2sinAsinC 的值代入求出 cos（A﹣C）的值，利用特别角的三角函数值求出 A﹣C 的值，与 A+C 的值联立刻可求出 C 的度数．【解答】解：（I）∵（ a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣ b2=﹣ ac，∴ cosB==﹣，又 B 为三角形的内角，则 B=120°；（ II）由（ I）得： A+C=60°，∵ sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（ A ﹣ C） =cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣ sinAsinC+2sinAsinC=cos（ A+C）+2sinAsinC= +2×=，∴A﹣ C=30°或 A﹣ C=﹣30°，则 C=15°或 C=45°．【评论】本题观察了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特别角的三角函数值，娴熟掌握余弦定理是解本题的重点．19．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△ PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角 A﹣ PD﹣ C 的大小．【剖析】（I）取 BC的中点 E，连结 DE，过点 P 作 PO⊥平面 ABCD于 O，连结 OA、OB、OD、OE．可证出四边形 ABED是正方形，且 O 为正方形 ABED的中心．所以OE⊥ OB，联合三垂线定理，证出 OE⊥ PB，而 OE是△ BCD的中位线，可得 OE ∥CD，所以 PB⊥CD；（ II）由（ I）的结论，证出 CD⊥平面 PBD，从而获得 CD⊥ PD．取 PD 的中点 F，PC 的中点 G，连结 FG，可得 FG∥CD，所以 FG⊥ PD．连结 AF，可得 AF⊥PD，所以∠AFG 为二面角 A﹣ PD﹣C 的平面角，连结 AG、EG，则 EG∥PB，可得 EG⊥OE．设 AB=2，可求出 AE、EG、AG、AF 和 FG的长，最后在△ AFG中利用余弦定理，算出∠ AFG=π﹣arccos ，即得二面角 A﹣ PD﹣C 的平面角大小．【解答】解：（I）取 BC的中点 E，连结 DE，可得四边形 ABED是正方形过点 P 作 PO⊥平面 ABCD，垂足为 O，连结 OA、OB、OD、OE∵△ PAB与△ PAD都是等边三角形，∴ PA=PB=PD，可得OA=OB=OD 所以， O 是正方形 ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB∵ PO⊥平面 ABCD，得直线 OB 是直线 PB 在内的射影，∴ OE⊥PB∵△ BCD中， E、O 分别为 BC、BD 的中点，∴ OE∥CD，可得 PB⊥CD；（II）由（ I）知 CD⊥PO，CD⊥PB∵PO、PB是平面 PBD内的订交直线，∴ CD⊥平面 PBD∵PD? 平面 PBD，∴ CD⊥PD14页连结 AF，由△ PAD是等边三角形可得 AF⊥ PD，∴∠ AFG为二面角 A﹣PD﹣C 的平面角连结 AG、EG，则 EG∥PB∵PB⊥OE，∴ EG⊥OE，设 AB=2，则 AE=2，EG= PB=1，故AG==3在△ AFG中， FG= CD=，AF=，AG=3∴ cos∠ AFG==﹣，得∠ AFG=π﹣arccos，即二面角 A﹣PD﹣ C 的平面角大小是π﹣arccos．【评论】本题给出特别的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，侧重观察了线面垂直的判断与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．20．（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，此中两人竞赛，另一人当裁判，每局竞赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中两方获胜的概率均为，各局竞赛的结果都互相独立，第 1 局甲当裁判．（Ⅰ）求第 4 局甲当裁判的概率；（Ⅱ） X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求X 的数学希望．【剖析】（I）令 A1表示第 2 局结果为甲获胜， A2表示第 3 局甲参加竞赛时，结果为甲负， A 表示第 4 局甲当裁判，剖析其可能状况，每局竞赛的结果互相独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X 的全部可能值为 0，1，2．分别求出 X 取每一个值的概率，列出散布列后求出希望值即可．【解答】解：（ I）令 A1表示第 2 局结果为甲获胜． A2表示第 3 局甲参加竞赛时，结果为甲负． A 表示第 4 局甲当裁判．则 A=A1?A2，P（ A） =P（A1?A2）=P（A1）P（A2）= ；（Ⅱ）X 的全部可能值为0，1，2．令A3表示第3 局乙和丙竞赛时，结果为乙胜． B1表示第 1 局结果为乙获胜， B2表示第 2 局乙和甲竞赛时，结果为乙胜， B3表示第 3 局乙参加竞赛时，结果为乙负，则 P（X=0）=P（B1B2）=P（ B1）P（B2） P（）= ．P（X=2） =P（B3）=P（）P（B3）=．P（X=1） =1﹣P（X=0）﹣ P（X=2）=．从而 EX=0×+1×+2×=．【评论】本题观察互斥、独立事件的概率，失散型随机变量的散布列和希望等知识，同时观察利用概率知识解决问题的能力．21．（ 12 分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞ 0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为．（ I）求 a， b；（ II）设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别订交于A、B 两点，且 | AF1| =| BF1| ，证明： | AF2| 、 | AB| 、 | BF2| 成等比数列．【剖析】（I）由题设，可由离心率为 3 获得参数 a，b 的关系，将双曲线的方程用参数 a 表示出来，再由直线成立方程求出参数 a 即可获得双曲线的方程；（ II）由（ I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l 的方程设 A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C 的方程联立，得出x1+x2=，，再利用| AF1| =| BF1| 成立对于 A， B 坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出 k 的值，得出直线的方程，从而可求得：| AF2| 、| AB| 、| BF2| ，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故 b2=8a2所以 C 的方程为 8x2﹣y2=8a2将 y=2 代入上式，并求得x=±，由题设知， 2=，解得a2=1（ II）由（ I）知， F1（﹣ 3，0）， F2（3，0），C 的方程为 8x2﹣y2=8①由题意，可设 l 的方程为 y=k（x﹣3），| k| ＜2 代入①并化简得（ k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设 A（x1，y1），B（x2， y2），则 x1≤﹣ 1， x2≥1，x1+x2=，，于是| AF1| ==﹣（ 3x1+1），| BF1| ==3x2+1，| AF1| =| BF1| 得﹣（ 3x1 +1）=3x2 +1，即故=，解得，从而=﹣因为 | AF2| ==1﹣3x1，| BF2| ==3x2﹣1，故 | AB| =| AF2 | ﹣ | BF2| =2﹣3（x1+x2）=4， | AF2|| BF2| =3（ x1+x2）﹣ 9x1x2﹣1=16因此 | AF2|| BF2| =| AB| 2，所以 | AF2| 、| AB| 、| BF2| 成等比数列【评论】本题观察直线与圆锥曲线的综合关系，观察了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给予后解答此类题供给借鉴．22．（ 12 分）已知函数．（ I）若 x≥ 0 时， f （x）≤ 0，求λ的最小值；（ II）设数列 { a n} 的通项 a n．=1+【剖析】（I）因为已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单一性，确立出函数的最大值，利用最大值小于等于 0 求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（ II）依据（ I）的证明，可取λ=，因为 x＞ 0 时，（fx）＜0 得出，观察，若取 x= ，可得出，以此依照，利用放法，即可获得【解答】解：（I）由已知， f（0）=0，f （′x）==，∴f （′ 0） =0欲使 x≥0 ，f（x）≤0 恒成立， f（x）在（ 0，+∞）上必减函数，即在（ 0，+∞）上 f ′（x）＜0 恒成立，当λ≤0 ， f ′（ x）＞ 0 在（ 0，+∞）上恒成立，增函数，故不合意，若 0＜λ＜，由f′（x）＞0解得x＜，当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当 0＜ x＜，f（x）＞0，此不合意，若λ≥，当 x＞0 ， f （′ x）＜ 0 恒成立，此 f（ x）在（ 0，+∞）上必减函数，所以当 x ＞0 ， f（ x）＜ 0恒成立，上，切合意的λ的取范是λ≥，即λ的最小（II）令λ=，由（ I）知，当 x＞0 ， f（x）＜ 0，即取 x= ，于是 a2n a n+ =++⋯+ +====＞=ln2n lnn=ln2所以【点】本考了数列中明不等式的方法及数求最的一般方法，解的.重点是充足利用已有的结论再联合放缩法，本题观察了推理判断的能力及转变化归的思想，有必定的难度19页。
2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC•AE=DC•AF，B、E、F、C 四点共圆． （1）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； （2）若 DB=BE=EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比
（Ⅰ）将 T 表示为 x 的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率； （Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并
以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 x ∈[100，110））则取 x=105，且 x=105 的概率等于需求量落入[100，110）的 频率，求 T 的数学期望．
值．
23．已知动点 P、Q 都在曲线
（β 为参数）上，对应参数分别为 β=α
与 β=2α（0＜α＜2π），M 为 PQ 的中点． （1）求 M 的轨迹的参数方程； （2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标
原点．
24．【选修 4﹣﹣5；不等式选讲】 设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明： （Ⅰ）
20．（12 分）平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：
（a＞b＞0）右焦点
的直线 x+y﹣ =0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 ．
（Ⅰ）求 M 的方程 （Ⅱ）C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形 ACBD
面积的最大值．
3}
【考点】1E：交集及其运算；73：一元二次不等式及其应用． 菁优网版权所有
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 2．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y+的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B． CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝22a，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin CC.19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x yb(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2． 答案：A解析：323=13=8-.故选A. 3． 答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4． 答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5． 答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x-(x ＞0)．故选A. 6． 答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7． 答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8． 答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k ＝－.∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10． 答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ， ∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角． 设AA 1＝2AB ＝2，则==22AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ²CH ＝OC ²CC 1，即222CH ⋅＝， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11． 答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k(+)，x 1x 2＝4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩121221212124,[24].y y k x x k y y k x x x x +=(+)-⎧⎨=-(+)+⎩①② ∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)²(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D.解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ²sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3.令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当3t =-时，函数值为9-；当3t =时，函数值为9.∴g (t )max ＝9，即f (x )的最大值为9.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)． 15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点， 则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE R . ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°， 所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sinC ＝1+22=， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角． 连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝EG ＝12PB ＝1，故AG ＝3.在△AFG 中，FG ＝12CD =AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝2222FG AF AG FG AF +-=⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB|＝2，则A(0,0)，D (0，0)，C(0)，P (0,0． PC ＝(，PD＝(0，． AP ＝，0，AD ＝，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1²PC＝(x ，y ，z)²(，＝0，n 1²PD＝(x ，y ，z)²(0，＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2²AP ＝(m ，p ，q，0＝0，n 2²AD＝(m ，p ，q0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝1212||||=·n n n n .由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C的大小为πarccos 3-20．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1²A 2.P (A )＝P (A 1²A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14. (2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1²B 2²A 3)＝P (B 1)P (B 2)²P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (1B ²B 3)＝P (1B )P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0²P (X ＝0)＋1²P (X ＝1)＋2²P (X ＝2)＝98.21．(1)解：由题设知c a＝3，即222a b a +＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，求得x =由题设知，=a 2＝1. 所以a ＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1²x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝－(3x 1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1²x2＝199-.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|²|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|²|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111422(1)nn nk na an k k-=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑＝2121211ln21n nk n k nk kk k k --==++>(+)∑∑＝ln 2n－ln n＝ln 2.所以21ln24n na an-+>.2013 全国大纲卷理科数学第11页。