第五章-2(切比雪夫低通滤波器)

1、巴特沃思低通滤波器与切 比雪夫低通滤波器的比较
H (ω )
巴特沃思低 通滤波器
切比雪夫低 通滤波器
0
ω
三阶巴特沃思低通滤波器和切比雪夫低通滤波器幅频特性
1、巴特沃思低通滤波器与切 比雪夫低通滤波器的比较
切比雪夫滤波器是由切比雪夫多项式的正交函数 推导出来的，采用了在通带内等波动，在通带外 衰耗单调递增的准则去逼近理想滤波器特性。 在通带内是等波纹的，在阻带内则是单调下降 的，称为切比雪夫Ⅰ型。 在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为 切比雪夫Ⅱ型。
ω ω ωL = Bω B
2、低通滤波器转换成带通滤波器
ω0 = ωB1ωB 2
B = ω B 2 ω B1
带通的中心频率 ω 0 通过频率变换变成 低通的原点，它们之间的通带、阻带有 着对应关系
例5－6 设计一个切比雪夫带通滤波器满足 下列指标： 6 （1）通带中心频率 ω 0 = 10 rad / s 5 B = 10 rad / s （2）3dB带宽 950 × 10 3 rad / s ≤ ω ≤ 1050 × 10 3 rad / s （3）在通带 最大衰耗 α p ≤ 1dB 3 （4）在阻带 ω ≥ 1250 × 10 rad / s 最小衰耗 α s ≥ 40dB
2 2
归一化处理 ，将 s ω c 记为 s
H (s )H ( s ) = 1
2 2
s 1 + ε Tn j
4、切比雪夫滤波器的极点分布
若极点 s k = σ k + jω k
2k 1 π 1 1 1 σ k = sin sh s h ( ) ε n 2 n 2k 1 π 1 1 1 ωk = cos ch s h ( ) ε n 2 n
2、切比雪夫低通滤波器的幅频特性
H (ω ) = 1
ω 1 + ε Tn ω c
2
2
式中，ε是决定通带内起伏大小的波动系数，为小于1 的正数；ωc为通带截止频率；Tn(ω)是n阶切比雪夫多 项式，定义为 x x
cos ( n cos 1 (ω ) ) | ω |≤ 1 ch x = ln( x ± x 2 1) Tn (ω ) = ch ( n ch 1 (ω ) ) | ω |> 1
阻带上限截止频率
ωsl ωB1 ω B 2 ωsh
ω
2、低通滤波器转换成带通滤波器
从归一化低通到归一化带通的频率变换比较复 2 2 杂，最常用的公式为 s B + ω0
sL =
Bs B
2 B 2 0
将jω代入上式，有
式中 ω L 、ω B 表示低通和带通滤波器的频率变 量， ω 0 、B分别表示带通通带中心频率和通 带宽度。
1
ωHs
=2
低通滤波器的技术指标为
ω Lp = 1,α p ≤ 3dB; ω Ls = 2,α s ≥ 15dB
设计出的归一化低通滤波器为3阶的巴特沃思 滤波器，其系统函数为
H L (s ) = 1 s + 2s + 2s + 1
3 2
1 由 sL = ，归一化高通滤波器的系统函数为 sH 3
s + 2s + 2s + 1 进行反归一化处理，得到实际的巴特沃思高 通滤波器为 3
K= (1) n s p1s p 2 L s pn 1+ ε
2
= 0.9826133
0.9826133 H (s) = 2 s + 1.0977343s + 1.1025103
四、模拟滤波器的频率变换
在实际工程中，需要设计高通、带通和 带阻滤波器时，通常是将设计好的低通 滤波器，如巴特沃思低通滤波器或切比 雪夫低通滤波器等，在传递函数H(s)中 通过频率变换，转换成为其他类型的滤 波器。
切比雪夫滤波器的幅度平方函数
α max
H (ω ) =
2
1 1.0357016 ω 4 1.0357016 ω 2 + 1.25892541
令
1 H ( s) H ( s) = 1 .0357016 s 4 + 1 .0357016 s 2 + 1 .25892541
幅度平方函数的极点
s 2 = ω 2
5、切比雪夫滤波器的传递函数 1.通带波纹0.5dB（ ε =0.34931）
n 1 2 3 4 5 6 7 8 b0 2.86278 1.51620 1.42562 0.71569 1.53490 1.25291 0.37905 1.02546 1.71687 1.19739 0.17892 0.75252 1.30957 1.93737 1.17249 0.09476 0.43237 1.17186 1.58976 2.17184 1.15918 0.04473 0.28207 0.75565 1.64790 1.86941 2.41265 1.15122 0.02369 0.15254 0.57356 1.14859 2.18402 2.14922 2.65675 1.14608 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7
切比雪夫低通滤波器的参数为
ε = 10
0.1α p
18
100.1α s 1 / ch n= -1 ωs ch ωc
-1
(
) (10
0.1α p
Ⅰ型切比雪夫低 通滤波器幅度平 方函数极点分布 在s平面的椭圆上
令
1 -1 1 a = sh s h ( ) ε n 1 -1 1 b = ch s h ( ) ε n
σk
a
2
2
+
ωk
b
2
2
=1
5、切比雪夫滤波器的传递函数
求出幅度平方函数的极点后，取s左半平面的 极点，即可求得滤波器系统传递函数
e +e chx = 2 1
2、切比雪夫低通滤波器的幅频特性
H (ω )
滤波器阶数n为通 带内等幅波动的 次数，即等于通 带内最大值和最 小值的总数 n=2
1
1 1+ ε 2
ε↓
n=3 n=5
1 1+ ε
2
ωc
ω
2、切比雪夫低通滤波器的幅频特性
0 ≤ ω ≤ ωc H (ω ) 在1与 1 1 + ε 2 当 时, 之间等幅波动，ε愈小，波动幅度愈小。 1 1 + ε 2 点。 所有曲线在 ω = ω c 时通过 当ω=0时，若n为奇数,则 H (ω ) =1；若n为偶 数,则 H (ω ) = 1 1 + ε 2 ；通带内误差分布是均 匀的。 当 ω > ω c 时，曲线单调下降，n值愈大，曲 线下降愈快。
2、切比雪夫低通滤波器的幅频特性
Ⅰ型切比雪夫滤波器有三个参数需要确定： 波动系数ε，通带截止频率ωc和阶数n。通 带截止频率一般按照实际要求给定； ε表示 通带内最大损耗，由容许的通带最大衰减 α max 确定。
3、切比雪夫低通滤波器的阶次
切比雪夫滤波器的衰减函数定义为 2 2 ω α = 20 lg H (ω ) = 10 lg1 + ε Tn ω c 通带最大衰减 α max ，又称为通带波纹，定义为 α max = α p = α ω =ω = 10 lg(1 + ε 2 )
3 2
H H (s ) =
s
s H H (s) = 3 s + 2ω c s 2 + 2ω c2 s + ω c3
ω c = 2πf p = 8π × 10 3 rad / s
2、低通滤波器转换成带通滤波器
H (ω )
ωB1 通带下限截止频率
ω B 2 通带上限截止频率
ωsh
ωsl 阻带下限截止频率
切比雪夫低通滤波器归一化H（s）分母多项式D（s）
例5-4 试求二阶切比雪夫低通滤波器系统函数，已知通 带波纹为1dB，归一化截止频率 ω c = 1rad / s 。
α max = 1dB ε 2 = 10 10 1 = 0.25892541 解： 因为 ω c = 1rad / s ，查切比雪夫多项式表，有 T2 (ω ) = 2ω 2 1 T22 (ω ) = 4ω 4 4ω 2 + 1
K H ( s) = ( s s p1 )(s s p 2 )L( s s pn )
H 若n为奇数， (ω ) ω =0 = 1 ，则
K = (1) s p1s p 2 L s pn
n
若n为偶数，由于 为通带最小值，有
Tn (0) = 1 ，H (ω ) ω =0 =
1 1+ ε
2
则
K=
(1) n s p1s p 2 L s pn 1+ ε 2
c
波动系数ε为
ε = 10
α max
10
1
3、切比雪夫低通滤波器的阶次
由滤波器的通带截止频率ωc及通带内允许的 最大衰减 α max 和阻带下限截止频率 ω s 及 阻带内允许的最小衰减 α min ，可以确定滤 波器所需的阶数n。
3、切比雪夫低通滤波器的阶次
阻带内允许的最小衰减为
α min
2 2 1 ωs = α s = 10 lg 1 + ε ch n c h ωc
s1 = 1.0500049e s 2 = 1.0500049e s3 = 1.0500049e s 4 = 1.0500049e
j 58.48o j121.52o j121.52o j 58.48o
系统函数H(s)的极点由幅度平方函数的左半 平面极点（s 2 , s 3 ）决定，由于n为偶数，有
滤波器的阶次为
c h 1 (100.1α min 1) / n= 1 ω s ch ωc
(