2006年北京工业大学465线性代数考研真题【圣才出品】
2006年数学四考研试题和答案
2006年数学四试题分析、详解和评注一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .zx y =-（4） 已知12,αα为2维列向量，矩阵1212(2,)A αααα=+-，12(,)B αα=.若行列式||6A =，则||2B =-（5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =（6）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤= .二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D) ()()010f f +'=且存在 [ ]（9）设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)c ∈， （A ）1122()d ()d c cf t tg t t ≥⎰⎰（B ）1122()d ()d c cf t tg t t ≤⎰⎰（C ）11()d ()d ccf t tg t t ≥⎰⎰（D ）11()d ()d ccf t tg t t ≤⎰⎰ [ ]（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] （11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.[ ] （13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ ］（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. （16）（本题满分7分）计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. （19）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()T T T1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设二维随机变量（,X Y ）的概率分布为其中,,a b c 为常数，且X 的数学期望0.2EX =-，{0|0}0.5P Y X ≤≤=，记Z X Y =+， 求(Ⅰ) ,,a b c 的值； (Ⅱ) Z 的概率分布； (Ⅲ) {}P X Z =.（23）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ) Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F⎛⎫-⎪⎝⎭.1…. 【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0n n n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.【评注】对于幂指函数的极限，总是将其化为指数函数后求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第2节【例23】，《数学复习指南》（经济类）P.30【例1.41】.2….. 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()ef x f x '=，两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==，两边再对x 求导得 ()()23()2e()2ef x f x f x f x ''''==，又()21f =，故 ()323(2)2e2e f f '''==.【评注】本题为抽象复合函数求导，注意计算的准确性.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例11】，【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.53【例2.18】（几乎一样）.3…. 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx∂'=-⋅=∂，()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂，所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二：对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-. 【评注】本题为基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第9讲第1节【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.162【例6.13】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.62【例6，例7】及练习.4…….【分析】利用矩阵乘积的行列式运算AB A B =即可. 【详解】()1212122121(2,),1111A B αααααα⎛⎫⎛⎫=+-==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以 21311A B B ==--，而||6A =，故 ||2B =-.【评注】本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第1讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）P.287【例2.12】.5…….【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，其中X 是待求矩阵，再通过左乘或右乘可逆阵，解出待求矩阵即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -=于是有 1111111112()221111112B A E ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⋅= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【评注】 本题关键是将被求矩阵B 转化为矩阵方程中的一个乘积因子.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第2讲【例10，例11】，《数学复习指南》（经济类）P.290【例2.20－例2.22】.6…….【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第3讲例5，《数学复习指南》（经济类）P.431【例2.31】Ｐ.442【例2.50】7…….【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日中值定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>， 则 0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.129【例5.1】，P.151【１（３）】.8…. 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim1h f h h→=知，()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =，则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）.【评注】本题联合考查了函数的连续性和左右导数的定义，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第1节【例2】，《数学复习指南》（经济类）P.46【例2.2】.9…..【分析】 利用定积分的比较定理即可 .【详解】因为()f x 与()g x 在[0,1]上连续，则对任何(0,1)c ∈，()f x 与()g x 在[,1]c 上连续，且()()f x g x ≤，所以11()d ()d ccf t tg t t ≤⎰⎰.故选（D ）.【评注】 本题属基本题型.由于12c 与比较大小未知，所以不能选（A ）（B ）.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第1节【例1】，《数学题型集粹与练习题集》（经济类）Ｐ.72典例精析2及题型演练（2）.10….【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是 []12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解. 相关性质和定理见《数学复习指南》（经济类）P.219.11……..【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠）， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 本题属基本题型，相关定理见《数学复习指南》（经济类）Ｐ.170定理1及Ｐ.171条件极值的求法.12…..【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.完全类似例题及性质见《数学复习指南》（经济类）P.309【例3.7】，几乎相同试题见文登2006最新模拟试卷（数学一）Ｐ.２（11）.13……【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.完全类似例题及性质见文登暑期辅导班《线性代数》第2讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.290【例2.19】.14…..【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).【评注】 对于服从正态分布2(,)N μσ的随机变量X ，在考虑它的概率时，一般先将X 标准化，即X μσ-.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第2讲【例7】和【例8】，《数学复习指南》（经济类）P.417【例2.7】.15….. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞型未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+⎪ ⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ （通分）22200112arctan 1lim lim 2x x x x x x x x xππ++→→-+-++== 2202(1)lim 2x x x x xππ+→-++== 【评注】本题为基本题型，注意利用洛必达法则求极限时，要充分利用等价无穷小代换，并及时整理极限式，以使求解简化.对∞-∞型未定式极限，一般利用通分将其转化为∞∞或型未定式，然后再计算. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第2节【例21】，《数学复习指南》经济类P.32【例1.45（1）】，P.29【例1.35】，【例1.36】，P.30【例1.40】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.8【例14】，P.9【例16】.16…… 【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰.【评注】计算二重积分时，首先画出积分域的图形，然后结合积分域的形状和被积函数的形式，选择坐标系和积分次序.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节【例8】，《数学复习指南》（经济类）P.181【例7.2】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.65【例1】，P.66【例3】及练习.17…..【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,sin 0x x x π<<>时）， 故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值），作比较即得所证. 本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第2节【例4】，《数学复习指南》（经济类）P.242【例10.18】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.98【例11】，P.99【例13】及练习.18….. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得 y y ax x '-=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x ax x=-=，代入通解公式得()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰，又(1)0f =，所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰，故2a =.【评注】本题涉及了导数和定积分的几何意义，一阶线性微分方程的求解，属基本题型.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.136【例5.13】，P.149【例5.34】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.272【例15】及练习8.2.19…….【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B A B C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》（经济类）P.202表格.20…. 【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则312341234(10)12341234aa A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===； 当10a =-时，1α 2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭， 由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即. 【评注】本题属常规题型.91年，00年和04年均考过.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第3讲【例1,例2】，《数学复习指南》（经济类）P.306【例3.2】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.134【例3】.21……..【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由T Q AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T QQ -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T 3Q AQ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（Ⅲ）由(Ⅱ)知T 3Q AQ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以T3111001110111A Q Q⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=Λ==⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭.666T T T333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦66666332233332223322E⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎢⎥⎪ ⎪=-==⎪ ⎪⎪⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭⎝⎭，则666T333222A E Q EQ E⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量及矩阵的对角化问题，抽象矩阵特征值和特征向量问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax xλ=的形式.矩阵的对角化用常规方法求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.370【例5.24】，P.282【例2.7】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.167【例6】及练习3.1，3.4.22…..【分析】利用二维离散型随机变量概率分布的性质和定义计算.【详解】（I）由概率分布的性质知0.20.10.20.11a b c++++++=，即0.4a b c++=. ①由（,X Y）可写出X的边缘概率分布为X－1 0 1P0.2a+0.3b+0.1c+故(0.2)(0.1)0.2EX a c=-+++=-，即0.1a c-=. ②又因 {}{}0,00.10.5{0|0}00.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++=≤≤==≤++，即0.3a b +=. ③ 将①，②，③联立解方程组得0.2,0.1,0.1a b c ===. （II ）Z 的可能取值为2,1,0,1,2--，则{}{}{}221,10.2P Z P X Y P X Y =-=+=-==-=-=， {}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{}{}{}{}01,10,01,10.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=， {}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+===， {}{}21,10.1P Z P X Y =====. 故Z 的概率分布为(Ⅲ) {}{}{}000.10.10.2P X Z P X X Y P Y ===+===++=.【评注】 本题属基本题型，只需注意计算的准确性，应该可以顺利求解. 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第3讲【例2】，《数学复习指南》（经济类）P.438【例2.42】，P.439【例2.43】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.213【例2】，P.217【例7】及练习3.1.23….【分析】 第1问求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 第2，3问利用定义和性质可求解.【详解】 （I ） 设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1) 当0y <时，()0Y F y =；2) 当01y ≤<时， (2()()Y F y P X y P X =<=<<01d 4x x =+=⎰3) 当14y ≤<时，(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<1011d d 242x x -=+=⎰.4) 当4y ≥，()1Y F y =. 所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤<⎪⎩其他.（II ） 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰，22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰， 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰， 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. 【评注】 本题属基本题型，只需注意计算的准确性，应该可以顺利求解.求随机变量函数分布，一般都是通过定义用分布函数法讨论.注意熟记随机变量的数字特征的定义和性质.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第2讲【例4】，第3讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）P.423【例2.21】，P.469【例3.32】.。
2006年考研数学一真题与答案
2006年考研数学一真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。
）(1)。
【答案】2。
【解析】等价无穷小代换：当时，所以综上所述，本题正确答案是2。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)微分方程的通解为__________。
【答案】，为任意常数。
【解析】原式等价于（两边积分）即，为任意常数综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设是锥面的下侧，则。
【答案】。
【解析】设，取上侧，则而所以综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(4)点(2,1,0)到平面的距离。
【答案】。
【解析】点到平面的距离公式：其中为点的坐标，为平面方程所以综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离(5)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。
【答案】2。
【解析】因为，所以。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。
【答案】。
【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。
事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) (B)(C) (D)【答案】A。
【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质，得，于是，即综上所述，本题正确答案是A。
2006年考研数学一真题及答案
2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）一、填空题 （1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .（3）设∑是锥面z =01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .（5）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E =+，则B = .（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}m a x {,}1P X Y ≤=.二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dx y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设(,)f x y 为连续函数，则1400(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）0(,).xf x y dy ⎰⎰（B ）00(,).f x y dy ⎰⎰（C ）0(,).yf x y dx ⎰⎰（C ）00(,).f x y dx ⎰⎰【 】（9）若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数（A ）1n n a ∞=∑收敛.（B ）1(1)n n n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【 】（10）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】 （12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 （A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.TC P AP =（D ）.TC PAP = 【 】（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有 （A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃= 【 】（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ> 【 】三 解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy xy+=++⎰⎰ 。
2006考研数学(二)真题及参考答案
2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则A dy dx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A BE =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 （A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()x f t dt ⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-【 】（10）函数212xxx y C e C e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.xy y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-=（D ）23.xy y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）22120(,).x xdx f x y dy -⎰⎰（B ）22120(,).x dx f x y dy -⎰⎰（C ）22120(,).y ydy f x y dx -⎰⎰（D ）22120(,).y dy f x y dx -⎰⎰【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP =三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxe dx e ⎰求. 17．{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy x y +=++⎰⎰计算二重积分 18．{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<== 设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim()n x n x nx x +→∞计算. 19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.真题解析一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x（5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0x dy dx==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y yy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]（A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<（D ）0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31--（C ）ln 21--（D ）ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)12g e+= g (1)= ln 21--（10）函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--=（C ）23xy y y xe '''+-=（D ）23xy y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C]（A ）2212(,)x xdx f x y dy -⎰⎰（B ）2212(,)x dx f x y dy -⎰⎰（C ）2212(,)y ydy f x y dx -⎰⎰（D ）2212(,)y dy f x y dx -⎰⎰（12）设(,)(,)f xyxy ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则（B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = （16）求arcsin xxe dx e ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令21arcsin arcsin ()1t dttd t t t t =-=-+-⎰⎰2222arcsin arcsin 1(2)12(1)1t tdt t udu t u t t u u t t -=-+-==-+--⎰⎰令2arcsin 1t dut u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++22arcsin arcsin 111ln 211x x x x x x e e e dx C e e e --∴=-++-+⎰. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解：用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥ 因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型 离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011s i n l i m l n 0s i n l i m t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且()22Z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证：（I ）()()22222222;zx zy f x y f x y xyx yx y∂∂''=+=+∂∂++()()()()22222223222222zx y f x yf x yx x y x y ∂'''=+++∂++()()()()22222223222222zy x f x yf x yy x y x y ∂'''=+++∂++()2222222222()0()()0f x y z zf x yx y x yf u f u u'+∂∂''+=++=∂∂+'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴= 由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+（III ）设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰ ()224024241t t y y x y -+==±-=±-+解出t 得由于（2，3）在L 上，由()232241()y x x y g y ===--+=得可知()30944(1)S y y y dy ⎡⎤=-----⎣⎦⎰ 3300(102)44y dy ydy =---⎰⎰3333220002(10)44(4)214(4)3y y yd y y =-+--=+⨯⨯-⎰8642213333=+-=- (22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2.② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4，x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0。
2006考研数四真题及解析
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) (1)1lim()nn n n-→∞+= (2) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()(),(2)1f x f x e f '==，则(2)f '''= (3) 设函数()f u 可微，且1(0)2f '=，则22(4)z f x y =-在点(1，2)处的全微分(1,2)|dz =(4) 已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =. 若行列式||6A =，则||B =(5) 设矩阵2112A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = 。
(6) 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，由{max(,)1}P x y ≤=一、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x 为自变量x 在点0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x >，则( ) (A) 0dy y << (B) 0y dy << (C)0y dy <<(D) 0dy y <<(8) 设函数()f x 在0x =处连续，且220()lim 1n f n n→==，则( ) (A) (0)0f =且(0)f -'存在(B) (0)1f =且(0)f -'存在(C) (0)0f =且(0)f +'存在(D) (0)1f =且(0)f +'存在(9) 设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)C ∈( )(A) 1122()()c cf t dtg t dt ≥⎰⎰(B) 1122()()c cf t dtg t dt ≤⎰⎰(C)11()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰(D)11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰(10) 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解1()y x ，2()y x ，C 为任意常数，则该方程通解是( ) (A) 12[()()]C y x y x - (B) 112()[()()]y x C y x y x +- (C) 12[()()]C y x y x +(D) 112()[()()]y x C y x y x ++(11) 设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点。
线性代数02198自考2006年-2017年真题试题(卷)与答案(新)
2006年10月高等教育自学考试课程代码：21981．设A 是4阶矩阵，则|-A|=（ ） A ．-4|A| B ．-|A| C ．|A|D ．4|A|2．设A 为n 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ） A ．（2A ）T =2A TB ．（3A ）-1=3A -1C ．[（A T ）T ]-1=[（A -1）-1]TD ．（A T ）-1=A3．设2阶方阵A 可逆，且A -1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A=（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3172C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2173 4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ） A ．α1，α2，α1+α2 B ．α1，α2，α1-α2 C ．α1-α2，α2-α3，α3-α1D ．α1+α2，α2+α3，α3+α15．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（ ） A ．（2，0，0） B ．（-3，2，4） C ．（1，1，0）D ．（0，-1，0）6．设A ，B 均为3阶矩阵，若A 可逆，秩（B ）=2，那么秩（AB ）=（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．37．设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b （ ） A ．无解 B ．有唯一解C ．有无穷多解D ．解的情况不能确定8．在R 3中，与向量α1=（1，1，1），α2=（1，2，1）都正交的单位向量是（ ） A ．（-1，0，1） B ．21（-1，0，1） C ．（1，0，-1）D ．21（1，0，1）9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛003021311B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛111121111C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100021011D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10002101110．二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 8x x 2x x 4x 3x 4x ++-++的秩等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2006年考研数学三真题及解析
（ 8） 设函数 f x 在 x
f h2
0 处连续，且 lim
h0
h2
1 ，则
(A) f 0 0且 f 0 存在
(B) f 0 1且 f 0 存在
-7-
(C) f 0 0且 f 0 存在
(D) f 0 1且 f 0 存在
[ C]
2
fh
【分析 】从 lim
h0
2
h
1 入手计算 f (0) ，利用导数的左右导数定义判定
(Ⅲ) F
1 ,4 .
2
（ 23）（本题满分 13 分） 设总体 X 的概率密度为
f x;
, 0 x 1, 1 ,1 x 2, 0, 其他,
其中 是未知参数 0
1 ， X 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1 , x2 ..., x n 中
小于 1 的个数 . （Ⅰ）求 的矩估计； （Ⅱ）求 的最大似然估计
(D) 若 1 , 2 , , s 线性无关，则 A 1 , A 2 , , A s 线性无关 .
[
]
（ 13） 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2 列得 C ，记
110 P 0 1 0 ，则
001
（Ａ） C
P
1
AP
.
（Ｂ） C PAP 1 .
(A) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .
(B) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 . (C) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .
2006—2011考研真题(线性代数)
考研真题（线性代数）2006数（一）（5）设___,222112=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B E B BA B E A 则满足阶单位矩阵，矩阵为，（11）设矩阵，下列选项是维向量，均为，，，n m A n s ⨯ααα 21正确的是： s s A A A A αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性相关； s s A A A B αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性相关； s s A A A C αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性无关； s s A A A D αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性无关；(12) 设B B A A ，再将到的第二行加到第一行得阶矩阵，将为3的第一列的)1(-倍加到第2列得到，记C⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010011P则：11)(--==PAP C B AP P C A ）（T T PAP C D APP C C ==)(）（20 已知非线性方程组：有三个线性无关的解；⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-++-=+++1315341432143214321bx x x ax x x x x x x x x 证明（1）方程组系数矩阵A 的秩2)(=A r （2）求b a ,的值及其方程组的解。
21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量()T1211--=α，()T 1102-=α是线性方程组的两个解，（1）求A 的特征值；（2） 求正交矩阵Λ=ΛAQ Q Q T 使得和对角矩阵。
（6）设___,222112=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B E B BA B E A 则满足阶单位矩阵，矩阵为，（13）设矩阵，下列选项是维向量，均为，，，n m A n s ⨯ααα 21正确的是： s s A A A A αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性相关； s s A A A B αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性相关； s s A A A C αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性无关； s s A A A D αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性无关； （14）设B B A A ，再将到的第二行加到第一行得阶矩阵，将为3的第一列的)1(-倍加到第2列得到，记C⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010011P则：11)(--==PAP C B AP P C A ）（ T T PAP C D AP P C C ==)(）（22 已知非线性方程组：有三个线性无关的解；⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-++-=+++1315341432143214321bx x x ax x x x x x x x x 证明（1）方程组系数矩阵A 的秩2)(=A r （2）求b a ,的值及其方程组的解。
2006年考研数学一真题
（9）若级数 an 收敛，则级数 n1
3
(A) an 收敛 n1
（B） (1)n an 收敛 n1
(C)
anan1 收敛.
n1
(D) an an1 收敛.
n1
2
【分析】 本题主要考查级数收敛的性质和判别法。可以通过举反例或级数的性质来判 定。
【详解】法一：由
n1
an
收敛知
n1
【分析】主要考查考生基本的计算能力。本题 不是封闭曲面，首先想到加一曲面 1 ：
使 1 构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分进行计算即可。
【详解】 令 1 是平面 z 1在锥面 z x2 y2 内的部分取上侧，则
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
y dy f (x0)dx f (x0)x 0 ，故应选(Ａ).
法二： y f (x0 x) f (x0) f ()x, x0 x0 x
因为 f (x) 0 ，所以 f (x) 单调增加，即 f () f (x0) ，又 x 0 ，所以
f ()x f (x0)x 0 ，即 0 dy y .故应选(A).
一元函数
f
(x, y(x)) 的一个极值点，从而 d dx
f (x, y(x))
x x0
0
又
d dx
f
(x, y(x))
f x( x,
y(x))
f y(x,
y(x)) y(x) ，所以
f x( x0 ,
y(x0 ))
f y(x0,
y(x0 )) y(x0 )
0 ，即
2006线性代数试卷及答案
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《 2006线性代数 》试卷1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；．已知正交矩阵P 使得100010002TP AP ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则2006()T P A E A P +=．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( 2A )= ．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是： ．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= ．231511523()5495827x D x x x -=-，则0)(=x D 的全部根为：选择题（每小题4分，共20分）．行列式001010100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ ）。
， 1， B ，-1，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-．对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于（ ）。
， 左乘一个m 阶初等矩阵， B ，右乘一个m 阶初等矩阵 ， 左乘一个n 阶初等矩阵， D ，右乘一个n 阶初等矩阵．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}nM X AX X R ==∈。
则（ ）。
A ，M 是m 维向量空间，B ， M 是n 维向量空间C ，M 是m-r 维向量空间，D ，M 是n-r 维向量空间4．若n 阶方阵A 满足，2A =0，则以下命题哪一个成立（ ）。
A ， ()0r A =，B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。
A ，矩阵A T 为正交矩阵， B ，矩阵1A -为正交矩阵 C ，矩阵A 的行列式是±1， D ，矩阵A 的特征根是±1三、解下列各题（每小题6分，共30分）1．若A 为3阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 求det (*A )2．计算行列式111111111111a a a a。
北京工业大学2006年信号与系统考研试题
dx(t ) → 3 y (t ) + e2t u (t ) 。试求系统 S 的单位冲激响应 h(t ) 。(10 分) dt
22．信号 x (t ) 是一基波周期为 T 的周期信号，其傅立叶级数的系数是 ak ，试用 ak 表示信号
x(t t0 ) + x(t + t0 ) 的傅立叶级数的系数。(10 分)
1
D
x( n)
$ x( n )
L
$ ( n) y
D 1
y(n)
题图 28
共
7
页 第
7 页
。 b）左边信号 c）右边信号 d）区间信号
δ (2t 4) =
b） 16δ (t 2)
。
c）8 d）16
a） 8δ (t 2)
5．设两个有限长序列 x ( n ) 和 h ( n ) 的卷积为 y ( n ) = x ( n ) h ( n ) ， y ( n ) 的长度 Ly 与 x ( n ) 的长度
1．具有跳变的信号在其跳变处的导数是一个 a) b) c) d) 强度等于跳变幅度的冲激函数 幅度为无限大的冲激函数 强度为无限大的冲激信号 理想阶跃信号 。 。
2．LTI 系统的有界输入有界输出（BIBO）稳定性的条件是
a）特征方程的根的虚部必须为零且输入 x (t ) 的最高导数的阶次不超过输出 y (t ) 的最高导数 的阶次； b）特征方程的根不等于零且输入 x (t ) 的最高导数的阶次不超过输出 y (t ) 的最高导数的阶 次； c）特征方程的根必须具有负实部且输入 x (t ) 的最高导数的阶次不超过输出 y (t ) 的最高导数 的阶次； d）特征方程的根必须具有负实部且输入 x (t ) 的最高导数的阶次必须高于输出 y (t ) 的最高导 数的阶次；
2006年考研线代部分数学题
2006年考研线代部分数学题一、填空（每小题4分） （1）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .（数一、二、三）[数四为：则B =1111-⎛⎫⎪⎝⎭]（2） 已知12,αα为2维列向量，矩阵1212(2,)A αααα=+-，12(,)B αα=.若行列式||6A =，则||2B =-. （数四）【分析】利用矩阵乘积的行列式运算AB A B =即可. 【详解】()1212122121(2,),1111A B αααααα⎛⎫⎛⎫=+-==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以 21311A B B ==--，而||6A =，故 ||2B =-.二、选择题：（每小题4分）（1）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. （数一、二、三、四） [ A ] 【解】 记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).（2）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 （数一、二、三、四）（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ Ｂ ］ 【解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.三、解答题： 1、（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ （数一、二、三） 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a a b a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多. （2）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.（数一、二、三）（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（数四）【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令[]123,,Qηηη=，则1TQ Q-=，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得T3Q AQ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（Ⅲ）由(Ⅱ)知T3Q AQ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以T3111001110111A Q Q⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=Λ==⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭.666T T T333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦66666332233332223322E⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎢⎥⎪ ⎪=-==⎪ ⎪⎪⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭⎝⎭，则666T333222A E Q EQ E⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【评注】实际上，由条件“3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3”和“一个特征值是3，两个特征值是0且秩是1”即可得到矩阵A。
2006考研数学(一)试题及详细答案解析
2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析
一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
（1） lim x ln(1 x) 2. x0 1 cos x
【分析】 本题为 0 未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 0
an
an1 2
收敛，故应选(Ｄ).
或利用排除法：
取 an
(1)n
1 n
，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；
取 an (1)n
1 ，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. n
（10）设
f
(x,
y)与(x,
y)
均为可微函数，且
y
(
x,
y)
0 ，已知 (x0,
y0 ) 是
f
(x,
y)
在约
束条件(x, y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是
x
(
x0
,
y0 )
0
,
整理得
f
x
(
x0
,
y0
)
y
(
1 x0
,
y0 )
f
y
(
x0
,
y0
)
x
(
x0
,
y0
)
.（因为
y
(
x,
y)
0
），
若
f
x
(
x0
,
y0 )
0
，则
f
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案一、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（1）2解：由等价无穷小，0x →时21ln(1),1cos 2x x x x +-::2002ln(1)lim lim 11cos 2x x x x x x x →→+=-=2 （2）x cxe -解：分离变量，积分，得 1ln ln y x x c =-+去掉对数及绝对值记号，改写任意常数，得 (0)x y cxe x -=≠ （3）2π解：补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧设,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q R x y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴1∑∑+⎰⎰⎰⎰=6dxdydz Ω⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯= 而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（Q 在1∑上：1,0z dz ==） （4解：d====(5) 2解:由2BA B E=+化得()2B A E E-=,两边取行列式,得()24B A E E-==计算出()2A E-=,因此2B=.（6）19解：{}{}{}{}max(,)11,111p x y p x Y p x p Y≤=≤≤=≤≤=1133⋅=19二、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）A解：方法1：因为()0,f x'>则()f x严格单调增加()0,f x''>则()f x是凹的0x>V又，故0dy y<<V.方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x'-=+--V V V()()f x f x xξ''=-V V()()f x xηξ''=-V其中000,x x x xξηξ<<+<<V由于()0f x''>，从而0y dy->V又由于()0dy f x x'=>V，故选[]A（8）C解：画出极坐标下二次积分所对应积分区域D，改成用直角坐标便知应选[C]（9）D解：题设1nna∞=∑收敛，所以11nna∞+=∑也收敛，所以11()n nna a∞+=+∑收敛，从而112n nna a∞+=+∑也收敛.[]D选(10) D解：引入函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，有000000000000000000(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0,(,)0[]x x xy y y y y xy x y y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y f x y D λλϕλϕϕϕϕλϕϕ'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-=''''≠≠Q F =F =F =代入(1)得今则故选 (11) A【考点】本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.解：方法1：若12,,,s αααL 线性相关,则存在不全为0的数12s ,,,k k k L 使得11220s s k k k ααα+++=L用A 左乘等式两边,得11220s s k A k A k A ααα+++=L于是12,,,s A A A αααL 线性相关.方法2：如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. 12,,,s αααL 线性相关⇔ 12(,,,)s r s ααα<L .2.()()r AB r B <.矩阵1212(,,,)(,,,)s s A A A A αααααα=L L ,因此1212(,,,)(,,,)s s r A A A r s αααααα≤<L L由此马上可判断答案应该为[A ].(12) B解：用初等矩阵在乘法中的作用得出将A 的第2行加到第1行得B ，即 110010001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭=PA 将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，即110010001C B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 记 BQ 因PQ =110010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E =，故1Q P -=从而 11C BP PAP --== ,故选[B ]. （13）C【考点】本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式 解：由{}{}{}1P AB P A B P B ==得，{}{}P AB P B = 根据加法公式有{}{}{}{}{}P A B P A P B P AB P A ⋃=+-=,故选[C ]. （14）A【考点】正态分布的基本性质和正态分布的标准化技巧 解：11111(1)(),X P X P μμσσ--<=<随机变量11-X μσ~(0,1)N ，且其概率密度函数是偶函数.故111111*********[()(0)]2()1X X P P μμφφφσσσσσσ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪<=<<=-=-⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭. 同理221(1)2()1P Y μφσ-<=-因为()x φ是单调函数，当12{||1}{||1}P X P Y μμ-<>-<时，112()1φσ->212()1φσ-，即1211σσ>，即12σσ>，故选[A ].一、 解答题(15)解：积分区域对称于x 轴，221xyy x y++为y 的奇函数，从而知 2201Dxydxdy x y =++⎰⎰ 12120222021ln(1)ln 21122Dr I dxdy d dr r x yr ππππθ-==+=+++⎰⎰⎰⎰极坐标(16)解：(1)由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=≤说明数列{}n x 单调减少且0n x >.由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(),n x n n nx x ∞→∞原式=为"1"型Q 离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim()t ttt tt t e t→→=先考虑用洛比达法则232320330011(cos sin )1110()0()lim 26cos sin sin 1262limlim 2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t tt te ee e e →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====g g（17）解：2()2(2)(1)21x x A Bf x x x x x x x===++--+-+ 由2(1)(2)2,32,3A xB x xx A A ++-====令 11,31,3x B B =-=-=-令21111111()3(2)3(1)33[1()](1)2f x x x x x =-=--+---g g g g10001111()(1)(1),132332n n nn n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）解：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f xx y ∂'''=+∂+()()22322222x y f f x y x y '''=+++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++同理22220()()0z z f x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入得成立（II ）令(),f u p '=于是上述方程成为dp pdu u=-，则dp du c p u =-+⎰⎰ ln ln ,()cp u c f u p u'=-+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===Q由得于是（19）证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导 得：3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==- 所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y xf x y x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y yf x y y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立。
北京工业大学2006年硕士研究生入学考试试题GAI
（a)
FP sinθt
（b)
1
k
2m
2m
1 1/2
M图
解：本题属于荷载作用在质量上的情况，可以用动力系数法求动位移和动弯矩。 先求自振频率ω
ω＝ 1 ，其中δ＝支座为刚性时单位荷载引起的质点位移＋弹簧支座的竖向位移引起的质点 mδ
1×1
位移。即δ＝ 1 ×2× 1 ×2×1× 2 ＋ 2 2 ＝
4
＋
Mu
Mu
Mu
θ Mu
θ Mu
Mu
Mu
塑性极限状态下的弯矩图
解：由弹性状态下的弯矩图（图 b）可知，可能的塑性铰出现在 A、B、C、D 四个结点处。本题为 三次超静定结构，基本结构的个数＝可能出现的塑性铰个数－超静定次数＝4－3＝1，故无组合结构。 破坏机构见图 c。列虚功方程：
−
Mu
×θ
×4
+
FPu
4 88
44
MF的影响线见图e。 三、用力法计算，作图示结构的 M 图。EI＝常数。（25 分）
l
l
q
l
l
四、作图 a 所示结构的弯矩图。i 为各杆线刚度，忽略轴向变形的影响。（25 分）
（a) 2kN/m
20kN
（b) 2kN/m
i
i
4m
i
i
i
2m
4m
4m
2m
半结构
（c) 4i
Δ1=1 k11
（d) 2i
x
k' θ
∑ 解：将结构化为 b 图，其中 k' = 3EI 。由 L
MB =0得
FPcr
×θ
×
L
−