垂直于弦的直径2市级课件比赛一等奖
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27.2 垂径定理 (2) 公开课一等奖课件
【综合运用】 18．(14分)(2015· 安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上 ，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； (2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：(1)PQ＝ 6
3 3 (2)PQ 长的最大值为 2
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要 的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是 综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好 的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常 重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满 阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的 ，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满 自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天 取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英语141 分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学院 北京市文科状元 阳光女 孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何 旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的 笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是 学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她 的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后， 她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
2．(4分)(2015· 遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm ，OC⊥AB于点C，则OC＝( B ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．(4分)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一 点，则线段OM的长可能是( C ) A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
3.3垂径定理(共12 公开课一等奖课件.ppt) 大赛获奖精美课件 公开课一等奖课件
首先要对粮食有明确的定位对其特点加以新的诠释更多精彩内容微信扫描二维码获取更多精彩内容微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源扫描二维码获取更多资源今国内外粮食安全形势发生了新变化必须重新认识粮食安全问题
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3垂径定理
A
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊情况？
O C E B D
直径AB和弦CD互相垂直
运动CD
特殊情况
C
在⊙O中，AB为弦， CD为直径，AB⊥CD
O A D E B
提问：你在圆中还能 找到那些相等的量？ 并证明你猜得的结论。
CE=DE，
AC=AD,BC=BD
特殊情况
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直 线既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着 直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，A点和B点重合，AE和BE重 ⌒ ⌒ ⌒ 合，AC、AD分别和BC、 ⌒ BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
C D O
B
A
语文
小Hale Waihona Puke 方站作品 盗版必究谢谢您下载使用！
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3垂径定理
A
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊情况？
O C E B D
直径AB和弦CD互相垂直
运动CD
特殊情况
C
在⊙O中，AB为弦， CD为直径，AB⊥CD
O A D E B
提问：你在圆中还能 找到那些相等的量？ 并证明你猜得的结论。
CE=DE，
AC=AD,BC=BD
特殊情况
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直 线既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着 直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，A点和B点重合，AE和BE重 ⌒ ⌒ ⌒ 合，AC、AD分别和BC、 ⌒ BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
C D O
B
A
语文
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`.. 垂直于弦的直径(人教版九年级上) 优秀课特等奖 课件
A C O D B
变式4：______AC=BD. OA=OB
OC=OD 变式5：______AC=BD.
A C O
D B
跟踪训练
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径. 【解析】提示作OM 垂直于 PB ，连接OA. 答案： 17
B M O A P
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
24.1.2
垂直于弦的直径
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生
对数学的热爱．
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的
石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱
C O E D
B
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
O E D C
B O A D
【解析】定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故 前三个图均不能，仅第四个图可以！
例
题
A E B
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝， 求圆O的半径。
是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有
什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
O
变式4：______AC=BD. OA=OB
OC=OD 变式5：______AC=BD.
A C O
D B
跟踪训练
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径. 【解析】提示作OM 垂直于 PB ，连接OA. 答案： 17
B M O A P
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
24.1.2
垂直于弦的直径
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生
对数学的热爱．
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的
石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱
C O E D
B
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
O E D C
B O A D
【解析】定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故 前三个图均不能，仅第四个图可以！
例
题
A E B
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝， 求圆O的半径。
是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有
什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
O
垂直于弦的直径ppt课件
年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主
桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37
m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州
桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23.
赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有
以下关系：
指圆心 O 到弦的距离
C
d+h=r
h
a
A
B 数量关系
D
2
r d
O
总结
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
课堂练习
1. 如图 a、b，一弓形弦长为
cm，弓形所在的圆的
半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.
2 或 12
问题2：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？
由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
●O
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直
线都是圆的对称轴.
问题3：如何证明圆是轴对称图形？
圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴) 的对称
点也在圆上.
同学们在自己作的圆中按照如下步骤作图，并
写出已知和证明：
基本图形及
变式图形
构造直角三角形，利用勾股定理
计算或建立方程.
OC ＝2，则☉ O 的半径长为
.
3. （2023·宜昌中考）如图， OA ， OB ， OC 都是☉
O 的半径， AC ， OB 交于点 D . 若 AD ＝ CD ＝8，
OD ＝6，则 BD 的长为 4 .
24.1.2垂直于弦的直径(2) 完整版课件PPT
垂直于弦的直径
授课教师：李智雄
【学习目标】
学生在经历“实验—观察—猜 想—验证—归纳”的研究过程中掌握 以下3个知识点，（1）充分认识圆的 轴对称性；（2）掌握垂径定理；（3） 运用垂径定理进行简单的证明、计算 和作图。通过实验操作探索数学规律。
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直 径对折，重复几次，你发现了什 么？由此你能得到什么结论？
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧圆是轴对称图形，直径是它的对称轴
课堂作业：
课本第89页复习 巩固第2、8题
谢 谢 指 导！
2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆
心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB于E，连接
O∴A 圆心到弦的距离、半
A径E、弦1构A成B直 角4c三m角
∴
A在形O，Rt便∆2AA将EE2问O 中O题E转2 化为 O直E角三3c角m形的问题。
42 32 5cm
AEB O·
O
D
B N
垂径定理的推论：
由 CD是直径 AM=BM
可推得
CD⊥AB,
A⌒C=⌒BC, A⌒D=⌒BD.
平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
① CD是直径, ② CD⊥AB,
A
B
M└
③ AM=BM
●O
④A⌒C=⌒BC, ⑤A⌒D=⌒BD.
D
如果具备上面五个条件中的任何两个，根据
C
O
E
A
B
授课教师：李智雄
【学习目标】
学生在经历“实验—观察—猜 想—验证—归纳”的研究过程中掌握 以下3个知识点，（1）充分认识圆的 轴对称性；（2）掌握垂径定理；（3） 运用垂径定理进行简单的证明、计算 和作图。通过实验操作探索数学规律。
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直 径对折，重复几次，你发现了什 么？由此你能得到什么结论？
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧圆是轴对称图形，直径是它的对称轴
课堂作业：
课本第89页复习 巩固第2、8题
谢 谢 指 导！
2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆
心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB于E，连接
O∴A 圆心到弦的距离、半
A径E、弦1构A成B直 角4c三m角
∴
A在形O，Rt便∆2AA将EE2问O 中O题E转2 化为 O直E角三3c角m形的问题。
42 32 5cm
AEB O·
O
D
B N
垂径定理的推论：
由 CD是直径 AM=BM
可推得
CD⊥AB,
A⌒C=⌒BC, A⌒D=⌒BD.
平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
① CD是直径, ② CD⊥AB,
A
B
M└
③ AM=BM
●O
④A⌒C=⌒BC, ⑤A⌒D=⌒BD.
D
如果具备上面五个条件中的任何两个，根据
C
O
E
A
B
垂直于弦的直径市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
2. 垂径定理: (1)垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧。 (2).几何语言 ∵CD过圆心，CD ⊥ AB，
∴AE=BE， AC= BC, AD= BD
3.运用垂径定理时，惯用辅助线是：
(1)连半径或作弦心距构造直角三角形 (2)作垂直于弦的直径
丰 收园
通过这节课的学习， 你有哪些收获？ 能与大家一起分享吗？
圆心相似的圆叫做同心圆
在同圆或等圆中, 能够互相重叠的弧叫做等弧
?
1.圆是轴对称图形吗?
A
如果是，它的对称轴是什么？
2.你能找出多少条对称轴？你能用什么方 B 法解决上述问题？
能够发现：
1、圆是轴对称图形。
任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2.它有无数条对称轴，可用对折方法解决上述问题
思考： 问题1.图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果
已知：在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB。 验证
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
证明：连∵ C结DO⊥AA,OBB,OA=OB⌒垂是直⊙O于⌒的弦对AB称的⌒轴直。径CD⌒所在C 的直线
∴AE=BE
∴点A和点B有关CD对称.
∵⊙O有关直径CD对称
·O
∴当圆沿着直径CD折叠时, A点和B点重合，
在Rt △ AOE 中
AO2 OE2 AE2
·
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
如上图.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm。
1.下图形与否含有垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O E
A D B
B
并且平分弦所对的两条弧。 (2).几何语言 ∵CD过圆心，CD ⊥ AB，
∴AE=BE， AC= BC, AD= BD
3.运用垂径定理时，惯用辅助线是：
(1)连半径或作弦心距构造直角三角形 (2)作垂直于弦的直径
丰 收园
通过这节课的学习， 你有哪些收获？ 能与大家一起分享吗？
圆心相似的圆叫做同心圆
在同圆或等圆中, 能够互相重叠的弧叫做等弧
?
1.圆是轴对称图形吗?
A
如果是，它的对称轴是什么？
2.你能找出多少条对称轴？你能用什么方 B 法解决上述问题？
能够发现：
1、圆是轴对称图形。
任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2.它有无数条对称轴，可用对折方法解决上述问题
思考： 问题1.图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果
已知：在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB。 验证
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
证明：连∵ C结DO⊥AA,OBB,OA=OB⌒垂是直⊙O于⌒的弦对AB称的⌒轴直。径CD⌒所在C 的直线
∴AE=BE
∴点A和点B有关CD对称.
∵⊙O有关直径CD对称
·O
∴当圆沿着直径CD折叠时, A点和B点重合，
在Rt △ AOE 中
AO2 OE2 AE2
·
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
如上图.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm。
1.下图形与否含有垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O E
A D B
B
(名师整理)数学九年级上册第24章第1节第2课时《垂直于弦的直径》省优质课获奖课件
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱．
用
C
垂径定理：垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条
弧．
O
A
B
∵ ① CD是直 径②
O
=325，
D
(2)
OE = OB2 - EB2 ∴ED=OD+OE=450(mm)
=125(mm)
∴油的最大深度是200mm或
450mm.
10
学以致 用
际问题
1.一条排水管的截面如图.已知
排水管的截面圆半径OB＝10，
截面圆圆心O到水面的A距离OC 是6，则水面宽AB是( )
A.16 B.10 C.8 D.6
则为PA利 P+AP用C+的P圆C最的的.小对最值称小性值和转垂化径为定AD理的把长.
24
学以致 用
值问题
1、⊙O的半径是8，AB是
⊙O的直径，M为AB上动点， A
AC=CD=BD，如图所示，则
O B
CM+DM的最小值为 .
CD
25
学以致 用
值问题
2.如图，在平面直角坐标系
xOy中，以原点O为圆心的圆
1.课本第90页习题24.21第9、16题；
29
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱．
用
C
垂径定理：垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条
弧．
O
A
B
∵ ① CD是直 径②
O
=325，
D
(2)
OE = OB2 - EB2 ∴ED=OD+OE=450(mm)
=125(mm)
∴油的最大深度是200mm或
450mm.
10
学以致 用
际问题
1.一条排水管的截面如图.已知
排水管的截面圆半径OB＝10，
截面圆圆心O到水面的A距离OC 是6，则水面宽AB是( )
A.16 B.10 C.8 D.6
则为PA利 P+AP用C+的P圆C最的的.小对最值称小性值和转垂化径为定AD理的把长.
24
学以致 用
值问题
1、⊙O的半径是8，AB是
⊙O的直径，M为AB上动点， A
AC=CD=BD，如图所示，则
O B
CM+DM的最小值为 .
CD
25
学以致 用
值问题
2.如图，在平面直角坐标系
xOy中，以原点O为圆心的圆
1.课本第90页习题24.21第9、16题；
29
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
初中数学人教九年级上册第二十四章圆垂直于弦的直径 一等奖PPT
创设情境 导入新知
动手动脑 探究新知
请拿出准备好的圆形纸片， 任意画一条直径CD， 请沿着直径CD对折，对折之后，折痕两侧的圆重合了吗？由此 说明圆是什么图形呢？
·O
动画演示
如何证明圆是轴对称图形呢？
1、在圆周上任意画一个点A 2、过点A作直径CD的垂线，交圆O于A'，垂足为E 思考：AE和A‘E相等吗？你能说明为什么吗？
垂径定理三角形
C
d+h=r
O
rd
E
A
h
D
a
r2 d2 (a)2 2
B
在a，d，r，h中，已知
其中任意两个量，可以求出
其它两个量．
图变题不变
如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
A
C ED
B
O
利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
ED
B
利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O A C ED B
动画演示
辅助线
C
·O
E
A
A
D
'
垂径定理
垂直于弦的直径 平分弦,并且平分弦所对的两条弧
找出图中相等的弧并用相同的颜色标注
∵ CD是直径 CD⊥AA
' ∴ AE=A'E
动画演示
图形变式 举一反三 C
动手动脑 探究新知
请拿出准备好的圆形纸片， 任意画一条直径CD， 请沿着直径CD对折，对折之后，折痕两侧的圆重合了吗？由此 说明圆是什么图形呢？
·O
动画演示
如何证明圆是轴对称图形呢？
1、在圆周上任意画一个点A 2、过点A作直径CD的垂线，交圆O于A'，垂足为E 思考：AE和A‘E相等吗？你能说明为什么吗？
垂径定理三角形
C
d+h=r
O
rd
E
A
h
D
a
r2 d2 (a)2 2
B
在a，d，r，h中，已知
其中任意两个量，可以求出
其它两个量．
图变题不变
如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
A
C ED
B
O
利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
ED
B
利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O A C ED B
动画演示
辅助线
C
·O
E
A
A
D
'
垂径定理
垂直于弦的直径 平分弦,并且平分弦所对的两条弧
找出图中相等的弧并用相同的颜色标注
∵ CD是直径 CD⊥AA
' ∴ AE=A'E
动画演示
图形变式 举一反三 C
第24章第2课时垂直于弦的直径市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
若 AB＝4，OC＝1，则⊙O 的半径为5
D．6
数学
5．如图，CD 为⊙O 的直径，AB⊥CD 于 E，DE＝8 cm，CE ＝2 cm，则 AB＝ 8 cm.
数学
6．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 E，连接 OC，若 OC＝10，CD＝16，则 AE＝ 4 .
数学
7．如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的 动点，则线段 OM 长的最小值为 3 .
谢谢观看
第二十四章 圆
第2学时 垂直于弦的直径
数学
►► 关键视点 1．垂直于弦的直径 平分 弦，并且平分弦所对的 两条弧 ． 2．平分弦(不是直径)的直径 垂直 于弦，并且平分 弦所对
的两条弧 ． 3．圆既是 轴 对称图形，又是 中心 对称图形，它的对称 中心是 该圆的圆心 ．
数学
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4．(2019 北京一模)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 C，
(名师整理)数学九年级上册第24章第1节第2课时《垂直于弦的直径》省优质课获奖课件
所对的两条弧.
根据垂径定理与推论可知对于一个圆 和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出 其他三个结论 在解决有关圆的问题时，可以利用垂径 定理将其转化为解直角三角形的问题 。
别忘记还有我 哟！！
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱．
1、我们所学的圆是不是轴对称图 形圆呢是？轴对称图形，经过圆心的每 一条直线都是它们的对称轴
Ｄ
弦所对的两条弧．
由 ① CD是 直径②
可推 得
CD⊥AB 推论：平分弦（不是直径）
③AE=BE,
④⌒AC ⌒ =⑤B⌒CA,D⌒
=BD.
的直径垂直于弦,并且平分弦
所对的两条弧. 由 ① CD是 直径 ③ AE=
可推 得
②
④CD⌒A⊥C⌒AB,
BE
=⑤B⌒ACD, ⌒
=BD.
根据垂径定理与推论可知对于 一个圆和一条直线来说。如果 （具1备）过圆心 （2）垂直于弦
的两条弧分别三等分
二、填
1空．：半径为4cm的⊙O中，弦
AB=4cm,
2 3cm
那么圆心O到弦AB的距离
是。
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O
到弦AB的 距离为3cm，8c则弦AB
的长是 。
m
O A半径
中点且
O
垂直于这条半径的弦2长3是cm 。A E B
2
根据垂径定理与推论可知对于一个圆 和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出 其他三个结论 在解决有关圆的问题时，可以利用垂径 定理将其转化为解直角三角形的问题 。
别忘记还有我 哟！！
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱．
1、我们所学的圆是不是轴对称图 形圆呢是？轴对称图形，经过圆心的每 一条直线都是它们的对称轴
Ｄ
弦所对的两条弧．
由 ① CD是 直径②
可推 得
CD⊥AB 推论：平分弦（不是直径）
③AE=BE,
④⌒AC ⌒ =⑤B⌒CA,D⌒
=BD.
的直径垂直于弦,并且平分弦
所对的两条弧. 由 ① CD是 直径 ③ AE=
可推 得
②
④CD⌒A⊥C⌒AB,
BE
=⑤B⌒ACD, ⌒
=BD.
根据垂径定理与推论可知对于 一个圆和一条直线来说。如果 （具1备）过圆心 （2）垂直于弦
的两条弧分别三等分
二、填
1空．：半径为4cm的⊙O中，弦
AB=4cm,
2 3cm
那么圆心O到弦AB的距离
是。
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O
到弦AB的 距离为3cm，8c则弦AB
的长是 。
m
O A半径
中点且
O
垂直于这条半径的弦2长3是cm 。A E B
2
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E B
D
命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧。
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。 求证：CD是直径， A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
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注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
C.根 AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
据垂径 .
定理AD,D是1AAB的B 中1点,7C.是2
2
2
的2 中 点 3.6,
,C
D就是
拱高
由O题D 设 O得C DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
① ④ ⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
C
A
D
B
r
•
O
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• 例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O
是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且
O E ⊥ C D 垂 足 为 F, E F = 9 0 m . 求 这 段 弯 路 的 半 径 .
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
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练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ
Ｅ
Ｏ
Ｄ
Ａ
Ｂ
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1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图
所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
┌E
D
B
D
600
C
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在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面 宽AB = 600mm，求油的最大深度.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2 HN2 , 即OH 3.92 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
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1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
E 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
F
●
O
R2 3002 R 902.
D 解这个方程,得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
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(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为
30 °,求弦 AB 的长.
O
6O
A 30°
B
E
M
A
B
C
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,
交点为 M , 求 弦 AB 的长.
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（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，
桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4
米。
C
A
·D B O
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垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
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课堂讨论 ① 根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
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三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
.C O
命并题且二平：分平 弦分所弦对所的对另的一一条条弧弧。的直径，垂直平分弦，A
已求知证：：CCDD是 平直 分径 AB，，AA⌒BC是＝弦B⌒，C（并A且⌒DA＝⌒DB＝⌒DB）⌒DC（DA⌒⊥CA＝BB⌒C）。
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高 出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水 面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
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船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱A,B 所在圆的圆心为O,半径
为Rm,
AB
经过圆心O作弦AB的垂线OD,DA为B垂足,与 相交于点
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1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗? A
B
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问 题 ？
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距 离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B
•
O
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问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？D来自OA600
B
A
┌E
D
B
O ø650
D
600
C
C
第16页/共19页
M
E
C
D
A
.
O
B
A
O.
A
E C
D
B
B
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
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感谢您的欣赏！
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