11第十一章 机械振动

第十一章 机械振动1.单项选择题（每题3分，共30分）（1）将单摆的摆球从平衡位置向位移的正方向拉开，使摆线与竖直方向成微小角度ϕ ，然后将摆球由静止释放。

如果从放手时开始计时，并用余弦函数表示摆球的振动方程，则该单摆振动的初相为［ B ］(A) π； (B) 0 ； (C) π/2 ； (D) ϕ。

（2）一个弹簧振子和一个单摆在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2，如果将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。

则有［ D ］(A) 11T T >'、22T T >'； (B) 11T T ='、22T T ='； (C) 11T T <'、22T T <'； (D) 11T T ='、22T T >'。

（3）一个弹簧振子的谐振子的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。

当重物通过平衡位置并且向规定的正方向运动时开始计时。

则其振动方程为［ B ］ (A) )2(cos π-=t k m A x ； (B) )2(cos π-=t m k A x ； (C) )2(cos π+=t k m A x ； (D) )2(cos π+=t m k A x 。

（4）某质点在x 轴上作简谐振动，振辐A =6cm ，周期T = 2s ，将其平衡位置取作坐标原点。

如果t = 0时刻质点第一次通过x = -3cm 处，并且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -3cm 处的时刻为［ B ］(A) 2s ； (B) (4/3) s ； (C) 1s ； (D) (2/3) s 。

（5）某质点作简谐振动的振动方程为)cos(αω+=t A x ，当时间t = 0.5T 时，质点的速度为［ B ］(A) αωcos A ； (B) αωsin A ； (C) αωcos A -； (D) αωsin A -。

（6）某质点沿x 轴作简谐振动，其振动方程为)4/π3cos(+=t A x ω，在图11-29中，表示该质点振动曲线的是［ A ］（7）当作简谐振动的弹簧振子偏离平衡位置的位移大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的［ A ］(A) 15/16； (B) 13/16； (C) 11/16； (D) 9/16。

（8）一个作简谐振动的质点的振动方程为)cos(ϕω+=t A x ，在求其振动动能时，得出如下面五个表达式，①)(sin 21222ϕωω+t A m 、②)(c o s 21222ϕωω+t A m 、③ )s i n (212ϕω+t kA 、④)(cos 2122ϕω+t kA 、⑤)(sin π22222ϕω+t mA T，其中m 是质点的质量，k 是弹簧的劲度系数，T 是振动的周期。

在这些表达式中［ D ］(A) ②、④是对的； (B) ①、③是对的；(C) ③、⑤是对的； (D) ①、⑤是对的。

（9）一个质量为m 、半径为R 的均匀圆环挂在一根光滑的钉子上，以钉子为轴在自身平面内作小幅度的简谐振动。

已知圆环对轴的转动惯量22mR J =，若测得其振动周期为0.5π s ，则R 的值为［ A ］ (A)32g ； (B) 322g ； (C) 162g； (D) 4g 。

提示：重力矩为 θθmgR mgR M -=-=sin根据转动定律得 222d d 2tmR mgRθθ=- 整理得02d d 22=+θθR gt 因此 22)π2(2TR g ==ω 解得 2)π2(2T g R =2)π2π5.0(2g =32g=2.填空题（每空2分，共30分）（1）一个弹簧振子作振幅为A 的简谐振动，其运动方程用余弦函数表示。

如果t = 0时，①振子在负的最大位移处，则初相为（ π ）；②振子在平衡位置向正方向运动，则初相为（ - π /2 ）；③振子在位移为0.5A 处且向负方向运动，则初相为（ π/3 ）。

（2） 质量M =1.2kg 的物体挂在一个轻弹簧上振动。

用秒表测得此系统在35s 内振动了70次。

如果在此弹簧上再加挂质量m =0.8kg 的物体，并且弹簧受力没有超出其弹性限度，则两物体组成的系统的振动周期为（ 0.65s ）。

提示：由于ω/π2=T 、m k /=ω，因此Mm M T T T +==11212ωω)s (65.02.18.02.17035=+⨯= （3）用30Ｎ的力拉一根轻弹簧，可使其伸长15cm 。

在该弹簧下挂（ 0.5kg ）kg 的物体，能使其振动周期T = 0.1π s 。

提示：由于ω/π2=T 、m k /=ω，因此22)π2(T x F km ==ω)k (5.0)2π0.1π(15.0302g =⨯= （4）无阻尼自由简谐振动的周期和频率由（ 振动系统本身性质 ）决定。

对于给定的简谐振动系统，其振幅和初相由（ 初始条件 ）决定。

（5）两个弹簧振子的周期都是4.0s ，开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过5.0s 后第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两个振动的相位差为（ π ）。

（6）已知某简谐振动的振动曲线如图11-31所示，由此可以确定，在（ ,2,1,0),12(75.0=+=k k t ）s 时谐振子的速度为零，在（ ,2,1,0,5.1==k k t ）s 时其动能最大，在（ ,2,1,0),14(25.2=+=k k t ）s 时其加速度为正的最大值。

（7）一个物块悬挂在弹簧的下端作简谐振动，当其位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的（ 3/4 ）。

当其在平衡位置时，弹簧的长度比原长长了∆l ，该振动系统的周期为（g l /π2∆ ）。

（8）一个弹簧振子具有1.0 J 的振动能量，0.10m 的振幅和1.0m/s 的最大速率，则该弹簧的劲度系数为（ 2×102 N/m ），谐振子的振动频率为（ 5/π=1.6 Hz ）。

3.计算题（共40分）（1）如图11-32所示，质点在x 轴上作简谐振动，当它向右运动并通过M 点时开始计时，在4s 时质点第一次经过N 点，再经过4s 时质点第二次经过N 点，已知该质点在M 、N 两点具有相同的速率，并且M 、N 之间的距离为20cm 。

求①质点的振动方程；②质点在M 点处的速率。

（本题10分）解：①由于质点从M 点向右运动，并且在M 、N 两点具有相同的速率，第一次和第二次经过N 点均用4s ，因此可得如图所示的旋转矢量图。

由该图可以得出s 82=T则该简谐振动的周期和角频率分别为s 16=T 1-s 8ππ2==T ω 该简谐振动的初相为43π4π3-=⨯-=ϕ 该简谐振动的振幅为ϕcos 0x A =)4/π3cos(10--=)cm (210= 因此该质点的振动方程为cm )438cos(102102π-π⨯=-t x②质点在M 点处的速率为图11-32 x M N(m/s)04.080π)43sin(810210sin 2==π-⨯π⨯⨯-=-=-ϕωυA M （2）如图11-33所示的单摆摆长为l = 0.80 m ，小摆球的质量为m = 0.40kg 。

先将摆球拉到摆角为θ0 = 3°的位置，同时给摆球以υ0 = 0.20m/s 的速度使之向平衡位置摆动，选择此刻为计时起点，求该单摆的振动方程，并计算摆球在平衡位置时摆线上的张力大小。

（本题10分）解：摆球作简谐振动的角频率为1s 50.3/π2π2π2-====lggl T ω 振幅为rad 086.0)/(2202m =+=ωυθθl由于 59.0cos m0==θθϕ因此初相的两个可能值为 rad 94.0±=ϕ设摆球向右摆动时的角位移为正，由于初始时摆球从正方向平衡位置摆动，因此初相值为rad 94.0=ϕ该单摆的振动方程为rad )94.050.3cos(086.0+=t θ摆球越过平衡位置时速率为 m m ωθυl =设此时摆线中的张力为F T ，由牛顿第二定律得lmm g F 2mT υ=-2m )(ωθml =因此摆线中的张力为N 95.3])([2m T =+=ωθl g m F（3）有两个物体在作同方向、同频率、同振幅的简谐振动。

在振动过程中，每当第一个物体经过A 25.0的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动。

试利用旋转矢量法求它们之间的相位差。

（本题5分）解：依题意画出旋转矢量图。

由图可知，两简谐振动的位相差为π/2。

图11-33m（4）一个物体的质量为0.25kg ，在弹性力的作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k =25 N·m -1，该物体开始振动时具有0.06J 的势能和0.02J 的动能，求①该简谐振动的振幅；②动能恰等于势能时的位移值；③物体经过平衡位置时的速度大小。

（本题10分）解：①由2P K 21kA E E E =+=解得该简谐振动的振幅为 kE E A )(2P K +=m 08.0=②由于动能恰等于势能，因此2221221kx kA ⨯= 解得这时的位移值为A x 22±=m 057.0±= ③物体经过平衡位置时速度最大，其值为mkAA ==ωυm m/s 8.0= （5）某质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为)34cos(5.01π+=t x )64cos(3.02π-=t x公式中的所有物理量均采用国际单位，试画出两个振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。

（本题5分）解：依题意画出旋转矢量图。

由于2π6π3=+π，因此合振动的振幅为m 58.02221=+=A A A 由6.0tan 12==A A α解得 54.0=α 因此合振动的初相为51.03π=-=αϕ 合振动的振动方程为m )51.04cos(58.0+=t x2。