【数学试题】浙江省湖州市2019学年第一学期期末考试

为
_________ cm3 ，表面积为_________ cm2 .
【解析】
将几何体的图放进立方体中，更加直观.
该几何体的图形如右图所示，橙色线部分
表示该几何体，该几何体是正方体割去蓝
色部分表示的右上角.
其中，‫ ܧ‬᐀ 䁮 分别为
的中点，
则该几何体的体积为： t
，
该几何体的表面积为：
t
线 线 的值恒为正数，O 为点 S 在底面的投影
（1） 当其中有一个为钝角时，如右图所示，点 S 在底面投影
在射线 AN，AC 围城三角形区域上部，或者在射线 AM，
AB 围城三角形区域下部，分别过 O 作底面三边的垂线，
交于 E, F, D，此时 为钝角， 为锐角，
三棱锥的高为 ，
则
线
线
‫ܧ‬线 t
湖州 2019 学年第一学期期末考试
高三数学试卷
一、选择题：每小题 4 分，共 40 分
1. 若集合 A x 1 x 2 ，集合 B x 2 2x 4 ，则 A B =（ ）
A． 1, 2
B． 1, 2
C． 0, 2
D． 0, 2
2.
已知复数
z
4 2i 1 2i
（i
为虚数单位），则复数
的展开式中常数项等于
有
项．
，有理项共
13. 已 知 直 线 x my 2 （ m R ） 与 椭 圆 x2 y2 1 相 交 于 A ， B 两 点 ， 则 AB 的 最 小 值
95
为
；若 AB 30 ，则实数 m 的值是
．
7
14. 设 △ABC 的三边 a ，b ，c 所对的角分别为 A ，B ，C ．若 b2 3a2 c2 ，则 tan C
（2） 当其中有两个为钝角时，如右图所示，点 S 在底面投影在
射线 AN，AM 围城三角形区域右部， 为钝角， 为锐角，
分别过 O 作底面三边的垂线，交于 E, F, D， 则 线 线 t t ‫ ܧ‬，故 D 项正确.
故选择：D
二、填空题：单空题 4 分，多空题 6 分，共 34 分
11. 某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积
围是
．
17. 正方形 ABCD 的边长为 2， E ，M 分别为 BC ， AB 的中点，点 P 是以 C 为圆心，CE 为半径
的圆上的动点，点 N 在正方形 ABCD 的边上运动，则 PM PN 的最小值是
．
三、解答题：5 小题，共 74 分
18.
已知函数
f
x
sin
x
sin
x
3
1 4
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 【解析】
D．既不充分也不必要条件
充分性：
可得到
，从而可以得到
，
必要性：
可得到 tt 或
，所以不能得到
所以
是
故选择：A
的充分不必要条件.
6.
已知双曲线 x2
16
y2 4
1的左、右焦点分别为
F1, F2
，过
F2
的直线 l
交双曲线于
P、Q 两点，若
PQ 长为 5，则 △PQF1 的周长是（ ）
平面角的大小分别为 ， ， （ ， ， ），则下面结论正确的是（ ）
2
A． 1 1 1 的值可能是负数
tan tan tan
B． 3
2
C．
D． 1 1 1 的值恒为正数
tan tan tan
【解析】
1 对于 C 选项，当 S 对底面投影在△ABC 内部时(不包括边界)，
故选择：B
y 1
4.
实数 x、y
满足约束条件
y
x
0 ，则目标函数
z
y
1
x
0 的取值范围是（
）
y x 0
x
A． 2, 2
B． , 2 2, C． , 2 2, D． 2, 2
【解析】
根据约束条件，画出可行域，如右图所示
图中虚线部分 AOB 表示约束范围.
由图可知：各交点坐标为： t ，
，
将目标函数作变型为： t
设点 C 坐标为： −
可得直线 AC 斜率为：

t t
t t
t
同理可得直线 BC 的斜率为：
则求目标函数 z 的取值范围，
实际是求函数 t 的斜率 z， 所以函数 线 的取值范围为： t t
线.
故选择：C
5. 若 x R ，则“ x3 1”是“ x 1 ”的（ ）
95
为
；若 AB 30 ，则实数 m 的值是
．
7
【解析】
PQ 长为 5，则 △PQF1 的周长是（ ）
A．13
B．18
C． 21
D． 26
7. 已知离散型随机变量 满足二项分布且 B 3, p ，则当 p 在 0,1 内增大时，（ ）
A． D 减少
B． D 增大
C． D 先减少后增大 D．D 先增大后减小
8.
已知函数
f
x
2x
1 x
,
x2, x0
x
0
，若函数
g
x
f x x m 恰有三个零点，则实数 m 的取值
范围是（ ）
A．
,
2
1 4
,
0
B．
2,
0,
1 4
C．
2,
1 4
0,
D．
1 4
,
2
0,
9. 已知实数 a ， b ， c 满足 a2 b2 2c2 1，则 2ab c 的最小值是（
A． 3
4
B． 9
，
tan B
tan A 的最大值是
．
15. 现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个．若将其随机排
成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是
．
16. 对任意 x 1, e ，关于 x 的不等式 x ln x a2 ax a ln x （ a R ）恒成立，则实数 a 的取值范
z
的模
z
=（
A．1
B． 2
C． 2
） D． 4
3. 已知等差数列 an 的公差为 2，若 a1 ， a3 ， a4 成等比数列，则 a2 =（ ）
A． 4
B． 6
C． 8
D． 10
y 1
4.
实数 x、y
满足约束条件
y
x
0 ，则目标函数
z
y
1
x
0 的取值范围是（
）
y x 0
x
A． 2, 2
t
线 线 .
综上：① 几何体的体积为： ；
② 几何体的表面积为： 线 .
12.
二项式
x
1 x
6
的展开式中常数项等于
【解析】
根据题意可得： 线
t

当 时，常数项为：
t

，有理项共有
t
, ，
当
时，有理项共有 4 项.
综上：① 常数项为： ；
② 有理项共有 4 项 .
项．
源自文库
13. 已 知 直 线 x my 2 （ m R ） 与 椭 圆 x2 y2 1 相 交 于 A ， B 两 点 ， 则 AB 的 最 小 值
B． 3
2
C．
D． 1 1 1 的值恒为正数
tan tan tan
二、填空题：单空题 4 分，多空题 6 分，共 34 分
11. 某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积
为
cm3 ，表面积为__________ cm2 .
12.
二项式
x
1 x
6
20. 已知 Sn 是数列 an 的前 n 项和，已知 a1 1且 nSn1 n 2 Sn ， n N* ．
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设数列 bn
1n
4an 4n2 1
n N*
，数列bn 的前项和为 Pn ．
若
Pn
1
1 2020
，求正整数
n
的最小值．
21. 已知点 F 是抛物线 C : y2 4x 的焦点，直线 与抛物线 C 相切于点 P x0 , y0 （ y0 0 ），
8
C． 1
） D． 4
3
10. 在三棱锥 S ABC 中， △ABC 为正三角形，设二面角 S AB C ， S BC A ， S CA B 的
平面角的大小分别为 ， ， （ ， ， ），则下面结论正确的是（ ）
2
A． 1 1 1 的值可能是负数
tan tan tan
（3）若对任意的 x1 ， x2 a1, a ， f x1 f x2 e 1 恒成立（ e 为自然对数的底数），
求实数 a 的取值范围．
湖州 2019 学年第一学期期末考试
高三数学试卷
一、选择题：每小题 4 分，共 40 分
1. 若集合 A x 1 x 2 ，集合 B x 2 2x 4 ，则 A B =（ ）
范围是（ ）
A．
,
2
1 4
,
0
B．
2,
0,
1 4
C．
2,
1 4
0,
D．
1 4
,
2
0,
【解析】
①当直线 t 与曲线 t t 相切，
令t t ，可得： t 线 ， △= t ，解得： − 或 线 （舍去），
若要恰有三个不同的零点，则需要 t− .
②当直线 t 与曲线 t
x
R
．
（1）求
f
3
的值和
f
x
的最小正周期；
（2）设锐角 △ABC
的三边
a
，b
，c
所对的角分别为
A
，
B
，C
，且
f
A 2
1 4
，a
2，
求 b c 的取值范围.
19. 如图，三棱锥 D ABC 中， AD CD ， AB BC 4 2 ， AB BC . （1）求证： AC BD ； （2）若二面角 D AC B 的大小为150 且 BD 4 7 时，求直线 BM 与面 ABC 所成角的正弦 值.
且 S 点无限接近底面时， t h t ，
此时 线 线
h，故 C 项错误.
2 对于 B 选项，如右图所示，当点 S 在底面投影在△ABC 中线
AD 延长线上，且 S 点无限接近底面时， t h t ，
此时 线 线
h，故 B 项错误.
3 对于 AD 选项，当 S 在底面投影在△ABC 内部时(不包括边界)，
B． , 2 2, C． , 2 2, D． 2, 2
5. 若 x R ，则“ x3 1”是“ x 1 ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.
已知双曲线 x2
16
y2 4
1的左、右焦点分别为
F1, F2
，过
F2
的直线 l
交双曲线于
P、Q 两点，若
相切，
令 t t ，可得： − t ，有唯一解
则△= 线 ，解得： − .
③当直线 t 经过点 ，此时 ，
若要恰有三个不同的零点，则需要− t
所以实数 的取值范围为： − − 故选择：A
−
9. 已知实数 a ， b ， c 满足 a2 b2 2c2 1，则 2ab c 的最小值是（
A． 3
4
B． 9
8
C． 1
【解析】
） D． 4
3
要求 h 线 的最小值，则 h 异号，即 h t ， 为负数，
则 线h
h − h，可知： 线 h −
− h，
则 h线
线t t ,
此时当 t h t 时，等号成立, 所以 h 线 的最小值为：t .
故选择：B
10. 在三棱锥 S ABC 中， △ABC 为正三角形，设二面角 S AB C ， S BC A ， S CA B 的
A．13
B．18
C． 21
D． 26
【解析】
由双曲线 t ，可知 ，
根据双曲线第一定义可得： t
，
t
两式相加得： 线
−
线
，
，
所以 线

线
线 线 线 ，
则
的周长为： 线
线 线 .
故选择：D
7. 已知离散型随机变量 满足二项分布且 B 3, p ，则当 p 在 0,1 内增大时，（ ）
A． D 减少
【解析】
B． D 增大
C． D 先减少后增大 D．D 先增大后减小
根据题意可知： h t h ，
所以当 h 在 内增大时， 先增大后减小. 故选择：D
8.
已知函数
f
x
2x
1 x
,
x2, x0
x
0
，若函数
g
x
f x x m 恰有三个零点，则实数 m 的取值
A． 1, 2
B． 1, 2
C． 0, 2
D． 0, 2
【解析】
由题可知：集合 t t
集合
t
t，
所以
.
故选择：B
2.
已知复数
z
4 2i 1 2i
（i
为虚数单位），则复数
z
的模
z
=（
A．1
B． 2
C． 2
【解析】
由题可得：复数

线 t
⺁ ⺁

线⺁ t⺁
线⺁ 线⺁

⺁
⺁，
则复数 的模为： .
连接 PF 交抛物线于另一点 A，过点 P 作 的垂线交抛物线 C 于另一点 B． （1）若 y0 1 ，求直线 的方程； （2）求三角形 PAB 面积 S 的最小值．
22. 已知函数 f x loga x2 x ln x a 1 ． （1）求证： f x 在 1， 上单调递增； （2）若关于 x 的方程 f x t 1在区间 0， 上有三个零点，求实数 t 的值；
故选择：C
） D． 4
3. 已知等差数列 an 的公差为 2，若 a1 ， a3 ， a4 成等比数列，则 a2 =（ ）
A． 4
B． 6
C． 8
D． 10
【解析】
由等差数列 的公差为 2，
可得到： 线 ， 线 ，
又因为
成等比数列，
所以 线
线 ，解得： − ，
则 线 t 线 t .