《导数与微分》课件

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高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件

求 f 0
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0

《高数四导数与微分》课件

以通过对弦的长度进行微分得到。
微分在近似计算中的应用
泰勒级数展开
微分可以用来将一个复杂的函数展开成泰勒级数，从而可以用简单的多项式来近似复杂的函数。这在近似计算中非常有用。
误差估计
通过微分，可以估计函数值近似值的误差大小。例如，在求函数在某一点的近似值时，可以通过微分来估计误差的大小。
常数函数的导数
对于常数函数y=c，其导数为dy/dx=0。
幂函数的导数
对于函数y=x^n，其导数为dy/dx=nx^(n-1)。
指数函数的导数
对于函数y=a^x，其导数为dy/dx=a^x*ln(a)。
对数函数的导数
对于函数y=log_a(x)，其导数为dy/dx=(1/x*ln(a)) 。
复合函数的导数
01 复合函数求导法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
02 链式法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
03 幂函数的链式法则
对于幂函数u=g(x)=x^n，其导数为 du/dx=nx^(n-1)。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，即函数图像上某一点处的切线与x轴正方向的夹角的正切值。
详细描述
对于可导函数f(x)，其在任意点x处的导数f'(x)表示函数图像上该点处的切线斜率。具体来说，当函数在某点x处可导时，该点的切线斜率即为f'(x)。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率，如速度、加速度等。
THANKS
感谢观看
03

高数导数与微分 ppt课件

(sec) tan x sec x
(csc) cot x cscx
ppt课件
9
• 对数函数 • 指数函数
( log a
x)
1 x
log
a
e
(ln x) 1 (a e时) x
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
ppt课件
10
导数的几何意义
• 函数 y = f(x)在点x0处的导数 f (x0) 表示曲线 y = f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率 k,k = tan = f (x0 )
1处的连续性与可导性。
连续性左极限=右极限=函数值
可导性左导数=右导数
ppt课件
17
第二节函数的和、差、积、商求导法则
一、函数的和、差、积、商的导数
定理2-2 （导数的四则运算的法则）若函数u = u(x),v
= v(x)都是 x 的可导函数，则
（1）u v也是x的可导函数，且（u v） u v
导，且( y) 0 ，那么它的反函数 y f (x) 在对
应的区间内可导，且有
dy dx
1 dx
,
或f
(
x)
1
( y)
dy
ppt课件
21
结论概括：反函数的导数等于它的原函数导数的倒数例2-21 求 y arcsinx 的导数例2-22 求 y arctanx 的导数
ppt课件
22
基本初等函数的导数公式
lim y
x0 x
f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称函数
x
y=
f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y =
f(x)在点x0处的导数，记做 f (x0) ，即

微积分课件(导数与微分2)资料

设函数 f ( x)在点x0可导,即
lim y x0 x
f ( x0 )
y x

f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y

lim [
x 0
f
(
x0
)x

x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .

1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11

1 x2
.
第一节导数的概念
例3 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 3
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x h) sin 2
k y x1 2

( 1 ) x
x1 2

1 x2
x1 2
4
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为
y 2 1 ( x 1), 42
即 2x 8 y 15 0.
第一节导数的概念
四、函数可导性与连续性的关系
h0
2h
cos x
2
即 (sin x) cos x
(sin x) x cos x x
3
3
1 2
第一节导数的概念
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x

《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章导数与微分高等数学第一章第3-5节

1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx

《高等数学教案》课件

《高等数学教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章：积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章：级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章：向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章：多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章：常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章：数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章：概率与统计（续）9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章：高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章：导数与微分重点：理解导数和微分的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数和微分计算。

电子课件-《高等数学及应用(第3版)》-B10-3160 第二章导数与微分

中国劳动社会保障出版社
2．1 导数的概念
节菜单
2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
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2．1 导数的概念例题解析
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
2.2
3.了解函数微分的简单应用.
2.3
导数的概念导数的运算法则函数的微分及其应用
教学重点
1. 函数微分的概念. 2. 会求函数的微分.
教学难点函数微分的概念及几何意义. 教学方法讲练结合法
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2．3 函数的微分及其应用
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同济七版NUAA高数课件第二章导数与微分隐函数的导数由参数方程所确定函数的导数

sin cos
t) t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dx
dt dx
sin t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
例4
求摆线
x y
a(t a(1
sin cos
t) t)
在t
2
处的切线
方程 .
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为 y a x a( 1)
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
例6
设y
y(x)是由求由方程
x arctan t 2 y ty2 et
5
所确定，求
dy dx
.
解
dx dt
1 1 t2
,
dy
dy dx
dt dx
(y2
et )(1 t 2 ) 2 2ty
dt
dt dx
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d 2 y d dy
dx 2
() dx dx

d dt
(t ) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
(t )
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例3
求摆线
x y
a(t a(1
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点. 22

山东大学《高等数学》课件-第2章导数与微分

其极限值即为函数f x在点x0处的导数
12
利用导数的定义求导数的步骤：
1. 求增量 2. 算比值 3. 取极限
y f x x f x
y x f (x) lim y
t0 x
13
利用导数的定义求几个基本初等函数的导数:
⑴常数函数: y C
解 ①求增量 y
y y f x
y y0 y
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
10
例2.2.6 已知 y arcsin x 求 y
解:设 x
且 sin
sin
y
y 为直接函数, cos y 0
在区间
I
y
2
,
2
内单调可导, y
所以在对应区间 Ix 1,1 内有
y
arcsin
x
1
sin y
1 cos
x3 4cos x ln5
x3 4cos x ln5
3x2 4sin x
f
2
f (x)
x 2
3
2
2
4sin
2
3 2
4
4.
6
例2.2.3 设 y tan x 求 y
解:
y tan x
sin
x
cos
sin x cos x sin xcos x
cos2 x
若 lim y x0 x
, 称y
f x
在点
x0 处导数为无穷大.
8
若
y
lim lim
x x00
x00
f x0 x f x0
x
f x0 0
lim y lim
x x00
x00

导数与微分课件

导数和微分都与函数的局部性质有关，它们都可以用来研究函数的单调性、极值和曲线的形状等
。
导数与微分的区别
导数主要关注函数在某一点的变化率，而微分则更关注函数在某一点附近的局部变化趋势。
导数是函数值的增量之比，而微分则是函数值增量的近似值。
导数是一种数学运算，可以通过求导公式或法则进行计算；而微分则是一种近似计算方法，常常用于近似计算函数的值。
总结词
函数单调性与导数正负相关
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。导数的正负可以判断函数的增减性。
极值与导数
总结词
导数变化与极值点的关系
详细描述
函数极值点处的一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。需要进一步判断二阶导数的正负来确定是否为极值点。
公式
$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
解释
其中$Delta y = f(x + Delta x) - f(x)$，表示函数在$x$处的变化量，$Delta x$表示自变量的变化量。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，表示函数图像在该点的切线。
二项式定理
对于多项式函数，可以使用二项式定理进行近似计算。
泰勒级数
将函数展开成泰勒级数，可以用来近似计算函数的值。
误差估计
导数与误差
导数可以用来估计函数值的误差大小。
微分中值定理
利用微分中值定理，可以估计函数在某区间的变化量。
误差传播
在误差传播过程中，可以利用微分知识来估计误差的大小。

《经济数学》课件第三章导数与微分

定义
在曲线L上点 P0附近，再取一点P，作割线P0 P ，当点P沿曲线L移动而趋向于P0 时，割线P0 P 的极限位置P0 T 就定义为曲线L
在点 P0处的切线．
3.1
切线的斜率为
k tan lim tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
LOGO 正文.第三章
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
左、右导数不相等，故函数在该点不可导．由此可见，函数连续是
可导的必要条件而不是充分条件．
目录页
第 15 页
第二节函数的求导法则和基本求导公式
• 一、函数求导的四则运算法则 • 二、复合函数的求导法则 • 三、基本初等函数的求导公式
dx du dx
设 y f (u) ，u (v) ，v (x) ，则复合函数 y f {[ (x)]}
对的导数是
yx yu uv vx
以上复合函数求导公式又称为链式法则，可以推广到更
多层的复合函数．
第 19 页
LOGO 正文.第三章
第 20 页
求第
导二
公节
式函
数复
的合
求函
导法则
数
∣△t ∣很小时， v可作为物体在 t0时刻瞬时速度．即
的
概念
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0

微积分教学课件第2章导数与微分

原式 h l12 if0m f(x(t0)22h 12h)f(fx(0t))hlf i(m 0x0f)(t)f(x0)
微积分
三、导数的几何意义
y y f(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
nan1
说明：
微积分
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
微积分
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
微积分
例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例6. 设
f
(x0)
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).

第2章：导数与微分-PPT课件

n f ( x ) x ( n N ) 在 x a处的导数 . 例2. 求函数
解:
xn an f (x) f (a) lim f (a) lim xa x a x a xa
2 n 3 a x lim ( x n 1 a xn2 an1)

二、导数的定义
) 在点 x 0 的某邻域内有定义 , 定义1 设函数 y f (x
若
x x0
y lim f (x) f (x0) lim
x x0
x 0 x
y f( x ) f( x ) 0 xxx 0
存在,则称函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导,并称此极限为 y f (x ) 在点 x 0 的导数. 记作: dy d f (x) ; y xx0 ; f (x x x 0); dx x x0 dx 0
时) (当
切线 MT 的斜率
C M
T
lim tan k tan

o x 0
x x
f( x ) f( x ) 0 割线 M N 的斜率 tan x x0 f( x ) f( x ) 0 k lim x x0 x x 0
f( t ) f( t ) 0 瞬时速度 v lim t t0 t t0
若上述极限不存在,就说函数f (x)在点x0不可导。 y , 也称 f ( x) 在 x 的导数为无穷大 . 若 lim 0 x 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导,就称函数在I 内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作:
y ;
注意:
f ( x) ;
dy ; dx
f( x 5x )f( x ) f( x h )f( x ) =5 f ( x ) f (x0 h) f (x0 ) 0 0 0 0 ( 1 )l i m lim 5 l i m 0 h 0 h0 h x 0 h x

高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件

cos 2 x sin2 x 1 2 sec x. 2 2 cos x cos x
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .

《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分

根据导数的几何意义，过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)的切线方程为
对应的法线方程为
当f′(x0)=0时，切线方程为y=y0，法线方程为x=x0.
２.2 初等函数的求导法则
1.导数的基本公式前一节由导数的定义，求出了几个简单函数的导数，但对于较复杂的函数，用定义求导往往比较困难.为此，本节介绍导数的基本公式、求导法则和求导方法，借助这些基本公式、法则和方法就可以方便地求出初等函数的导数.所有基本初等函数的导数基本公式如下：
为Δ y=f(x0+Δ x)－f(x0).当Δ x→0时，若比值Δ yΔ x 的极限存在，则称函数y=f (x)在点
x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数值，记作f′(x0)，
即
也记作
如果极限
不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.
如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导，则称函数y=f(x) 在区间(a,b)内可导.
内所经过的路程为Δ s，
即
则在时间段Δ t内的平均速度
显然，时间段Δ t越小，质点运动速度变化越小,可近似看做匀速直线运动,平均速度v就越接近于质点在t0时刻的瞬时速度v(t0)，即当Δ t→0，平均速度v的极
限，便是质点在t0时刻的瞬时速度，即
2.导数的定义
定义设函数y=f(x)在点x0的左右近旁有定义，自变量x在点x0处有改变量Δ x(Δ x≠0)(也叫自变量的增量)时，相应函数的改变量(也叫函数的增量)
如果函数z=f(x,y)在某个平面区域D内的每一点(x,y)处，对x的偏导数都存在，那么，这个偏导数就是x,y的函数，称它为z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，简称偏导数，记作

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'
(0)

f ' (0)
f
'
(0)

lim
x0
f ( x) f (0)
x2 2x 3 3
lim
2
x0
x0
x0
f
'
(0)

lim
x0
ax b 3 x0

lim
x0
ax x

a

a

2
导数与微分
§2-2 导数的运算法则一、导数的四则运算
导数与微分
第二章
导数与微分
导数与微分 §２-１导数的概念
导数与微分１
一、导数的定义问题的提出
１、变速直线运动的速度已知物体的运动方程S=S(t),求t时刻的瞬时速度。

(t0
)

lim
t 0
S lim
t0 t
lim S(t0 t) S(t0 )
t 0
t
在x 0处，要求 lim f ( x) lim f ( x) f (0) 3
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 2x 3) 3
x0
x0
lim f ( x) lim (ax b) b f (0) 3
x0
x0
在x

0处可导，必须f
x
2!
y ' lim y nx n1 x0 x
即： (x n )' nxn1
导数与微分
对于n为任意实数时，上式也成立。
例7：正弦函数 y sin x 的导数
y sin(x x) sin x 2cos(x x) sin x
2
2
y

2 c os(x
x
解：A lim x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
f ' ( x0 )
导数与微分
求a,
b的值，使函数

x
2

2x

3 __
x

0
ax b ______ x 0
在(, )内连续、可导。
解：在(, 0)、(0, ), f ( x)为多项式，连续、可导。
f
' (x0 ) 0 0
逆命题不成立。
例：例3 p24 结论：连续是可导的必要条件，但不是充分条件。即可导一定连续，连续不一定可导。
三、导数的基本公式：
导数与微分
例4：常数函数的导数 y C
设自变量增量 x ，恒有 y C C 0
则 y 0
x
因此 lim y lim 0 0 x0 x x0
y' C' 0
导数与微分
例5：幂函数 y x n （n为正整数）的导数
y (x x)n xn [xn nxn1x n(n 1) xn2 (x)2 L (x)n ] xn 2!
y nxn1 n(n 1) xn2 x (x)n1
x0 x x0
x
记为：y' xx0 f ' (x0 ) y' ( x0 )
dy dx xx0
变化率：函数在点 x0 的变化速度。
定义2：导函数的概念：如果函数f(x) 在区间 (a,b) 内都可导，则区间 (a,b) 内每一点
x，都有一个导数值与之对应，就定义了一个新的函数，即函数 f(x) 在区间 (a,b) 内对 x 的导函数derived function。

x)2 b] (ax02 x
b)

2ax0
f ( x) x , x x0
解：f
' ( x0 )

lim
x 0
x0 x x
x0 1 2 x0
设f ' ( x0 )存在，A表示什么。
lim f ( x0 x) f ( x0 ) A
x 0
log
a
(1

x
)
x x
x
y'
(loga
x)'

1 x
log
a
e

1 x ln a
特别地，当 a e 时，有
(ln x)' 1 x
导数与微分
例：用导数定义求导数。
f ( x) ax2 b(a, b是常数)，x x0
解：f
' ( x0 )

lim [a( x0
x 0
导数与微分
左导数和右导数
lim
x 0
f (x0 x) x
f (x0 )
f ' ( x0 )
lim
x 0
f (x0 x) f (x0 ) x
f ' ( x0 )
f’(x0) 存在的充分必要条件是左右导数存在并相等。
导数与微分
几何意义：f ' (x0 ) 是曲线在点 (x0 , y0 ) 的切线斜率。
定理1 如果u 、v都是x的可导函数，则函数
y u v 也是x的可导函数，
y ' (u v)' u ' v '
可以推广到有限多个函数的代数和。

x)
sin
x 2
x
2 x
导数与微分
y' (sin x)' lim y cosx x0 x
(cos x)' sin x
例6：对数函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数
y

log a
(1
x ) x
导数与微分
y x

1 x
二、可导与连续的关系
函数在点 x0
连续，指
lim y 0
x0
存在。
,可导是
lim
x0
y x
定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。
导数与微分
lim y
x0
lim y x lim y lim x
x0 x
x0 x x0
物理意义：各种物理量的变化率。如：速度、加速度、电流、角加速度、感应电动势等。
求求导方法：
y
（1）求出函数的增量
B
M T
y f (x0 x) f (x0 )
Mo A αφ
x0
△y dy △x X0+△x x
导数与微分
２、作出比值： y
x
y
３、求出 x 0 时 x 的极限。
导数与微分
２、质量非均匀分布的细杆线密度已知质量m=m(x),求某点的线密度。
( x0 )
பைடு நூலகம்
lim
x 0

lim
x0
m x
抽象为数学概念：平均变化率：y 当 x 0 时的极限称为x0
处的导数。 x
导数与微分
导数 derivative 定义1 p24
lim y lim f (x0 x) f (x0 )