有限元分析及应用例子FEM14
CEM_8_FEM_14 频域有限元
CEM-Finite Element Method - 6
8.1.3 Development of FEM (1) • 1851/52: Karl Schellbach, Variational Calculus; Solution of the problem of minimal area • 1868: Kirsch, Modelling of a 3D-continuum with cuboids and beam elements • 1908/09: Walter Ritz, new methods to solve a variational problem (Ritz’ method) • 1915: Boris G. Galerkin, Method of weighted residuals • 1940/41: Alexander Hrennikoff, Beam models, Replacement of plates by lattice • 1956: M. J. Turner, Ray W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp, Stiffness and deflection analysis of complex structures (first structural calculation of airplane wings at Boing, first computer aided application of FEM) Larissa Vietzorreck CEM-Finite Element Method - 7
Computational Methods for Electromagnetics Chapter 8: Finite Element Method (FEM)
2-杆系统-FEM2012本科双语有限元法PPT-2014(哈工程中文版)
2.2 有限元表达式
T 1 cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos
f u T 1 F KT 1U
F TKT 1U
sin cos sin 2 sin cos sin 2 cos2 sin cos cos2 sin cos sin cos U iX sin 2 U iY sin cos U jX 2 U sin jY
整体坐标下的载荷和局部坐标下的载荷同理:
FiX f ix cos f iy sin
FiY f ix sin f iy cos
FjX f jx cos f jy sin
F Tf
FjY f jx sin f jy cos
Harbin Engineering University
K (G )
0 0 0 1.49
0 1.49 1.49 0 0 0 0 0 4.22 0 1.49 1.49 0 1.49 1.49
5. 施加载荷和约束条件
约束条件: 载荷:
U1X 0 U1Y 0 U 3 X 0 U 3Y 0
F4Y 500lb, F5Y 500lb
前处理
1. 离散化成节点和单元
单元element 单元节点Element nodes 整体节点System nodes
(1) i, j 1, 2 0
(2) i, j 2, 3 135
(3) i, j 3, 4 0
(4) i, j 2, 4 90
(5) i, j 2, 5 45
(6) i, j 4, 5 0
通过FEM分析找出圆形自由锻造的最优方法
通过FEM分析找出圆形自由锻造的最优方法S.K.Choi,M.S.Chun,C.J.Van Tyne,Y.H. Moon摘要：三维刚塑性有限元分析法FEM分析法已经被用来优化圆形制品的自由铸造。
当自由铸造圆形制品时，我们很难在工业环境中通过反复试验的方法获取最佳的工艺参数。
在本课题中，我们用FEM分析法来分析测试的自由铸造，我们应该关注通过设计实验何种进料速率和旋转角能得到最优铸造。
进料速率和旋转角的最优组合取决于制品的纵向方向和圆度上的量化圆径剖面。
通过对实验结果的分析，通过自由铸造法可以使最佳的工艺条件被用来获得圆形制品的最好的尺寸精度。
关键词：FEM；自由锻造；圆棒料；进给率；旋转角度1.引言自由铸造是一种金属成型工艺，是当成型毛坯介于平的和一系列简单的褶皱毛边时使用的一种工艺手法。
工件在碰撞间中旋转着打磨着，特别是大型钢型制品中的小件圆柱形刚性制品,如涡轮机转子、轴承、需求量比较大。
为了尽量减小后续加工量,这些大的组件需要在自由锻造的压力下最终变形几何近似。
为了获得满意的变形,在制造这样的大件产品时候，自由铸造工艺只是初始制造步骤。
自由铸造使制品在反复的挤压和交替乱换中减少了制品横截面积并增加了工件的长度。
此工艺是逐步增加式的完成的;每个阶段只有一小部分的工件被处理变化。
这个工具的变形压力的设置时更具制品的弹性模量和弯曲模量来设定的,相比较于大型的批量型生产工艺模具，此工具是比较小的。
在同一时间里段里，部分工件铸造比完全工件铸造负荷小，这种减小负荷量的方法可以让更多的低功能的机械用于处理某些既定的工件部分。
这是一个渐进的工艺过程，最终目标是通过反复的压缩和铸造形成最终的符合要求的形状。
自由锻造质量取决于几个控制参数;例如,模具宽度、模具构型、模具重叠区及模具交错区、钢锭的形状、温度梯度、设计方案,完成时间等。
在先前，已有大量的自由锻造模具的研究课题。
Kiefer和Shah分析了模具宽度比例和高度减少之间的对使用模具的影响。
有限元法(FEM)简介
EA ( − cosθ sin θ u1 − sin 2 θ v1 + cosθ sin θ u2 + sin 2 θ v2 ) + EA ( v2 − v3 ) l1 l2
节点3的x方向 节点3的y方向
Fx 3 = Rx23 = 0 EA 2 Fy 3 = Ry 3 = ( −v2 + v3 ) l2
u12=1，u11= v11= v12= 0
EA R = k13 = − cos 2 θ l1
1 x1
v12=1，u11= v11= u12= 0
R11 = k14 = − x R11 = k24 = − y
1 Rx 2 = k34 =
EA cos θ sin θ l1 EA 2 sin θ l1
EA R = k23 = − cos θ sin θ l1
写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
EA ( cosθ sin θ u1 + sin 2 θ v1 − cosθ sin θ u2 − sin 2 v2 ) l1
EA ( − cos2 θ u1 − cosθ sin θ v1 + cos2 θ u2 + cosθ sin θ v2 ) l1
节点2的y方向
2 Fy 2 = R1 2 + Ry 2 = y
92049-有限元法-FEM1404
(1)
(2)
Fig.2.13 A triangle and the area coordinate system
2
General Procedure of Finite Element Method
Definition of Area Coordinates
i - the area of triangle formed by the points p, j and m j - the area of triangle formed by the points p, m and i
also the shape functions, i.e.,
Li Ni (i, j, m)
(2.54)
Shape Function Matrix for a 3-node triangle element
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
Li
0
0 Li
Lj 0
0 Lj
i will vary from zero to as point p moves from side jm to
node i. In other words, the ratio Li varies from 0 to 1.
4
General Procedure of Finite Element Method
a) Integration over the area of a triangle ( )
Lai Lbj LcmdA
(a
a!b!c! bc
2 2)!
(2.59)
where a, b and c are constant integers(整常数) and a! is a
有限元分析在工程设计中的应用案例分析
有限元分析在工程设计中的应用案例分析有限元分析，简称FEA（Finite Element Analysis），是一种利用数值计算方法对复杂结构进行力学分析的技术。
它基于物理学原理，利用离散化方法将连续的结构在有限元上分解成多个互相联系但是局部地独立的单元，再通过数学算法进行求解，最终得到整个结构的力学行为。
因为它可以减少试错周期、降低开发成本和提高产品性能，所以有限元分析已经成为当今工程设计和生产领域一项非常重要的技术。
本文将介绍一些有限元分析在工程设计中的具体应用案例。
1.汽车发动机壳体优化汽车发动机壳体是承载引擎所有关键部件的重要结构，其制造复杂度很高。
为了减少开发过程中的试验成本和时间,一家风机厂专门利用有限元分析技术对汽车发动机壳体进行优化设计。
更改前发动机壳体在经过一定的较高频振动时会存在密封性能下降的现象，需要进行加强设计。
利用有限元分析技术，他们对发动机壳体进行了动力学分析，并计算了各部位的振动位移和应力分布，通过不断地修改控制点的位置和形状来提高振动阻尼性能和密封性能。
最终确定了优化方案，成功地减少了振动，提高了发动机壳体的防震性能和密封性能。
2.建筑物钢框架分析建筑物钢框架是建筑结构的重要组成部分，其承载能力和组装结构设计都需要严格控制。
如何选取更好的工艺和材料来设计出更安全可靠的钢框架结构，被许多建筑设计公司所思考。
有限元分析技术的应用可以帮助工程师确定结构的承载能力，最大应力极限和变形情况，进而实现结构的优化。
一家建筑设施的设计公司利用有限元分析技术来优化钢框架的结构，计算具体承载状况，最终确定钢框架结构的有效设计方案。
这一个优化设计方案进一步增强了建筑物钢框架的承载能力，提高了项目的整体优势性。
3.飞机负荷分析航空工业是重要的现代国家产业之一。
飞机设计、测试和生产都需要极高的准确性，而这需要大量的场地、人力和物资投入。
一家工程公司成功地利用有限元分析技术对飞机进行负荷分析并评估整体结构的强度和刚度。
有限元分析实例
有限元分析实例引言有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）是一种工程分析方法，能够将连续体结构分割成有限个小单元，通过在每个小单元内建立方程模型，最终求解整个结构的力学行为。
本文将以一个实例来介绍有限元分析的基本过程和步骤。
实例背景我们将以一个简单的杆件弯曲问题为例来进行有限元分析。
假设有一根长度为L、截面积为A的杆件，材料的弹性模量为E，截面的转动惯性矩为I。
我们希望通过有限元分析来计算杆件在一定加载条件下的弯曲变形。
有限元网格的划分首先，我们需要将杆件划分成有限个小单元，即有限元网格。
常用的网格划分方法有三角形划分、四边形单元划分等。
根据具体问题的要求和复杂度，选择合适的划分方法。
单元的建立划分好网格后，我们需要在每个小单元内建立方程模型。
在弯曲问题中，常见的单元模型有梁单元、壳单元等。
在本实例中，我们选择梁单元作为杆件的单元模型。
对于梁单元，我们需要定义每个节点的位移和约束条件。
根据杆件的几何尺寸和材料属性，可以利用应变能量原理和几何相似原理，得到每个节点的位移和约束条件。
材料特性和加载条件的定义在进行有限元分析之前，我们需要定义材料的特性和加载条件。
对于本实例中的杆件，我们需要定义弹性模量E、截面积A和转动惯性矩I。
加载条件可以包括集中力、均布力、弯矩等。
在本实例中，假设杆件受到均布力，即沿杆件轴向的受力分布是均匀的。
单元方程的建立和求解在定义了材料特性和加载条件之后，我们可以根据每个梁单元的位移和约束条件，建立每个单元的方程模型。
常见的方程模型有刚度矩阵方法、位移法等。
根据所选的单元模型，选择合适的方程模型进行计算。
通过对每个单元的方程模型进行组装，我们可以得到整个结构的方程模型。
将加载条件带入，可以求解出整个结构在给定加载条件下的位移、应力等参数。
结果分析根据求解得到的位移信息，我们可以绘制出结构的变形图。
通过变形图，可以直观地观察到结构在弯曲条件下的变形情况。
有限元分析及应用例子FEM14
有限元分析及应用例子FEM14有限元分析及应用例子FEM14有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种数值计算的方法，用于求解工程结构中的各种物理问题。
它将结构分割成有限个小单元，通过计算每个单元的行为来推断整体结构的行为。
下面将介绍有限元分析的原理，并举例说明其在实际应用中的使用情况。
有限元分析的原理是将复杂的结构问题转化为一系列简单的数学模型，通过数学方法求解这些模型的行为来预测整体结构的行为。
具体而言，有限元分析的步骤包括对结构进行离散化、建立有限元模型、确定边界条件、计算求解和分析结果。
举例来说，假设我们希望研究一根悬臂梁的变形和应力分布。
首先，我们将梁划分成若干个小单元，如梁单元。
然后，我们需要为每个单元定义适当的数学模型来描述其行为。
对于梁单元而言，可以使用简化的梁理论或柔性梁解来建立数学模型。
接下来，我们需要确定边界条件，如悬臂梁的杆端固定，另一端加载一定的力。
然后，通过求解各个单元的行为，并结合边界条件，我们可以计算整个梁的变形和应力分布。
最后，我们可以根据求解结果，分析梁的承载能力，优化设计以及进行结构改进。
1.结构力学：有限元分析可用于预测建筑物、桥梁、飞机和汽车等结构的应力分布和变形情况，以评估结构的安全性和稳定性。
例如，可以通过有限元模拟来确定一个钢梁在承受一定荷载后的变形和应力情况，以保证其设计的合理性。
2.流体力学：有限元分析可以用于模拟流体在管道、容器或其他结构中的流动情况。
例如，可以通过有限元分析预测液体或气体在流体力学系统中的流动速度和压力分布，并优化系统设计。
3.热传导：有限元分析可以用于计算热传导过程中的温度分布和热流情况。
例如，可以通过有限元分析来优化热交换器的设计，以提高传热效率。
4.振动分析：有限元分析可以用于模拟结构在受到激励时的振动情况。
例如，可以通过有限元分析来研究机械系统中的固有频率和模态形状，以减少振动和噪声。
fem计算的标准算例
fem计算的标准算例
有限元法（FEM）是一种常用的数值计算方法，可以用于解决各种工程问题。
下面以一个简单的例子来说明FEM计算的标准算例。
假设有一个形状简单的结构，例如一个长方体，我们需要对其力学性能进行有限元分析。
1. 建立模型：首先需要建立有限元模型。
在这个例子中，我们可以使用三维建模软件（例如SolidWorks、
Pro/Engineer等）来创建长方体的几何模型。
2. 划分网格：将模型划分成许多小的单元，每个单元称为一个有限元。
在这个例子中，我们可以使用有限元分析软件（例如ANSYS、ABAQUS等）自带的网格划分工具，将长方体划分成许多小的四面体单元。
3. 施加载荷：在模型上施加各种载荷，例如力、压力、温度等。
在这个例子中，我们可以施加一个力矩，使长方体绕着自己的中心旋转。
4. 求解方程：通过有限元分析软件求解有限元方程，得出每个节点的位移和应力分布情况。
在这个例子中，我们需要求解弹性力学方程，得出长方体在旋转过程中的位移和应力分布情况。
5. 结果分析：对计算结果进行后处理，例如绘制位移
云图、应力云图、应变云图等，对结果进行分析和评估。
在这个例子中，我们可以得出长方体在旋转过程中的最大位移和最大应力，评估其力学性能是否满足设计要求。
薄板有限元分析-FEM 作业
薄板有限元分析-FEM 作业1.题目描述：对于一个平面应力问题，在一个长度为30cm，宽度为20cm，中间有一椭圆的小孔的薄板，椭圆长半轴a=1cm，短半轴b=1/3cm，椭圆倾斜角度相对坐标轴X轴60度，薄板在左右两侧均受到10KN/m的均布拉伸载荷。
2.几何建模：首先建立长度为30cm，宽度为20cm的矩形板，建模单位需要转换为m，操作路径：Main menu/PreFERENCES/Preprocessor/Modeling/Creat/Areas/Rectangle/By Dimensions，弹出如下窗口，并输入尺寸参数。
建立矩形面的效果图如下矩形板中间有椭圆开孔，需要建立局部坐标系，首先将工作平面移动至矩形板中间位置，操作如下：Workplane/Offset WP by Increments，X向移动0.15m，Y向移动0.1m。
因为椭圆倾斜角度相对坐标轴X轴60度，所以需要将工作平面逆时针选择60°，如下所示。
在平面中间建立柱坐标系。
操作如下：Workplane/Local Coordinate System/Create Local CS/At WP Origin。
弹出如下菜单，设置坐标系类型为Cylindrical 1，点击OK。
其中Par1输入1/3，表示b=1/3分别通过关键点建立，建立椭圆的两个端点，坐标分别为（0.1,0,0）、（-0.01,0,0），关键点建立的操作路径如下：Main menu/PreFERENCES/Preprocessor/Modeling/Creat/ Keypoints/In Actice CS。
然后在当前坐标系下连接这两个关键点。
操作路径：Main menu/PreFERENCES/Preprocessor/Modeling/Creat/lines/In Active Coord，弹出对话框，分别拾取上述两个节点，点击OK完成建模，如下所示。
滑轮有限元分析-ANSYS FEM 大作业
滑轮有限元分析-ANSYS FEM 大作业1.问题描述某滑轮结果如下图所示,试分析结构在实际工作中的受力情况,并利用FEM类软件校核材料的强度是否满足要求。
其中天车最大钓钩载荷为3150KN，游动系统以及钢丝绳总重为150KN。
材料为Q345。
2.问题分析天车最大钓钩载荷为3150KN，游动系统以及钢丝绳总重为150KN，游车与天车选用6x7轮系，钢丝绳实际最大拉力F=（3150+150）/12=275KN。
滑轮受力图如下图所示，当钢丝绳两端拉力平行，滑轮受力最大为2F=550KN。
图1 滑轮受力分析滑轮上端面与绳索接触，所有滑轮外表面的上半面受力，且载荷不是均匀分析，而是按照正弦函数分析。
同时滑轮内表面的上半面受力，下半面为自由状态。
在有限元分析中，需要注意选择合适的边界条件和载荷加载。
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
利用简单而又相互作用的元素（即单元），就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
因为实际问题被较简单的问题所代替，所以这个解不是准确解，而是近似解。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段3.求解步骤滑轮材料为Q345，根据API Spec 8C-2012第5版4.7规定滑轮的设计安全系数不小于3，所以滑轮的许用应力为115Mpa，其中弹性模量为2.1e11Pa，泊松比为0.3。
对滑轮结构进行有限元网格划分，滑轮存在较多倒角过度细节，所以采用四面体网格进行划分，对倒角圆孔区域进行局部加密，有限元网格模型如下图所示。
举例说明圣维南原理应用
举例说明圣维南原理应用基本上所有的结构工程师都会使用到圣维南原理。
大多数结构力学教科书都收录了基于该原理的各种公式，但至今尚未对其进行严格证明。
圣维南原理指出，只要载荷的合力正确，那么在远离载荷作用区的地方，载荷的精确分布就不重要。
在本篇文章中，我们将采用有限元分析对圣维南原理进行探究。
圣维南原理的历史1855 年，法国科学家圣维南（Barré de Saint-Venant）发表了一个著名原理，但与其说这是一个严谨的数学命题，不如说是一个观察发现：“如果作用在弹性体一小块表面上的力被作用于同一块表面上的静力等效力系替代，这种替换仅使局部表面产生显著的应力变化，而在比应力变化表面的线性尺寸更远的地方，其影响可忽略不计。
”B. Saint-Venant, Mém. savants étrangers, vol. 14, 1855.圣维南肖像。
图像来源于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。
在应用力学领域，Boussinesq、Love、von Mises、Toupin 等科学家都对这一原理进行了精准的叙述，并给出了数学证明。
但是对于很多一般性问题，论证圣维南原理具有很大难度，所以对该课题的研究仍在继续（有些论据相当鲜明）。
简单案例：远距离应力分析让我们从一个简单的案例开始：对矩形薄板施加轴向拉力，与载荷作用边相隔一段距离处有一个圆孔。
假如我们要分析孔的应力集中，那么实际的载荷分布有多重要呢？我们对右侧边界施加了三种不同类型的载荷：100 MPa 的恒定轴向应力峰值振幅为 150 MPa 的对称抛物线应力分布等于上述两种载荷工况合力的中心点载荷如下方绘图所示，载荷施加方式不影响孔周围的应力分布。
当然，关键在于孔距离载荷足够远。
三种载荷工况对应的 Von Mises 应力分布。
该场景也可以使用箭头图来绘制主应力。
此图将应力场绘制为通量，从而清晰地展示了应力重新分布的变化。
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
有限元分析实例ppt课件
Stress distribution
Reaction
有限元分析典型流程
§3-5 有限元分析法存在的问题及发展方向
• 有限元模型的建立 有限元网格的自动划分与动态划分－自适应网格
• 求解过程的优化 减少计算量，降低分析成本。
• 有限元分析结果的判读和评定 采用等值线图、明暗色彩、动态图形、过程模拟
机进行分析计算的重要工具。
但是当时限于国内大中型计算机很少，大约只有杭州汽轮机厂的 Siemens7738和沈阳鼓风机厂的IBM4310安装有上述程序，所以用户 算题非常不方便，而且费用昂贵。PC机的出现及其性能奇迹般的提高， 为移植和发展PC版本的有限元程序提供了必要的运行平台。可以说国内 FEA软件的发展一直是围绕着PC平台做文章。在国内开发比较成功并拥 有较多用户（100家以上） 的有限元分析系统有大连理工大学工程力学 系的FIFEX95、北京大学力学与科学工程系的SAP84、中国农机科学研 究院的MAS5.0和杭州自动化技术研究院的MFEP4. 等。但正如上面所述， 国外很多著名的有限元分析公司已经从前些年对PC平台不屑一顾转变为 热衷发展，对国内FEA程序开发者来说发展PC版本不再具有优势。
单元类型选择
Element type：
3结点三角形平面应力单元
单元特性定义 Element properties：
材料特性：E, µ 单元厚度：t
网格划分
Mesh 1
Total number of elements:356 Total number of nodes:208
Mesh 2
Total number of elements:192 Total number of nodes:115
Rotor Dynamics（转子动力学分析） ：转子动力学分析主要解决旋转机械
有限元分析及应用案例分析
效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离
这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。
60
61
62
均匀分布载荷作用 下的平板，应力分 布是均匀的。
材料力学中的拉伸 应力计算公式就是 圣维南原理应用的 结论。
63
一对集中力F/2作 用点区域仍然有比 较大的应力梯度变 化，但是比等效力 系F作用的变化小。
变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学
中相应的称为几何方程和物理方程。平衡（或运动）
方程、几何方程和物理方程以及边界条件，称为弹
性力学的基本方程。
46
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、 几何、物理三方面条件，得出其基本微分方 程，再进行求解，最后利用边界（表面）条 件确定解中的常数，这就是求解弹性力学问 题的基本方法。
47
2.5 空间问题的基本方程
dz
dy
dx
48
将正应力和正应变简写成 3D情形下的力学基本变量
49
b
c
zx zx
b’
zy zy
yz
c’ yz
xz
xz
a a’
xy xy
d
yx yx
d’
a’
50
由力平衡条件 X0 有：
xxxdxdy dzxdy dzyx yyxdydx dyzxdxd
zx zzxdzdx dzyxdx dXydxd 0ydz
9
瑞利(Rayleigh)
在19世纪末及 20世纪初，数 学家瑞利和里 兹（Rayleigh Ritz）首先提出 可对全定义域 运用展开函数 来表达其上的 未知函数。
10
1915年，数学家伽辽金(Galerkin)提出了选 择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法 被广泛地用于有限元。1943年，数学家库 朗德第一次提出了可在定义域内分片地使 用展开函数来表达其上的未知函数。这实 际上就是有限元的做法。
92038-有限元法-FEM1413-2
Plate/shell structure is thin in one direction.
9
Finite Element Analysis for Plates and Shells
Classification of Plates/Shells For common engineering judgment, if h/b denotes the ratio of the
displacement parameters to formulate the plate element. 18
Finite Element Analysis for Plates and Shells
6.2.1 Thin Plate Theory Consider a thin plate with the Cartesian coordinates x, y and z,
points in midsurface (z = 0) are zero, and the transverse deflection
w at any point inside the plate can be expressed by the deflection
of midsurface as its irrelevancy to z coordinate.
shell structure.
3
Finite Element Analysis for Plates and Shells
Boeing 717 – 200 Fuselage
4
FiniBteoEeleimnegnt AAniarlcysrisaffotr Plates and Shells
Boeing 717 – 200 Fuselage
92042-有限元法-FEM1410
shows this is indeed possible.
w x 2 23x 34x2
rigid – bode displacement.
(当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。
这样，位移插值函数不但要具有描述单元本身形变的能力，而
且还要具有描述由于其他单元形变而通过节点位移引起单元刚
体位移的能力，即位移模式必须能包含单元的刚体位移。 ).
u 1 v 4
2 5
x x
element(位移模式在单元内要连续). (b) As the size of an element decreases, the stresses in that
element must approach constant values(当单元尺寸无限缩 小时，单元中的应力应趋于常量。).
6
Analysis of Three – Dimensional Problems
components must be continuous across a boundary(保持相邻
单元之间有位移斜率的连续性).
Beam
Element: x
y
2w x2
(位移模式在单元内要连续并使相邻单元间的位移必须协调。)12
Analysis of Three – Dimensional Problems
Displacement Function: w 1 2x 3x2 4x3 (a)
To
satisfy
the
completeness
conditions,
w,
w x
and
2w x2
must all be capable of assuming a constant value(位移插值函数要具
FEM有限元分析
( 0.45 − x ) 2 ∫0 r x 4 − r x 4 dx = 0.000020728P { 2 ( ) 1 ( ) }
2 0.45
2 max 2
∫ 2GI
0.45 P Q ( x) 8P dx = 2 ∫0 4 4 ( x)b ( x) 9π G r2 ( x ) − r1 ( x )
2 0.43
0.43 P Q ( x) 8P dx = 2 ∫ 2GI ( x)b ( x) 9π G ∫0 4 4 r2 ( x ) − r1 ( x )
2 max 2
2
2 max 2
{ {
r2 ( x ) − r1 ( x )
3
3 2
} dx = 0.000897 P }
2
2
T = 0.000000377 P 2 + 0.000897 P 2 = 0.0008974 P 2
Pmax = Pmax =
1640.384 = 1352.0095 N 0.0008974 1547.627 = 1313.228 N 0.0008974
Pmax =
E = 75 ×109 Pa
G = 4.714 ×109 Pa G = 28 × 109 Pa ε = 0.4 ε = 0.33
Home run Wood
r ( x ) = 0.000372 x + 0.012
Aluminum1
r1 ( x ) = 0.000447 x + 0.009, r2 ( x ) = 0.000447 x + 0.011
2 0.21 2 max 2
∫ 2GI
0.21 P Q ( x) 8P dx = 2 ∫0 4 4 ( x)b ( x) 9π G r2 ( x ) − r1 ( x )
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第9章受内外压筒体的有限元建模与应力变形分析(Project 2)计算分析模型如图9-1 所示, 习题文件名: cylinder。
X(a)σO=100N/mm2σI =200N/mm2γ =7.85g/cm3µ =0.3E =210000N/mm2(b)图9-1 计算分析模型9.1进入ANSYS程序→ANSYSED 6.1ed →Interactive →change the working directory into yours→input Initial jobname: cylinder→Run9.2 设置计算类型ANSYS Main Menu: Preferences…→select Structural →OK9.3 选择单元类型ANSYS Main Menu: Preprocessor → Element Type →Add/Edit/Delete… → Add… →select Solid Quad 4node 42 →Apply →select Solid Brick 8node 45 → OK → Close (the ElementTypes window)9.4定义材料参数ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Materials Models →Structural→Lineal →Elastic→Isotropic…→input EX:2.1e5, PRXY:0.3→ OK 关闭材料定义窗口9.5构造筒体模型➊生成模型截平面ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling→Create →Keypoints →In Active CS… →按次序输入横截平面的十个特征点和旋转对称轴上两点坐标（十个特征点：(300,0,0), (480,0,0), (480,100,0), (400,100,0), (400,700,0), (480,700,0), (480,800,0), (300,800,0), (300,650,0), (300,150,0)，对称轴上两点：(0,0,0), (0,800,0)）（每次输入完毕，用Apply结束，0可以不输入）→Cancel (back to Create window) →-Areas- Arbitrary → Through KPs →依次连接截面边线上的十个特征点(注意在选完第10点后结束，不要再选第1点)→ OK➋对平面进行网格划分ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing→Mesh Tool →(Size Controls) Globl: Set →input SIZE (element edge length): 50 →OK (back to MeshTool window)→Mesh → Pick All (in Picking Menu) → Close( the MeshTool window)➌用旋转法生成筒体模型ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling→Operate →Extrude→Elem Ext Opts→select TYPE:SOLID 45→Element sizing options for extrusion No. Elem divs: 1→OK (back to Extrude window)→Areas →About Axis →Pick All(in Picking Menu)→OK→Pick the two keypoints (11,12) of the Symmetrical Axis → OK→input ARC: 90; NSEG: 3→ OK9.6 模型加位移约束ANSYS Main Menu: Solution→Define Loads →Apply→Structural→Displacement➊两截面分别加Z, X方向的约束ANSYS Utility Menu: Select → Entities…→Nodes → By Location →select X coordinates →input 0→ OK (back to Displacement window)→On Nodes → Pick All(in Picking Menu) → select Lab2:UX →OK →ANSYS Utility Menu: Select → EverythingANSYS Utility Menu: Select → Entities…→ Nodes → By Location →select Z coordinates →input 0→ OK (back to Displacement window)→On Nodes →Pick All(in Picking Menu) → select Lab2:UZ →OK →ANSYS Utility Menu: Select →Everything➋底面加Y方向的约束ANSYS Utility Menu: Select → Entities… → Nodes → By Location →select Y coordinates →input 0→ OK (back to Displacement window)→On Nodes →Pick All(in Picking Menu) →select Lab2:UY → OK →ANSYS Utility Menu: Select →Everything9.7 模型加载荷ANSYS Main Menu: Solution→ Define Loads→Apply→Structural→Pressure →On Areas →pick the Internal Load Surface of model (Total 6 areas) → OK→input V ALUE:200 → Apply →(忽略警告信息)pick the External Load Surface of model → OK→input V ALUE:100→ OK9.8 分析计算ANSYS Main Menu: Solution→ -Solve- Current LS→OK (to close the Solve Current Load Step window)9.9 结果显示ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results→Deformed Shape…→select Def + Undeformed→OK (back to Plot Results window)→ -Contour Plot- Nodal Solu…→select: Stress, Von Mises, Def + Undeformed→OK9.10 退出系统ANSYS Utility Menu: File→Exit…→ Save Everything→OK9.11完全的直接命令输入方式操作finish !finish the last case/clear,start !restart/prep7 !preprocessoret,1,plane42 !define the elementset,2,solid45mp,ex,1,210000 !define materials parametersmp,prxy,1,0.3k,1,300,,, !define key points of section framek,2,480,,,k,3,480,100,,k,4,400,100,,k,5,400,700,,k,6,480,700,,k,7,480,800,,k,8,300,800,,k,9,300,650,,k,10,300,150,,k,11,,,, !define key points of revolving axisk,12,,800,0a,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 !link the key points to an areaesize,50,, !define element edge lengthamesh,all !meshing the areatype,2 !define the following element typeextopt,esize,1,0 !define element division number when extruding vrotat,all,,,,,,11,12,90,3 !extrude (sweep) the area with meshes/solution !define the load and run this casensel,s,loc,x,0 !select all nodes whose x coordinate are 0d,all,ux,0 !constrain the node's x DOFallsel,allnsel,s,loc,z,0 !select all nodes whose z coordinate are 0d,all,uz,0 !constrain the node's z DOFallsel,allnsel,s,loc,y,0 !select all nodes whose y coordinate are 0d,all,uy,0 !constrain the node's y DOFallsel,allsfa,10,1,pres,200 !define pressure on the inner area of cylinder sfa,21,1,pres,200sfa,32,1,pres,200sfa,5,1,pres,100 !define pressure on the outter area of cylinder sfa,16,1,pres,100sfa,27,1,pres,100solve !runfinish/view,1,1,2,3/post1 !postprocessorplnsol,s,eqv,0,1 !plot the contour of von-Mises stressfinish !end。