(完整版)1.3.1二项式定理(一)
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1.3.1二项式定理优秀课件
选做题： 1.求多项式：
2 3 4
(1 x ) (1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
的展开式中 x 的系数. 2.求230除以9所得的余数.
2
5
谢谢指导！
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是
课件2:1.3.1 二项式定理
()
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】二项式(1＋3x)n 的展开式的通项是 Tr＋1＝Crn1n－r·(3x)r＝Crn·3r·xr.依题意得 C5n·35＝Cn6·36，即n（n－1）（n－2） 5！（n－3）（n－4） ＝3×n（n－1）（n－2）（n6－ ！3）（n－4）（n－5）(n≥6)， 解得 n＝7.
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[思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开； (2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求 解．
解: (1)(2x－23x2)5＝C05(2x)5＋C51(2x)4·(－23x2)＋…＋C55(－23x2)5
＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗？
答：能，(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnnbn.
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cnran－rbr ＋…＋Cnnbn(n∈N＋) 所表示的规律叫做二项式定理．
2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数． (3)展开式中的Crnan－rbr 叫做二项展开式的通项，记作： Tr＋1 ，它表示展开式的第 r＋1 项． (4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n ＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn .
展开式具有以下特点 (1)项数：共有 n＋1 项； (2)二项式系数：依次为 Cn0，Cn1，Cn2，…，Crn，…，Cnn； (3)每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幂、 b 的升幂排列展开； (4)通项是第 r＋1 项．
1.3.1 二项式定理 课件
二.求展开式中的项及项的系数
例2.(1)求(1+2x) 的展开式的第4项的系数
7
和倒数第四项。 19 (2)求( x ) 的展开式中x3的系数。 x
分析：法1：转化为通项公式来求； 法2：利用组合数知识来求；
四：求有理项
例4 求
x3 x
r 9
1 2
解: Tr 1 C ( x ) ( x )
若令a=1,b=x，则得到：
(1+x)n =1+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn
若令a=1,b= -x，则展开式又如何？
(1-x)n =1-Cn1x+ Cn2x2+ … +(-1)kCnkxk +…+(-1)n Cnnxn
典型题型 分析与研究
一.公式的正用
例1. 用二项式定理展开下列各式：
A.-28 B.-7 C.7 D.28
课堂小结
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n 1 n 1 n r n r r n n n n
———二项式定理
2）区别二项式系数，项的系数
(n N )
1）注意二项式定理中二项展开式的特征
Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥·＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn
(n∈N*)
二项式定理
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*)
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
数学：《二项式定理》课件可编辑全文
3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项. 4.展开式中的每一项都来自于 n 个括号的各个括号.
5.注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 Crn(r 0,1, 2, , n)
项的系数为：二项式系数与数字系数的积.
二项式定理
例题讲解
例 1．求 (2 x 1 )6 的展开式. x
64 x 3
192x2
240 x
160
60 x
12 x2
1 x3
.
二项式定理
【1】求 (3x 1 )4 的展开式. x
(3x
1 x
)4
81x4
5
108x 2
54 x
12
x
1 2
x 2
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数； （2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
解：（1） (1 2x)7 的展开式的第 4 项是
T31 C73 173 (2 x)3 C73 23 x3 35 8x3 280x3 .
所以展开式的第4项的系数是280.
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数；
（2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
（2）解： (x 1 )9 的展开式通项是 x
C9r
x9r
(
1 x
)
r
(1)r C9r x92r ,
根据题意，得 9 2r 3,
r 3.
因此， x3 的系数是 (1)3C93 84 ．
二项式定理
1. 求 (2a 3b)6 的展开式的第 3 项. 答案：T3 2160a4b2 .
5.注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 Crn(r 0,1, 2, , n)
项的系数为：二项式系数与数字系数的积.
二项式定理
例题讲解
例 1．求 (2 x 1 )6 的展开式. x
64 x 3
192x2
240 x
160
60 x
12 x2
1 x3
.
二项式定理
【1】求 (3x 1 )4 的展开式. x
(3x
1 x
)4
81x4
5
108x 2
54 x
12
x
1 2
x 2
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数； （2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
解：（1） (1 2x)7 的展开式的第 4 项是
T31 C73 173 (2 x)3 C73 23 x3 35 8x3 280x3 .
所以展开式的第4项的系数是280.
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数；
（2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
（2）解： (x 1 )9 的展开式通项是 x
C9r
x9r
(
1 x
)
r
(1)r C9r x92r ,
根据题意，得 9 2r 3,
r 3.
因此， x3 的系数是 (1)3C93 84 ．
二项式定理
1. 求 (2a 3b)6 的展开式的第 3 项. 答案：T3 2160a4b2 .
课件9：1.3.1 二项式定理
人教版数学 ·选修2-探3 究三 整除或余数问题 典例 3 求证：5151－1 能被 7 整除．
证明：∵5151－1＝(49＋2)51－1 ＝4951＋C151·4950·2＋C251·4949·22＋…＋C5501·49·250＋251－1. 可以看出：展开式中除 251－1 外，其余各项都能被 7 整除． 而 251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1 ＝717＋C117·716＋C217·715＋…＋C1176·7＋1－1 ＝717＋C117·716＋C217·715＋…＋C1176·7.
人教版数学 ·选修2-3
解法二 9192＝(90＋1)92＝C092·9092＋C192·9091＋…＋C9920·902＋ C9912·90＋C9922. 前 91 项均能被 100 整除，剩下两项和为 92×90＋1＝8 281，显 然 8 281 除以 100 所得余数为 81.
人教版数学 ·选修2-3
4．(2x＋ x)5 的展开式中，x3 的系数是________．(用数字填写 答案) 【解析】设展开式的第 k＋1 项为 Tk＋1，k∈{0,1,2,3,4,5} ∴Tk＋1＝Ck5(2x)5－k( x)k＝Ck525－kx5－2k. 当 5－2k＝3 时，k＝4，即 T5＝C4525－4x5－42＝10x3.
人4.教x版2－数2学1x·9选的修展2-开3 式中，第 4 项的二项式系数是________， 第 4 项的系数是________． 【解析】Tk＋1＝Ck9·(x2)9－k·－21xk＝－12k·Ck9·x18－3k，当 k＝3 时， T4＝－123·C39·x9＝－221x9，所以第 4 项的二项式系数为 C39＝84， 项的系数为－221.
人学教版以数致学用·选修2-3 1．化简：1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn. 解：原式＝C0n＋C1n(－2)1＋C2n(－2)2＋C3n(－2)3＋…＋Cnn(－2)n ＝(1－2)n＝(－1)n.
1.3.1二项式定理
该项是指展开式的第 r+1 项.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
定理应用， 初步体验
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
二项式定理：
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N)
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等 代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*） 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此， 二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。 那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2x)7的展开式中
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是 什么？
四、理论迁移（一）
例1
（1）求
x
1
7
的展开式.
x
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
（2）求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
定理应用， 初步体验
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
二项式定理：
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N)
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等 代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*） 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此， 二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。 那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2x)7的展开式中
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是 什么？
四、理论迁移（一）
例1
（1）求
x
1
7
的展开式.
x
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
（2）求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
1.3.1二项式定理
C54a1b4 C55b5 a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5
练习：展开 2
x
1
6
x
结果参看教材31页例1
二项式定理：
(a＋b
)
n
＝
C 0an＋C n
1an-1b＋C
n
n 2an-2b2＋…＋C
nran-rbr＋…＋
C
n nbn
通项公式（第r+1项）：
Tr+1＝C nran-rbr ；其中 C nr称为第r+1项的二项式系数。
x
二项式定理展开式中a与b是用“＋”连接的，即
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cnr an－rbr＋…＋ Cnnbn，
在实际运用时注意正确选择a、b。
通项公式Tr+1＝C
nran-rbr
是指第r＋1项，其中
（见例3）
C
nr称为第
r+1项的二项式系数。
注意正确区分二项式系数与项的系数。（见例3）
(a＋b)3＝(
a2 a＋b
)(
＝aa＋b ba)b(
b2 a＋b
)
＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
C03a3 C13a2b C23ab2 C33b3
共有四项
a3 : 每个括号都不取b的情况有C03 种， 所以a3的系数是 C03
a2b: 相当于有一个括号中取b的情况有 C13 种，所以a2b的系数是 C13 同理，ab2 有 C23 个； b3 有 C33 个；
3）若取a=1，b=x则得一个重要公式：
(1+x)n=1+ C1n x+ C2nx2+…+ Crn xr +…+ Cnnxn
练习：展开 2
x
1
6
x
结果参看教材31页例1
二项式定理：
(a＋b
)
n
＝
C 0an＋C n
1an-1b＋C
n
n 2an-2b2＋…＋C
nran-rbr＋…＋
C
n nbn
通项公式（第r+1项）：
Tr+1＝C nran-rbr ；其中 C nr称为第r+1项的二项式系数。
x
二项式定理展开式中a与b是用“＋”连接的，即
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cnr an－rbr＋…＋ Cnnbn，
在实际运用时注意正确选择a、b。
通项公式Tr+1＝C
nran-rbr
是指第r＋1项，其中
（见例3）
C
nr称为第
r+1项的二项式系数。
注意正确区分二项式系数与项的系数。（见例3）
(a＋b)3＝(
a2 a＋b
)(
＝aa＋b ba)b(
b2 a＋b
)
＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
C03a3 C13a2b C23ab2 C33b3
共有四项
a3 : 每个括号都不取b的情况有C03 种， 所以a3的系数是 C03
a2b: 相当于有一个括号中取b的情况有 C13 种，所以a2b的系数是 C13 同理，ab2 有 C23 个； b3 有 C33 个；
3）若取a=1，b=x则得一个重要公式：
(1+x)n=1+ C1n x+ C2nx2+…+ Crn xr +…+ Cnnxn
1.3 1.3.1 二项式定理课件人教新课标
栏目 导引
第一章 计数原理
求二项展开式中的特定项或其系数
已知
x－2xn展开式中第三项的系数比第二项的系数大
162，求：
(1)n 的值；
(2)展开式中含 x3 的项.
栏目 导引
第一章 计数原理
【解】 (1)因为 T3＝C2n( x)n－2(－2x)2＝4C2nxn－2 6， T2＝C1n( x)n－1(－2x)＝－2C1nxn－2 3， 依题意得 4C2n＋2C1n＝162，所以 2C2n＋C1n＝81， 所以 n2＝81，n＝9. (2)设第 r＋1 项含 x3，则 Tr＋1＝C9r( x)9－r(－2x)r＝(－2)rC9rx9－23r， 所以9－23r＝3，r＝1，所以第二项为含 x3 的项， T2＝－2C19x3＝－18x3.
)
A．80
B．－80
C．40
D．－40
答案：C
栏目 导引
第一章 计数原理
(1＋2x)5 的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项 式系数为________. 答案：40 10
栏目 导引
第一章 计数原理
二项式定理的正用与逆用 (1)用二项式定理展开1＋1x4； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
栏目 导引
第一章 计数原理
【解】 (1)法一：1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4 ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14. 法二：1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4·(x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1) ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1) ＋C55(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
1.3.1二项式定理
变式: 求(x2+3x+2)5展开式中 x 的系数. ∵ (x2+3x+2)5=(1+x)5(2+x)5
∴ x 的系数是C50C51 24 C51C50 25=240
熟能生巧
求（1-x3)(1+x)10展开式中x5的系数. 207
小结
1. 二项式定理:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnnbn 2. 二项展开式的通项: Tr+1= Cnran-rbr
下面分析一下形如a2-kbk的项的个数
a2项，没有b，相当于从２个(a+b)中取 0
个b(即都取a),有C20种取法，即有 C20个a2，即
a2项的系数为：C
0 2
ab项，相当于从２个(a+b)中取 1个b,有
C
1 2
种取法，即有 C21个ab，即ab项的系数为：C21
b2项的系数呢？
问题:以(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4, …,(a+b)n的展开 式中有多少项?每一项有何特点?
④各项次数都等于二项式的次数n,a按降幂 排列,次数由n递减到0，b按升幂排列,次数 由0增到n。
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnn bn
【练习一】 求 展 开 式
1.(1+x)n的展开式是
_1___C__n1_x___C_n2_x_2_______C_n_r x_r_______x_n_.
2. (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1
∴ x 的系数是C50C51 24 C51C50 25=240
熟能生巧
求（1-x3)(1+x)10展开式中x5的系数. 207
小结
1. 二项式定理:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnnbn 2. 二项展开式的通项: Tr+1= Cnran-rbr
下面分析一下形如a2-kbk的项的个数
a2项，没有b，相当于从２个(a+b)中取 0
个b(即都取a),有C20种取法，即有 C20个a2，即
a2项的系数为：C
0 2
ab项，相当于从２个(a+b)中取 1个b,有
C
1 2
种取法，即有 C21个ab，即ab项的系数为：C21
b2项的系数呢？
问题:以(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4, …,(a+b)n的展开 式中有多少项?每一项有何特点?
④各项次数都等于二项式的次数n,a按降幂 排列,次数由n递减到0，b按升幂排列,次数 由0增到n。
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnn bn
【练习一】 求 展 开 式
1.(1+x)n的展开式是
_1___C__n1_x___C_n2_x_2_______C_n_r x_r_______x_n_.
2. (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1
课件7：1.3.1 二项式定理
解：由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1 ＝C6r(2 x)6－r·(－1x)r
∴第 6 项的二项式系数为 C65＝6， 第 6 项的系数为 C56·(－1)·2＝－12.
(2)设展开式中的第 r＋1 项为含 x3 的项，则 Tr＋1＝C9r x9－r·(－1x)r＝(－1)r·Cr9·x9－2r， ∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含 x3， 其系数为(－1)3·C39＝－84.
类型 3 求展开式中的特定项
例3
已知
x＋ 2 3
n
的展开式的前三项系数的和为
x
129，试问这个展开式中是否存在常数项？有理项？如
没有，说明理由；由有，求出这些项．
解：通项公式为： 又∵24－6 5r＝4－56r，
∴当 r＝0 或 r＝6 时，24－6 5r∈Z， 即展开式中存在有理项，
它们是 T1＝x4，T7＝C68·26·x－1＝1 7x92； 显然 4－56r＝0 无整数解，所以这个展开式中无常数项．
1.3.1 二项式定理
1.会证明二项式定理．(难点) 课标
2．掌握二项式定理及其展开 解读
式的通项公式．(重点)
知识点 二项式定理 问题导思
我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项 式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4 的展开式？上述两个等式 的右侧有何特点？你能用组合的观点说明(a＋b)4 是如 何展开的吗？
3．已知(ax－ 2x)9 的展开式中 x3 的系数为94，则 a＝___. 【解析】 令 Tr＋1＝Cr9(ax)9－r(－ 2x)r＝94x3，
∴C98a(－ 12)8＝94，∴a＝4. 【答案】 4
4．(1)求(x＋a)12 的展开式中的倒数第 4 项； (2)求(2a＋3b)6 的展开式中的第 3 项； (3)求(3b＋2a)6 的展开式中的第 3 项；
1.3.1-2二项式定理
2 2 （ a a a ) ( a a ) 则 0 2 4 的值是____. 1 3
,
2.C 3C 9C 3 C 等于 _______
1 2 3 n-1 n n n n n 5 3.。、已知 (1 2 x) 展开式中第2项大于它的相邻 两项，求x的范围。
2 n 4、已知 ( x 2 ) 的展开式中，第5项的系数与 x
1.3.1 二项式定理(一)
目标：
1、会证明二项式定理． 2、掌握二项式定理及其展开式的通项公式． 3、能解决与二项展开式有关的简单问题．
重点：
利用通项公式求特定项或其系数．
难点：
二项式定理展开式每一项来历的理解
易混点：
二项式系数与二项展开式中某项的系数．
一、课前练习:
1．乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 c5 有___ 45 项.
00
1、（ 2+ 3) 的展开式中，无理项的个数有多少项？
84
2、若对于任意实数x,有x 3 =a 0 +a1 (x-2)+a 2 (x-2) 2 +a 3 (x-2)3 , 则a 2的值为多少？
6
课外作业: 4 2 3 4 1.若（2 x 3) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x
r
2、二项式系数：C ( r 0,1, 2,...n)
r n
二项展开式的特点: ①项数：共n＋1项 ②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中 a、b的指数和为n r ③系数:第r＋1项的二项式系数为 C n (r＝0,1,2…n）
④二项展开式定理是恒等式（赋值法）
特殊地: 1.把b用-b代替 0 n r n-r r 1 n n -1 r (a-b) = Cna -Cna b+ … +(-1) Cna b
,
2.C 3C 9C 3 C 等于 _______
1 2 3 n-1 n n n n n 5 3.。、已知 (1 2 x) 展开式中第2项大于它的相邻 两项，求x的范围。
2 n 4、已知 ( x 2 ) 的展开式中，第5项的系数与 x
1.3.1 二项式定理(一)
目标：
1、会证明二项式定理． 2、掌握二项式定理及其展开式的通项公式． 3、能解决与二项展开式有关的简单问题．
重点：
利用通项公式求特定项或其系数．
难点：
二项式定理展开式每一项来历的理解
易混点：
二项式系数与二项展开式中某项的系数．
一、课前练习:
1．乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 c5 有___ 45 项.
00
1、（ 2+ 3) 的展开式中，无理项的个数有多少项？
84
2、若对于任意实数x,有x 3 =a 0 +a1 (x-2)+a 2 (x-2) 2 +a 3 (x-2)3 , 则a 2的值为多少？
6
课外作业: 4 2 3 4 1.若（2 x 3) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x
r
2、二项式系数：C ( r 0,1, 2,...n)
r n
二项展开式的特点: ①项数：共n＋1项 ②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中 a、b的指数和为n r ③系数:第r＋1项的二项式系数为 C n (r＝0,1,2…n）
④二项展开式定理是恒等式（赋值法）
特殊地: 1.把b用-b代替 0 n r n-r r 1 n n -1 r (a-b) = Cna -Cna b+ … +(-1) Cna b
二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1.3.1二项式定理ppt课件
变 形 求 1 + 2 x - 3 x 2 5 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 x y 2 z 7 的 展 开 式 中 x 2y3z2项 的 系 数
变 形 求 1 x 3 1 x 10 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 2 x 2 1 x 5 的 展 开 式 中 x 3的 系 数
( x 3x ) 项的二项式系数比为14：3，求展2 开式中不含x 的项。
2 (2)已知
的展开式n中，第5项的系数与
( x x ) 第3 项的系数比为56：3，2求展开式中的常数项。
变形2x-1xn的展开式中含x12的系数与含x14的系数比
为5，求n？
变形 f x12xm13xn的展开式中x
的系数为13，求x2的系数？
n 36C71 34C73 32C75，求m n
2、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________
赋值法
变形:若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
8
( x + 1 ) 6、若
展开式中前n 三项系数成等差
24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
7、求： ( x 3 ) 9 3x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项 ③展开式中的有理项
课件3:1.3.1 二项式定理
【解析】本题主要考查二项式定理及二项展开式的性质． (1＋2x)5 展开式中的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，令 r＝2 得 T3＝40x2，∴x2 的系数为 40，故选 B. 【答案】B
4.在(1＋x＋mx2)10 的展开式中，求使 x4 的系数取最小值时 m 的 值． 解:∵(1＋x＋mx2)10＝[1＋(x＋mx2)]10，
解:Tr＋1＝Crn·(3xn－r·－231r x
＝Crn(x13)n－r·－12·x－13r＝－12r·Crn·xn－32r.
(1)∵第 6 项为常数项，∴r＝5 时有n－32r＝0，∴n＝10.
(2)令n－32r＝2，得 r＝12(n－6)＝2，
∴所求的系数为 C210－122＝445.
(3)根据通项公式，由题意得：100≤－r3≤210r∈Z
(3)二项式定理中，a，b 一般是不能交换的，即(a＋b)n 与(b ＋a)n 是有区别的．
二、正确理解二项式系数与特定项的系数 二项展开式中，系数 Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数，它
是一组仅与二项式的幂指数 n 有关的 n＋1 个组合数，而与 a，b 无关．即展开式的第 r＋1 项的二项式系数与第 r＋1 项的系数是不 同的概念．如在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3·(2x)3. 其二项式系数是 C37，而第 4 项的系数是 C37·23，它们既有区别， 又有联系．二项式系数的和是 2n，求二项展开式各项的系数和一 般用赋值法解决．
三、二项展开式的通项公式 展开式中的 Crnan－rbr 项叫做二项展开式的通项，它是展开
式的第 r＋1 项，即 Tr＋1＝Crnan－rbr(其中 0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)， 我们把上面的公式叫做二项展开式的通项公式．
4.在(1＋x＋mx2)10 的展开式中，求使 x4 的系数取最小值时 m 的 值． 解:∵(1＋x＋mx2)10＝[1＋(x＋mx2)]10，
解:Tr＋1＝Crn·(3xn－r·－231r x
＝Crn(x13)n－r·－12·x－13r＝－12r·Crn·xn－32r.
(1)∵第 6 项为常数项，∴r＝5 时有n－32r＝0，∴n＝10.
(2)令n－32r＝2，得 r＝12(n－6)＝2，
∴所求的系数为 C210－122＝445.
(3)根据通项公式，由题意得：100≤－r3≤210r∈Z
(3)二项式定理中，a，b 一般是不能交换的，即(a＋b)n 与(b ＋a)n 是有区别的．
二、正确理解二项式系数与特定项的系数 二项展开式中，系数 Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数，它
是一组仅与二项式的幂指数 n 有关的 n＋1 个组合数，而与 a，b 无关．即展开式的第 r＋1 项的二项式系数与第 r＋1 项的系数是不 同的概念．如在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3·(2x)3. 其二项式系数是 C37，而第 4 项的系数是 C37·23，它们既有区别， 又有联系．二项式系数的和是 2n，求二项展开式各项的系数和一 般用赋值法解决．
三、二项展开式的通项公式 展开式中的 Crnan－rbr 项叫做二项展开式的通项，它是展开
式的第 r＋1 项，即 Tr＋1＝Crnan－rbr(其中 0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)， 我们把上面的公式叫做二项展开式的通项公式．
二项式定理
(a b)n ?
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
①项：
n
an an1b L ankbk L
bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分 析a nkbk
k个(a b)中选b
n个(a b)相乘
C
k n
③展开式：
n k个(a b)中选a
探究1 推导 (a b)3 的展开式.
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
① 项： a 3 a 2b ab2 b3
② 系数：
C1
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
a 3k b k
k 0,1,2,3
C
k 3
分析a2b (a b)(a b)(a b)
C (a b)(a b)(a b)
所以 a3C25＝－80，a＝－2.
练习
小结
1.二项式定理：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n1b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N
*
)
(1)二项式系数：
C
k n
(k 0,1,2,
, n)
(2)二项展开式的通项：
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式. (2) 用计数原理分析二项式的展开过程. (3) 类比、等价转换的思想.
完整版)二项式定理教案
完整版)二项式定理教案1.3.1 二项式定理（第一课时）一、教学目标1.知识与技能1）理解二项式定理，并能简单应用。
2）能够区分二项式系数与项的系数。
2.过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3.情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在研究的过程中养成独立思考的好惯，在自主研究中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教学重点难点1.教学重点：二项式定理及二项式定理的应用。
2.教学难点：二项式定理中单项式的系数。
三、教学设计教学过程一、新课讲授引入：让学生回顾多项式乘法法则，利用排列、组合理解，写展开式，设计意图是师生活动展开(a+b)²、(a+b)³。
学生完成：a+b)² = a²+2ab+b²a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³分析(a+b)的展开式：展开式有3项，a、b的指数分别为2、1、0，各项系数分别为1、2、1.教学过程设计意图是师生活动恰有1个因式选b的情况有C₂¹种，所以ab的系数是C₂¹；2个因式选b的情况有C₂²种，所以b的系数是C₂²；每个因式都不选b的情况有C₂⁰种，所以a的系数是C₂⁰。
思考3个问题：1.项数2.每一项a、b的指数和3.各项的系数是什么？a+b) = C₁aCb类比展开(a+b)³：a+b)³ = C₃¹a²b+C₃²ab²+C₃³b³归纳、类比(a+b)的展开式。
二、二项式定理：a+b)ⁿ = C₀aⁿ+C₁aⁿ⁻¹b+。
+Cₙbⁿ学生完成：按照a的降幂排列，解释ab的系数。
二项式定理
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(2)设第 r＋1 项含 x3 项，
则 Tr＋1＝Cr9( x)9－r－2xr＝(－2)rCr9x
，
所以9－23r＝3，r＝1，
所以第二项为含 x3 的项：T2＝－2C19x3＝－18x3. 二项式系数为 C19＝9.
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1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项． [解] 通项公式为： Tk＋1＝(－2)kCk9x . 由9－23k＝0 得 k＝3. ∴展开式中的常数项为(－2)3C39＝－672.
单问题．(重点、难点)
运算素养.
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自主预习 探新知
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1．二项式定理 (a ＋ b)n ＝ _C__0na_n_＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__C__2na_n_－_2_b_2＋__…__＋__C_kn_a_n_－_kb_k_＋__…__＋__C_nn_b_n_ (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，展开 式中一共有_n_＋__1__项． (3)二项式系数：各项的系数_C__kn_ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项 式系数．
B．10
C．11
D．12
B [由二项式定理的公式特征可知 n＝10.]
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2．C0n·2n＋C1n·2n－1＋…＋Ckn·2n－k＋…＋Cnn等于(
)
A．2n
B．2n－1
C．3n
D．1
C [原式＝(2＋1)n＝3n.]
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3．(1＋2x)5 的展开式的第 3 项的系数为________，第 3 项的二 项式系数为________．
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2．(1)(2017·高考全国卷)1＋x12(1＋x)6 展开式中 x2 的系数为 ()
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二项式定理： 对于任意n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 +
L + Crnan-rbr +L + Cnnbn
注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数
(2) 展开式的项数为 n+1 项；
(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个（a+b）在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。 由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），
其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；
对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b) 选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取 k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开 式，这就是二项式定理。
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开Βιβλιοθήκη 其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。
考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
新疆
王新敞
奎屯
3x
练习 1.求（2a+3b）6的展开式的第3项.
2.求（3b+2a）6的展开式的第3项.
3.写出
(3
x
1 )n 23 x
的展开式的第r+1项.
4.用二项式定理展开：
（1） (a 3 b )9 ；
（5.2化）简(：2x
2 )7 x
.
（1）(1 x )5 (1
x)5 ；
1
（2）(2x 2
(a+b)n的展开式是：
( a + b ) n=Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 +L +Cnn-1a1bn-1 + Cnnbn
二项定理
一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
L
C
r n
a
nr
br
L
Cnnbn
定理的证明
(6) 二项式系数为 _C__rn___；
项的系数为二项式系数与数字系数的积
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：
(1 + x)n = 1 + C1nx + Cn2x2 +L + Crnxr +L + Cnnxn
在上式中，令 x = 1，则有：
2n = Cn0 + C1n + Cn2 +L + Cnr +L + Cnn
3x
1 2
)
4
1
(2x 2
3x
1 2
)
4
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 代表着这些项在展开式 中出现的次数
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 则 (a+b)4 ＝C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(4)二项式系数可写成组合数的形式, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n
二项式定理： n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + L + Crnan-rbr +L + Cnnbn
(5) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 Tr+1 =__C_rn_a__n_-r_b_r_；
复 习： ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
思考:(a+b)4的展开式是什么?
复 习：
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
例1（1）展开 (1 1 )4 x
（2）展开 (2 x 1 )6 x
(3)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数;第 4项的二项式系数；第4项。
(4)求(x－ 1 )9的展开式中x3的系数。
x
例2(1)求 ( x 3 )9的展开式常数项； 3x
(2)求 ( x 3 )9的展开式的中间两项.