(完整版)1.3.1二项式定理(一)
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(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
(4)二项式系数可写成组合数的形式, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n
二项式定理： n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + L + Crnan-rbr +L + Cnnbn
(5) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 Tr+1 =__C_rn_a__n_-r_b_r_；
例1（1）展开 (1 1 )4 x
（2）展开 (2 x 1 )6 x
(3)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数;第 4项的二项式系数；第4项。
(4)求(x－ 1 )9的展开式中x3的系数。
x
例2(1)求 ( x 3 )9的展开式常数项； 3x
(2)求 ( x 3 )9的展开式的中间两项.
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。
考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 代表着这些项在展开式 中出现的次数
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 则 (a+b)4 ＝C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
二项式定理： 对于任意n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 +
L + Crnan-rbr +L + Cnnbn
注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数
(2) 展开式的项数为 n+1 项；
(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n
复 习： ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
思考:(a+b)4的展开式是什么?
复 习：
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
3x
1 2
)
4
1
(2x 2
3x
1 2
)
4
(a+b)n的展开式是：
( a + b ) n=Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 +L +Cnn-1a1bn-1 + Cnnbn
二项定理
一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
L
C
r n
a
nr
br
L
Cnnbn
定理的证明
新疆
Байду номын сангаас
王新敞
奎屯
3x
练习 1.求（2a+3b）6的展开式的第3项.
2.求（3b+2a）6的展开式的第3项.
3.写出
(3
x
1 )n 23 x
的展开式的第r+1项.
4.用二项式定理展开：
（1） (a 3 b )9 ；
（5.2化）简(：2x
2 )7 x
.
（1）(1 x )5 (1
x)5 ；
1
（2）(2x 2
(6) 二项式系数为 _C__rn___；
项的系数为二项式系数与数字系数的积
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：
(1 + x)n = 1 + C1nx + Cn2x2 +L + Crnxr +L + Cnnxn
在上式中，令 x = 1，则有：
2n = Cn0 + C1n + Cn2 +L + Cnr +L + Cnn
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个（a+b）在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。 由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），
其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；
对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b) 选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取 k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开 式，这就是二项式定理。
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
(4)二项式系数可写成组合数的形式, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n
二项式定理： n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + L + Crnan-rbr +L + Cnnbn
(5) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 Tr+1 =__C_rn_a__n_-r_b_r_；
例1（1）展开 (1 1 )4 x
（2）展开 (2 x 1 )6 x
(3)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数;第 4项的二项式系数；第4项。
(4)求(x－ 1 )9的展开式中x3的系数。
x
例2(1)求 ( x 3 )9的展开式常数项； 3x
(2)求 ( x 3 )9的展开式的中间两项.
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。
考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 代表着这些项在展开式 中出现的次数
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 则 (a+b)4 ＝C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
二项式定理： 对于任意n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 +
L + Crnan-rbr +L + Cnnbn
注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数
(2) 展开式的项数为 n+1 项；
(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n
复 习： ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
思考:(a+b)4的展开式是什么?
复 习：
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
3x
1 2
)
4
1
(2x 2
3x
1 2
)
4
(a+b)n的展开式是：
( a + b ) n=Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 +L +Cnn-1a1bn-1 + Cnnbn
二项定理
一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
L
C
r n
a
nr
br
L
Cnnbn
定理的证明
新疆
Байду номын сангаас
王新敞
奎屯
3x
练习 1.求（2a+3b）6的展开式的第3项.
2.求（3b+2a）6的展开式的第3项.
3.写出
(3
x
1 )n 23 x
的展开式的第r+1项.
4.用二项式定理展开：
（1） (a 3 b )9 ；
（5.2化）简(：2x
2 )7 x
.
（1）(1 x )5 (1
x)5 ；
1
（2）(2x 2
(6) 二项式系数为 _C__rn___；
项的系数为二项式系数与数字系数的积
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：
(1 + x)n = 1 + C1nx + Cn2x2 +L + Crnxr +L + Cnnxn
在上式中，令 x = 1，则有：
2n = Cn0 + C1n + Cn2 +L + Cnr +L + Cnn
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个（a+b）在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。 由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），
其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；
对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b) 选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取 k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开 式，这就是二项式定理。