2020年安徽合肥高三一模数学试卷(文科)
合肥市2020年高三第一次教学质量检测文数试题—附答案合肥市年高三第一次教学质量检测
《合肥市2020年高三第一次教学质量检测文数试题—附答案:合肥市年高三第一次教学质量检测》摘要：) ①② B②③④ ①④ ①②④ 已知函数()若存实数使不等式集则实数取值围( ) B Ⅱ卷 (90分) 卷包括必考题和选考题两部分3题—题必考题每试题考生都必须作答题、3题选考题考生根据要作答二、填空题题共题每题5分满分0分把答案填答题卡上相应位置 3已知实数满足则取得值优已知向量()且⊥则值等 5角所对边分别若则值 6已知抛物线()焦若抛物线准线上存使得是以直角等腰直角三角形则值等___________ 三、答题题共6题满分70分答应写出说明、证明程或演算步骤． 7(题满分分) 已知等差数列前项和 ()数列通项公式，合肥市00届高三次教学质量检测数学试题(科) 参考答案及评分标准、选择题题共题每题5分共60分题 3 5 6 7 8 9 0答案 B B B 二、填空题题共题每题5分共0分 3() ...合肥市00年高三次教学质量检测数学试题(科) (考试0分钟满分50分) Ⅰ卷 (60分) 、选择题题共题每题5分满分60分每题给出四选项只有项是合题目要已知集合则( ) B 已知虚数单位复数满足则共轭复数( ) B 3设双曲线焦上则( ) 3 B 5 7 “带路”是“丝绸路济带”和“世纪海上丝绸路”简称旨积极发展我国与沿线国济合作关系共打造政治信、济融合、化包容命运共体03年以“带路”建设成显著右图是0307年我国对“带路”沿线国进出口情况统计图下列描述错误是( ) 这五年03年出口额少 B这五年出口总额比进口总额多这五年出口增速前四年逐年下降这五年07年进口增速快 5已知角顶坐标原始边与轴非半轴重合终边则值( ) B 6若执行右图程序框图则输出值( ) B3 5 7已知正方形边长边边将分别沿折起使两重合则三棱锥外接球表面积( ) B 8已知函数则下列关函数说法不正确是( ) 图象关对称 B上有零区上单调递减函数图象向右平移单位所得图像对应函数奇函数 9函数图像致( ) 0射线测厚技术原理公式其分别射线穿被测物前强是然对数底数被测物厚被测物密是被测物对射线吸收系数工业上通常用镅()低能射线测量钢板厚若这种射线对钢板半价层厚08钢密76则这种射线吸收系数( ) (半价层厚是指将已知射线强减弱半某种物质厚结精确到000) 00 B0已知正方体对角线作平面交棱交棱则①四边形定是平行四边形；②多面体与多面体体积相等；③四边形平面投影定是平行四边形；④平面有可能垂直平面其所有正确结论序( ) ①②B②③④ ①④ ①②④ 已知函数()若存实数使不等式集则实数取值围( ) B Ⅱ卷 (90分) 卷包括必考题和选考题两部分3题—题必考题每试题考生都必须作答题、3题选考题考生根据要作答二、填空题题共题每题5分满分0分把答案填答题卡上相应位置 3已知实数满足则取得值优已知向量()且⊥则值等 5角所对边分别若则值 6已知抛物线()焦若抛物线准线上存使得是以直角等腰直角三角形则值等___________ 三、答题题共6题满分70分答应写出说明、证明程或演算步骤． 7(题满分分) 已知等差数列前项和 ()数列通项公式； ()若()值 8(题满分分) 某汽车公司生产新能汽车09年39月份销售量(单位万辆)数据如下表所示月份 3 5 6 7 8 9 销售量(万辆) 3008 0 89 656 665 67 368 ()某企业响应国召购买了6辆该公司生产新能汽车其四月份生产辆五月份生产辆6辆汽车随机地分配给B两部门使用其部门用车辆B部门用车辆现了该汽车公司今年四月份生产所有新能汽车存安全隐患要召回该企业B部门辆车至多有辆车被召回概率； ()分析可知上述数据近似分布条直线附近设关线性回归方程根据表数据可计算出试出值并估计该厂0月份销售量 9(题满分分) 如图该几何体三侧面都是矩形 ()证明平面∥平面； ()若证明平面 0(题满分分) 设椭圆()左右焦分别椭圆上顶椭圆上且 ()椭圆离心率； ()若直线交椭圆两线段轨迹方程 (题满分分) 已知函数 ()直线与曲线相切切坐标； ()当恒成立取值围请考生、3题任选题作答只能做所选定题目如多做则按所做题目计分作答请用B铅笔答题卡上将所选题对应方框涂黑 (题满分0分)选修坐标系与参数方程直角坐标系直线参数方程(参数)以坐标原极轴正半轴极轴极坐标系曲线方程 ()曲线直角坐标方程； ()设曲线与直线交坐标(3) 3(题满分0分)选修5不等式选讲已知函数()不等式集 ()值； ()若且值合肥市00届高三次教学质量检测数学试题(科) 参考答案及评分标准、选择题题共题每题5分共60分题 3 5 6 7 8 9 0 答案 B B B 二、填空题题共题每题5分共0分 3() 53(空分二空3分) 6 三、答题题共6题满分70分 7(题满分分) ()设等差数列公差由得整理得又∵∴ ∴() ………………………5分 ()可化得………………………分 8(题满分分) ()设某企业购买6辆新能汽车月份生产辆车；5月份生产辆车6辆汽车随机地分配给两部门部门辆车可能()()()()()()()()()()()()(()()共5种情况；其至多有辆车是四月份生产情况有()()()()()()()( )()共9种所以该企业部门辆车至多有辆车被召回概率．………………………5分 ()由题得因线性回归方程样心所以得当即该厂0月份销售量估计5万辆………………………分 9(题满分分) ()∵侧面是矩形∴ 又∵平面平面∴平面理可得平面∵∴平面平面………………………5分()∵侧面都是矩形∴ 又∵∴平面∵∴ ∵∴都是等腰直角三角形∴即而∴平面………………………分 0(题满分分) ()设()由得即又∵()椭圆上∴得即椭圆离心率………………………5分 ()由()知又∵得∴椭圆方程当线段轴上交坐标原(00) 当线段不轴上设直线方程代入椭圆方程得∵椭圆部∴ 则∴坐标满足消得() 综上所述轨迹方程……………………………分 (题满分分) ()设切坐标则∴ 令∴∴上单调递减∴多有实数根又∵∴即切坐标(0) ………………………5分 ()当恒成立等价对恒成立令则①当∴上单调递增因②当令得由与得∴当单调递减∴当不合题；综上所述得取值围是……………………………分 (题满分0分) ()曲线方程∴∴ 即曲线直角坐标方程…………………………5分 ()把直线代入曲线得整理得∵设方程两实数根则∴异又∵(3)直线上∴ …………………………0分 3(题满分0分) ()∵∴集∴得即…………………………5分()∵∴ 又∵ ∴ 当且仅当结合得等成立∴值3 …………………………0分。
2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科数学试卷(6月)-学生用卷
2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科数学试卷（6月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第1题5分2019~2020学年3月天津河西区天津市实验中学高三下学期周测C卷第1题5分2020~2021学年12月广东深圳宝安区深圳市第七高级中学高三上学期月考第1题5分记全集U=R，集合A={x|x2⩾16}，集合B={x|2x⩾2}，则(∁U A)∩B=（）．A. [4,+∞)B. (1,4]C. [1,4)D. (1,4)2、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第2题5分若复数z的共轭复数满足(1−i)z=−1+2i，则|z|=（）．A. √22B. √102C. 32D. 123、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第3题5分2018年青海西宁高三二模文科第5题5分2017~2018学年辽宁大连高一下学期期末第7题5分2017年四川绵阳高三二模理科第6题5分2016~2017学年2月湖北荆门月考理科四地七校第8题5分宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）．A. 5B. 4C. 3D. 24、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第4题5分 从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，⋯x n ，y 1，⋯，y n 构成n 个数对(x 1,y 1)，⋯，(x n ,y n )，其中两数的平方和不小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（ ）．A. m nB.4m n C.n−m n D. 4(n−m)n5、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第5题5分已知x ，y 满足不等式组{2x +y −4⩾0x −y −2⩽0y −3=0，则z =y x 的最大值为（ ）．A. 0B. 35C. 53D. 66、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第6题5分 2018~2019学年11月四川成都武侯区成都石室外国语实验学校高三上学期月考理科第8题5分 2018年山西大同高三二模文科第9题5分2018年山西阳泉高三二模文科第9题5分2018年四川德阳高三二模文科第7题5分已知log 2x =log 3y =log 5z <0，则2x 、3y 、5z的大小排序为（ ）． A. 2x <3y <5zB. 3y <2x <5zC. 5z <2x <3yD. 5z <3y <2x7、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第7题5分 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且PA 1//面AMN ，则PA 1的长度范围为（ ）．A. [1,√52]B. [3√24,√52] C. [3√24,32] D. [1,32]8、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第8题5分已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率e =2√33，过焦点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 交另一条渐近线于N ，则|MF||NF|=（ ）．A. 2B. 12C. √32D. 2√339、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第9题5分 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)，(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则使f(2a +x)+f(−x)=0成立的a 的最小正值为（ ）．A. π6B. π4C. 5π12D. π210、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第10题5分已如数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n −2，若存在两项a n ，a m ，使得a n ⋅a m =64，则1m +2n 最小值为（ ）．A. 12+√23B. 1C. 3+2√2D. 7511、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第11题5分2016年辽宁葫芦岛高三二模理科第12题5分2018年河南洛阳高三二模理科第12题5分已知函数f (x )=e x−1，g (x )=12+lnx 2，若f (a )=g (b )成立，则b −a 的最小值为（ ）． A. ln2−12B. ln2+12C. 1+ln2D. 1−ln212、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第12题5分2020年广东广州高三零模理科第11题5分已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |=1，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线2y −1=0相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |−|MP |为定值，则点P 的坐标为（ ）．A. (0,14)B. (0,12)C. (0,−14)D. (0,−12)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第13题5分2017~2018学年广东广州荔湾区广东实验中学（高中）高一下学期期末第13题5分2019年北京海淀区高三三模第16题2016~2017学年辽宁沈阳和平区沈阳铁路实验中学高一下学期期中理科第14题5分2016~2017学年北京西城区北京市铁路第二中学高三上学期期中文科第10题5分设向量a→，b→不平行，向量λa→+b→与a→+2b→平行，则实数λ=.14、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第14题5分若圆(x−3)2+(y−4)2=1上存在两点A，B，使得∠APB=60°，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为．15、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第15题5分2019~2020学年9月湖北襄阳市襄城区襄阳市第四中学高三上学期月考文科第16题5分如图，在四棱锥P−ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且AB=2√2，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当|AN|+|MN|取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．16、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第16题5分设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数A，使得对于任意的n∈N∗，都有|S n|<A，则称数列{a n}为“T数列”．则以下{a n}为“T数列”的是．①若{a n}是等差数列，且a1>0，公差d<0；②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|<1；③若a n=n+2n(n+1)2n；④若a1=1，a n+2+(−1)n a n=0．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第17题12分2020~2021学年5月广东广州番禺区广州大学附属中学大学城校区高二下学期月考第17题已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且9c−a=9bcosA．(1) 求cosB．(2) 若角B的平分线与AC交于点D，且BD=1，求1a +1c．18、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第18题12分某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9:30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励，图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．(1) 在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率．(2) 请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数．(3) 如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断图2是星期几的频率分布直方图．19、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第19题12分如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1=AC，∠ACB=90°．(1) 求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C．(2) 若∠A1AC=60°，AC=2CB=2，求四棱锥A−BCC1B1的体积．20、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第20题12分2014年高考真题四川卷文科第20题2018~2019学年9月四川成都锦江区成都七中嘉祥外国语学校高二上学期周测C卷第22题已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F(−2,0)，离心率为√63．(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设O为坐标原点，T为直线x=−3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q．当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．21、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第21题12分已知函数f(x)=ln(x+1)+2ax+a(a>1)．(1) f(x)的导函数记作f′(x)，且f′(x)在(−1,+∞)上有两个不等根，求a的取值范围．(2) 若f(x)存在两个极值点，记作x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)>4．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第22题10分2019~2020学年10月湖南长沙雨花区雅礼中学高三上学期月考文科第22题10分2018年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三二模理科第22题10分2018~2019学年吉林长春朝阳区长春外国语学校高二下学期期末理科第25题10分2019~2020学年9月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期月考理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+rcosφy=1+rsinφ（r>0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ−π3)=1，若直线l与曲线C相切．(1) 求曲线C的极坐标方程．(2) 在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足∠MON=π6，求面积△MON的最大值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第23题10分已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)．(1) a=2，b=0，解不等式f(x)>|4−x|．(2) m，n是f(x)的两个零点，若|a|+|b|<1，求证：|m|<1，|n|<1．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 B;4 、【答案】 D;5 、【答案】 D;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 C;13 、【答案】12;14 、【答案】3;15 、【答案】64π3;16 、【答案】②③;17 、【答案】 (1) 19．;(2) 2√53．;18 、【答案】 (1) 27．;(2) 80人，13.25千步．;(3) 星期二．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√33．;20 、【答案】 (1) x26+y22=1．;(2) 2√3．;21 、【答案】 (1) (1,2)．;(2) 证明见解析．;)．22 、【答案】 (1) 4sin(θ+π3;(2) 2+√3．;23 、【答案】 (1) {x|x<−4或x>1}．;(2) 证明见解析．;。
2020年6月安徽省合肥七中、合肥十中2020届高三毕业班高考模拟联考数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前安徽省合肥七中、合肥十中2020届高三毕业班下学期高考模拟联合考试数学(文)试题(解析版)2020年6月一、选择题（共12小题）.1.设集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x （x ﹣2）＜0}，则A ∩B 等于（ ）A. {x |x ＞2}B. {x |0＜x ＜2}C. {x |1＜x ＜2}D. {x |0＜＜1} 【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式化简集合B ，再与集合A 求交集，求A ∩B 即可． 【详解】∵集合20{|()}0}2{|B x x x x x ＝﹣＜＝＜＜，又1{|}A x x ＝＞，{|12}A B x x ∴⋂＝＜＜，故选：C ．【点睛】本题考查集合的交集，考查一元二次不等式解法，属于基础题.2.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B. 命题“∃x 0∈R ，20x +x 0﹣1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x ﹣1＞0”C. 命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题D. 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题【答案】D【解析】【分析】对于A ，根据否命题的概念可得到结论; 对于B ，特称命题的否定是全称命题；对于C ，逆否命题与原命题为等价命题，即可判断出正误；对于D ，利用“或”命题真假的判定方法即可得出．【详解】对于A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，因此不正确；对于B ，命题“∃x 0∈R，20x +x 0﹣1＜0”的否定是“∀x ∈R，x 2+x ﹣1≥0”，因此不正确；对于C ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；对于D ，命题“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，正确． 故选：D ．【点睛】这个题目考查了四种命题的真假性的判断，涉及到命题的否定和否命题的写法，否命题既否结论又否条件，命题的否定只否结论；特称命题的否定是全称命题，需要换量词，否结论，不变条件.3.函数()3x f x e x =+的零点个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据零点的判断定理，即可求出函数f （x ）的零点个数．【详解】：∵f（x ）=e x +3x 为增函数，∵f（0）=1＞0，f （-1）=e -1-3＜0，∴在（-1，0）内函数f （x ）存在唯一的一个零点，即零点的个数为1个，故选B.【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，函数零点的判断条件是解决本题的关键．。
安徽省合肥市2020年高三文科数学上册第一次教学质量检测试卷(文数一模含答案)
又∵a1 1，∴d 2 ，
∴an a1 n 1d 2n 1 ( n N * ).
………………………5 分
(2) am am1 am2 am9 180 可化为10am 45d 20m 80 180 ，
解得m 5 .
………………………12 分
18.(本小题满分 12 分)
(1)设某企业购买的 6 辆新能源汽车，4 月份生产的 4 辆车为C1 ，C2 ，C3 ，C4 ；5 月份生产的 2 辆车 为 D1 ， D2 ，6 辆汽车随机地分配给 A，B 两个部门.
B 部门 2 辆车可能为( C1 ，C2 )，( C1 ，C3 )，( C1 ，C4 )，( C1 ，D1 )，( C1 ，D2 )，(C2 ，C3 )，( C2 ， C4 )，( C2 ，D1 )，( C2 ，D2 )，( C3 ，C4 )，( C3 ，D1 )，( C3 ，D2 )，( C4 ，D1 ，( C4 ，D2 )，( D1 ，D2 ) 共 15 种情况；
x0
y0
4c 3
b 3
，即 A
4 3
c，
b 3
，
又∵ A ( x0，y0 )在椭圆C :
x2 a2
y2 b2
1上，
∴
4 3
c
2
a2
1 3
b
2
b2
1
，得 c a
2 2
，即椭圆C
的离心率为e
2. 2
……………………5 分
代入椭圆方程 x2 y2 1 中，得 m2 2 y2 2my 1 0 . 2
安徽省1号卷A10联盟2020届高三上学期摸底考试 数学(文) 含答案
1号卷∙A10联盟2020届高三摸底考数学（文科）试题巢湖一中 合肥八中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 天湖中学 天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州一中 阜阳一中 灵璧中学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ券(非选择题)两部部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.已知集合{}{}{}09,1,3,6,0,2,5,6,8,9U x N x M N =∈≤≤==，则()U M N ð＝( )A.{2，5，8，9}B. {0，2，5，8，9}C. {2，5}D. {2，5，6，8，9} 2.“若α>β，则sinα>sinβ”的逆否命题是( )A.若α<β，则sinα<sinβB.若sinα>sinβ，则α>βC.若α≤β，则sinα≤sinβD.若sinα≤sinβ，则α≤β3.若复数z ＝x ＋yi(x 、y ∈R ，i 是虚数单位)满足：2z i -=，则动点(x ，y)的轨迹方程是( ) A.x 2＋(y －1)2＝4 B.x 2＋(y ＋1)2＝4 C.(x －1)2＋y 2＝4 D.(x ＋1)2＋y 2＝44.某高中数学兴趣小组准备选拔x 名男生、y 名女生，若x 、y 满足约束条件251127x y y x x -≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩，则数学兴趣小组最多可以选拔学生( )A.21人B.16人C.13人D.11人 5.函数cos ()xf x x=的部分图象大致为()6.在△ABC 中，D 为边BC 的中点，且5AD CD⋅＝，AB ＝6，则AC ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.57. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在x ＝x 1，x ＝x 2，x ＝x 3(x 1<x 2<x 3)处的函数值分别为y 1＝f(x 1)，y 2＝f(x 2)，y 3＝f(x 3)，则在区间[x 1，x 3]上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x ≈++---，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---。
合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)及其答案
合肥市2020年高三第一次教学质量检测数学试题(文科)第Ⅰ卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12A x x =-<<，{}210B x x =-≥，则A B =I ( ).A.()1+∞，B.1 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C.1 22⎛⎫ ⎪⎝⎭，D.1 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()()12i 2i z =-+，则z 的共轭复数z =( ).A.43i -B.43i +C.34i +D.34i -3.设双曲线:C 224640x y -+=的焦点为12F F ，，点P 为C 上一点，16PF =，则2PF 为( ). A.13 B.14 C.15 D.17 4.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是( ).A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，2017年进口增速最快5.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点132M ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭，，则cos 2sin 3παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值为( ).A.12- B.3C.1D.326.若执行右图的程序框图，则输出i 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.57.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为边AB 中点，点F 为边BC 中点，将AED DCF ∆∆，分别沿DE DF ，折起，使A C ，两点重合于P 点，则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为( ).A.32πB.3πC.6πD.12π 8.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法，不正确．．．的是( ). A.()f x 的图象关于12x π=-对称B.()f x 在[]0π，上有2个零点C.()f x 在区间536ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减D.函数()f x 图象向右平移116π个单位，所得图像对应的函数为奇函数 9.函数22cos x xy x x--=-的图像大致为( ).10.射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241(241Am )低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ).(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.11611.已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则： ①四边形1BFD E 一定是平行四边形；②多面体1ABE DCFD -与多面体1111D C F A B BE -的体积相等； ③四边形1BFD E 在平面11AA D D 内的投影一定是平行四边形； ④平面α有可能垂直于平面11BB D D . 其中所有正确结论的序号为( ).A.①②B.②③④C.①④D.①②④12.已知函数()23f x x a =+(a R ∈)，()39g x x x =-.若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为() b +∞，，则实数a 的取值范围为( ). A.[)5 +∞，B.(]27 5-，C.() 27-∞-，D.()[) 275 -∞-+∞U ，，第Ⅱ卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知实数x y ，满足260x y x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+取得最大值的最优解为 .14.已知向量a =r (1，1)，()= 2b m -r ，，且a r ⊥()2a b +r r，则m 的值等于 . 15.在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2sin sin cos sin A B C C =，则222a b c += ，sin C 的最大值为 . 16.已知点()0 2A ，，抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，若此抛物线的准线上存在一点P ，使得APF ∆是以APF ∠为直角的等腰直角三角形，则p 的值等于___________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，424S S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若129180m m m m a a a a +++++++=L (*m N ∈)，求m 的值.18.(本小题满分12分)月份x34 5 6 7 8 9 销售量y (万辆) 3.0082.4012.1892.6561.6651.6721.368(1)产的2辆，6辆汽车随机地分配给A ，B 两个部门使用，其中A 部门用车4辆，B 部门用车2辆.现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业B 部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；(2)经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设y 关于x 的线性回归方程为$$y bx a =+$，根据表中数据可计算出0.2465b=-$，试求出$a 的值，并估计该厂10月份的销售量.19.(本小题满分12分)如图，该几何体的三个侧面11AA B B ，11BB C C ，11CC A A 都是矩形. (1)证明：平面ABC ∥平面111A B C ；(2)若12AA AC =，AC AB ⊥，M 为1CC 中点，证明：1A M ⊥平面ABM .20.(本小题满分12分)设椭圆:C 22221x y a b +=(0a b >>)的左右焦点分别为12F F ，，椭圆的上顶点为点B ，点A 为椭圆C 上一点，且1130F A F B +=u u u v u u u v v.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若1b =，过点2F 的直线交椭圆于M N ，两点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程.21.(本小题满分12分)已知函数()()1ln f x x x =+，()()1g x a x a R =-∈，. (1)求直线()y g x =与曲线()y f x =相切时，切点T 的坐标；(2)当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2321x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为(3，1)，求AM AN +.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x m x =--+(m R ∈)，不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. (1)求m 的值；(2)若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(4，2) 14.1 15.3(第一空2分，第二空3分) 16.43三、解答题：大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =得，114684a d a d +=+，整理得12d a =. 又∵11a =，∴2d =，∴()1121n a a n d n =+-=-(*n N ∈). ………………………5分 (2)129180m m m m a a a a +++++++=L 可化为10452080180m a d m +=+=， 解得5m =. ………………………12分18.(本小题满分12分)(1)设某企业购买的6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为1C ，2C ，3C ，4C ；5月份生产的2辆车为1D ，2D ，6辆汽车随机地分配给AB ，两个部门. B 部门2辆车可能为(1C ，2C )，(1C ，3C )，(1C ，4C )，(1C ，1D )，(1C ，2D )，(2C ，3C )，(2C ，4C )，(2C ，1D )，(2C ，2D )，(3C ，4C )，(3C ，1D )，(3C ，2D )，(4C ，1D ，(4C ，2D )，(1D ，2D )共15种情况；其中，至多有1辆车是四月份生产的情况有：(1C ，1D )，(1C ，2D )，(2C ，1D )，(2C ，2D )，(3C ，1D )，(3C ，2D )，(4C ，1D )，(4C ， 2D )，(1D ，2D )共9种，所以该企业B 部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率为93155P ==．………………………5分(2)由题意得6x =， 2.137y =.因为线性回归方程过样本中心点()x y ，，所以()$2.13760.2465a =⨯-+，解得$ 3.616a =.当10x =时，$0.246510 3.616 1.151y =-⨯+=， 即该厂10月份销售量估计为1.151万辆. ………………………12分19.(本小题满分12分)(1)∵侧面11AA B B 是矩形，∴11//A B AB .又∵11A B ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴11//A B 平面ABC . 同理可得：11//A C 平面ABC . ∵11111A B AC A =I ，∴平面//ABC 平面111A B C . ………………………5分 (2)∵侧面111111AA B B BB C C CC A A ，，都是矩形，∴1A A AB ⊥. 又∵AC AB ⊥，1A A AC A =I ，∴AB ⊥平面11AAC C . ∵111A M AAC C ⊂平面，∴1AB A M ⊥.∵M 为1CC 的中点，12AA AC =，∴11ACM AC M ∆∆，都是等腰直角三角形，∴1145AMC A MC ∠=∠=o ，190A MA ∠=o ，即1A M A M ⊥.而AB AM A =I ，∴1A M ⊥平面ABM . ………………………12分20.(本小题满分12分)解：(1)设A (00x y ，)，B ()0b ，，()1 0F c -，.由1130F A F B +=u u u v u u u v v得 000043403303c x x c y b by ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，即433b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 又∵A (00x y ，)在椭圆:C 22221x y a b+=上，∴222241331c b a b⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，得c a =，即椭圆C的离心率为e =.………………………5分 (2)由(1)知，e =.又∵1b =，222a b c =+，解得22a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.当线段MN 在x 轴上时，交点为坐标原点(0，0).当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为1x my =+，()11M x y ，，()22N x y ，，代入椭圆方程2212x y +=中，得()222210m y my ++-=.∵点2F 在椭圆内部，∴0∆>， 12222my y m +=-+，则()12122422x x m y y m +=++=+，∴点()P x y ，的坐标满足222x m =+，22my m =-+，消去m 得，2220x y x +-=(0x ≠).综上所述，点P 的轨迹方程为2220x y x +-=. ……………………………12分21.(本小题满分12分)(1)设切点坐标为()00x y ，，()1ln 1f x x x'=++，则()()00001ln 11ln 1x ax x x a x ⎧++=⎪⎨⎪+=-⎩，∴00012ln 0x x x -+=. 令()12ln h x x x x=-+，∴()22210x x h x x -+'=-≤，∴()h x 在()0+∞，上单调递减， ∴()0h x =最多有一个实数根.又∵()10h =，∴01x =，此时00y =，即切点T 的坐标为(1，0). ………………………5分(2)当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，等价于()1ln 01a x x x --<+对()0 1x ∈，恒成立. 令()()1ln 1a x h x x x -=-+，则()()()()2222111211x a x ah x x x x x +-+'=-=++，()10h =. ①当2a ≤，()1x ∈0，时，()22211210x a x x x +-+≥-+>， ∴()0h x '>，()h x 在()0 1x ∈，上单调递增，因此()0h x <.②当2a >时，令()0h x '=得1211x a x a =-=-.由21x >与121x x =得，101x <<.∴当()1 1x x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()1 1x x ∈，时，()()10h x h >=，不符合题意； 综上所述得，a 的取值范围是(] 2-∞，.……………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，∴2246x y x y +=+， 即曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. …………………………5分(2)把直线3:1x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C得221213t ⎛⎫⎛+-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=-+>，设12t t ，为方程的两个实数根，则 12t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A (3，1)在直线l 上，∴1212AM AN t t t t +=+=-===.…………………………10分23.(本小题满分10分)解：(1)∵()2f x x m x =--+，∴()220f x x m x -=---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥，解得28m +=，即6m =. …………………………5分 (2)∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-=()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-，结合212a b c ++=解得3a =，1b =，7c =时，等号成立， ∴()()()113a b c ++-的最大值为32.…………………………10分。
2020年安徽高三一模数学试卷(文科)
2020年安徽高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.B.C.D.1.已知集合，，则（ ）．A.B.C.D.2.已知复数（为虚数单位），则（ ）．A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为，并在扇形弧上正面等距安装个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）．4.函数在上的图象大致为（ ）．A.xyOB.xyOC.xyOD.xyO5.在年春节前夕，为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节，某市质检部门对辖区内的某大型超市中的一品牌袋装食品进行抽检，将超市中该袋装食品编号为，，，，，从中用系统抽样（等距抽样）的方法抽取袋进行检测，如果编号为的食品被抽到，则下列个编号的食品中被抽到的是（ ）．A.号B.号C.号D.号6.已知，则（ ）．A.B.C.D.7.已知，，，则，，的大小关系为（ ）．A.B.C.D.8.执行下面的程序框图，则输出的值为（ ）．开始，否是输出结束？A.B. C.D.9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于的偶数都可以写成两个质数（素数）之和．也就是我们所谓的“”问题．它是年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将拆成两个正整数的和．则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）．A.B.C.D.10.在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为（ ）．A.B.C.D.11.已知椭圆的焦距为，为右焦点，直线与椭圆相交于，两点， 是等腰直角三角形，点的坐标为，若记椭圆上任一点到点的距离的最大值为，则的值为（ ）．A.B.C.D.12.已知．给出下列判断：①若，，且，则；②存在，使得的图象右移个单位长度后得到的图象关于轴对称；③若在上恰有个零点，则的取值范围为；④若在上单调递增，则的取值范围为．其中，判断正确的个数为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．14.已知双曲线的离心率为，则双曲线的右顶点到双曲线的渐近线的距离为 ．15.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为 ．16.已知在三棱锥中，，，，四点均在以为球心的球面上，若，，，则球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列是递增的等比数列，是其前项和，，．求数列的通项公式．记，求数列的前项和．（1）（2）18.移动支付是指移动客户端利用手机等电子产品来进行电子货币支付，移动支付将互联网、终端设备、金融机构有效地联合起来，形成了一个新型的支付体系，使电子货币开始普及．某机构为了研究不同年龄人群使用移动支付的情况，随机抽取了名市民，得到如下表格：年龄（岁）使用移动支付不使用移动支付画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，并估计使用移动支付的平均年龄．完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系？年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计附：，．（1）（2）19.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点．求证：平面．求三棱锥的体积．（1）（2）20.已知函数．当时，讨论的单调区间．若对，成立，求实数的取值范围．（1）（2）21.已知抛物线，若圆与抛物线相交于，两点，且．求抛物线的方程．过点的直线与抛物线相切，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，直线，交于点，求证：．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．若直线，的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线．求曲线的普通方程．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点为射线与曲线的交点．求点的极径．23.已知函数．【答案】解析:，，则．故选．解析:由，则．故选．解析:因为弧长比较短的情况下分成等分，每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，所以导线长度为（厘米）．故选．解析:由，可知函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，当时，．故选．解析:由系统抽样的特点知，从编号为，，，的食品中抽取袋，需要将它们分成组，每组个，因为抽到的编号为，则所有被抽到的食品编号满足，所以所给四个编号符合条（1）（2）求不等式的解集．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．D1.A2.B3.C4.D5.件的是号．故选．解析:由，．故选．解析:因，所以，因为，所以，，即，故有．故选．解析:，故选．解析:由古典概型的基本事件的等可能性可得拆成两个正整数的和含有的基本事件有：，，，，，而加数全为质数的有，所以所求概率为．故选．解析:因为，由正弦定理得，所以，所以．C 6.A 7.D 8.A 9.B 10.因为，所以，所以，所以，因为，，，所以，所以，所以．故选：．解析:由题意可得，所以点的坐标为，代入椭圆方程有，又，所以，解得或（舍去），所以，所以椭圆的方程可化为，设点的坐标为，则，所以，所以，．故选．解析:因为，所以周期．对于①，由条件知，周期为，所以，故①错误；对于②，函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；对于③，由条件得，解得，故③正确；对于④，由条件得，解得，又，所以，故④正确．C 11.B 12.故选．13.解析:的导函数为，∴，∵,∴在处的切线方程为，即．14.解析:设双曲线的焦距为，因，，所以，，故双曲线的右顶点的坐标为，一条渐近线的方程为，则右顶点到渐近线的距离为．故答案为：．15.解析:∵点在的平分线上，∴存在，使，又∵，∴，∴．16.解析:设球О的半径为，过作平面，垂足为，连接，，，由易得，即为的外心，（1）（2）所以球心在射线上，在中，，，设外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，所以，连接，则，即，解得，所以．解析:由题意，设等比数列的公比为，∵，，∴，，∴，，∴，解得或，∵数列是递增的等比数列，∴，∴，∴．，∴，两式相减得：∴．（1）．（2）．17.（1）（2）解析:样本中使用移动支付的人数为人，所以每段的频率分别为：，，，，，0.025.所以其频率分布直方图为年龄（岁）频率组距所以使用移动支付的平均年龄为，所以估计使用移动支付的平均年龄为岁．完成列联表如下：年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计由，故在犯错误概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系．（1）画图见解析，岁．（2） 年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计在犯错误概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系．18.（1）证明见解析．19.（1）（2）解析:如图所示，取中点，连接和，∵点为的中点，∴为的中位线，∴且，∵，∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．方法一：如图所示，取中点，连接，和，∵为等腰直角三角形，∴，且，（2）．∴平面，∵平面，∴，∴为直角三角形，∵，，∴，∵四边形为等腰梯形，∴，在中，由余弦定理知，∵，∴，∴的面积为，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为，∵的面积,∴三棱锥的体积为，∵，∴，∴，即点到平面的距离为，∵平面，∴点到平面的距离为．则三棱锥的体积为．方法二：由知，平面，∴点到平面的距离等于到平面的距离，∴．如图取的中点，连接，∵，∴，（1）（2）平面，∴平面，∵为等腰三角形，，，∴．∵四边形为等腰梯形，且，，，∴梯形的高为，则．∴三棱锥的体积为．解析:的定义域为，则，的两根为，．①当，即时，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间，上单调递增；②当，即时，对，，所以在上单调递增；③当，即时，当时，，当时，，所有在区间上单调递减，在区间，上单调递增．综上所述，当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减．方法一：因为对恒成立，所以，即恒成立，所以．（1）当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减．（2）．20.（1）令，则问题转化为，，令，则，所以在上单调递增，又，所以在上，在上，所以在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为．方法二：因为对恒成立，所以，即恒成立．令，，由二次函数性质可知，存在，使得，即，且当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，由题意可知，设，则，即单调递增，又，∴的解集为，即，∴．解析:如图所示，（1）抛物线方程为．（2）证明见解析．21.（2）设，由题意可知，∴，∵点在圆上，∴，解得，∵点也在抛物线上，∴，解得，∴抛物线方程为．对抛物线方程求导，点在抛物线上，故，，设直线的方程为，联立， 得，设，，；，，，联立，得，，，，（1）（2）（1）（2），代入韦达定理得：，∴．解析:直线的普通方程为，直线的普通方程为，联立直线，方程消去参数，得曲线的普通方程为，整理得．设点的直角坐标系坐标为，由，可得，，代入曲线的方程可得，解得，（舍），所以点的极径为．解析:①当时，不等式可化为，得，无解；②当时，不等式可化为，得，故；③当时，不等式可化为，得，故．综上，不等式的解集为．由题意知在上恒成立，所以，（1）．（2）点的极径为．22.（1）．（2）．23.令，则当时，，又当时，取得最小值，且，又，所以当时，与同时取得最小值，所以，所以．即实数的取值范围为．。
安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量检测文科数学试题
绝密★启用前安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量检测文科数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．已知22iz i-=+(i 为虚数单位)，则在复平面内复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设集合12A xx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}20B x x x =-<，，则A B =（ ）A ．112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．{}0x x > D ．{}01x x <<3．“0x >”是“12x>-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1434a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1543b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，log 3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>5．某商场2020年部分月份销售金额如下表：若用最小二乘法求得回归直线方程为ˆ38.117.6yx =-，则a =（ ） A ．198.2B ．205C ．211D ．213.56．已知函数()cos(3)cos(3)f x x x =-++，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 在区间()1,2上单调递减 B ．()f x 的最大值为2cos3-C ．3x π=是()f x 的一条对称轴D ．()f x 的图象可由函数(2cos3)sin y x =的图象向右平移2π个单位得到 7．自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额､税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额=应纳税所得额⨯税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表：若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（ ）A ．5712元B ．8232元C ．11712元D ．33000元8．经过椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左焦点和上顶点的直线记为l .若椭圆M 的中心到直线l 的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M 的方程为（ ）A ．22154x y +=B ．221108x y +=C ．2212016x y +=D ．2212520x y +=9．从幂函数y x =，2yx ，3y x =，12y x =，1y x -=中任意选取2个函数，其中一个函数是奇函数､另一个函数是增函数的概率等于（ ） A ．310B ．25C ．35D ．71010．若存在1[2,]2x ∈--，使得不等式32430ax x x -++≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥-B ．98≥-aC ．6a ≤D ．2a ≤-11．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.如图，在錾堵111ABC A B C -中，1AC BC CC ==，M ，N 分别是线段1A C ，1BC 上的点，且12A M MC =，12BN NC =，则下列说法正确的是（ ）A ．1A C AB ⊥ B ．11AC BC ⊥ C ．1MN A B ⊥D ．1MN AC ⊥ 12．将方程2sin cos x x x +=的所有正数解从小到大组成数列{}n x ，记()1cos n n n a x x +=-，则122021a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A．B．4-C．D．6-二、填空题13．若实数,x y 满足条件2102201x y x y x -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最大值为___________.14．若,a b 满足2a b =，2a b a b -=+，则a 与b 夹角的大小等于___________. 15．如图，AB 是圆O 的直径，点M是AB 的中点.若2AB =，则图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周形成的几何体的表面积等于___________.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AD CD ⊥，点E ，F ，G 分别为PD ，AB ，AC 的中点.（1）求证：平面//EFG 平面PBC ； （2）若122PA AD DC BC ====，求点F 到平面AEG 的距离. 20．已知抛物线2:2C y x =，过点()1,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点. （1）若||AB =AOB 外接圆的方程；（2）若点A 关于x 轴的对称点是A '(A '与B 不重合)，证明：直线A B '经过定点. 21．已知函数()()ln bf x x a x x=++的图象在点()()1,1f 处的切线与直线(1) y a x a =+-平行.（1）求实数b 的值；（2）讨论()f x 极值点的个数.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2tan 1tan x y βββ=⎧⎪⎨=⎪+⎩(β为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若点M ，N 为曲线C 上两点，且满足3MON π∠=，求2211OMON-的最大值.23．已知函数()22f x x a x a =--+. （1）若()11f ≥，求实数a 的取值范围； （2）若对任意x ∈R ，()20f x≤恒成立，求a 的最小值.参考答案1．D复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a bi +的形式，即可推出结果． 解： 解：2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-，故它所表示复平面内的点是34(,)55-位于第四象限． 故选：D ． 2．C解一元二次不等式可求得集合B ，由并集定义可得结果. 解：{}{}2001B x x x x x =-<=<<，{}0A B x x ∴⋃>.故选：C. 3．A由推出关系可知充分性成立；解分式不等式可得推出关系知必要性不成立，由此得到结论. 解： 当0x >时，10x >，12x∴>-成立，即充分性成立； 由12x >-得：12x <-或0x >，120x x∴>->，必要性不成立；综上所述：“0x >”是“12x>-”的充分不必要条件. 故选：A. 4．C利用对数函数和指数函数的性质求解. 解：14144343a -⎛⎫= ⎛⎫= ⎝⎪⎪⎭⎝⎭，1543b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为指数函数43xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，且11045>>， 所以1a b >>，又log 3log 1c πππ=<=， 所以a b c >>， 故选：C. 5．B根据回归直线过样本中心点(),x y 可直接构造方程求得结果. 解：由表格数据知：24681065x ++++==；6413228636885055a a y +++++==；85038.1617.65a+∴=⨯-，解得：205a =. 故选：B. 6．B结合三角函数的性质、图像变换和利用导数研究三角函数的单调性即可. 解：()cos(3)cos(3)2cos cos3f x x x x =-++=， ()=2cos3sin f x x '-，A ：1弧度57︒≈，所以2cos30->，当()12x ∈，时sin 0x >，所以()=2cos3sin 0f x x '->， 所以()f x 在()12x ∈，上单调递增，故A 错误； B ：当2()x k k Z ππ=+∈时，min (cos )1x =-且2cos30< 所以max ()2cos3f x =-，故B 正确；C ：由导数的性质得，()=cos3sin033f ππ'-=≠所以3x π=不是极值点，即3x π=不是()f x 的对称轴，故C 错误；D ：将(2cos3)sin y x =图像向右平移2π个单位 得()()()2cos3sin 2cos3cos 2h x x x f x π⎛⎫=-=-≠ ⎪⎝⎭，即D 错误. 故选：B 7．A先计算出应纳税所得额，然后判断出对应税率，再根据个人所得税税额的计算公式求解出结果. 解：由题意可知，应纳税所得额为：()249600120%5280060000456082320----=元， 又(]8232036000,144000∈，所以税率为10%， 所以个人所得税税额为：8232010%25205712⨯-=元， 故选：A. 8．D由焦距和短轴长关系可得2b c =，利用点到直线距离公式可构造方程求得c ，由椭圆,,a b c 关系可求得结果. 解：设椭圆焦距为2c ，则24b c =，即2b c =；l 过(),0c -，()0,b ，l ∴方程为1x yc b+=-，即220x y c -+=，∴椭圆中心()0,0到l 距离2d ==，解得：c =b ∴=5a =，∴椭圆M 方程为2212520x y +=. 故选：D. 9．C算出基本事件总数，再列出满足条件的事件，进而求得概率. 解：幂函数中是奇函数的有y x =，3y x =，1y x -=，增函数的有y x =，3y x =， 12y x =， 基本事件总数为2510n C ==，其中一个函数是奇函数、另一个函数是增函数的事件有：()()()111333112221x ,x ,x ,x ,x y x,y y x,y y x ,y y x ,y y x ,y y x ,y ,x ---====⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩=======⎭= 共6种，故满足条件的概率为610P =， 故选C. 10．C分离变量，利用函数最值解决不等式能成立得解. 解：32430ax x x -++≥,1[2,]2x ∈--因为存在1[2,]2x ∈--2max 343()x x a x--∴≤ 令2343()x x g x x --=，4(9)(1)()x x g x x --+'=，令4(9)(1)()0x x g x x --+'=>则19x -<<，又1[2,]2x ∈--所以在[2,1]--上单减，在[211,]--上单增，又91(2),()6,82g g -=--=所以2343()x x g x x--=在1[2,]2x ∈--上最大值为6 6a ∴≤点评：熟练掌握不等式恒能成立问题解法是关键. 11．D设13AC BC CC ===，11113C P C C ==，1113CQ CC ==，由线面垂直的判定和性质，分别计算CM ，CN ，MN ，由勾股定理的逆定理可判断MN ，1A C 垂直．解：解：设13AC BC CC ===，11113C P C C ==，1113CQ CC ==，1PQ =，由12A M MC =，12BN NC =，可得11133CM AC ==⨯=，又//PN CB ，1PN CC ⊥，可得CN ==由BC AC ⊥，1BC CC ⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面11ACC A ，可得BC ⊥平面11ACC A ，则NP ⊥平面11ACC A ，PM ⊂平面11ACC A ，所以NP PM ⊥， 又MQ CQ ⊥，所以MN 所以222CM MN CN +=， 所以1MN AC ⊥， 故D 正确． 故选：D ．12．C由三角函数的恒等变换化简方程2sin cos 3x x x =，并求值，判断{}n a 以6-，6重复循环出现，且120a a +=，340a a +=，⋯，计算可得所求和． 解：解：2sin cos x x x +=，即为1sin 2sin(2)23x x π=-+=，即sin(2)3x π-=，所以2arcsin(23x k ππ-=+或2arcsin(k ππ+-，k Z ∈，即223x k ππ=-+或423k ππ++，k Z ∈，而3π<=，所以123x π=-，2423x π=+，3223x ππ=-+， ⋯，所以212x x π-=+，211cos()x x a -=-==，322x x π-=-212cos()x x a -==，后面的值都是以6-，6重复循环出现，且120a a +=，340a a +=，⋯，所以12202120211a a a a a ++⋯+===， 故选：C ． 点评：关键点点睛：本题的关键是利用反三角函数求得12,x x 的值，从而得出循环，得出120a a +=，340a a +=，⋯，从而求得结果.13．2由约束条件可得可行域，将问题转化为直线3y x z =-在y 轴截距最小值的求解，利用数形结合的方式可求得结果. 解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：令3z x y =-，则z 取最大值时，直线3y x z =-在y 轴截距最小， 由图形可知：当3y x z =-过点A 时，直线3y x z =-在y 轴截距最小，由2101x y x -+=⎧⎨=⎩得：11x y =⎧⎨=⎩，max 3112z ∴=⨯-=，即3x y -的最大值为2.故答案为：2. 14．π根据平面向量数量积的运算律可通过平方运算得到22a b a -⋅=，由数量积的定义可整理求得cos ,a b <>，由此可得结果.解：由2a b a b -=+得：()()222a ba b -=+，即2222244a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，22a b a ∴-⋅=；2a b =，222cos ,cos ,a b a b a a b a ∴-⋅<>=-<>=，cos ,1a b ∴<>=-；又[],0,a b π<>∈，,a b π∴<>=. 故答案为：π.15．(2π+由题意可知所得几何体为圆锥和半球构成的组合体，由圆锥侧面积和球的表面积公式可求得结果. 解：由题意可知：所得的几何体为一个圆锥和半球构成的组合体，且圆锥的底面半径和高均为1，球的半径为1；其中圆锥侧面积11S OM AM ππ=⋅⋅=⨯；半球的表面积2222S OB ππ==；∴所得几何体的表面积(122S S S π=+=.故答案为：(2π+. 16由题意画出图形，可得四边形12MF NF 为平行四边形，证明212MF F F ⊥，即可求得3b a =，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率． 解： 解：如图，由足2MN ON =，得M ，N 关于原点对称，又1F ，2F 关于原点对称，∴四边形12MF NF 为平行四边形， 2120MF N ∠=︒，1260F MF ∴∠=︒，又12||2||MF MF =，设2||MF m =，则1||2MF m =，∴2222121||42232F F m m m m m =+-⋅⋅⋅=，可得2221221||||||F F MF MF +=，则212MF F F ⊥，则222||tan ||MF MOF OF ∠===，∴b a =2234b a =，得2223()4c a a -=，解得：1)c e e a ==>．． 点评：关键点点睛：求双曲线的离心率关键是找,,a b c 的齐次式，本题中利用平行四边形找出垂直关系，然后利用222||tan ||MF MOF OF ∠=求得,a b 的齐次式，从而求得离心率. 17．（1）21n a n =-；（2）()22413nn S n =+-.（1）根据等差数列通项公式化简已知等式可求得公差d ，进而得到通项公式； （2）由（1）可得通项，采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可得结果. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，()5733322243615831a a a d a d a d d +=+++=+=+=，2d ∴=； ()()3352321n a a n d n n ∴=+-=+-=-；（2）由（1）得：()212212na n n a n -+=-+；()()()13521135212222n n S n -∴=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()()()2222121212412123nn n n n -+-=+=+--. 18．（1）215，14；（2）列联表见解析，有99%的把握认为，该地初中毕业生握笔姿势正确与否与性别有关；（3）采用分层抽样的方法更好．（1）根据表格数据可直接计算出男生、女生“握笔姿势正确”的概率． （2）先补全列联表，然后根据公式计算出2K 的值，并与临界值比较即可．（3）根据（2）中的结论可知，该地初中毕业生握笔姿势正确与性别有关，并且男生与女生中握笔姿势正确的比例有明显差异，所以采用分层抽样的方法更好．解：解：（1）根据表格数据可知，男生共有180人，握笔正确的有24人；女生共有120人，握笔正确的有30人，所以男生“握笔姿势正确”的概率为124218015P ==，女生“握笔姿势正确”的概率为23011204P ==． （2）填写列联表如下：∴22300(156302490) 6.640 6.63554246180120K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为，该地初中毕业生握笔姿势正确与否与性别有关．（3）根据（2）中的结论可知，有99%的把握认为该地初中毕业生握笔姿势正确与性别有关．此外，从样本数据能够看出，该地初中毕业生中，男生与女生中握笔姿势正确的比例有明显差异，因此，在调查时，男生和女生应该分成两层，采用分层抽样的方法更好．19．（1）见解析；（2（1）证明//FG 平面PBC ,延长FG 交CD 于点H ,连结EH ,证明//EH PC , //EH 平面PBC 得证(2)由等体积法可得F AEG E AFG V V --=，求得AEGS=，114AFGABCS S ==,所以得解点F 到平面AEG 的距离为3解：（1）证明:因为,F G 分别为,AB AC 的中点,所以//FG BC 因为FG ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC , 所以//FG 平面PBC ,延长FG 交CD 于点H ,连结EH , 因为//,//GH BC AD BC ,所以//GH AD ,因为G 是AC 的中点,所以H 是CD 的中点,因为E 是PD 的中点, 所以//EH PC ,因为EH 平面PBC ,PC ⊂平面PBC , 所以//EH 平面PBC ,又因为,EH FG ⊂平面EFG ,且EH FG H =,所以平面//EFG 平面PBC(2)解:设点F 与平面AEG 的距离为d ,取AD 的中点O ,连结,OE OG 则//,//EO PA GO CD ,且11,22EO PA GO CD == ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以EO ⊥平面ABCD ,由等体积法可得F AEG E AFG V V --= 则有1133AEGAFGS d SEO =,在△AEG 中,AE AG EG ===所以2AEGS=又1141,AFGABCEO SS ===,所以3d =故点F 到平面AEG20．（1）223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；（2）证明见详解．（1）设直线l 的方程代入抛物线方程，得两根关系，利用弦长公式求得参数，进而求出A ，B 两点坐标，从而求得圆方程；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则11,()A x y '-，由（1）知122y y =-，设设直线A B '的方程代入抛物线方程，得两根关系从而解得参数，求出定点． 解：解：（1）设直线l 的方程为1x ty =+，联立212x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2220y ty --=，12122,2y y t y y +==-所以||AB ===，由||AB =0t =，所以220y -=得,A B 的坐标为，AOB 外接圆的圆心在x 轴上，设圆心为(,0)a ，由222(1)a a =-+，解得32a =， 所以AOB 外接圆的方程为223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （2）证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，则11,()A x y '-， 由（1）知，12122,2y y t y y +==-， 设直线A B '的方程为x my n =+，联立22x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2220ymy n ，则122()y y n -=-，所以22n =-，即1n =-， 所以直线A B '过定点(1,0)-．21．（1）0b =；（2）当(,0]a ∈-∞时，函数()f x 的极值点个数为1；当()20,a e -∈时，函数()f x 的极值点个数为2；当)2,a e -⎡∈+∞⎣时，函数()f x 的极值点个数为0.（1）由题意知，曲线()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为1a +，求导数，代入计算，即可得出结论；（2）令()()g x f x ='，则问题转化为函数()g x 的变号零点的个数，对函数()g x 求导，对a 分类讨论，判断()g x '的正负，得到函数()g x 的单调性，进而判断变号零点个数，从而得解. 解：（1）2()ln 1a b f x x x x '=++-， 由题意可得(1)1f a '=+， 所以11a b a +-=+，所以0b =.（2）由（1）知()()ln f x x a x =+，()ln 1a f x x x'=++， 令()ln 1ag x x x=++，则()f x 极值点的个数即为函数()g x 的变号零点的个数， 所以221()a x a g x x x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0g x '≥在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 因为110,(1)ln(1)01g ae g a a e a⎛⎫=≤-+=-+> ⎪-⎝⎭， 所以函数()g x 在(0,)+∞上只有一个变号零点， 所以当0a 时，函数()f x 的极值点个数为1；②若0a >，则当(0,)x a ∈时，()0g x '<，当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>， 所以()g x 的最小值为()ln 2g a a =+，（i ）若()ln 20g a a =+，即2a e -，则函数()g x 在(0,)+∞上没有变号零点， 所以当2a e -，函数()f x 的极值点个数为0；（ii ）若()ln 20g a a =+<，即20a e -<<，则201a a <<<， 令()221()2ln 1,0h a g a a a e a-==++<<．所以222121()0a h a a a a-'=-=<，所以()h a 在()20,e -上单调递减， 所以()23()30h a h ee->=->，即()20g a >，(1)10g a =+>，即201a a <<<，且()20,()0,(1)0g ag a g >，所以函数()g x 在(0,),(,)a a ∞+上各有一个变号零点， 所以当20a e -<<时，函数()f x 的极值点个数为2． 综上所述，当(,0]a ∈-∞时，函数()f x 的极值点个数为1； 当()20,a e-∈时，函数()f x 的极值点个数为2； 当)2,a e -⎡∈+∞⎣时，函数()f x 的极值点个数为0．点评：本题主要考查导数的概念及其几何意义、导数的运算以及导数在研究函数中的应用，考查分类讨论的数学思想，难点在于第二问，对(,0]a ∈-∞、()20,a e -∈、)2,a e-⎡∈+∞⎣的讨论．22．（1）22113sin ρθ=+；（2）2（1）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换； （2）利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 解：解：（1）曲线C 的参数方程为2cos 2tan 1tan x y βββ=⎧⎪⎨=⎪+⎩（β为参数）， 其中222221sin 2tan sin cos 21tan cos sin cos sin y βββββββββ===+++， 所以2241x y +=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩转换为极坐标方程为22113sin ρθ=+． （2）设()11,M ρθ，()22,N ρθ，123πθθ-=，故()221222221211113sin sin OMONθθρρ-=-=-，不妨设213πθθ=+，故()2222121113sin sin 3sin sin 233ππθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当1sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，2211OM ON -． 23．（1）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）0.（1）构造函数()()1g a f =，然后根据a 的范围进行分类讨论：1a ≤-、112a -<<、12a ≥，分别求解出()1g a ≥的解集，由此求解出结果；（2）采用换元法令2t x =，然后将问题转化为“240t at +≥对于[)0,t ∈+∞恒成立”，再根据0a ≥、0a <进行分类讨论，由此求解出结果.解：解：（1）令()()11221g a f a a ==--+，由题意可知，()1g a ≥，则()3,1141,1213,2a g a a a a ⎧⎪≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当1a ≤-时，()31g a =≥恒成立， 当112a -<<时，()411g a a =--≥，解得12a ≤-，所以112a -<≤-，当12a ≥时，()31g a =-≥不成立， 综上所述：实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）2222x a x a -≤+对x ∈R 恒成立， 令2t x =，则[)0,t ∈+∞，所以22t a t a -≤+对于[)0,t ∈+∞恒成立，即222244484t at a t at a -+≤++对于[)0,t ∈+∞恒成立， 即240t at +≥对于[)0,t ∈+∞恒成立，若0a ≥，240t at +≥对于[)0,t ∈+∞恒成立，若0a <，2t a =-代入式子，可得222244840t at a a a +=-=-<，不符合题意， 综上所述，a 的取值范围为0a ≥，即a 的最小值为0．。
2020年安徽合肥市高考(文科)数学(4月份)模拟试卷 (解析版)
2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）1．设z＝（2+5i）（3﹣i），则|z|＝（）A．5B．C．2D．42．已知集合U＝{x∈Z|﹣3＜x＜8}，∁U M＝{﹣2，1，3，4，7}，N＝{﹣2，﹣1，2，4，5，7}，则M∩N的元素个数为（）A．1B．2C．3D．43．已知a＝，b＝log，c＝（）2.9，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b 4．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的．若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）A．小明B．小红C．小金D．小金或小明5．函数f（x）＝+在[﹣2π，0）∪（0，2π]上的图象大致为（）A．B．C．D．6．为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1，2，3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，有下述三个结论：①若25号员工被抽到，则105号员工也会被抽到；②若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了10人；③若88号员工未被抽到，则10号员工一定未被抽到，其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．37．已知向量＝（m，1），＝（﹣1，2），若（﹣2）⊥，则与夹角的余弦值为（）A．﹣B．C．D．8．若tan（α+β）＝3，tanβ＝2，则＝（）A．B．7C．﹣D．﹣79．框图与程序是解决数学问题的重要手段．实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决．例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入x1＝15，x2＝16，x3＝18，x4＝20，x5＝22，x6＝24，x7＝25，则图中空白框中应填入（）A．i＞6，S＝B．i≥6，S＝C．i＞6，S＝7S D．i≥6，S＝7S10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，m）．若线段F2M与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，且△NOF2的面积是△MON 的2倍，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan C＝，c＝2a，b＝3时，则△ABC的面积为（）A．3B．C．D．12．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1）在椭圆C上，其中x1＞0，y1＞0，若|PQ|＝2|OF2|，||，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．（0，]B．（0，﹣2]C．（，]D．（0，﹣1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在（0，0）处的切线方程为．14．设S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S2＝4，S4＝20，则a n＝．15．函数f（x）＝tan60°sin2x+2sin2x在[]上的值域为．16．已知四棱锥P﹣ABCD中的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥M﹣ABCD体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．（1）求a的值；（2）求A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；（3）不经过计算，直接给出A地区200家实体店经济损失的平均数与6000的大小关系．18．记S n为等差数列{a n}的前n项和，且a10＝4，S15＝30．（1）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n；（2）记数列{2+a n}的前n项和为T n，求满足T n＞0的最小正整数n的值．19．四棱锥S﹣ABCD如图所示，其中四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD⊥DC，SA ⊥平面ABCD，DA＝DC＝AB，AC与BD交于点G，直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为，点M线段SA上．（1）若直线SC∥平面MBD，求的值；（2）若DA＝1，求点A到平面SCD的距离．20．已知函数f（x）＝．（1）判断函数f（x）在（0，2π）上的单调性；（2）若0＜a＜π，求证：当x∈（0，π）时，f（x）＞aln．21．已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在椭圆C上．（1）若线段MN的中点坐标为（2，），求直线MN的斜率；（2）若M，N，O三点共线，直线NF1与椭圆C交于N，P两点，求△PMN面积的最大值．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q两点，且|OP|＝2|OQ|，点M的坐标为（2，0），求△MPQ的面积．[选修4-5不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0．（1）求证：a4﹣a2b2+b4≥；（2）若abc＝1，求证：a3+b3+c3≥ab+bc+ac．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设z＝（2+5i）（3﹣i），则|z|＝（）A．5B．C．2D．4【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：依题意，z＝（2+5i）（3﹣i）＝6﹣2i+15i+5＝11+13i，故．故选：B．2．已知集合U＝{x∈Z|﹣3＜x＜8}，∁U M＝{﹣2，1，3，4，7}，N＝{﹣2，﹣1，2，4，5，7}，则M∩N的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据条件即可求出集合M，然后进行交集的运算即可求出M∩N，从而可得出M∩N的元素个数．解：U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7}，则M＝{﹣1，0，2，5，6}，∴M∩N＝{﹣1，2，5}，∴M∩N的元素个数为3．故选：C．3．已知a＝，b＝log，c＝（）2.9，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b【分析】先化简，和0，1，b比较，然后可得出结论．【解答】解析：依题意，．故选：B．4．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的．若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）A．小明B．小红C．小金D．小金或小明【分析】分别假设”鸿福齐天”是三个人的一个人做的，再判断他们的说法是否正确，即可得到结论．解：①假若”鸿福齐天”是小明做的，则小明说法正确，假设“国富民强”是小红做的，则小红说法也正确，故不合题意；假设“国富民强”小金做的，则小金说法也正确，故不合题意②假若”鸿福齐天”是小红做的，则小明的说法错误，若小明做的“国富民强”，小金做的“兴国之路”，则小红说法正确，小金说法错误，故合题意；若小明做的“兴国之路”，小金做的“国富民强”，则小红说法错误，小金说法正确，故合题意；③假若”鸿福齐天”是小金做的，则小金的说法正确，假若小明做的“国富民强”，小红做的“兴国之路”，则小明说法也错误，小红说法也正确，故不合题意；假若小明做的“兴国之路”，小红做的“国富民强”，则小明说法也错误，小红说法也正确，故不合题意；综上所述则“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B．5．函数f（x）＝+在[﹣2π，0）∪（0，2π]上的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，再利用特殊值分析f（π）、f（2π）的值，排除B、D，由排除法分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝+，则有，故函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；而，排除B，，排除D．故选：A．6．为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1，2，3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，有下述三个结论：①若25号员工被抽到，则105号员工也会被抽到；②若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了10人；③若88号员工未被抽到，则10号员工一定未被抽到，其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】求出抽样间隔f＝，由此能求出结果．解：为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1，2，3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，在①中，抽样间隔f＝，若25号员工被抽到，即第4组的第一名员工被抽到，则第14组的第一名员工即105号员工也会被抽到，故①正确；在②中，若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了12人，故②错误；在③中，若88号员工未被抽到，则8号员工和16号员工被抽到，10号员工一定未被抽到，故③正确．故选：C．7．已知向量＝（m，1），＝（﹣1，2），若（﹣2）⊥，则与夹角的余弦值为（）A．﹣B．C．D．【分析】利用向量坐标运算法则求出，再由向量垂直求出m＝﹣8，由此能求出与夹角的余弦值．解：∵向量＝（m，1），＝（﹣1，2），若﹣2⊥，∴依题意，，而，即﹣m﹣2﹣6＝0，解得m＝﹣8，则cos＜＞＝．故选：B．8．若tan（α+β）＝3，tanβ＝2，则＝（）A．B．7C．﹣D．﹣7【分析】由已知结合tanα＝tan[（α+β）﹣β]，利用两角差的正切公式可求tanα，然后对所求式子结合诱导公式及同角基本关系进行化简可求．α+β解：∵tan（α+β）＝3，tanβ＝2则，∴．故选：B．9．框图与程序是解决数学问题的重要手段．实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决．例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入x1＝15，x2＝16，x3＝18，x4＝20，x5＝22，x6＝24，x7＝25，则图中空白框中应填入（）A．i＞6，S＝B．i≥6，S＝C．i＞6，S＝7S D．i≥6，S＝7S【分析】由题意知该程序的作用是求样本x1，x2，…，x7的方差，模拟程序的运行，即可得解．解：程序框图是为了计算7个数的方差，即输出的，观察可知．故选：A．10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，m）．若线段F2M与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，且△NOF2的面积是△MON 的2倍，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由椭圆的方程可得F2的坐标及渐近线的方程，及直线F2M的方程，由△NOF2的面积是△MON的2倍可得则2|MF2|＝3|NF2|，可得a，b的关系，进而求出离心率的值．解：不妨设m＞0，|NF2|即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故|NF2|＝b，因为△NOF2的面积是△MON的2倍，故，不妨设m＞0，则直线，故．则2|MF2|＝3|NF2|，则．即3a2＝c2，故．故选：B．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan C＝，c＝2a，b＝3时，则△ABC的面积为（）A．3B．C．D．【分析】结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sin A，cos A，cos C的值，又由sin B ＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C求出sin B的值，最后由正弦定理求出a的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．解：因为，且sin2C+cos2C＝1，解得，，而c＝2a，，所以，，故因为，，故a＝2，故．故选：B．12．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1）在椭圆C上，其中x1＞0，y1＞0，若|PQ|＝2|OF2|，||，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．（0，]B．（0，﹣2]C．（，]D．（0，﹣1]【分析】设PF1＝n，PF2＝m，由|PQ|＝2|OF2|，可得四边形PF1QF2为矩形，可得QF1＝PF2，再由||，转化m，n的关系，由题意的定义可得a，c与m，n的关系，可得设参数t，（注意t的范围），进而可得离心率的范围．解：设PF1＝n，PF2＝m，由x1＞0，y1＞0，知m＜n，因为P，Q在椭圆C上，|PQ|＝2|OF2|，所以四边形PF1QF2为矩形，QF1＝PF2；由，可得＜1，由椭圆的定义可得m+n＝2a，n2+m2＝4c2①，平方相减可得mn＝﹣（a2﹣c2）②，由①②得＝＝；令t＝+，令v＝，所以t＝v+，即2，所以a2﹣c2＜c2（a2﹣c2），所以1﹣e2＜e2（1﹣e2），所以，解得；故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在（0，0）处的切线方程为y＝2x．【分析】先对曲线y＝求导，然后得到曲线在（0，0）处切线的斜率k＝y'|x＝0，再求出切线方程．解：由y＝，得，∴曲线y＝在（0，0）处切线的斜率k＝y'|x＝0＝2，∴切线方程为y＝2x．故答案为：y＝2x．14．设S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S2＝4，S4＝20，则a n＝．【分析】由题意可得q≠1，q＞0，由等比数列的求和公式可得S2＝（1﹣q2）＝4，S4＝（1﹣q4）＝20，两式相除可求q，进而可求a1，即可求出通项公式．解：由题意可得q≠1，q＞0，由等比数列的求和公式可得S2＝（1﹣q2）＝4，S4＝（1﹣q4）＝20，两式相除可得1+q2＝5，又数列是正项数列，∴q＝2，∴a1＝，∴a n＝×2n﹣1＝，故答案为：．15．函数f（x）＝tan60°sin2x+2sin2x在[]上的值域为[﹣，2]．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）＝sin（2x﹣）+，结合范围x∈[]，可得：2x﹣∈[，]，进而利用正弦函数的性质即可得解．解：∵f（x）＝tan60°sin2x+2sin2x＝sin2x+2×＝sin2x+﹣cos2x＝sin（2x﹣）+又∵x∈[]，可得：2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，可得f（x）＝sin（2x﹣）+∈[，2]．故答案为：[，2]．16．已知四棱锥P﹣ABCD中的外接球O的体积为36π，PA＝3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥M﹣ABCD体积的最大值为．【分析】求出球半径，将四棱锥P﹣ABCD补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，要使得四棱锥M﹣ABCD的体积最大，只需点M为平面ABCD的中心O'与球心O所在的直线与球的交点，由此能求出M﹣ABCD体积的最大值．解：依题意，＝36π，解得R＝3，将四棱锥P﹣ABCD补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，且c＝3，由于a2+b2＝27，又a2+b2≥2ab，当且仅当时等号成立，此时，要使得四棱锥M﹣ABCD的体积最大，只需点M为平面ABCD的中心O'与球心O所在的直线与球的交点，又，故M﹣ABCD体积的最大值为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．（1）求a的值；（2）求A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；（3）不经过计算，直接给出A地区200家实体店经济损失的平均数与6000的大小关系．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a的值．（2）由图可知，A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为3000，第一块小矩形的面积S1＝0.3，第二块小矩形的面积S2＝0.4，从而所求中位数在[2000，4000）之间，由此能求出中位数．（3）由频率分布直方图得．解：（1）依题意．（0.00015+0.0002+a+0.0006）×2000＝1，解得a＝0.00009．（2）由图可知，A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为3000，第一块小矩形的面积S1＝0.3，第二块小矩形的面积S2＝0.4，故所求中位数在[2000，4000）之间，故所求中位数为．（3）由频率分布直方图得．18．记S n为等差数列{a n}的前n项和，且a10＝4，S15＝30．（1）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n；（2）记数列{2+a n}的前n项和为T n，求满足T n＞0的最小正整数n的值．【分析】第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差为d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{a n}的通项公式以及前n项和S n；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{2+a n}的通项公式，再运用分组求和法计算出前n项和T n，再判断出前n项和T n构成的数列{T n}的单调性，并计算出数列{T n}的前几项的正负性即可得到满足T n＞0的最小正整数n的值．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，整理，得，解得，∴a n＝﹣5+1•（n﹣1）＝n﹣6，n∈N*．S n＝﹣5n+•1＝n2﹣n．（2）由（1）知，+a n＝2n﹣6+4+n﹣6＝2n﹣2+n﹣6，T n＝（+a1）+（+a2）+…+（+a n）＝（2﹣1﹣5）+（20﹣4）+…+（2n﹣2+n﹣6）＝[﹣5﹣4+••+（n﹣6）]+（2﹣1+20+…+2n﹣2）＝+＝+．T n+1﹣T n＝+﹣﹣＝﹣+﹣＝n﹣5+2n﹣1，∵当1≤n≤2时，n﹣5+2n﹣1＜0；当n≥3时，n﹣5+2n﹣1＞0，即当1≤n≤2时，T n+1﹣T n＜0；当n≥3时，T n+1﹣T n＞0，∴T1＞T2＞T3＜T4＜T5＜T6＜…当n＝1时，，当n＝2时，，当n＝3时，，当n＝4时，，当n＝5时，T5＝＞0，∴满足T n＞0的最小正整数n的值为5．19．四棱锥S﹣ABCD如图所示，其中四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD⊥DC，SA ⊥平面ABCD，DA＝DC＝AB，AC与BD交于点G，直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为，点M线段SA上．（1）若直线SC∥平面MBD，求的值；（2）若DA＝1，求点A到平面SCD的距离．【分析】（1）连接MG，由已知得AB∥CD，再由已知结合平行线截线段成比例可得，由线面平行的性质得到SC∥MG，则；（2）在平面SAD内作AN⊥SD于点N，由已知证明AN⊥平面SCD．再由直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为，求解三角形得到AN，即点A到平面SCD的距离．解：（1）连接MG．∵AB⊥AD，AD⊥DC，且AB，CD在同一平面内，∴AB∥CD，设DC＝1，AB＝2，得，∵SC∥平面MBD，平面SAC∩平面MBD＝MG，SC⊂平面SAC，∴SC∥MG，故；（2）在平面SAD内作AN⊥SD于点N，∵SA⊥平面ABCD，∴DC⊥SA，又DC⊥AD，SA∩AD＝A，得DC⊥平面SAD．∵AN⊂平面SAD，∴CD⊥AN．又SD∩CD＝D，∴AN⊥平面SCD．∵直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为，即，又，∴SC＝，则，而AD＝1，SA⊥AD，求得，，即点A到平面SCD的距离为．20．已知函数f（x）＝．（1）判断函数f（x）在（0，2π）上的单调性；（2）若0＜a＜π，求证：当x∈（0，π）时，f（x）＞aln．【分析】（1）依题意，f′（x）＝，再令g（x）＝﹣x cos x+sin x﹣π，利用导数可求得[g（x）]max＝g（π）＝0，即f'（x）≤0，从而可得函数f（x）在（0，2π）上单调递减；（2）依题意，．再证明①当x∈（0，π）时，；②当0＜a＜π时，之后，构造函数令，利用导数即可证得结论成立．解：（1）依题意，f′（x）＝，令g（x）＝﹣x cos x+sin x﹣π，则g'（x）＝x sin x，故当x∈（0，π）时，g'（x）＞0，当x∈（π，2π）时，g'（x）＜0．故[g（x）]max＝g（π）＝0，故g（x）≤0在（0，2π）上恒成立，故f'（x）≤0，即函数f（x）在（0，2π）上单调递减．（2）证明：依题意，．下面证明：①当x∈（0，π）时，；②当0＜a＜π时，；事实上，h（x）＝x﹣sin x，则h'（x）＝1﹣cos x＞0，所以h（x）＝x﹣sin x在（0，π）上单调递增，故h（x）＞h（0）＝0，则x﹣sin x＞0，又x＞0，sin x＞0，则①；令，则．由s'（x）＝0，得s（x）的极小值点为，若，则1＜a＜π，则，故，若，即0＜a≤1，则s（x）在（0，π）上单调递减，故s（x）＞s（π）＝1+alnπ＞1．综上所述，当0＜a＜π时，②；。
安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学(文)试题 含答案
合肥市2020年高三第一次教学质量检测数学试题(文科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12A x x =-<<，{}210B x x =-≥，则A B =I ( ). A.()1+∞， B.1 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C.1 22⎛⎫ ⎪⎝⎭， D.1 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭，2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()()12i 2i z =-+，则z 的共轭复数z =( ). A.43i -B.43i +C.34i +D.34i -3.设双曲线:C 224640x y -+=的焦点为12F F ，，点P 为C 上一点，16PF =，则2PF 为( ).A.13B.14C.15D.17 4.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是( ).A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，2017年进口增速最快5.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点132M ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭，，则cos 2sin 3παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值为( ). A.12- B.3C.1D.326.若执行右图的程序框图，则输出i 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.57.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为边AB 中点，点F 为边BC 中点，将AED DCF ∆∆，分别沿DE DF，折起，使A C ，两点重合于P 点，则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为( ).A.32πB.3πC.6πD.12π 8.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法，不正确．．．的是( ). A.()f x 的图象关于12x π=-对称B.()f x 在[]0π，上有2个零点C.()f x 在区间536ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减D.函数()f x 图象向右平移116π个单位，所得图像对应的函数为奇函数 9.函数22cos x xy x x--=-的图像大致为( ).10.射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241(241Am )低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ).(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.11611.已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则： ①四边形1BFD E 一定是平行四边形；②多面体1ABE DCFD -与多面体1111D C F A B BE -的体积相等； ③四边形1BFD E 在平面11AA D D 内的投影一定是平行四边形； ④平面α有可能垂直于平面11BB D D . 其中所有正确结论的序号为( ).A.①②B.②③④C.①④D.①②④12.已知函数()23f x x a =+(a R ∈)，()39g x x x =-.若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为() b +∞，，则实数a 的取值范围为( ).A.[)5 +∞，B.(]27 5-，C.() 27-∞-，D.()[) 275 -∞-+∞U ，，第Ⅱ卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知实数x y ，满足260x y x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+取得最大值的最优解为 .14.已知向量a =r (1，1)，()= 2b m -r ，，且a r ⊥()2a b +r r，则m 的值等于 . 15.在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2sin sin cos sin A B C C =，则222a b c += ，sin C 的最大值为 .16.已知点()0 2A ，，抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，若此抛物线的准线上存在一点P ，使得APF ∆是以APF ∠为直角的等腰直角三角形，则p 的值等于___________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，424S S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若129180m m m m a a a a +++++++=L (*m N ∈)，求m 的值.18.(本小题满分12分)某汽车公司生产新能源汽车，2019年3-9月份销售量(单位：万辆)数据如下表所示：月份x 3456789销售量y (万辆)3.008 2.401 2.189 2.656 1.665 1.672 1.368(1)2辆，6辆汽车随机地分配给A ，B 两个部门使用，其中A 部门用车4辆，B 部门用车2辆.现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业B 部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；(2)经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设y 关于x 的线性回归方程为$$y bx a =+$，根据表中数据可计算出0.2465b=-$，试求出$a 的值，并估计该厂10月份的销售量.19. (本小题满分12分)如图，该几何体的三个侧面11AA B B ，11BB C C ，11CC A A 都是矩形. (1)证明：平面ABC ∥平面111A B C ；(2)若12AA AC =，AC AB ⊥，M 为1CC 中点，证明：1A M ⊥平面ABM .20.(本小题满分12分)设椭圆:C 22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为12F F ，，椭圆的上顶点为点B ，点A 为椭圆C 上一点，且1130F A F B +=u u u v u u u v v .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若1b =，过点2F 的直线交椭圆于M N ，两点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程.21.(本小题满分12分)已知函数()()1ln f x x x =+，()()1g x a x a R =-∈，. (1)求直线()y g x =与曲线()y f x =相切时，切点T 的坐标；(2)当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2321x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为(3，1)，求AM AN +.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x m x =--+(m R ∈)，不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. (1)求m 的值；(2)若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(4，2) 14.1 15.35(第一空2分，第二空3分) 16.43三、解答题：大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =得，114684a d a d +=+，整理得12d a =. 又∵11a =，∴2d =，∴()1121n a a n d n =+-=-(*n N ∈). ………………………5分 (2)129180m m m m a a a a +++++++=L 可化为10452080180m a d m +=+=， 解得5m =. ………………………12分18.(本小题满分12分)(1)设某企业购买的6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为1C ，2C ，3C ，4C ；5月份生产的2辆车为1D ，2D ，6辆汽车随机地分配给A B ，两个部门.B 部门2辆车可能为(1C ，2C )，(1C ，3C )，(1C ，4C )，(1C ，1D )，(1C ，2D )，(2C ，3C )，(2C ，4C )，(2C ，1D )，(2C ，2D )，(3C ，4C )，(3C ，1D )，(3C ，2D )，(4C ，1D ，(4C ，2D )，(1D ，2D )共15种情况；其中，至多有1辆车是四月份生产的情况有：(1C ，1D )，(1C ，2D )，(2C ，1D )，(2C ，2D )，(3C ，1D )，(3C ，2D )，(4C ，1D )，(4C ， 2D )，(1D ，2D )共9种，所以该企业B 部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率为93155P ==．………………………5分 (2)由题意得6x =， 2.137y =.因为线性回归方程过样本中心点()x y ，，所以()$2.13760.2465a =⨯-+，解得$ 3.616a =.当10x =时，$0.246510 3.616 1.151y =-⨯+=， 即该厂10月份销售量估计为1.151万辆. ………………………12分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案DBBCABCCACDD19.(本小题满分12分)(1)∵侧面11AA B B 是矩形，∴11//A B AB .又∵11A B ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴11//A B 平面ABC . 同理可得：11//A C 平面ABC .∵11111A B AC A =I ，∴平面//ABC 平面111A B C . ………………………5分 (2)∵侧面111111AA B B BB C C CC A A ，，都是矩形，∴1A A AB ⊥. 又∵AC AB ⊥，1A A AC A =I ，∴AB ⊥平面11AAC C . ∵111A M AAC C ⊂平面，∴1AB A M ⊥.∵M 为1CC 的中点，12AA AC =，∴11ACM AC M ∆∆，都是等腰直角三角形， ∴1145AMC A MC ∠=∠=o ，190A MA ∠=o ，即1A M A M ⊥.而AB AM A =I ，∴1A M ⊥平面ABM . ………………………12分20.(本小题满分12分)解：(1)设A (00x y ，)，B ()0b ，，()1 0F c -，.由1130F A F B +=u u u v u u u v v得 000043403303c x x c y b by ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，即433b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 又∵A (00x y ，)在椭圆:C 22221x y a b +=上， ∴222241331c b a b⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，得2c a =，即椭圆C 的离心率为22e =.………………………5分(2)由(1)知，2e =.又∵1b =，222a b c =+，解得22a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.当线段MN 在x 轴上时，交点为坐标原点(0，0).当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为1x my =+，()11M x y ，，()22N x y ，， 代入椭圆方程2212x y +=中，得()222210m y my ++-=.∵点2F 在椭圆内部，∴0∆>， 12222my y m +=-+， 则()12122422x x m y y m +=++=+，∴点()P x y ，的坐标满足222x m =+，22my m =-+， 消去m 得，2220x y x +-=(0x ≠).综上所述，点P 的轨迹方程为2220x y x +-=. ……………………………12分21.(本小题满分12分)(1)设切点坐标为()00x y ，，()1ln 1f x x x'=++，则()()000001ln 11ln 1x a x x x a x ⎧++=⎪⎨⎪+=-⎩，∴00012ln 0x x x -+=. 令()12ln h x x x x=-+，∴()22210x x h x x -+'=-≤，∴()h x 在()0+∞，上单调递减， ∴()0h x =最多有一个实数根.又∵()10h =，∴01x =，此时00y =，即切点T 的坐标为(1，0). ………………………5分(2)当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，等价于()1ln 01a x x x --<+对()0 1x ∈，恒成立. 令()()1ln 1a x h x x x -=-+，则()()()()2222111211x a x ah x x x x x +-+'=-=++，()10h =. ①当2a ≤，()1x ∈0，时，()22211210x a x x x +-+≥-+>， ∴()0h x '>，()h x 在()0 1x ∈，上单调递增，因此()0h x <. ②当2a >时，令()0h x '=得()()2212111111x a a x a a =---=---，.由21x >与121x x =得， 101x <<.∴当()1 1x x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()1 1x x ∈，时，()()10h x h >=，不符合题意； 综上所述得，a 的取值范围是(] 2-∞，.……………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，∴2246x y x y +=+， 即曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. …………………………5分 (2)把直线23:21x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C 得22221213t ⎛⎫⎛+-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 整理得，23280t t --=.∵(232320∆=-+>，设12t t ，为方程的两个实数根，则 1232t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A (3，1)在直线l 上， ∴()21212121245052AM AN t t t t t t t t +=+=-=+-.…………………………10分23.(本小题满分10分)解：(1)∵()2f x x m x =--+，∴()220f x x m x -=---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥，解得28m +=，即6m =. …………………………5分 (2)∵6m =，∴212a b c ++=. 又∵0a >，0b >，3c >， ∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-=()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-，结合212a b c ++=解得3a =，1b =，7c =时，等号成立， ∴()()()113a b c ++-的最大值为32.…………………………10分。
安徽省合肥市裕兴学校2020年高三数学文模拟试题含解析
安徽省合肥市裕兴学校2020年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内,复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A略2. 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．【解答】解：或n?α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得，故③正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选A【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的判定，性质，及几何特征是解答本题的关键．3. 明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知”.已知正整数被3除余2，被5除余3，被7除余4，求的最小值.按此歌诀得算法图，则输出的结果为（）A．53 B．54 C．158 D．263参考答案：A4. 某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A．B．C．D．参考答案：B略5. 如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6 B．C．D．2参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求b的值．【解答】解：由题意，==∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数∴∴b=，故选：C．【点评】本题以复数为载体，考查复数的化简，考查复数的基本概念，属于基础题．6. 已知函数y=x3在x=a k时的切线和x轴交于a k+1，若a1=1，则数列{a n}的前n项和为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】通过斜率公式计算可得递推关系，进而可得结论．【解答】解：∵函数y=x3，∴y′=3x2，∴=3，即=3，化简得：3a k+1=2a k，即=，又∵a1=1，∴S n==3﹣，故选：D．【点评】本题考查求数列的和，考查运算求解能力，利用斜率求出递推关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的表面积为（单位：m2）( )A．（11+）πB．（12+4）πC．（13+4）πD．（14+4）π参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和圆锥组成的组合体，分别求出各个面的面积，相加可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和圆锥组成的组合体，圆柱的底面直径为2，故底面周长为2π圆柱的高为4，故圆柱的侧面积为8π，圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，底面面积S=4π，圆锥的高h=2，故母线长为2，故圆锥的侧面积为：4，组合体的表面积等于圆锥的底面积与圆锥的侧面积及圆柱侧面积的和，故组合体的表面积S=（12+4）π，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8. 设,，若，，则的最大值为( )A．1 B．2 C．3D．4参考答案：B9. 已知等差数列中，，那么（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D略10. 定义函数,则函数在区间内的所有零点的和为（）A．B． C. D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线l：y=kx+4（k≠±4）交双曲线C：x2﹣=1于A，B两点，交x轴于Q，交y轴于P，若，且，则k2=．参考答案：4【考点】双曲线的简单性质．【分析】设及A、B两点的坐标，求得P，Q的坐标，利用，找到λ1和λ2与A、B两点的坐标和直线l的斜率的关系，再利用A、B两点是直线和双曲线的交点以及λ1+λ2=﹣，联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和代入法，化简整理，即可求出直线l的k2．【解答】解：l的方程：y=kx+4（k≠±4，且k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（﹣，0），P（0，4），∵，∴（﹣，﹣4）=λ1（x1+，y1）=λ2（x2+，y2），∴λ1==﹣，同理λ2=﹣，所以λ1+λ2=﹣﹣=﹣．即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）又y=kx+4以及x2﹣=1，消去y得（3﹣k2）x2﹣8kx﹣19=0．当3﹣k2=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3﹣k2≠0．由韦达定理有：x1+x2=，x1x2=﹣，代入（*）式得，2k2（﹣）+5k（）+8=0，解得k2=4，故答案为：4．12. 若函数﹣4的零点m∈（a，a+1），a为整数，则所以满足条件a的值为．参考答案：a=1或a=﹣2考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先可判断函数﹣4是偶函数，且在【题文】已知函数为实数．（1）当a=﹣1时，判断函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y=f（x）的最小值．【答案】【解析】考点：函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）f（x）=|x﹣|=x﹣在（1，+∞）上单调递增，利用f′（x）=1+＞0可得；（2）a≤0时，x=时，函数取得最小值0；a＞0时，f（x）=x+时，利用基本不等式求出y=f（x）的最小值为2．解答：解：（1）f（x）=|x﹣|=x﹣在（1，+∞）上单调递增．∵f′（x）=1+＞0，∴y=f（x）在（1，+∞）上在（1，+∞）上单调递增；（2）a＜0时，x=时，函数取得最小值0；a=0时函数无最小值；a＞0时，f（x）=x+≥2，当且仅当x=时，y=f（x）的最小值为2．点评：本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．13. 若集合，，且，则实数取值的集合为．参考答案：{﹣1,0,1}14.已知函数，若，则＝参考答案：答案：或15. 在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），，曲线（为参数），若曲线C1、C2有公共点，则实数a的取值范围为．参考答案：[，]略16. 已知两个单位向量的夹角为，，则m=______．参考答案：【分析】直接把代入化简即得m的值.【详解】，所以，故答案为．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17. 已知点为坐标原点，点满足则的最大值是 .参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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2020年安徽合肥高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）．A. B. C. D.3.设双曲线的焦点为，，点为上一点，，则为（ ）．A. B. C. D.4.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“世纪海上丝绸之路”的简称，旨在移极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自年以来，“一带一路”建设成果显著．右图是年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图．下列描述错误的是（ ）．A.这五年，年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，年进口增速最快5.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的负半轴重合，终边过点，则的值为（ ）．A.B.C.D.6.若执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）．开始，，，？输出结束是否A.B.C.D.7.已知正方形的边长为，点为边中点，点为边中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）．A.B.C.D.8.已知函数则下列关于函数的说法，不正确的是（ ）．A.的图象关于对称B.在上有个零点C.在区间上单调递减D.函数图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数9.函数的图象大致为（ ）．A.B.C.D.10.射线测厚技术原理公式为，其中，分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅低能 射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢的密度为，则这种射线的吸收系数为（ ）．(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到）A.B.C.D.11.已知正方体，过对角线，作平面交棱于点，交棱于点，则：①四边形一定是平行四边形．②多面体，与多面体的体积相等．③四边形在平面内的投影一定是平行四边形．④平面有可能垂直于平面．其中所有正确结论的序号为（ ）．A.①②B.②③④C.①④D.①②④12.已知函数，．若存在实数使不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数，满足，则取得最大值的最优解为 ．14.已知向量，，且，则的值等于 ．15.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则，的最大值为 ．16.已知点，抛物线的焦点为，若此抛物线的准线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形，则的值等于 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知等差数列的前项为，，．求数列的通项公式．若（），求的值．（1）（2）18.某汽车公司生产新能源汽车，年月份销售量（单位：万辆）数据如下表所示：月份销售量（万辆）某企业响应国家号召，购买了辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的辆，五月份生产的辆，辆汽车随机地分配给，两个部门使用，其中部门用车辆，部门用车辆，现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回．求该企业部门辆车中至多有辆车被召回的概率．经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近．设关于的线性回归方程为，根据表中数据可计算出，试求出的值，并估计该厂月份的销售量．（1）（2）19.如图，该几何体的三个侧面，，都是矩形．证明：平面平面．若，，为中点，证明：平面．（1）（2）20.设椭圆的左右焦点分别为，，椭圆的上顶点为点，点为椭圆上一点，且．求椭圆的离心率．若，过点的直线交椭圆于，两点，求线段的中点的轨迹方程．（1）（2）21.已知函数，，．求直线与曲线相切时，切点的坐标．当时，恒成立，求的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为．求曲线的直角坐标方程．设曲线与直线交于点，，点的坐标为，求．（1）（2）23.已知函数（），不等式的解集为．求的值．若，，，且，求的最大值．【答案】解析:集合，集合，∴，即．故选．解析:∵．∴．故选．解析:由，可得，所以双曲线的焦点在轴，且．则由双曲线的定义可得，即，则，又因为，所以或（舍去），所以．故选．解析:根据图表可知：这五年中，出口额最小，故正确；并且这五年中，出口总额比进口总额多，故正确；出口增速在前三年逐年下降，然后慢慢增加，故错误；D 1.B 2.B 3.C 4.其中第五年的进口增速最大，故正确．解析:根据题意可知，，．故选．解析:如图程序框图中，初始值，，，第次循环：，，成立，．第次循环：，，成立，．第次循环：，，成立，．第次循环：，，不成立．故选．解析:A 5.B 6.C 7.如图，由题意可知：，，分别为，的中点，所以，，故，．点为、分别沿，折起后，，的重合点，，平面．取的中心为，作交垂线于点，为外接球的球心．．三棱锥外接球表面积为．故选．解析:当时，，故排除项；，∴的奇函数，故排除项；∵当，，∴正确，错误．故选．C 8.A 9.解析:∵，又∵半层厚度为，∴，∴．而，，∴，∴，∴，∴选．解析:①如图（）所示，平面平面，D 1图且平面平面．平面平面．∴，同理．∴四边形为平行四边形．②由①知，∵和均为直角三角形，且，∴≌，∴多面体与多面体的体积相等．③如图所示，C 10.D 11.图由②知≌，∴，即，∵，∴四边形为平行四边形．如图所示，图点为点重合，点与点重合，∴即为四边形在平面的投影此时为三角形，故③不正确．④如图所示，建立空间直角坐标系，设，图则∴，设平面的法向量为则，令，则，∵点在上，故设，则，设平面的法向量为，则，令，则，∴，若平面，则，即．即，故④正确．综上所述，①②④正确，故选选项．解析:若使：的解集为，即，使之解集为．，使：的解集为．令，则，当和时，，单调递增．，，单调递减．大致作出图象．D 12.yxO要使的解集为，则只需或，∴．故选．13.解析:实数，满足，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图所在区域为可行域，目标函数变形为为斜率为，随变化的一族平行直线，当直线经过可行域中点时有最大值，解方程组，解得点坐标为，，所以取得最大值为．解析:∵向量，，，由，则，．解得．∴．故答案为：．解析:由正弦定理知可化为，由余弦定理知，，∴，即，∴．∵，∵，∴，即的最小值为，∵，∴的最大值为，∵∴的最大值为．14. ;15.16.（1）解析:设，而，，，，又，∴，∴，又，∴，∴，，，∴，∴，或，∴，又，∴．解析:设等差数列的公差为，（1）（）．（2）．17.（2）（1）（2）（1）由得，，整理得．又∵，∴，∴（）．可化为，解得．解析:设某企业购买的辆新能源汽车，月份生产的辆车为，，，，月份生产的辆车为，，辆汽车随机地分配给，两上部门，部门辆车可能为，，，，，，，，，，，，，，共种情况；其中，至多有辆车是四月份生产的情况有：，，，，，，，，共种，所以该企业部门辆车中至多有辆车被召回的概率为．由题意得，，因为线性回归方程过样本中心点，所以，解得，当时，，即该厂月份销售量估计为万辆．解析:∵侧面是矩形，∴．又∵平面，平面，∴平面．（1）．（2），万辆．18.（1）证明见解析．（2）证明见解析．19.（2）（1）（2）同理可得：平面．∵，∴平面平面．∵侧面，，都是矩形，∴．又∵，，∴平面．∵平面，∴．∵为的中点，，∴，都是等腰直角三角形，∴，，即．而，∴平面．解析:设，，．由得，即，又∵在椭圆上，∴，得，即椭圆的离心率为．由（）知，．又∵，，解得，，∴椭圆的方程为．当线段在轴上时，交点为坐标原点．当线段不在轴上时，设直线的方程为，，，（1）．（2）．20.（1）（2）代入椭圆方程中，得．∵点在椭圆内部，∴，，则，∴点的坐标满足，，消去得，．综上所述，点的轨迹方程为．解析:设切点坐标为，，则，∴，令，∴，∴在上单调递减，∴最多有一个实数根，又∵，∴，此时，即切点的坐标为．当时，恒成立，等价于对恒成立，令，，．①当，时，，∴，在上单调递增，因此．②当时，令得，，由与得，，∴当时，，单调递减，∴当时，，不符合题意，综上所述得，的取值范围是．（1）．（2）．21.（1）（2）（1）（2）解析:曲线的方程，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为：．把直线代入曲线得，整理得，．∴，设，为方程的两个实数根，则 ，，∴，为异号，又∵点在直线上，∴．解析:∵，∴的解集为，∴，解得，即．∵，∴，又∵，，，∴．（1）．（2）．22.（1）．（2）的最大值为．23.当且仅当，结合，解得，，时，等号成立，∴的最大值为．。