高中数学周期函数、公式的总结、推导、证明过程
高中数学公式及知识点总结大全(精华版)
平面与平面垂直的判定 1、二面⻆的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭l
β
B α
2、二面⻆的记法：二面⻆α-l-β或α-AB-β
11
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
12
共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3 等⻆定理：空间中如果两个⻆的两边分别对应平行，那么这两个⻆相等或互补
4 注意点：
① a'与 b'所成的⻆的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直线
八、复数 53、复数的除法运算
.
54、复数
的模 =
=
.
55、复数的相等：
.（
56、复数
的模（或绝对值） =
=
57、复数的四则运算法则
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
58、复数的乘法的运算律
对于任何
，有
交换律:
.
结合律:
分配律:
. .
） .
.
九、参数方程、极坐标化成直⻆坐标
9
55、
十、命题、充要条件
充要条件（记 表示条件， 表示结论）
（1）充分条件：若
，则 是 充分条件.
高中数学公式的推导与证明方法讲解
高中数学公式的推导与证明方法讲解数学作为一门科学，其独特的语言和逻辑性给人们带来了无限的乐趣和挑战。
高中数学作为数学学科的重要组成部分，其中的公式推导和证明方法更是数学思维和逻辑推理的重要体现。
本文将从几个常见的高中数学公式出发，讲解其推导和证明方法，帮助读者深入理解数学的精髓。
一、勾股定理的推导与证明勾股定理是高中数学中最基础也是最重要的公式之一。
其推导和证明方法有多种，其中最常见的是几何法和代数法。
几何法的推导方法是通过构造直角三角形来证明勾股定理。
首先，我们可以构造一个直角三角形ABC，其中∠B为直角，边长分别为a、b、c。
然后，利用勾股定理的假设条件，即a² + b² = c²，我们可以通过几何推理得出结论。
例如，我们可以通过画两个辅助线，将三角形ABC分成两个直角三角形ACD和BCD，利用这两个直角三角形的几何关系来证明勾股定理。
代数法的推导方法是通过代数运算来证明勾股定理。
首先，我们可以假设直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
然后，我们可以利用勾股定理的假设条件，即a² + b² = c²，通过代数运算来证明这个等式。
例如，我们可以将a²和b²分别展开为(a + b)²和(a - b)²，然后将这两个展开式相加，得到c²。
通过这样的代数运算，我们可以证明勾股定理成立。
二、二次函数的顶点坐标推导与证明二次函数是高中数学中的重要内容，其顶点坐标的推导和证明方法可以通过几何法和代数法来进行。
几何法的推导方法是通过几何图形来证明二次函数的顶点坐标。
首先，我们可以将二次函数表示为y = ax² + bx + c的形式，其中a、b、c为常数。
然后，我们可以通过几何图形的性质，如对称性和切线垂直于曲线等，来推导出二次函数的顶点坐标。
例如，我们可以通过画出二次函数的图像，并找出曲线的对称轴，进而确定顶点坐标。
高中数学函数知识点总结(经典收藏)
高中数学函数学问点总结1. 对于集合，肯定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |======中元素各表示什么？A 表示函数y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进展集合的交、并、补运算时，不要遗忘集合本身和空集的特殊状况 留意借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1013明显，这里很简洁解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。
故B 只能是-1或者3。
依据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万当心，还有一个B 为空集的状况，也就是a=0,不要把它搞遗忘了。
3. 留意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。
同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n种选择， 即集合A 有2n个子集。
当然，我们也要留意到，这2n种状况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的状况，故真子集个数为21n-，非空真子集个数为22n -（）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==（3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，有些版本可能是这种写法，遇到后要可以看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（解除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。
高中数学周期函数、公式总结、推导、证明过程
高中数学涉及周期的公式，例题，证明12以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。
解周期问题，两种方法：1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。
1. 已知f(X)是R 上不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x +1)=(x +1)f(x)，则f [f (52)]= 解：令x=0，f(0)=0; 令x =−12，f (−12)=0； 令x =12，f (32)=0； 令x =32，f (52)=0； ∴ f [f (52)]=f (0)=02. 定义在R 上的函数f(x)满足f (x )={log 2(1−x ),x ≤0f (x −1)−f (x −2),x >0，则f(2009)=解：整理f (x )=f (x −1)−f (x −2)， 得到f (x −1)=f (x )+f (x −2)令x=x+1得到，f (x )=f (x +1)+f (x −1)由公式6知道周期为6，即f (x +6)=f(x)，x>0 f(2009)=f (334×6+5)=f(5)。
由公式f (x )=f (x −1)−f (x −2)得f(5)=f(4)−f(3)=(f(3)−f(2))−f(3)=−f(2)=−(f(1)−f(0))=−((f(0)−f(−1))−f(0))=f(−1)=0，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y),x,y∈R，则f(2010)=3.已知函数f(x)满足f(1)=14思路：消元和赋值。
令x=x,y=1，则f(x)=f(x+1)+f(x−1)，根据公式6知道，f(x+6)=f(x)，∴f(2010)=f(335×6)=f(0)。
令y=0，则4f(x)f(0)=2f(x)，∵ x不恒为零，∴f(0)=12∴f(2010)=1。
2下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。
高中数学周期函数、公式总结、推导、证明过程.docx
高中数学涉及周期的公式,例题,证明以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。
解周期问题,两种方法：1.列举多个数据,找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。
1.已知f(X)是R上不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),则f[f(52)]=解：令x=0 ,f(0)=0;令x=−12,f(−12)=0；令x=12,f(32)=0；令x=32,f(52)=0；∴ f[f(52)]=f(0)=02.定义在R上的函数f(x)满足f(x)={log2(1−x),x≤0f(x−1)−f(x−2),x>0,则f(2009)= 解：整理f(x)=f(x−1)−f(x−2),得到f(x−1)=f(x)+f(x−2)令x=x+1得到,f(x)=f(x+1)+f(x−1)由公式6知道周期为6 ,即f(x+6)=f(x),x>0f(2009)=f(334×6+5)=f(5)。
由公式f(x)=f(x−1)−f(x−2)得f(5)=f(4)−f(3)=(f(3)−f(2))−f(3)=−f(2)=−(f(1)−f(0))=−((f(0)−f(−1))−f(0))=f(−1)=0,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y),x,y∈R,则f(2010)=3.已知函数f(x)满足f(1)=14思路：消元和赋值。
令x=x,y=1 ,则f(x)=f(x+1)+f(x−1) ,根据公式6知道,f(x+6)=f(x) ,∴f(2010)=f(335×6)=f(0)。
令y=0 ,则4f(x)f(0)=2f(x) ,∵ x不恒为零,∴f(0)=12∴f(2010)=1。
2下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程,并总结了推导周期过程的一般思路。
因为word 输入数学公式太过麻烦,所以手写了出来,以图片的形式奉上。
高中所有数学定理以及公式
高中所有数学定理以及公式三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ²cotα＝1sinα ²cscα＝1cosα ²secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。
）sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ²tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ²tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin———²cos———2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos———²sin———2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos———²cos———2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin———²sin———2 2 1sinα ²cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 21cosα ²sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）] 21cosα ²cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ²sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式集合、函数集合简单逻辑任一x∈A x∈B，记作A BA B，B A A＝BA B＝{x|x∈A，且x∈B}A B＝{x|x∈A，或x∈B}card（A B）＝card（A）+card（B）－card（A B）（1）命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若 p则 q逆否命题若 q，则 p（2）四种命题的关系（3）A B，A是B成立的充分条件B A，A是B成立的必要条件A B，A是B成立的充要条件函数的性质指数和对数（1）定义域、值域、对应法则（2）单调性对于任意x1，x2∈D若x1＜x2 f（x1）＜f（x2），称f（x）在D上是增函数若x1＜x2 f（x1）＞f（x2），称f（x）在D上是减函数（3）奇偶性对于函数f（x）的定义域内的任一x，若f（－x）＝f（x），称f （x）是偶函数若f（－x）＝－f（x），称f（x）是奇函数（4）周期性对于函数f（x）的定义域内的任一x，若存在常数T，使得f（x+T）＝f(x)，则称f（x）是周期函数（1）分数指数幂正分数指数幂的意义是负分数指数幂的意义是（2）对数的性质和运算法则loga（MN）＝logaM+logaNlogaMn＝nlogaM（n∈R）指数函数对数函数（1）y＝ax（a＞0，a≠1）叫指数函数（2）x∈R，y＞0图象经过（0，1）a＞1时，x＞0，y＞1；x＜0，0＜y＜10＜a＜1时，x＞0，0＜y＜1；x＜0，y＞1a＞ 1时，y＝ax是增函数0＜a＜1时，y＝ax是减函数（1）y＝logax（a＞0，a≠1）叫对数函数（2）x＞0，y∈R图象经过（1，0）a＞1时，x＞1，y＞0；0＜x＜1，y＜00＜a＜1时，x＞1，y＜0；0＜x＜1，y＞0a＞1时，y＝logax是增函数0＜a＜1时，y＝logax是减函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)＝b f（x）＝ab（a＞0，a≠1）同底型logaf（x）＝logag（x） f（x）＝g（x）＞0（a＞0，a≠1）换元型 f（ax）＝0或f (logax)＝0数列数列的基本概念等差数列（1）数列的通项公式an＝f（n）（2）数列的递推公式（3）数列的通项公式与前n项和的关系an+1－an＝dan＝a1+（n－1）da，A，b成等差 2A＝a+bm+n＝k+l am+an＝ak+al等比数列常用求和公式an＝a1qn＿1a，G，b成等比 G2＝abm+n＝k+l aman＝akal不等式不等式的基本性质重要不等式a＞b b＜aa＞b，b＞c a＞ca＞b a+c＞b+ca+b＞c a＞c－ba＞b，c＞d a+c＞b+da＞b，c＞0 ac＞bca＞b，c＜0 ac＜bca＞b＞0，c＞d＞0 ac＜bda＞b＞0 dn＞bn（n∈Z，n＞1）a＞b＞0 ＞（n∈Z，n＞1）（a－b）2≥0a，b∈R a2+b2≥2ab|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法（1）要证明不等式a＞b（或a＜b），只需证明a－b＞0（或a－b＜0＝即可（2）若b＞0，要证a＞b，只需证明，要证a＜b，只需证明综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。
高中数学总结——常用公式与推论
高中数学总结——公式与推论（理科）张皓翔成都二十中一．关于函数1. 抽象函数的周期（1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2．奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为广义（Ⅰ）型偶函数，且当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是广义（Ⅰ）型奇函数，当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|3.抽象函数的对称性（1）若f（x)满足f（a+x）+f（b-x）=c则函数关于（，）成中心对称（充要）（2）若f（x）满足f（a+x）=f（b-x）则函数关于直线x=成轴对称（充要）4.洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)5.常见奇函数（1）. y=sinx y=tanx（2）. y=x n(n∈2k+1 k∈Z)（3）. y=lg(√1+x2−x)−x→y=lg√1+(ax2)±ax y=lg b−axb=ax（4）. f(x)=a x−1(a>0 且 a≠1)a x+1（5）. f(x)=|x+a|−|x−a|6.抽象函数模型（1）.f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=kx（2）.f(x+y)=f(x)f(y) f(x)=a x)=f(x) -f(y) f(x)=log a x（3）.f(xy)=f(x)+f(y) f(xy二、三角函数1.三角形恒等式（1）在△中，（2）正切定理&余切定理：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（3）（4）(5)2．任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在△ABC中a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA3. 任意三角形内切圆半径r=（S为面积），外接圆半径欧拉不等式：R>2r4．梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是5．塞瓦定理如下图，AD、BE、CF三线共点的充要条件是6. 斯特瓦尔特定理：如下图，设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有A²DC+AC²BD-AD²BC＝BC DC BD7、和差化积公式（只记忆第一条）sinα+sinβ=2sin cossinα-sinβ=2cos sincosα+cosβ=2cos coscosα-cosβ=-2sin sin8、积化和差公式sinαsinβ=-cosαcosβ=sinαcosβ=cosαsinβ=9、万能公式10．三角混合不等式：若x∈（0，),sinx＜x＜tanx当x→0时sinx x tanx11.海伦公式变式如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c，大三角形面积为12.双曲函数定义双曲正弦函数sinhx=，双曲余弦函数coshx=易知（1）奇偶性：sinhx为奇函数，coshx为偶函数（2）导函数：（sinhx）’=coshx，（coshx）’=sinhx（3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhycosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4）复数域：sinh（ix）=isin（x）cosh（ix）=icos（x）（5）定义域：x∈R（6）值域：sinhx∈R，coshx∈[1，+∞）13.三角形三边a.b.c成等差数列，则14.三角形不等式（1）在锐角△中，（2）在△中，（3）在△中，sinA>sinB cos2A>cos2B15．ASA的面积公式：三、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）1.A n+1=kA n+f(n)两边同除以k n+1，构造数列｛｝，通过累加法得出通项公式2. A n+1=kA n+C设一常数x，A n+1+x=k（A n+x）A n+1 =kA n+（k-1）x则（k-1）x=C，求出x=，得到等比数列｛｝,公比为k3．不动点法：形如A n+1=（d≠0，当d=0时，则是第二种情况），设函数f(x)=，x=的根称为f(x)的不动点，（1）若函数f（x）有2个不动点α，β则数列{}是一个等比数列，A’n==，A n=（2）若函数f（x）只有一个不动点α则数列{}数一个等差数列，A’n=（3）若函数f（x）没有不动点，则数列{A n}是周期数列，周期自己找4．特征方程法：形如A n+2=pA n+1+qA n称为二阶递推数列，我们可以用它的特征方程x²-px-q=0的根来求它的通项公式（1）若方程有两根x1，x2，则A n=x1n-1+x2n-1 (,可根据题目确定)（2）若只有一个根x0A n=(+n)x0n-1(,可根据题目确定)5．变系数一阶递推数列四、不等式1.权方和不等式（赫德尔不等式推出）当且仅当2.黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数f(x)当f(x)为减时，当f(x)为增时，3．琴生不等式函数的平均数与平均数的函数之间的关系当f(x)为凹函数，即f’’（x）>0时当f(x)为凸函数，即f’’（x）<0时当且仅当x1=x2=∧=x n时，等号成立4.卡尔松不等式5．排序不等式当且时，其中以上可概括为顺序和≥乱序和≥倒序和5．切比雪夫总和不等式（排序不等式推出）当a n与b n逆序时当a n与b n顺序时不等式反向6．舒尔不等式（Schur不等式）x t（x-y）（x-z）+y t（y-x）（y-z）+z t（z-x）(z-y)≥0当x=y=z时，等号成立配Schur法（Schur分拆法）三元齐三次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=a+b+cxyz 三元齐四次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=三元齐五次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=7．常用对数不等式当x〉-1时，当且仅当x=0时等号成立8.伯努利不等式当x≥-1，n≥0时或n为正偶数，x∈R时（1+x）n≥1+nx当n=0或1，或x=0时等号成立9．uvw法和pqr法（解决三元对称轮换式）uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式当a.b.c为非负实数时，用uvw法；当a,b,c∈R时，用pqr法10.SOS法（配方法）不解释11．拉格朗日乘数法（解决条件极值问题）已知f(x,y,z)=0，求F（x,y,z）的极值构造拉格朗日函数L=F（x,y,z）+λf(x,y,z)对F（x,y,z）分别关于x,y,z，λ求偏导，得到四元方程组，其中对F（x,y,z）关于λ求偏导所得方程即f(x,y,z)=0解四元方程组所得解，即F（x,y,z）的极值点，从而算出极值。
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结高中数学函数知识点总结篇一一、增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
二、单调区间单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大（或减小）恒成立。
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间。
一、指数函数的定义指数函数的一般形式为y=a^x(a0且≠1) (x∈R)。
二、指数函数的性质1、曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）2、曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）一、对数与对数函数定义1、对数：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
2、对数函数：一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
二、方法点拨在解决函数的综合性问题时，要根据题目的具体情况把问题分解为若干小问题一次解决，然后再整合解决的结果，这也是分类与整合思想的一个重要方面。
一、幂函数定义形如y=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
二、性质幂函数不经过第三象限，如果该函数的指数的分子n是偶数，而分母m是任意整数，则y0,图像在第一；二象限。
这时(-1)^p的指数p的奇偶性无关。
高中数学常用公式、重要结论及典型例题(函数与导数)
高中数学常用公式、重要结论及典型例题函数与导数（内部资料翻录必究）相关概念1. 函数的定义域：定义域是一个集合，要用集合或区间来表示，如果用区间表示，不能用“或”连接，要用U “”连接。
2. 如()f x 的定义域为[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由()a g x b ≤≤求出。
3. 任何一个定义域关于原点对称的函数)(x f ，都可以写成一个奇函数)(x h 与一个偶函数)(x g 之和的形式（事实上，这种表示还是唯一的，令()()()()12h x f x f x =--，()()()()12g x f x f x =+-即可）。
1) 凸函数（凹函数）：设函数)(x f 在区间I 有定义，若对12,(0,1)x x I t ∀∈∈、，都有 )()1()())1((2121x f t x tf x t tx f -+≤-+（或)()1()())1((2121x f t x tf x t tx f -+≥-+），则称)(x f 为区间I 上的凸函数（或凹函数）。
2) 凸函数（凹函数）快速判断：如果函数)(x f 的二阶导数存在，则()0f x ''>时，)(x f 是凹函数（图像开口向上）；()0f x ''<时，)(x f 是凸函数（图像开口向下）。
此性质往往可以用来快速判断函数图像类选填题。
3) 函数)(x f y =在0x 处可导，如果0()0f x '>，则)(x f 在0x 附近递增；如果0()0f x '<，则)(x f 在0x 附近递减。
此性质往往可以用来速解某些函导混合类选填题难题。
4. 方程)0(02≠=++a c bx ax 在),(21k k 内有且只有一个实根,等价于12()()0f k f k ⋅< 5. 闭区间上二次函数的最值：)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处或区间的两端点处取得，具体如下： （1）当0a >时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max ()(),()max (),()2b f x f f x f p f q a =-=； 若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q = (2)当0a <时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =， 若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q = 6. 函数单调性的等价关系(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数7. 单调性的典型应用：（1）利用单调性求函数值域（2）利用单调性解方程：例如，对于方程2332(2038)484152x x x x x -+=-+- 可将其变形为2323(2038)4(2038)4x x x x x x -++-+=+ 构造函数3()4f x x x =+，原方程变为2(2038)()f x x f x -+=考虑到()f x 为单调递增函数，故必有22038x x x -+=，解得2x =或19x =。
高中数学周期函数、公式的总结、推导、证明过程
序号12345678910公式即是上一个公式的特例例如：整理后：令x=x+1 得到：函数 f(x)的图像 S有两个对称轴x=a,x=b（ a≠ b）函数 f(x) 的图像 S有两个对称中心和（a≠ b）函数 f(x) 的图像 S有一个对称中心和一条对称轴 x=a，（a≠ b）周期公式T理解或者公式特点例题自变量的和不是常数，两个自变量之差是常数，两个函数值相加为常数。
两个自变量之差是常数。
两个函数值相加2a为常数。
2a正负号，倒数，两个自变量之差是常数。
4a类似第 3 个公。
2a类似第 3 个公式。
两个函数值之和等于另一个函数值，且两6a个作为加数的函数的自变量是图像向左平移 a 个单位，和向左平移 b 个单位重合。
原来两个点 x 坐标差的距离就是他们的周期。
两个自变量之差是常数，两个函数值相等。
对称轴多和偶函数以及一个函数图像的自2|a-b|对称这两个知识点相关对称中心多和奇函数以及一个函数图像的2|a-b|自对称这两个知识点相关知识点涉及奇函数、偶函数以及函数图像4|a-b|的自对称以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。
1解周期问题，两种方法： 1.列举多个数据，找寻规律和周期； 2.通过抽象函数直接得到周期。
1.已知f(X)是R上不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有，则解：令 x=0，f(0)=0;令，；令，；令，；∴2. 定义在 R 上的函数 f(x)满足，则 f(2009)=解：整理，得到令x=x+1 得到，由公式 6 知道周期为 6，即，x>0f(2009)=。
由公式2得3.已知函数f(x)满足，思路：消元和赋值。
令，则根据公式 6 知道， f(x+6)=f(x)∴令y=0 ，则∵x 不恒为零，∴，则 f(2010)=，，。
，∴。
下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。
因为word 输入数学公式太过麻烦，所以手写了出来，以图片的形式奉上。
高中数学公式大全总结
高中数学公式大全总结高中数学公式大全总结如下:1. 基本公式:- 指数函数:f(x) = a^x，其中 a 为正数。
- 对数函数:f(x) = log_a(x),其中 a 为非零正数。
- 三角函数：- 正弦函数:f(x) = sin(x),其中 x 为角度。
- 余弦函数:f(x) = cos(x),其中 x 为角度。
- 正切函数:f(x) = tan(x),其中 x 为角度。
- 割函数:f(x) = csc(x),其中 x 为角度。
- 半角函数:f(x) = sin(x)/cos(x),其中 x 为半角。
- 函数图像：- 指数函数：形如 f(x) = a^x 的图像通常呈现出指数型增长。
- 对数函数：形如 f(x) = log_a(x) 的图像通常呈现出对数型增长。
- 三角函数：三角函数的图像通常呈现出周期性的变化。
- 不等式：- a + b > c 当且仅当 a > c 且 b > c。
- 对于任意实数 a、b、c，总有 a + b + c = 3a + 2b + c。
- 对于任意整数 a、b，总有 a + b = b + a。
2. 微积分:- 导数：- 导数的定义:f"(x) = lim(Δx->0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx。
- 导数的四则运算法则：- 链式法则:f"(x) = g"(h) + g"(x) * f"(h)。
- 乘积法则:f"(x) * g"(x) = f(x) * g"(x) + f"(x) * g(x)。
- 加积法则:f"(x) + g"(x) = f(x) + g(x)。
- 偏导数的定义：对于任意函数 f(x),总有 f"(x) = lim(Δx->0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx。
高中数学公式大全及总结
高中数学公式大全及总结高中的数学公式定理大集中三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。
）sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋β α－βsinα＋sinβ＝2sin———·cos———2 2α＋β α－βsinα－sinβ＝2cos———·sin———2 2α＋β α－βcosα＋cosβ＝2cos———·cos———2 2α＋β α－βcosα－cosβ＝－2sin———·sin———2 2 1sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式集合、函数集合简单逻辑任一x∈A x∈B，记作A BA B，B A A＝BA B＝{x|x∈A，且x∈B}A B＝{x|x∈A，或x∈B}card（A B）＝card（A）+card（B）－card（A B）（1）命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若 p则 q逆否命题若 q，则 p（2）四种命题的关系（3）A B，A是B成立的充分条件B A，A是B成立的必要条件A B，A是B成立的充要条件函数的性质指数和对数（1）定义域、值域、对应法则（2）单调性对于任意x1，x2∈D若x1＜x2 f（x1）＜f（x2），称f（x）在D上是增函数若x1＜x2 f（x1）＞f（x2），称f（x）在D上是减函数（3）奇偶性对于函数f（x）的定义域的任一x，若f（－x）＝f（x），称f（x）是偶函数若f（－x）＝－f（x），称f（x）是奇函数（4）周期性对于函数f（x）的定义域的任一x，若存在常数T，使得f（x+T）＝f(x)，则称f（x）是周期函数（1）分数指数幂正分数指数幂的意义是负分数指数幂的意义是（2）对数的性质和运算法则loga（MN）＝logaM+logaNlogaMn＝nlogaM（n∈R）指数函数对数函数（1）y＝ax（a＞0，a≠1）叫指数函数（2）x∈R，y＞0图象经过（0，1）a＞1时，x＞0，y＞1；x＜0，0＜y＜10＜a＜1时，x＞0，0＜y＜1；x＜0，y＞1a＞ 1时，y＝ax是增函数0＜a＜1时，y＝ax是减函数（1）y＝logax（a＞0，a≠1）叫对数函数（2）x＞0，y∈R图象经过（1，0）a＞1时，x＞1，y＞0；0＜x＜1，y＜00＜a＜1时，x＞1，y＜0；0＜x＜1，y＞0a＞1时，y＝logax是增函数0＜a＜1时，y＝logax是减函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)＝b f（x）＝ab（a＞0，a≠1）同底型logaf（x）＝logag（x） f（x）＝g（x）＞0（a＞0，a≠1）换元型 f（ax）＝0或f (logax)＝0数列数列的基本概念等差数列（1）数列的通项公式an＝f（n）（2）数列的递推公式（3）数列的通项公式与前n项和的关系an+1－an＝dan＝a1+（n－1）da，A，b成等差 2A＝a+bm+n＝k+l am+an＝ak+al等比数列常用求和公式an＝a1qn＿1a，G，b成等比 G2＝abm+n＝k+l aman＝akal不等式不等式的基本性质重要不等式a＞b b＜aa＞b，b＞c a＞ca＞b a+c＞b+ca+b＞c a＞c－ba＞b，c＞d a+c＞b+da＞b，c＞0 ac＞bca＞b，c＜0 ac＜bca＞b＞0，c＞d＞0 ac＜bda＞b＞0 dn＞bn（n∈Z，n＞1）a＞b＞0 ＞（n∈Z，n＞1）（a－b）2≥0a，b∈R a2+b2≥2ab|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法（1）要证明不等式a＞b（或a＜b），只需证明a－b＞0（或a－b＜0＝即可（2）若b＞0，要证a＞b，只需证明，要证a＜b，只需证明综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。
高中数学周期函数、公式的总结、推导、证明过程 (2)
以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。
解周期问题，两种方法：1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。
1. 已知f(X)是R 上不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x +1)=(x +1)f(x)，则f [f (52)]= 解：令x=0，f(0)=0; 令x =−12，f (−12)=0； 令x =12，f (32)=0； 令x =32，f (52)=0； ∴ f [f (52)]=f (0)=02. 定义在R 上的函数f(x)满足f (x )={log 2(1−x ),x ≤0f (x −1)−f (x −2),x >0，则f(2009)=解：整理f (x )=f (x −1)−f (x −2)， 得到f (x −1)=f (x )+f (x −2)令x=x+1得到，f (x )=f (x +1)+f (x −1)由公式6知道周期为6，即f (x +6)=f(x)，x>0 f(2009)=f (334×6+5)=f(5)。
由公式f (x )=f (x −1)−f (x −2)得f (5)=f (4)−f (3)=(f (3)−f (2))−f (3)=−f (2)=−(f (1)−f (0))=−((f (0)−f (−1))−f (0))=f(−1)=0，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y),x,y∈R，则f(2010)=3.已知函数f(x)满足f(1)=14思路：消元和赋值。
令x=x,y=1，则f(x)=f(x+1)+f(x−1)，根据公式6知道，f(x+6)=f(x)，∴f(2010)=f(335×6)=f(0)。
令y=0，则4f(x)f(0)=2f(x)，∵ x不恒为零，∴f(0)=12∴f(2010)=1。
2下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。
因为word 输入数学公式太过麻烦，所以手写了出来，以图片的形式奉上。
高中数学88个常用公式及结论总结
高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n-个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;〔当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式〕 (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；〔当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式〕〔4〕切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。
〔当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为0x 时，设为此式〕4 真值表： 同真且真，同假或假 56 .〕充要条件： (1)、p q ⇒，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；〔2〕、p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。
〔2〕、数学符号表述是：设f 〔x 〕在x ∈D 上有定义，假设对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x <成立，则就叫f 〔x 〕在x ∈D 上是增函数。
D 则就是f 〔x 〕的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。
〔2〕、数学符号表述是：设f 〔x 〕在x ∈D 上有定义，假设对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x >成立，则就叫f 〔x 〕在x ∈D 上是减函数。
高中数学公式及知识点总结大全
高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数 1、函数的单调性⑴设 x 1、x 2 [a,b],x 1 x 2 那么f (x i ) f(x 2) 0f(x)在[a,b]上是增函数；f (x 1) f (x 2) 0 £(*)在田,0上是减函数. (2)设函数y f(x)在某个区间内可导,假设 f (x) 0,那么f(x)为增函数；假设f (x) 0,那么f(x)为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的 x,都有f( x) f (x),那么f(x)是偶函数； 对于定义域内任意的 x,都有f( x) f(x),那么f(x)是奇函数. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称.3、函数y f (x)在点x 0处的导数的几何意义函数y f (x)在点x 0处的导数是曲线 y f (x)在P(x 0,f (x .))处的切线的斜率 f (比),相应的切线方 程是 y y ° f(x 0)(x %).b 4ac b 2b 4ac b 2 1 *二次函数：(1)顶点坐标为( ——, ------------------ )；(2)焦点的坐标为 ( ——, ------------------------ )2a 4a2a 4a4、几种常见函数的导数‘nn 1''① C 0；②(x ) nx ； ③(sin x) cosx ；④(cosx) sin x ；5、导数的运算法那么6、会用导数求单调区间、极值、最值指数函数、对数函数 分数指数哥根式的性质有理指数哥的运算性质⑤(a x ) a x ln a ；⑥(e x )⑦(log a x)xln a;⑧(In x)(1) (u v) u v . (2) (uv)u v uv .u ’⑶(一)vuv(v0).7、求函数y f x 的极值的方法是: 解方程0.当 x 0 0时:(1)如果在 x 0附近的左侧f 0, 右侧 0,那么 是极大值; (2)如果在x 0附近的左侧f0, 右侧0,那么是极小值.m⑴a^nm(2) a nn -rn- 7a (a 0, m,nma n1 ~i= ( a n ma0,m,n1).(1)当n 为奇数时,疗 当n 为偶数时,UO n |a| a; a,aa, a指数哥都适用. .指数式与对数式的互化式：log a N b.对数的换底公式：log a N 10gmN 〔 log m aa b N (a 0, a 1,N 0).0,且 a 1, m 0,且 m 1, N 0).常见的函数图象二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的根本关系式.22sinsin cos 1 , tan = ---------------------- .9、正弦、余弦的诱导公式〔奇变偶不变,符号看象限〕口诀：函数名称不变,符号看象限.口诀：正弦与余弦互换,符号看象限. 10、和角与差角公式⑴(2) ⑶ 注: r sa a (a r )s(ab)ra r s (a 0,r, s Q). a rs (a 0,r,s Q). r ra b (a 0, b 0, r Q).假设a> 0, p 是一个无理数,那么 a p 表示 个确定的实数.上述有理指数骞的运算性质,对于无理数 对数恒等式: loga N N ( a 0,且a 1, N 0). 推论log mb nanlog a b ( a 0,且 a m1, N 0).sin( cos( sin costan(cos tan cos tancos msin sinsin1 mtan tan11、二倍角公式sin 2 sincos的正弦、余弦,等于 的同名函数,前面加上把看成锐角时该函数的符号;的正弦、余弦,等于的余名函数,前面加上把看成锐角时该函数的符号.1 sin 2k sin ,cos 2k cos 2k tan sin sin costantansin sin coscostansinsincostantan5 sin —2cos , cos sin 6 sin cos sin①的图象上所有点向左〔右〕平移个单位长度,得到函数y sin x再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长〔缩短〕到原来的y sin x的图象.1八②数y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长〔缩短〕到原来的,倍〔纵坐标不变〕,得到函数y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点向左〔右〕平移 L!个单位长度,得到函数y sin x 的图象；再将函数 y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长〔缩短〕到原来的 倍〔横坐标不变〕,得到函数y sin x的图象.性：一〞-受数质 y sin xy cosxy tanx图象定义域 R Rx x k —, k 2值域1.11.1R最值当 x 2k — k 2 时,y max1；当x 2k —2k时,y min1 .当x 2k k时,Y max 1 ；当 x 2kk 时,y min 1 .既无最大值也无最小值周期性 22奇偶性奇函数偶函数奇函数2 .2 2 / /cos2 cos sin 2cos 1 12 tantan 2 ------- 2——1 tan222 cos 1 cos 2 ,cos公式变形：c •222 sin 1 cos2 ,sin12、 函数y sin( x )的图象变换 2sin 21 cos2--------- - --------- ；1 cos2----------------------；的图象上所有点的横坐标伸长〔缩短〕到原来的1八一倍〔纵坐标不变〕,得到函数y sin x的图象;的图象；再将函数y sin x倍〔横坐标不变〕,得到函数单调性在 2k-,2k 一22k上是增函数；在3 2k-,2k — 22k上是减函数.在2k,2 k k上是增函数；在2k ,2kk上是减函数.在 k — , k2 2k上是增函数.对称性对称中央k ,0 k对称轴x k — k2对称中央 k — ,0 k2对称轴x k kk -对称中央、——,0 k2无对称轴19、a 与b 的数量积〔或内积〕(2)设 a= (x 1,y [),b = (x 2, y 2),那么 a⑶设a = 〔x, y 〕,那么a 21、两向量的夹角公式设 a =〔x 1,y ［〕,b =〔x 2, y 2〕,且 b .,那么y a sin x bcosxJa 2 b 2 sin(x)其中 tan ba15.正弦定理sin A a 2Rsin A,bbsin B c------ 2R 〔R 为 ABC 外接圆的半径〕sin C 2Rsin B,c 2Rsin C a: b :c sin A:sin B:sin C 16.余弦定理2 ,2a b17.面积定理2 2 2c 2bccosA ; b c2 2 a 2ca cosB ; c,2b 2abcosC .(1) S1 . 1,. 1 .-ah a -bh b -ch c( h a 、h b 、h c 分别表不 2 2 2 a 、 b 、c 边上的高〕.1 , 「 -absin C 21 .. 〃 -bcsin A2 1 .「 一 casin B . 218、三角形内角和定理在△ ABC 中,有AC _ A B 2 22(A B)2C2(A B).a b | a | |b |cos20、平面向量的坐标运算uuu ⑴设 A (x 1,y 1),B (x 2, y 2),贝U ABuu u OBuuuOA % .V2 y)b =X I X 2 y 〔y 2.r ra b r X 1X 2 y 1y 2cos-[ ------ r--,二—:1a 11b|.X y ； \ x 2 y 222、向量的平行与垂直r rr r设 a = (X i ,y i ), b =(X 2,y 2),且 ba//b b aX 1y 2 X 2y 1 0.—*■-b- —■> -b- -* —►a b(a0)a b 0 X 1X 2y 1y 20.*平面向量的坐标运算rr(1)设 a = (.y 1), b =(X 2,y 2),贝U a + b =(X; X 2, y 〔 y 2).r r r r(2)设 a = (X i , y i ), b =(X 2, y),那么 a -b=(X1 X 2, y y ?).uuu uuu um(3)设 A (X i , y i ), B (X 2,y 2),那么 AB OB OA (X 2 X ^ y) 、一 r r ,(4)设 a = (x, y), R,那么 a =( x, y).⑸设 a = (x i , y i ), b =(X 2, y 2),那么 a , b=x 1X 2三、数列23、数列的通项公式与前n 项的和的关系s ,, n 1a n(数列｛a n ｝的前n 项的和为S na i a 2 L a n ).S n S n i ,n 224、等差数列的通项公式*、a n a 1 (n 1)d dn a 1 d(n N )；25、等差数列其前n 项和公式为n(a i a n ) n(n 1) d 2 z 1〞、 s n --------------- na 1 ---------------------------- d n(a 1d)n .2 2 2226、等比数列的通项公式n 1a 1n*a n a i q— q (n N )； q27、等比数列前n 项的和公式为a i (1 q n ) q 1 a i a n q q 1 s n1 q , 或 s n 1 q , .na 1,q 1na 1,q 1四、不等式1 2(2)假设和x y 是定值s ,那么当x y 时积xy 有最大值一s 2.4五、解析几何29、直线的五种方程(1)点斜式 y y ik(x X 1)(直线l 过点P ,(X i ,y i ),且斜率为k).(』二(为,y i ), b =(X 2, y 2)).28、x~/ v xy .必须满足一正2时等号成立)才可以使用该不等式)(1)假设积xy 是定值p ,那么当x(x, y 都是正数)、二定(xy 是定值或者 y 时和x y 有最小值24p ;y 是定值)、三相等(x(2)斜截式 y kx b (b 为直线l 在y 轴上的截距).y y x x(3)两八、、式(y i y 2)(P 1( x 1, y 1) 'P 2( X 2, y 2)(X 1 X 2)).y 2 y i X 2 X ix y.........(4)截距式一 -1( a 、b 分别为直线的横、纵截距, a 、b 0)a b(5) 一般式 Ax By C 0(其中A 、B 不同日寸为0).30、两条直线的平行和垂直 假设 11: y k 1x bi, l 2: yk 2x 为 ① I 1III 2 k i k 2,b b 2； ② l i 12k i k 21.31、平面两点间的距离公式d A,B J(X 2 X i)(y 2 y i)~(A( X i, y i ) , B(x 2,y 2)).32、点到直线的距离| Ax 0 By 0 C | 1d j 2 2(点 PM ,y .),直线 1.A 2 B 24 --29 Z ~9 -___-_假设d V (a X 0)(b y °),那么d r 点P 在圆外；d r 点P 在圆上；d r 点P 在圆内.TO. /By C 0与圆(x a)2 (y b)2 r 2的位置关系有三种：相离 0;相切 0;相交0.弦长=2J r 2 d 2Aa Bb C22.,A B35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 22x y 2 2 2 椭圆：——i(a b 0) , a c b ,离心率e a b 2 2双曲线： 二 ' i (a>0,b>0) , c 2 a 2 b 2,离心受 a b36、双曲线的方程与渐近线方程的关系22(i )假设双曲线方程为 Jy-T ia 2b 2(2) 假设渐近线方程为y bx -a a抛物线：y 22px,焦点碍,0),准线x p .抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离 2 Ax By C 0).33、圆的三种方程(i)圆的标准方程 (2)圆的一般方程(x a)2 (y b)2 r 2 x 2 y 2 Dx Ey F0( D 2 E 2 4F >0).(3)圆的参数方程 *点与圆的位置关系x a rcos .y b r sin点P(x 0,y0)与圆(xa)2 (yb)2r 2的位置关系有三种34、直线与圆白 直线Ax d r dr d r其中dc b 2x a cos一 J i— <i,参数方程是a । a 2y bsin c ,八、一… be — i,渐近线方程是y -x . a a2 2渐近线方程：与\ a by ,一,-0 双曲线可设为 b2y b 22 2 2(3)假设双曲线与二冬1有公共渐近线,可设为二a b a焦点在y轴上).37、抛物线y2 2 px的焦半径公式38、过抛物线焦点的弦长AB x1 — x2- x1 x22 2六、立体几何39 .证实直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行；(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.40 .证实直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.41 .证实平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.45、柱体、椎体、球体的侧面积、外表积、体积计算公式2圆柱侧面积=2 rl ,外表积=2 rl 2 r圆椎侧面积=rl ,外表积=rl r21 .V柱体-Sh ( S是枉体的底面积、1 _“体-Sh ( S是锥体的底面积、h是锥体的图)球的半径是R,那么其体积V - R3,其外表积S 4 R2 .3uuuUJi r-lIJU46、假设点A(x1,y1z),点B(x2,y22),那么d A,B = |AB| JAB AB他 x1) 0 y) 亿z1)47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法)48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等,与底面垂直.2y_b20,焦点在x轴上, 0,抛物线y2 2 px( p 0)焦半径| PF | x0-.(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离2P.42 .证实直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直 .43 .证实直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面.44 .证实平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直；h是柱体的高)正棱锥的性质：侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中央.七、概率统计49、平均数、方差、标准差的计算平均数：x x x2-------------- x n- 方差：s2 1[(x1x)2 ---------------------------------------------------------------- (x2x)2 (x n x)2]n n标准差：s ...—[(x1 x)2 (x2 x)2(x nx)2]50、回归直线方程(了解即可)57、复数的四那么运算法那么(1)(abi)(c di) (a c) (b d)i ;(2) (abi)(cdi) (a c) (b d)i ;(3)(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i ;ac bd bc ad (4)(abi)(cdi)— r — 2i(cc dcd58、复数的乘法的运算律对于彳i 何Z I , z 2, z 3 C ,有 交换律：4 z 2 z 2 z 1 . 结合律：(Z I Z 2) Z 3 Z I (Z 2 Z 3).分配律：z 1 (z 2 z 3) z 1 z 2 z 1 z 3 .十、命题、充要条件充要条件(记 p 表示条件,q 表示结论)(1)充分条件：假设 p q ,那么p 是q 充分条件. (2)必要条件：假设 q p,那么p 是q 必要条件.(3)充要条件：假设 p q ,且q p ,那么p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件,那么乙是甲的必要条件；反之亦然 56.真值表九、参数方程、 55、cossin 极坐标化成直角坐标 222xx yxy tan — (x 0) xX i x y i y―…b J -L^ ------------------------a bx,其中_ 2x i xi 1x i y i nx yi 1n2_2 .经过(x , y)点.x i nxi 1a y bx51、独立性检验 K 2n(ac bd)2(a b)(c d)(a c)(b d)(了解即可)52、古典概型的计算(必须要用列举法..、列方法、树状图的方法把所有根本领件表示出来,不重复、不遗 漏)八、复数53、复数的除法运算a bi c di(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i(c di )(c di) c 2 d 254、复数 z a bi 的模 |z| 二 |a bi |=va b 2 .55、复数的相等:a bi c di56、复数z a bi 的模(或绝对值)a c,b d .( a,b, c, d R) | z| = |a bi | = . a 2 b 2 .di 0).真真假真真真假假P真假一假真真真假假假真1假假一十一、直线与平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系三个公理：(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：什而古建r相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；八’ L平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点.2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4注意点：①a'与b’所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角0 C (0, —) ；③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a±b;④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.简记为：线线平行,那么线面平行.平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.2、判断两平面平行的方法有三种：(1)用定义；(2)判定定理；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行,那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行那么线线平行.2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面a互相垂直,记作L,a ,直线L叫做平面a的垂线,平面a叫做直线L的垂面.如图,直线与平面垂直时 ,它们唯一公共点P叫做垂足.2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.2性质定理：两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.。
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以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。
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解周期问题，两种方法：1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。
1. 已知f(X)是R 上不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x +1)=(x +1)f(x)，则f [f (5
2)]= 解：令x=0，f(0)=0; 令x =−1
2，f (−1
2)=0； 令x =1
2，f (32)=0； 令x =3
2，f (5
2)=0； ∴ f [f (52)]=f (0)=0
2. 定义在R 上的函数f(x)满足f (x )={log 2(1−x ),x ≤0
f (x −1)−f (x −2),x >0，则f(2009)=
解：整理f (x )=f (x −1)−f (x −2)， 得到f (x −1)=f (x )+f (x −2)
令x=x+1得到，f (x )=f (x +1)+f (x −1)
由公式6知道周期为6，即f (x +6)=f(x)，x>0 f(2009)=f (334×6+5)=f(5)。
由公式f (x )=f (x −1)−f (x −2)
得f(5)=f(4)−f(3)=(f(3)−f(2))−f(3)=−f(2)
=−(f(1)−f(0))=−((f(0)−f(−1))−f(0))
=f(−1)=0
，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y),x,y∈R，则f(2010)=
3.已知函数f(x)满足f(1)=1
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思路：消元和赋值。
令x=x,y=1，则f(x)=f(x+1)+f(x−1)，
根据公式6知道，f(x+6)=f(x)，
∴f(2010)=f(335×6)=f(0)。
令y=0，则4f(x)f(0)=2f(x)，
∵ x不恒为零，∴f(0)=1
2
∴f(2010)=1。
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下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。
因为word 输入数学公式太过麻烦，所以手写了出来，以图片的形式奉上。
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