立体几何中三角形的四心问题

立体几何中三角形的四心问题

一、外心问题（若PA=PB=PC,则O 为三角形ABC 的 外心）

例1．设P 是ΔABC 所在平面α外一点，若PA ，PB ，PC 与平面α所成的角都相等，那么P 在平面α内的射影是ΔABC 的( )

A.内心

B.外心

C.垂心

D.重心

如图所示，作PO ⊥平面α于O ，连OA 、OB 、OC ，那么∠PAO 、∠PBO 、∠PCO 分别是PA 、PB 、PC 与平面α所成的角，且已知它们都相等.

∴Rt ΔPAO ≌Rt ΔPBO ≌Rt ΔPCO. ∴OA ＝OB ＝OC ∴应选B.

例2． Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点．（１）求证：PM ⊥AC ；（２）求P 到直线AC 的距离；（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．

解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．

证明 （１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC

解 （２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０，

∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２； （３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心，

∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。

∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影，

则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝9

401880==MH PH 例3．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

解析：∵A 1A=A 1B=A 1C

∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC

∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影

∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1

∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156

取AB 中点E ，连A 1E

∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB

∴ 12)2

AB (AA E A 2211=-= ∴ 1111120AA C C AA B B S S ==

∴ S 侧=396

二、内心问题（若P 点到三边AB,BC,CA 的距离相等，则O 是三角形ABC 的 内心）

例4．如果三棱锥S —ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ΔABC 内，那么O 是ΔABC 的( )

A.垂心

B.重心

C.外心

D.内心

解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O 到ΔABC 的三边的距离相等，因而O 是ΔABC 的内心，因此选 D.

说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们

的定义和性质必须掌握. 三．重心问题（若PA 垂直PB ，PB 垂直PC,PC 垂直PA,则O 是三角形ABC 的 重心 ）

例6．如图2－24：B 为∆ACD 所在平面外一点，M 、N 、G 分别为∆ABC 、∆ABD 、∆BCD 的重心，

（1）求证：平面MNG //平面ACD ；（2）求ADC MNG S S ∆∆:

解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD ，由于M 、N 、G 分别

为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，因此可想到利用重心的性

质找出与平面平行的直线。

证明:连结BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H 。

∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，

则有：2GH

BG NF BN MP BM === 连结PF 、FH 、PH 有MN ∥PF ，又PF ⊂平面ACD ，∴MN ∥平面ACD 。 同理：MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD

（2）分析：因为△MNG 所在的平面与△ACD 所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。

A B D C P H F M G N 图2－24

解：由（1）可知32BH BG PH MG ==， ∴MG ＝32PH ，又PH ＝21AD ，∴MG ＝3

1AD 同理：NG ＝31AC ，MN ＝3

1CD ， ∴∆MNG ∽∆ACD ，其相似比为1：3，

∴ADC MNG S :S ∆∆＝1：9 点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。

例7． 如图9－26，P 为△ABC 所在平面外一点，点M 、N 分别是△P AB 和△PBC 的重心．求证：MN ∥平面ABC ．（三角形的三条中线交于一点，称为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍）

解析：如图9－16，连结PM 并延长交AB 于D ，连结PN 并延长交BC 于E ，

连结DE ．在ΔP AB 中，∵ M 是ΔP AB 的重心，∴ 2=MD

PM ，同理在△PBC 中有2=NE

N P ，在△PDE 中，∵ NE PN MD PM =，∴ MN ∥DE ，∵ MN ⊄平面ABC ，DE 平面ABC ，∴ MN ∥平面ABC ．

例9． 如图，在三棱锥S —ABC 中，A 1、B 1、C 1分别是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB

的重心，(1)求证：平面A 1B 1C 1∥平面ABC ；(2)求三棱锥S —A 1B 1C 1与S —ABC 体积之比.

解析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线