立体几何中三角形的四心问题

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三角形四心及其性质总结

三角形四心及其性质总结三角形的四心是三角形内部以及外部的四个特殊点，它们是重心、垂心、外心和内心。

这四个特殊点在三角形的性质研究中起到了重要的作用。

下面我们对这四个特殊点及其性质进行详细总结。

一、重心：重心是三角形内部最重要的特殊点之一，也是最容易计算的一个点。

重心是由三角形的三条中线的交点确定的，其中中线是三角形的两个顶点与对边中点之间的线段。

重心的性质：1.重心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于中线的一半。

2.重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心都与大三角形的重心重合。

3.重心所在的直线与三角形的垂心所在的直线相交于三角形内部的其中一点。

4.重心到三角形的顶点的距离等于重心到该顶点所在直线上任一点的距离之和的二倍。

二、垂心：垂心是三角形内部的一个重要特殊点，它是由三角形的三条高的交点确定的，其中高是三角形的顶点与对边垂直的线段。

垂心的性质：1.垂心到三角形的三个顶点以及对边的距离互相相等。

2.垂心的连线与三角形的顶点构成的线段组成的三角形与原三角形形成的角互补。

3.垂心到三角形的边的垂直距离之和是最小的，也就是说垂心到三角形的边的距离最短。

三、外心：外心是三角形外接圆的圆心，它是由三角形的三个顶点的垂直平分线的交点确定的。

外心的性质：1.外心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于外心到三角形的任一边的垂直距离。

2.外心是垂心与三角形的三个顶点的中垂线的交点所确定的，也就是说外心是垂心、重心和媒心的垂线交点。

3.外心到三角形的每条边的距离等于外心到该边所在直线上任一点的距离之和的二倍。

4.外心是连接三角形顶点与对边上等腰三角形顶点的线段的垂直平分线的交点所确定的。

四、内心：内心是三角形内切圆的圆心，它是由三条三角形的角的平分线的交点确定的。

内心的性质：1.内心到三角形的每条边的距离相等，且等于内切圆的半径。

2.内心是连接三角形的每个顶点与对边上切点的线段的垂直平分线的交点所确定的。

三角形“四心”问题

三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +AC AC 所在的直线上. AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0 ⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD =DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC ，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD ，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC ，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC ，由已知得BC =a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC ，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC ⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +AC ACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C 【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，AC AC 为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +AC AC，即AP =λAB AB +AC AC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB +cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B 【解析】因为IB =IA +AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB +cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +c AC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC=-bc a +b +c AB c +AC b=-bc a +b +c AB AB +AC AC ，所以IA 在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yAC x ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN =NC ,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC ，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A 【解析】PA =PB =PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B 【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA +OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO =( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D 【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA 2，得BH ⋅HC =CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC 2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH ⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB ，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC ，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC =0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC =0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B 正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA +5HB +6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB +6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC =0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO =( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC 【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC .故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB 2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与ABAB cos B +AC ACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB 2=12AB2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC =0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF =13λAE +13μAF ，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB AB cos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C=AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C AC cos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +AC AC cos C与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，∴AB AB cos B +AC AC cos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD ，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD ，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE ，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC ，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA =2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC ,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC =35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×AD AO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC =36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13 ，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D 【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC =0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0 ，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP =OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD ，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab =22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB ，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC)，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO ，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，因此，BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0，D 对.故选：BCD .17.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =14【答案】ABC【解析】有题意可知：OA =OB =OC =1．对于A ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA =-3OB -4OC．两边同时平方得到：4OA 2=9OB 2+16OC 2+24OB ⋅OC．解得OB ⋅OC =-78，故A 正确．对于B ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA -2OB =-5OB -4OC ⇒2AB =5OB +4OC．两边再平方得到：4AB 2=25OB 2+16OC 2+40OB ⋅OC．结合A 可得：AB =62．所以B 正确．对于C ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒3BO =2OA +4OC．两边平方得到：9BO 2=4OA 2+16OC 2+16OA OCcos ∠AOC ．解得cos ∠AOC =-1116．同理可得cos ∠AOB =14，cos ∠BOC =-78．∵∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．∴cos2∠C =14<12，所以π3<2∠C <π2，则2π3<4∠C <π，cos2∠A =-78<-22，所以3π4<2∠A <π，∵cos4∠C =2cos 22∠C -1=2×142-1=-78=cos2∠A ，2∠A =4∠C ．∴∠A =2∠C ．故C 正确；由cos2∠A =2cos 2∠A -1=-78，所以cos 2∠A =116，所以sin 2∠A =1516，所以sin ∠A =±154，显然sin ∠A =154，故D 错误．故选：ABC ．18.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG【答案】ABCD【解析】在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA =-2GD ，又D 为BC 的中点，所以GB +GC =2GD ，所以GA +GB +GC =-2GD+GD =0 ，故选项B 正确；对于A 与C 选项，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，∴△AHG ∽△DOG ，∴GH OG =AH OD =AGDG=2，∴GH =2OG ，AH =2OD ，故选项A ，C 正确；对于D ，过点G 作GE ⊥BC ，垂足为E ，∴△DEG ∽△DNA ，则GE AN =DG DA=13，∴△BGC 的面积为S △BGC =12×BC ×GE =12×BC ×13×AN =13S △ABC ；同理，S △AGC =S △AGB =13S △ABC ，选项D 正确.故选：ABCD19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-4【答案】AB【解析】选项A ：因为AO =OD ，所以O 为AD 中点，由题易知AO =OD =12OB +OC ，故A 正确．选项B ：若AO =2OD ，则点O 为△ABC 的重心，(三角形重心的性质)则OB =2EO，故B 正确．选项C ：若AO =3OD ，则OB =OD +DB =14AD +12CB =14×12AB +AC +12AB -AC=58AB -38AC，故C 错误．选项D ：若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OD ⊥BC ，(三角形外心的性质)故OB ⋅BC =OD +DB ⋅BC =-12BC 2=-8，故D 错误．故选：AB20.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC =0B.AG ⋅BC =-73 C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC【答案】ACD【解析】对于A 选项，由垂心的性质可知AH ⊥BC ，则AH ⋅BC=0，A 对；对于B 选项，设D 为BC 的中点，则AG =23AD，AD =AB +BD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，所以，AG =23AD =13AB +AC ，所以，AG ⋅BC =13AC +AB ⋅AC -AB =13AC 2-AB 2 =73，B错；对于C 选项，由外心的性质可知OB =OC ，则OD ⊥BC ，∴AO ⋅BC =AD +DO ⋅BC =AD ⋅BC =12AB +AC ⋅AC -AB =12AC 2-AB 2 =72，C 对；对于D 选项，由AH ⎳OD 得AH OD =AGGD=2，所以AH =2OD ，因为OD =OB +BD =OB +12BC =OB +12OC -OB =12OB +OC，所以OH -OA =AH =2OD =OB +OC ，即OH =OA +OB +OC，D 对.故选：ACD .三、填空题21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.【答案】6,-6 【解析】设点C a ,b ，∵G (2,0)是△ABC 的重心，所以，-6+6+a 3=22+4+b 3=0，解得a =6b =-6 ，故点C 的坐标为6,-6 .故答案为：6,-6 .22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA=1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．【答案】①③【解析】由题意可知：OA =OB =OC =1．①2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA =-3OB -4OC ，两边同时平方得到：4=9+24OB ⋅OC +16，解得：OB ⋅OC =-78，故①正确．②2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA -2OB =-5OB -4OC ，2BA =-5OB -4OC ，两边再平方得到：4AB 2=25+16+40OB ⋅OC=6．所以|AB =62，所以②不正确．③2OA +3OB +4OC =0 ，4OC =-3OB -2OA ，两边平方得到：16=9+4+12OA ⋅OB =13+12OA OB cos ∠AOB ，cos ∠AOB =14，∠AOB ∈0,π2，同理可得：cos ∠BOC =-78，∠BOC ∈π2,π ，∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．故cos2C =14，cos2A =-78，且∠C ∈0,π4 ，∠A ∈π4,π2，cos4C =2cos 22C -1=2×14 2-1=-78=cos2A ，即∠A =2∠C ．故③正确．故答案为：①③23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB=___________．【答案】-72【解析】如图：E ,F 分别为CB ,CA 的中点，则OE ⊥BC ,OF ⊥AC∴OC ⋅AB =OC ⋅CB -CA =OC ⋅CB -OC ⋅CA=OE +EC ⋅CB -OF +FC ⋅CA=OE ⋅CB +EC ⋅CB -OF ⋅CA -FC ⋅CA=-12|CB |2--12|CA |2 =12CA |2- CB |2 =12×9-16 =-72.故答案为：-72.24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.【答案】①②③④【解析】对于①，若△ABC 是钝角三角形，由tan C =-tan (A +B )=-tan A +tan B1-tan A tan B得tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C <0，故①正确，对于②，若△ABC 是锐角三角形，则A +B >π2，有0<π2-B <A <π2且0<π2-A <B <π2，则cos B =sin π2-B<sin A ，同理得cos A <sin B ，故cos A +cos B <sin A +sin B ，故②正确，对于③，由HG ⋅BC =(AG -AH )⋅BC =AG ⋅(AC -AB )=12(AC 2-AB 2)=4，故③正确，对于④，若sin B =25,tan C =34，则sin C =35，sin B <sin C <22，则B <C <π4，故A >π2>C >B ，故④正确，故答案为：①②③④25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN =2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.【答案】596【解析】分别取AB ,AC 的中点E ,F ，连接OE ,OF ，因为O 为△ABC 的外心，∴OE ⊥AB ,OF ⊥AC ，∴AB ⋅OE =0,AC ⋅OF =0，∵BN =2NC ，∴BN =23BC ，∴AN =AB +BN =AB +23BC =AB +23(AC -AB )=13AB +23AC ，∴AO ⋅AB =12AB +EO ⋅AB =12AB 2=92，AO ⋅AC =12AC +FO ⋅AC =12AC 2=252，∴AN ⋅AO =13AB +23AC ⋅AO =13AB ⋅AO +23AC ⋅AO =13×92+23×252=596故答案为：59626.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，则∠A =___________．【答案】π3【解析】首先我们证明一个结论：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，a ,b ,c 为△ABC 的三边长，若a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ,则O 是△ABC 的内心.证明:OB =OA +AB ,OC =OA +AC ,则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ⇔(a +b +c )⋅OA +b ⋅AB +c ⋅AC =0 ,等式两边同时除以a +b +c 得，AO =bc a +b +c AB |AB |+AC |AC | ，AB |AB |表示AB 方向上的单位向量，同理AC |AC |表示AC 方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知bc a +b +c AB |AB |+AC |AC |表示∠BAC 的角平分线方向上的向量，则AO 为∠BAC 的角平分线，同理BO 、CO 分别为∠ABC ,∠ACB 的角平分线，所以O 是△ABC 的内心.于是我们得到本题的一个结论aGA +bGB +cGC =0 ．又∵cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，∴由正弦定理与题目条件可知sin A :sin B :sin C =a :b :c =cos A :cos B :cos C ．由sin A :sin B =cos A :cos B 可得sin A cos B -cos A sin B =sin (A -B )=0，可得A =B ，同理可得B =C ,C =A ，即A =B =C =π3．故答案为：π3.27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA =11+OF OA=11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-3228.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC =___________【答案】6-23【解析】解法1：不难发现，△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID =IE =IF =r ，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD =BF =r ，从而AD =2-r ，CF =23-r ，易证AE =AD ，CE =CF ，所以AE =2-r ，CE =23-r ，故AE +CE =2+23-2r =AC =4，从而r =3-1，AD =2-r =3-3，AI ⋅BC =AI ⋅AC -AB =AI ⋅AC -AI ⋅AB =AI ⋅AC ⋅cos ∠IAC -AI ⋅AB ⋅cos ∠IAB=AE ⋅AC -AD ⋅AB =AD AC -AB =2AD =6-23.故答案为:6-23.解法2：按解法1求得△ABC 的内切圆半径r =3-1，由图可知AI在BC 上的投影即为3-1，所以AI ⋅BC =3-1 ×23=6-23.故答案为:6-23.。

【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心BCHA图6解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

三角形的四心问题(最全面精品)

三角形的外心、内心、重心、垂心序号名称定义图形性质1 三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)1.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；2.锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外2 三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)1.三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；2.直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一3 三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心1.三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2；2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4 三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心1.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；2.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外AB COIKHEFDAB CMABCDEFGA BCDEFO三角形的外心定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上.性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径. 用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式SR 4abc公式中是这三角形的三条边，S 为三角形的面积.证明：例题精讲一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径.2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径. （用三角函数表示）COCO例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.②已知两边夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. .③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.ABCODABCOD E ABCOD E三角形的内切圆定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.内心性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角. 内切圆半径;一般三角形中，r=c b S++a 2(S 为三角形面积）Rt △中，r=2b ca -+（a,b 为直角边，c 为斜边）例题精讲：探索1：如图，在△ABC 中，点O 是内心，∠ABC=50°，∠ACB ＝7０°，求∠BOC 的度数.变式1：在△ABC 中，点O 是内心，∠BAC=50°，求∠BOC 的度数.变式2：在△ABC 中，点O 是内心，∠BOC=120°，求∠BAC 的度数.探索2：.已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，它的内切圆半径为r ，你会求△ABC 的面积吗？探索3：如图，直角三角形的两直角边分别是a ，b,斜边为c 求其内切圆的半径ｒ和外接圆半径R.二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形例已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.2、一般三角形 ①已知三边例已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.②已知两边夹一角例已知：如图，在△ABC 中，sin ∠B=53,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.ABCOE Dbca A BCO E FDABCOD③已知两角夹一边例已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°,BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(精确到0.1)总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.三角形的重心三角形重心是三角形三条中线的交点. 性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3.重心到三角形3个顶点距离的平方最小.例：已知：△ABC ，E 、F 是AB ，AC 的中点.EC 、FB 交于G. 求证：EG=1/2CGABCO D例：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线.根据重心性质知：例题精讲：⑴求线段长例如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC 的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE= cm.解：⑵求面积例在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积.解：如图，若G 是ABC ∆的重心，且GH ∥BC ,则GH:BC=如图，若G 是ABC ∆的重心，且GE ∥,CB GF ∥AB ,则=∆GEBF四边形S S ABC。

三角形四心问题总结归纳

三角形四心问题总结归纳在平面几何学中，三角形是一个基本的形状，它由三条线段组成，而每个三角形都有四个特殊点，被称为四心。

四心包括外心、内心、重心和垂心，它们有着独特的性质和重要的几何意义。

本文将对三角形四心问题进行总结归纳，探索其特点和相关定理。

一、外心外心是指可以完全包含三角形的一个圆心，称为外接圆心。

我们可以通过三角形的三个顶点来确定外心。

外心具有以下性质：1. 外心到三角形的每个顶点的距离相等，即外接圆的半径相等。

2. 外心位于三角形两条中垂线的交点处。

3. 外心是外接圆的圆心，外接圆的直径是三角形一边的中点和对边中垂线的交点。

二、内心内心是指可以切到三角形的三条边上的一个圆心，称为内切圆心。

我们同样可以通过三角形的三个顶点来确定内心。

内心具有以下性质：1. 内心到三角形的每条边的距离相等，即内切圆的半径相等。

2. 内心位于三角形三条角平分线的交点处。

3. 内心到三角形三个顶点的连线，与三角形的各边相切。

三、重心重心是指三角形三个顶点连线的交点，称为重心也称为重心，重心是一个三角形的几何中心之一。

重心具有以下性质：1. 重心到三角形的每个顶点的距离的平方和是相等的。

2. 重心到三角形的每条边的距离的平方和，等于到该边中点的距离的平方和的三倍。

3. 重心将每个三角形划分为面积相等的三个小三角形。

四、垂心垂心是指过三角形的三个顶点作三角形的三条边的高线的交点，称为垂心也称为垂心。

垂心具有以下性质：1. 垂心到三角形的每条边的距离相等。

2. 垂心到三个顶点的连线的延长线上。

通过总结归纳，我们可以得出以下三角形四心问题的相关定理：1. 外心、内心和重心共线：三角形的外心、内心和重心三点共线，并且这条直线称为欧拉线。

2. 垂心到三角形顶点的连线同时垂直于三角形对边。

3. 垂心在锐角三角形内部，直角三角形顶点上，钝角三角形外部。

在实际应用中，对于三角形四心问题的研究和应用有着广泛的领域，包括航空、建筑、地理测量等多个领域。

三角形“四心”向量形式的结论及证明

三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。

它们的位置可以用向量的形式来描述。

本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。

1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。

证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。

而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。

因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

根据向量加法的性质，可以得到上述结论。

2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。

用O表示外心。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。

其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。

证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。

根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。

根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。

三角形四心及其性质

引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它有四个特殊的点，被称为四心，分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。

这四个点分别具有不同的性质和应用，对于理解三角形的性质和计算其相关参数非常重要。

本文将详细介绍三角形四心及其性质，包括它们的定义、构造方法和几何性质。

正文内容：一、重心重心是三角形内部的一个点，它由三条中线的交点确定。

中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。

下面是重心的几个性质和应用：1.重心的性质重心将三角形的每一条中线分成两段，其中一段的长度等于另一段的2倍。

重心到三角形的顶点的距离与到对边中点的距离成比例。

2.重心的构造方法通过连接三角形的任意两个顶点和对边中点，可以构造两条中线。

两条中线的交点即为重心。

3.重心的应用在力学中，重心是一个重要的概念。

对于平衡物体的平衡条件，就是通过重心来描述的。

重心还可以用于求解三角形的面积和其他参数。

二、外心外心是三角形外接圆的圆心，外接圆是与三角形的三条边都相切的圆。

下面是外心的几个性质和应用：1.外心的性质外心到三角形的每个顶点的距离相等。

外心是三角形顶点和两条边的垂直平分线的交点。

外心到三角形的顶点的距离等于外接圆的半径。

2.外心的构造方法可以通过三角形的垂直平分线的交点来构造外心。

任取两条垂直平分线，它们的交点即为外心。

3.外心的应用外心是三角形的一个重要几何特征，可以用于判断三角形的形状和相关性质。

外接圆的半径和外心的位置可以用于计算三角形的面积和周长。

三、内心内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。

下面是内心的几个性质和应用：1.内心的性质内心到三角形的每条边的距离相等。

内心是三角形的角平分线的交点。

内心到三角形的边的距离等于内切圆的半径。

2.内心的构造方法可以通过三角形的角平分线的交点来构造内心。

连接三角形的一个顶点和内切圆的切点，这条线即为角平分线。

3.内心的应用内心是三角形的一个关键特征，可以用于判断三角形的形状和相关性质。

三角形四心定理以及相关证明

三角形四心定理以及相关证明一、引言三角形是几何学中最基本的概念之一，它有着丰富的性质和定理。

本文将重点介绍三角形四心定理，这是关于三角形内部的四个特殊点的定理。

我们将详细讨论这个定理以及相关的证明。

二、什么是三角形四心定理三角形四心定理是指在一个三角形内部存在四个特殊的点，它们被称为三角形的四个心，包括三角形的重心、内心、外心和垂心。

这四个点具有重要的性质和几何意义，它们与三角形的边、角和内部点的关系密切相关。

2.1 重心三角形的重心是三角形内部所有中线的交点，其中中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。

重心被称为三角形的质心，它的坐标可以通过三角形顶点坐标的平均值得到。

2.2 内心三角形的内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。

内心到三角形的三条边的距离相等，这个距离被称为内心到三角形边的角平分线的距离。

内心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。

2.3 外心三角形的外心是可以通过三角形的任意两个顶点的垂直平分线的交点得到。

外心到三角形的三个顶点的距离相等，这个距离被称为外心到三角形顶点的距离。

外心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。

2.4 垂心三角形的垂心是通过三角形的三个顶点和对边的垂直线的交点得到。

垂心到三角形的三边的距离有特殊性质，它们满足垂心到三边距离之和最小。

垂心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。

三、三角形四心定理的证明三角形四心定理的证明可以通过利用几何性质和数学推导来完成。

下面我们将分别给出重心、内心、外心和垂心的证明过程。

3.1 重心的证明给定一个三角形ABC，我们可以通过连接三角形的三个顶点和对边中点得到三条中线AD、BE和CF。

我们需要证明这三条中线交于一点G，即三角形的重心。

证明过程如下： 1. 由于D是BC的中点，所以AD平行于BC。

2. 同理，BE平行于AC，CF平行于AB。

3. 根据平行线的性质，得到三角形AGF和三角形ABC相似。

三角形的“四心讲解”-初升高数学衔接(含解析)

三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．三边BC、CA、AB的中点，已知：D、E、F分别为ABC求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2，GE BG GD AG 2,2==∴．设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1．例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ．证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形．证明：如图，连AO 并延长交BC 于D ，O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠， DC BD AC AB =∴(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC ． 1=∴AC AB ，即AB AC ．同理可得，A B =BC ．ABC ∆∴为等边三角形．例4：已知：ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点．求证：AB CH ⊥．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为．【答案】6.5，3142、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝．【答案】23、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos(∠OBC+∠OCB)= ．【答案】22- 4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为．【答案】725、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为．A 、)cos (sin 21αα+B 、)cot (tan 21αα+ C 、ααcos sin 2D 、ααcos sin 1⋅ 【答案】A 【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )A ．三条中线的交点B ．三条高线交点C ．三个内角平分线交点D ．三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG =OF ，∴O 在∠A 的平分线上，同理O 在∠B 的平分线上，O 在∠C 的平分线上，即O 是三条角平分线的交点，故选C ．2．已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是△ABC 的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG 交BC 于H ．利用等腰三角形的三线合一，可知AH 是高，利用勾股定理求出AH ，根据重心的性质AG =AH 计算即可．详解：如图延长AG 交BC 于H ．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC ＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为42，则线段AG的长为_______．45【解析】∵F为AB中点，E为BC中点，∴中线AE、CF的交点G为ACB的重心，∴:2:1CG GF=，∵42AB=ACB，∴1222AF AB==1233GF CF==，CF AB⊥于F，∴Rt AGF中，22845 89AG AF GF=+=+=点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：(1)连接AD，BE，它们相交于点P；(2)连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB 是直角，∴∠AEB ＝90°，∠ADB =90°，∴AD ,BE 是△ABC 的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF 是△ABC 的高8．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果3cm AC =，那么AE DE +等于_________cm ．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE DE =，从而得出AE DE AE CE +=+3cm AC ==．故填3． 9．ABC ∆中，点O 是ABC ∆内一点且到ABC ∆三边的距离相等， 40A ∠=︒，则BOC ∠=_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O 到三角形三边距离相等，∴O 是内心，∴AO ，BO ，CO 都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC ，∠BCO=∠ACO=12∠AC B ， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇A B 、与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A B 、的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在DCE ∠的内部，请画出该山庄的位置P ．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段AB 的中垂线与DCE ∠的平分线交于点P ,点P 即为所求．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、在锐角△ABC 中，内角为A 、B 、C 三边为a 、b 、c ，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为．2、如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分别为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的．3、如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点，DG ：GA ＝．4、设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝．5、若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是( )A 、45°B 、30°C 、30°或150°D 、45°或135°6、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积． B 组参考答案1、1：1：1；c b a 1:1:1； C B A cos :cos :cos ； C B A cos 1:cos 1:cos 1 2、内心3、21 4、265、D6、分析：设AC 交DE 于G ，可推出G 为△ABD 的重心，∠EGA ＝90°，故可求出EGA S ∆及S □ABCD 。

三角形四心概念

三角形四心概念
三角形四心是指三角形内部或外部的四个特殊点，这些点分别是三角形的重心、垂心、内心和外心。

每个点都有其独特的性质和定义，它们在几何学中有着重要的作用，尤其是在解决与三角形相关的问题时。

下面是这四个心的概念。

1.重心（centroid）：
定义：三角形三条中线（即连接顶点与对边中点的线段）的交点。

性质：重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的部分是中线的2/3，靠近中点的部分是1/3。

重心到三个顶点的距离相等，且等于重心到对边中点的距离的2倍。

2.垂心（circumcenter）：
定义：三角形三条高线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。

性质：垂心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。

在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部。

3.内心（incenter）：
定义：三角形三条角平分线（即从顶点出发平分内角的线段）的交点。

性质：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。

内心的连线（即内角平分线）也会将三角形的每个角平分成两个相等的角。

4.外心（circumcenter）：
定义：三角形三条中垂线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。

性质：外心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。

外心是外接圆的圆心，外接圆通过三角形的三个顶点。

这四个心在解决几何问题时非常有用，特别是在计算三角形的面积、角度、边长以及圆的半径等方面。

每个心都有其独特的几何特征和应用，对于理解和分析三角形的性质有着重要的意义。

高考数学二级结论快速解题：专题09 三角形”四心“向量形式的充要条件(解析版)

专题09三角形”四心“向量形式的充要条件一、结论1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

2、设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则（1）O 为ABC 的外心 ||||||2sin aOA OB OC A.（2）O 为ABC 的重心 0OA OB OC.（3）O 为ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA.（4）O 为ABC 的内心 0aOA bOB cOC.3、奔驰定理奔驰定理：设O 是ABC 内一点，BOC ,AOC ,AOB 的面积分别记作A S ,B S ,C S 则0A B C S OA S OB S OC.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O 是ABC 的重心 ::1:1:1A B C S S S 0OA OB OC.②O 是ABC 的内心 ::::A B C S S S a b c 0aOA bOB cOC.③O 是ABC 的外心::sin 2:sin 2:sin 2A B C S S S A B C sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC.OAB CASCS BS④O 是ABC 的垂心::tan :tan :tan A B C S S S A B C tan tan tan 0A OA B OB C OC.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.二、典型例题1．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【解析】记点O 到AB 、BC 、C A 的距离分别为123h h h ，，，212OBC S a h ，312OAC S b h ，112OAB S c h ，因为0OBC OAC OAB S OA S OB S OC △△△，则233111=0222a h OAb h OBc h OC ，即2310a h OA b h OB c h OC ，又因为0a OA b OB c OC，所以123h h h ，所以点P 是△ABC 的内心.故选：B【反思】设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC 的内心 0aOA bOB cOC .利用结论可直接得到O 为ABC 的内心.2．（2021·全国·高一课时练习）已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC 0，则点O 是△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C 【解析】作BD ∥OC ，CD ∥OB ，连接OD ，OD 与BC 相交于点G ，则BG=CG (平行四边形对角线互相平分)，∴OB OC OD ，又OA OB OC 0，可得OB OC =-OA ，∴OD =-OA ，∴A ，O ，G 在一条直线上，可得AG 是BC 边上的中线，同理，BO ，CO 也在△ABC 的中线上.∴点O 为三角形ABC 的重心.故选：C.【反思】设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC 的重心 0OA OB OC.利用结论可直接得到O 为ABC 的重心.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（）A．满足||||||OA OB OC，则点O 是ABC 的外心B ．满足0NA NB NC，则点N 是ABC 的重心C ．满足PA PB PB PC PC PA，则点P 是ABC 的垂心D ．满足(0||||AB AC BC AB AC，且12||||AB AC AB AC ，则ABC 为等边三角形【答案】ABCD 【解析】解：对于A ，因为||||||OA OB OC，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC 得：2ND NA，所以||:||2:1AN ND ，所以N 是ABC 的重心，故B 正确；对于C ，由PA PB PB PC 得：()0PA PC PB ，即0AC PB，所以AC PB ；同理可得：AB PC ，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由()0||||AB AC BC AB AC得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC ；由12||||AB AC AB AC得：1cos 2A ，所以3A ，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．【反思】设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则（1）O 为ABC 的外心 ||||||2sin aOA OB OC A.（2）O 为ABC 的重心 0OA OB OC.（3）O 为ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA.4.已知G 是ABC 的重心，且满足56sin 40sin 35sin 0A GA B GB C GC，则B =.【答案】3【分析】要牢记,,OA OB OC前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】∵G 是ABC 的重心，∴0GA GB GC∴56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C ∴sin :sin :sin 5:7:8A B C 由正弦定理，::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C 由余弦定理，2222225871cos 22582a cb B ac∵(0,)B ，∴3B.【反思】利用奔驰定理在三角形四心中的具体形式：O 是ABC 的重心::1:1:1A B C S S S 0OA OB OC，可得到56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C ，通过进一步利用三角形的正余弦定理，求出角B .三、针对训练举一反三一、单选题1．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））ABC 中，a ､b ､c 分别是BC ､AC ､AB 的长度，若a OA b OB c OC O，则O 是ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【详解】,OB OA AB OC OA AC 0aOA bOB cOCOA AB aOA b c OA ACa b c OA b AB c AC||||bAB cAC bc AB AC OA a b c a b cAB ACOA 在BAC 的角平分线上，同理OB在ABC 的角平分线上，点O 为三角形ABC 的角平分线的交点故点O 是三角形的内心.故选：B.2．（2021·山东枣庄·高一期中）已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC，则G 点是三角形ABC 的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【详解】因为0GA GB GC，所以GA GB GC CG ，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O，如图所示：则CG GD，所以13GO CO ，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .3．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二开学考试）若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足OP OC CB CA（R ），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C【详解】因为OP OC CB CA（R ），所以CP CB CA ，所以CB CA在ABC 的边AB 上的中线所在直线上，则CB CA在ABC 的中线所在直线上，所以P 点的轨迹一定过ABC 的重心，故选：C4．（2021·全国·高一课时练习）若O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若点P 满足2OB OC OP +λAP(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C 【详解】设线段BC 的中点为D ，则有1(2OD OB OC)，因此由已知得OP OD +λAP ，即OP OD =λAP ，于是DP =λAP，则//DP AP ，因此P 点在直线AD 上，又AD 是△ABC 的BC 边上的中线，因此点P 的轨迹一定经过三角形ABC 的重心．故选：C5．（2022·全国·高三专题练习）设O 是平面上一定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()AB AC OP OA AB AC， 0, ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【详解】因为()AB ACOP OA AB AC，所以()AB ACAP AB AC，如图，设,AB ACAE AF ABAC都是单位向量，则由向量的加法法则可得四边形AETF 是菱形，所以AP AT，AT 平分BAC ，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选：B6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，CB a =，CA b=，且sin sin a b OP OC m a B b A=+，m R ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A 【详解】过C 作CH AB ，交AB 于H ，取AB 中点D ，连接CD，如图所示：根据三角函数定义可得sin sin a B b A CH，因为sin sin a b OP OC m a B b A=+，所以=+m OP OC a b CH，即2m CP CD CH，即点P 的轨迹在中线CD 上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，所以点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A 二、多选题7．（2021·广东广州·高一期末）已知O ，N ，P ，I 在ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是（）A ．若||||||OA OB OC ，则O 是外心B ．若PA PB PB PC PC PA u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 是垂心C ．若0NA NB NC，则N 是重心D ．若0CB IA AC IB BA IC，则I 是内心【答案】ABC 【详解】根据外心的定义，易知A 正确；对B ，0PB PA PC PB CA PB CA，同理可得：,PA CB PC AB ，所以P 是垂心，故B 正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意2NA NB ND NC，则||2||NC ND ，同理可得：||2||,||2||NA NE NB NF ，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，,,CB IA AC IB BA IC ，则I 是垂心，故D 错误.故选：ABC.8．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，内心为Q ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB ABB ．GA GB GA GC GB GCC ．0HA HB HC D ．若A P Q 、、三点共线，则存在实数使||||AB AC AP AB AC【答案】AD 【详解】解：对于A ：给定的ABC ，其外心为O ，所以2211()22AO AB AD DO AB AB DO AB AB，故A 正确；对于B ：由于点G 为给定的ABC 的重心，故0GA GB GA GC GA CB，故B 错误；对于C ：点H 为给定的ABC 的垂心，所以()0AH HB HC AB HC，因为重心为G ，则有 11,33AG AB AC BG BA BC ，13CG CA CB ，所以0GA GB GC，若0HA HB HC，则点H 为重心，与题意矛盾，因为故C 错误；对于D ：由于点P 在A 的平分线上，所以AB AC AB AC 和为单位向量，所以||||AB AC AB AC 在A 的平分线上，所以存在实数使()||||AB ACAP AB AC，故D 正确．故选：AD ．9．（2021·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．若0OA OB OC ，则点O 是ABC 的重心．B ．若0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA，则点O 是ABC 的内心．C．若()()0OA OB AB OB OC BC ，则点O 是ABC 的外心．D ．若OA OB OB OC OC OA，则点O 是ABC 的垂心．【答案】ABCD 【详解】对A ，设D 为BC 中点，由于()2OA OB OC OD，所以O 为BC 边上中线的三等分点（靠近点D ），所以点O 是ABC 的重心，故A 正确；对B ，向量,||||AC ABAC AB分别表示在边AC 和AB 上的单位向量AC 和 AB ，记它们的差为向量B C ，则当0||||AC AB OA AC AB时，即OA B C 时，点O 在BAC 的平分线上，同理由0||||BC BA OB BC BA可得点O 在ABC 的平分线上，所以点O 是ABC 的内心，故B 正确；对C ，OA OB 是以OA OB ，为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB是另一条对角线，则由()0OA OB AB 可得该平行四边形为菱形，即||||OA OB，同理由()0OB OC BC 可得||OC OB ∣∣，所以点O 是ABC 的外心，故C 正确；对D ，由OA OB OB OC 得0OA OB OB OC，则0OB CA ，所以OB CA ，同理可得,OA BC OC AB ，所以点O 是ABC 的垂心，故D 正确.故选：ABCD.三、填空题10．（2020·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C， 0, ，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的________(填序号）．①内心②垂心③重心④外心【答案】④设BC 的中点为D ，∵2cos cosOB AB A O OC AB C A B C P C ，∴cos cos AB AC O C OD B P AB A C ，即cos cosAB AC DP AB C A B C ，两端同时点乘BC ，∵ BC DP =cos cos B AB AC A C B AC BC BC = cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B AC C =BC BC =0，所以DP BC ，所以点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过△ABC 的外心故答案为：④.四、解答题11．（2021·全国·高一课时练习）已知三角形的三条中线交于一点G （也称为三角形的重心），且点G 将每条中线分为2:1的两段（如图，:2:1AG GM ）．设ABC 三个顶点分别为 11,A x y ， 22,B x y ， 33,C x y ，求证：(1)点G 的坐标为123123,33x x x y y y；(2)0GA GB GC ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)设 ,G x y ， 22,B x y ∵， 33,C x y 且M 为BC 中点，2323,22x x y y M又 11,A x y ∵ 11=,GA x x y y ，2323,22x x y y GM x y:2:1AG GM ∵=2GA GM 232311,2,22x x y y x x y y x y2312312222x x x x x y y y y y12312333x x x x y y y y G 的坐标为123123,33x x x y y y (2)M ∵为BC 中点，+=2GB GC GM =2GA GM ∵0GA GB GC。

模型32 三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版)

1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在模型介绍三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若四边形AEFD的面积为6，则△CBF的面积为．例题精讲【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB于点O，中线AE与CO相交于点F，则的值为．【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣2，3），点C在x轴负半轴，OB＝BC，点M为△OBC 的重心，若将△OBC绕着点O旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC的外接圆半径的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．➢变式训练【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABC的值为（）A．30B．15C．60D．13【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．➢变式训练【变式4-1】．如图，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【变式4-2】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．568．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB ＝5，则△ABC的周长为．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC 边上的高为．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB 于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH 的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．。

【205】空间中的三角形四心

解读知识点之每日一题【205】立体几何中的三角形四心2051.在三棱锥P ABC -中,若PA PB PC ==,则点P 在底面ABC 的射影是ABC ∆的【】.A.外心B.内心C.重心D.垂心解:答案为A.理由如下:设点P 在底面ABC 的射影是'P ,即'PP ⊥平面ABC .所以''PP AP ⊥,''PP BP ⊥,''PP CP ⊥.由于'APP ∆,'BPP ∆,'CPP ∆都是直角三角形,且PA PB PC ==,以及它们有公共边'PP ,因此'''P A P B P C ==.所以,点'P 是ABC ∆的外心.2052.在三棱锥P ABC -中,若::::PAB PBC PCA S S S AB BC CA ∆∆∆=,且点P 在底面ABC 的射影'P 在ABC ∆内,则'P 是ABC ∆的【】.A.外心B.内心C.重心D.垂心解:答案为B.理由如下:过点P 作,,AB BC CA 的垂线,垂足分别为,,D E F ,则由于::::PAB PBC PCA S S S AB BC CA ∆∆∆=,因此点P 到,,AB BC CA 的距离,,PD PE PF 相等,即PD PE PF ==.设点P 在底面ABC 的射影是'P ,即'PP ⊥平面ABC .所以''PP DP ⊥,''PP EP ⊥,''PP FP ⊥.由于'DPP ∆,'EPP ∆,'FPP ∆都是直角三角形,且PD PE PF ==,以及它们有公共边'PP ,因此'''P D P E P F ==.又由'PP ⊥平面ABC 可得'PP AB ⊥.因此由'PP AB ⊥,PD AB ⊥可得AB ⊥平面'DPP .从而可得'P D AB ⊥.同理可得:'P E BC ⊥,'P F CA ⊥.再由点P 在底面ABC 的射影'P 在ABC ∆内可知:'P 是ABC ∆的内心.2053.在三棱锥P ABC -中,若PA PB ⊥,PB PC ⊥,PC PA ⊥,则点P 在底面ABC 的射影是ABC ∆的【】.A.外心B.内心C.重心D.垂心解:答案为D.理由如下:设点P 在底面ABC 的射影是'P ,即'PP ⊥平面ABC .所以'PP BC ⊥.由于PA PB ⊥,PA PC ⊥,因此PA ⊥平面PBC .所以PA BC ⊥.于是由PA BC ⊥,'PP BC ⊥可知BC ⊥平面'PP A .所以'P A BC ⊥.同理可证:'P B CA ⊥,'P C AB ⊥.所以,点'P 是ABC ∆的垂心.2054.在三棱锥P ABC -中,若三个侧面PAB ∆,PBC ∆,PCA ∆的重心分别为,,D E F ,则DEF ∆与ABC ∆的面积之比为【】.A.1:3B.1:9C.2:3D.4:9 解:答案为B.理由如下:连接PD 并延长交AB 于'D ,连接PE 并延长交BC 于'E ,连接PF 并延长交CA 于'F ,则由重心的性质知',','D E F 分别是,,AB BC CA 的中点,且:':':'2:3PD PD PE PE PF PF ===.从而,DEF ∆∽'''D E F ∆,且:''2:3DE D E =.所以,DEF ∆与'''D E F ∆的面积之比为4:9.由于'''D E F ∆∽ABC ∆,且'':1:2D E AC =.因此,'''D E F ∆与ABC ∆的面积之比为1:4.综上可知, DEF ∆与ABC ∆的面积之比为1:9.2055.对给定的三棱锥P ABC -,请指出其外接球球心O 的位置.解:第一步:确定ABC ∆的外心'O ,并过'O 作平面ABC 的垂线,记为l ；第二步:取PA 的中点D ,并过D 作平面α,使得PA ⊥平面α；综上可知,直线l 与平面α的交点即为所求作的球心O .追问:是否任意一个三棱锥都存在外接球？其外接球是否唯一？解题过程中的直线l 与平面α一定有交点吗？2056.如果四棱锥P ABCD -存在外接球,那么底面四边形ABCD 应满足什么条件？解:四边形ABCD 满足的条件为,,,A B C D 四点共圆.理由如下:当,,,A B C D 四点共圆时,设ABCD 的外接圆圆心为'O ,并过'O 作平面ABCD 的垂线,记为l ；取PA 的中点E ,并过E 作平面α,使得PA ⊥平面α；由于PA 不在平面ABCD 内,因此直线l 与平面α一定相交,记其交点为O ,则OP OA =.由以上作法过程可知OP OA OB OC OD ====,所以此时的四棱锥P ABCD -存在外接球.2057.在三棱锥P ABC -中,若3AB =,4BC =,5CA =，且点P 在底面ABC 的投影恰好是ABC ∆的重心G ,三棱锥P ABC -的外接球球心在平面ABC 上,则三棱锥P ABC -的体积为【】.A.3B.D.3解:答案为D.理由如下:由三棱锥P ABC -的外接球球心在平面ABC 上可知外接球球心即为ABC ∆的外心O .由3AB =,4BC =,5CA =可知ABC ∆的外心O是CA 的中点.从而可知52OP OB ==,且由点P 在底面ABC 的投影恰好是ABC ∆的重心G 可知1536OG OB ==.在OPG ∆中,由勾股定理可得3PG =.故三棱锥P ABC -的体积为133ABC V S PG ∆=⋅=.。