近独立粒子的最概然分布

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热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l

l
l
1
（经典极限条件或所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l

l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N

第六章近独立粒子的最概然分布

近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。

而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。

热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。

μ空间：设粒子的自由度为r 。

经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。

粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。

粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。

热力学与统计物理--第四章-近独立粒子的最概然分布

19、20世纪交替时，牛顿力学在解释黑体辐射与固体低温比热时，遇到不可跨越的困难，需建立新的力学框架——量子力学，其基本原理如下：
Duality of wave—particle for a micro-particle
1924年提出了de Broglie Relation；
h
p
k
Uncertainty relation： q p h
宏观体系是由大量原子和分子组成的。例如，在标准状况下的气体，每立方厘米有 2.69 1019 个分子。物体的宏观性质（压强、比热、相变等）是大量分子运动的平均结果。
如果想根据牛顿力学来确定气体的宏观性质，就要求解 1019个相互碰撞的分子的牛顿方程。显然，这在
实际上是不能办到的，而且也没有必要，因为大量粒子组成的体系出现了新的规律性——统计规律性。根据这种新的规律性，就能确定宏观物体的性质。
1
h3
dpx dp y
L 0
dxdy
A h2
dpx dp y
在A内 p p dp 范围内可能的微观状态数为:
A
h2
2
pdp
0
d
2 A
h2
pdp
2 Am
h2
d
D( )d
p2 / 2m
md pdp
D( ) 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需对
上面各式乘2。
4 Am
h2
d
D( )d
动量与坐标不可同时确定，h 为planck常数。
在量子力学中粒子的微观状态——量子态：由一组量子数描述，量子数之数目等于粒子的自由度数.
1．线性谐振子：双原子分子的相对振动，晶格振动
一维：由一个量子数 n 描述状态，能量可能值

第六章_近独立粒子的最概然分布

2017年3月24日星期五
第六章近独立粒子的最概然分布
4．本章的知识结构体系：
力学描述系统微观经典描述粒子运几何描述态的描述动状态定域系系统运动状的描述量子描述量子态玻色系态的描述非定域系费米系分布定域系最概然等概率与微玻色分布原理观态费米系关系
由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。对近独立粒子而言，粒子的能量仅与粒子本身状态有关而与其它粒子的运动状态无关。因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作用能部分，而只是各粒子的动能之和。
2017年3月24日星期五第六章近独立粒子的最概然分布
一、粒子微观运动状态的经典描述
1．粒子运动状态的经典描述：
2017年3月24日星期五
第六章近独立粒子的最概然分布
任何统计理论要涉及解决以下三个问题：
①研究对象是什么——引入何种假设、模型，如何描述其研究对象的运动状态（力学、几何）； ②如何求出概率分布——这是核心； ③如何求出热力学量的统计表达式。本章为7、8两章作准备，研究解决前两个问题。
2．本章研究的系统：
2017年3月24日星期五第六章近独立粒子的最概然分布
第六章近独立粒子的最概然分布
1．统计物理的基本观点和方法：
基本观点：
①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（例：温度）
方法：
深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
就组成系统的各个微观粒子而言，它们是遵守力学运动规律的。如果粒子遵守经典力学的运动规律，对粒子运动的描述称为经典描述；如果粒子遵守量子力学运动规律，对粒子运动状态的描述就称为量子描述。本节先讨论粒子运动的经典描述。

近独立粒子的最概然分布

空间：2维
px2
2m
0 x L
px
当粒子以一定的动量 px 在容器
中运动时，粒子运动状态代表点在µ空间的轨道是平行于x轴的一条直线。
空间的体积元：d dxdpx
MUSIC
2.三维自由运动粒子
r 3 x, y, z px, py , pz
px mx py my pz mz
（角动量=转动惯量X角速度）L=Iω
p , p 是转子角动量的两个分量

1 m（r2 2 r2 sin2 2）
2
I mr2

21I（p2

1 sin2

p2）
转子的总角动量: L r p 守恒(无外力)
选 Z 平行 L
=2，p
0

p2 L2
1 2m
px2

p
2 y

pz2
空间：6维
3个2维的子空间
空间的体积元：d dxdydzdpxdpydpz
MUSIC
（二）线性谐振子质量m F Ax （谐振子受力方程）
F Ax mx
x A x 0 （ A）
m
m
r=1 x px 二维空间
对单粒子: 量子数的数目=粒子的自由度数
MUSIC
二、举例
（一）线性谐振子
,
n
(n 1)
2
n 0,1,2……
n（振动量子数）：运动状态和能量的量子数.
1个量子数(n)
自由度
0

1 2
r=1
0——零点效应
能级间隔： =n+1 n （常数）

第六章：近独立粒子的最概然分布热力学统计物理汪志诚

新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
1－d线性谐振子自由度： 1 相空间维数：2 位置：x
动量：p mx
p2 1 m 2 x 2 能量： 2m 2
半长轴
a 2m
能量椭圆：
p2 x2 1 2 2m m 2
能量曲面包围的相体积：
( ) ab 2
例二、线性谐振子
自由度： 1 空间维数：2
位置：x
动量：p mx
p2 1 2 2 m x 能量： 2m 2
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
p
x
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述小结
例三、转子自由度：2
空间维数：4
z
, 位置：
p r 2 动量： p r 2 sin 2
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
能量ε包围的相体积：
0 x L px
2 px px 2m 2m

V , 0
2 px
dxdpx dx
0
L
2 m
2 m
dpx 2 2m L
2m
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
无外力矩时,转子的总角动量守恒量
M rp r M 2 p mr p 0 z // M 选则 2
1 1 1 1 2 2 2 ( p p ) ( p ) 2 2 2I sin 2 I sin
（2）三维自由粒子：分解自由度：r 3, r 6 位置：x y z 投影
动量：p x mx p y my
三个2－d子相空间

第六章近独立粒子的最概然分布(复习要点)

第六章近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。

②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系：对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。

这里0h 由测量精度决定的一个常数。

经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。

空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。

并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。

③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。

若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。

在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。

第章--近独立粒子的最概然分布PPT课件

.
3
二. 几个例子 1. 自由粒子自由度：r=3
μ空间维数：6
广义坐标：q1 x, q2 y, q3 z
广义动量： p1 px mx, p2 py my, p3 pz mz,
动能：
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
相迹：以一维为例
px
(6.1.3)
.
x
4
Lx
2. 一维线性谐振子 one dimension linear harmonic oscillator
(6.2.4)
能级非简并
What about 3D?
3. 转子
Degenerate !
量子理论要求角动量平方和角动量z分量是量子化的
M 2 l(l 1)2 ,
l 0,1,2
M z m,
m l,l 1,,l 1,l
自由度为2，等于量子数个数：l, m
转子能量：
E M 2 l(l 1)2
2I
质量: m
电荷： e
自旋角动量量子数：1/2
自旋磁矩：
自旋角动量：S
e
Sm
沿z方向加外磁场B，角动量S在z方向上有两个独立分量
Sz ms
自旋磁矩和势能为
z
e m
ms
e 2m
B
ms
1 2
E
eB m
ms
e 2m
B
描述自旋状态只要一个量子数 ms .
12
2. 线性谐振子
n
(n
1 ), 2
n 0,1,2
代表点的轨道是如下椭圆：
p2 2m
x2 2
1
.
m2
5

第六章近独立粒子的最概然分布(复习要点)

这里0h 由测量精度决定的一个常数。

空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。

并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。

③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。

若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。

近独立粒子的最概然分布

如果存在外场， ε还是描述外场参量的函数．
在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能
量函数写成H函数，
即
ε = H（ qi、pi ）（i = 1、2、…r）
运动方程为
qi
H pi
pi
H pi
（i = 1、2、…r）
第七章近独立粒子的最概然分布
当某一初使时刻 t0 给定了qi、pi 的初值qi0、pi0 之后，由正则运动方程可确定在任何相继时刻t， qi、pi 的数值，因而这个力学系统的运动状态就完全确定了。所以一组qi、pi 数值把
动量 p mx 能量 p2
p
2m
相空间 2r 维
能量为的粒子的相迹十一条直线。
x
第七章近独立粒子的最概然分布
（２）三维空间中运动自由度 r=3 坐标 x, y, z 动量
能量
相空间 2r 维=６维
2、线性谐振子质量为m的粒子在弹性力 f= -kx作用下，将在原点附近作
简谐振动，称为线性谐振子．振动的圆频率为=(k/m)1/2.取决
微观量对应
微观状态
我们先看看如何描述粒子的运动状态！！
第七章近独立粒子的最概然分布
运动状态是指粒子的力学运动状态．根据它遵从的是经典的还是量子的力学运动规律，分为经典描述和量子描述.
经典力学情形
量子力学情形
注：原则上说微观粒子是遵从量子力学的运动规律的．经典理论在一定的极限条件下仍具有意义．
由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所以量子态不能用相空间的一点来描述，而应用一个体积元，称为相格,相格的大小为ΔqΔp≈h .
自由度为r 的粒子，相格大小为：
第七章近独立粒子的最概然分布

第六章近独立粒子的最概然分布教案资料

热力学与统计物理课程教案第六章近独立粒子的最概然分布 6.1 粒子运动状态的经典描述首先介绍如何描述粒子的运动状态。

这里说的粒子是指组成宏观物质系统的基本单元，例如气体的分子，金属的离子或电子，辐射场的光子等等。

粒子的运动状态是指它的力学运动状态。

如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述；如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。

1、粒子运动状态经典描述的两种方法设粒子的自由度为r 。

经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标r q q q ,,,21 和与之共轭的r 个广义动量r p p p ,,,21 在该时刻的数值确定。

粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：()r r p p p q q q εε,,,;,,,2121 = 如果存在外场，ε还是描述外场参量的函数。

为了形象地描述粒子的力学运动状态，用r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 共r 2个变量为直角坐标，构成一个r 2维空间，称为μ空间。

粒子在某一时刻的力学运动状态（r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 ）可以用μ空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。

当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨道。

2、下面介绍统计物理中用到的几个例子（1）、自由粒子：自由粒子不受力的作用而自由运动，当在三维空间中运动时，它的自由度为3。

粒子在任一时刻的位置可由坐标z y x ,,确定，与之共轭的动量为：⋅⋅⋅===z m p y m p x m p z y x ,, 自由粒子的能量就是它的动能：()22221z y x p p p mε++=，对应的μ空间是6维的。

（2）线性谐振子对于自由度为1的线性谐振子，在任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为⋅=x m p x ，它的能量是其动能和势能之和：2222221222x m m p x A m p ωε+=+=以x 和p 为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。

热力学与统计物理：第六章近独立粒子及其最概然分布

dny
L
2
dpy
dnz
L
2
dpz
在V=L3内，符合上式的量子态数：
dnx dny dnz
(
L
2
)3
dpx
dpy
dpz
可由不确定关系理解分母中的 h ----相格的概念
采用球极坐标，用 p, , 代替 px , py , pz
px p sin cos py p sin sin pz p cos
量子数：3个
nx , ny , nz
n
p2 2m
p
2 x
p
2 y
2m
pz2
2 22
m
nx2
n
2 y
L3
nz2
简并度：6
.量子状态数与态密度
例五、求V=L3内在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz间的自由粒子的量子态数与态密度。
在能级密集的假设下，令n连续
dnx
L
2
dpx
量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描述，由一组
量子数来表征，量子数的数目即粒子的自由度数。
例一、自旋
电子、质子、中子等粒子具有内禀角动量（自旋）
或内禀磁矩。其量子数为 1
2
e
(SI )
Sm
自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取两个值
1 Sz 2 mS , ms 1/ 2
在外场B中的势能为
N e s
s
E
e s s
s
S为所有量子态
几点说明:
1、以上求得的结果为极大值分布,即包含状态数最多的分布，因为：
δ2 ln ln

热力学统计物理第六章近独立粒子的最概然分布

自由度 r =1（曲线上运动) : x 和 px 描述其状态； r = 3（3D空间中运动): x, y, z 和 px , py , pz 描述状态。
若粒子有内部运动, 则 r 更大。如双原子分子, φ, p , pφ
一般地，设粒子的自由度为 r ，其力学运动状态由粒子的 r 个广义坐标 q1、q2、…qr 和相应的 r 个广义动量 p1、 p2、… pr 共 2r 个量的值确定。粒子能量ε： ε=ε( q1、q2、…qr ，p1、p2、…pr ) 。总之，微观粒子运动状态的经典描述是采用粒子的坐标和动量共同描述的方法。
热统
而 S z （自旋方向取向量子化） 2 e e B e B B ms 所以 z 2m 2m m 即外场中的电子自旋状态只需要一个量子数 m s
2

13
2 自由粒子（1）一维自由粒子：自由运动的粒子被限制在边长为L的一维容器中。波函数要满足一定的边界条件，采用周期性条件，即
能级为
2
1 ， n 2

px
x
n 0, 1, 2,
热统 21
相邻两个状态之间所夹的面积为

2 1 1 n 1 n ( n 1 ) ( n ) h 2 2 推广之：粒子的一个状态在空间中占有的体积为相格 hr
② 3D自由粒子：r = 3 , 设粒子处于体积 V 中。状态由 x、 y、z、px、py、pz 确定，μ空间是 6 维的。粒子能量 ε= ( px2 + py2 + pz2 ) / 2m 动量子空间的半径 p p 2 p 2 p 2 2m x y z
热统

第六章近独立粒子及其最概然分布

0 0 2

p
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6.2
粒子运动状态的量子描述
一、微观粒子的波粒二象性与测不准关系
微观粒子普遍地具有粒子和波动的二象性，一方面是客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下显示干涉、衍射等波动的现象。德布罗意波：德布罗意，薛定谔
能量为、动量为p的自由粒子对应圆频率为、波矢为k的单色平面波
德布罗意关系： p k

适用于一切微观粒子。
h ; 其中h和都称为普朗克常量： h 6.626 10 34 J . S 2π 1.055 10 34 J . S
普朗克常数是物理中的基本常数，它的量纲是[时间]· [能量]=[长度]· [动量]=[角动量]
结论：确定了系统的r个广义坐标和r个广义动量，就确定了体系的运动状态。
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6.1 二、空间
粒子运动状态的经典描述
把遵从经典力学规律的粒子看作是具有r个自由度的力学体系时，近独立粒子的运动状态由粒子r个广义坐标和r个广义动量确定----构成一个 2r维抽象空间，称为空间，也称为粒子相空间。 μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为代表点（或相点）。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨迹，称为相轨迹。 ①、相点是一个粒子运动状态，而不是粒子，粒子只能在真实空间运动。 ②、任何粒子总可以找到与其对应的空间，不同自由度的粒子不能用同一空间描述状态。 ③、若粒子受 i E 的限制，粒子状态只能在能量曲面内，称为相体积。 H H ，q ④、空间中相轨道不相交，因为在物理问题中 P 是单 q p 值函数。

量子力学03近独立粒子的最概然分布特点分析

3 py 到 py dpy ， V L 求内在 px 到 px dpx，
pz 到 pz dpz 间的自由粒子的量子态数:
L dnx dpx 2 L dny dpy 2 L dnz dpz 2
在 V L3 内，符合上式的量子态数：
L dnx dn y dnz dpx dp y dpz 2 L3 dpx dp y dpz /
L nx , 又：k x 2 nx 0,1,2,
2 kx nx , nx 0,1,2, L 代入德布罗意关系式： p x k x 2 px nx L

因此，一维自由粒子的量子数：1个
nx
p 2 n nx 2m m L
1. 玻耳兹曼系统
粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则 al 个粒子占据能级 l 上的 l 个量子态时，是彼此独立、互不关联的。分布相应的系统的微观状态数为：
分布相应的系统的微观状态数为：

al l
al l
al l
N !
N! al l al !
l
得到：
M . B.
玻耳兹曼系统: 由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。玻色系统: 把由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻色系统。
费米系统:
把由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成，受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子的系统称作费米系统。
粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。 al 个粒子占据能级 l 上的个 l 量子态，相当于从 l 个量子态中挑出 al 个来为粒子所占据，有种可能的方式

近独立粒子的最概然分布

热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

第六章近独立粒子的最概然分布

热力学与统计物理--第四章-近独立粒子的最概然分布

第六章_近独立粒子的最概然分布

近独立粒子的最概然分布

第六章：近独立粒子的最概然分布 热力学统计物理汪志诚

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第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)

近独立粒子的最概然分布

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热力学与统计物理：第六章 近独立粒子及其最概然分布

热力学统计物理第六章近独立粒子的最概然分布

第六章 近独立粒子及其最概然分布

量子力学03近独立粒子的最概然分布特点分析

第六章：近独立粒子的最概然分布热力学统计物理汪志诚

第六章近独立粒子的最概然分布(复习要点)

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热力学与统计物理：第六章近独立粒子及其最概然分布

第六章近独立粒子及其最概然分布