近独立粒子的最概然分布

玻色分布
玻色分布和费米分布
B.E
l
(l al 1) al !(l 1)!
ln B.E [(l al ) ln(l al ) al ln al l ln l ]
l
al
l
e l
1
ln B.E [ln(l al ) ln al ] al 0
l
N al 0, E l al 0
等概率原理
等概率原理（玻耳兹曼，1870） 大数粒子经过频繁碰撞和其他扰动后，满足宏观条 件的各种微观态都会出现。
统计物理基本假设
对于处于平衡态的孤立系统，各可能微观态出现概 率相等。
正确性由其推论与实验相符而得到证实。
分布和微观状态
由大量全同近独立的粒子组成的系统
能级 简并度 粒子数
1, 2 ,L , l ,L 1, 2 ,L , l ,L
a1, a2 ,L , a3 ,L
孤立系统
al N
l
all E
l
（xl , yl , zl ) V
（一）：粒子可分辨，能量量子化
1）N个粒子，分成若干组，每组 al 个方法数
微观数数目
N !
a1 !a2 !L ak !
N!
k
al !
l 1
2）对一个l能级，简并度l ，粒子数为 al 的方法
确定系统的微观状态 必须指出各粒子占据 的相格。
•
q
例1：自由粒子
px
2 h
L
nx ,
nx 0, 1, 2,L ,
L
nx
px2 2m
2 2h2
m
nx2 L2
nx
nx1 nx
2 2h2
m
2nx 1 L2
例2：线性谐振子
n
n
1 2
h,
n 0,1, 2,L
n h
系统微观运动状态的描述
例2 一维谐振子
r 1 q, p
p2 1 m 2q2
2m 2
px
x Lx p
2m
q 2 m 2
粒子运动状态的量子描述
经典的全同粒子可通过对轨道运动的跟踪加以区分。 系统微观状态由所有粒子的微观运动状态决定。
qi , pi 1, 2, K , r; i 1, 2, K , N
p
任意交换一对粒子的不 同运动状态得到新的系 统微观状态。
l
l
[ln(l al ) ln al l ] al 0
l
费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
ln F.D [l ln l al ln al (l al ) ln(l al )]
l
al
l
e l
1
ln F.D [ln(l al ) ln al ] al 0
l
N al 0, E l al 0
l
l
[ln(l al ) ln al l ] al 0
l
体系
N
U i 相互作用 i 1
若粒子之间的相互作用非常微弱，可以
忽略不计，所以独立粒子体系严格讲应
称为近独立粒子体系。这种体系的总能
量应等于各个粒子能量之和，即：
N
E i i 1
可用2Nr个坐标描述 (q11q12 L q1rq21L qN1L qNr p11 p12 L p1r p21 L pN1 L pNr )
l
l
N ln N al ln al al lnl
l
l
约束条件
al N, all E
l
l
ln 0
l
ln
al
l
al
0
满足
N al 0, E l al 0
l
l
乘拉格朗日未定因子
ln N E
l
ln
al
l
l
al
0
ln al
l
l
0
al
e l l
数
al l
所有能级
al l l
总的方法数
N! al !
l
al l
M.B
l
（二）：全同粒子
1）玻色子
B.E
l
(l al 1) al !(l 1)!
2）费米子
弱简并条件
al 1
l
Hale Waihona Puke Baidu.D
l
l ! al !(l al )!
al
B.E / F.D
l
l
al !
M.B N
玻耳兹曼分布
q , p 1, 2, K , r
q1, q2 ,K , qr ; p1, p2 ,K , pr
单粒子状态及其演变过程对应于空间中的点和曲线 。
例1 自由粒子
r 3 x, y, z; px , py , pz
1 2m
px2 py2 pz2
px mx&, py my&, pz mz&
玻耳兹曼系统 由大量可分辨的全同近独立粒子组成 的系统
玻耳兹曼分布 玻耳兹曼系统处于平衡态时的最概然 分布
应用斯特令公式 ln m! mln m m 将阶乘展开
再用 Lagrange 乘因子法，求得最概然的分布
N! al !
l
al
l
M .B
l
ln M.B ln N ! al ! al ln l
第六章 近独立粒子的最概然分布
1. 粒子运动状态的经典描述 2. 粒子运动状态的量子描述 3. 系统微观运动状态的描述 4. 等概率原理 5. 分布和微观状态 6. 玻耳兹曼分布 7. 玻色分布和费米分布
粒子运动状态的经典描述
空间 单粒子的相空间，有 2r 维
经典描述
粒子自由度
r 3n k
力学运动状态 哈密顿量