(完整版)乘法公式的灵活运用
八年级数学上册专题训练四乘法公式的灵活运用新人教版
(3)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1.
解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋ 1)(216＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋ 1)(216＋1)＋1＝……＝(216－1)(216＋1)＋1＝ 232－1＋1＝232.
乘法公式的变形技巧 4．若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝ __3__． 5．若x＋y＝3，xy＝1，则x2＋y2＝_7___． 6．若a2＋b2＝13，(a－b)2＝1，则(a＋b)2＝ _2_5__．
巧用乘法公式解决整除问题和规律问题 10．对任意正整数n，求证：(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)·(3＋n)的值是10的倍数． 解：(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝9n2－1－ (9－n2)＝10n2－10＝10(n2－1)， ∴原式的值是10的倍数．
11．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的 平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如： 4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4， 12，20都是“神秘数”． (1)28和2020这两个数是“神秘数”吗？为什么？ (2)证明：“神秘数”必是4的正奇数倍； (3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数” 吗？为什么？
即(210－x)2＋(x－200)2的值为508. 同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解 答过程： “若x满足(2013－x)2＋(2011－x)2＝4028，试 求(2013－x)(2011－x)的值”．
解：设(2013－x)＝a，(2011－x)＝b， 则有(x－2011)＝－b， ∵a－b＝2013－x＋x－2011＝2， 又∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2，a2＋b2＝4028， ∴4028－4＝2ab，ab＝2012， 即(2013－x)(2011－x)＝2012.
《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1
分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例 运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例 运用乘法公式计算： 两数和的完全平方公式： 乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)
乘法拆开法计算公式
乘法拆开法计算公式在数学中，乘法拆开法是一种常用的计算方法，它可以帮助我们简化复杂的乘法运算。
通过乘法拆开法，我们可以将一个乘法式拆分成多个简单的乘法式，然后分别进行计算，最后将结果合并在一起得到最终的答案。
这种方法在解决数学题目和实际生活中的计算问题时都非常有用。
下面我们将详细介绍乘法拆开法的计算公式和应用方法。
乘法拆开法的计算公式可以总结为以下几点：1. 乘法分配律，a × (b + c) = a × b + a × c。
乘法分配律是乘法拆开法的基础，它表示在乘法运算中，可以先将一个数与括号中的每个数分别相乘，然后将结果相加得到最终的答案。
这个公式在解决含有括号的乘法运算时非常有用，可以帮助我们简化计算过程。
2. 乘法结合律，(a × b) × c = a × (b × c)。
乘法结合律表示在乘法运算中，可以先将两个数相乘得到一个结果，然后再与第三个数相乘得到最终的答案。
这个公式在解决含有多个乘法因子的乘法运算时非常有用，可以帮助我们合并乘法因子简化计算过程。
3. 乘法交换律，a × b = b × a。
乘法交换律表示在乘法运算中，两个数的顺序可以交换而不影响最终的结果。
这个公式在解决乘法运算中交换乘法因子的位置时非常有用，可以帮助我们灵活调整乘法因子的顺序简化计算过程。
通过以上三条乘法拆开法的计算公式，我们可以灵活运用乘法分配律、乘法结合律和乘法交换律来简化复杂的乘法运算。
下面我们将通过一些例题来演示乘法拆开法的应用方法。
例题1，计算24 × 37。
根据乘法分配律，我们可以将24 × 37拆分成(20 + 4) × 37，然后分别计算20 × 37和4 × 37，最后将结果相加得到最终的答案。
具体计算过程如下：20 × 37 = 740。
4 × 37 = 148。
乘法公式经典例题
乘法公式经典例题
乘法公式是数学中非常基础和重要的公式之一，它在我们日常生活和学习中经常被使用到。
下面将给出几个经典的乘法公式例题，帮助我们更好地理解和运用乘法公式。
一、乘法的交换律：a * b = b * a
这个公式告诉我们，两个数相乘的结果不受它们的顺序影响。
例如，2 * 3 = 3 * 2 = 6。
二、乘法的结合律：(a * b) * c = a * (b * c)
结合律告诉我们，三个数相乘的结果不受它们加括号的顺序影响。
例如，(2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) = 24。
三、乘法的分配律：a * (b + c) = a * b + a * c
分配律告诉我们，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再求和。
例如，2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4 = 14。
四、零的乘法：a * 0 = 0
零的乘法告诉我们，任何数乘以零的结果都是零。
例如，2 * 0 = 0。
五、一的乘法：a * 1 = a
一的乘法告诉我们，任何数乘以一的结果都是它本身。
例如，2 * 1 =
2。
除了以上几个经典的乘法公式，还可以根据实际情况进行推导和运用。
例如，我们可以利用乘法公式计算两个数的乘积，或者根据乘法公式解决实际问题，如计算面积、体积等。
总结来说，乘法公式是数学中非常重要的基础工具，它帮助我们理解和运用乘法的规律，解决各种数学问题。
通过不断练习和应用乘法公式，我们可以提高自己的数学能力，更加灵活地运用乘法进行计算和解决问题。
数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用
数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用乘法在初中代数中是一个常见的运算方式，通过掌握乘法公式和灵活运用，可以更好地解决数学问题。
在本文中，我们将介绍一些常见的乘法公式以及它们的应用。
一、基础乘法公式1. 同底数乘法公式当两个数的底数相等时，指数相加。
例如：aⁿ * aᵐ= a^(ⁿ+ᵐ)2. 平方乘法公式任何数的平方都可以表示为底数相同，指数为2的形式。
例如：(a * b)² = a² * b²3. 一次多项式的乘法公式两个一次多项式相乘的结果可以用分配律展开。
例如：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd二、常见的乘法公式应用1. 多项式的乘法在解决多项式相乘的问题中，可以运用分配律进行展开，并根据指数相加的规则进行合并。
例如：(2x + 3)(x + 5) = 2x * x + 2x * 5 + 3 * x + 3 * 5 = 2x² + 10x + 3x + 15 = 2x² + 13x + 152. 平方差公式平方差公式可以帮助我们快速求解两个数的平方差的形式。
例如：(a + b)(a - b) = a² - b²3. 立方差公式立方差公式可以帮助我们快速求解两个数的立方差的形式。
例如：(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³4. 特殊乘法公式有一些特殊的乘法公式，经常出现在代数问题中，例如：- (a + b)² = a² + 2ab + b²- (a - b)² = a² - 2ab + b²- a² - b² = (a + b)(a - b)- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这些特殊乘法公式在解答问题时非常有用，通过熟练掌握可以提高解题速度和准确性。
乘法公式灵活运用
乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。
灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。
本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。
乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。
乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。
在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。
例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。
这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。
乘法公式还可以用于因数分解。
因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。
例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。
因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。
乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。
例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。
如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。
此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。
例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。
人教版数学八年级上册第14章第8课14.2乘法公式(教案)
在今天的乘法公式教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握完全平方公式和平方差公式。从学生的反馈来看，我发现以下几个问题需要关注和改进。
首先，乘法公式的推导过程对部分学生来说仍然较为困难。在今后的教学中，我应更加注重引导学生通过实际操作、图示等方法来理解公式背后的原理。这样既能激发学生的学习兴趣，也有助于提高他们的逻辑推理能力。
2.教学难点
（1）理解乘法公式的推导过程：学生对乘法公式的推导过程可能存在理解困难，需要通过具体实例、图示等方法帮助学生理解。
（2）灵活运用乘法公式：学生在实际运用乘法公式时，可能难以迅速找到合适的应用场景来自需要通过典型例题和练习进行巩固。
（3）因式分解中的乘法公式应用：对于一些复杂的因式分解问题，学生可能不知道如何运用乘法公式，这是本节课的一个难点。
3.运用乘法公式解决实际问题，如代数式的乘法运算、因式分解等；
4.通过典型例题，让学生掌握乘法公式的应用技巧，提高解题能力。
二、核心素养目标
培养学生以下数学核心素养：
1.理解乘法公式的推导过程，提高逻辑推理和抽象思维能力；
2.学会运用乘法公式解决实际问题，增强数学运算和问题解决能力；
3.通过乘法公式的学习，培养严谨、细致的数学学习态度，提高数学素养；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解乘法公式的基本概念。乘法公式是解决代数式中乘法运算和因式分解的有效工具。其中，完全平方公式和平方差公式尤为重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例：计算(2x+3y)(2x-3y)。这个案例展示了平方差公式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
同时，我也注意到，在实践活动和小组讨论中，学生的表现有很大的差异。有些学生能够迅速掌握乘法公式并灵活运用，而另一些学生则显得较为吃力。针对这种现象，我将在课后加强对学生的个别辅导，帮助他们弥补知识漏洞，提高学习效果。
知识应用：活用乘法公式
知识应用：活用乘法公式乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．一、对号a、b，正确运用例1 计算(-2+3x)(-2-3x)．分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用例2 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用例3 计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用例4 计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用例5 计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．例6 已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
如何灵活运用乘法公式
如何灵活运用乘法公式同学们学习过乘法公式以后，基本上能够记住它们的特点，能够直接运用它们了。
但是，有些问题并不能直接运用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，然后才能运用公式，下面就来介绍几种常用的方法。
一、分组、结合法例1. 计算：()()z y x z y x -+++。
分析：本题看做多项式乘多项式来解比较烦琐，但如果适当分组，就能运用平方差公式了，把每个括号中的前两项当成一组就行了。
解：原式()[]()[]()22222z y xy 2x z y x z y x z y x -++=-+=-+++=。
例2. 计算：()()d c b a d c b a ++-+-+。
分析：本题每个括号里面有4项，看上去不好直接运用公式，但把它们进行分组、结合，就可以用平方差公式了。
解：原式=()()[]()()[]()()222222c bc 2bd ad 2a c b d a c b d a c b d a -+-++=--+=--+-++二、拆项、添项法例3. 计算：()()()()1171717176842+++++。
分析：本题直接计算比较烦琐，但如果利用拆项的方法把6拆成71-，就可以用平方差公式了。
解：原式=()()()()()11717171717842+++++-()()()()1171717178422++++-= ()()()1171717844+++-= ()()1171788++-==11716+-167=。
例4. 已知多项式()()()()()11x 1x 1x 1x 1x 16842++++++，求当2x =时多项式的值。
分析：把2x =代入后可仿例1解，也可以在多项式()()()()()1x 1x 1x 1x 1x 16842+++++前面添上一项1x -，再除以这项，这样就可以用平方差公式求解。
解：原式()()()()()()11x 1x ...11x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 3216842+--==+-+++++-=，当2x =时，原式322=。
最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 22例：计算 1999 -2000 X 199822 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项① a 2 b 2 = (a b)2 - 2aba 2b 2 = (a-b) 2+2ab2 2 2 2② (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。
2例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。
例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。
2 2例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a +丄=5,求(1) a 2+W , (2) (a —丄)2的值.a a a(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项2 2 2=a -2ab+b (1) 1032(2) 19821 1例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。
x x3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 _ 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b )分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2中的a,而 _____ 则是公式中的b .解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。
(完整版)乘法公式(基础)知识讲解
乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义;2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征:既有相同项，又有“相反项"，而结果是“相同项"的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化:如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化:如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-两数和 （差）的平方等于这两数的平方和加上（减去)这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点:左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。
以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式,哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332a b b a --; （2) ()()2323a b a b -++;(3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-；(5) ()()2323a b a b ---； （6） ()()2323a b a b +--．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同,另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：（2）、（3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，（1)、（6)不能用平方差公式计算．（2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()22a ＝2294b a -．（3） ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()23b ＝2249a b -．（4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()23b ＝2249a b -．（5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()22a ＝2294b a -．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算,一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三: 【变式】计算:（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; （2）(2)(2)x x -+--; (3）(32)(23)x y y x ---．【答案】解：（1）原式2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2)原式222(2)4x x =--=-．(3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-．2、计算：(1）59.9×60.1; （2)102×98．【答案与解析】解：（1)59.9×60.1＝（60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1-＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝（100＋2)(100－2）＝221002-＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数,通过两式(两数）的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算． 举一反三:【变式】用简便方法计算:(1）899×901＋1； (2)99×101×10001;（3)22005－2006×2004；【答案】解：（1）原式＝（900－1)（900＋1)＋1＝2290011-+＝810000．（2)原式＝［（100－1）(100＋1）]×10001＝()21001-×10001＝(10000－1）×（10000＋1）＝100000000－1＝99999999．（3)原式＝22005－(2005＋1）(2005－1)＝22005－(22005－21）＝1． 类型二、完全平方公式的应用3、计算：（1)()23a b +; (2）()232a -+; （3)()22x y -； （4）()223x y --．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和"还是“差”的完全平方公式。
《乘法公式》 说课稿
《乘法公式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《乘法公式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《乘法公式》是初中数学中的重要内容，它是多项式乘法运算的简便形式，在整式乘法、因式分解、代数式的化简求值等方面有着广泛的应用。
本节课主要介绍了两个乘法公式：平方差公式和完全平方公式。
平方差公式：（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²完全平方公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²，（a b)²＝ a² 2ab ＋b²教材通过对多项式乘法的计算，引导学生观察、归纳、总结出乘法公式，让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养学生的观察能力、归纳能力和逻辑推理能力。
二、学情分析学生在之前已经学习了多项式的乘法运算，具备了一定的计算能力和基础。
但对于乘法公式的理解和应用可能会存在一定的困难，特别是对于公式的结构特征和灵活运用。
因此，在教学过程中，要注重引导学生观察公式的特点，通过大量的实例练习，帮助学生加深对公式的理解和掌握。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解和掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征。
（2）能够熟练运用乘法公式进行整式的乘法运算和简便计算。
2、过程与方法目标（1）通过对多项式乘法的计算和观察，培养学生的归纳、总结能力。
（2）通过乘法公式的应用，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在数学活动中获得成功的体验，增强学习数学的信心。
（2）培养学生敢于挑战、勇于探索的精神。
四、教学重难点1、教学重点（1）平方差公式和完全平方公式的结构特征和推导过程。
（2）乘法公式的正确应用。
2、教学难点（1）乘法公式的灵活运用。
（2）对乘法公式中字母含义的广泛理解。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
初中数学乘法公式
初中数学乘法公式乘法是数学中最基本的四则运算之一、在初中数学中，学生需要掌握一些常用的乘法公式，以便能够灵活运用它们解决各种数学问题。
下面是一些常用的初中数学乘法公式：1.乘法交换律：a×b=b×a。
这条公式表示乘法运算中，两个数的顺序可以交换。
2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
这条公式表示乘法运算中，多个数相乘的结果与它们的顺序无关。
3.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。
这条公式表示乘法运算可以分配到括号中的加法或减法上。
4.同底数乘法：a^m×a^n=a^(m+n)。
这条公式表示相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加。
5.幂的乘法：(a^m)×(b^n)=(a×b)^(m+n)。
这条公式表示幂的乘方是指数相加，底数相乘。
6.乘法的幂：(a×b)^n=a^n×b^n。
这条公式表示多个数相乘的结果的乘方等于每个数分别乘方再相乘。
以上是初中数学常用的乘法公式，下面将逐个公式进行讲解和例题演示。
1.乘法交换律：a×b=b×a乘法交换律是指乘法运算中两个数的顺序可以交换，运算结果不变。
例如：3×5=5×3=152.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法结合律是指多个数相乘时，它们的顺序可以变化，运算结果不变。
例如：(2×3)×4=2×(3×4)=243.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c乘法分配律是指乘法运算可以分配到括号中的加法或减法上。
例如：2×(3+4)=2×3+2×4=144.同底数乘法：a^m×a^n=a^(m+n)同底数乘法是指相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加。
乘法公式
（6）(2a-b)2(b+2a)2 ）
2 2 2 4
= [4a − b ] = 16a − 8a b + b
(7)见书作业题 见书作业题1 见书作业题
(a + b + c)(a + b + c)
= [(a + b) + c]
2
2 2
(a + b + c) = ?
2
2
= (a + b) + 2(a + b)c + c
6
(6 x y − 2 xy ) ÷ 2 y
2 2
A是边长为 的正方形 是边长 是边长为a的正方形 是边长为 的正方形,B是边长 的正方形,C是长为 宽为b的 为b的正方形 是长为 宽为 的 的正方形 是长为a,宽为 长方形 正方形,要求 请你用它们拼出新的正方形 请你用它们拼出新的正方形 要求 所拼图形中A,B,C都有 且不能重 都有,且不能重 所拼图形中 都有 画出示意图. 合,画出示意图 画出示意图
2 2 2
2
2
= a + 2ab + b + 2ac + 2bc + c
= a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac
(a − b + c )(a + b − c ) = ?
= a + 2ab + b − c
2 2
(a + b + c)(a + b − c) 2 2 = ( a + b) − c
−n
注意数学方法的运用 注意数学方法的运用 数学方法的运用: 整体思想(添括号 添括号) 整体思想 添括号 数形结合(面积法 数形结合 面积法) 面积法
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1乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=02例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。
解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2-z 2=（x+z ）(x-z)=14×4=56。
例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。
观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。
解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 =（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=24096=161024 因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。
例7．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4 =39204例8．计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2-(4b )2=a 2-6ac +9c 2-16b 2（2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2-( y 2-4y +4)=9x 2-y 2+4y -4例9．解下列各式（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
（3）已知a (a -1)-(a 2-b )=2，求222a b ab +-的值。
（4）已知13x x -=，求441x x+的值。
分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。
解：（1）∵a 2+b 2=13，ab =6∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =13+2⨯6=25 (a -b )2=a 2+b 2-2ab =13-2⨯6=1 （2）∵(a +b )2=7，(a -b )2=4∴ a 2+2ab +b 2=7 ① a 2-2ab +b 2=4 ② ①+②得 2(a 2+b 2)=11，即22112a b +=①-②得 4ab =3，即34ab =（3）由a (a -1)-(a 2-b )=2 得a -b =-2()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22112222a b =-=⨯-=3（4）由13x x -=，得19x x 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 即22129x x +-= 22111x x ∴+=221121x x 2⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 即4412121x x ++= 441119x x +=例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？ 分析：由于1⨯2⨯3⨯4+1=25=522⨯3⨯4⨯5+1=121=1123⨯4⨯5⨯6+1=361=192…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。
解：设n ，n +1，n +2，n +3是四个连续自然数则n (n +1)(n +2)(n +3)+1 =[n (n +3)][(n +1)(n +2)]+1 =(n 2+3n )2+2(n 2+3n )+1=(n 2+3n )(n 2+3n +2)+1 =(n 2+3n +1)2∵n 是整数，∴ n 2，3n 都是整数 ∴ n 2+3n +1一定是整数∴(n 2+3n +1)是一个平方数 ∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。
例11．计算 （1）(x 2-x +1)2（2）(3m +n -p )2解：（1）(x 2-x +1)2=(x 2)2+(-x )2+12+2⋅ x 2⋅(-x )+2⋅x 2⋅1+2⋅(-x )⋅1=x 4+x 2+1-2x 3+2x 2-2x=x 4-2x 3+3x 2-2x +1（2）(3m +n -p )2=(3m )2+n 2+(-p )2+2⋅3m ⋅n +2⋅3m ⋅(-p )+2⋅n ⋅(-p )=9m 2+n 2+p 2+6mn -6mp -2np 分析：两数和的平方的推广(a +b +c )2=[(a +b )+c ]2=(a +b )2+2(a +b )⋅c +c 2=a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 即(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例1. 计算：()()53532222xyxy+- 解：原式()()=-=-53259222244x y x y(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a解：原式()()()=-++111224a a a()()=-+=-111448a a a例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--解：原式()()[]()()[]=-++--+25312531y z x y z x4 ()()=--+=-+---25314925206122222y z x y x z yz x三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4. 计算：()()57857822a b c a b c +---+解：原式()()[]()()[]=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c()=-=-101416140160a b c ab ac四、变用: 题目变形后运用公式解题。
例5. 计算：()()x y z x y z +-++26解：原式()[]()[]=++-+++x y z z x y z z 2424()()=++-=+-+++x y z z x y z xy xz yz241224422222五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a ba b a b ab+-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22解：原式()()[]()()[]=++-++--b c a d b c a d 22()()[]=++-=++++-2222244222222b c a d a b c d bc ad例8. 已知实数x 、y 、z 满足xy z xy y +==+-592，，那么x y z ++=23（ ）5解：由两个完全平方公式得：()()[]ab a b a b =+--1422从而 ()[]zx y y 2221459=--+- ()()()=--+-=-+-=--+=--25414529696932222y y y y y y y ()∴∴，∴∴z y z y x x y z 22300322322308+-====++=+⨯+=三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．例2 计算(-a 2+4b )2分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）（二）、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式． 解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕 =(2x +5)2-(y -z )2=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．例4 计算(a -1)2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便． 解：原式=[(a -1)(a 2+a +1)(a 6+a 3+1)]2=[(a 3-1)(a 6+a 3+1)]2=(a 9-1)2=a 18-2a 9+1例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简． 解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2=4a2+4b2+4c2（五）、注意乘法公式的逆运用例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=[(2a+3b)+(4a-5b)]2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2．四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．67（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x +2y －3z ）2，若视x +2y 为公式中的a ，3z 为b ，则就可用（a －b ）2=a 2－2ab +b 2来解了。