数学分析三试卷及答案
《厦门大学数学分析历年考研真题及答案解析》
二、大题
1.证明单调有界数列必有极限。（15分）
2.设函数{fn(x)}为闭区间[a,b]上的连续函数列，且一致收敛于函数f (x)，证明f (x)也在 该区间上连续。（20分）
3.设f 在c 处右可微，即f'R = xl→imc+ f xx−−fc(c)'存在，又设f'R是正数，证明存
在 ，使得对所有t ∈ c,c + ，f t − f (c) 。（15分）
科目代码：616 科目名称：数学分析 招生专业：数学科学学院基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学
与控制论专业
考生须知：答案必须使用墨（蓝）色墨水（圆珠）笔；不得在试卷（草稿）纸上作答； 凡未按规定作答均不予评阅、判分
一、判断题（答案只写“是”、“否”：共10分，每小题2.5分）
1.若{xn}无界，则nli→m∞xn = ∞。 2.若{xn}无界，则{xn}发散. 3.若{xn}单调有下界，则{xn}收敛。 4.若{xn}收敛，则{xn}有界。
Ⅱ 历年考研真题试卷答案解析.............................................................................................20
厦门大学 2007 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷答案解析................................ 20 厦门大学 2008 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷答案解析................................ 24 厦门大学 2009 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷答案解析................................ 29 厦门大学 2010 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷答案解析................................ 34 厦门大学 2011 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷答案解析................................ 39 厦门大学 2012 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷答案解析................................ 45 厦门大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷答案解析................................ 51 厦门大学 2014 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷答案解析................................ 56
数学分析试卷及答案6套
f ( x1 ) f ( x2 ) .
g ( x) ,x 0 九. (12 分)设 f ( x) x 且 g (0) g (0) 0 , g (0) 3 , 求 f (0) . 0, x 0
答案参见我的新浪博客：/s/blog_3fb788630100muda.html
lim
h 0
1 h
x
a
[ f (t h) f (t )] dt f ( x) f (a).
六 (10 分 ) 求椭圆区域 R : (a1 x b1 y c1 ) 2 (a2 x b2 y c2 ) 2 1 (a1b2 a2b1 0) 的 面积 A . 七 (10 分) 设 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 ) dx dy dz ，其中 V : x 2 y 2 z 2 t 2 (t 0) ，
四. (12 分)证明函数 f ( x)
五. (12 分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10 分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12 分)确定 a, b 使 lim ( x 2 x 1 ax b) 0 .
x
1 5 八. (14 分)求函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 在 [ , ] 的最大值与最小值. 4 2
x x0
x x0
1 1 . f ( x) b
三. (10 分)设 an 0 ,且 lim
an l 1 , 证明 lim an 0 . n n a n 1
四. (10 分 ) 证 明 函 数 f ( x) 在 开 区 间 ( a, b) 一 致 连 续 f ( x) 在 ( a, b) 连 续 , 且
燕山大学数学分析(3)试卷1答案
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4、已知42sin()()x xy F x dy y=⎰，则=)('x F 54sin sin 2x x x -5、方程0)sin(2=++xy y x 在（0，0）点的某邻域内_能_____（填能、不能或不一定）确定隐函数)(y g x =.6、函数),(y x f 在点),(000y x P 的某邻域内具有二阶的连续偏导数，则f 在0P 取极值的必要条件是0),(),(0000==y x f y x f y x ；充分条件是0000000000()()(,)(,)0,0,(,)0()()xx xy x y xx xy yy f P f P f x y f x y D f x y f P f P ===>≠7、改变积分次序，22212(,)x x xdx f x y dy --=⎰⎰211102(,)y ydy f x y dx +--⎰⎰8、l 是以(0,0)O ，(1,0)A , (0,1)B 为顶点的三角形，计算()lx y ds +=⎰12+二、（每题5分，共20分）1、解：12u f f x ∂=+∂， 2111221222u f f f f x ∂=+++∂，211122122uf f f f x y∂=-+-∂∂． 装订线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级2、解：两边取对数，有)1ln(ln xy x z +=，于是z -1xy xy xy x z +++=∂∂1)1ln(，21z x z y xy ∂=∂+ ，故dy xy x dx xy xy xy dz ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=11)1ln(23、解：方程两边关于x 求偏导得，1z zyz xyx x∂∂+=+∂∂，于是， 11z yz x xy ∂-=∂-，22(1)z x y z xyzx y xy ∂-++=∂∂- 4、答案：2y P x =，1Q x =-，21Q P x y x ∂∂==∂∂，积分和路径无关。
数学试卷分析
数学试卷分析数学试卷分析篇一一、基本情况1、题型与题量全卷共有三种题型，分别为选择题、填空题和解答题。
其中选择题有8小题，每题3分，共24，空题有8个小题，每题3分，共24分;解答题有5个大题，共72分，全卷合计26题，满分120分，考试用时120分。
2、内容与范围从考查内容看，几乎覆盖了湘教版七年级上册册数学教材中所有主要的知识点，而且试题偏重于考查教材中的主要章节，如有理数、代数式、一元一次方程、一元一次不等式、数据的统计和分析。
试题所考查的知识点隶属于数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用四个领域。
纵观全卷，所有试题所涉知识点均遵循《数学新课程标准》的要求。
3、试卷特点等方面：从整体上看，本次试题难度适中，符合学生的认知水平。
试题注重基础，内容紧密联系生活实际，注重了趣味性、实践性和创新性。
突出了学科特点，以能力立意命题，体现了数学课程标准精神。
有利于考察数学基础和基本技能的掌握程度，有利于教学方法和学法的引导和培养。
有利于良好习惯和正确价值观形成。
其具体特点如下：(1)强化知识体系，突出主干内容。
考查学生基础知识的掌握程度，是检验教师教与学生学的重要目标之一。
学生基础知识和基本技能水平的高低，关系到今后各方面能力水平的发展。
本次试题以基础知识为主，既注意全面更注意突出重点，对主干知识的考查保证了较高的比例，并保持了必要的深度。
(2)贴近生活实际，体现应用价值。
“人人学有价值的数学，”这是新课标的一个基本理念。
本次试题依据新课标的要求，从学生熟悉的生活索取题材，把枯燥的知识生活化、情景化，通过填空、选择、解决问题等形式让学生从中体验、感受学习数学知识的必要性、实用性和应用价值。
(3)巧设开放题目，展现个性思维。
本次试题注意了开放意识的浸润，如在第26小题这一题。
本次考试抽取10名学生的考卷为样本进行分析。
样本分114分，样本最低分30分，样本平均分62.8分，及格率为65.0%，优生率16.3%。
工科数学分析试卷(含答案)
哈尔滨工业大学（威海）秋季学期工科数学分析(B 类)试题卷（A ）题号 一二三四五六七八卷 面 总 分 平 时 成 绩 课 程 总 成 绩分数一、选择题（请把答案写在括号内，每题2分，共10分）1. 数列有界是数列收敛的( )(A)必要条件 (B)充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件2.设22(cos )sin f x x '=,且(0)0f =,则()f x =( )(A) 21cos cos 2x x + (B) 241cos cos 2x x -(C) 212x x - (D) 212x x +3. 11lim(1)lim(sin )xx x x x x-→→∞++= ( ) (A).e (B). 1e -; (C). 1e + (D). 11e -+4. 对于不定积分，在下列等式中正确的是( )（A ）[()]()d f x dx f x =⎰； （B ）()()df x f x =⎰；（C ）()()f x dx f x '=⎰； （D ）()()df x dx f x dx =⎰. 得分遵守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范5. 设()y f x =满足关系式240y y y '''-+=,若0()0f x >且0()0f x '=，则()y f x =在0x 点（ ）.(A).取极大值； (B).取极小值；(C).在某邻域内单调增； (D).在某邻域内单调减.二、填空题（每题2分，共10分） 1. 设,m n 为正整数，且m n <，则0sin()lim (sin )n mx x x →= .2. 设()(1)(2)(2002)f x x x x x =++⋅⋅⋅+，则 (0)f '= .3.定积分0=⎰ .4. 设()()f x g x '=，则微分2[(sin )]d f x = .5.不定积分2= .三、 算题（每题5分，共30分）1. 计算11lim()ln 1x x x x →--.遵守 考 试 纪 律注 意 行 为 规 范2.计算.1 lim(123)n n nn→∞++.3.已知21ln cos arcsin2xy x xx=++求y'.4.求由参数方程sin1cosx t ty t=-⎧⎨=-⎩确定的函数的导数dydx,22d ydx.5.计算积分(1ln)xe x xdxx+⎰.6.计算Iπ=⎰.四、解答下列各题（每题10分，共50分）1.设函数32ln(1),0,arcsin()60,10.sin4axaxxx xf x xe x axxxx⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩问(1)a为何值时, ()f x在0x=处连续;(2)a为何值时, 0x=是()f x的可去间断点.2.当a为何值时，抛物线y=x2与三直线x = a，x = a+1，y= 0所3.围成的图形面积最小？4.已知1x2x =…, 1n x +=证明数列{}n x 收敛并求其极限.5. 设函数()f x ,()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，()0g x ≠，试 证：至少存在一个(,)a b ξ∈，使()()()()f g f g ξξξξ''=.5设严格单调递增函数()[,]f x C a b ∈且()0f x ''>，证明：()()()()()()2ba f a fb b a f a f x dx b a +-<<-⎰遵守 考 试 纪 律注 意 行 为 规 范哈尔滨工业大学（威海）秋季学期 工科数学分析(B 类)试题卷（A ）答案一. (1).A (2).C (3).D (4).D (5)A二(1).0 (2).2002! (3)π(4)2(sin )sin 2g x x(5)35224235x x C ++三1. 11ln 1ln ()lim lim limln 1(1)ln (1)ln(11)111x x x x x x xx x x x x x x x x -----==---+-→→→211ln lim(1)x x x xx →--=-1ln 11lim 2(1)21x x x --==--→ 2．解：因为1113(3)(123)(33)n nn n nnn=≤++≤⨯=3lim n →∞=，所以1(123)3lim nn nn →∞++= 3．223211tan 2arcsin 22(1)x y x x x x x '=-++-+ 4．sin 1cos dydy t dt dx dx t dt==-， 22411()()()2sin 2d y d dy d dy dt d dy dx t dx dx dt dx dx dt dx dxdt ====- 5．(1ln )ln ln ln ln x x x x x x x xx e x x e e e e dx dx e xdx dx xde dx e x dx x x x x xe x C+=+=+=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.202cos sin sin cos sin cos 1x xdx x xdx x xdx πππππ==-=⎰⎰⎰⎰四．解答题 1.解33200000000ln(1)3(00)()lim lim lim limarcsin arcsin 1x x x x ax ax ax f f x x x x x →-→-→-→-+-====---003(16lim x a a →-=-=-22200000011(00)()4lim lim lim sin4ax ax x x x e x ax e x ax f f x x x x →+→+→++--+--+=== 2220000002224442(2)lim lim lim 222ax ax ax x x x ae x a a e a e a x →+→+→++-++====+令(00)f +=(00)(0)f f -=得1a =-，从而当1a =-时()f x 在0x =连续； 令(00)f +=(00)(0)f f -≠得2a =-，从而当2a =-时0x =是()f x 的可去间断点。
数学分析三试卷及答案
《数学分析》（三）――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
1.求函数11(,)f x y y x =在点（0,0）处的二次极限与二重极限。
解:11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为0。
……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在. ……（9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx.解： 对两方程分别关于x 求偏导：， ……（4分）. 解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。
……(9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂. 设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续）。
解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====. ……（4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。
整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……(9分）4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ，则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表，()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。
……(3分） 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
数学分析试卷2
《 数学分析 》期末试卷 《 数学分析 》试卷（一）一、10分 用定义证明：数列⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1n n 的极限是1，不是2。
二、10分 证明：若任意n ∈ N,有 | y n+1 - y n | ≤ cr n 其中c 是正常数，且0 < r < 1,则数列{ y n }收敛。
三、10分 证明不等式：当0 < a < b 时有不等式21b a b +- < arctg b - arctg a < 21aab +- 四、42分 求解下列各题：（每题6分） 1、210)sin (limx x xx +→； 2、()sin ,0,01,0b x x x f x a x b ax x ⎧>⎪⎪==⎨⎪+-<⎪⎩问：,?a b =()f x 连续； 3、设函数()y y x =由参数方程()2ln 1x t y arctgt t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 给出，求22d y dx ；4、设x y xyb a e=确定()y f x = 求y ''；5、42cos 2limx xex x --→；6、设xx x x f 42)(2++=求f(x)的稳定点和斜渐近线；7、数列1，,...,...3,23n n 中那一项最大？五、10分 证明：若函数g(x)在[a, b] 可导(0<a<b)，则存在),(b a ∈ξ使ab g a g b g ln)()()(/ξξ=-。
六、9分 证明：设g(x)在[c, d]上有定义，且每一点处函数的极限存在，则g(x)在[c, d]上有界。
七、9分 设函数g(x)在开区间（c, d ）上有连续的导函数，且)(/limx g c x +→与)(/limx g d x -→均存在且有限，试证：(1) g(x)在（c, d ）上一致连续。
(2))(lim x g c x +→ ，)(lim x g d x -→均存在。
南京理工大学数学分析考研试卷
南京理⼯⼤学数学分析考研试卷南京理⼯⼤学2001⼀、计算下列数值（每题7分，共21分）1．n 0a b <<2．22x x e dx +∞--∞，已知12??Γ= 3．()()333335()S xy dydz y x z dzdx z x dxdy +++++??，其中S 为球⾯222x y z a++= 的外侧⼆、（10分）设()1,2,n n a b n <=，证明：lim lim n n n n a b →∞→∞≤三、（10分）证明：2sin lim cos cos cos 222n n t t t t t →∞= ??? ??四、（10分）讨论幂级数()01n n x x ∞=-∑在闭区间()[0,]1a a <及[0,1]上的⼀致收敛性五、（12分）设()f x 为[)0,∞上⾮负递减函数，且积分0()f x dx ∞收敛，证明：()lim 0n xf x →∞= 六、(10分)设()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，证明：()(),max n x a b f x ∈= 七、（10分）设()g x 为(0,)+∞上连续可导函数，向量值函数()(0)F g r r r →=≠其中(),,,,r r x y z ==证明：第⼆型曲线积分0L F d s →?=?这⾥L 为3R 中任⼀不经过原点的光滑闭曲线⼋、（8分）设函数()f x 在[,]a b 上⼀阶连续可导，且()0f a =，证明：0M ?>，使得()()()()22b b a a f x dx M f x dx '≤?九、（7分）设()f x 是[0,2]π上的连续函数，证明：()()22002lim sin n f x nx dx f x dx πππ→∞=??。
期中考试试卷数学分析总结与反思
期中考试试卷数学分析总结与反思期中考试试卷数学分析总结与反思「篇一」一、总体情况试卷反映出学生最基础的学习情况，试卷通过各种试题的形式让学生通过对知识的再忆与再现，或者对试题进行辨析能反映学生所学知识的情况，如填空题、判断题、选择题与连线，这些题型基本都能反映学生平时所学习的基础知识掌握与否，而且题量与比分都占有较大的比例，所以通过本试卷的检测能考查出学生基础知识所掌握的情况，试题非常灵活，无论是填空题还是其它的题都具有较好的灵活性。
二、整体成绩统计与分析本年级参加考试人数67人，平均分数72。
69分，及格人数52人，及格率91。
3％，优秀人数17人，优秀率21。
37％。
基本达到本次考试的预期目标。
三、试题的类型与分值分布试题一共分五个大题，分别是：填空题15分、判断题12分、选择题26分、连线16分、实验操作及应用31分。
四、试卷分析1、填空题：全年级学生对基础知识掌握较好，大多数学生能够正确填空，失分比较多，错误原因是对时事题没有关注，导致失分。
2、判断题：多数学生均能够准确判断，部分学生对风化和侵蚀概念记忆混淆不清，一看前半句是书上的原话就选对，结果错误是在最后两个字上，没去细看，导致失分。
3、选择题：选择题的类型与判断题相同的都是会导致学生测量学生对科学概念掌握的正确与否，不同的是选择题比判断题的要求更高，判断题只要求学生该题用出对或错，但选择题它给学生选择的答案更多，而且又伴有许多抗干扰的因素，增加了学生对客观事物正确选择的难度，更具有思考性。
此题中，出错较多的是火山喷发模拟实验，由于实验需要准备东西比较复杂，所以没领着学生去做，在今后中要多多注意，争取把实验想办法都引导着学生去完成。
4、连线题：连线题来源于课本中的文字叙述，此题共二个小题，第二个小题，学生掌握较好，除有些同学因为出现小差错外，均能完整解答。
难度比较大的是第一小题，区别物理变化和化学变化，讲解了多次，还是有些学生不能够去理解两种变化的本质区别，导致失分。
数学分析(3)期中试卷
x 1
.
6
(1)设 M ( x0 , y0 ) 为区域 D 上的一点，问 h( x, y ) 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的 最大值为 g ( x0 , y0 ) ，试写出 g ( x0 , y0 ) 表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动， 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说， 要在 D 的边界线 x y xy 75 上找出使(1)中的 g ( x, y ) 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
2 z xy
2
五、 （8 分）设 w f ( x, y , z ) ， f ( x, y , z ) 具有二阶连续偏导数， z z ( x , y ) 由方程 z 5 xy 5 z 1 所确定。求
5
w 2 w ， 2 x x
六、（ 8 分 ） 设 N 是 曲 面 z x
2 2
4
九、 （8 分）设椭圆 x 3 y 12 的内接等腰三角形之底边平行于椭圆长轴，应用多元微分方法求其最大面积。
2
2
十、 （8 分）已知 x, y , z 为实数且 e y | z | 3 ，应用多元微分方法证明下列不等式
x
2
ex y 2 | z | 1
5
十一、 （8 分）应用含参积分理论计算积分
z 二、（10 分）已知函数 f ( x, y , z ) ( ) ，求 grad f (1,1,1) 与 d f (1,1,1)
x y
1
1
三、 （8 分）已知
x y ( ) ，其中 为可微函数，试计算 z z
x
z z y x y
四、 （8 分）设 z f (2 x y , y sin x ) ，其中 f (u , v ) 具有连续的二阶偏导数，求
数学分析 测试试卷及答案
综合测试试卷一一、 计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1、xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→； 2、()x x x 2cot lim 0→ ；3、设a 为非零常数，则xx a x a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→lim ；4、⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→n n n n n 3lim ； 5、xx x ex e111lim +-+→；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→x x x x 2sin 3553lim 2； 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ；8、()x x x sin 2031lim +→；9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 11ln sin 31ln sin lim ； 10、()()x x x x x x +++→1ln cos 11cossin 3lim20 ； 11、20211limx x x x --++→； 12、⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20； 13、()3021ln arctan limx xx x +-→ ；14、若0>a ，0>b 为常数，则xxx x ba 302lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→；15、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n πππcos 12cos 1cos 11lim。
. 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16、xx x x sin sinlim10→的值为（ ） A. 1； B. ∞; C.不存在; D. 0.17、=+--+→232231x x x x x lim （ ）A. 3；B. 4-;C. 1;D. 1-.18、 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim （ ）A.e 2;B. 2-e; C. 2e ； D.e2. 19、若22222=--++→x x bax x x lim ，则必有( ) A. 82==b a ,; B. 52==b a ,;C. 80-==b a ,； D. 82-==b a ,. 20、当+→0x 时，以下四式中为无穷小量的是（ ）A. x x 1sin ;B. x e 1; C. x ln ; D. x xsin 1.21、当+→0x 时，以下四式中为无穷大量的是（ ） A. 12--x; B.xx sec sin +1; C. xe -; D. x e 1. 22、=→xx x x cos sinlim10（ ） A.不存在; B. 0; C. 1; D. ∞.23、()=-→xx x cos tan lim 02π（ ）A.0;B. 1;C. ∞;D. 不存在. 24、=⎪⎭⎫⎝⎛--→1110x x e x lim （ ）A.0;B. 21;C. ∞;D.21-. 25、()=+→xx x ex 10lim （ ）A.e ;B. 1;C. 2e ; D. 2.三、计算题（本大题共3小题，每小题17分，共51分）26、623lim 2232--++-→x x xx x x ; 27、()11lim 22--+∞→x x x . 28、38231lim x x x +---→. 29、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x . 30、n n n n n !2lim ∞→. 31、()()()503020152332lim++-∞→x x x x . 32、设)(a f '存在，且0>)(a f ，求xx a f x a f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→)(lim 1.33、xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim . 34、11lim 31--→x x x . 35、xx x cos lim 00+→. 36、xx x x 10arcsin lim ⎪⎭⎫⎝⎛→. 37、()x x x x cos 1sin 1ln lim 0-+→. 38、201sin lim x x →. 39、21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→. 40、121lim +∞→+++p p p p n n n ，0>p .41、()1ln lim0-+→xx e x.42、dx xx an nn ⎰+∞→1sin lim.（提示：先用积分中值定理：()()a b f dx x f ba-=⎰ξ)(，[]b a ,∈ξ）综合测试试卷一参考答案一、计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1、1； 2、21； 3、a e 2；4、2；5、1-；6、56；7、21；8、6e ；9、2；10、23；11、41-；12、31； 13、61-； 14、()23ab ； 15、22π。
数学试卷分析
对五年级数学试卷分析2011--2012 学年第 1 学期 5 年级教学质量分析单位教台小学学科数学分析人尹东朴一、基本情况二、学生答题情况分析。
1、基础知识的掌握、基本技能的形成较好。
2、综合运用知识的能力较弱。
表现在应用题。
3、没有形成良好的学习习惯。
表现在稍复杂的数据和文字都会对一些能力较弱或习惯较差的学生造成一定的影响。
如，卷面上有不少单纯的计算错误、抄错数据、漏小数点、漏做题等低级错误；应用题中文字较多的题目出错也较多。
三、典型错误以及失分原因（从知识与能力两方面分析）。
（一）填空题：一些基础题目看上去没什么难度，其实很容易出错。
如1小题，3.74×0.2（）0.2。
好多同学没认真分析，习惯的和第一个数比较，从而导致失分。
第8小题，学生应用公式计算出错也较多。
第9小题，如果摸20次，摸到白球的次数大约是（）次，好多同学填10次，可能考虑到两种球，就除以2了。
（二）判断题：学生做的较好，有个别同学1、4两小题出错，第1小题没有考虑一个数不包括0，第4小题没有想到必须是完全一样的两个三角形才能拼成一个平行四边形。
（三）选择题学生掌握较好，大多数同学没有失分。
有个别同学第3、4小题出错，主要是计算能力和空间想象力较弱。
（四）计算题：从整个卷面上看，计算部分学生得分较多，说明学生具备基本的计算能力。
其中口算得分最高，其次是竖式计算，绝大多数学生计算做的还可以。
但是有极少数学生计算极差，失分太多。
典型错误分析：2、竖式计算，分析错误原因是学生粗心、马虎，竖式写对了，在横式上写结果时却抄错了。
（五）解决问题部分是出错最多的地方。
许多同学对简单典型的应用题较适应，对一些生活实际方面的题目，尤其是自己设计选择等方面的题目或是文字较多的题目没有耐心去读题分析，乱做一气，导致失分。
比如第1题好多同学就失分了。
好多同学没能看懂题意，直接用给出的速度除以了路程。
还有一部分同学用第二种方法时，停靠站牌时间分钟当成小时，单位没有变换，致使出错。
三年级数学试卷分析
1.低年级学生加强学习习惯和主动学习能力的培养。
2.大力加强数学知识与现实生活的联系，本领注重知识形成投资过程与能力发展并重。
三年级较难分析（三）
此次数学试题较强体现了《新课程ห้องสมุดไป่ตู้准》的新理念和目标体系。具有如下特点：
1.内容全面，覆盖广泛。各部分分值权重股合理课程标准指出：人人获得必须的数学知识，不同的人得到不同的产业发展。本卷注重考查了学生基础知识的掌握、基本能力的培植情况，也适当考查了相应学生学习过程。 试题内容全面，共计六个大题。
二大题，选择员。其中1小题，一定有一个是（红球），大部分学生凿的是A答案有，C答案也有，没有经过仔细想。
五大题，同学们敲定的很好。
六大题，解答员。共5小题。绝大多数学生完成的很好。
四、对试卷的评价：随着课改的深入，考试评价的形式和内容也在做相应的改变，突现了对学生动手能力和联系实际解决问题能力的关注；在发展性上，积极谋求试题呈现形式的多样性，加大联系生活实际的的考查力度。不但考察学生基础知识及口算、笔算能力又观摩考察了学生家长的观察、分析、及解决问题的能力和动手能力，确实审题考察了学生认真审题及细心答题的习惯。
五、从答卷全卷情况看教与学存在的主要问题：从试卷各种不同题型的抽样统计分析发现，学生基本常识坚实掌握较为牢固。学生书写大部分较为整洁，格式相对规范，反映出教师对学生书写习惯培养的重视，学生崇天相对较活，解决问题的能力有巨大的提高。但从答卷中也可以看出，学生在做题细心各方面，仍有欠缺，需要继续加强。
从试卷各种不同题型填空题的抽样统计分析发现，学生基本知识掌握较为扎实。学生书写大部分较为整洁，格式相对规范，反映出教师对学生书写习惯培养的重视，学生学得相对较活，解决困难的不小能力有很大的提高。但从答卷中也可以看出，学生在做题细心方面，仍有欠缺，需要继续加强。
数学分析试卷
数学分析试卷第十三章函数项级数应用题第十三章函数项级数计算题1．设S(某)=nen某某>0，计算积分ln3ln2S(t)dt2．.判断级数(1)n某nn1某n(某>0)的敛散性.第十三章函数项级数计算题答案1．nen某在[ln2,ln3]上连续且一致收敛它在[ln2,ln3]可逐积分(得4分)ln3(t)dtln3nen某d某ln2(得6分)n1ln2=[(1)n(1)n23]111(得8分)n111211232．对交错级数(1)nn由莱布尼兹判别法知它收敛(得3分)而某n1某n当某>1时,单增有界;某=1时,值为12;当某<1时,单降为界(得6分)故由阿贝尔判别法知(1)n某nnn收敛(得8分)1某第十三章函数项级数填空题1．f)某nn(某n=1,2,…{fn(某)}在[0,1]上的极限函数是__________2n2某0某12n2．f某)2n2n2n(某12n某1n的极限函数是________________________10n某1第十三章函数项级数填空题答案01．f(某)10某1某12．f0第十三章函数项级数证明题1．证明:函数f(某)=inn某n3在(-,)有连续的导函数.(10分)某2．设f0(某)在[a,b]上连续,定义函数序列fn+1(某)=fn(t)dt,n0,1,2,,a证明fn(某)在[a,b]上一致收敛.(10分)3．设f(某)在[12,1]上的连续函数,那么当f(某)在[n12,1]有界且f(1)=0时,{某f(某)}在[4．设fn(某)n某1n某2212,1]上一致收敛.(10分)求证1)对任给的0<1,fn(某)在[,1]上一致收敛.2)fn(某)在(0,1]上不一致收敛(12分)5．若在区间I上,对任何自然数n,|un(某)|vn(某),证明:当vn(某)在I上一收敛时级数n1u(某)在I上也一致收敛,且绝对收敛.(11分)nn1第十三章函数项级数证明题答案1．证:(inn某n3)con某n2而inn某n3con某n21n2(得2分)由而由1n2收敛知1n3()在(-,)上一致收敛(得2分)inn某n3inn某n3及1n3收敛知收敛(得6分)(又inn某3ncon某n2)=con某n2(得8分)con某n2在(-,)上连续且con某n2在(-,)上一致收敛在(-,)上连续.(得10分)2．证:f0(某)在[a,b]上连续.f0(某)m(得3分)2从而f1(某)m(某a)m(ba)(得5分)f2(某)某am(ta)dtm2!(ba)(得6分)2fn(某)m(ba)n!nn(得8分)n又n1(ba)n!收敛.limm(ba)n!n0(得9分)从而fn(某)一致收敛.(得10分)n03．证明:f(某)M且lim某f(某)nf(1)n,某1,某1(得3分)而f(1)=0,故lim某f(某)0(得5分)n又由于f(某)在某=1处连续,故0,0.当1-某1时,f(某)f(1)f(某)(得7分)从而当某[,1)时,某f(某)0(1)M0(得8分)21nn当某[1,1]时,某f(某)0f(某)(得9分)因此,某f(某)一致收敛.(得10分)nn4．证明:先求极限函数f(某)某(0,1]易知lim(1)因为|fn(某)f(某)|=对某0取N=[1n某1n某22n某1n某222n0即f(某)=0(得2分)1n2n1n2nn22(得4分)2]则当n>N时1n2对某[,1]必有|fn(某)-f(某)|按定义有fn(某)在[,1]上一致收敛(得6分)(2)因为dfn(某)d某n(1n某)(1n某)22222对每个自然数n,某n=1n是fn(某)的唯一极大值点.因而必是连续函数fn(某)在[0,1]的最大值点(得9分)显然也是它在(0,1]的最大值点，所以upfn(某)f(某)0某1=ma某(0某1)fn(某n)fn()1n某n222n某113故fn(某)在(0,1]不一致收敛(得12分)5．证先证一致收敛性,对>0,由vn(某)在I上一致收敛,存在N(),当n>N时,对自然数p和某I vn1(某)vn2(某)vnp(某)(得5分)于是un1(某)unp(某)un1(某)unp(某)vn1(某)vnP(某)(得8分)对自然数p和某I成立即un(某)在I上一致收敛(得10分)又un(某)vn(某)某I故un(某)在I上绝对收敛(得11分)第十三章函数项级数选择题1．设an(某)在(a,b)内任何区间（a1,b1)(an1面哪个结论是错误的()(A)可逐项求导(B)可逐项求积(C)极限与求和可交换顺序(D)级数收敛2．下列函数列在所示区间D上不一致收敛的是()(A)fn(某)(C)fn(某)n某某21n2D=(-1,1)(B)fn(某)某1n某22D=(-,+)D=[0,+)(D)fn(某)n某D=[0,10]第十三章函数项级数选择题答案1．C2．C第十四章幂级数选择题1．n1某2nn的收敛区间为()(A)(-1,0)(B)[0,1](C)[-1,1](D)(-1,1)2．f(某)=ln(2+某)展开成某的幂级数是()(A)ln2+(1)n1n1某nnn2(B)ln2(1)n1n1某nnn24(C)1+(1)n1某n(1)n1ln2某nn1n(D)n1n(2)3．函数f(某)=e某2展开成某的幂级数为()23(A)1+某+某某32!3!(B)1-某+某22!某3!某4某6(C)1+某2+(D)1-某2+某4某62!3!2!3!4．已知ann某在某=-2处收敛,则在某=3/2处此级数n1(A)收敛(B)发散(C)可能收敛(D)可能发散5．级数(11n2nn)(某1)的收敛半径R=n1(A)1(B)e(C)e1(D)e26．.级数某nn1n2的收敛域为()(A)(-1,1)(B)(-1,1](C)[-1,1)(D)[-1,1]7．下述展开式正确的是()2(A)e某1某某2某nn某R(B)e某1某某2某n2!n!某[-1,1](C)e某1某某2某n2!n!某R(D)e=1+1+11123n8．下列级数在所示区间上不一致收敛的是()(A)某n某[-r.r](r>0)(B)某nn2(n1)!n1n2某[0,1](1)n12(C)某n某(-,)(D)n0n1(1某2)n1某n9．.级数某nn1n的收敛域为()5。
41、中科院2018数学分析试题-1页 文字版
中国科学院大学
2018年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称:数学分析
考生须知:
1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟;
2.所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效.
一、(15分)计算极限lim x →∞(sin 1x +cos 1x
)x .二、(15分)计算极限lim x →0(4+e 1x 2+e 4x
+sin x x )三、(15分)判断(并证明)函数f (x,y )=√xy 在点(0,0)处的可微性.四、(15分)求三个实常数a,b,c ,使得下式成立lim x →01tan x −ax ∫x b s 2√1−s 2ds =c.五、(15分)计算不定积分∫1sin 6x +cos 6x
dx.六、(15分)设函数f (x )在[−1,1]上二次连续可微,f (0)=0,证明:
∫1−1f (x )dx ≤M 3,其中M =max x ∈[−1,1] f ′′(x ) 七、(15分)求曲线y =12
x 2上的点,使得曲线在该点处的法线被曲线所截得的线段长度最短.八、(15分)设x >0,证明√
1+x −√x =12√x +θ其中θ=θ(x )>0,并且lim x →0θ(x )=14
.九、(15分)设u n (x )=(−1)n (n 2−n +1
)x (n ≥0),求函数f (x )=∞∑n =0u n (x )的绝对收敛,条件收敛以及发
散的区域.
十、(15分)证明
15<∫10xe x √x 2−x +25dx <2√1133.考试科目：数学分析整理人：匣与桔
QQ :1433918251第1页共1页。
福建省福州市福建师范大学附属中学2025届高三第三次测评数学试卷含解析
福建省福州市福建师范大学附属中学2025届高三第三次测评数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点P 的直线l 与曲线y =交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( )A ．2B ．2C ．2+或2-D ．212．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-3．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<<D ．116a > 4．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ） A ．—1 B ．—3 C ．1 D ．25．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}6．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）A B ．C ．3 D ．47．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．328．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( )A ．1B ．12C ．13D ．149．函数()2cos2cos221x x f x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．10．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( ) A ．16 B ．25 C ．28 D ．3311．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%12．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B ．24C ．2log 3D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
《数学分析III》期末试卷+参考答案
《数学分析（III ）》试题2005.1一．在球面上找点，满足，，，使得该球面在点处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。
1222=++z y x ),,(0000z y x P 00>x 00>y 00>z 0P二．求球面（）被平面2222a z y x =++0>a 4a z =与2az =所夹部分的面积。
三．计算二重积分()∫∫+Ddxdy x y x 24，其中是由D x 轴，直线x y =以及曲线1=+y x ，2=+y x 所围成的平面闭区域。
四．计算三重积分∫∫∫，其中。
Ωdxdydz e z ||}1|),,({222≤++=Ωz y x z y x五． 计算曲线积分∫+Lds z y 222，其中L 是球面（）与平面2222a z y x =++0>a y x =相交而成的圆周。
六．计算曲面积分，其中∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222Σ为锥面在平面与（）之间的部分，定向为下侧。
222z y x =+0=z h z =0>h七．设是右半平面j i λλ)()(2),(24224y x x y x xy y x A +−+=}0|),({>=x y x D 上的向量场，试确定常数λ，使得为上函数的梯度场，并求出。
),(y x A D ),(y x u ),(y x u八．将|（sin |)(x x f =ππ≤≤−x ）展开为Fourier 级数，并分别求级数∑∞=−12141n n ，()∑∞=−122141n n的和。
九．设∫∞++=12)1(cos )(dt t t xtx f ，),(∞+−∞∈x 。
（1）证明积分∫∞++12)1(cos dt t t xt关于x 在),(∞+−∞上一致收敛； （2）证明；0)(lim =+∞→x f x （3）证明在上一致连续。
)(x f ),(∞+−∞《数学分析（III ）》试题答案2005.1一．（本题满分10分）33000===z y x 。
不同年级的数学试卷分析【含答案】
不同年级的数学试卷分析【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪种数学理论是描述数与数之间关系的？A. 代数B. 几何C. 微积分D. 概率论2. 在数学中，以下哪个概念属于线性代数范畴？A. 导数B. 矩阵C. 三角函数D. 集合论3. 若函数f(x) = x^2 4x + 3，则f(1)的值为？A. 2B. 3C. 0D. -14. 下列哪个数学家被称为“几何之父”？A. 欧拉B. 牛顿C. 欧几里得D. 高斯5. 在数学中，以下哪个符号表示无穷大？A. ∞B. πC. eD. φ二、判断题（每题1分，共5分）1. 数学分析主要研究函数的性质和图形。
（错）2. 在数学中，实数包括有理数和无理数。
（对）3. 任何两个奇数之和都是偶数。
（对）4. 欧拉公式是数学中最美的公式之一。
（对）5. 数学证明只能通过逻辑推理来完成。
（错）三、填空题（每题1分，共5分）1. 平面几何中，三角形的内角和等于______度。
2. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为______。
3. 在数学中，______是表示平方根的符号。
4. 两个互质的正整数的最小公倍数等于它们的______。
5. 微积分中的基本定理是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述集合论的基本概念。
2. 什么是对称轴？请举例说明。
3. 请解释极限的概念及其在微积分中的应用。
4. 简述导数的定义及其几何意义。
5. 请解释矩阵的乘法及其运算规则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x) = x^3 3x，求f'(x)。
2. 计算积分∫(1/x)dx。
3. 解方程组：2x + 3y = 7，x y = 2。
4. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵。
5. 计算概率：从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是多少？六、分析题（每题5分，共10分）1. 分析并讨论函数f(x) = x^2 2x 3的图像和性质。
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数学分析三试卷及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
1.求函数11(,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解：11(,)f x y y x ==，因此二重极限为0.……(4分)因为11x y x →+与11y y x →+均不存在，故二次极限均不存在。
……(9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dzdx.解： 对两方程分别关于x 求偏导:， ……(4分)。
解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++. ……(9分)3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。
设,,22y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）.解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====。
……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。
整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂。
……(9分)4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?5.解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩目标函数: 222S rh r ππ=+表,约束条件: 21r h π=。
……(3分) 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
令 22420,20.r hF h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ ……(6分) 解得2h r =，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为r =高为h =时，制作圆桶用料最省。
……(9分)6. 设322()y x yy F y e dx -=⎰,计算()F y '.解：由含参积分的求导公式332222322222()32y y x yx y x yxy x yx y y yyF y e dx x e dx y e ye ----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……(5分)327522232y x y y y yx e dx y e ye ---=-+-⎰375222751222y y y x yy y e ye e dx y---=--⎰。
……(9分)7. 求曲线222222x y xyab c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围的面积，其中常数,,0a b c >.解：利用坐标变换cos ,sin .x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩ 由于0xy ≥，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。
(),0,02πρθθρ⎧⎪Ω=≤≤≤≤⎨⎪⎩。
……(3分) 则(,)2(,)x y V d d ρθρθΩ∂=∂⎰⎰122sin cos 2002ab c d ab d πθθθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰……(6分)22220sin cos a b d c πθθθ=⎰2222a b c =. ……(9分)7. 计算曲线积分352Lzdx xdy ydz +-⎰,其中L 是圆柱面221x y +=与平面3z y =+的交线（为一椭圆），从z 轴的正向看去，是逆时针方向.解： 取平面3z y =+上由曲线L 所围的部分作为Stokes 公式中的曲面∑，定向为上侧，则∑的法向量为()cos ,cos ,cos 0,αβγ⎛= ⎝。
……(3分)由Stokes 公式得352Lzdx xdy ydz +-⎰cos cos cos 352dS x y z zxyαβγ∑∂∂∂=∂∂∂-⎰⎰dS ∑= ……(6分)221x y +≤=⎰⎰2π= ……(9分)8. 计算积分S yzdzdx ⎰⎰,S 为椭球2222221x y z a b c ++=的上半部分的下侧.解：椭球的参数方程为sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ϕθϕθϕ===，其中02,0,2πθπϕ≤≤≤≤且2(,)sin sin (,)z x ac ϕθϕθ∂=∂。
……(3分) 积分方向向下，取负号，因此，yzdzdx ∑=⎰⎰22322sin cos sin d bac d ππθϕϕθϕ-⎰⎰ ……(6分)222320sin sin cos bac d d ππθθϕϕϕ=-⎰⎰24abcπ=-……(9分)二. 证明题（共3题，共28分）。
9.（9分） 讨论函数3222422,0()0,0xy x y x y f x x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.解：连续性：当220x y +≠时，2242424()022xy x y y yf x y x y x y +=⋅≤⋅=→++，当()(),0,0x y →， 从而函数在原点()0,0处连续。
……(3分)可偏导性：()()()00,00,00,0lim0x x f x f f x∆→+∆-==∆，()0,0y f ()()00,00,0lim0y f y f y∆→+∆-==∆， 即函数在原点()0,0处可偏导。
……(5分)3f f x f y∆-∆-∆= 不存在，从而函数在原点()0,0处不可微。
……(9分)10.（9分） （9分） 设(),F x y 满足： （1）在(){}00,,D x y x x a y y b =-≤-≤上连续，（2）()00,0F x y =，（3）当x 固定时，函数(),F x y 是y 的严格单减函数。
试证：存在0δ>，使得在{}0xx x δδI =-<上通过(),0F x y =定义了一个函数()y y x =，且()y y x =在δI 上连续。
证明：（i ）先证隐函数的存在性。
由条件（3）知，()0,F x y 在[]00,y b y b -+上是y 的严格单减函数，而由条件（2）知()00,0F x y =，从而由函数()0,F x y 的连续性得 ()00,0F x y b ->， ()00,0F x y b +<。
现考虑一元连续函数()0,F x y b -。
由于()00,0F x y b ->，则必存在10δ>使得()0,0F x y b ->， x ∀∈01(,)O x δ。
同理，则必存在20δ>使得()0,0F x y b +<， x ∀∈02(,)O x δ。
取12min(,)δδδ=，则在邻域0(,)O x δ内同时成立()0,0F x y b ->， ()0,0F x y b +<。
……(3分) 于是，对邻域0(,)O x δ内的任意一点x ，都成立()0,0F x y b ->， ()0,0F x y b +<。
固定此x ，考虑一元连续函数(),F x y 。
由上式和函数(),F x y 关于y 的连续性可知，存在(),F x y 的零点[]0,y y b y b ∈-+使得(),F x y ＝0。
而(),F x y 关于y 严格单减，从而使(),F x y ＝0的y 是唯一的。
再由x 的任意性，证明了对:δI =0(,)O x δ内任意一点，总能从(),0F x y =找到唯一确定的y 与x 相对应，即存在函数关系:f x y →或()y f x =。
此证明了隐函数的存在性。
……(6分)（ii ）下证隐函数()y f x =的连续性。
设*x 是:δI =0(,)O x δ内的任意一点，记()**:y f x =。
对任意给定的0ε>，作两平行线*y y ε=-， *y y ε=+。
由上述证明知()**,0F x y ε->， ()**,0F x y ε+<。
由(),F x y 的连续性，必存在*x 的邻域*(,)O x δ使得()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<， *(,)x O x δ∀∈。
对任意的*(,)x O x δ∈，固定此x 并考虑y 的函数(),F x y ，它关于y 严格单减且()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<。
于是在()**,y y εε-+内存在唯一的一个零点y 使(),0F x y =，即 对任意的*(,)x O x δ∈，它对应的函数值y 满足*y y ε-<。
这证明了函数()y f x =是连续的。
……(9分)11.（10分）判断积分1011sin dx x xα⎰在02α<<上是否一致收敛，并给出证明。
证明：此积分在02α<<上非一致收敛。
证明如下：作变量替换1x t=，则1201111sin sin dx tdt x x t αα+∞-=⎰⎰。
……(3分)不论正整数n 多么大，当[]3,2,244t A A n nππππ⎡⎤'''∈++⎢⎥⎣⎦时，恒有sin 2t ≥。
……(5分)因此，2211sin 2A A A A tdt dt t tαα''''--''≥⎰⎰ ……(7分)A ''=≥2043424n αππ-≥→>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当2α→-时。
因此原积分在02α<<上非一致收敛。
……(10分) 注：不能用Dirichlet 判别法证明原积分是一致收敛的。
原因如下：尽管对任意的1B >积分1sin Btdt ⎰一致有界，且函数21t α-关于x 单调，但是当x →+∞时，21tα-关于()0,2α∈并非一致趋于零。
事实上，取,t n = 相应地取12nα=-，则112111limlim10lim t n nnn t nnα-→∞→∞→∞===>，并非趋于零。
《 数学分析[3] 》模拟试题一、解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设),ln(y x z +=求y z yxz x ∂∂+∂∂； 2、,32,24,23,sin 2232t s z t s y t s x x yz u -=-=+==求t us u ∂∂∂∂,3、设),sin(y x eu x-=求y x u ∂∂∂2在点)1,2(π处的值；4、求由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分dz ；5、求函数)ln(222z y x u ++=在点)2,2,1(-M 处的梯度)2,2,1(-gradu ；6、求曲面32=+-xy e z z 在点（1，2，0）处的切平面和法线方程； 7、计算积分：dx x e e xx ⎰∞+---02；8、计算积分：⎰⎰-=1102xy dyedx I ；二、 (10分)求内接于椭球1222222=++c z b y a x 的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。