上海春季高考数学真题解析版.doc
2023年上海市春季高考数学试卷-含答案详解
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共11小题，共53.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若直线2x +y −1=0是圆(x −a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =( )A. 12B. −12C. 1D. −12. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：y =kx +m ，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =( )A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±33. 已知圆M:x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l:2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为( )A. 2x −y −1=0B. 2x +y −1=0C. 2x −y +1=0D. 2x +y +1=0 4. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为( )A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√555. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1D. y =12x +126. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A. 4B. 5C. 6D. 77. 直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则ΔABP 面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]8. 下列函数是偶函数的是( ) A. y =sinxB. y =cosxC. y =x 3D. y =2x9. 根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小10. 如图，P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边A 1C 1上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11. 已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。
2020届上海市高三春季高考数学详解版(附专家点评)
.
x
3. 函数 y = tan 2x 的最小正周期为
.
4. 已知复数 z 满足 z + 2z = 6 + i ，则 z 的实部为
.
5. 已知 3sin 2x = 2sin x ， x (0, ) ，则 x =
.
6.
若函数 y = a 3x
1 + 3x
为偶函数，则 a =
.
7. 已知直线 l1 : x + ay = 1 ， l2 : ax + y = 1 ，若 l1 ∥ l2 ，则 l1 与 l2 的距离为
m
=
n
，则
am122
= =
m2 + c a1m + c
m2 − c 2 = a12a2 a12 − 2c 2 = a12 a12 − c ,
即
3a12c
=
4c2
c
=
0
or
c
=
3 4
a12
;
( ) （2）若 m + n = −a1 ，则 (−a1 )2 = (m + n)2 4mn = 4
21. 已知非空集合 A R ，函数 y = f (x) 的定义域为 D ，若对任意 t A 且 x D ，不等式 f (x) f (x + t) 恒成立，则称函数 f (x) 具有 A 性质. （1）当 A = {−1} ，判断 f (x) = −x 、 g(x) = 2x 是否具有 A 性质；
2020 年上海市春季高考数学试卷
注：题目来源主要为网上流传的回忆版，如有错漏，欢迎指正. 一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）
2023上海春考数学题深度解析及范文
2023上海春考数学题深度解析及范文第一题：图形的相似比例关系本题考察了图形的相似比例关系。
根据题目中的信息，我们可以得出以下结论：1. 图形ABCD和图形PQRS是相似的，即它们的对应的角相等，对应的边成比例；2. 已知AB = 10cm，AP = 4cm，我们可以利用相似比例关系计算出BC、PQ和QR的长度；3. 根据已知信息计算得出BC = 15cm，PQ = 6cm，QR = 9cm。
解答示范：根据相似比例关系可知，AB/BC = AP/PQ = AD/QR。
已知AB = 10cm，AP = 4cm，QR = 9cm，代入得到10/BC =4/6 = AD/9，解得BC = 15cm，AD = 15cm。
所以，答案为BC = 15cm，AD = 15cm。
第二题：函数的零点本题要求求出函数f(x) = 2x^2 + 3x - 2的零点。
解答示范：为了求出函数的零点，我们需要通过解方程的方法求解。
首先，我们可以通过因式分解的方法将函数进行化简，得到f(x) = (2x -1)(x + 2) = 0。
然后，我们可以得出两组解x = 1/2和x = -2。
所以，答案为x = 1/2和x = -2。
第三题：组合数学问题本题是一个组合数学问题，要求计算出C(5, 2) + C(5, 3)的值。
解答示范：根据组合数学的定义，C(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
根据题目中的要求，我们需要计算C(5, 2) + C(5, 3)的值。
根据组合数学的公式可知，C(5, 2) = 5!/[(5-2)!2!] = 10，C(5, 3) = 5!/[(5-3)!3!] = 10。
因此，C(5, 2) + C(5, 3) = 10 + 10 = 20。
所以，答案为20。
以上是对2023上海春考数学题的深度解析及范文，希望能对你有所帮助。
2021年高考数学试卷(上海)(春考)(解析卷)
2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解析】：因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+´=．故答案为：21．2．已知13z i =- ．【解析】：z =Q 31i i -=则|||12|z i i -=+=．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4p ．【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解析】：圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh p p p ==´´=侧．故答案为：4p ．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ．【思路分析】由已知进行转化702x x +<-，进行可求．【解析】：252571100222x x x x xx +++<Þ-<Þ<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-．【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．5．直线2x=-10y -+=的夹角为 6p ．【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解析】：Q 直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2p，10y -+=，倾斜角为3p，故直线2x =-10y -+=的夹角为236ppp-=故答案为：6p．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．6．若方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，则1122a b a b = 0 ．【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【解析】：对于方程组111222a xb yc a x b y c +=ìí+=î，有111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===，当0D ¹时，方程组的解为x y D x DD y Dì=ïïíï=ïî，根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0．【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【思路分析】由已知可得6n =，令1x =，即可求得系数和．【解析】：由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ．【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成()31131x x af x =++-+，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解析】：()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++…，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a ®¥-=，则2a 的取值范围是 (4-，0)(0È，4) ．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q 的取值范围，再由极限的运算知14a =，从而得解．【解析】：Q 无穷等比数列{}n a ，\公比(1q Î-，0)(0È，1)，\lim 0n n a ®¥=，\11lim()4n n a a a ®¥-==，214(4a a q q \==Î-，0)(0È，4)．故答案为：(4-，0)(0È，4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种 .A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7点8-点8点9-点9点10-点10点11-点11点12-点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意，由此求出结果．【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种)．故答案为：23种．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F Ð=°，则抛物线的准线方程是 1x =【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线1PF 的方程并与抛物线联立，求出点P 的坐标，由此可得212PF F F ^，进而可以求出1PF ，2PF 的长度，再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ì=í=+î，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以2PF F F ^，又22112,PF F F c PF ===所以所以PF =，所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =-，1x c =-=故答案为：1x =-．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．已知0q >，存在实数j ，使得对任意*n N Î，cos()n q j +<q 的最小值是 25p ．【思路分析】在单位圆中分析可得3pq >，由2*N pqÎ，即2kpq =，*k N Î，即可求得q 的最小值．【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n q j +的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx pÐ=Ð=，所以3AOB pq >Ð=，因为对任意*n N Î都成立，所以2*N p q Î，即2kp q =，*k N Î，同时3pq >，所以q 的最小值为25p ．故答案为：25p ．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )A ．2()f x x =B ．()sin f x x=C ．()2xf x =D ．()1f x =【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解析】：选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．14．已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，则下列关系中，正确的是( )A ．A BÍB ．R R A BÍððC ．A B =ÆI D ．A B R=U 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解析】：已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，解得{|2B x x =…或1x -…，}x R Î，{|1R A x x =-…ð，}x R Î，{|12}R B x x =-<<ð；则A B R =U ，{|2}A B x x =I …，故选：D ．【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( )A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD ，举出反例可得三个选项错误，对于C ，利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意，依次判断选项：对于A ，()cos 12xf x p =+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x p =，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误，对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++，与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确，对于D ，()sin 2xf x p =，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．在ABC D 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC D ，使得0AB CE ×=uuu r uuu r；②存在三角形ABC D ，使得//()CE CB CA +uuu r uuu r uuu r ；它们的成立情况是( )A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【思路分析】设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，由向量数量的坐标运算即可判断①；F 为AB 中点，可得()2CB CA CF +=uuu r uuu r uuu r，由D 为BC 中点，可得CF 与AD 的交点即为重心G ，从而可判断②【解析】：不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---uuu r ，(1,)CE x y =-uuu r，若0AB CE ×=uuu r uuu r，则2(12)(0x x y -+-=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=uuu r uuu r ，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE uuu r 与CG uuu r不共线，即②不成立．故选：B ．【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ^平面ABCD ．（1）若PAB D 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PC 与AD 所成角的大小．【思路分析】（1）由13ABCD V PE S =×正方形，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由PE ^平面ABCD ，知45PFE Ð=°，进而有4PE FE ==，PB =//AD BC ，知PCB Ð或其补角即为所求，可证BC ^平面PAB ，从而有BC PB ^，最后在Rt PBC D 中，由tan PBPCB BCÐ=，得解．1）PAB D Q 为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE \=，又PE ^平面ABCD ，\四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =×=´=正方形．（2）PE ^Q 平面ABCD ，PFE \Ð为PF 与平面ABCD 所成角为45°，即45PFE Ð=°，PEF \D 为等腰直角三角形，E Q ，F 分别为AB ，CD 的中点，PE \PB \==//AD BC Q ，PCB \Ð或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ^Q 平面ABCD ，PE BC \^，又BC AB ^，PE AB E =I ，PE 、AB Ì平面PAB ，BC \^平面PAB ，BC PB \^在Rt PBC D 中，tan PB PCB BC Ð==故PC 与AD 所成角的大小为．【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC D 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos(45A p -=，求c ．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos A ，sin A ，sin C 的值，进而根据正弦定理可得c 的值．【解析】：（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于1cos 4C ==-，可得c =（2）因为4)5A =，可得cos A +又22cos sin A +，可解得cos A =，sin A =sin A =cos A =因为cos sin C ，tan C =，若sin A =cos A =，可得tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B C 为钝角矛盾，舍去，所以sin A =2sin sin c A C=，可得c =．【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1)°【思路分析】（1）求出a ，c ，b 的值即可求得双曲线方程，求出直线OP 的方程，与双曲线方程联立，即可求得P 点坐标；（2）分别求出以A 、B 为焦点，以C ，D 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q 的坐标，从而求得||OQ ，及Q 点位置．【解析】：（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y =，即点P 的坐标为．（2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为225y -两双曲线方程联立，得，所以||19OQ »米，Q 点位置北偏东66°．20．（16分）已知函数()f x x =-．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ¹，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【思路分析】（1）把1a =代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；（2）()f ax a ax a =Û=+，设0ax a t +=…，得2a t t =-，0t …，求得等式右边关于t 的函数的值域可得a 的取值范围；（3）分x a -…与x a <-两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数()f x 在定义域内具有单调性的a 的范围．【解析】：（1）当1a =时，()f x x =-，由|1|10x +-…，得|1|1x +…，解得2x -…或0x …．\函数的定义域为(-¥，2][0-U ，)+¥；（2）()f ax ax -，()f ax a ax a =Û+，设ax a t +=t 有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t …，211(24a t \=--+，0t …，当且仅当104a <…时，方程有2个不同实数根，又0a ¹，a \的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -…时，211())24f x x x =-=-=--+，在1[4，)+¥上单调递减，此时需要满足14a -…，即14a -…，函数()f x 在[a -，)+¥上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(-¥，2]a -上递减，104a -<Q …，20a a \->->，即当14a -…时，函数()f x 在(,)a -¥-上递减．综上，当(a Î-¥，14-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a …，对任意2n …，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【思路分析】（1）根据n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项建立等式，然后将1a ，2a ，4a 的值代入即可；（2）根据递推关系求出5a 、8a ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；（3）分别求出1r a +，1s a +，1t a +的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．【解析】：（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a \=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===Q ，322a a \=，或232a a =，经检验，232aa =；\32524a a a ==，或2512a a a =-=-（舍)，\254aa =；\52628a a a ==，或2654a a a =-=-（舍)，\268aa =；\628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍)，\2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a \=，则3111221111111()()1()(,*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-×-××-=-×-Î，\11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-×-××-=-×-×Î，\11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++\++的最大值2164．【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。
2023年上海市春季高考数学试卷(解析版)
2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝ 2 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝2．故答案为：2．2．（4分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝ （1，0） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．故答案为：（1，0）．3．（4分）不等式|x﹣1|≤2的解集为： [﹣1，3] ．（结果用集合或区间表示）【答案】见试题解答内容【解答】解：不等式|x﹣1|≤2即为﹣2≤x﹣1≤2，即为﹣1≤x≤3，则解集为[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]．4．（4分）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 1 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，故答案为：1．5．（4分）已知事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝ 0.5 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝1﹣0.5＝0.5．故答案为：0.5．6．（4分）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：正实数a、b满足a+4b＝1，则ab＝，当且仅当a＝，时等号成立．故答案为：．7．（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 7 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：极差为186﹣154＝32，组距为5，且第一组下限为153.5，＝6.4，故组数为7组，故答案为：7．8．（5分）设（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4＝ 17 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4＝＝17．故答案为：17．9．（5分）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为 x＝3 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：当x≥0时，g（x）＝2⇔log2（x+1）＝2，解得x＝3；当x＜0时，g（x）＝f（﹣x）＝2x+1＝2，解得x＝0（舍）；所以g（x）＝2的解为：x＝3．故答案为：x＝3．10．（5分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 0.5 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为，恰有1名男生2名女生的事件个数为，则恰有1名男生2名女生的概率为．故答案为：0.5．11．（5分）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为 [0，] ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设z1﹣1＝cosθ+i sinθ，则z1＝1+cosθ+i sinθ，因为z 1＝i•，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），所以|z1﹣z2|＝＝＝，显然当＝时，原式取最小值0，当＝﹣1时，原式取最大值2，故|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．故答案为：[0，]．12．（5分）已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设，，，，不妨设x，y，z＞0，则||＝x2+y2+z2＝1，因为|•|≤|•|≤|•|，所以，可得，z≥y，所以，解得，故＝y．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13−14题每题4分，第15−16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（4分）下列函数是偶函数的是（ ）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x3D．y＝2x【答案】B【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sin x为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y＝cos x为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数．故选：B．14．（4分）如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B．从2018年开始，进出口总额逐年增大C．从2018年开始，进口总额逐年增大D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小【答案】C【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确．故选：C．15．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）A．DD1B．AC C．AD1D．B1C【答案】B【解答】解：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．16．（5分）已知无穷数列{a n}的各项均为实数，S n为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|S k|＞|S k+1|，则下列各项中可能成立的是（ ）A．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等差数到，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列B．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列C．a1，a2，a3，⋯，a2022为等差数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等比数列D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等差数列【答案】C【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n不可能为等差数列，因为若d＜0，当n→+∞，an→﹣∞，Sn→﹣∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＝0，a n＝0，则|S k|＝|S k+1|，矛盾；若d＝0，a n＜0，当n→+∞，S n→﹣∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＝0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；所以选项B中的a2，a4，a6，⋯，a2n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D中的a2022，a2023，a2024，⋯，a n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A中的a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取即可．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
2023年上海市春季高考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是偶函数的是( )A. y=sinxB. y=cosxC. y=x3D. y=2x2.根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小3.如图，P是正方体ABCD−A1B1C1D1边A1C1上的动点，下列哪条边与边BP始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C4.已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。
年春季高考上海卷数学试题及解答
a ab 2a b 上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分 048 分）1. 计算： lim 3n - 2= .n →∞ 4n + 32. 方程log 3 (2x - 1) = 1的解 x = .3. 函数 f (x ) = 3x + 5, x ∈[ 0, 1]的反函数 f -1 (x ) = .4. 不等式1 - 2x> 0 的解集是.x + 15. 已知圆C : (x + 5) 2 + y 2 = r 2(r > 0) 和直线l : 3x + y + 5 = 0 . 若圆C 与直线l 没有公共 点，则 r 的取值范围是.6. 已知函数 f (x ) 是定义在 ( - ∞, + ∞ ) 上的偶函数. 当 x ∈ ( - ∞, 0 ) 时， f (x ) = x - x 4 ， 则当x ∈ ( 0, + ∞ ) 时， f (x ) = .7. 电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为 3，则其体积为 .9. 在△ ABC 中，已知 BC = 8,AC = 5 ，三角形面积为 12，则cos 2C = .10. 若向量 、b 的夹角为150， = 3, = 4 ，则 + = .11. 已知直线l 过点 P ( 2, 1) ，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为.12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为： 若有限数列a 1 , a 2 , , a n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤ ≤ a n ，则（结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分 016 分）13. 抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为( ) （A ） ( 0, 1) . （B ） (1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) . （D ） ( 2, 0 ) . 14. 若 a 、b 、c ∈ R , a > b ，则下列不等式成立的是( )（A ） 1 < 1 . （B ） a 2 > b 2 . （C ） a > b.（D ） a | c |> b | c |.a b x 2 y 2c 2 + 1 c 2 + 115. 若 k ∈ R ，则“ k > 3”是“方程 k - 3 - k + 3= 1表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.⎧⎪1⎪⎫ ⎧ 1 ⎫ 16. 若集合 A = ⎨ y y = x 3,-1≤ x ≤ 1⎬ , B = ⎨ y y = 2 - , 0 < x ≤ 1⎬ ，则 A ∩B 等于()⎪⎩ ⎪⎭⎩ x ⎭ （A ） ( - ∞, 1].（B ） [ - 1, 1 ].（C ） ∅ . （D ）{1}.三．解答题（本大题满分 086 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分 12 分)在长方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，已知 DA = DC = 4, DD 1 = 3 ，求异面直线 A 1 B 与B 1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分 12 分) 已知复数 w 满足 w - 4 = (3 - 2w ) i( i 为虚数单位）， z = 5+ | w - 2 |，求一个以 z 为根的实系数一元二次方程.w19. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分.已知函数 f (x ) = ⎛ + π⎫ - 2 cos x ,x ∈ ⎡π,π⎤ .2 sin x ⎪⎝6 ⎭ ⎢⎣ 2 ⎥⎦（1）若sin x = 4，求函数 f (x ) 的值；（2）求函数 f (x ) 的值域.520. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的 x 2 + y 2= 轨迹方程为 1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、100 25⎛ M 0, 64 ⎫ ⎪ 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 D ( 8, 0 ) . 观测点 A ( 4, 0 )、B ( 6, 0 ) 同时跟踪航天器.⎝7 ⎭ （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.设函数 f (x ) = x 2 - 4x - 5 .（1）在区间[ 2, 6 ]上画出函数f (x) 的图像；20 21 30 30 31 40（2）设集合 A = {x f (x ) ≥ 5 }, B = (- ∞, - 2 ] [ 0, 4 ] [ 6, + ∞ ) . 试判断集合 A 和 B 之间的关系， 并给出证明；（3）当 k > 2 时，求证：在区间[ - 1, 5 ] 上， y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x ) 图像的上方.22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分. 第 3 小题满分 6 分.已知数列 a 1 , a 2 , , a 30 ，其中 a 1 , a 2 , , a 10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； a 10 , a 11 , , a 20 是公差为 d 的等差数列； a , a , , a 是公差为 d 2 的等差数列（ d ≠ 0 ）. （1）若 a 20 = 40 ，求 d ；（2）试写出 a 30 关于 d 的关系式，并求 a 30 的取值范围；（3）续写已知数列，使得 a , a , , a 是公差为 d 3 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案及评分标准一．（第 1 至 12 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分.⎪1. 3 .2. 2.3.41(x - 5), 3x ∈[5, 8 ]. 4. ⎛ - 1, 1 ⎫ ⎝2 ⎭ 5. (0, 10 ) . 6. - x - x 4 . 7. 48.8.16 . 39.7. 10. 2. 11. 4. 2512. a 1 + a 2 + + a m ≤ a 1 + a 2 + + a n(1 ≤ m < n ) 和 m na m +1 + a m +2 + + a n ≥a 1 + a 2 + + a n(1 ≤ m < n ) n - m n二．（第 13 至 16 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分.题 号 13141516代 号BCAB三．（第 17 至 22 题）17. [解法一] 连接 A 1 D ，A 1 D //B 1C , ∴ ∠BA 1D 为异面直线 A 1 B 与 B 1C 所成的角.……4 分连接 BD ，在△ A 1 DB 中， A 1 B = A 1 D = 5,BD = 4 ，……6 分则cos ∠BA 1 D = A 1 B 2 + A 1 D 2- BD 2 2 ⋅ A B ⋅ A D = 25 + 25 - 32 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 9 .……10 分2511∴ 异面直线 A B 与 B C 所成角的大小为arccos 9.……12 分1 125[解法二] 以 D 为坐标原点，分别以 DA 、 DC 、 DD 1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系.……2 分则 A 1 (4, 0, 3)、B (4, 4, 0)、B 1 (4, 4, 3)、C (0, 4, 0) ，得 A 1 B = (0, 4, - 3), B 1C = (-4, 0, - 3) .……6 分设 A 1 B 与 B 1C 的夹角为θ，则cos θ=A 1B ⋅ B 1C A 1 B ⋅ B 1C = 9 ， ……10 分252 .⎩ ⎩b2 2 ∴ A B 与 B C 的夹角大小为 arccos 9，1 1 25即异面直线 A B 与 B C 所成角的大小为arccos 9.……12 分1 12518. [解法一]w (1 + 2 i) = 4 + 3i, ∴ 4 + 3i w == 2 - i ， ……4 分1 + 2i∴ z =52 - i+ | -i |= 3 + i . ……8 分若实系数一元二次方程有虚根 z = 3 + i ，则必有共轭虚根 z = 3 - i .z + z = 6, z ⋅ z = 10 ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是 x 2 - 6x + 10 = 0.……12 分[解法二] 设 w = a + b i (a 、b ∈ R)a +b i - 4 = 3i - 2a i + 2b ，⎧a - 4 = 2b , 得 ∴ ⎧ a = 2,⎨b = 3 - 2a , ⎨ = -1, ∴ w = 2 - i ，……4 分以下解法同[解法一].19. [解]（1） sin x = 4 ,x ∈ ⎡π,π⎤, ∴ cos x = - 3 ，……2 分51⎢⎣ 2 ⎥⎦5⎫ f (x ) = 2x + cos x ⎪ - 2 cos x……4 分⎪⎝ ⎭= 3 sin x - cos x =4 3 + 3. ……8 分 5 5（2） f (x ) = ⎛ - π⎫ ，……10 分2 sin x ⎝π ≤ x ≤ π，⎪6 ⎭∴ π ≤ x - π ≤ 5π，1≤ ⎛ - π⎫≤ 1，23 6 6⎪ 2 ⎝6 ⎭ ∴ 函数 f (x ) 的值域为[1, 2 ] .……14 分20. [ 解 ] （ 1 ） 设 曲 线 方 程 为y = ax 2 + 64 7，由 题 意 可 知 ， 0 = a ⋅ 64 +64 .7∴ a = - 1.……4 分7∴ 曲线方程为 y = - 1 x 2 + 64.……6 分sin x7 7（2）设变轨点为C ( x , y ) ，根据题意可知⎧ x 2 ⎪ ⎨100 + y 2 25= 1, (1) 得 4 y 2 - 7 y - 36 = 0 ， ⎪ y = - 1 x 2 + 64 , (2) ⎩⎪7 7 y = 4或 y = - 9（不合题意，舍去）.4∴ y = 4 . 得 x = 6 或 x = -6 （ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） . ( 6, 4 ) ， ……11 分| AC |= 2 5, | BC |= 4 .答 ： 当 观 测 点 A 、B 测 得 AC 、BC 距 离 分 别 为 2 5 、 4 时 ， 应 向 航 天 器 发 出 变 轨 指令.……14 分21. [解]（1）……4 分（2）方程 f (x ) = 5 的解分别是2 -14, 0, 4和 2 + 14 ，由于 f (x ) 在( - ∞,- 1] 和[ 2, 5 ]上单调递减，在[ - 1, 2 ]和[ 5, + ∞ ) 上单调递增，因此A = (- ∞, 2 - ] [ 0, 4 ] [2 +14, + ∞ ).……8 分 由于 2 + < 6, 2 - > -2, ∴ B ⊂ A .……10 分（3）[解法一] 当 x ∈[ - 1, 5 ] 时， f (x ) = -x 2 + 4x + 5.g (x ) = k (x + 3) - (-x 2 + 4x + 5)= x 2 + (k - 4)x + (3k - 5)= ⎛ x - 4 - k ⎫ 2 ⎪ - k 2 - 20k + 36 ， ……12 分⎝2 ⎭ 4k > 2, ∴4 - k< 1. 又- 1 ≤ x ≤ 5 ， 2 ① 当- 1 ≤ 4 - k < 1 ，即 2 < k ≤ 6 时，取 x = 4 - k，2 2……9 分 ∴ C 点 的 坐 标 为14 14 14⎩ 40 30 10n 10n +1 10 (n +1) 10(n +1)⎨ = -k 2 - 20k + 36= -1 [( -)2- ]g (x ) mink 10 4464 .16 ≤ (k - 10) 2 < 64, ∴ (k - 10) 2 - 64 < 0 ，则 g (x ) m in > 0 .……14 分② 当 4 - k< -1，即 k > 6 时，取 x = -1，2g (x )min＝ 2k > 0.由 ①、②可知，当 k > 2 时， g (x ) > 0 ， x ∈[ - 1, 5 ] .因此，在区间[ - 1, 5 ] 上， y = k (x + 3) 的图像位于函数 f (x ) 图像的上方. ……16 分[解法二] 当 x ∈[ - 1, 5 ] 时， f (x ) = -x 2 + 4x + 5 .⎧ y = k (x + 3),由⎨ y = -x 2+ 4x + 5,得 x 2 + (k - 4)x + (3k - 5) = 0 ，令 ∆ = (k - 4) 2 - 4(3k - 5) = 0 ，解得 k = 2 或 k = 18 ， ……12 分在区间[ - 1, 5 ] 上，当 k = 2 时， y = 2(x + 3) 的图像与函数 f (x ) 的图像只交于一点(1, 8 ) ； 当 k = 18时， y = 18(x + 3) 的图像与函数 f (x ) 的图像没有交点. ……14 分如图可知，由于直线 y = k (x + 3) 过点 ( - 3, 0 ) ，当 k > 2 时，直线 y = k (x + 3) 是由直线 y = 2(x + 3) 绕 点( - 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此，在区间[ - 1, 5 ] 上， y = k (x + 3) 的图像位于函数 f (x ) 图像的上 方.……16 分22. [解]（1） a 10 = 10. a 20 = 10 + 10d = 40, ∴ d = 3. …… 4 分 （2） a 30 = a 20 + 10d 2 = 10(1 + d + d 2) (d ≠ 0) ，…… 8 分⎡ ⎛ 1 ⎫ 2 3 ⎤a 30 = 10⎢ d + 2 ⎪ + ⎥ ，4 ⎢⎣ ⎝ 当 d ∈ ( - ∞, ⎭0 ) ( 0, ⎥⎦+ ∞ ) 时， a 30 ∈[ 7.5,+ ∞ ).…… 12 分（3）所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中 a 1 , a 2 , , a 10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 n ≥ 1 时，数列 a , a , , a 是公差为d n 的等差数列. …… 14 分研究的问题可以是：试写出 a 10 ( n +1) 关于 d 的关系式，并求 a 10 ( n +1) 的取值范围.…… 16 分研究的结论可以是：由 a = a + 10d 3=10(1 + d + d 2 + d 3 )，依次类推可得 a = 10(1 + d + + d n )= ⎧⎪10 ⨯ 1 - d n +11 - d , d ≠ 1, ⎪⎩10(n + 1),d = 1. 当 d > 0 时， a 10(n +1) 的取值范围为(10, + ∞ ) 等.…… 18 分。
章金读上海市届春季高考数学试卷
章金读上海市届春季高考数学试卷专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）、《挑战高考压轴题•高中数学》（新一版2020）《数学初高中衔接•讲与练》、《数学初高中衔接•练与考》（2021）。
近年来，他先后在北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地为师生授课。
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上海市2024年春季高考数学试卷
上海市2024年春季高考数学试卷
上海市2024年春季高考数学试卷指的是上海市教育局在2024年春季组织的高考数学科目的试卷。
这类试卷是为了测试学生的数学能力，评估他们的数学基础知识、基本技能以及数学思维能力等。
以下是一些示例题目：
选择题（每题3分，共6分）：
1.若关于x的不等式 x^2 - 4x + 3 < 0 的解集为 A，则 A = （）。
A. (1, 3)
B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)
C. (-∞, -1) ∪ (3, +∞)
D. (-∞, -1) ∪ (3, 1)
2.已知函数 f(x) = x^2 - 2x，则 f(-1) = （）。
A. -1
B. 1
C. -3
D. 3
判断题（每题4分，共8分）：
1.任何实数都有两个平方根。
（对/错）
2.若两个向量的模相等，则这两个向量一定共线。
（对/错）
计算题（10分）：
计算定积分∫ (sin x)/(1 + sin^2 x) dx （上限为π/2，下限为 -π/2）。
注意：以上示例题目仅为展示题型，实际考试中的题目会有所不同，难度和内容也会有差异。
上海市春季高考数学试卷是针对上海市内就读的高中学生进行的数学能力测试，目的是检测学生在高中阶段对数学基础知识的掌握情况和应用能力。
除了选择题、判断题和计算题等题型外，还可能包括填空题、简答题等其他题型。
对于参加考试的学生来说，需要全面掌握数学基础知识，并注重培养自己的数学思维能力和解题技巧。
上海春季高考数学试卷答案真题解析.doc
2019年上海春季高考数学试卷答案真题解析上海春季高考数学试卷答案真题解析2019年上海春季高考数学试卷答案真题解析数学试卷和答案正在整理和发布当中，考生可收藏本页。
稍后公布！！考试及志愿填报2019年上海春季高考录取时间安排及候补资格确认流程填报多久出录取结果及录取查询入口（一）考试内容2019年春季考试由统一文化考试和院校自主测试两部分组成。
（二）统一文化考试1。
统一文化考试科目及计分办法统一文化考试科目为语文、数学、外语3门科目。
语文、数学每科目总分150分。
外语科目考试分为笔试（含听力）和听说测试，笔试（含听力）分值为140分，听说测试分值为10分，总分150分；外语科目的考试语种分设英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语6种，由报考学生任选1种。
统一文化考试成绩总分为450分。
根据本市高考改革相关规定，统一高考外语科目考试实行一年两考，考试时间分别为1月和6月。
其中，1月的外语科目考试即为2019年春季考试外语科目考试。
2。
统一文化考试时间安排2019年1月5日-7日举行全市统一文化考试，各科目考试时间为：语文1月5日9：00-11：30数学1月5日13：30-15：30外语笔试（含听力）1月6日9：00-11：00外语听说测试1月7日8：00起考试时长：语文150分钟，数学120分钟，外语笔试（含听力）120分钟、听说测试20分钟。
统一文化考试均在标准化考场进行。
3。
统一文化考试成绩公布与查询2019年1月28日，考生可登录“上海招考热线”网站（）查询统一文化考试成绩。
市教育考试院于当日公布志愿填报最低控制线。
考生如对统一文化考试成绩有疑问，可于2019年1月29日9：00- 16：00在“上海招考热线”网站申请成绩复核，1月30日12：00起可再次登录该网站查看复核结果。
（三）志愿填报1。
考生统一文化考试成绩总分达到市教育考试院公布的志愿填报最低控制线，方可填报春季考试招生志愿。
其中，应届考生7门科目（思想政治、历史、地理、物理、化学、生命科学、信息科技）的高中学业水平合格性考试成绩须全部合格。
2022-2023年上海市春季高考数学试卷历年真题以及预测题答案解析
2022年上海市普通高等学校春季招生真题考试数学试卷一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.2023年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n 2+n （4+b 2）+2b 2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b 2=k 2+k 02，由，得，即Q （，），代入x 2﹣=1，化简，得：，解得b 2=4或b 2=kk 0，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立． 解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数， 又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．2022年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2022.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4. 函数()2f x x =-的定义域为 ；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，6BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为 ；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ）A. πB.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 222a b ab +≥ B. 222a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+， 有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两 个结论，正确的判断是（ ）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射 镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列； （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2nn n b b +-=，记 12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>； （1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x xf x a =+⋅+，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（ ） A. 0 B.2πC. πD. 2π2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为 ； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为 ； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天 下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该 地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天 没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ； 19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)； （2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。
上海市春季高考数学试卷(含答案).doc
上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。
若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。
11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
2019年上海市春季高考数学试卷 word版 含参考答案及解析
2019年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则AB = ．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．不等式|1|5x +<的解集为 ．4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在6(x+的展开式中，常数项等于 ．8．在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ．9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．在椭圆22142x y+=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．12．已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x = D ．cos y x =14．已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = {3，5} ．【思路分析】利用交集定义直接求解．【解析】：集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}， {3AB ∴=，5}．故答案为：{3，5}．【归纳与总结】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【思路分析】对2223141n n n n -+-+的分子、分母同除以2n ，再求极限即可．【解析】：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+．故答案为：2． 【归纳与总结】考查数列极限的定义，以及数列极限的求法，以及∞∞极限的求法．3．不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ．【思路分析】根据|()|(0)()f x a a a f x a <>⇔-<<可解得． 【解析】：由|1|5x +<得515x -<+<，即64x -<< 故答案为：{6-，4)．【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()0)f x x -=> ．【思路分析】由2(0)y x x =>解得0)x y =>，再交换x 与y 的位置即得反函数． 【解析】：由2(0)y x x =>解得x =，1()0)f x x -∴=>故答案为1f -()0)x x =>【归纳与总结】本题考查了反函数，属基础题． 5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为【思路分析】把已知等式变形求得z 再由||||z z =，结合复数模的计算公式求解． 【解析】：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴===【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ． 【思路分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到a 的值． 【解析】：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①2⨯，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-．【归纳与总结】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题．7．在6(x+的展开式中，常数项等于 15 ．【思路分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为0得常数项． 【解析】：6(x展开式的通项为36216r rr T C x-+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15．【归纳与总结】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB【思路分析】利用正弦定理可得2BC =，利用余弦定理即可得出结论． 【解析】：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =，∴由3AC =，可得：2BC =，1cos 4C =，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB =【归纳与总结】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【思路分析】根据分步计数原理即可求出．【解析】：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．【归纳与总结】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题．10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a【思路分析】由已知可得P ，Q坐标，进而可得||||AQ CP +=得答案．【解析】：由题意得：P点坐标为，)a ，Q点坐标为(a ，||||AQ CP +=，当且仅当a =【归纳与总结】本题考查的知识点是基本不等式，二次函数和幂函数，难度不大，属于基础题．11．在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1[arccos 3π-，]π ．【思路分析】设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，结合121F P F P …，22142x y +=可得：2[1y ∈，2]，进而可得1F P 与2F Q 的夹角θ满足：1212cos F P F QF P F Qθ=的范围，最后得到答案．【解析】：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y+=的焦点坐标为(，0)，，0)，121F P F P …，2221x y ∴-+…， 结合22142x y +=可得：2[1y ∈，2]故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1]3-故1[arccos 3θπ∈-，]π 故答案为：1[arccos 3π-，]π【归纳与总结】本题考查的知识点是椭圆的性质，平面向量在几何中的应用，函数的值域，难度中档．12．已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ．【思路分析】0t >时，当a t =时，9t aλ+…；当9a t =+时，(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t aλ+…，当4a t =+时，(1)(4)t t λ=++，从而(9)(1)(4)t t t t +=++，解得1t =；当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，当a t =时，1t a λ+…，当1a t =+时，t a λ…，即(1)t t λ=+，当4a t =+时，9t aλ+…，当9a t =+时，(4)(9)t t λ=++，从而(1)(4)(9)t t t t +=++，解得3t =-．当90t +<时，无解．【解析】：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t a λ+…；当9a t =+时，t a λ…，即(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t a λ+…，当4a t =+时，1t aλ+…，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+…，当1a t =+时，t a λ…，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t a λ+…，当9a t =+时，4t aλ+…，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解．综上，t 的值为1或3-．故答案为：1或3-．【归纳与总结】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x = D ．cos y x =【思路分析】此题考查求函数的定义域与值域，对应求出值域即可确定正确答案为B 【解析】：A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错．故选：B ．【归纳与总结】本题目属于基础题型，准确求出每一个函数的值域，即可确定正确答案，考查学生的基础解题能力．14．已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【思路分析】根据平方和绝对值的关系，结合不等式的性质进行转化，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：22a b >等价，22||||a b >，得“||||a b >”，∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【思路分析】利用面面垂直的性质．画图判定 【解析】：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．【归纳与总结】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．16．以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【思路分析】根据点点的距离公式可得21112y a =-，22212y a =-，根据对数的运算性质即可得到121y y =，可得12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，即可求出点的轨迹． 【解析】：因为11|1|r a =-，则21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为120lny lny +=，所以121y y =，则12(12)(12)1a a --=，即12122a a a a =+，则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ． 【归纳与总结】本题考查了点的轨迹方程，考查了点和圆的位置关系，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．【思路分析】（1）由已知可得//MN PC ，则PCA ∠为AC 与MN 所成角，利用余弦定理求解得答案；（2）求出三棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．【解析】：（1）M ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，AC =，可得222cos2PC AC PA PCA PC AC +-∠==，AC ∴与MN 的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==．PO ∴==．∴11333224P ABC V -=⨯=．【归纳与总结】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的求法，是中档题． 18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【思路分析】（1）求出公差即可求n S ；（2）由lim n n S →∞存在得11q -<<且0q ≠，由l i m 12n n S →∞<得34q <，取交集可得公比q 的取值范围．【解析】：（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+；（2）3(1)1n n q S q-=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-，0)(0⋃，3)4．【归纳与总结】本题考查了等差数列和等比数列的前n 项和及等差数列的通项公式，考查了极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【思路分析】（1）根据表格数据得出结论；（2）根据函数性质得出单调性，解不等式求出t 的范围，从而得出答案．【解析】：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.44200.1136357876.60531200001t e ->+，解得50.68t >， ∴当51t …时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．【归纳与总结】本题考查了函数单调性判断与应用，计算较复杂．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．【思路分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得PF 的斜率和方程，解得Q 的坐标，由两点的距离公式可得所求值；（2）求得(1,0)P -，可得2a =，设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，代入抛物线方程，求得Q 的纵坐标，计算2()||d P PF -，化简整理即可得证；（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，计算1322[()()]4()d P d p d P +-，结合条件，化简整理，配方和不等式的性质，即可得到大小关系．【解析】：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8(1,)3P --，84323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得10||3PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m =+2()||22(22P P Q y d P PF y m m -==+ 2122m +-=-=，则存在常数a ，使得2()||d PPF a =+；（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，则1321322[()()]4()||||2||dP d p d PPF P F P F+-=+-==， 由221313[()16]28y y y y -++=-，2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->，则132()()2()d P d P d P +>．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和联立直线方程和抛物线方程，以及作差法，考查化简运算能力，属于中档题．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值． 【思路分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解； （2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案； （3）分别令1T =，2，3，4，5，6，7进行验证，判断T 的可能取值． 【解析】：（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，集合{S =，0． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{S =-，1，1}-．③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0d ∈，]π，故1k =，2． 当1k =时，{sin 10S π=，1，sin}10π-满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3．当1k =时，S =，满足题意． ⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7m n -=，7m >，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3T =，4，5，6．【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》简介：目前有6个群，共2000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————。
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2015 年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2015.1一. 填空题（本大题共12 题，每题 3 分，共36 分）1. 设全集为U {1,2,3} ，A {1,2} ，若集合则C U A ；2. 计算：1ii；（其中i 为虚数单位）3. 函数y sin(2 x )的最小正周期为；44. 计算：limn2n 322n n；5. 以(2,6) 为圆心，1为半径的圆的标准方程为；r6. 已知向量 a (1,3)r，b (m, 1)r r，若a b ，则m ；7. 函数 2 2 4y x x ，x [0, 2] 的值域为；8. 若线性方程组的增广矩阵为a0 2b0 1，解为xy21，则a b ；9. 方程lg(2 x 1) lg x 1的解集为；10. 在19(x )2x的二项展开式中，常数项的值为；11. 用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为；（结果用数值表示）12. 已知点A(1,0) ，直线l : x 1，两个动圆均过点A且与l 相切，其圆心分别为C1、C2 ，若动点M 满足u u u u u r u u u u r uu u u r2C M C C C A，则M 的轨迹方程为；2 2 1 2二. 选择题（本大题共12 题，每题 3 分，共36 分）13. 若a0 b，则下列不等式恒成立的是（）A. 1 1a bB. a bC. 2 2a b D.3 3a b ；14. 函数y x x 的反函数为（）2 ( 1)2 ( 1)A. y x (x1)B. y x (x1)C. y x (x 0)D. y x (x0)15. 不等式 2 3xx 1 0的解集为（ ）A.3 (, ) 4B.2 ( , ) 3C.2 (, ) U (1, )D.32 ( ,1) 316. 下列函数中，是奇函数且在(0,)上单调递增的为（）11A.2y xB.yxC.31y xD.y x 217. 直线 3x 4y 5 0 的倾斜角为（ ）A.arctan34 B. arctan 34 C. arctan 43 D. arctan 4 3 18. 底面半径为 1，母线长为 2 的圆锥的体积为（ ）A.2B.3C.23D.3319. 以 ( 3,0) 和(3,0) 为焦点，长轴长为 8 的椭圆方程为（）A. 2 2 x y 16 25 1B. 2 2x y 16 7 1 C. 2 2 x y 25 16 1 D. 2 2 x y7 16120. 在复平面上， 满足 | z 1| | z i |（ i 为虚数单位） 的复数 z 对应的点的轨迹为 （）A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 直线21. 若无穷等差数列 { a n } 的首项 a 10 ，公差 d 0 ，{ a n } 的前 n 项和为 S n ，则（）A. S n 单调递减B. S n 单调递增C. S n 有最大值D. S n 有最小值22. 已知 a 0，b 0，若 a b 4，则（）A. 2 2 a b 有最小值B. ab 有最小值C. 11 a b有最大值D.1 ab有最大值23. 组合数 mm 1m 2C2CCnnn*(n m 2, m,n N )恒等于（）mCB.A.2 nm 1 mC C. C 1 D.n 2nm 1 n 1C24. 设集合 2P1{ x |xax 1 0} ，2P 2 { x | x ax 2 0} ，2Q 1 { x | x x b 0} ，2Q 2 { x | x2x b 0} ，其中 a, b R ，下列说法正确的是（）A. 对任意 a ， P 是 P 2 的子集；对任意的 b ，Q 1 不是 Q 2 的子集1B. 对任意 a ， P 1 是 P 2 的子集；存在 b ，使得 Q 1是Q 2 的子集C. 存在 a ，使得 P 不是 P 2 的子集；对任意的b ，Q 1 不是 Q 2 的子集1D. 存在a ，使得P1 不是P2 的子集；存在 b ，使得Q1 是Q2 的子集三. 解答题（本大题共 5 题，共8+8+8+12+12=48 分）25. 如图，在正四棱柱中ABCD A1B1C1D1 ，A B 1，D1B 和平面ABCD所成的角的大小为arctan 3 24，求该四棱柱的表面积；26. 已知a 为实数，函数 f (x) 到最小值时所对应的x 的值；2 4x axx是奇函数，求 f (x) 在(0, ) 上的最小值及取27. 某船在海平面A处测得灯塔B 在北偏东30 方向，与A相距6.0海里，船由A向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔 B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B在船的什么方向（精确到1 ）？28. 已知点F1 、F2 依次为双曲线 C2 2x y: 12 2a b(a,b 0) 的左右焦点，F1F2 6 ，B1 (0, b) ，B2 (0, b) ；u r（1）若a 5 ，以d (3, 4) 为方向向量的直线l 经过 B ，求F2 到l 的距离；1（2）若双曲线C 上存在点P ，使得u u u r u u u u rPB1 PB2 2，求实数b 的取值范围；29. 已知函数x 2f ( x) | 2 2 | (x R) ；（1）解不等式 f (x) 2 ；（2）数列{ }a 满足a n f (n)n*(n N )，S n 为{ a n } 的前n 项和，对任意的n 4，不等式1S ka 恒成立，求实数k 的取值范围；n n2附加题一. 选择题（本大题共 3 题，每题 3 分，共9 分）1. 对于集合A、B ，“A B”是“AI B AU B”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 对于任意实数 a 、b， 2(a b) kab 均成立，则实数k 的取值范围是（）A. { 4,0}B. [ 4,0]C. ( ,0]D. ( , 4] U [0, )3. 已知数列{ a n} 满足a n a n 4 a n 1 a n 3 (n N ) ，那么（）A. { a n} 是等差数列B. {a2n 1} 是等差数列C. {a2n} 是等差数列D. { a3n} 是等差数列二. 填空题（本大题共 3 题，每题 3 分，共9 分）4. 关于x 的实系数一元二次方程 2 2 0x px 的两个虚数根为z1 、z2 ，若z1 、z2 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为；u u u r u u u r u u u r r5. 已知圆心为O，半径为 1 的圆上有三点A、B、C，若7OA 5OB 8OC 0u u u r| BC |；，则6. 函数 f (x) 与g( x) 的图像拼成如图所示的“Z”字形折线段ABOCD，不含A(0,1) ，B (1,1)，O(0,0) ，C( 1, 1) ，D (0, 1)五个点，若 f (x) 的图像关于原点对称的图形即为g( x) 的图像，则其中一个函数的解析式可以为；三. 解答题（本大题12 分）7. 对于函数 f ( x) 、g( x) ，若存在函数h(x) ，使得f (x) g (x) h( x) ，则称 f (x) 是g( x) 的“h( x) 关联函数”（1）已知 f (x) sin x ，g( x) cos x，是否存在定义域为R 的函数h( x) ，使得 f (x) 是g( x) 的“h( x) 关联函数”？若存在，写出h(x) 的解析式；若不存在，说明理由；（2）已知函数 f (x) 、g(x) 的定义域为[1, ) ，当x [ n,n 1) (n N ) 时， f (x)n x12 sin 1，若存在函数h1 (x) 及h2 ( x) ，使得f (x) 是g(x) 的“h1(x) 关联函数”，且g(x)n是f (x) 的“h2 (x) 关联函数”，求方程g (x) 0的解；参考答案一. 填空题1. {3} ；2. 1 i ；3. ；4. 0.5；5. 2 2(x 2) ( y 6) 1； 6. 3；7. [3,4] ；8. 2；9. {2} ；10. 84；11. 320；12. 2 2 1y x ；二. 选择题13. D；14. A；15. D；16. B；17. A；18. D；19. B；20. D；21. C；22. A；23. A；24. A；三. 解答题25. 8；26. a 0，x 2，f min (x) 4 ；27. BC 4.2海里，南偏东46 ；28.（1）d 3.6；（2）22b ；229.（1）x4；（2）25k ；14附加题1. C；2. B；3. D；4. 2 2 ；5. 3 ；6. f (x) x, 1 x 0 1, 0 x 1；7.（1）不存在，定义域不为R ；（2）x；2。