高三数学 二次函数
二次函数所有公式
二次函数所有公式二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是一种简单而常用的函数形式。
它的标准形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。
在这篇文章中，我将介绍二次函数的一些重要公式和性质。
一、基本概念和定义1. 定义：二次函数是一种具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。
2.顶点：二次函数的图像是一个抛物线，它的顶点是图像的最低点（如果a>0）或最高点（如果a<0）。
（h，k）表示顶点的坐标，其中h=-b/（2a），k=f(h)。
3.轴对称：二次函数的图像是关于顶点所在的直线x=h对称的。
4.开口方向：如果a>0，则图像开口向上；如果a<0，则图像开口向下。
二、常用公式1. 零点：二次函数的零点是函数值为0时对应的x值。
可以使用求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 来求解二次方程ax² + bx + c = 0的根。
2. 判别式：判别式是二次方程的求解公式中的一部分，其定义为D = b² - 4ac。
判别式可以判断二次方程的根的性质：a)如果D>0，则方程有两个不相等的实数根。
b)如果D=0，则方程有两个相等的实数根。
c)如果D<0，则方程没有实数根。
3. 平移公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若向左平移h个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c；若向右平移h个单位，得到函数y = a(x + h)² + bx + c；若向上平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c + k；若向下平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² +bx + c - k。
4. 拉伸和压缩公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若a > 1，则函数的图像在x轴方向上被缩短；若0 < a < 1，则函数的图像在x轴方向上被拉长；若a < 0，则函数的图像上下翻转。
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
高三数学二次函数
-3
0
x
ymin=4.25
ymax=f(1)=2
( 2)
1 2 y = − x − 2 x + 1 x ∈ [−3 , 1] 5
26 y max = 5 6 ymin = − 5
x = −5
∴ 当 x = − 3时 当 x = 1时
y
1 -3 0
x
( 3)
1 2 y = x + 2 x − 1 x ∈ [−1 , 2] x = −2 2
【题型二 二次函数在区间上的最值问题 】
【双基自测】 双基自测】
1、求下列二次函数的最大值 、 或最小值
x=1 4
y
y
x=1
1
0
(1) y = − x + 2 x + 3
2
1
x
0 -2
x=− 3 2
x
( 2) y = 2 x 2 − 4 x ２、求下列二次函数的最大值 或最小值
y
1
( 1) y = x + 3 x − 2 (−3 ≤ x ≤ 1)
1 的图象与x轴的左右两个 (c > ) 的图象与 轴的左右两个 8
交点的横坐标分别为x 的取值范围是（ 交点的横坐标分别为 1，x2，则x2-x1的取值范围是（ A
）
（0,1）
2 ) B (0, 2
1 2 2 ) D ( ,1) C ( , 2 2 2
4 已知 ，b，c，d成等比数列，且曲线 已知a， ， ， 成等比数列 且曲线y=x2-2x+3的顶 成等比数列， 的顶 点是（ ， ）， ），则 点是（b，c），则ad=（ ） （ A1 B2 C3 D4
ymin 5 =− 2
高考数学中的二次函数基本概念及相关性质
高考数学中的二次函数基本概念及相关性质高考数学中，二次函数是一个非常基础、重要的概念。
本文将从基本概念和相关性质两个方面，详细介绍二次函数的相关知识点。
一、基本概念二次函数，也叫做二次多项式函数，是指一个以x为自变量，x的二次多项式为函数值的函数，通常可以表示为y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c分别是常数，a≠0。
1. 函数图像：二次函数的图像通常是一条开口朝上或开口朝下的抛物线。
如果a>0，则抛物线开口朝上；如果a<0，则抛物线开口朝下。
图像中的对称轴为x=-b/2a，抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点。
求二次函数的零点有两种方法：一种是利用求根公式，即x=[-b±√(b²-4ac)]/2a；另一种是将二次函数化为标准的完全平方公式，即y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标，直接利用完全平方公式求零点。
3. 对称性：二次函数具有轴对称性，即对于任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。
二、相关性质除了基本概念外，二次函数还有一些重要的性质，这些性质通常在高考中频繁出现，需要认真掌握：1. 二次函数的最值：由于二次函数的函数图像是一条抛物线，因此其最值一定发生在抛物线的顶点处。
当a>0时，二次函数的最小值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)；当a<0时，二次函数的最大值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)。
2. 二次函数的单调性：当a>0时，二次函数在其零点左右是单调递减和单调递增的；当a<0时，二次函数在其零点左右是单调递增和单调递减的。
3. 二次函数的导数：二次函数的导数f'(x)=2ax+b，是一个一次函数。
二次函数知识点总结图高三
二次函数知识点总结图高三高三学习阶段，数学中的二次函数知识是必不可少的。
本文将对二次函数的相关知识进行总结和图解，帮助高三学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、基本概念二次函数是数学中一个重要的函数类型，其一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
该函数的图像通常为一个开口向上或向下的抛物线，具有以下特征：对称轴、顶点、判别式、零点等。
1. 对称轴二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，过抛物线的顶点，由x = -b/2a确定。
2. 顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点（a>0，开口向上）或最低点（a<0，开口向下），由坐标(-b/2a, f(-b/2a))确定。
3. 判别式二次函数的判别式D = b^2 - 4ac，用来判断函数的图像与x轴的交点情况：- 当D > 0时，函数与x轴有两个不同的交点，即抛物线与x轴交于两个不同的实数解；- 当D = 0时，函数与x轴有一个交点，即抛物线与x轴交于一个重根（重复解）；- 当D < 0时，函数与x轴没有交点，即抛物线与x轴不相交。
4. 零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。
二、图像特征与性质了解二次函数的图像特征和性质，可以更好地分析问题和解决实际应用题。
1. 开口方向二次函数的开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 最值二次函数的最值即为顶点的纵坐标，当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
3. 函数值对于给定的x值，可以通过函数的表达式计算得到相应的y值。
当x在对称轴两侧时，函数值相等。
4. 对称性二次函数具有对称性，以对称轴为轴线，左右两侧的图像是关于对称轴对称的。
三、常见问题分析学好二次函数的知识，需要能够灵活运用，解决与实际问题相关的应用题。
二次函数高三知识点
二次函数高三知识点二次函数是高中数学中的一个重要知识点，也是高三学习中会详细探讨的内容之一。
本文将就二次函数的定义、图像特征、性质以及应用等方面进行详细介绍。
一、定义二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
其中，a称为二次函数的二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
二次函数的定义域为全体实数。
二、图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则图像开口向上；若a < 0，则图像开口向下。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过平移法或公式法求得。
公式法给出的顶点坐标为：(h, k)，其中h = -b／(2a)，k = f(h)。
3. 对称轴：对称轴是二次函数图像的一条对称线。
对称轴的方程为x = h，其中h为顶点的横坐标。
4. 最值：若二次函数开口向上，则最值为最小值，即在顶点处取得；若二次函数开口向下，则最值为最大值，即在顶点处取得。
三、性质1. 单调性：二次函数的单调性与二次项系数a的正负有关。
若a > 0，则函数在对称轴两侧递增；若a < 0，则函数在对称轴两侧递减。
2. 零点与方程解：二次函数的零点为使得f(x) = 0的x值。
可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法求解二次方程。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式Δ = b^2 - 4ac可用于判断方程的解的情况。
四、应用1. 最值问题：二次函数的最值常在实际问题中得到应用，如求解最大面积、最短时间等问题。
2. 抛物线运动：抛体的运动轨迹往往满足二次函数的特点，通过二次函数可以分析抛体的运动规律。
3. 物体抛射问题：物体从一定高度抛射出去后，其高度随时间变化的关系常用二次函数来表示。
总结：本文介绍了二次函数的定义、图像特征、性质以及应用等知识点。
二次函数在高三阶段的数学学习中占有较为重要的地位，掌握好这些知识点对于进一步拓展数学理解和解题能力非常有帮助，希望本文能对高三学生的学习有所帮助。
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
二次函数知识梳理
二次函数知识梳理二次函数是高中数学中的一个重要概念，广泛应用于数学和物理学等领域。
它的基本形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
本文将从二次函数的定义、性质、图像、应用等方面进行梳理，帮助读者更好地理解和掌握二次函数知识。
一、二次函数的定义二次函数是指以自变量的二次方作为最高次幂的函数。
一般表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a。
c为常数，决定了二次函数的纵向平移。
二、二次函数的性质1. 零点：二次函数的零点是使函数值等于零的x值。
零点可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0得到。
若Δ=b²-4ac>0，则有两个不同的实数根；若Δ=0，则有两个相等的实数根；若Δ<0，则无实数根。
2. 极值点：二次函数的极值点是函数曲线的最高点（最大值）或最低点（最小值）。
对于开口向上的二次函数，极值点为最小值点；对于开口向下的二次函数，极值点为最大值点。
极值点的纵坐标为c-Δ/4a，横坐标为-b/2a。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的对称轴，对称轴方程为x=-b/2a。
对称轴将函数图像分为两个对称的部分。
4. 单调性：对于开口向上的二次函数，当a>0时，函数单调递增；对于开口向下的二次函数，当a<0时，函数单调递减。
5. 函数图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向和形状由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，其形状和位置由a、b、c确定。
当a>0时，抛物线开口向上，最低点在对称轴上方；当a<0时，抛物线开口向下，最高点在对称轴下方。
对称轴是抛物线的对称轴，抛物线关于对称轴对称。
高中二次函数知识点总结
高中二次函数知识点总结高中二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，它具有许多重要的性质和特点，并且在实际问题中具有广泛的应用。
下面对高中二次函数的知识点进行总结，帮助学生更好地掌握这一部分内容。
一、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负值决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
4. 二次函数的对称轴：二次函数的图像的对称轴是通过顶点垂直于x轴的直线。
对称轴方程为x = -b/2a。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是指使函数取值为0的x的取值。
零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。
6. 二次函数的判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点个数和图像与x轴的交点情况。
当Δ>0时，函数有两个不同的实根；当Δ=0时，函数有两个相同的实根；当Δ<0时，函数没有实根。
二、二次函数的基本变形1. 平移：二次函数可以进行平移变换，记作f(x) = ax² + bx + c + h，其中h为平移的横向距离，可正可负。
2. 伸缩：二次函数可以进行纵向伸缩变换，记作f(x) = a(d²x)+ b(d²x) + c，其中d为纵向的伸缩比例，可正可负。
3. 翻转：二次函数可以进行翻转变换，记作f(x) = -ax² - bx - c，其中函数的性质和图像与原函数相反。
三、二次函数的性质和特点1. 极值：二次函数的最值由开口方向决定。
当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
二次函数定义高中
二次函数定义高中摘要：一、二次函数的定义1.一般形式2.顶点式3.交点式二、二次函数的性质1.开口方向2.顶点坐标3.函数的最值4.函数图象与系数的关系三、二次函数的应用1.求解交点2.估算最值3.实际问题中的应用正文：二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍二次函数的定义、性质以及应用。
一、二次函数的定义二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c 是常数，且a≠0。
它有三种常见的表示形式：一般形式、顶点式和交点式。
1.一般形式：二次函数的通用形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是常数，且a≠0。
2.顶点式：二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k) 是顶点坐标，a 是抛物线开口方向的参数。
3.交点式：二次函数的交点式为f(x) = (x - x1)(x - x2)，其中(x1, y1) 和(x2, y2) 是函数与x 轴的交点。
二、二次函数的性质二次函数具有许多重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解和把握二次函数的特点。
1.开口方向：二次函数的开口方向由参数a 的正负性决定。
当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口向下。
2.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(h, k)，其中h = -b/2a，k = f(h)。
3.函数的最值：二次函数的最值即为顶点的y 坐标。
当a > 0 时，函数有最小值；当a < 0 时，函数有最大值。
4.函数图象与系数的关系：二次函数的图象与系数a、b、c 有密切关系。
当a > 0 时，函数图象向上开口；当a < 0 时，函数图象向下开口。
函数图象与x 轴的交点个数与b^2 - 4ac 的正负性有关。
三、二次函数的应用二次函数在实际问题中有着广泛的应用，以下列举了几个典型的应用场景。
1.求解交点：二次函数在解析几何中常用来表示抛物线，求解抛物线与x 轴的交点有助于解决实际问题，例如求解方程ax^2 + bx + c = 0。
完整版)二次函数公式汇总
完整版)二次函数公式汇总二次函数是高中数学中的重要章节，它涉及到函数、方程、图像等多个概念。
本文将从二次函数公式的定义、性质、图像和应用等方面进行详细介绍。
一、二次函数公式的定义二次函数是指由一元二次方程所表示的函数。
一元二次方程的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c其中a、b、c为常数，且a≠0。
二、二次函数公式的性质1.首先，二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.二次函数的对称轴与y轴平行，对称轴的方程为x=-b/2a。
3.二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，即对称轴上的点。
4.二次函数的值域依赖于抛物线的开口方向。
当a>0时，值域为(-∞,f(-b/2a)]；当a<0时，值域为[f(-b/2a),+∞)。
三、二次函数的图像二次函数的图像是一个平面上的曲线，也就是抛物线。
根据二次函数的性质，我们可以通过以下步骤来画出二次函数的图像：1.确定抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.找出对称轴的方程x=-b/2a，并绘制出对称轴。
3.找出顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))，并绘制出顶点。
4.求出两个非顶点的点，可以选择求解方程f(x)=0，或者求出x=-b/2a的两侧点，然后根据二次函数的性质绘制出这两个点。
5.通过连接各点，得到完整的二次函数图像。
四、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.抛物线轨道模型：比如炮弹抛射、物体抛掷等问题，可以通过二次函数来描述物体的轨迹。
2.行程时间模型：比如汽车行驶、火车行驶等问题，可以通过二次函数来描述行驶的距离与时间的关系。
3.成本收益模型：比如生产成本、销售收益等问题，可以通过二次函数来描述成本与收益的关系，从而找到最大利润或最小成本的情况。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。
下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。
2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。
5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。
二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。
平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。
2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。
缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。
3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。
纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。
4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。
5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。
三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。
2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。
高考数学知识点之二次函数
高考数学知识点之二次函数一、二次函数的定义二次函数是指具有形如y=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a e0。
在二次函数中，x是自变量，y是因变量。
二、二次函数的图象二次函数的图象是抛物线，其开口的方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点是使得函数值等于零的x值。
要求二次函数的零点，可以使用因式分解法、配方法或求根公式等方法。
- 因式分解法将二次函数表示为(x−x1)(x−x2)=0的形式，其中x1和x2是两个零点。
- 配方法对于一般形式的二次函数，可以使用配方法将其化简为(x−p)2+q=0的形式，其中p和q可以通过配方法的步骤求得。
- 求根公式对于一般形式的二次函数ax2+bx+c=0，可以使用求根公式 $x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求得零点。
2. 判别式对于一般形式的二次函数ax2+bx+c=0，判别式D=b2−4ac可以用来判断函数的零点情况。
•当D>0时，二次函数有两个不相等的实根；•当D=0时，二次函数有两个相等的实根；•当D<0时，二次函数无实根。
3. 顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，记作(ℎ,k)。
对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其中a>0，顶点的横坐标可以通过公式 $h=-\\frac{b}{2a}$ 求得。
将横坐标代入函数，即可求得顶点的纵坐标。
4. 对称轴二次函数的对称轴是抛物线的对称轴，可以通过顶点来确定。
对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其中a>0，对称轴的方程为x=ℎ，其中 $h=-\\frac{b}{2a}$ 为顶点的横坐标。
5. 单调性二次函数的单调性表示函数在某个区间内的增减情况。
对于开口向上的二次函数y=ax2+bx+c，当a>0时，在对称轴两侧，抛物线是开口向上的，函数是单调递增的。
高考数学中的二次函数图像与性质总结
高考数学中的二次函数图像与性质总结二次函数是高中数学中最重要的一章之一，也是高考数学中出现频率最高的知识点之一。
二次函数是关于自变量的二次多项式，其一般式为：$ y=ax^2+bx+c $。
本文将从二次函数的图像以及性质两个方面进行总结。
一、二次函数图像二次函数的图像是一个通常被称为“开口”的抛物线。
其开口的方向、顶点、轴线等均与函数中的系数有关。
1、开口方向：当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。
在解决应用问题时，我们需要根据问题中的实际含义来确定开口方向。
2、顶点：二次函数的图像上有一个最高点或最低点，被称为顶点。
顶点坐标为 $ ( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} ) $ ，其中 $ \Delta =b^2-4ac $ 称作判别式。
当 $ \Delta > 0 $ 时，二次函数有两个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有两个交点，顶点处为最低点或最高点；当 $ \Delta = 0 $ 时，二次函数有一个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有一个交点，顶点处在此时的交点处；当 $ \Delta < 0 $ 时，二次函数无实数根，此时抛物线与 $ x $ 轴没有交点，顶点处为反比例函数的最高点或最低点。
在实际问题中，顶点常常代表着最优解，需要我们加以研究。
3、对称轴：在二次函数的图像中，顶点是对称轴的中心点。
对称轴的方程为 $ x = -\frac{b}{2a} $。
在实际问题中，通过对称轴我们可以更好的分析函数的性质，例如计算函数的最值、判断函数的增减性等。
二、二次函数性质二次函数的性质多种多样，常常被用于实际问题中的优化模型以及图像的分析。
本文将从函数的零点、单调性、极值、函数值域四个方面进行总结。
1、零点：二次函数的零点是指函数图像与 $ x $ 轴相交的点。
我们可以通过化二次函数的标准式、配方法和公式法等多种方法求得函数的零点。
二次函数高中
二次函数（高中）二次函数的概念：一般地，形如 （a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而 ；当2b x a>-时，y 随x 的增大 而 ；当2b x a=-时，y 有最小值 ． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当2b x a <-时，y 随x 的增大而 ；当2b x a>-时 y 随x 的增大而 ；当2b x a =-时，y 有最大值 ． 二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． ★总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． ★总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．二次函数与一元二次方程以及一元二次不等式1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）① 当240b ac ∆=->时② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.根与系数的关系 ⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。
高中数学二次函数知识点总结
高中数学二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二次函数的基本知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、基本定义与性质1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
a称为二次函数的二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
2. 基本性质：a) 对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，它通过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过x = -b/2a来确定。
b) 顶点：二次函数的顶点是抛物线上最高或最低的点，它对应于函数的最值。
顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
c) 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
二、图像与轨迹1. 抛物线的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其形状、开口方向和位置由函数的系数决定。
a) 当a > 0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；b) 当a < 0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；c) 若a的绝对值较大，则抛物线较为扁平，开口较为宽；d) 若a的绝对值较小，则抛物线较为狭长，开口较为窄。
2. 轨迹与参数：通过调整二次函数的系数可以改变抛物线的形状和位置，从而得到不同的轨迹。
a) a的变化：改变a的值可以使抛物线的开口方向和形状发生变化；b) b的变化：改变b的值可以使抛物线在x轴方向上发生平移，即改变对称轴位置；c) c的变化：改变c的值可以使抛物线在y轴方向上发生平移，即改变抛物线在y轴上的截距。
三、二次函数的解析式1. 一般式：二次函数的一般式形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
a) 一般式可以直观地表示二次函数的系数和常数项，并可用于进行系数之间的比较和运算；b) 一般式中的a不等于0，通过a的正负可以确定抛物线的开口方向。
二次函数重要知识点归纳
二次函数重要知识点归纳二次函数是高中数学中的重要内容，下面是关于二次函数的重要知识点的归纳。
1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
2.二次函数的图象特点：二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向由二次函数的系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3.二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（当a>0时）或最高点（当a<0时）。
顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
4.二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的直线，其方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图象与x轴的交点。
可以通过解二次方程ax² + bx + c = 0来求得二次函数的零点。
6. 二次函数的判别式：对于二次函数ax² + bx + c，判别式的值为D = b² - 4ac。
判别式的值可以用来判断二次函数的零点情况。
当D > 0时，二次函数有两个不相等的实数根；当D = 0时，二次函数有两个相等的实数根；当D < 0时，二次函数没有实数根。
7.二次函数的最值：当a>0时，二次函数的最小值为函数的顶点值；当a<0时，二次函数的最大值为函数的顶点值。
可以通过求解二次方程f'(x)=0来找到最值点。
8. 二次函数的平移：对于一般式为f(x) = ax² + bx + c的二次函数，横向平移h个单位和纵向平移k个单位后的函数为f(x-h) + k。
9. 二次函数的因式分解：对于一般式为f(x) = ax² + bx + c的二次函数，若可以因式分解成f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)的形式，则x₁和x₂为f(x)的零点。
10. 二次函数的导数：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其导数f'(x) = 2ax + b。
二次函数公式
二次函数公式二次函数是高中数学中的重要概念，是一种具有一次项、常数项和平方项的函数。
它的一般形式表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c分别表示二次函数的系数。
一、二次函数的图像特征二次函数的图像是一条平滑的曲线，具有以下特点：1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a>0，则二次函数的图像开口向上；若a<0，则二次函数的图像开口向下。
2. 零点：二次函数的零点是指函数的图像与x轴相交的点。
要求二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法。
3. 最值：二次函数的最值是指函数的图像的最高点或者最低点。
对于开口向上的二次函数，最值是函数的最低点，即顶点；而对于开口向下的二次函数，最值是函数的最高点，即顶点。
二、二次函数的顶点形式除了一般形式，二次函数还可以表示为顶点形式。
顶点形式的二次函数可以更直观地体现出函数的顶点坐标。
1. 顶点坐标：顶点坐标可以通过将一般形式的二次函数转化为完全平方形式来得到。
完全平方形式是指将一般形式的二次函数通过平移和伸缩变换后化简得到的形式。
2. 顶点坐标的求法：顶点坐标可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)y = f(x)三、二次函数的相关性质除了图像特征和顶点形式，二次函数还具有以下相关性质：1. 对称轴：二次函数的对称轴是指函数图像关于一个直线对称的轴线。
对称轴的方程可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)2. 对称性：二次函数的图像是关于对称轴对称的，即对于任意x值，函数图像在对称轴两侧的y值相等。
3. 判别式：二次函数的判别式可以通过以下公式求得：Δ = b^2 - 4ac判别式Δ可以判断二次函数的解的情况。
当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ<0时，二次函数没有实根。
结语二次函数是数学中的重要概念，掌握了二次函数的公式和相关性质，对于解决实际问题和理解数学原理都非常有帮助。
二次函数相关知识点
二次函数相关知识点二次函数是高中数学中一个重要的内容，它常用于描述实际问题中的关系。
本文将通过分析二次函数的特点和相关知识点，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的定义二次函数是指以x的二次幂为最高次项的函数，一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别为实数且a≠0。
二次函数通常在坐标平面上表示为抛物线，其开口方向和抛物线的顶点位置与系数a的正负有关。
二、二次函数的图像抛物线是二次函数的图像特点，它可以向上或向下开口，具体取决于系数a的正负。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
抛物线的顶点是二次函数的重要特征点，也是二次函数图像的最低或最高点。
顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为f(-b/2a)。
通过顶点的坐标可以进一步了解二次函数的对称性和位置。
三、二次函数的性质1. 对称性：由于抛物线是关于y轴对称的，所以二次函数具有对称性。
对于f(x) = ax^2 + bx + c，若将x坐标取反，函数值不变，即f(-x) = f(x)。
2. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。
二次函数的零点可以通过解一元二次方程获得。
当一元二次方程有实数解时，抛物线与x轴有交点；当一元二次方程无实数解时，抛物线与x轴无交点，零点只存在于复数领域。
3. 平移变换：二次函数可以通过平移进行变换，分别沿x轴和y轴平移。
沿x轴平移时，函数的顶点横坐标随之改变，沿y轴平移时，函数的整体位置上下移动。
四、二次函数的应用二次函数的应用广泛，特别是在物理学和经济学等实际问题中。
以下举几个例子：1. 抛物线轨迹：物体受到重力作用下落的轨迹通常可以用二次函数进行描述。
通过二次函数可以分析物体的运动状态，如最高点、最远距离等。
2. 利润最大化：某企业生产某种产品，其总成本和总收益分别可以表示为二次函数。
通过求解该二次函数的极值点，可以找到最大利润对应的产量。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，其知识点涉及函数的定义、性质、图象、解析式、应用等。
下面是对二次函数知识点的总结。
一、函数的定义和基本性质：二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c 为实数，a称为二次函数的系数。
①定义域：二次函数的定义域是任意实数集R。
②值域：对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，函数的值域是[0,+∞)，当a<0时，函数的值域是(-∞，0]，当a=0时，函数的值域是{c}。
③对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线x=-b/2a。
④顶点：二次函数的顶点是对称轴上的点(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
⑤开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二、图象和性质：①图象特点：二次函数在平面直角坐标系内的图象是一个抛物线。
②定点：二次函数开口向上时，顶点是最小点；二次函数开口向下时，顶点是最大点。
③与坐标轴的交点：二次函数与x轴的交点叫做零点，是方程ax^2+bx+c=0的解；与y轴的交点是函数的常数项c。
④单调性：二次函数的单调性受其系数a的符号影响。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
⑤零点与解析式：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过求解方程ax^2+bx+c=0得到，其中的判别式Δ=b^2-4ac可以判断二次方程的解的情况。
三、解析式和变形：①标准形式：二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c。
②顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
③因式分解式：当二次函数可因式分解时，可以表示成y=a(x-p)(x-q)的形式。
四、一些常见问题和解法：①如何确定二次函数的开口方向和顶点：若a>0，则开口向上，顶点为抛物线的最小值；若a<0，则开口向下，顶点为抛物线的最大值。
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y
图中的(
y
D
)
0
x
y
y
A
0
x
C
0
x
D
0
x
B
2、在区间[-4，-1]上函数
f(x)=-x2+px+q与g(x)=x+4/x同时取 到一样的最大值，求在该区间上函 数f(x)的最小值____
• 3、函数f(x)=4x2－mx+5在区间 [－2,+∞)上是增函数，则f(1)的取 值范围是( A)
• A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
c 2
)2+
3 4
c2]
∵a>b>c a+b+c=0 ∴a>0 c<0
∴△>0 ∴两函数图象交于两个不
同点。
（2）设方程两个根分别为x1,x2 则|A1Bx11|+2==x((2-x=21a-+b)x22a2-b)42a-c4=x1x4b2x21ax242a=c
c a
[( = 4(ac)2 4ac a2
③若a2-b≤0则f(x)在区间[a,+∞)上是 增 函数
④f(x)的最大值|a2-b|其中正确的序号是 _____
4.已知二次函数f(x)同时满足条件： • ⑴f(1+x)=f(1－x)； • ⑵f(x)的最大值为15； • ⑶f(x)=0的两根立方和等于17， • 求f(x)的解析式。
待定系数法
5.已知二次函数f(x)的定义域为R， f(1)=2，在x=t处取得最值， 若y=g(x)为一次函数，且 f(x)+g(x)=x2+2x－3。
• ⑴求f(x)的解析式； • ⑵若x∈［－1,2］时f(x)≥－1恒成立，
求t的取值范围。
6、老师给出一个函数f(x)，四个学生 甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个 性质： 甲：对于x∈R，都有f(1+x)=f(1－x)； 乙：在（－∞，1］上函数递减； 丙：在（－∞，1）上函数递增； 丁：f(0)不是函数的最小值。 如果其中恰有三个说的正确，请写出一 个这样的函数_______________。
ax2+bx+c>0(a> 0)的解集
x<x1或x>x2 x≠－b/2a
R
一元二次不等式
ax2+bx+c<0(a> 0)的解集
x1<x<ຫໍສະໝຸດ 2ΦΦ• 1.y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图
象只可能是( )D
y
y
0
x
y
y
A
0
x
B
0
x
0
x
C
D
• 变：两个二次函数f(x)=ax2+bx+c
与(x)=bx2+ax+c的图象只可能是
=4
a>b>c a+b+c=0
c a
1 2
)
变：若二次函数f1(x)=a1x2+b1x+c1 和f2(x)=a2x2+b2x+c2，使得f1(x)－ f2(x)在［1,2］上是单调减函数， 且在［1,2］上有最大值5和最小值 3。请写出一组满足上述要求的二 次函数：
f1(x)=_________,f2(x)=_______
• 7.已知实数a、b、c，函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b，当
• ⑴求证：两个函数的图象交于不同的 两点A、B；
• ⑵求线段AB在x轴上的射影A1B1之长
的取值范a 围b。 c a b c
0
2
c a
1 2
解： (1) y=ax2+bx+c
∴ax2+bx+c=-3x
y=-bx
ax2+2bx+c=0①
△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac
=4[(a+
• －1≤x≤1时|f(x)|≤1. • ⑴证明：|c|≤1； • ⑵证明：当－1≤x≤1时|g(x)|≤2； • ⑶设a＞0，当－1≤x≤1时g(x)的最大
值为2，求f(x)。
二次函数在区间上的最值
• 例1求函数y＝x2―2ax―1在 ［0,2］上的值域。 分类讨论
• 变：已知函数f(x)=x2+ax+3－a， 若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立， 求实数a的取值范围。
高考数学复习 强化双基系列课件
08《二次函数》
基础知识
• 1、二次函数的解析式（待定系数法） • ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
• ②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中 (h,k)为抛物线的顶点坐标。
• ③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－ x2)，a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两 交点的横坐标。
2、二次函数研究的四元素：
开口a；对称轴-b/2a；顶点；与
坐标轴的交点
1、配方法 2、顶点公式
(
b
, 4ac b2 )
3、对称代入法 2a 4a
1、与y轴的交点:(0,c) 2、与x轴的交点：y=0时， 转化成一元二次方程
3、二次函数的相关量 1）单调性的相关量：开口；对称轴 2）最值注相：关以量静制：动 10定义域R： 20定义域[m,n]： 3）对称轴相关量： 10:对称轴x=-b/2a 20:f(a)=f(b)(a≠b)对称轴x=(a+b)/2
注：方程、不等式问题等价转化 图形问题 等价转化简单不等式组
Δ= b2－4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 f(x)=ax2+bx+c
(a>0) 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)的根
有相异两
实根x1,x2 (x1<x2)
有相等两实 根x1＝ x2 没有实根 ＝－b/2a
一元二次不等式
变1：函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1对 任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立， 若当x∈[-1，1]时，f(x)>0,则b的 范围？
变2：函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出 下列命题：
①f(x)必是偶函数
②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于x=1 对称
4）二次方程、二次不等式 10与x轴的交点坐标是方程f(x)=0的 实根，它在x轴上的线段长为
| x1 x2 |
(x1
x2 )2
4x1x2
|a|
20突现函数图象，研究二次方程 ax2+bx+c=0的根的分布问题：
①二次项系数a的符号； ②判别式的符号； ③区间端点函数值的正负； ④对称轴x=－b/2a与区间端点的关系
等价于f(x)在[-2,2]的最值大于等于0
• 若x≥0,y≥0,且x + 2y＝1，则2x + 3y2的最小值为（ ）B
• A.2
B.3/4
• C.2/3
D.0
• 例2、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和 一次函数g(x)= －bx,其中a、b、c满 足a>b>c，a+b+c=0(a、b、c∈R).