整式恒等变形一览
整式恒等变形
第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程题型一 因式分解基础夯实【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型二 不定方程【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则ba的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)5、三元四次：(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a26、二元n次：(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)7、n元二次：(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值．【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．(1)求ab＋bc＋ca的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝83，(1)求abc的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲课后作业【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．的值．【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。
初中联赛题型解读一：整式与恒等变形
联赛题型解读（一）——整式与恒等变形左右。
而代数的基础便是整式,其中乘法公式、因式分解以及恒等变形,为代数提供了丰富的知识和技巧。
下面我们通过统计近16 年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对整式的考察才会计入分值统计）,帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。
总结这几年来初中数学联赛对整式的考察,整式一般会考察2道题左右,考察的分值最高达到41 分（3 道一试题外加 1 道二试题）,而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟随几年的低峰。
我们可以认为在接下来的一两年内,会在一试中进行2 题左右的考察。
而且近三年的趋势就是这一块的内容有加强考察的趋势,说明这方面的能力要求在提升。
恒等变形的技巧贯穿了整个代数,可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。
整式中的知识大体来说包含了：乘法公式,因式分解及恒等变形,三个部分,这里简单的介绍前两个部分的基础知识。
1.乘法公式这里介绍常用的八个乘法公式：（1）平方差：a2 -b2 =(a +b)(a -b)；⎣⎦（2） 平方： (a ± b )2= a 2 ± 2ab + b 2 ；（3） 三元完全平方： (a + b + c )2= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ；（4）a 2 +b 2 +c 2 ± ab ± bc ± ca = 1 ⎡(a ± b )2 + (b ± c )2 + (c ± a )2⎤ ； 2 （5） 和（差）的立方： (a + b )3= a 3 + b 3 + 3ab (a + b );(a - b )3= a 3 - b 3 - 3ab (a - b )；（6） 立方和（差）： a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ); a 3 - b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )；（7）（8） a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca )-a 4 - b 4 - c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2= (a + b + c )(a + b - c )(b + c - a )(c + a - b )2. 因式分解简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午；（2） 公式法： x 6 - y 6 = (x 3 + y 3 )(x 3 - y 3 ) = (x + y )(x - y )(x 2 + xy + y 2 )(x 2 - xy + y 2 )； （3） 分组分解法： ax + ay + bx + by = a (x + y ) + b (x + y ) = (a + b )(x + y ) ； （4） 十字相乘:二次三项式 abx 2 + (ad + bc ) x + cd = (ax + b )(cx + d ) ；（5） 双十字相乘：选定两个二次三项式进行十字相乘；分步两次十字相乘大致相同； （6） 拆项天项: a 4 + a 2b 2 + b 4 = a 4 + 2a 2b 2 + b 4 - a 2b 2 = (a 2 + ab + b 2 )(a 2 - ab + b 2 ) ; （7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单；（8） 主元法：多字母的代数式,可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解； （9） 因式定理：多项式 f (x ) ,当 x = a 的时候 f (a ) = 0 ,则 f ( x ) 有因式 x - a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x 、y 、z 的轮换式有因式 x - y ,则其有因式(x - y )( y - z )(z - x )前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握,后 2 种有兴趣有精力的学生可以选择性的进行学习。
L15-S-整式与分的恒等变形
������ ± ������ = (������ ± ������)(������ ∓ ������������ + ������ ) ������ + ������ + ������ − 3������������������ = (������ + ������ + ������)(������ + ������ + ������ − ������������ − ������������ − ������������)
������ + ������ + ������ ± ������������ ± ������������ ± ������������ =
1 1 1 ������������ + ������������ + ������������ = [(������ + ������ + ������) − ������ − ������ − ������ ] = (������ + ������ + ������) − [(������ − ������) + (������ − ������) + (������ − ������) ] 2 3 6
解：(1)原式= ������ − 2 ∙ ������ ∙ 2 + 2 − 9 = (������ − 2) − 3 = (������ − 2 + 3)(������ − 2 − 3) = (������ + 1)(������ − 5) (2)原式= (������ − 4������ + 4) + (������ + 6������ + 9) + 5 = (������ − 2) + (������ + 3) + 5 ∴ 当������ = 2, ������ = −3 时，原式取最小值 5 (3)原式= ������ − 2(������ + 1)������ + (������ + 1) − (������ + 1) + 2������ − 4������ + 27 = (������ − ������ − 1) − ������ − 2������ − 1 + 2������ − 4������ + 27 = (������ − ������ − 1) + ������ − 6������ + 9 + 17 = (������ − ������ − 1) + (������ − 3) + 17 ∴当 ������ = 4 ������ − ������ − 1 = 0 即 时 ������ = 3 ������ − 3 = 0
初中代数中常用恒等变换
初中代数中常用恒等变换
初中代数中常用的恒等变换有以下几种：
1. 同加同减；
2. 因式分解；
3. 同乘同除；
4. 移项变形；
5. 平方公式；
6. 变量代换。
其中，同加同减指在两边同时加上或减去相同的数，以消去等式
中的某一项；因式分解指将多项式分解成可约分的各项，进一步简化
计算；同乘同除指在等式两边同时乘上或除以相同的数，以使等式中
某一项系数更简单；移项变形是将等式中的某一项移到等式的另一边，以改变该项的正负；平方公式是将某些常见二次式转化为平方形式，
使计算更简单；变量代换是将某个变量替换为常数或另一变量，以改
变等式的形式。
恒等变形知识点总结
恒等变形知识点总结恒等变形是指根据等式的性质和算术运算的性质，将一个等式变形成另一个等式的过程。
在变换的过程中，通过适当的运算，将等式的两侧转变成相同的表达式。
首先，我们来看一下恒等变形的基本原则，它包括以下几个方面：1. 相等的两个数（对象）可以相互规约。
2. 等式的两边加(或减)相等的数(或算式)仍相等。
3. 等式的两边同乘(或同除)一个不为零的数(或数的倒数)仍相等。
4. 在等式中引进(或去除)平方根，绝对值符号对方程做平方根变形，只有当两边都为非负数时，该等式才成立。
这些基本原则是我们进行恒等变形时需要牢记的，只有在遵守这些原则的前提下，我们才能正确进行恒等变形。
在进行恒等变形时，我们通常会用到一些基本的代数运算，例如加减法、乘除法、开平方、平移等，这些运算在恒等变形中起着非常重要的作用。
接下来，我们来看一些常见的恒等变形的方法和技巧。
1. 加减法变形加减法变形是指用等于同一个数的两个数互换位置，并相加或相减，来得到一个新的等式。
例如：a +b =c 和 a = c - b这里，我们可以将第一个等式两边分别减去b，得到新的等式 a = c - b。
通过这个例子，我们可以看出，加减法变形是一种常见且有效的恒等变形方法，它可以帮助我们将一个复杂的等式化简成一个简单的等式。
2. 乘除法变形乘除法变形是指用等于同一数的两个数相除或相乘，得到新的等式。
例如：ab = c 和 a = c/b这里，我们可以将第一个等式两边都除以b，得到新的等式a = c/b。
通过这个例子，我们可以看出，乘除法变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。
3. 平方根变形平方根变形是指用等于同一数的两个数同时开平方，得到新的等式。
例如：a^2 = c 和a = √c这里，我们可以将第一个等式两边同时开平方，得到新的等式a = √c。
通过这个例子，我们可以看出，平方根变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。
4. 移项变形移项变形是指将等式中的某一项移到等式的另一侧，得到新的等式。
整式的恒等变形精品讲义
整式的恒等变形1. 乘法公式也叫作简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
⒉ 基本公式就是最常用、最基础的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式：()()22a b a b a b +-=-． 立方和（差）公式：()()2233a b a ab b a b ±+=±．⒊ 公式的推广：①多项式平方公式：()22222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：()3322333a b a a b ab b ±=+±()4432234464a b a a b a b ab b ±=±+±+()554322345510105a b a a b a b a b ab b ±=±+±+±…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式()()322344a b a a b ab b a b +-+-=-()()43223455a b a a b a b ab b a b +-+-+=+()()5432234566a b a a b a b a b ab b a b +-+-+-=-…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数()()2122232222122n n n n n n n a b a a b a b ab b a b -----+-+-+-=-()()2212222122121n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ---+++-+--+=+类似地： ()()123221n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ------+++++=-⒋ 公式的变形及其逆运算由()2222a b a ab b +=++得()2222a b a b ab +=+-由()()3322333333a b a a b ab b a b ab a b +=+++=+++得()()3333a b a b ab a b +=+-+ 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 n n a b -能被a b -整除， 2121n n a b +++能被a b +整除，22n n a b -能被a b +及a b -整除。
七年级(上)数学自招班--第7讲 整式恒等变形 学生版
【例1】 已知1a b c ++=，224610b c ac c +-++=，求abc 的值．【例2】 已知23470x x +-=，求432611737x x x x +---的值．经典例题板块一 消元与降次7整式恒等变形【例3】 已知实数a b ，满足221a b +=，求44a ab b ++的最小值．【例4】 若x y a b +=+，且2222x y a b +=+，求证：2014201420142014x y a b +=+．经典例题板块二 乘法公式的变形【例5】 已知a 是实数，且使323320a a a +++=，求201220132014(1)(1)(1)a a a +++++的值．【例6】 若ABC △的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b c a a c =+-，44422c a b a b =+-，求ABC △的形状．经典例题 板块三 因式分解的运用【例7】 能将任意8个连续的正整数分为两组，使得每组四个数的平方和相等吗？如果能，请给出一种分组法，并加以验证；如果不能，请说明理由．【例8】 证明：()()()()33333a b b c c a a b c a b c +++=++---．【拓1】 已知a b c d ，，，，适合a b c d +=+，3333a b c d +=+．求证：2014201420142014a b c d +=+．【拓2】 已知7ax by +=，2249ax by +=，33133ax by +=，44406ax by +=，试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值.【拓3】 如果实数x ，y ，z 满足222()8x y z xy yz zx ++-++=用A 表示||x y -，||y z -，||z x -的最大值，求A 的最大值．思维拓展【拓4】 证明恒等式：()()2444222a b a b a ab b +++=++．【拓5】 设x ，y ，z 是实数，并且满足0x y z ++=，2xyz =，求x y z ++的最小值．【拓6】 求证：()()()()()()3332223222x y z y z x z x y x y z y z x z x y +-++-++-=+-+-+-．习题1． 已知210x x +-=，求84711x x -+的值．习题2． 已知x 是实数，并且322210x x x +++=，求200820112014x x x ++的值习题3． 当1x y -=时，求43322433x xy x y x y xy y ---++的值．复习巩固习题4． 设0a b c ++=，2221a b c ++=．⑴ 求ab bc ca ++的值；⑵ 求444a b c ++的值．习题5． 若0a b c ++=，3330a b c ++=，求191919a b c ++的值．习题6． 若c 为正整数，并且a b c +=，b c d +=，d a b +=，求()()()()a b b c c d d a ++++的最小值．。
整式运算公式的变形
整式运算公式的变形1.合并同类项与提取公因式：在一个多项式中，如果两个或多个项的字母部分相同，则称它们为同类项。
同类项的系数可以进行加减运算。
例如，将2x+3x进行合并变形可以得到5x。
此外，还可以通过提取公因式的方法进行变形，例如将2x+4进行提取公因式变形为2(x+2)。
2.分配律：对于两个整式的乘积，可以通过分配律将其转化为两个整式的乘积之和。
例如，(3x+2)(4x+1)可以通过分配律变形为3x(4x+1)+2(4x+1)，然后再进行进一步的合并同类项变形。
3.乘法公式与平方差公式：针对特定的乘法运算，可以通过乘法公式或平方差公式进行变形。
例如，(x+2)(x-3)可以变形为x^2-3x+2x-6，然后再进行进一步的合并同类项变形。
4.除法公式与分式运算：在整式的除法运算中，可以利用除法公式将除法转化为乘法。
例如，将(x^2-1)/(x+1)进行除法公式变形可以得到(x+1)(x-1)/(x+1)，然后再进行约分或合并同类项变形。
5.幂运算与指数化简：在整式的幂运算中，可以利用指数法则对指数进行化简。
例如，(x^2)^3可以通过幂运算的性质变形为x^(2*3)，再进行进一步的乘法运算。
6.代数恒等式：在代数运算中，可以利用一些代数恒等式对整式运算公式进行变形。
例如，利用二次恒等式a^2-b^2=(a+b)(a-b)，可以将x^2-4进行变形为(x+2)(x-2)，然后再进行进一步的合并同类项变形。
总结起来，整式运算公式的变形是在运用整式的基本运算法则的基础上，根据具体的运算需求选择合适的变形方法，将给定的整式运算公式进行简化、合并同类项、提取公因式、利用分配律、乘法公式与平方差公式、除法公式与分式运算、幂运算与指数化简、代数恒等式等变形，从而得到更简洁明了或更实用的结果。
第13讲 整式恒等变形
第十三讲整式恒等变形知识模块一、降次与消元知识梳理：通过已知等式变形后代入需求的代数式中，可以将所求表达式进行降次或消元使复杂代数式得到化简，例如：已知x2−x−1=0，可将等式变形为x2=x+1，将其代入所有x的次数不低于二次的项中，从而达到降次目的。
例1．（1）若3x3−x=1，求9x4+12x3−3x2−7x+2013的值；（2）已知a3+2a=−2，求3a6+12a4−a3+12a2−2a−4的值；（3）已知x2+x−1=0，求x8−7x4+11的值。
例2．已知a、b、c都是正整数，并且a+b+c=55，a−bc=−8，求abc的最大值及最小值。
知识模块二、配方法知识梳理：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
重要性质：平方式的非负性常可通过配方法，得到非负的完全平方式求解不定方程、做差比较大小、求解代数式的最值。
例3．（1）若m2+n2+6n−4m+13=0，则(m+n)2017= ；（2）已知a2b2+a2+b2+10ab+16=0，求a2+b2的值；（3）已知14(b−c)2=(a−b)(c−a)且a≠0，求b ca+的值。
例4．（1）若A=x2+4xy+y2−4，B=4x+4xy−6y−25，试比较A、B的大小关系。
（2）若x≠y，则x4+y4x3y+xy3(填“>”或“<”)例5．阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2−2a+5的最小值。
方法如下：a2−2a+5=a2−2a+1+4=(a−1)2+4，由(a−1)2≥0，得(a−1)2+4≥4，代数式a2−2a+5的最小值是4。
（1）仿照上述方法求代数式x2+6x−5的最小值；（2）代数式−a2−4a+10有最大值还是最小值?请用配方法求出这个最值。
例6．（1）求代数式(a+2b)2+(a−1)2+(b−1)2−7的最小值；（2）已知实数a、b满足a2+b2=1，试求a4+a2b2+b4的最大值和最小值。
整式恒等变形一览
整式恒等变形一览 The following text is amended on 12 November 2020.初中数学中的整式恒等式一览表草根雾岩@初中理科班数学学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！【1】 在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同难度要求对恒等式进行分类.【课内涉及的恒等式】（1）平方差公式()()22a b a b a b +-=-()()22a b a b b a ---=-（2）完全平方和、差公式222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+（3）平方和与完全平方和差的关系()2222a b a b ab +=+-()2222a b a b ab +=-+（4）完全平方和差的关系()()224a b a b ab +--=()()()22222a b a b a b ++-=+（5）三项和完全平方公式()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++（6）两项轮换差的完全平方和()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦ （7）十字相乘法()()()2x p x q x p q x pq ++=+++（8）分组分解法()()ax by ay bx a b x y +++=++【自招中涉及的公式】（1）立方和、差公式2233()()a b a ab b a b +-+=+2233()()a b a ab b a b -++=-（2）完全立方和、差公式33223()33a b a a b ab b +=+++33223()33a b a a b ab b -=-+-（3）立方和差与完全立方和差的关系()()3333a b a b ab a b +=+-+()()3333a b a b ab a b -=-+-（4）杨辉三角()554322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ()554322345510105a b a a b a b a b ab b -=-+-+-（5）四项和完全平方公式()22222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++【几个比较有名的配方公式】（1）()()()()()()22222222a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc ++=++-=-++ 这是着名的菲波那切（Fibonacci ，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二元柯西不等式. （2）()()2444222a b a b a ab b +++=++（3）()()()222222111n n n n n n +⋅+++=++（4）()()()2224444222242a b c d abcd a b c d ab cd +++-=-+-+-该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）()()()()22123131x x x x x x ++++=++该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数.（6）()()()()()22222223122a b b c c a a b c a b c -+-+-=++-++ 一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式.（7）()()44222242222n k n nk k n nk k +=++-+双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一切整数1n >，441n +及44n +都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach ，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain ，1776--1831）定理【2】.当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t 的数。
整式恒等变形
第8 讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝____________ 【例1】（第14 届“希望杯”邀请赛试题练1】（1990 年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7 的值．题型二整体代入消元法【例2】（第14届希望杯1 试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值．【练2】当x－y＝1 时，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值．题型三换元法强化挑战【例3】化简（y＋z－2x）2＋（z＋x－2y）2＋（ x＋y－2z）2－3（y－z）2－3（x－y）2－3（x－z）2．【练3】已知x，y，z 为有理数（y－z）2＋（z－x）2＋（x－y）2＝（y＋z－2x）2＋（x＋z－2y）2＋（x＋y－2z）2，求yz 1 zx 1 xy 1 的值．x2 1 y2 1 z2 1模块二题型一恒等变形→因式分解与不定方程因式分解基础夯实【例4】（1）已知a5－a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3的值等于（2）若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝______________ ．【练4】（1）若x满足x5＋x4＋x＝－1则x＋x2＋x3＋⋯＋x2012＝______________ ．（2）已知15x2－47xy＋28y2＝0，求x的值．y强化挑战【例5】已知：a、b、c 为三角形的三条边，且a2＋4ac＋3c2－3ab－7bc＋2b2＝0，求证：2b＝a＋c．练5】（1）在三角形ABC 中，a2－16b2－c2＋6ab＋10bc＝0，其中a，b，c 是三角形的三边，求证：a＋c ＝2b．(2)已知△ ABC 三边a、b、c，满足条件a2c－a2b＋ab2－b2c＋c2b－ac2＝0，试判断△ ABC 的形状，并说明理由．题型二不定方程【例6】(1)方程xy－2x－2y＋7＝0 的整数解(x≤y)为_____________ ．(2)已知a> b> c≥0，求适合等式abc＋ab＋ac＋bc＋a＋b＋c＝2011 的整数a，b，c的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm，它的两边长x，y 均为整数，且满足x－y－x2＋2xy－y2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm，两边长为xcm、ycm，且x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．例7】(2000 年联赛)实数x，y 满足x≥y≥1 和2x2－xy－5x＋y＋4＝0，则x＋y＝_________2练7】当x 变化时，分式3x 6 x 5的最小值是 ___________________1 x2 x 12模块三恒等变形→配方法【例8】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y．练8】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y．例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．例10】已知实数a、b、c 满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则b的值等于a练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝__________模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：（1）（a＋b）（a－b）＝．2 ____________________ （2）（a－b）2＝．2、三元二次：（3）（a＋b＋c）2＝_____ ．222（4）a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ __ ．3、二元三次：3（5）（a＋b）3＝___________ ．（6） ___________________a3＋b3＝．4、三元三次：（7）（a＋1）（b＋1）（c＋1）＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1（8）（a＋b）（b＋c）（c＋a）＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc2 2 2 2 2 2（9）（a＋b＋c）（ab＋bc＋ca）＝a b＋b c＋c a＋ab ＋bc ＋ca ＋3abc（10）a3＋b3＋c3－3abc＝（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2－ab－bc－ca）5、三元四次：3 4 4 2 2 2 2 2 2（11）（a＋b＋c）（a＋b－c）（b＋c－a）（ c＋a－b）＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a2 6、二元n 次：（12）a n－b n＝（a－b）（a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋⋯＋ab n－2＋b n－1）（13）a n＋b n＝（a＋b）（a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋⋯－ab n－2＋b n－1）（n 为奇数）7、n 元二次：（14）（ a1＋a2＋⋯＋a n）2＝a12＋a22＋⋯＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋⋯＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋⋯＋2a n－1a n．2 2 1 2 2（15）a1 ＋⋯＋a n ＋a1a2＋⋯＋a1a n＋a2a3＋⋯＋a2a n＋⋯＋a n－1a n＝[（a1＋a2）＋⋯＋（a n－1＋a n） ]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y 满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值．2【练11】（第6 届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995（ x 17 ＋y）＋6xy－（ a＋b）的值．2例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝__________________【例13】（2009 年北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．（1）求ab＋bc＋ca 的值；（2）求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝8，3 （1）求abc 的值；（2）求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x 2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013第8 讲课后作业习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11 的值．习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc 的值．习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m（）A ．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数习4】正整数a、b、c 是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有（） A．1 个B．2个C．3 个D．4 个习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值（）A ．恒正B ．恒负C．可正可负 D ．非负习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．2 2 2 2习7】已知实数a、b、x、y 满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值．习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．习9】（1999 年北京市初二数学竞赛）若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010 的值．习10】（第18 届希望杯初一）有理数a，b，c 满足a：b：c＝2：3：5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．【习11】（十八届希望杯初二二试）已知a1，a2，a3，⋯，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝（a1＋a2＋⋯＋a2006）（a2＋a3＋⋯＋a2007），N＝（ a1＋a2＋⋯＋a2007）（a2＋a3＋⋯＋a2006），试比较M、N 的大小．习12】（2013 年联赛）已知实数x，y，z 满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝____________ 习13 】（2013 年竞赛）已知正整数a、b、c 满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc 的最大值为习14】（2001年联赛）求实数x，y 的值，使得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋（2x＋y－6）2达到最小值．。
七年级(上)数学自招班--第7讲 整式恒等变形 教师版
a
a
b
c
a
2
b
c
b2
bc c2
b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a2 ab ac a2 b2 bc c2
b c3a2 3ab 3bc 3ca
3b ca bc a
左边．
思维拓展
【拓1】 已知 a ，b ，c ，d ，适合 a b c d ， a3 b3 c3 d 3 ．求证： a2014 b2014 c2014 d 2014 ． 【解析】⑴ 若 a b c d 0 ，则 a b ，c d ，
7
整式恒等变形
板块一 消元与降次
经典例题
【例1】 已知 a b c 1， b2 c2 4ac 6c 1 0 ，求 abc 的值． 【解析】∵ a b c 1，∴ a 1 b c ，
∴ b2 c2 41 b cc 6c 1 0 ，
∴ b2 5c2 4bc 2c 1 0 ，
2
c2 a2
2 0．
2 七年级数学自招班·第 7 讲·教师版
所以 a2 b2 c2 ，即 a b c ． 所以 △ABC 为等边三角形．
【例7】 能将任意 8 个连续的正整数分为两组，使得每组四个数的平方和相等吗？如果能，请给出一 种分组法，并加以验证；如果不能，请说明理由．
【解析】 能 设任意八个连续的正整数为 a ， a 1， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ． 分它们为如下两组： a 1，a 2，a 4，a 7 ， a，a 3，a 5，a 6 即满足要求． 验证如下：
【例8】 证明： 3a bb cc a a b c3 a3 b3 c3 ．
【解析】 本题可以把两边展开，只要计算没有错误，肯定两边运算结果是相同的，从而达到证明的目 的，但这样运算繁琐，不妨利用因式分解证明。
初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形
初一数学竞赛系列讲座()整式的恒等变形一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。
3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：①() ()② (±)±③ () ()④ () ()⑤ ()⑥ () ()⑦ (±) ± ±4、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。
5、余数定理多项式除以 () 所得的余数等于。
特别地时，多项式能被() 整除二、例题精讲例在数，，，…，前添符号“”和“”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“”解因…是一个奇数，又在，，，…，前添符号“”和“”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于。
先考虑四个连续的自然数、、、之间如何添符号，使其代数和最小。
很明显 ()()()所以我们将，，，…，中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即()() ()… ()故所求最小的非负数是。
例计算 ()•()分析计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。
解法原式评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用分离系数法计算时，多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上。
解法⨯)所以，原式例求() ()展开式中的系数解的系数⨯() ⨯ ()() ⨯评注：只要求的系数，并不需要把展开式全部展开。
例计算 ()÷()分析整式除法可用竖式进行解–)所以，商式为––，余式为评注：用竖式进行整式除法要注意：(1)被除式和除式要按同一字母的降幂排列；(2)如被除式和除式中有缺项，要留有空位；(3)余式的次数要低于除式的次数；(4)被除式、除式、商式、余式之间的关系是：被除式除式⨯商式余式例计算 () ÷()分析对于除式是一次项系数为的一次多项式的整式除法可用综合除法进行。
06(整式的恒等变形)
初一数学巩固提高(6)整式的恒等变形一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。
3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：① (a+b) (a-b)=a2-b2② (a±b)2=a2±2ab+b2③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc⑦ (a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b34、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。
5、余数定理多项式()x f除以 (x-a) 所得的余数等于()a f。
特别地()a f=0时，多项式()x f能被(x-a) 整除二、例题精讲例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解因1+2+3+ (1998)()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。
先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。
很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非负数是1。
管理类联考数学核心考点精讲丨整式分式恒等变形求解
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管理类联考数学核心考点精讲丨整式分式恒等变形求解
整式分式恒等变形求解问题是管理类联考数学常考的题目，不管是多项式的乘法，还是多项式的因式分解，由于等式恒成立，故此类问题常用的方式特值代入法。
文都考研dudu汇总了典型例题，有需要的同学快来学习下吧。
特值代入法其实也是代数类题目的常见做题方法，特别是在求展开式的系数这类题型中，特值代入法则是更为好用、简便、快捷的方法。
其中心思想是字母为任意数字时，等式均是恒成立的，所以当我们代入特殊的值时，等式是成立的。
希望同学充分理解相关做题方法和步骤，并且在做题的过
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程中不能出现计算失误，否则功亏一篑。
希望同学们能够认真备考，这样才能在真正的考研时从容应对管理类联考。
考研选文都不当陪考族。
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初中数学中的整式恒等式一览表
草根雾岩
@初中理科班数学
学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们
进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！
【1】
在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同
难度要求对恒等式进行分类.
【课内涉及的恒等式】
（1）平方差公式
()()22a b a b a b +-=-
()()22a b a b b a ---=-
（2）完全平方和、差公式
222()2a b a ab b +=++
222()2a b a ab b -=-+
（3）平方和与完全平方和差的关系
()2
222a b a b ab +=+-
()2
222a b a b ab +=-+
（4）完全平方和差的关系
()
()2
2
4a b a b ab +--=
()()
()22
222a b a b a b ++-=+
（5）三项和完全平方公式
()
2
222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++
（6）两项轮换差的完全平方和
()()()222
22212a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=
-+-+-⎣
⎦ （7）十字相乘法
()()()2x p x q x p q x pq ++=+++
（8）分组分解法
()()ax by ay bx a b x y +++=++
【自招中涉及的公式】
（1）立方和、差公式
2233()()a b a ab b a b +-+=+
2233()()a b a ab b a b -++=-
（2）完全立方和、差公式
33223()33a b a a b ab b +=+++
33223()33a b a a b ab b -=-+-
（3）立方和差与完全立方和差的关系
()()3
333a b a b ab a b +=+-+
()()3
333a b a b ab a b -=-+-
（4）杨辉三角
()
5
54322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ()
5
54322345510105a b a a b a b a b ab b -=-+-+-
（5）四项和完全平方公式
()
2
2222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++
【几个比较有名的配方公式】
（1）()()()()()()2
2
2
2
2222a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc ++=++-=-++
这是着名的菲波那切（Fibonacci ，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二
元柯西不等式. （2）()()2
4
44222a b a b a ab b +++=++
（3）()()()2
2
2
222111n n n n n n +⋅+++=++
（4）()()()2
2
2
4444222242a b c d abcd a b c d ab cd +++-=-+-+-
该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）()()()()2
2123131x x x x x x ++++=++
该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数. （6）()()()()()2
2
2
2
2223122
a b b c c a a b c a b c -+-+-=
++-++ 一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式. （7）()()44222242222n k n nk k n nk k +=++-+
双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一
切整数1n >，441n +及44n +都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach ，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain ，1776--1831）定理【2】
.
当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t 的数。
【竞赛中常见的恒等式】 （1）()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---
()()()()222
12
a b c a b b c c a ⎡⎤=
++-+-+-⎣⎦
一个非常有名的“民间定理”，很多的竞赛题与它有关. 这个恒等式有很多称号，
小编还查不到不知道哪个是真的. 从它可以得到下面的恒等式：
()()()()
333
2
2
2
2
2
2
3
a b b c c a ab bc ca a b b c c a -+-+--++---=
从它还可以推出三项的均值不等式. （2）两项n 次方差公式 （Ⅰ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++（n 为正整数） （Ⅱ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b -----=+-++-（n 为正偶整数）
（Ⅲ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+（n 为正奇整数）
后两个公式都源于公式（Ⅰ），都是b 取b -后，公式（Ⅰ）分别在奇数次幂和偶
数次幂条件下展现的结果. 所以只要记住第一个公式就可以啦！ （3）()()()1111a b c abc ab bc ca a b c +++=+++++++
这个公式的多元推广形式可用于求正整数n 的所有正因数的和. 展开后的结果非
常好记忆. 它的姊妹就稍微难一点： （4）()()()1111a b c abc ab bc ca a b c ---=---+++-
（5）()()2222223a b c ab bc ca a b ab b c b a a a c c c b c ++++=++++++ （6）()()()2222222a b b c c a a b ab b c bc c a ca abc +++=++++++
上面这两个恒等式经常一起出现，它们只差一个abc ，常被用于证明一些有关分
式的条件恒等式. （7）()()()222222a b b c c a ab bc ca a b b c c a ---=++---
式子左边再乘以一些对称式（例如a b c ++、222a b c ab bc ca ++---）可以得到
一些很漂亮的结果. （8）()()()()444222222222a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a -++-++-++-=++--- 等式左边将来会出现在着名的“海伦公式”中.
（9）()()()1111n n n n n n αβαβαβαβαβ++--+=+⋅+-⋅+
这个公式主要用于求递推数列n n n T αβ=+的值，对给定,k l αβαβ+== ，上式
可改写为：11n n n T k T l T +-=⋅-⋅. 这样可逐步递推求得n T 的值. 可解决例如这样的问
题：求2016
的末位数. 其推广形式为牛顿公式.
（10）()()3
3
33611x x x x x =++---
由这个恒等式可以证明任何整数都能表示成五个整数的立方和的形式.
【学生小课题级别】
（1）多项和完全平方公式
2
2
112n n
i i i j i i i j a a a a ==≠⎛⎫=+⋅⋅ ⎪⎝⎭
∑∑∑
（2）三项和的完全立方展开式：()3
a b c ++ （3）牛顿公式法
即用基本对称式()1i i n σ≤≤表达1n
k k i i S x ==∑. 例如：考虑3n =时，记
123,,x y z xy yz zx xyz σσσ=++=++=
则有：
11
2212
33112341322315142332
233S S S S S S S S S S S σσσσσσσσσσσσσ==-=-+=-+=-+ 78年的上海数学竞赛中出现过这样一个条件恒等式的证明【2】
.
若,,a b c 是实数，且满足0a b c ++=，试证明： （Ⅰ）555222333
523a b c a b c a b c ++++++=⋅
.
（Ⅱ）777222555
725
a b c a b c a b c ++++++=⋅
以及求下面这个恰定方程的实根问题，都可以用牛顿公式顺利解决.
确定方程组 222555
333
x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 的所有实数根.
附注：
【1】 听到 @ Xu 老师调侃时的妙句，改编收录于此！ 【2】 来自王志雄老师的一本书.
【3】 题引自《数学奥林匹克试题背景研究》刘培杰着.。