高等数学 第九章 第1节 二重积分的概念与性质(中央财经大学)
第一节二重积分的概念与性质09-3-22资料
第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义; 二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质.难点: 运用性质判断与计算. 教学方法:直观教学,讲练结合. 教学过程: 一、 二重积分的概念1、【定义】: 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域1σ∆， ,2σ∆，n σ∆，其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ，作乘积),(i i f ηξi σ∆，),,2,1(n i =，并作和iini if σηξ∆∑=),(1，如果当各小闭区域的直径i d 中的最大值1max{}0i i nd λ≤≤=→时，这和式01lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑的极限存在，且此极限与小区间i σ∆的分法以及点),(i i ηξ的取法无关，则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分，记为⎰⎰Dd y x f σ),(，即 ⎰⎰Dd y x f σ),(iini if σηξλ∆=∑=→),(lim 1.其中：① ),(y x f 称为被积函数, ② σd y x f ),(称为被积表达式,③ y x ,称为积分变量, ④ σd 称为面积元素, ⑤ D 称为积分区域, ⑥iini if σηξ∆∑=),(1称为积分和.2、面积元素σd在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D ,则面积元 素为 dxdy d =σ故二重积分可写为⎰⎰⎰⎰=DDdxdy y x f d y x f ),(),(σ.3、【二重积分存在定理】 设),(y x f 是有界闭区域D 上的连续函数,则存在二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(.4、二重积分的几何意义(1)当被积函数(,)0f x y ≥时,二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(表示以),(y x f 为顶,以D 为底面的曲顶柱体的体积．(2)当被积函数(,)0f x y ≤时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域D 上连续. 1．⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),(, k 为常数.2．⎰⎰±Dd y x g y x f σ)],(),([⎰⎰⎰⎰±=DDd y x g d y x f σσ),(),(.设,αβ为常数则上述两式合并为[(,)(,)]Df x yg x y d αβσ+⎰⎰(,)(,)DDf x y dg x y d ασβσ=+⎰⎰⎰⎰.3．(二重积分对区域可加性)⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ, )(21DD D +=.4．σσ=⎰⎰Dd , σ为D 的面积.yxOD5．(积分不等式)若),(),(y x g y x f ≤,则 ⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ),(),(.推论:⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(.6．(积分估值定理)设M 、m 分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，则 ⎰⎰≤≤DM d y x f m σσσ),(.7．(积分中值定理)设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点),(ηξ使得1(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰. 8．设区域12D D D =+，且1D 与2D 关于x 轴对称；（1）当),(y x f 关于y 是偶函数时即(,)f x y －＝),(y x f 时，有1(,)2(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.(2) 当),(y x f 关于y 是奇函数时即(,)f x y －＝(,)f x y -时，有(,)0Df x y d σ=⎰⎰.类似有设区域12D D D =+，且1D 与2D 关于y 轴对称； 当),(y x f 关于x 是偶函数时即(,)f x y -＝),(y x f 时，有1(,)2(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.(2) 当),(y x f 关于x 是奇函数时即(,)f x y -＝(,)f x y -时，有(,)0Df x y d σ=⎰⎰.三、应用举例 例1 比较⎰⎰+Dd y x σ2)(与⎰⎰+Dd y x σ3)( 的大小,其中}2)1()2(|),{(22≤-+-=y x y x D .解：如图,由于点)0,1(A 在2)1()2(22≤-+-y x 上,过点A 的切线为1=+y x ,那么在D 上有 32)()(1y x y x y x +≤+≤+≤, 所以⎰⎰⎰⎰+<+DDd y x d y x σσ32)()(. AyxOD例2(05.4) 设⎰⎰+=Dy x I σd cos 221,⎰⎰+=Dy x I σd )cos(222, ⎰⎰+=Dy x I σd )cos(2223,其中}1|),{(22≤+=y x y x D ,则(A)123I I I >> (B)321I I I >>(C)312I I I >> (D)213I I I >>答 (A).因为在区域D 上，21022π<≤+≤y x ,所以0)(122222222≥+≥+≥+≥>y x y x y x π,从而 2222222)cos()cos()cos(y x y x y x +≤+≤+, 故 123I I I >>.例3设222:a y x D ≤+,当=a ( )时,π=--⎰⎰y x y x a Dd d 222.(a ) 1 (b ) 323 (c ) 343 (d ) 321 答 (b ).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a 的上半球体的体积.由ππ=⋅33421a 得323=a ⇒选(b ).例4当D 是由( )围成的区域时,1d d =⎰⎰Dy x .(a )x 轴,y 轴及022=-+y x (b )1=x ,2=x 及3=y ,4=y(c )21=x ,21=y (d )1=+y x ,1=-y x 答 (a ,b ,c ).因为1d d =⎰⎰Dy x 表示积分区域的面积为1,故只需考察哪些选项积分区域的面积为1. 即可⇒选(a ),(b ),(c ). 例5 判断221ln()x y x y d σ+≤+⎰⎰的正负.解：在区域{(,)|1}D x y x y =+≤上有221x y +≤且等号不恒成立，所以22ln()ln10x y +≤=且等 号不恒成立， 故2211ln()(ln1)0x y x y x y d d σσ+≤+≤+<=⎰⎰⎰⎰.例6估计积分值(),{(,)|01,02}DI xy x y d D x y x y σ=+=≤≤≤≤⎰⎰.解：220()6012xy x y I ≤+≤⇒≤≤.例72212{(,)|1,,0},{(,)|(2)(1)2}D x y x y x y D x y x y =+≤≥=-+-≤.112312(),(),D D I x y d I x y d σσ=+=+⎰⎰⎰⎰223(),D I x y d σ=+⎰⎰234()D I x y d σ=+⎰⎰用适当符号连接1234,,,I I I I .解：在1D 上有12(01)I I x y >≤+≤,在2D 上43I I >(1)x y +≥. 又由1211()12D x y I d σ+≤⇒≤=⎰⎰，由22311()122D x y I d I σπ+≥⇒≥=>>⎰⎰， 故 4312I I I I >>>.例8 设22{(,)|14}D x y x y =≤+≤，证明 22433x y De e d e πσπ+≤≤⎰⎰.证明 22443,xy D S e e e σπππ+==-=≤≤，由积分的估值性质得22433x y De ed e πσπ+≤≤⎰⎰.例9设222{(,)|}D x y x y R =+≤ （1）若(,)f x y 在D 上有界且可积，则0lim(,)0R Df x y d σ→=⎰⎰.（2）若(,)f x y 在D 上连续，则201lim(,)(0,0)R Df x y d f R σπ→=⎰⎰.（1）证明 ：设,m M 分别为函数(,)f x y 在D 上的最小值与最大值，则(,)m f x y M ≤≤，由积分估值定理知(,)DDDmd f x y d Md σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰又222{(,)|}D x y x y R =+≤所以22(,)DmR f x y d MRπσπ≤≤⎰⎰，由夹逼定理得 0lim(,)0R Df x y d σ→=⎰⎰.（2）解：由积分估值定理知(,)f x y 在D 上连续2(,),..(,)(,)DD s t f x y d R f ξησπξη⇒∃∈=⎰⎰，所以 2220011lim(,)lim(,)R R Df x y d R f R R σπξη→→=⋅⎰⎰(,)(0,0)lim (,)lim (,)(0,0)R f f f ξηπξηπξηπ→→===.小结：1. 定义⎰⎰Dd y x f σ),(iini if σηξλ∆=∑=→),(lim 1为二重积分.2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.。
高等数学 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质
n
∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ λ
,η i )σ i .
定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值,且此值只与被积函数及积分区域有关.不 同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为 定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分 区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域 上的二元函数.
∫∫
D
f ( x , y )d σ / σ .
y
性质8 设闭区域 D关于 x轴对称 , 则 x 2 f ( x , y )dσ , f ( x , y )关于 y是偶函数 ∫∫ x ∫∫ f ( x , y )dσ = D
1
0 , f ( x , y )关于 y是奇函数 y 其中 D1是 D在 x轴上方的部分 (如图所示 ).
D
= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
(性质1,2 称为积分的线性性质)
性质3 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D D1 D2
D
解 (1)先画出积分区域的图形
1y D -1 O 1 1 y -1 0 1 x x
∫∫
D
( x y + 1 )dxdy
3
=
∫∫
D
x y dxdy +
3
0
∫∫ 1dxdy = 2
D
(2)积分区域如图所示 .
∫∫ ( x
D
3
y + 1 )dxdy =
∫∫
9-1-二重积分的概念与性质
D
f
(x, y)ds
是介于函数
f (x, y) 的最大值 M 与最小值 m 之间的.根据在有界闭区域上
连续函数的介值定理，在 D 上至少存在一点( ,) ，使得函
数在该点的值与这个确定的数值相等，即
1
s
D
f
(x, y)ds
f
( ,).
上式两端乘以δ，就是所需证明的公式.
例 2 比较二重积分 ln(x y)ds 与ln(x y)2ds
性质 7 （二重积分的中值定理） 设函数 f (x, y)在
有界闭区域 D 上连续，s 是 D 的面积，则在 D 上至少存在 一点( ,)，使得
f (x, y)ds f ( ,) s .
D
证 显然s 0，把性质 6 中不等式各除以 s ，有
m
1
s
D
f
(x,
y)ds
M
，
这就是说，确定的数值 1
(i ,i )的取法无关.
在今后的讨论中，我们总假设 f (x, y) 在有界闭区域 D 上
连续,故二重积分 f (x, y)ds 存在.因此，在直角坐标系中，
D
可用轴向矩形网（即平行于 x 轴和 y 轴的直线网）去分割区域 D ,这时除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域 都是矩形闭区域，设s i 的边长为x j 和yk ，则s i x j yk .
i1
就是所求曲顶柱体体积的一个近似值，令 n 个小闭区
域si 的直径（一个闭区域的直径是指区域是任意两
点间距离的最大者）中的最大值（记作 ）趋于零，
取上述和式的极限便得所求曲顶柱体的体积，即
n
V
lim 0 i1
f (i ,i )s i
第9章 二重积分的概念与性质 9.1
M？
若平面薄片的密度是均匀的，即面密度是常数，则平面薄片 的质量可以用公式 质量 = 面密度 来计算． 若面密度 ( x, y) 是变量，则平面薄片的质量就不能直接用 上述的公式来计算， 但我们可以用类似于上面计算曲顶柱体
面积
的体积的方法（即微元法）来计算平面薄片的质量．
第9章 重积分及其应用
1 2 2 x dxdy y dxdy ( x y )dxdy . 2D D D
2 2
第9章 重积分及其应用
§ 9.1 二重积分的概念与性质
例9.1.1 设 D ( x , y ) 1 x 2 y 2 4 ，求
4d ．
D
解 区域D是半径分别为1和2的两个同心圆围成的圆环 （如图9.4），其面积为 y
则 Vi 近似等于以 f ( i , i ) 为高而底为 Di 的平顶柱体的体积， 即 （3）求和
Vi f (i ,i ) i (i 1,2,, n)．
将这 n 个小平顶柱体的体积相f ( i , i ) i ．
D
i i
f ( x, y)d lim f ( , )
D
0
i 1
i
其中 f ( x, y) 称为被积函数，f ( x, y )d 称为被积表达式， d 称为面积元素，x 与
y
称为积分变量，D 称为积分区域，
f ( , )
i 1 i i
n
i
称为积分和．
第9章 重积分及其应用
D D
第9章 重积分及其应用
§ 9.1 二重积分的概念与性质
性质9.1.4 （积分区域的可加性） 如果闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在 D 上 的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和. 例如 D分为两个闭区域 D1 和 D2 则
9.1二重积分的概念与性质
D D
4.二重积分的性质
例4 比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0). y 解 三角形斜边方程 x y 2
1 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 M 4
( x 0, y 0)
1 1 f ( x , y ) 的最小值 m ( x 1, y 2) 2 2 5 3 4 2 2 故 I 0.4 I 0.5. 5 4
4.二重积分的性质 例3 比较 ( x y ) d与 ( x y ) d的大小,
被积函数 被积表达式
积分号 积分区域
D
f ( x , y ) dσ lim
f (ξ , η )Δσ λ0
i 1 i i
n
i
积分变量 面积微元 对二重积分作几点说明： （1）二重积分的积分值与区域D的分割方式与点 ( i , i ) 的取法无关；即分割与取点具有任意性；
积分和
该值与区域D及 （2）二重积分的积分值是一数值， 被积函数f (x,y)有关，与积分变量无关； （3）若被积函数在有界闭区域上连续， 则一定可积.
d 的值，
(0 b a ).
x2 y2 其中 D 是椭圆闭区域： 2 2 1 a b
解
区域 D 的面积 σ πab,
在D 上
2
0 x y a
2
2
,
1 e e
0
x2 y2
e ,
a2
由性质 6 知
e
《高等数学》第九章 第一节 二重积分的概念与性质
1
2
x
I1 < I2
x + y =1
P79-3
例5
比较积分 ln( x y)d 与 [ln( x y)]2d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为
(1, 0), (1, 1), (2, 0). 解 三角形斜边方程 x y 2
在 D 内有 1 x y 2 e, 故 0 ln( x y) 1.
分割、取近似、
求和、取极限。
z
z f (x, y)
o xD
y
(i ,i )
i
步骤如下：
1. 分割
z
z f (x, y)
D 任意分成 n 个小闭区域1，
2 ,…， n , 其中 i 表示
第 i 个小闭区域，也表示它的面
o
积。对应的小曲顶柱体体积为Vi . x D
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D，在点 ( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在 D上连 续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块，
y
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量
o
n
M
lim
0
对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
若 为D的面积， 1 d d .
D
D
若在D上 f ( x, y) g( x, y),
第1节 二重积分的概念与性质
o
且在 D 上连续 . 求平面薄板的质量 .
(1) 将 D 分成 n 个小区域 1 , 2 ,, n . 也用 i 表示第 i 个小区域的面积. 相应的
平面薄板被分成n 个小平面薄板 .
(2) 在每个小区域 i 上任取一点 (i ,i )
以 (i ,i )近似代替 i 上的密度 .
D
D
性质6 设 M , m分别为 f (x, y)在 D 上的最大值与最小值,
则 m f (x, y)dxdy M .
D
其中 为区域 D的面积.
上述不等式称为二重积分的估值不等式 .
性质 7 (二重积分的中值定理)
设 f (x, y)在闭区域 D 上连续, 是D的面积, 则在 D 上至少存在一点 ( ,)使得
D
D
内容小结 1. 二重积分的定义
作业:P92 1, 2
n
D
f (x, y) d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
(d dxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算
二次积分法
n
如果
lim
0
i1
f (i ,i ) i
不存在, 称
f (x, y)在D上不可积.
注: 上述和式极限存在, 极限值与 D的分法无关.
y
如果取平行于坐标轴的直线分割 D .
xy
于是 d dxdy
为直角坐标系下的面积元素 .
o
直角坐标系下的二和重积分为
D y
D
D
即常数可以从积分符号一提出来 .
性质 2 f (x, y) g(x, y dxdy D
第九章1二重积分的概念和性质
第九章1二重积分的概念和性质高数二重积分的概念和性质在一元函数积分学中,我们已经知道, 在一元函数积分学中,我们已经知道,定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限, 式的和式的极限,由于科学技术和生产实践的发需要计算空间形体的体积,曲面的面积, 展,需要计算空间形体的体积,曲面的面积,空间物体的质量,重心,转动惯量等, 间物体的质量,重心,转动惯量等,定积分已经不能解决这类问题,另一方面, 不能解决这类问题,另一方面,从数学逻辑思维的规律出发,必然会考虑定积分概念的推广, 的规律出发,必然会考虑定积分概念的推广,从而提出了多元函数的积分学问题. 而提出了多元函数的积分学问题.高数当人们把定积分解决问题的基本思想――“分分当人们把定积分解决问题的基本思想近似代替,求和,取极限" 割,近似代替,求和,取极限"用于解决这类问题时发现是完全可行的. 题时发现是完全可行的.把解决的基本方法抽象概括出来,就得到多元函数积分学. 概括出来,就得到多元函数积分学. 具体地说就是推广到: 具体地说就是推广到:定义在平面区域上的二元函数,定义在空间区域上的三元函数, 函数,定义在空间区域上的三元函数,定义在一段平面曲线弧上的二元函数, 平面曲线弧上的二元函数,定义在空间一段曲线弧上的三元函数,定义在空间曲面上的三元函数, 上的三元函数,定义在空间曲面上的三元函数,从而得到二重积分,三重积分,曲线积分和曲面积分. 而得到二重积分,三重积分,曲线积分和曲面积分. 这就是多元函数积分学的内容. 这就是多元函数积分学的内容. 本章将讨论重积分,包括二重积分, 本章将讨论重积分,包括二重积分,三重积分的概念,性质,计算和应用. 概念,性质,计算和应用.高数重积分的计算方法,交换累次积分次序. 重点:重积分的计算方法,交换累次积分次序. 选择坐标系,确定积分次序,定积分限. 难点:选择坐标系,确定积分次序,定积分限.基本要求①理解重积分概念,了解其基本性质理解重积分概念, ②熟练掌握重积分的计算方法③掌握累次积分的换序法④掌握各种坐标系及坐标系下的面积元,体积元掌握各种坐标系及坐标系下的面积元, ⑤理解重积分的实际背景,能用重积分解决立体体理解重积分的实际背景, 曲面面积,重心,转动惯量等实际问题. 积,曲面面积,重心,转动惯量等实际问题.高数一,问题的提出1.曲顶柱体的体积柱体体积=底面积× 柱体体积底面积× 高底面积特点:平顶. 特点:平顶.z = f ( x, y)柱体体积=? 柱体体积? 特点:曲顶. 特点:曲顶D高数分割,求和,取极限" 求曲顶柱体的体积采用"分割,求和,取极限"的方法步骤如下: 步骤如下:先分割曲顶柱体的底并取典型小区域, ,并取典型小区域, 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积, 顶柱体的体积,zz = f ( x, y)oxDny(ξi ,ηi )σ i曲顶柱体的体积V = lim ∑ f (ξ i ,ηi )σ i . λ →0λ→i =1高数2.求平面薄片的质量设有一平面薄片, 设有一平面薄片,占有xoy 面上的闭区域 D , 在点( x , y ) 处的面密度为ρ ( x , y ) , 假定ρ ( x , y ) 在D 上连续,平面薄片的质量为多少? 上连续,平面薄片的质量为多少?将薄片分割成若干小块, 将薄片分割成若干小块, y 取典型小块, 取典型小块,将其近似看作均匀薄片, 看作均匀薄片, 所有小块质量之和近似等于薄片总质量o M = limλ →0n (ξ i ,ηi )σ i∑ ρ (ξ ,η )σ .i i i i =1x高数二,二重积分的概念定义设f ( x , y ) 是有界闭区域D 上的有界函数, 将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域σ 1 ,σ 2 , , σ n ,其中σ i 表示第i 个小闭区域, 个小闭区域,也表示它的面积, 在每个σ i 上任取一点(ξ i ,η i ) ,作乘积并作和f (ξ i ,η i ) σ i ,( i = 1,2,, n) ,∑ f (ξ i ,η i )σ i ,i =1n高数如果当各小闭区域的直径中的最大值λ 趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数上的二重积分二重积分, f ( x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记为∫∫ f ( x , y )dσ ,D 即∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,η i )σ i .Dnλ → 0 i =1积分区域被积函数积分变量被积表达式面积元素积分和高数对二重积分定义的说明: 对二重积分定义的说明: (1) 在二重积分的定义中, 对闭区域的划分是在二重积分的定义中, 任意的. 任意的(2)当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时,定义中和式在闭区域上连续时, 当的极限必存在,即二重积分必存在. 的极限必存在,即二重积分必存在二重积分的几何意义当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时, 负值. 负值. 由二重积分的定义可知n 若二重积分∫∫ f ( x, y)dσ = lim∑ f (ξi ,ηi )σ i 存在λ →o i =1 D高数则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关, 则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关, 故可采用一种便于计算的划分方式在直角坐标系下, 在直角坐标系下,用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域,这些小区域中除去靠的边界分成一些小区域, 分成一些小区域这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外,绝大部分都是小矩形, 的一些不规则小区域外,绝大部分都是小矩形, 紧靠D的边界的小区域的面积紧靠的边界的小区域的面积σ i ≤ t i λ ∑ σ j ≤ λLjyDo x其中L为的围长其中为D的围长∑ f (ξ j ,η j )σ j ≤ M ∑ σ j ≤ MLλ → 0, (λ → 0) j jdσ = dxdy 则面积元素为高数故二重积分可写为∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D三,二重积分的性质(二重积分与定积分有类似的性质) 二重积分与定积分有类似的性质) 性质1 性质1 性质2 性质2∫∫ kf ( x , y )dσ =k ∫∫ f ( x , y )dσ .D D∫∫ [ f ( x , y ) ± g( x , y )]dσD= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .D D高数性质3 性质3∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .对区域具有可加性D D1( D = D1 + D2 )D DD2性质4 性质4 若σ 为D的面积, = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ . 的面积, 的面积σ 性质5 若在D上性质5 若在上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则有∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g ( x , y )dσ .D D 特殊地∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫D Df ( x , y ) dσ .性质6 性质6 设M ,m 分别是f ( x , y ) 在闭区域D 上的最大值和最小值, 的面积, 最大值和最小值,σ 为 D 的面积,则m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ (二重积分估值不等式) 二重积分估值不等式)D高数性质7 性质7 设函数f ( x , y )在闭区域D 上连续,σ 为D 上连续, 的面积, 的面积,则在 D 上至少存在一点(ξ ,η ) 使得计算, 计例 1 不计算估I = ∫∫ e 作,D 2∫∫ f ( x , y )dσ = Df ( ξ, η) σ (二重积分中值定理) 二重积分中值定理)( x2 + y2 )值, 值dσ 的,x y2 其中D是圆区域椭闭: 2 + 2 =1 a b(0 b a).解区域D 的面积σ = abπ , 在D 上∵ 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2,∴1 = e ≤ e0x2 + y2≤e ,a2由性质6 知σ ≤ ∫∫ e2( x 2 + y2 )a2dσ ≤ σ e ,a2abπ ≤ ∫∫ eD(x +y )2π dσ ≤ abπe .D高数dσ 值, 例2 估计I = ∫∫ 2 的, 值2 x + y + 2xy + 16 D 其中D: 其中: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.解∵ f ( x, y) =4 1 1 f ( x , y ) 的最小值m = = ( x = 1, y = 2) 2 25 3 +4 2 2故≤I≤ 0.4 ≤ I ≤ 0.5. 5 4例3 判断r≤ x + y ≤11 , 区域面积σ = 2, ( x + y )2 + 16 1 在D 上f ( x , y ) 的最大值M = ( x = y = 0)∫∫ ln( x2号. + y )dxdy的符号2高数0 x 2 + y 2 ≤ ( x + y )2 ≤ 1, 解当r ≤ x + y ≤ 1时,故ln( x + y ) ≤ 0 ;2 2又当x + y 1时,ln( x 2 + y 2 ) 0,2于是r ≤ x + y ≤1∫∫ ln( x2+ y )dxdy 0.2例4 比积∫∫ ln( x + y)dσ 与∫∫ [ln( x + y)] dσ 较分D D大, 中是角闭域三点为中D是的小其三形区, 顶各(1,0), (1,1), (2,0).解三角形斜边方程x+ y=2高数y在D 内有1 ≤ x + y ≤ 2 e ,1D故ln( x + y ) 1,o[ln( x + y )]2 , 于是ln( x + y ) 因此D D12xln( x + y )dσ ∫∫ [ln( x + y )]2 dσ . ∫∫高数四,小结二重积分的定义(和式的极限) 和式的极限)曲顶柱体的体积) 二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)与定积分类似) 二重积分的性质(与定积分类似)思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较, 将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处. 找出它们的相同之处与不同之处高数思考题解答定积分与二重积分都表示某个和式的极限且此值只与被积函数及积分区域有关. 值,且此值只与被积函数及积分区域有关.不同的是定积分的积分区域为区间, 同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为定义在区间上的一元函数, 定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分区域为平面区域, 区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域上的二元函数. 上的二元函数.。
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第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and ItsProperties)一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)ii n σ∆=L 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=L 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by(1,2,)i i n σ∆=L Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ=L and then form the sum 1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, thereexists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)n i i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ=L Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=⎰⎰,or 01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
第一节 二重积分的概念与性质09-3-30精品
第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义; 二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用. 难点: 运用性质判断与计算. 教学方法:直观教学,讲练结合. 教学过程: 一、 二重积分的概念与几何意义1、【定义】: 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域1σ∆， ,2σ∆，n σ∆，其中i σ∆表示 第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ，作乘积(,)i i i f ξησ⋅∆，),,2,1(n i =，并作和iini if σηξ∆∑=),(1，如果当各小闭区域的直径i d 中的最大值1max{}0i i nd λ≤≤=→时，这和式01lim(,)niiii f λξησ→=∆∑的极限存在，且此极限与小区间iσ∆的分法以及点),(i i ηξ的取法无关，则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D上的二重积分，记为⎰⎰Dd y x f σ),(，即 ⎰⎰Dd y x f σ),(iini if σηξλ∆=∑=→),(lim 1.其中：① ),(y x f 称为被积函数, ② σd y x f ),(称为被积表达式,③ y x ,称为积分变量, ④ σd 称为面积元素, ⑤ D 称为积分区域, ⑥iini if σηξ∆∑=),(1称为积分和.2、面积元素σd在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D ,则面积元 素为 dxdy d =σ故二重积分可写为⎰⎰⎰⎰=DDdxdy y x f d y x f ),(),(σ.3、【二重积分存在定理】 设),(y x f 是有界闭区域D 上的连续函数,则二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(存在.4、二重积分的几何意义(1)当被积函数(,)0f x y ≥时,二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(表示以),(y x f 为顶,以D 为底面的曲顶柱体的体积．(2)当被积函数(,)0f x y ≤时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域D 上连续. 1．⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),(, k 为常数.2．⎰⎰±Dd y x g y x f σ)],(),([⎰⎰⎰⎰±=DDd y x g d y x f σσ),(),(.二重积分的线性性：设,αβ为常数则上述两式合并为[(,)(,)]Df x yg x y d αβσ+⎰⎰(,)(,)DDf x y dg x y d ασβσ=+⎰⎰⎰⎰.3．(二重积分对区域可加性)⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ, )(21DD D +=.4．σσ=⎰⎰Dd , σ为D 的面积.yxOD5．(积分不等式)若),(),(y x g y x f ≤,则⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ),(),(.注意：若在D 上),(),(y x g y x f ≤但等号不是恒成立，则有(,)(,)DDf x y dg x y d σσ<⎰⎰⎰⎰.推论:⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(.6.【积分估值定理】设M 、m 分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，则 ⎰⎰≤≤DM d y x f m σσσ),(.其中σ为D 的面积.7.【积分中值定理】设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，则在D 上至 少存在一点),(ηξ使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅⎰⎰.σ为D 的面积. 8．设区域12D D D =+，且1D 与2D 关于x 轴对称；（1） 当),(y x f 关于y 是偶函数即 (,)f x y －＝),(y x f 时，有1(,)2(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.当),(y x f 关于y 是奇函数时即(,)f x y －＝(,)f x y -时，有(,)0Df x y d σ=⎰⎰.(2) 类似有设区域12D D D =+，且1D 与2D 关于y 轴对称； 当),(y x f 关于x 是偶函数时即(,)f x y -＝),(y x f 时，有1(,)2(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.当),(y x f 关于x 是奇函数时即(,)f x y -＝(,)f x y -时，有(,)0Df x y d σ=⎰⎰.三、应用举例 例1 比较⎰⎰+Dd y x σ2)(与⎰⎰+Dd y x σ3)( 的大小,其中}2)1()2(|),{(22≤-+-=y x y x D .解：如图,由于点)0,1(A 在2)1()2(22≤-+-y x 上,过点A 的切线为1=+y x ,那么在D 上有 32)()(1y x y x y x +≤+≤+≤,AyxOD所以⎰⎰⎰⎰+<+DDd y x d y x σσ32)()(. 例2(05.4) 设⎰⎰+=Dy x I σd cos 221,⎰⎰+=Dy x I σd )cos(222, ⎰⎰+=Dy x I σd )cos(2223,其中}1|),{(22≤+=y x y x D ,则(A)123I I I >> (B)321I I I >>(C)312I I I >> (D)213I I I >>答 (A).因为在区域D 上，21022π<≤+≤y x ,且cos [0,]2z π∈为减函数，所以0)(122222222≥+≥+≥+≥>y x y x y x π,从而 2222222)cos()cos()cos(y x y x y x +≤+≤+, 故 123I I I >>.例3设222:a y x D ≤+,当=a ( )时,π=--⎰⎰y x y x a Dd d 222.(a ) 1 (b ) 323 (c ) 343 (d ) 321 答 (b ).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a 的上半球体的体积.由ππ=⋅33421a 得323=a ⇒选(b ).例4 当D 是由( )围成的区域时,1d d =⎰⎰Dy x .(a )x 轴,y 轴及022=-+y x (b )1=x ,2=x 及3=y ,4=y(c )21=x ,21=y (d )1=+y x ,1=-y x 答 (a ,b ,c ).因为1d d =⎰⎰Dy x 表示积分区域的面积为1,故只需考察哪些选项积分区域的面积为1. 例5 判断221ln()x y x y d σ+≤+⎰⎰的正负.解：在区域{(,)|1}D x y x y =+≤上有221x y +≤且等号不恒成立， 所以22ln()ln10x y +≤=且等号不能恒成立，故2211ln()(ln1)0x y x y x y d d σσ+≤+≤+<=⎰⎰⎰⎰.例6估计积分值(),{(,)|01,02}DI xy x y d D x y x y σ=+=≤≤≤≤⎰⎰.解：220()6012xy x y I ≤+≤⇒≤≤.（注意：积分区域为矩形2D S =） 例71{(,)|1,,0}D x y x y x y =+≤≥222{(,)|(2)(1)2}D x y x y =-+-≤.112312(),(),D D I x y d I x y d σσ=+=+⎰⎰⎰⎰223(),D I x y d σ=+⎰⎰234()D I x y d σ=+⎰⎰试用适当符号连接 1234,,,I I I I .解：在1D 上有12(01)I I x y >≤+≤,在2D 上43I I >(1)x y +≥. 又由 1211()12D x y I d σ+≤⇒≤=⎰⎰， 由 22311()122D x y I d I σπ+≥⇒≥=>>⎰⎰， 故 4312I I I I >>>.例8 设22{(,)|14}D x y x y =≤+≤，证明 22433x y De e d e πσπ+≤≤⎰⎰.证明 因为 43D S σπππ==-=，又因为 224x y e e e +≤≤，由积分的估值性质得 22433xy De e d e πσπ+≤≤⎰⎰.例9设222{(,)|}D x y x y R =+≤ （1）若(,)f x y 在D 上有界且可积，则0lim(,)0R Df x y d σ→=⎰⎰.（2）若(,)f x y 在D 上连续，则201lim(,)(0,0)R Df x y d f R σπ→=⎰⎰.（1）证明：设,m M 分别为函数(,)f x y 在D 上的最小值与最大值，则(,)m f x y M ≤≤，由积分估值定理知(,)D D Dmd f x y d Md σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰又222{(,)|}D x y x y R =+≤所以22(,)DmR f x y d MRπσπ≤≤⎰⎰，AyxOD由夹逼定理得 0lim(,)0R Df x y d σ→=⎰⎰.（2）解：由积分中值定理知(,)f x y 在D 上连续2(,),..(,)(,)DD s t f x y d R f ξησπξη⇒∃∈=⋅⎰⎰，所以 2220011lim(,)lim(,)R R Df x y d R f R Rσπξη→→=⋅⎰⎰(,)(0,0)lim (,)lim (,)(0,0)R f f f ξηπξηπξηπ→→===.小结：1. 定义⎰⎰Dd y x f σ),(iini if σηξλ∆=∑=→),(lim 1为二重积分.2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.。
第一节二重积分的概念与性质09-3-22
V AC：第九章 重积分第一节二重积分的概念与性质教学目的：理解并掌握二重积分的概念 ；几何意义；二重积分存在的条 件.熟练掌握二重积分的性质；能正确运用性质进行判断、计算与证明•重点：二重积分的性质•难点：运用性质判断与计算• 教学方法：直观教学,讲练结合. 教学过程： 一、二重积分的概念1、【定义】：设f(x,y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域任意分成n 个小闭区域 △ cr 1 , A CT 2,…，心J ，其中心巧 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个△码上任取一点(£,3)，作 乘积 f ( i ，i K--i ，(i =12 …，n)，并作和n瓦f c j ,—)△耳，如果当各小闭区域的直径d i 中的最大值i =1yn■二max{d}r 0时，这和式lim f( 1, 的极限存在，且1_11> 0 v此极限与小区间人码的分法以及点(©,3)的取法无关，则称此极限为函数f (x, y)在闭区域D上的二重积分，记为I l f (x, y)d匚，即DnH f (x,y)db =|再送f(©,0)^w.其中：① f (x, y)称为被积函数，②f(x, y)d二称为被积表达式③x, y称为积分变量，④d二称为面积元素，⑤ D称为积分区域⑥' f ( i , i) *i称为积分和.i 12、面积元素de在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,则面积元素为d；「= dxdy故二重积分可写为11 f (x, y)d3、【二重积分存在定理】设f (x, y)是有界闭区域D上的连续函数，则存在二重积分j\| f (x, yjdb .D4、二重积分的几何意义(1)当被积函数f ( x, y)_ 0寸,二重积分f(x, y)d二表示以Df (x,y)为顶，以D为底面的曲顶柱体的体积.⑵当被积函数f(x, y)乞0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数.二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域D上连续•D1. !!kf (x, y)d；「十!! f (x, y)d二,k为常数.2. .[f(x,y)_g(x,y)]d；「- f (x,y)d；「一g(x, y)d；「•D D D设：•，：为常数则上述两式合并为M[: f(x,y) ：g(x, y)]d；「「f(x, y)d一亠)i ig(x, y)d二.D D D3.(二重积分对区域可加性)f(x,y)d；「= f(x, y)d；「f(x, y)d二，(D 二D“ D? ) •D D1 D 24.. d；「- 丁，匚为D的面积.D5.(积分不等式)若f (x, y) 一g (x, y)，则!! f (x, y)d；「一g(x, y)d二.D D推论:口f (x, y)d仃 M 皿f (x, y)|d<T .D D6.(积分估值定理)设M、m分别是f (x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，贝U m；「一f(x, y)d=_M二.D7.(积分中值定理)设函数f (x,y)在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点「，)使得 - f( x, y)d二f(,.)CJ 丁&设区域D = D! D2，且u与D2关于x轴对称；(1)当f (x, y)关于y是偶函数时即f(x, —y)= f (x, y)时，有f(x,y)^ =2 f (x, y)d二•D D i⑵当f (x, y)关于y是奇函数时即f (x, —y)= - f (x, y)时，有Mf(x,y)d匚=0.D类似有设区域D, D2，且D,与D2关于y轴对称；当f(x,y)关于x是偶函数时即f(-x,y)= f(x,y)时，有f (x, y)d；「- 2 f(x, y)d二.D D i⑵当f (x, y)关于x是奇函数时即f(-x, y)= -f (x, y)时，有解：如图，由于点A(1,0)在(x-2)2• (y 一1)2乞2上，过点A的切线为x+y=1,那么在D 上有1 兰x + y 兰(x + y)2W (x + y)3,所以H(x +y)2db v JJ(x +y)3dc<D D例2(05.4)设| j = fjcosjx2十y2db , l2= JJcos(x2+ y2)d口,D D2 2 2 2 2l3= ffcos(x + y ) d G ,其中D ={( x, y) | x + y ^1},则D(A) I3 >丨2 >丨1 (B) I1 > 丨2 > 13(C)丨2 > 丨1 >丨3 (D) I3 >丨22 2 二答(A).因为在区域D上，0兰x2+y兰1成一，2所以—>1 兰J x2+ y2M x2+ y2兰(x2+ y2)2M 0 ,2从而cos(\ x2十y2)兰cos(x2十y2)兰cos(x2+ y2)2.例3设D : x2+ y2兰a2,当a =()时，口Ja2_x2 _ y2dxdy =兀.D(a) 1答(b).根据二重积分的几何意义，此积分表示半径为a的上半球体1 4 3 3的体积•由一一=兀得a =3/一二选(b).2 3 、、2例4当D是由( )围成的区域时，…dxdy = 1.D(讣冷，(d) x + y =1，x - y = 1(a) x 轴，y 轴及2x y-2=0 ( b)x=1,x=2 及y=3,y=4答(a，b，c).因为dxdy二1表示积分区域的面积为1，故只需考察哪D些选项积分区域的面积为1.即可=选(a)，( b)，( c).例5判断..In (x2• y2)d；「的正负•|x|「y| 丄解：在区域D ={(x，y) ||x| +|y| <1}上有x2 +y2兰1且等号不恒成立，2 2所以ln(x y )汨n1 =0且等号不恒成立，故JJ In(x2+y2)d^ v JJ (In 1)d^=0.x| ;y|」x；y|」例6估计积分值I = xy(x y)d二，D 二{(x，y) | 0 乞x 乞1,0 乞y 乞2}.解：0 -xy(x2 y2) - 6= 0-1 -12 .例7 D1 珂(x, y)|x y "x,y -0}, D? ={( x, y)|(x—2)2 (y—1)2 "}.h =〕J(x+y)2d<r,l2 = ”(x + y)3ds I3 = j](x + y)2d&D1 D1 D 21厂(x・y)3d匚用适当符号连接l1,l2, l3,l4.D2解：在D i 上有l i • l2(0 —x y —1),在D2上I4 l3(x y_1).2 1又由(x + y)兰1二—，由2D1(x +y)231 二l3JJ d b =2兀>^ > l1,2D2故l4 l311 l2.例8 设D ={( x,y) |1 岂x2y2乞4}，证明3二e e"『d；：「- 3：e4.D证明S D Y - 4二-二-3二，e岂e x2“ < e4，由积分的估值性质得2 23「e _ e x y d；「_3二e .D例9 设D ={( x,y)|x2 y2乞R2}(1)若f(x,y)在D上有界且可积，则l』m(11 f (x, y)d；「=0.D1(2)若f (x,y)在D 上连续，则I』叫二f (x, y)d；「-二f(0,0) •R T R D(1)证明：设m, M分别为函数f (x, y)在D上的最小值与最大值，则m< f (x, ypiM，由积分估值定理知..md；：•一- f(x,y)d；丁- Md匚D D D又D ={( x, y) |x2y2 - R2}所以二mR2— f (x,y)d；「- ：MR2，D由夹逼定理得R m。
第一节 二重积分的概念与性质
第九章 重积分大纲要求1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理2．掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）3．会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量等）第一节 二重积分的概念与性质㈠ 本课的基本要求掌握二重积分的定义和性质㈡ 本课的重点、难点二重积分的定义本课的重点，二重积分的几何意义为本课的难点㈢ 教学内容一．两个实际问题1．曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底为xoy 平面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，顶是由二元连续函数）（假定0),(),(≥=y x f y x f z 表示的曲面围成的立体。
问题：求曲顶柱体的体积V ？ 图① 分割 将区域D 任意分成n 个小区域n i i ,2,1}{=∆σ，i σ∆表示第i 个小区域的面积，以每个小区域i σ∆为底，以它的边界线为准线作母线平行于z 轴的小曲顶柱体。
这样整个曲顶柱体就相应地分割成n 个小曲顶柱体，它们的体积分别证为1σ∆，2σ∆，…，n σ∆。
② 近似代替 取),(),(i i i i i f ηξσηξ，以∆∈为高，i σ∆为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(近似i V ∆),(y x f),,2,1(),(n i f V i i i i =∆≈∆σηξ③ 求和 ∑∑==∆≈∆=n i i ii n i i f V V 11),(σηξ④ 取极限 ∑=→∆=n i i i i f V 10),(lim σηξλ，λ表示n 个小区域中的最大直径2．平面薄片的质量设有一质量非均匀分布的薄片，在xoy 平面上占有区域D ，面密度ρ(x,y)是D 上的ct 函数，且ρ(x,y)>0，求M 。
),,2,1(),(n i M i i i =∆≈∆σηξρ 图∑=∆≈n i i ii M 1),(σηξρ ∑=→∆=ni i i i M 10),(lim σηξρλ (n →∞，λ→0，小区域的最大直径)二．二重积分的概念引入定义：设),(y x f z =是定义在有界区域D 上的有界函数，将D 任意地分成n 个小区域 1σ∆，2σ∆，…，n σ∆，小区域i σ∆的面积仍记为i σ∆，在i σ∆内任取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆=n i i ii n f S 1),(σηξ，若当),,2,1(n i i =∆σ的最大直径n S 时，0→λ极限存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在区域D 上的二重积分，记为⎰⎰Dd y x f σ),(，即\ ⎰⎰D d y x f σ),(=∑=→∆n i i i i f 10),(lim σηξλ 其中),(y x f 称为被积函数，σd y x f ),(称为被积表达式，D 叫做积分区域，σd 称为面积元素，⎰⎰为重积分号，x ，y 为积分变量，∑=∆=n i i ii n f S 1),(σηξ称为积分和。
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第一节 二重积分的概念与性质
一、问题的提出
二、二重积分的概念
三、二重积分的性质
)
,(y x f z =D
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，先看动画演示.
刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的情况.
小平顶柱体近似代替
.
),(>=y x f z
2、非均匀分布时平面薄板质量问题
非均匀分布时平面薄板质量问题
设平面薄板 D 上非均匀地分布着质量, 其分 .
),(y x µµ=布密度为将区域 D 任意分割成 n 个小块,D i 每小块的面积记为.
i σ∆∈∀),(i i ηξ,D i 则每小块上的质量可近似地表示为≈∆i m .
),(i i i σηξµ∆令,}{max 1i n
i σλ∆=≤≤求和并取极限便得薄板D 的质量为
i
n
i i i σηξµλ∆=∑=→1
),(lim m
以上讨论的问题的共同点：
定义 设
,
(y
x
f
是有界闭区域D上的有界函数，
将闭区域D任意分成n个小闭区域，
，，其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点， 作乘积 ， ， 并作和 ,
二、二重积分的概念
(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.
(2)当,(y
x f 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义:
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
如何划分？
如何划分？
D
性质１∫∫±D
d y x g y x f σ
βα)],(),([.
),(),(∫∫∫∫±=D
D d y x g d y x f σβσα（二重积分与定积分有类似的性质）
三、二重积分的性质
设 、 为常数，则
βα该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形
设函数在闭区域 上连续,为 的面积，则在D 上至少存在一点使得
性质6（二重积分中值定理）
σ
ηξσ⋅=∫∫),(),(f d y x f D
啊
！
a
谢谢大家！。