高等数学 第九章 第1节 二重积分的概念与性质(中央财经大学)

第一节 二重积分的概念与性质

一、问题的提出

二、二重积分的概念

三、二重积分的性质

)

,(y x f z =D

求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，先看动画演示.

刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的情况.

小平顶柱体近似代替

.

),(>=y x f z

2、非均匀分布时平面薄板质量问题

非均匀分布时平面薄板质量问题

设平面薄板 D 上非均匀地分布着质量, 其分 .

),(y x µµ=布密度为将区域 D 任意分割成 n 个小块,D i 每小块的面积记为.

i σ∆∈∀),(i i ηξ,D i 则每小块上的质量可近似地表示为≈∆i m .

),(i i i σηξµ∆令,}{max 1i n

i σλ∆=≤≤求和并取极限便得薄板D 的质量为

i

n

i i i σηξµλ∆=∑=→1

),(lim m

以上讨论的问题的共同点：

定义 设

,

(y

x

f

是有界闭区域D上的有界函数，

将闭区域D任意分成n个小闭区域，

，，其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点， 作乘积 ， ， 并作和 ,

二、二重积分的概念

(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.

(2)当,(y

x f 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义:

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．

如何划分？

如何划分？

D

性质１∫∫±D

d y x g y x f σ

βα)],(),([.

),(),(∫∫∫∫±=D

D d y x g d y x f σβσα（二重积分与定积分有类似的性质）

三、二重积分的性质

设 、 为常数，则

βα该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形

设函数在闭区域 上连续,为 的面积，则在D 上至少存在一点使得

性质6（二重积分中值定理）

σ

ηξσ⋅=∫∫),(),(f d y x f D

啊

！

a

谢谢大家！