迭代矩阵谱半径
《数值计算办法》试题集及参考答案
精心整理《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，式为。
答案：-1，)3)(1(2)3)(2(21)(2-----=x x x x x L 4、近似值5、设)(x f ()；答案1n x =+6、对)(x f =]4,3,2,1(0)；78n 次后的误差限为(12+-n ab )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。
14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 代矩阵的谱半径)(M ρ=121。
15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l (1l )1(716)(2-+=x x x x N 。
16、(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代21]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
22、已知≤≤≤≤3110(x x S 是三次样条函数，则a =(3 )，b 23、(),(10l x l Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，=k 0(j)，当时=++=)()3(204x l x xk k k k (324++x x )。
2.2 迭代法的一般形式与收敛性定理
设aii0 (i=1,2,,n)，并将A写成三部分
0 a11 a 21 0 a 22 A a n 1 ,1 a n 1 , 2 0 a nn a n 2 a n , n 1 a n1 0 a12 a1,n1 a1n 0 a 2 , n 1 a 2 n 0 a n 1, n 0 D LU. 0
则
k
B ( H )
k
两边取对数得: k ln ( H ) ln k
ln ln ( H )
定义:
ln ( H )
为迭代法(2.2.3)的渐近收敛速 度。
解线性方程组的迭代法
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
复习：矩阵的谱半径 设λ是矩阵A相应于特征向量x的特征值，即 Ax＝λx 向量-矩阵范数的相容性，得到 |λ| || x ||=||λx|| =|| Ax|| ≤ || A || ||x|| 从而，对A的任何特征值λ均成立 |λ|≤|| A || （ 3）
设n阶矩阵A的n个特征值为λ1,λ2，…λn，称 ( A) max i
x ( k 1) x* H ( x ( k ) x* )
由此递推：x ( k 1) x* H k 1 ( x ( 0) x* ), k 0,1,2,
x 是线性方程组Ax=b的解
x* Hx* g
x
k 1
*
研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
得
X (k1) (D L)1UX (k ) (D L)1b
令
BG (D L)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），
fG (D L)1b
则得 X (k 1) BG X (k ) fG 为高斯-赛德尔迭代法的矩阵表示形式。
我们用定理2来判断高斯-赛德尔迭代公式是否
x (k) n
b1)
x2(k
1)
1 a11
(a21 x1( k 1)
a23 x3( k )
a2n xn(k) b2 )
xi
(
k
1)
1 aii
(ai1 x1( k 1)
a x (k1) i2 2
a x (k1) i,i1 i1
a x (k) i,i1 i1
如在例8例9中，由于系数矩阵A是严格对角 占优，由定理4立即可断定用雅可比迭代法与高斯 -赛德尔迭代法求解时，迭代过程都收敛。
4 2 2
又如矩阵
A
2
2 3
2 3 14
是对称正定阵（实对称阵是正定阵的，如果实二次型
f (x1, x2 , , xn ) X T AX
我们先引入一个叫矩阵谱半径的概念的模的最大值称为矩阵a的谱半径记作前面我们在应用雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法解一阶线性方程组时判断各迭代公式是收敛还是发散都要计算雅可比迭代矩阵bj与高斯赛德尔迭代矩阵bg的特征值
2 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法
研究雅可比迭代法，我们发现在逐个求 X (k1)
李庆扬-数值分析第五版第6章习题答案(20130819)
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。 雅可比迭代的收敛条件是
( J ) ( D 1 ( L U )) 1
高斯赛德尔迭代法收敛条件是
(G ) (( D L) 1U ) 1
因此只需要求响应的谱半径即可。 本题仅解 a)，b）的解法类似。 解：
3.设线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a11 , a12 0 a21 x1 a22 x2 b2
证明解此方程的雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法同时收敛或发散， 并求两种方 法收敛速度之比。 解：
a A 11 a21
则
a12 a22
5. 何谓矩阵 A 严格对角占优？何谓 A 不可约？ P190， 如果 A 的元素满足
aij aij ，i=1,2,3….
j 1 j i
n
称 A 为严格对角占优。 P190 设 A (aij )nn (n 2) ，如果存在置换矩阵 P 使得
A PT AP 11 0
x ( k 1) x ( k )
10 4 时迭代终止。
2 1 5 （a）由系数矩阵 1 4 2 为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯 2 3 10
赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。[精确解为 x1 4, x 2 3, x3 2 ] （b）使用雅可比迭代法：
2．给出迭代法 x ( k 1) Bx (k ) f 收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度。 迭代矩阵收敛的条件是谱半径 ( B0 ) 1 。其误差估计为
1 k
(k) Bk (0)
R ( B) ln B k 迭代法的平均收敛速度为 k
数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法
数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数方程组的数值解法实验1. 主元的选取与算法的稳定性问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
实验内容：考虑线性方程组 n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。
实验要求：（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。
取n=10计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
程序清单n=input('矩阵A 的阶数:n=');A=6*diag(ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+8*diag(ones(1,n-1),-1); b=A*ones(n,1);p=input('计算条件数使用p-范数,p='); cond_A=cond(A,p) [m,n]=size(A);Ab=[A b];r=input('选主元方式(0:自动;1:手动)，r=');Abfor i=1:n-1switch rcase(0)[aii,ip]=max(abs(Ab(i:n,i)));ip=ip+i-1;case (1)ip=input(['第',num2str(i),'步消元，请输入第',num2str(i),'列所选元素所处的行数：']);end;Ab([i ip],:)=Ab([ip i],:);aii=Ab(i,i);for k=i+1:nAb(k,i:n+1)=Ab(k,i:n+1)-(Ab(k,i)/aii)*Ab(i,i:n+1);end;if r==1Abendend;x=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i);endx运行结果(1)n=10，矩阵的条件数及自动选主元Cond(A,1) =×103Cond(A,2) = ×103Cond(A,inf) =×103程序自动选择主元（列主元）a.输入数据矩阵A的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=0b.计算结果x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(2)n=10，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[, , , , , , , , , ]Tb. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k+1行） 最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(3)n=20，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[，，，，，，，，，，，，，，，，，，，]T b. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k步选择主元处于第k+1行）最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(4)A分别为幻方矩阵，Hilbert矩阵，pascal矩阵和随机矩阵简要分析计算(1)表明：对于同一矩阵，不同范数定义的条件数是不同的；Gauss消去法在消去过程中选择模最大的主元能够得到比较精确的解。
线性方程组的4种迭代方法
线性方程组的4种迭代方法雍龙泉【摘要】研究了线性方程组的4种迭代方法———Jacobi迭代、Gauss-Seidel 迭代、HSS迭代、Richardson迭代，给出了4种迭代方法收敛的充分条件。
数值实验进一步表明，在大规模线性方程求解时，迭代矩阵谱半径的大小决定算法的收敛速度；在谱半径小于1的前提下，谱半径越小，则收敛速度越快。
%Four iterative methods to linear systems , such as Jacobi , Gauss-Seidel, HSS, and Richard-son iterative , are studied , and sufficient conditions for the convergence of these iterative methods are given . Numerical experiments further show that the size of spectral radius of iterative matrix determines convergence rate in solving large-scale linear systems .Under the premise of spectral radius of iterative matrix less than 1, the smaller the spectral radius , the faster convergence speed .【期刊名称】《陕西理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(032)005【总页数】5页(P80-84)【关键词】线性方程组;Jacobi迭代;Gauss-Seidel迭代;HSS迭代;Richardson迭代;谱半径【作者】雍龙泉【作者单位】陕西理工大学数学与计算机科学学院，陕西汉中723000【正文语种】中文【中图分类】O151.2考虑如下线性方程组记当矩阵A∈Rn×n非奇异时，方程组Ax=b具有唯一解。
高等工程数学智慧树知到答案2024年南京理工大学
高等工程数学南京理工大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.有限维线性空间上范数1,范数2之间的关系是A:2强于1 B:等价 C:1强于2 D:无法比较答案:B2.赋范线性空间成为Banach空间，需要范数足？A:完备性 B:可加性 C:不变性 D:非负性答案:A3.标准正交系是一个完全正交系的充要条件是满足Parseval等式A:错 B:对答案:B4.在内积空间中，可以从一组线性无关向量得到一列标准正交系A:对 B:错答案:A5.矩阵的F范数不满足酉不变性A:错 B:对答案:A6.与任何向量范数相容的矩阵范数是？A:F范数 B:极大行范数 C:算子范数 D:极大列范数答案:C7.正规矩阵的谱半径与矩阵何种范数一致A:极大行范数 B:极大列范数 C:矩阵2范数 D:算子范数答案:C8.矩阵收敛，则该矩阵的谱半径A:无从判断 B:大于1 C:小于1 D:等于1答案:C9.矩阵幂级数收敛，则该矩阵的谱半径A:等于1 B:大于1 C:无从判断 D:小于1答案:D10.正规矩阵的条件数等于其最大特征值的模与最小特征值的模之商A:错 B:对答案:B第二章测试1.l矩阵不变因子的个数等于( )A:矩阵的列数 B:矩阵的秩 C:行数和列数的最小值 D:矩阵的行数答案:B2.Jordan标准形中Jordan块的个数等于( )A:矩阵的秩 B:行列式因子的个数 C:不变因子的个数 D:初等因子的个数答案:D3.Jordan块的对角元等于其( )A:初等因子的零点 B:初等因子的次数 C:不变因子的个数 D:行列式因子的个数答案:A4.n阶矩阵A的特征多项式等于( )A:A的n个不变因子的乘积 B:A的n阶行列式因子 C:A的行列式因子的乘积 D:A的次数最高的初等因子答案:AB5.下述条件中，幂迭代法能够成功处理的有( )A:主特征值有两个，是一对共轭的复特征值 B:主特征值有两个，是一对相反的实数 C:主特征值是实r重的 D:主特征值只有一个答案:ABCD6.n阶矩阵A的特征值在( )A:A的n个行盖尔圆构成的并集与n个列盖尔圆构成的并集的交集中 B:A的n个列盖尔圆构成的并集中 C:A的n个行盖尔圆构成的并集中 D:都不对答案:ABC7.不变因子是首项系数为1的多项式A:错 B:对答案:B8.任意具有互异特征值的矩阵，其盖尔圆均能分隔开A:对 B:错答案:B9.特征值在两个或两个以上的盖尔圆构成的连通部分中分布是平均的A:错 B:对答案:A10.规范化幂迭代法中，向量序列uk不收敛A:对 B:错答案:B第三章测试1.二阶方阵可作Doolittle分解A:错 B:对答案:A2.若矩阵A可作满秩分解A=FG,则F的列数为A的（）A:列数B:都不对C:秩D:行数答案:C3.矩阵的满秩分解不唯一.A:错 B:对答案:B4.酉等价矩阵有相同的奇异值.A:对 B:错答案:A5.求矩阵A的加号逆的方法有（）A:满秩分解 B:Greville递推法 C:奇异值分解 D:矩阵迭代法答案:ABCD6.若A为可逆方阵，则A:错 B:对答案:B7.用A的加号逆可以判断线性方程组Ax=b是否有解？A:对 B:错答案:A8.A的加号逆的秩与A的秩相等A:错 B:对答案:B9.若方阵A是Hermite正定矩阵，则A的Cholesky分解存在且唯一.A:错 B:对答案:B10.是Hermite标准形.A:错 B:对答案:A第四章测试1.（）是利用Gauss消去法求解线性方程组的条件.A:系数矩阵的顺序主子式均不为0B:系数矩阵满秩C:所有主元均不为0D:都不对答案:AC2.关于求解线性方程组的迭代解法, 下面说法正确的是（）.A:J法和GS法的敛散性无相关性B:若迭代矩阵谱半径不大于1, 则迭代收敛C:若系数矩阵A对称正定, 则GS迭代法收敛D:都不对答案:AC3.如果不考虑舍入误差, （）最多经n步可迭代得到线性方程组的解.A:SOR法B:共轭梯度法C:最速下降法D:都是答案:B4.关于共轭梯度法, 下面说法正确的是（）A:相邻两步的残量正交 B:相邻两步的搜索方向正交 C:搜索方向满足A共轭条件 D:B和C都对答案:D5.下面哪些是求解线性方程组的迭代解法（）.A:共轭梯度法 B:三角分解解法 C:ABC都对 D:最速下降法答案:AD6.若系数矩阵A对称正定, 则（）A:J法和GS法均收敛B:都不对 C:可用Cholesky法求解线性方程组D:SOR法收敛答案:C7.任意线性方程组都可以通过三角分解法求解.A:错 B:对答案:A8.最速下降法和共轭梯度法的区别在于选取的搜索方向不同.A:错 B:对答案:B9.广义逆矩阵法可用于任意线性方程组的求解.A:对 B:错答案:A10.Gauss消去法和列主元素法的数值稳定性相当.A:错 B:对答案:A第五章测试1.对于凸规划，如果x为问题的KKT点，则其为原问题的全局极小点A:对 B:错答案:A2.对于无约束规划问题，如果海塞阵非正定，我们可采用哪种改进牛顿法求解原问题？A:难以处理 B:构造一对称正定矩阵来取代当前海塞阵，并一该矩阵的逆乘以当前梯度的负值作为方向 C:牛顿法 D:阻尼牛顿法答案:B3.共轭梯度法中，为A:FR公式 B:DY公式 C:DM公式 D:PRP公式答案:A4.内点罚函数法中常用的障碍函数有A:三种都可以B:二次函数C:倒数障碍函数D:对数障碍函数答案:CD5.广义乘子罚函数的优点是在罚因子适当大的情形下，通过修正拉格朗日乘子就可逐步逼近原问题的最优解？A:错 B:对答案:B6.分子停留在最低能量状态的概率随温度降低趋于( ).A:2 B:3 C:0 D:1答案:D7.模拟退火算法内循环终止准则可采用的方法.A:固定步数 B:温度很低时 C:接受概率很低时 D:由接受和拒绝的比率控制迭代步答案:AD8.背包问题是组合优化问题吗？A:错 B:对答案:B9.单纯形算法是求解线性规划问题的多项式时间算法.A:对 B:错答案:B10.对于难以确定初始基本可行解的线性规划问题，我们引入人工变量后，可采用哪些方法求解原问题？A:单纯形法 B:无法确定 C:两阶段法 D:大M法答案:CD第六章测试1.如果不限定插值多项式的次数，满足插值条件的插值多项式也是唯一的（）A:错 B:对答案:A2.改变节点的排列顺序，差商的值不变（）A:错 B:对答案:B3.Hermite插值只能用插值基函数的方法求解（）A:错 B:对答案:A4.在最小二乘问题中，权系数越大表明相应的数据越重要（）A:错 B:对答案:B5.加窗傅里叶变换时频窗的长宽比是信号自适应的（）A:对 B:错答案:B6.傅里叶变换域的点和时间域上的点是一一对应的（）A:对 B:错答案:B7.若f(t)的傅里叶变换为，则 f(2t)的傅里叶变换为 ( )A: B: C:答案:B8.小波函数对应了（）A:低通滤波器 B:高通滤波器答案:B第七章测试1.有界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。
6-3迭代法的收敛性
1
2 x1 2 x2 x3 3
讨论Jacobi法与Gauss-Seidel法旳收敛性。
解：由定理，迭代法是否收敛等价于迭代矩阵 旳谱半径是否＜１，故应先求迭代矩阵。而
1 2 2
A 1 1
1
2 2 1
故A裂解后旳各矩阵分别为
1
D
1
1
0 0 0
L
1
0
0
2 2 0
0 2 2
| I
B |
1/a
2 / a 0
3 / a 2 / a
得
1 0 ,
2,3
|
4 a
|
故 (B) 4
|a|
由 (B) 1 得 | a | 4
故当 | a | 4 时，Jacobi迭代法收敛。
作业： 习题 1，2（2）
1 1 5
2 矩阵 B 1
1 2
0 1
不严格对角占优， 是弱对角占优
0 1 2
定义：假如矩阵A不能经过行旳互换和相应列 旳互换成为形式
A11 A12
0
A22
其中A11，A22为方阵，则称A为不可约.
例如：判断下列矩阵是否可约？
1 1 0
2 1 0
矩阵 A 1 1 0 是可约旳。 0 1 1
9 3
4 10
显然Aˊ是严格对角占优阵，所以对方程组
Ax b 用Jacobi法和Gauss-Seidel法均收敛。
例3*：设A=(aij)是二阶方阵，且a11a22≠0.试证 求解方程组Ax=b旳Jacobi法与Gauss-Seidel法 同步收敛或发散。
证明：Jacobi迭代矩阵为
0
BJ
a
21
高斯赛德尔迭代法matlab编程
function[x,k]=GaussSeidel(A,b,x0,eps,M)%高斯赛德尔迭代法求方程组的解(矩阵公式求解)%A 为方程组的系数矩阵； b 为方程组的右端项%x 为线性方程组的解了； x0 为迭代初值%eps 为误差限； M 为迭代的最大次数if nargin==3eps= 1.0e-6;%默认精度M = 10000;%参数不足时默认后两个条件elseif nargin ==4M = 10000;%参数的默认值elseif nargin<3error('参数不足');returnend[n,m]=size(A);nb=length(b);%当方程组行与列的维数不相等时，停止计算，并输出出错信息if n~=merror('矩阵 A 行数和列数必须相等!');return;end%当方程组与右端项的维数不匹配时，停止计算，并输出出错信息if n~=nberror('矩阵 A 的行数必须和 b 的长度相等!');return;endL =zeros(n,n);U =zeros(n,n);D =zeros(n,n);for i=2:nfor j=1:i-1L(i,j)=-A(i,j);endendfor i=1:n-1for j=i+1:nU(i,j)=-A(i,j);endendfor i=1:nD(i,i)=A(i,i);endB=inv(D-L)*U; g=inv(D-L)*b;%B 为迭代矩阵%g 为右端项pr=max(abs(eig(B))); % 求迭代矩阵谱半径if pr>=1error('迭代矩阵谱半径大于 1 迭代法不收敛');return;endk=0;tol=1;while tol>=epsx = B*x0+g;k = k+1; %迭代步数tol = norm(x-x0);% 前后两步迭代结果的误差x0 = x;if(k>=M)disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！ ');return;endend。
数值分析几种常用的迭代法
k = 71
满足精度的解
x= 0.999995 0.999994 1.999995
迭代次数为71次
华长生制作
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(1)SOR迭代法
sor.m
x(k1) (D L)1((1 )D U )x(k) (D L)1b
1
1
1
0.6375000 0.0121875 1.3199063
满足精度的解
0.2004270 0.3717572 1.3122805 0.6550335 0.5340119 1.6922848 0.7058468 0.7733401 1.7771932 ……………………………………….. 0.9999990 0.9999976 1.9999991
L为SOR法的迭代矩阵
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当 1时, SOR法化为 x(k1) (D L)1Ux(k) (D L)1b G-S迭代法 G-S法为SOR法的特例, SOR法为G-S法的加速
例1. 用G-S法和SOR法求下列方程组的解, 取 1.45
4 2 1
2 4 2
1 2 3
x1 x2 x3
0 2 3
要求精度1e-6,取初值（0，0，0）
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解: (1)G-S迭代法
4 0 0 1 0 2 1
BG
(D
L)1U
2 1
4 2
03
0 0
0 0
2 0
0 0 0
0.5 0.25 1/3
0.25 0.625
0.5
4
f
(D L)1b
2 1
0 4 2
0 0 3
华长生制作
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显然，高斯-赛德尔法关于任意初始向量收 敛的充要条件是 (Bs ) 1,充分条件是 Bs 1. 另外与雅可比法相仿有如下结论：
研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
按行严格对角占优或按列严格对角占优，即满足条件
n
aii aij
(i 1, 2, , n)
j 1 ji
n
或 a jj aij
( j 1, 2, , n)
i 1 i j
则方程组AX=b有唯一解，且对任意初始向量 X (0)
雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法都收敛。
定理5 若方程组 AX=b 的系数矩阵 A [aij ]nn 为对称正定矩阵。则对任意初始向量 X (0) 高斯 -赛德尔迭代法都收敛。
1 2 2 1
A 1 1
1
,
b
1
2 2 1 1
解：先计算迭代矩阵
0 2 2
BJ
D1(L U )
1
0
1
2 2 0
再计算
0 2 2 BG (D L)1U 0 2 3
0 0 2
其矩阵表示形式为 X (k1) D1(LX (k1) UX (k) b)
现将 X (k1) 显式化，由 (D L) X (k1) UX (k) b
得
X (k1) (D L)1UX (k ) (D L)1b
令
BG (D L)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），
一种算子范数 , 即
(A)
A r
证明：设λ为A的任一特征值，X为对应于λ的A
的特征向量，即 AX= λX, (X ≠0)
由范数的性质立即可得
X X AX A X
r
r
r
r
r
因为 X ≠0 ， 所以
A r
矩阵的数值半径与谱半径的关系
矩阵的数值半径与谱半径的关系1.介绍矩阵理论是线性代数的一个重要分支，研究矩阵的性质对于理解和应用线性代数具有重要意义。
矩阵的数值半径和谱半径是矩阵理论中的两个重要概念，它们之间的关系对于理解矩阵的特征值和特征向量具有重要意义。
2.数值半径和谱半径的定义数值半径是矩阵的所有特征值绝对值的最大值，通常用符号ρ(A)表示。
谱半径是矩阵的所有特征值绝对值中的最大值，通常用符号ρ(A)表示。
3.数值半径与谱半径的关系研究矩阵的数值半径与谱半径的关系是矩阵理论中的一个重要问题。
根据矩阵理论的知识，可以得出以下结论：(1) 对于任意一个n阶矩阵A，都有ρ(A)≤γ(A)。
(2) 当且仅当矩阵A是对称正定矩阵或者Hermite矩阵时，有ρ(A)=γ(A)。
(3) 对于一般的矩阵A，ρ(A)与γ(A)之间的关系不是简单的大小关系，而是通过矩阵A的特征值分布情况来决定的。
4.数值半径与谱半径的计算方法矩阵的数值半径和谱半径的计算方法对于矩阵理论的研究和应用具有重要意义。
常用的计算方法有幂法、反幂法等，这些方法能够有效地计算矩阵的数值半径和谱半径，为矩阵理论的研究和应用提供了重要的工具。
5.矩阵的数值半径与谱半径的应用矩阵的数值半径与谱半径在科学和工程领域有着广泛的应用。
在数值计算和优化领域，矩阵的数值半径和谱半径能够帮助我们分析和评价算法的收敛速度和稳定性，为算法的设计和优化提供重要的参考。
在控制理论和信号处理领域，矩阵的数值半径和谱半径能够帮助我们分析系统的稳定性和性能，为系统的设计和优化提供重要的指导。
6.结论矩阵的数值半径与谱半径是矩阵理论中的重要概念，它们之间的关系对于理解矩阵的特征值和特征向量具有重要意义。
研究矩阵的数值半径与谱半径的关系能够帮助我们更好地理解和应用矩阵理论，为科学和工程领域的应用提供重要的理论支持。
希望本文能够对矩阵理论的研究和应用提供一些参考，促进学术界对于矩阵理论的深入讨论和探索。
数值计算_第4章 解线性方程组的迭代法
如果用高斯-赛德尔迭代法 迭代72次得：
用SOR迭代法 ，只须迭代25次即得：
逐次超松弛迭代算法
下列算法假定迭代矩阵收敛，否则要在WHILE循环中增加判断条件。
1．定义和输入系数矩阵 与常数项向量 的元素，输入松弛因子 的值。
2．FOR i:=1,2,…,n
//假定 ，形成常数项向量
FOR
当方程组的系数矩阵 具有某些性质时，可直接判定由它生成的雅可比迭代矩阵是收敛的。
定理4.3若方程组 的系数矩阵 ，满足下列条件之一，则其雅可比迭代法是收敛的。
（1） 为行对角占优阵，即
（2） 为列对角占优阵，即
证明：（1）雅可比迭代矩阵 其中
（2） 为列对角优阵，故 为行对角占优阵，由系数矩阵 构造的迭代矩阵 为行对角占优阵，则有
通常，把 的迭代称为亚松弛迭代，把 的迭代称为高斯-塞德尔迭代，而把 的迭代称为松弛迭代。
4.4
在线性代数中逆矩阵是按其伴随矩阵定义的，若 则方阵 可逆，且 ，其中 为 的伴随矩阵。要计算 个 阶的列式才能得到一个伴随矩阵，在数值计算中因其计算工作量大而不被采用。通常对 做行的初等的效换，在将 化成 的过程中得到 。在数值计算中，这仍然是一种行之有效的方法。
事实上，在计算 前，已经得到 的值，不妨将已算出的分量直接代入迭代式中，及时使用最新计算出的分量值。因此 的计算公式可改为：
即用向量 计算出 的值，用向量 计算出 的值 ，用向量 计算出 的值，这种迭代格式称为高斯—塞德尔迭代。
对于方程组AX=y，如果由它构造高斯-塞德尔迭代和雅可比迭代都收敛，那么，多数情况下高斯—塞德尔迭代比雅可比迭代的收敛效果要好，但是情况并非总是如此。
又
得到
而 ，
迭代法收敛性分析
1||B||
(2) ||X(k)X*| | ||B|k | ||X(1)X(0)||
1||B||
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1133 /18
证 由||B||<1,有
limX(k) X*
B注k+31: X(k) =B X(k-1) + f = B(B X(k-2) + f) + f =····
= Bk X(0) + ( I + B + ····+ Bk-1)f
≈ ( I – B )-1 f
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例 线性方程组 A X = b, 分别取系数矩阵为
误差估计:
||X(k)X *| | ||B|| ||X(k)X(k1)|| 1||B||
||X(k)X*| | ||B|k | ||X(1)X(0)|| 1||B||
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1155 /18
n
定义4.1 A=(aij)n×n, 如果 | a ii | | a ij |
2 2 0 B1=D\(D-A1); max(abs(eig(B1)))
(BJ)1 Ans= 1.2604e-005
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1100 /18
0 2 2 BS 0 2 3
0 0 2
DL=tril(A1) B1=DL\(DL-A1) max(abs(eig(B1)))
迭ห้องสมุดไป่ตู้法
迭代法的收敛条件
的情形.
收敛的必要条件，而非充要条件， 因为Gauss-Seidel 迭代即为
1
定理3.6虽然给出了判别迭代法收敛的充要条件， 但实际使用是很不方便 。因为求逆矩阵和特征值的 难度并不亚于用直接方法求解线性方程组。推论１与 推论２使用起来方便得多， 但它们分别给出收敛的 充分条件与必要条件，许多情形下，不能起作用.
( A) A
3
解线性方程组的迭代法
定理3.4 设A为n阶方阵， 则对任意正数 种矩阵范数
使得
,
存在一
A ( A)
证明参看［１］ . 对任意n 阶方阵 A, 一般不存在矩阵范数 使得
,
( A) A . 但若
A为对称矩阵，则
2
( A) A
下面的结论对建立迭代法的收敛性条件非常重要。
k
A lim k
0
所以
k
lim Ak 0
6
解线性方程组的迭代法
3.5.2
迭代法的收敛条件
(0) 定理３.６ 对任意初始向量 x 和右端项 g ,
由迭代格式
x( k 1) Mx( k ) g
产生的向量序列 x ( k ) 收敛的充要条件是
(k 0,1,2,)
19
解线性方程组的迭代法
(2) 若
n阶方阵 A (aij ) 满足
n
aii aij
j 1 j i
(i 1,2,, n)
(3 25)
且至少有一个i 值，使上式中不等号严格成立，则 称为A弱对角占优阵。 定义3.5 如果矩阵Ａ不能通过行的互换和相应列的互 换成为形式
非线性方程组
非线性方程组前言非线性方程组，顾名思义就是未知数的幂除了不是1，其他都有可能！线性方程组其实只是非常小的一类，非线性方程组才是大类！也正因此非线性方程组包含各种各样的方程形式，所以它的解和对应的求解方法不可能像线性方程组那样完美，即都是局部收敛的。
先给出一个直观的非线性方程组例子：个人对两个问题的理解：1、非线性方程组如果有解，一般都有很多解！如何理解：把方程组的解看成是各个函数图像的交点的。
我们知道非线性方程组的各个函数就都是复杂曲线、面，甚至是高纬空间里的复杂东西；线性方程组的各个函数就是最简单的直线、面！各个复杂函数图像间的相交机会很多，并且只要相交，就是多个交点(因为交线、交面里有无数的交点)，也就是有多个解，可以想象，非线性方程组有多解是很平常的一件事，对于复杂的非线性函数没解才不正常！可以想象，这些解是等价的！没有说是等级更高，谁等级低一些。
都是解！因为：只要是解，它就只满足一个条件：让方程组中的各个方程=0。
所以无法用什么评判标准(比如范数)来说哪个解的等级高一些或者效果更好一些。
注意：这里的解等价和欠定线性方程组通解中的唯一极小范数解不一样！可以想象二者的区别：非线性方程组中的解都是实打实存在的；而欠定线性方程组中除了特解，其他通解中的解说存在也行，说不存在那就是因为方程条件(个数)都不够！这些是啥都行的通解和非线性方程组中实打实存在的解肯定不能比！这样的话各个非线性方程组的局部收敛性就可以理解，即：空间中有很多解时，我每次只能找一个，那我找谁？找离我出发点最近的那个解呗。
所以不同的出发点，就有可能找到不同的解，这就是局部收敛性。
意思是：每个方程中把所有和有关的用一个变量代替，所有有关的用一个变量代替，即方程1中用：，但是很明显方程2的第一项两个变量相乘，没法用变量代替，并且，即使在方程2中能代替，那么就会有和，这样总未知数变成4个而方程只有2个，还是解不了。
所以，非线性方程组不可能用简单的线性变量代换来解。
矩阵的谱半径与矩阵范数的关系
矩阵的谱半径与矩阵范数的关系哎，说真的，矩阵的谱半径和矩阵范数，这俩概念听起来就像是数学里的高冷双胞胎，让人一看就头疼。
但别怕，今天咱就来聊聊它们，说不定还能发现点有趣的事儿呢!记得那天，阳光正好，我手里捧着那本厚厚的《矩阵论》，心里直嘀咕：这谱半径和矩阵范数，到底是个啥关系?书上说，谱半径就是矩阵所有特征值的模的最大值，听起来就像是给矩阵的特征值们评了个“最佳表现奖”。
而矩阵范数呢，则是衡量矩阵“大小”或者“能量”的一种标尺，感觉就像是给矩阵量身定做的一件衣服，既贴身又有个性。
我琢磨着，这俩家伙要是没啥关系，那数学家们也不会把它们放在一起研究了。
于是，我开始翻书、查资料，甚至还找了我的数学学霸室友小张来帮忙。
小张一听我这问题，眼睛一亮，立马来了精神：“嘿，这可是个有意思的话题!谱半径和矩阵范数啊，它们就像是孪生兄弟，虽然长得不完全一样，但血缘关系可是杠杠的!”他这么一说，我更来劲了。
小张接着解释道：“你看啊，对于任意一个矩阵，它的谱半径总是小于等于它的任何一种矩阵范数。
就像是你的考试成绩，虽然每次考试的内容、难度都不一样，但你的总分总是能反映出你的学习水平，对吧?谱半径就像是你的‘真实水平’，而矩阵范数就像是你在不同考试中的‘表现分’，虽然形式各异，但总能反映出你的‘综合实力’。
”我一听，恍然大悟。
原来，谱半径和矩阵范数之间的关系，就像是考试分数和学习水平的关系，既相互独立，又紧密相连。
而且，小张还告诉我，有些特殊的矩阵范数，比如谱范数，它的值就是等于谱半径的。
这就像是某些特殊的考试，能够完美地反映出你的真实水平，一点不含糊。
聊着聊着，我突然想起了一个问题：“那要是矩阵是方阵呢?谱半径和矩阵范数之间会不会有什么特别的关系?”小张想了想，说：“对于方阵来说，谱半径和矩阵范数的关系就更有趣了。
因为方阵有逆矩阵，所以我们可以研究它们的收敛性。
你知道吗?如果一个方阵的谱半径小于1，那么它的幂级数就会收敛到一个稳定的值。
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( k = 1, 2, 3, ······ )
|| (k)|| ≤ || B||k || (0)||
||m || B ||k || (0) || 0
k
k
lim (k) 0
k
4/15
矩阵A的谱
设n阶方阵A的n个特征值为: 1 , 2 , , n
<=> 谱半径ρ(B) < 1
证: 对任何 n 阶矩阵B都存在非奇矩阵P使
B = P –1 J P
其中, J 为B的 Jordan 标准型
J1
J
J2
J r nn
其中, Ji 为Jordan块
i 1
Ji
1
i ni ni
6/15
其中,λi 是矩阵B的特征值, 由 B = P –1 J P B k = (P –1 J P) (P –1 J P) ···(P –1 J P)= P –1 J k P
Ans= 1/2
两种迭代法之间没有直接联系
对矩阵A1,求A1 x = b 的Jacobi迭代法收敛, 而Gauss-Seidel迭代法发散;
对矩阵A2,求A2 x = b 的Jacobi迭代法发散, 而Gauss-Seidel迭代法收敛.
10/15
误差估计定理
定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解 若||B||<1,则对迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 有
误差估计:
|| x(k) x* ||
|| B ||
|| x(k ) x(k1) ||
1 || B ||
|| x(k) x* || || B ||k || x(1) x(0) || 1 || B ||
迭代法
x(k+1) = B x(k) + f
lim J k 0
k
lim
k
i
k
0
收敛 <=> lim Bk 0 k
(i = 1, 2,···, r)
| i | 1
max
1 i r
|
i
|
1
(i = 1, 2,···, r) 谱半径 (B) < 1
7/15
例 线性方程组 A x = b, 分别取系数矩阵为
1 2 2
A1 1 1
1
2 2 1
2 1 1
A2 1 1
1
1 1 2
试分析Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法的敛散性
0 2
(1)
BJ
1
0
2 2
(BJ ) 1
A1=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1]
2
1 0
D=diag(diag(A1)); B1=D\(D-A1); max(abs(eig(B1)))
BJ
1
0
1
1 / 2 1 / 2 0
D=diag(diag(A2)) B2=D\(D-A2) max(abs(eig(Bj)))
(BJ ) 1.1180 Ans= 1.1180
9/15
0 BS 0
0
1/ 2 1/ 2
0
1/ 2 1 / 2 1 / 2
(BS ) 1/ 2
DL=tril(A2) B2=DL\(DL-A2) max(abs(eig(B2)))
(1) || x(k) x* || || B || || x(k) x(k1) ||
1 || B ||
(2)
|| x(k) x* || || B ||k || x(1) x(0) || 1 || B ||
11/15
证 由||B||<1,有
lim x(k) x *
k
x(k+1)–x* =(Bx(k)+f ) – (Bx*+f ) =B(x(k) – x* )
(1) lim (k) 0
k
(2)
lim Bk 0
k
lim [x(k) x*] 0
k
lim x(k) x*
k
迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 收敛 ！！
3/15
命题 若||B||<1,则迭代法 x(k+1) =B x(k) +f 收敛
证: 由(k) = B (k-1),得 || (k)|| ≤ || B|| || (k-1)||
|| x(k+1) – x* || ≤ ||B|| || x(k) – x* || 所以
||x(k+1) – x(k) ||= ||(x*– x(k)) – (x* – x(k+1))||
≥||(x*– x(k)) || – ||(x* – x(k+1))|| ≥ ||(x*– x(k))|| –||B|| ||(x* – x(k))|| = ( 1 - || B ||) ||(x* – x(k))||
则称集合 {1 , 2 , , n }
为A的谱. 记为 ch A
特征值取模最大
矩阵A的谱半径
( A)
max |
1 k n
k
|
注1: 当A是对称矩阵时, ||A||2 = (A)
注2: 对 Rn×n 中的范数|| ·||,有
(A) ≤ || A ||
5/15
定理4.1 迭代法 x(k+1) = B x(k) + f 收敛
x* = B x* + f
x(k+1) – x*= B(x(k) – x*)
记 (k) = x(k) – x* ( k = 0, 1, 2, 3, ······ )
则有
(k+1) = B (k) (k) = B (k-1) ( k = 1, 2, 3, ······ )
2/15
(k) = B (k-1)=B2 (k-2)=···=Bk (0)
《数值分析》10
迭代法的收敛性
Convergence of iterative method
迭代矩阵谱半径
Spectral radius
对角占优矩阵
diagonally dominant matrix
原始方程: A x = b 迭代格式: x(k+1) = B x(k) + f
设方程组的精确解为 x*,则有
12/15
所以 || x(k) x* || 1 || x(k1) x(k) ||
1 || B ||
x(k+1)–x(k) =(Bx(k)–f ) – (Bx(k-1)–f ) =B(x(k) – x(k-1) )
||x(k+1)–x(k)|| ≤ ||B || || x(k) – x(k-1) ||
Ans= 1.2604e-005
8/15
0 2 2 BS 0 2 3
0 0 2
DL=tril(A1) B1=DL\(DL-A1) max(abs(eig(B1)))
(BS ) 2 Ans= 2
(2) A2=[2, -1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, -2]
0 1/ 2 1/ 2