杭州学军中学(西溪校区)2019学年第一学期期中考试高二数学试卷 (1)

杭州学军中学2019学年第一学期期中考试

高二数学试卷

命题人：叶秋平 审题人：徐 政

第Ⅰ卷 选择题 （共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．圆柱的轴截面是正方形，面积为S ，则它的侧面积为（ ） A.π

S B.S π C.S π2 D.S π4 2．若直线l 与平面α相交，则（ ）

A.α内所有直线与l 异面

B.α内只存在有限条直线与l 共面

C.α内存在唯一的直线与l 平行

D.α内存在无数条直线与l 垂直

3．已知n m ,是空间两条不同的直线，βα,是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）

A.若αβ∥，α⊂m ，β⊂n ，则m n ∥

B.若n m ,异面，α⊂m ，β⊂n ，m β∥，n α∥，则αβ∥

C.若βα⊥，m n ∥，m α⊥，则n β∥

D.若βα⊥，m =⋂βα，m n ⊥，则β⊥n

4．如图，三棱柱'''C B A ABC -中，侧面''BCC B 的面积是4，点'A

到侧面''BCC B 的距离是3,则三棱柱'''C B A ABC -的体积为

（ ）

A.12

B.6

C.4

D.无法确定

5．四面体ABCD 中，2==CD AB ，其余棱长均为4，则该

四面体外接球半径为（ ）

A ．14

B ．214

C ．23

D ．2

23 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ） A.19 B.22 C.5 D.72

7．在长方体1111ABCD A B C D -中， ,M N 分别是棱1BB ，BC 的中点，若M 在以N C 1为

直径的圆上，则异面直线1A D 与1D M 所成的角为（ ）

A. 045

B. 060

C. 090

D. 随长方体的形状

变化而变化

8．一封闭的正方体容器1111D C B A ABCD -，R Q P ,,分别为

AD ，1BB ，11B A 的中点，如图所示。由于某种原因，在

R Q P ,,处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中

水的上表面的形状是（ ）边形

A.3

B.4

C.5

D.6

9．已知5.1cos 5.1si n +=a ，5.1cos 5.1sin ⋅=b ，5.1sin )

5.1(cos =c ，5.1cos )5.1(sin =d ，则d c b a ,,,的大小关系为（ ）

A.a d c b <<<

B.a c d b <<<

C. a c b d <<<

D.a b c d <<<

10．已知集合}06{2>--=x x x A ，}043{2≤+-=ax x x B ，若0>a ，且B A ⋂中恰好

有两个整数解，则a 的取值范围是（ ） A.)920,1529[ B.)920,1529( C.)920,913[ D.)9

20,35( 第Ⅱ卷 非选择题部分(共110分)

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11．棱长为a 的正四面体ABCD 中，E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与AB

所成的角大小是 ，线段EF 的长度为 。

12．二面角βα--l 的大小是 60，线段α⊂AB ，l B ∈，AB 与l 所成的角为 45，则AB 与

平面β所成的角的余弦值是 。

13．正三棱锥的高为1，底面边长为62，则的体积为 ；若有一个球与该正三棱锥

的各个面都相切，则球的半径为 。

14.若x a x f x x

32

4)(--=为奇函数，则a = ，此时，不等式0)93()1(2<++-x f x f 的解集为 。

15．在长方体1111D C B A ABCD -中，M 是对角线1AC 上一点，N 是底面ABCD 上一点. 若

2=AB ，21==AA BC ，则MN MB +1的最小值为 。

16．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1CC 的中点，Q P ,是正方体表面上相异两

点，满足E A BQ E A BP 11,⊥⊥。（1）若Q P ,均在平面1111D C B A 内，则PQ 与BD 的位置关系是 ；（2）P A 1的最小值为 。

17．若不等式()41211log 04x a x t t

-⎡⎤--⋅≥⎣⎦对任意的正整数x 恒成立（其中R a ∈，且1>a ），则t 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本题满分14分） 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,。

（1）若5

3cos =C ，且9CB CA 2⋅=，求ABC ∆的面积； （2）设向量x ＝(B 2sin

2

，y ＝(cos B ，B cos 2)，且x ∥y ，2=b ，求c a +的取值范围。

19.（本题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -的底面ABCD 中，B C A D ∥，

且BC AD 2=，E O ,分别为PD AD ,中点。

（1）设平面⋂PAB 平面PCD =l ，请作图确定l 的位置并说明你的理由；

（2）若Q 为直线CE 上任意一点，证明：OQ ∥平面PAB 。

20．（本题满分15分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足)(32*∈=-N n n na S n n ，且52=a 。

（1）证明数列}{n a 为等差数列，并求}{n a 的通项公式；

（2）设n

n n n n a a a a b 111+++=，n T 为数列}{n b 的前n 项和，求使103>n T 成立的最小正整数n 的值。